Soal dan Pembahasan – Kalkulus Fungsi

Soal Nomor 1
Carilah limit berikut atau nyatakanlah bahwa limitnya tidak ada.
a) $\quicklatex{color = “#000ff” size = 16} \displaystyle \lim_{(x, y) \to (1, 3)} (3x^2y – xy^3)$
b) $\quicklatex{color = “#000ff” size = 16} \displaystyle \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \dfrac{x^2 + y^2}{x^4 + y^4}$
c) $\quicklatex{color = “#000ff” size = 16} \displaystyle \lim_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{x^2 – 2y}{x^2 + 2y}$
d) $\quicklatex{color = “#000ff” size = 16} \displaystyle \lim_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{x^2 + 2y}{x^2 – 2y}$

Penyelesaian

(Jawaban a)
Gunakan substitusi secara langsung.

$\begin{aligned} \quicklatex{color = “#000ff” size = 16}  \displaystyle \lim_{(x, y) \to (1, 3)} (3x^2y – xy^3) & = 3(1)^2(3) – (1)(3)^3 \\ & = 18 – 27 = -9 \end{aligned}$
(Jawaban b)
Gunakan koordinat polar, di mana $x^2 + y^2 = r^2, x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$

$\begin{aligned} \quicklatex{color = “#000ff” size = 16} \displaystyle \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \dfrac{x^2 + y^2}{x^4 + y^4} & =  \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \dfrac{x^2 + y^2}{(x^2 + y^2)^2 – 2x^2y^2} \\ & =  \lim_{r \to 0} \dfrac{r^2}{r^4 – 2(r \cos \theta)^2(r \sin \theta)^2} \\ & =  \lim_{r \to 0} \dfrac{1}{r^2(1 – 2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta)} = \infty \end{aligned}$
(Jawaban c)
Gunakan substitusi secara langsung.

$\quicklatex{color = “#000ff” size = 16} \displaystyle \lim_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{x^2 – 2y}{x^2 + 2y} = \dfrac{2^2 -2(2)}{2^2 + 2(2)} = 0$
(Jawaban d)
Bila kita substitusikan $x = y = 2$, diperoleh ekspresi $\dfrac{8}{0}$ dan ini jelas adalah bentuk tak tentu. Jika pembilangnya bukan 0, maka dapat dipastikan bahwa limitnya tidak ada.

[collapse]

Soal Nomor 2
Periksa apakah limit berikut ada. Bila ada, buktikan.
$\quicklatex{color = “#000ff” size = 16} \displaystyle \lim_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{2x^3 – y^3}{x^2 + y^2}$

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan $\partial f/\partial x, \partial^2 f/\partial x^2$, dan $\partial^2 f/\partial y~\partial x$ dari fungsi
$f(x, y) = 3x^4y^2 + 7x^2y^7$

Penyelesaian

$\partial f/\partial x$ berarti turunan parsial pertama dari fungsi $f$ terhadap $x$ (anggap $y$ sebagai suatu konstanta). Jadi,
$\partial f/\partial x = 12x^3y^2 + 14xy^7$
$\partial^2 f/\partial x^2$ berarti turunan parsial kedua dari fungsi $f$ terhadap $y$ (anggap $x$ sebagai suatu konstanta). Gunakan jawaban sebelumnya, lalu diturunkan parsial terhadap $x$ satu kali.
$\partial^2 f/\partial x^2 = 36x^2y^2 + 14y^7$
Selanjutnya,
$\begin{aligned} \partial^2 f/\partial y~\partial x & = \dfrac{\partial f}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\ & =  \dfrac{\partial f}{\partial y} (12x^3y^2 + 14xy^7) \\ & = 24x^3y + 98xy^6 \end{aligned}$

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesKalkulus LanjutTags, ,

One Reply to “Soal dan Pembahasan – Kalkulus Fungsi”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *