Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Menggunakan Limit

      Turunan (atau secara luas dikenal dengan istilah diferensial) merupakan materi matematika yang dipelajari saat kelas XI SMA. Sebelum mempelajari materi ini, siswa diharuskan sudah menguasai konsep mengenai limit fungsi karena definisi turunan beranjak dari sana. Nah, untuk memperkuat pemahaman mengenai konsep turunan dasar, yakni perhitungan turunan dengan melibatkan limit fungsi, berikut disediakan soal beserta pembahasannya. Soal ini diambil dari Buku Matematika untuk SMA Kelas XI oleh Bapak Drs. Sukino pada Bab Turunan, Latihan Kompetensi Siswa 1.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)

Quote by George Polya

Mathematics is the cheapest science. Unlike physics or chemistry, it does not require any expensive equipment. All one needs is a pencil and paper.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Gradien garis singgung suatu kurva dengan persamaan $y = x^2-4x+3$ pada titik $(2, -1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $2$                      E. $4$
B. $1$                    D. $3$         

Pembahasan

Diketahui $f(x) = y = x^2-4x+3$. Karena absis titik singgung yang diminta adalah $2$, maka diperoleh
$$\begin{aligned} m_{\tan} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) – f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{[(x+h)^2-4(x+h)+3]-(x^2-4x+3)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(\bcancel{x^2}+2hx+h^2)-\bcancel{4x}-4h+\bcancel{3}-\bcancel{x^2}+\bcancel{4x}-\bcancel{3}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{2hx+h^2-4h}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(2x+h-4)}{\cancel{h}} \\ & = \lim_{h \to 0} (2x+h-4) \\ & = (2x+0-4) = 2x -4 \\ & = 2(2)- 4 && (\text{Substitusi}~x=2) \\ & = 0 \end{aligned}$$Jadi, gradien garis singgungnya adalah $\boxed{0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Gradien garis sekan pada kurva $y = \dfrac{1}{x+1}$ di titik $\left(1,\dfrac12\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                                  D. $\dfrac{1}{2h+4}$
B. $0$                                      E. $-\dfrac{1}{2h+4}$
C. $\dfrac{1}{1+h}$

Pembahasan

Gradien garis sekan ditentukan oleh 
$m_{\sec} = \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Diketahui $f(x) = y = \dfrac{1}{x+1}$, sehingga gradien garis sekannya pada saat $x=1$ adalah
$\begin{aligned} m_{\sec} & =\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{1+h+1} -\dfrac{1}{1+1}}{h} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{2+h}- \dfrac12}{h} \\ & = \dfrac{2 -(2 + h)}{(2+h)(2)(h)} \\ & = \dfrac{-\cancel{h}}{(2+h)(2)(\cancel{h})} \\ & = -\dfrac{1}{2h + 4} \end{aligned}$
Jadi, gradien garis sekan pada kurva $y = \dfrac{1}{x+1}$ di titik $\left(1,\dfrac12\right)$ adalah $\boxed{-\dfrac{1}{2h + 4}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3
Gradien garis sekan dari kurva $y = \sqrt[3]{x}$ pada titik $(8,2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{(8+h)^2} + 2\sqrt[3]{8+h} + 4}$
B. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{(8+h)^2}-2\sqrt[3]{8+h} + 4}$
C. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{(8+h)^2} + 2\sqrt[3]{8+h}-4}$
D. $\sqrt[3]{(8+h)^2} + 2\sqrt[3]{8+h} + 4$
E. $\sqrt[3]{(8+h)^2}-2\sqrt[3]{8+h} + 4$

Pembahasan

Gradien garis sekan ditentukan oleh 
$m_{\sec} = \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Diketahui $f(x) = y = \sqrt[3]{x}$, sehingga gradien garis sekannya pada saat absis $x=8$ adalah
$$\begin{aligned} m_{\sec} & =\dfrac{f(8+h)-f(8)}{h} \\ & = \dfrac{\sqrt[3]{8+h} -\sqrt[3]{8}}{h} \\ & = \dfrac{(8+h)^{\frac13} -2}{h} \color{red}{\times \dfrac{(8+h)^{\frac23} + 2(8+h)^{\frac13} + 4}{(8+h)^{\frac23} + 2(8+h)^{\frac13} + 4}} \\ & = \dfrac{(8+h) -8}{h((8+h)^{\frac23} + 2(8+h)^{\frac13} + 4)} \\ & = \dfrac{\cancel{h}}{\cancel{h}((8+h)^{\frac23} + 2(8+h)^{\frac13} + 4)} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt[3]{(8+h)^2} + 2\sqrt[3]{8+h} + 4} \end{aligned}$$Catatan: Untuk merasionalkan bentuk yang memuat akar pangkat tiga, gunakan $(a^3-b^3) =(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Jadi, gradien garis sekan dari kurva $y = \sqrt[3]{x}$ pada titik $(8,2)$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{\sqrt[3]{(8+h)^2} + 2\sqrt[3]{8+h} + 4}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan T

Soal Nomor 4
Turunan pertama $f(x) = 1 -x^2$ pada $x = 3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-6$                     C. $-2$                  E. $2$
B. $-4$                     D. $0$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 1-x^2$. Dengan menggunakan definisi turunan, diperoleh turunan pertama fungsi $f$.
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(1-(x+h)^2)-(1-x^2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\bcancel{1}-(\bcancel{x^2}+2hx+h^2)-1+\bcancel{x^2}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{-2hx-h^2}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (-2x-h) \\ & = -2x -0 = -2x \end{aligned}$
Substitusi $x = 3$ menghasilkan $-2(2) = -4$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diberikan $p(x)=x^2-x$. Turunan pertama fungsi itu pada $x=6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $35$                   C. $12$                 E. $10$
B. $23$                   D. $11$

Pembahasan

Diketahui $p(x) = x^2-x$. Dengan menggunakan definisi turunan, diperoleh turunan pertama fungsi $p$.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{p(x+h)-p(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{((x+h)^2-(x+h))-(x^2-x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{((\bcancel{x^2}+2hx+h^2)-(\bcancel{x}+h))-\bcancel{x^2}+\bcancel{x}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{2hx+h^2-h}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (2x+h-1) \\ & = 2x -1 \end{aligned}$$Substitusi $x = 6$ menghasilkan $\boxed{2(6)-1 = 11}$ 
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diberikan $f(x)=x^2-x+4$. Nilai $\dfrac{\text{d}f(4)}{\text{d}x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $16$                  C. $7$                 E. $1$
B. $8$                    D. $4$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = x^2-x+4$. Dengan menggunakan definisi turunan, diperoleh turunan pertama fungsi $f$.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{((x+h)^2-(x+h)+4)-(x^2-x+4)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{((x^2+2hx+h^2)-(x+h)+4)-x^2+x-4}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{2hx+h^2-h}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (2x+h-1) \\ & = 2x -1 \end{aligned}$$Notasi Leibniz untuk turunan fungsi $f$ ketika $x=4$ adalah $\dfrac{\text{d}f(4)}{\text{d}x}$. Substitusi $x = 4$ menghasilkan $\boxed{2(4)-1=7}$ 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $g(x)=2-x^3$, maka $\dfrac{\text{d}g}{\text{d}x}$ pada $x=-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-12$                  C. $0$                   E. $12$
B. $-10$                  D. $10$

Pembahasan

Diketahui $g(x) = x^2-x$. Dengan menggunakan definisi turunan, diperoleh turunan pertama fungsi $g$.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(2-(x+h)^3)-(2-x^3)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(\bcancel{2}-(\bcancel{x^3}+3hx^2+3h^2x + h^3))-\bcancel{2}+\bcancel{x^3}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{-3hx^2-3h^2x-h^3}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (-3x^2-3hx-h^2) \\ & = -3x^2 \end{aligned}$$Substitusi $x = -2$ menghasilkan $\boxed{-3(-2)^2=-3(4)=-12}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diberikan $f(x)=\dfrac{4}{5x}$. Hasil bagi diferensial $f$ terhadap $x$ untuk $x=2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-10$                C. $-0,1$               E. $5$
B. $-5$                  D. $-0,2$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=\dfrac{4}{5x}$.
Hasil bagi diferensial fungsi $f$ terhadap $x$ saat $x=2 dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}f(x)}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \dfrac{\text{d}f(2)}{\text{d}x} & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{4}{5(2+h)}- \dfrac{4}{5(2)}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{4}{10+5h} -\dfrac{2}{5}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{5(4) – 2(10+5h)}{(10+5h)(5)h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{-10\cancel{h}}{(10+5h)(5)\cancel{h}} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{-10}{(10+5h)(5)} \\ & = \dfrac{-10}{(10+5(0))(5)} \\ & = -\dfrac15 = -0,2 \end{aligned}$
Jadi, hasil bagi diferensial $f$ terhadap $x$ untuk $x=2$ adalah $\boxed{-0,2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar

Soal Nomor 9
Diberikan kurva dengan persamaan $f(x) = x^2+8x-5$. Gradien garis yang tegak lurus dengan persamaan garis singgung kurva di titik $P(1,4)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10$                 C. $1$                 E. $0,1$
B. $5$                   D. $0,2$

Pembahasan

Secara geometris, turunan pertama fungsi $f(x)=x^2+8x-5$ saat $x = 1$ adalah gradien garis singgung kurva pada titik tersebut.
Untuk itu, kita dapatkan
$$\begin{aligned} f'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ f'(1) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{((1+h)^2+8(1+h)-5)-(1^2+8(1)-5)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(1+2h+h^2+8+8h-5)-4}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{h^2+10h}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (h + 10) \\ & = 0+10 = 10 \end{aligned}$$Misalkan gradien garis singgung kurva di titik $P(1, 4)$ adalah $f'(1) = m_{\tan} = 4$, sehingga gradien garis yang tegak lurus adalah
$\boxed{m_{\perp} = -\dfrac{1}{m_{\tan}} = -\dfrac{1}{10} = -0,1}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Perbandingan diferensial dari fungsi $f(x) = 2x^2-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2x^2$                C. $2x$                E. $-2$
B. $4x$                    D. $2$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=2x^2-2$.
Perbandingan diferensial fungsi $f$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}f(x)}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(2(x+h)^2-2)-(2x^2-2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(\bcancel{2x^2} + 4hx + 2h^2-\bcancel{2})-(\bcancel{2x^2}-\bcancel{2})}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{4hx + 2h^2}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (4x + 2h) \\ & = 4x + 2(0) = 4x \end{aligned}$$Jadi, perbandingan diferensial fungsi $f$ tersebut adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}f(x)}{\text{d}x} = 4x}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Hasil bagi diferensial dari fungsi $y = \dfrac{2}{\sqrt{x-1}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(x-1)\sqrt{x-1}$                  
B. $\sqrt{x-1}$                          
C. $x-1$
D. $\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{x-1}}$
E. $\dfrac{-1}{(x-1)\sqrt{x-1}}$

Pembahasan

Misalkan $f(x)=y=\dfrac{2}{\sqrt{x-1}}$. 
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{x+h-1}}- \dfrac{2}{\sqrt{x-1}}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{2\sqrt{x-1}-2\sqrt{x+h-1}}{h(\sqrt{x+h-1})(\sqrt{x-1})} \color{red}{\times \dfrac{2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+h-1}}{2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+h-1}}} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{4(x-1)-4(x+h-1)}{h(\sqrt{x+h-1})(\sqrt{x-1})(2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+h-1})} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{-4\cancel{h}}{\cancel{h}(\sqrt{x+h-1})(\sqrt{x-1})(2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+h-1})} \\ & = \dfrac{-4}{(\sqrt{x-1})(\sqrt{x-1})(2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x-1})} \\ & = \dfrac{-4}{(x-1)(4\sqrt{x-1})} \\ & = \dfrac{-1}{(x-1)\sqrt{x-1}} \end{aligned}$$Jadi, hasil bagi diferensial dari fungsi $y = \dfrac{2}{\sqrt{x-1}}$ adalah $\boxed{\dfrac{-1}{(x-1)\sqrt{x-1}}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Soal Nomor 12
Diketahui $T(x)=5x^3+2x^2+3x+4$. Nilai koefisien diferensial pada $x=2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $82$                  C. $61$                E. $50$
B. $71$                  D. $51$

Pembahasan

Diketahui $T(x)=5x^3+2x^2+3x+4$. Koefisien diferensial fungsi $T$ untuk $x = 2$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} T'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{T(x+h)-T(x)}{h} \\ T'(2) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{T(2+h)-T(2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\left[5(2+h)^3+2(2+h)^2+3(2+h)+4\right]-\left[5(2)^3+2(2)^2+3(2)+4\right]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\left[40 + 60h + 30h^2 + 5h^3 + 8 + 8h + 2h^2 + 6 + 3h + 4\right] -\left[40+8+6+4\right]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(\cancel{58} + 71h + 32h^2 + 5h^3) -\cancel{58}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(71 + 32h + 5h^2)}{\cancel{h}} \\ & = 71 + 32(0) + 5(0)^2 = 71 \end{aligned}$$Jadi, koefisien diferensial fungsi $T$ untuk $x=2$ adalah $\boxed{71}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Nilai hasil bagi diferensial dari fungsi $g(x)=x^3+2x^2-3x+5$ pada $x=2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $20$                   C. $17$                 E. $15$
B. $18$                   D. $16$

Pembahasan

Diketahui $g(x)=x^3+2x^2-3x+5$. Hasil bagi diferensial dari fungsi $g$ pada $x = 2$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}g(x)}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ \dfrac{\text{d}g(2)}{\text{d}x} & = \lim_{h \to 0} \dfrac{g(2+h)-g(2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\left[(2+h)^3+2(2+h)^2-3(2+h)+5\right]-\left[(2)^3+2(2)^2-3(2)+5\right]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\left[8 + 12h + 6h^2 + h^3 + 8 + 8h + 2h^2-6- 3h + 5\right] -\left[8+8-6+5\right]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(\cancel{15} + 17h + 8h^2 + h^3)-\cancel{15}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(17+ 8h +h^2)}{\cancel{h}} \\ & = 17 + 8(0) + (0)^2 = 17 \end{aligned}$$Jadi, nilai hasil bagi diferensial dari fungsi $g(x)$ pada $x=2$ adalah $\boxed{17}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri

Soal Nomor 14
Jika $f(x)=x^2-1$ dan $\displaystyle \lim_{p \to 0} \dfrac{f(x+p)-f(x)}{p} = \cdots \cdot$
A. $0$                   C. $2$                  E. $x^3$
B. $1$                   D. $2x$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=x^2-1$, sehingga
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{p \to 0} \dfrac{f(x+p)-f(x)}{p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{[(x+p)^2-1]-[x^2-1]}{p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{(\bcancel{x^2} + 2px-\bcancel{1})-(\bcancel{x^2}-\bcancel{1})}{p} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{2\cancel{p}x}{\cancel{p}} \\ & = 2x \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\displaystyle \lim_{p \to 0} \dfrac{f(x+p)-f(x)}{p} = 2x}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika $f(x)=4x^{\frac32}$, maka $f’\left(\dfrac19\right) = \cdots \cdot$
A. $2$                    C. $6$                   E. $18$
B. $4$                    D. $12$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 4x^{\frac32}$. Dengan menggunakan definisi turunan, kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{4(x+h)^{\frac32}- 4x^{\frac32}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{4\sqrt{(x+h)^3}- 4\sqrt{x^3}}{h} \color{red}{\times \dfrac{4\sqrt{(x+h)^3}+4\sqrt{x^3}}{4\sqrt{(x+h)^3}+4\sqrt{x^3}}} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{16(x+h)^3-16x^3}{h(4\sqrt{(x+h)^3}+4\sqrt{x^3})} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{16(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-16x^3}{h(4\sqrt{(x+h)^3}+4\sqrt{x^3})} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{48x^2h + 48xh^2+16h^3}{h(4\sqrt{(x+h)^3}+4\sqrt{x^3})} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{48x^2 + 48xh + 16h^2}{4\sqrt{(x+h)^3}+4\sqrt{x^3}} \\ & = \dfrac{48x^2+48x(0) + 16(0)^2}{4\sqrt{(x+0)^3}+4\sqrt{x^3}} \\ & = \dfrac{48x^2}{8\sqrt{x^3}} \\ & = 6x^{\frac12} \end{aligned}$$Substitusi $x = \dfrac19$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} f’\left(\dfrac19\right) & = 6\left(\dfrac19\right)^{\frac12} \\ & = 6\left(\dfrac13\right) = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f’\left(\dfrac19\right) = 2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika $T(x)=3x^2-2ax+7$ dan $T'(1)=0$, maka $T'(2)=\cdots$
A. $1$                     C. $4$                 E. $8$
B. $2$                     D. $6$          

Pembahasan

Diketahui $T(x)=3x^2-2ax+7$ dan $T'(1)=0$.
Pertama, akan dicari nilai $a$ dengan menggunakan definisi turunan (konsep limit).
$$\begin{aligned} T'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{T(x+h)-T(x)}{h} \\ T'(1) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{T(1+h)-T(1)}{h} \\ 0 & = \lim_{h \to 0} \dfrac{[3(1+h)^2-2a(1+h)+7]-[3(1)^2-2a(1)+7]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(3 + 6h + h^2-2a-2ah+7)-(10-2a)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{6h+h^2-2ah}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (6 + h -2a) \\ 0 & = 6-2a \\ a & = 3 \end{aligned}$$Ini berarti, $T(x)=3x^2-6x+7$
Selanjutnya, akan dicari nilai dari $T'(2)$.
$$\begin{aligned} T'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{T(x+h)-T(x)}{h} \\ T'(2) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{T(2+h)-T(2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{[3(2+h)^2-6(2+h)+7]-[3(2)^2-6(2)+7]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(12+12h+3h^2-12-6h+7)-7}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{6h + 3h^2}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (6 + 3h) \\ & = 6 + 3(0) = 6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{T'(2) = 6}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar

Soal Nomor 17
Jika $R(x)=\dfrac{-2}{\sqrt{x}}$, maka $R(x)+2x~R'(x)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $0$                 C. $\sqrt{x}$            E. $x\sqrt{x}$
B. $1$                 D. $x$

Pembahasan

Diketahui $R(x)=\dfrac{-2}{\sqrt{x}}$. Pertama, akan dicari hasil dari $R'(x)$ dengan menggunakan definisi turunan (konsep limit).
$$\begin{aligned} R'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{R(x+h)-R(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{-2}{\sqrt{x+h}}-\dfrac{-2}{\sqrt{x}}}{h} \\ & = -2 \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x+h}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{h} \\ &= -2 \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}}{h(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})} \color{red}{\times \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+h}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+h}}} \\ & = -2 \lim_{h \to 0} \dfrac{x -(x + h)}{h(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})} \\ & = -2 \lim_{h \to 0} \dfrac{-\cancel{h}}{\cancel{h}(\sqrt{x+h})(\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})} \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{(\sqrt{x})(\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{x})} \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{x(2\sqrt{x})} \\ & = \dfrac{1}{x\sqrt{x}} \end{aligned}$$Dengan demikian,
$\begin{aligned} R(x)+2x~R'(x) & = \dfrac{-2}{\sqrt{x}} + 2\cancel{x}~\cdot \dfrac{1}{\cancel{x}\sqrt{x}} \\ & = \dfrac{-2}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{\sqrt{x}} = 0 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{R(x)+2x~R'(x) = 0}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Jika $T(t) = \sqrt[3]{t}$, maka $T(t)-3t~T'(t)=\cdots \cdot$
A. $0$                 C. $2\sqrt[3]{t}$              E. $t\sqrt[3]{t}$
B. $1$                 D. $3\sqrt[3]{t}$

Pembahasan

Diketahui $T(t)=\sqrt[3]{t}$. Pertama, akan dicari hasil dari $T'(t)$ dengan menggunakan definisi turunan (konsep limit).
$$\begin{aligned} T'(t) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{T(t+h)-T(t)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{t+h}-\sqrt[3]{t}}{h} \color{red}{\times \dfrac{(t+h)^{\frac23} + (t+h)^{\frac13}t^{\frac13} + t^{\frac23}}{(t+h)^{\frac23} + (t+h)^{\frac13}t^{\frac13} + t^{\frac23}}} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(t + h)-t}{h((t+h)^{\frac23} + (t+h)^{\frac13}t^{\frac13} + t^{\frac23})} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}}{\cancel{h}((t+h)^{\frac23} + (t+h)^{\frac13}t^{\frac13} + t^{\frac23})} \\ & = \dfrac{1}{t^{\frac23} + t^{\frac13} \cdot t^{\frac13} + t^{\frac23}} \\ & = \dfrac{1}{3t^{\frac23}} \end{aligned}$$Catatan: Untuk merasionalkan bentuk yang memuat akar pangkat tiga, gunakan $(a-b)^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} T(t)-3t~T'(t) & = \sqrt[3]{t}-3t \cdot \dfrac{1}{3t^{\frac23}} \\ & = \sqrt[3]{t} -\sqrt[3]{t} = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{T(t)-3t~T'(t)=0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika melalui titik $P(1,1)$ pada parabola $y=3x^2+5x-7$ dibuat garis singgung, maka koefisien arah garis singgung itu sama dengan $\cdots \cdot$
A. $14$                 C. $5$                 E. $0$
B. $11$                 D. $1$

Pembahasan

Misalkan $f(x) = y = 3x^2+5x-7$.
Koefisien arah (gradien) garis singgung kurva $y$ di titik dengan absis $x = 1$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} m_{\tan} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{[3(1+h)^2+5(1+h)-7]-[3(1)^2+5(1)-7]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(3 + 6h + h^2 + 5 + 5h-7)-(3+5-7)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{1 + 11h + h^2 -1}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(11+h)}{\cancel{h}} \\ & = 11+0=11 \end{aligned}$$Jadi, koefisien arah garis singgung kurva yang melalui titik $P(1,1)$ adalah $\boxed{11}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika $K(x)=nx^3+9x+2$ dan $K'(1)=0$, maka $K'(-1)=\cdots \cdot$
A. $18$                 C. $0$                E. $-18$
B. $9$                   D. $-9$

Pembahasan

Diketahui $K(x)=nx^3+9x+2$ dan $K'(1)=0$.
Pertama, akan dicari nilai $n$ dengan menggunakan definisi turunan (konsep limit).
$$\begin{aligned} K'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{K(x+h)-K(x)}{h} \\ K'(1) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{K(1+h)-K(1)}{h} \\ 0 & = \lim_{h \to 0} \dfrac{[n(1+h)^3+9(1+h)+2]-[n(1)^3+9(1)+2]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(\bcancel{n} + 3hn + 3h^2n + h^3 + \bcancel{9} + 9h + \bcancel{2})-(\bcancel{n}+\bcancel{11})}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{3hn + 3h^2n + h^3 + 9h}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (3n + 3hn + h^2 + 9) \\ 0 & = 3n + 9 \\ n & = -3 \end{aligned}$$Ini berarti, $K(x)= -3x^3 + 9x + 2$
Selanjutnya, akan dicari nilai dari $K'(-1)$.
$$\begin{aligned} K'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{K(x+h)-K(x)}{h} \\ K'(-1) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{K(-1+h)-K(-1)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{[-3(-1+h)^3 + 9(-1+h) + 2]-[-3(-1)^3 + 9(-1) + 2]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(3 + 9h -9h^2-3h^3-9+9h+2)-(3 -9+2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{18h-9h^2-3h^3}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (18-9h-3h^2) \\ & = 18-9(0)-3(0)^2 = 18 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{K'(-1) = 18}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga : Soal dan Pembahasan – Integral Dengan Substitusi Aljabar dan Trigonometri

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Diketahui $f(x) = |x|$. Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan pertama $f(x)$, atau dinotasikan $f'(x)$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa $f(x) = |x| = \sqrt{x^2}$.
Dengan menggunakan definisi turunan, kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(x) & = \displaystyle \lim_{x \to h} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim_{x \to h} \dfrac{\sqrt{(x+h)^2}-\sqrt{x^2}}{h} \color{red}{\times \dfrac{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}}{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}}} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(2x+h)}{\cancel{h}(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}} \\ & = \dfrac{2x}{\sqrt{x^2}+\sqrt{x^2}} \\ & = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2}} = \dfrac{x}{|x|} \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama $f(x) = |x|$ adalah $\boxed{f'(x) = \dfrac{x}{|x|}}$

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Turunan Fungsi Implisit

KategoriKalkulus DiferensialTag, , , , , , ,

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *