Soal dan Pembahasan Keluarga/Berkas Garis (Families of Lines)

Soal Nomor 1
Tentukan persamaan dari keluarga garis yang jaraknya 3 satuan dari titik (1,2) dan sejajar dengan garis 3x+4y+5=0.

Penyelesaian

Untuk soal di atas dapat menggunakan rumus jarak dari titik (X_1,Y_1) ke garis Ax+By+C=0
\boxed{\dfrac{Ax+By+c}{\sqrt{A^2+B^2}}}

Dalam hal ini kita akan mencari persamaan keluarga garis yang sejajar dengan garis Ax+By+C=0 (koefisien A dan koefisien B tetap, sedangkan konstanta C berubah dan gradien garisnya sama), karena berjarak 3 satuan dari titik (1,2) maka persamaan keluarga garisnya ada dua yaitu sebelah kanan dari titik (1,2) dan sebelah kiri dari titik (1,2)
jadi,
\dfrac{3x+4y+c}{\sqrt{3^2+4^2}}=3

Substitusikan titik (1,2)
\begin{aligned}\dfrac{3(1)+4(2)+c}{5}&=3\\\left3+8+c\right&=15\\11+c&=15\\c&=4\end{aligned}
\dfrac{3x+4y+c}{\sqrt{3^2+4^2}}=-3
Substitusikan titik (1,2)
\begin{aligned}\dfrac{3(1)+4(2)+c}{5}&=-3\\\left3+8+c\right&=15\\11+c&=-15\\c&=-26\end{aligned}
jadi, persamaan dari keluarga garisnya adalah
3x+4y+4=0 dan 3x+4y-26=0

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan persamaan dari keluarga garis yang melewati titik potong x-7y+3=0 dan 4x+2y-5=0 yang bergradien 3

Penyelesaian

untuk menyelesaikan soal di atas kita dapat menggunakan rumus jarak jarak dari titik (X_1,Y_1) ke garis Ax+By+C=0
\boxed{(A_1x+B_1y+C_1)+k(A_2+B_2+C)=0}
untuk mencari persamaan dari keluarga garis yang melewati titik potong dari garis-garis yang telah diketahui dan k merupakan sebuah parameter
jadi, penyelesaian untuk soal di atas adalah
\begin{aligned}(x-7y+3)+k(4x+2y-5)&=0\\\left(x-7y+3)+(4kx+2ky-5k)\right&=0\\x+4kx-7y+2ky+3-5k&=0\\(1+4k)x+(-7+2k)y+3-5k&=0\\(-7+2k)y&=-(1+4k)x-3+5k\\y&={\dfrac{-(1+4k)x-3+5k}{-7+2k}\end{aligned}
Ingat!! bahwa
\boxed{y=mx+b}
yangmana koefisien dari x merupakan gradien
y={\dfrac{-(1+4k)x-3+5k}{-7+2k}
Di soal diminta untuk menemukan persamaan dari anggota keluarga garis yang memiliki gradien 3 maka,
\begin{aligned}{\dfrac{-(1+4k)}{-7+2k}}&=3\\\left-(1+4k)\right&=3(-7+2k)\\-1-4k&=-21-6k\\-1-4k&=-21-6k\\20&=10k\\k&={\dfrac{20}{10}}\\k&=2\end{aligned}
lalu kita substitusikan k=2
\begin{aligned}(x-7y+3)+k(4x+2y-5)&=0\\\left(x-7y+3)+2(4x+2y-5)\right&=0\\(x-7y+3)+(8x+4y-10)&=0\\9x-3y-7&=0\end{aligned}
jadi,persamaan dari keluarga garis yang melewati titik potong x-7y+3=0 dan 4x+2y-5=0 yang bergradien 3 adalah 9x-3y-7=0

Soal Nomor 3
Carilah persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis x+3y-7=0 dan 2x+y-1=0 serta berjarak sama dari titik-titik A(2,0) dan B(4,3)

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal tersebut kita dapat menggunakan rumus
\boxed{(A_1x+B_1y+C)+k(A_2x+B_2+C)=0}
dimana k merupakan parameter
\begin{aligned}{(x+3y-7)+k(2x+y-1)}&=0\\\leftx+3y-7+2kx+yk-k\right&=0\\2kx+x+yk+3y-7-k&=0\\(2k+1)x+(3+k)y-7-k&=0\\(3+k)y&=-(2k+1)x+7+k\\y&=\dfrac{-(2x+1)x+7+k}{3+k}\end{aligned}
Ingat!!! bahwa
y=mx+c
Jadi, berdasarkan persamaan garis tersebut gradien garisnya merupakan koefisien dari x yaitu
\dfrac{-(2x+1)}{3+k}
\dfrac{-2x-1}{3+k}
kemudian cari gradien dari titik A(2,0) dan B(4,3) menggunakan rumus
\boxed{m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}
\begin{aligned}{m}&=\dfrac{3-0}{4-2}\\\leftm\right&=\dfrac{3}{2}\end{aligned}
persamaan garis yang melalui titik A(2,0) dan B(4,3) sejajar dengan garis  lurus yang melalui titik potong garis x+3y-7=0 dan 2x+y-1=0 serta berjarak sama dari titik A(2,0) dan B(4,3) sehingga
\begin{aligned}{m}&=\dfrac{-2k-1}{3+k}\\\left\dfrac{3}{2}\right&=\dfrac{-2k-1}{3+k}\\9+3k&=-4k-2\\-7k&=11\\k&=\dfrac{-11}{7}\end{aligned}
kemudian substitusikan k ke (x+3y-7)+k(2x+y-1)=0
\begin{aligned}{(x+3y-7)+\dfrac{-11}{7}{(2x+y-1)}}&=0\\\leftx+3y-7-\dfrac{22}{7}x-\dfrac{11}{7}y+\dfrac{11}{7}\right&=0\end{aligned}
kalikan semuanya dengan 7
\begin{aligned}{7x+21y-49-22x-11y+11}&=0\\\left-15x+10y-38\right&=0\end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan persamaan dari dua garis sejajar yang terletak 6 satuan terpisah yangmana garis 2x-3y+2=0 berada diantara dua garis sejajar tersebut
Penyelesaian

Gradien dari persaamaan garis ax+by+c=0 adalah koefisien dari x
\begin{aligned}ax+by+c&=0\\by&=-ax-c\\y&=\dfrac{-ax-c}{b}\end{aligned}
Mencari dua persamaan garis sejajar yang berjarak 6 satuan, dan tepat di tengah dua garis sejajar terdapat garis 2x-3y+2=0, sehingga ada 3 satuan disebalah kiri dan kanan garis tersebut. Garis yang sejajar merupakan garis yang memilki gradien yang sama
\begin{aligned}2x-3y+2&=0\\ \left-3y\right&=-2x-2\\y&=\dfrac{-2x-2}{-3}\\y&=\dfrac{2x+2}{3}\end{aligned}
Persamaan garis yang berada di sebelah kanan garis 2x-3y+2=0, kita tambah 3 satuan yang bernilai positif
\begin{aligned}y&=\dfrac{2x+2}{3}+3 \text{(kedua ruas dikali 3)}\\3y&=2x+2+9\\3y&=2x+11\\ 2x-3y+11&=0\end{aligned}
Persamaan garis yang berada di sebelah kiri garis 2x-3y+2=0 maka kita tambahkan 3 satuannya yang bernilai negatif
\begin{aligned}y&=\dfrac{2x+2}{3}+(-3)\\ \lefty\right&=\dfrac{2x+2}{3}-3\text{(kedua ruas dikali 3)}\\3y&=2x+2-9\\3y&=2x-7\\2x-3y-7&=0\end{aligned}
Jadi, persamaan dua garisnya adalah 2x-3y+11=0 dan 2x-3y-7=0

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong x-5y-4=0 dan 2x+3y+2=0 serta melalui titik (2,5)

Penyelesaian

Pertama kita mencari titik potong dari x-5y-4=0 dan 2x+3y+2=0

\begin{aligned}x-5y-4&=0\\ \left-5y\right&=-x+4\\y&=\dfrac{-x+4}{-5}\end{aligned}
\begin{aligned}2x+3y+2&=0\\ \left3y\right&=-2x-2\\y&=\dfrac{-2x-2}{3}\end{aligned}
\begin{aligned}y_1&=y_2\\ \left\dfrac{-x+4}{-5}&=\dfrac{-2x-2}{3}\\-3x+12&=10x+10\\-13x&=-2\\x&=\dfrac{2}{13}\end{aligned}
kemudian substitusikan nilai x kesalah satu persamaan
\begin{aligned}{x-5y-4&=0}\\ \left{\dfrac{2}{13}}-5y-4\right&=0\\-5y&=4-{\dfrac{2}{13}}\\-5y={\dfrac{50}{13}}\\y&={\dfrac{50}{13}}\times{\dfrac{1}{-5}}\\y&={\dfrac{-10}{13}}\end{aligned}
setelah menemukan titik potong dari dua garis, kita dapat mencari persamaan garis dengan menggunakan rumus persamaan garis yang melalui dua titik
\boxed{\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}}
persamaan garis yang melalui (\dfrac{2}{13},\dfrac{-10}{13}) dan (2,5)
\dfrac{y-(-\dfrac{10}{13})}{5-(-\dfrac{10}{13})}=\dfrac{x-\dfrac{2}{13}}{2-\dfrac{2}{13}}
\dfrac{y+\dfrac{10}{13}}{5+\dfrac{10}{13}}=\dfrac{x-\dfrac{2}{13}}{2-\dfrac{2}{13}}
\dfrac{y+\dfrac{10}{13}}{\dfrac{65+10}{13}}=\dfrac{x-\dfrac{2}{13}}{\dfrac{26-2}{13}}
\dfrac{y+\dfrac{10}{13}}{\dfrac{75}{13}}=\dfrac{x-\dfrac{2}{13}}{\dfrac{24}{13}}
\dfrac{24}{13}(y+\dfrac{10}{13})=\dfrac{75}{13}(x-\dfrac{2}{13})
\dfrac{24}{13}y+\dfrac{240}{13\times13}=\dfrac{75}{13}x-\dfrac{900}{13\times13}
Kedua ruas dikalikan dengan 169
169(\dfrac{24}{13}y+\dfrac{240}{169})=(\dfrac{75}{13}x-\dfrac{900}{169})169
312y+240=975x-900
975x-312y-1140=0

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong 2x+5y+7=0 dan 4x-2y+3=0 dan x berpotongan di 4

Penyelesaian


Yang pertama kita lakukan untuk menyelesaikan soal tersebut adalah dengan mencari titik potong dari 2x+5y+7=0 dan 4x-2y+3=0 dengan cara substitusi
2x+5y+7=0
2x=-7-5y
x=\dfrac{-7-5y}{2}
kemudian kita substitusikan persamaan x ke persamaan garis 4x-2y+3=0
4(\dfrac{-7-5y}{2})-2y+3=0
2(\dfrac{-7-5y}{2})-2y+3=0
-14-10y-2y+3=0
-11-12y=0
-11=12y
y=\dfrac{-11}{12}
setelah mendapatkan nilai y kita dapat menggunakannya untuk mencari nilai x yaitu dengan mensubstitusikannya ke x=\dfrac{-7-5y}{2}
x=\dfrac{-7-5(\dfrac{-11}{12})}{2}
x=\dfrac{-7+\dfrac{55}{12}}{2}
x=\dfrac{\dfrac{-84+55}{12}}{2}
x=\dfrac{\dfrac{-29}{12}}{2}
x=\dfrac{-29}{12}\times{\dfrac{1}{2}}
x=\dfrac{-29}{24}
sehingga ditemukanlah titik potongnya yaitu (\dfrac{-29}{24}\dfrac{-11}{12})
kemudian gunakan rumus
\boxed{\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}}
di soal diketahui bahwa x berpotongan di titik 4 maka ynya adalah 0. Kemudian substitusikan titik-titik yang sudah diketahui y_1=0, x_1=4, y_2=\dfrac{-11}{12}, dan x_2=\dfrac{-29}{24}
\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}
\dfrac{y-0}{-\dfrac{11}{12}-0}=\dfrac{11-4}{1\dfrac{29}{24}-4}
\dfrac{y}{-\dfrac{11}{12}}=\dfrac{11-4}{-\dfrac{125}{24}}
-\dfrac{125}{24}y=-\dfrac{11}{12}x+\dfrac{44}{12}
kemudian kedua ruas dikalikan dengan 24
(-\dfrac{125}{24}y=-\dfrac{11}{12}x+\dfrac{44}{12})24
-125y=-22x+88
22x-125y-88=0

[collapse]

 

 

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *