Soal dan Pembahasan – Kalkulus Fungsi  \mathbb{R}^2 ke  \mathbb{R} (Bagian Dasar)

Soal Nomor 1
Carilah limit berikut atau nyatakanlah bahwa limitnya tidak ada.
a)  \displaystyle \lim_{(x, y) \to (1, 3)} (3x^2y - xy^3)
b)  \displaystyle \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \dfrac{x^2 + y^2}{x^4 + y^4}
c)  \displaystyle \lim_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{x^2 - 2y}{x^2 + 2y}
d)  \displaystyle \lim_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{x^2 + 2y}{x^2 - 2y}

Penyelesaian

(Jawaban a)
Gunakan substitusi secara langsung.

\begin{aligned}   \displaystyle \lim_{(x, y) \to (1, 3)} (3x^2y - xy^3) & = 3(1)^2(3) - (1)(3)^3 \\ & = 18 - 27 = -9 \end{aligned}
(Jawaban b)
Gunakan koordinat polar, di mana x^2 + y^2 = r^2, x = r \cos \theta, y = r \sin \theta

\begin{aligned}  \displaystyle \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \dfrac{x^2 + y^2}{x^4 + y^4} & =  \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \dfrac{x^2 + y^2}{(x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2} \\ & =  \lim_{r \to 0} \dfrac{r^2}{r^4 - 2(r \cos \theta)^2(r \sin \theta)^2} \\ & =  \lim_{r \to 0} \dfrac{1}{r^2(1 - 2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta)} = \infty \end{aligned}
(Jawaban c)
Gunakan substitusi secara langsung.

 \displaystyle \lim_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{x^2 - 2y}{x^2 + 2y} = \dfrac{2^2 -2(2)}{2^2 + 2(2)} = 0
(Jawaban d)
Bila kita substitusikan x = y = 2, diperoleh ekspresi \dfrac{8}{0} dan ini jelas adalah bentuk tak tentu. Jika pembilangnya bukan 0, maka dapat dipastikan bahwa limitnya tidak ada.

[collapse]

Soal Nomor 2
Periksa apakah limit berikut ada. Bila ada, buktikan.
 \displaystyle \lim_{(x, y) \to (2, 2)} \dfrac{2x^3 - y^3}{x^2 + y^2}

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan \partial f/\partial x, \partial^2 f/\partial x^2, dan \partial^2 f/\partial y~\partial x dari fungsi
f(x, y) = 3x^4y^2 + 7x^2y^7

Penyelesaian

\partial f/\partial x berarti turunan parsial pertama dari fungsi f terhadap x (anggap y sebagai suatu konstanta). Jadi,
\partial f/\partial x = 12x^3y^2 + 14xy^7
\partial^2 f/\partial x^2 berarti turunan parsial kedua dari fungsi f terhadap y (anggap x sebagai suatu konstanta). Gunakan jawaban sebelumnya, lalu diturunkan parsial terhadap x satu kali.
\partial^2 f/\partial x^2 = 36x^2y^2 + 14y^7
Selanjutnya,
\begin{aligned} \partial^2 f/\partial y~\partial x & = \dfrac{\partial f}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\ & =  \dfrac{\partial f}{\partial y} (12x^3y^2 + 14xy^7) \\ & = 24x^3y + 98xy^6 \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Satu Balasan untuk “Soal dan Pembahasan – Kalkulus Fungsi  \mathbb{R}^2 ke  \mathbb{R} (Bagian Dasar)”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *