Soal dan Pembahasan Keluarga/Berkas Garis (Families of Lines)

[latexpage]

Soal Nomor 1
Tentukan persamaan dari keluarga garis yang jaraknya $3$ satuan dari titik $(1,2)$ dan sejajar dengan garis $3x+4y+5=0$.

Penyelesaian

Untuk soal di atas dapat menggunakan rumus jarak dari titik ($X_1$,$Y_1$) ke garis $Ax+By+C=0$
$\boxed{\dfrac{Ax+By+c}{\sqrt{A^2+B^2}}}$

Dalam hal ini kita akan mencari persamaan keluarga garis yang sejajar dengan garis $Ax+By+C=0$ (koefisien $A$ dan koefisien $B$ tetap, sedangkan konstanta $C$ berubah dan gradien garisnya sama), karena berjarak $3$ satuan dari titik $(1,2)$ maka persamaan keluarga garisnya ada dua yaitu sebelah kanan dari titik $(1,2)$ dan sebelah kiri dari titik $(1,2)$
jadi,
$\dfrac{3x+4y+c}{\sqrt{3^2+4^2}}=3$

Substitusikan titik $(1,2)$
$\begin{aligned}\dfrac{3(1)+4(2)+c}{5}&=3\\\left3+8+c\right&=15\\11+c&=15\\c&=4\end{aligned}$
$\dfrac{3x+4y+c}{\sqrt{3^2+4^2}}=-3$
Substitusikan titik $(1,2)$
$\begin{aligned}\dfrac{3(1)+4(2)+c}{5}&=-3\\\left3+8+c\right&=15\\11+c&=-15\\c&=-26\end{aligned}$
jadi, persamaan dari keluarga garisnya adalah
$3x+4y+4=0$ dan $3x+4y-26=0$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan persamaan dari keluarga garis yang melewati titik potong $x-7y+3=0$ dan $4x+2y-5=0$ yang bergradien $3$

Penyelesaian

untuk menyelesaikan soal di atas kita dapat menggunakan rumus jarak jarak dari titik ($X_1$,$Y_1$) ke garis $Ax+By+C=0$
$\boxed{(A_1x+B_1y+C_1)+k(A_2+B_2+C)=0}$
untuk mencari persamaan dari keluarga garis yang melewati titik potong dari garis-garis yang telah diketahui dan k merupakan sebuah parameter
jadi, penyelesaian untuk soal di atas adalah
$\begin{aligned}(x-7y+3)+k(4x+2y-5)&=0\\\left(x-7y+3)+(4kx+2ky-5k)\right&=0\\x+4kx-7y+2ky+3-5k&=0\\(1+4k)x+(-7+2k)y+3-5k&=0\\(-7+2k)y&=-(1+4k)x-3+5k\\y&={\dfrac{-(1+4k)x-3+5k}{-7+2k}\end{aligned}$
Ingat!! bahwa
$\boxed{y=mx+b}$
yangmana koefisien dari x merupakan gradien
$y={\dfrac{-(1+4k)x-3+5k}{-7+2k}$
Di soal diminta untuk menemukan persamaan dari anggota keluarga garis yang memiliki gradien 3 maka,
$\begin{aligned}{\dfrac{-(1+4k)}{-7+2k}}&=3\\\left-(1+4k)\right&=3(-7+2k)\\-1-4k&=-21-6k\\-1-4k&=-21-6k\\20&=10k\\k&={\dfrac{20}{10}}\\k&=2\end{aligned}$
lalu kita substitusikan k=2
$\begin{aligned}(x-7y+3)+k(4x+2y-5)&=0\\\left(x-7y+3)+2(4x+2y-5)\right&=0\\(x-7y+3)+(8x+4y-10)&=0\\9x-3y-7&=0\end{aligned}$
jadi,persamaan dari keluarga garis yang melewati titik potong $x-7y+3=0$ dan $4x+2y-5=0$ yang bergradien $3$ adalah $9x-3y-7=0$

Soal Nomor 3
Carilah persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis $x+3y-7=0$ dan $2x+y-1=0$ serta berjarak sama dari titik-titik $A(2,0)$ dan $B(4,3)$

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal tersebut kita dapat menggunakan rumus
$\boxed{(A_1x+B_1y+C)+k(A_2x+B_2+C)=0}$
dimana k merupakan parameter
$\begin{aligned}{(x+3y-7)+k(2x+y-1)}&=0\\\leftx+3y-7+2kx+yk-k\right&=0\\2kx+x+yk+3y-7-k&=0\\(2k+1)x+(3+k)y-7-k&=0\\(3+k)y&=-(2k+1)x+7+k\\y&=\dfrac{-(2x+1)x+7+k}{3+k}\end{aligned}$
Ingat!!! bahwa
$y=mx+c$
Jadi, berdasarkan persamaan garis tersebut gradien garisnya merupakan koefisien dari x yaitu
$\dfrac{-(2x+1)}{3+k}$
$\dfrac{-2x-1}{3+k}$
kemudian cari gradien dari titik $A(2,0)$ dan $B(4,3)$ menggunakan rumus
$\boxed{m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$
$\begin{aligned}{m}&=\dfrac{3-0}{4-2}\\\leftm\right&=\dfrac{3}{2}\end{aligned}$
persamaan garis yang melalui titik $A(2,0)$ dan $B(4,3)$ sejajar dengan garis  lurus yang melalui titik potong garis $x+3y-7=0$ dan $2x+y-1=0$ serta berjarak sama dari titik $A(2,0)$ dan $B(4,3)$ sehingga
$\begin{aligned}{m}&=\dfrac{-2k-1}{3+k}\\\left\dfrac{3}{2}\right&=\dfrac{-2k-1}{3+k}\\9+3k&=-4k-2\\-7k&=11\\k&=\dfrac{-11}{7}\end{aligned}$
kemudian substitusikan $k$ ke $(x+3y-7)+k(2x+y-1)=0$
$\begin{aligned}{(x+3y-7)+\dfrac{-11}{7}{(2x+y-1)}}&=0\\\leftx+3y-7-\dfrac{22}{7}x-\dfrac{11}{7}y+\dfrac{11}{7}\right&=0\end{aligned}$
kalikan semuanya dengan $7$
$\begin{aligned}{7x+21y-49-22x-11y+11}&=0\\\left-15x+10y-38\right&=0\end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan persamaan dari dua garis sejajar yang terletak $6$ satuan terpisah yangmana garis $2x-3y+2=0$ berada diantara dua garis sejajar tersebut
Penyelesaian

Gradien dari persaamaan garis $ax+by+c=0$ adalah koefisien dari $x$
$\begin{aligned}ax+by+c&=0\\by&=-ax-c\\y&=\dfrac{-ax-c}{b}\end{aligned}$
Mencari dua persamaan garis sejajar yang berjarak $6$ satuan, dan tepat di tengah dua garis sejajar terdapat garis $2x-3y+2=0$, sehingga ada $3$ satuan disebalah kiri dan kanan garis tersebut. Garis yang sejajar merupakan garis yang memilki gradien yang sama
$\begin{aligned}2x-3y+2&=0\\ \left-3y\right&=-2x-2\\y&=\dfrac{-2x-2}{-3}\\y&=\dfrac{2x+2}{3}\end{aligned}$
Persamaan garis yang berada di sebelah kanan garis $2x-3y+2=0$, kita tambah $3$ satuan yang bernilai positif
$\begin{aligned}y&=\dfrac{2x+2}{3}+3 \text{(kedua ruas dikali 3)}\\3y&=2x+2+9\\3y&=2x+11\\ 2x-3y+11&=0\end{aligned}$
Persamaan garis yang berada di sebelah kiri garis $2x-3y+2=0$ maka kita tambahkan $3$ satuannya yang bernilai negatif
$\begin{aligned}y&=\dfrac{2x+2}{3}+(-3)\\ \left y\right&=\dfrac{2x+2}{3}-3\text{(kedua ruas dikali 3)}\\3y&=2x+2-9\\3y&=2x-7\\2x-3y-7&=0\end{aligned}$
Jadi, persamaan dua garisnya adalah $2x-3y+11=0$ dan $2x-3y-7=0$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong $2x+5y+7=0$ dan $4x-2y+3=0$ dan $x$ berpotongan di $4$

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal ini, yang pertama mencari titik potong dari $2x+5y+7=0$ dan $4x-2y+3=0$ dengan cara substitusi
$\begin{aligned}2x+5y+7&=0\\ \left2x\right&=-7-5y\\x&=\dfrac{-7-5y}{2}\end{aligned}$
kemudian kita substitusikan  $x$ ke persamaan garis $4x-2y+3=0$
$\begin{aligned}4(\dfrac{-7-5y}{2})-2y+3&=0\\ \left2(\dfrac{-7-5y}{2})-2y+3\right&=0\\-14-10y-2y+3&=0\\-11-12y&=0\\-11&=12y\\y&=\dfrac{-11}{12}\end{aligned}$
Untuk mendapatkan nilai $x$ substitusikan $y$ ke $x=\dfrac{-7-5y}{2}$
$\begin{aligned}x&=\dfrac{-7-5(\dfrac{-11}{12})}{2}\\ \left x\right&=\dfrac{-7+\dfrac{55}{12}}{2}\\x&=\dfrac{\dfrac{-84+55}{12}}{2}\\x&=\dfrac{\dfrac{-29}{12}}{2}\\x&=\dfrac{-29}{12}\times{\dfrac{1}{2}}\\x&=\dfrac{-29}{24}\end{aligned}$
sehingga ditemukanlah titik potongnya yaitu $(\dfrac{-29}{24}\dfrac{-11}{12})$
kemudian gunakan rumus
$\boxed{\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}}$
di soal diketahui bahwa $x$ berpotongan di titik 4 maka $y=0$. Kemudian substitusikan titik-titik $y_1=0$, $x_1=4$, $y_2=\dfrac{-11}{12}$, dan $x_2=\dfrac{-29}{24}$ ke dalam rumus
$\begin{aligned}\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}&=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}\\ \left\dfrac{y-0}{-\dfrac{11}{12}-0}\right&=\dfrac{11-4}{1\dfrac{29}{24}-4}\\\dfrac{y}{-\dfrac{11}{12}}&=\dfrac{11-4}{-\dfrac{125}{24}}\\-\dfrac{125}{24}y&=-\dfrac{11}{12}x+\dfrac{44}{12}\text{(kemudian kedua ruas dikalikan dengan 24)}\\(-\dfrac{125}{24}y&=-\dfrac{11}{12}x+\dfrac{44}{12})24\\-125y&=-22x+88\\22x-125y-88&=0\end{aligned}$

[collapse]

 

 

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *