Soal dan Pembahasan LGM SMA (LIMAS Ke-6) Himmat FKIP Untan

$(f \circ g)(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 6x + 7}}$
$\dfrac{1}{\sqrt{(g(x))^2-2}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 6x + 7}}$
$(g(x))^2-2 = x^2 + 6x + 7$
$(g(x))^2 = x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$
$g(x) = x + 3 \lor g(x) =-x-3$
Untuk $g(x) = x + 3$, diperoleh $\boxed{g(x+2) = x + 5}$, sedangkan untuk $g(x) =-x-3$, diperoleh $\boxed{g(x+2) =-x-5}$ 

Diketahui $\sum F = 40$. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan letak $P_{83}$. Letaknya ada pada data ke-$\left(\dfrac{83}{100}\right) \times 40 = 33,2 \approx 33$. Sekarang, buat kolom frekuensi kumulatif seperti berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Ukuran panjang (mm)} & f & f_k \\ \hline 118-126 & 3 & 3 \\ 127-135 & 5 & 8 \\ 136-144 & 9 & 17 \\ 145-153 & 12 & 29 \\ 154-162 & 5 & 34 \\ 163-171 & 4 & 38 \\ 172-180 & 2 & 40 \\ \hline \end{array}$
Dengan mencermati tabel di atas, kita peroleh bahwa kelas persentil ke-$83$ ada pada interval $154-162$. 
Diketahui:
$L_b  = 154-0,5 = 153,5$
$n = 40; F_{k83} = 29; f_{83} = 5$
$c (\text{kelas interval}) = 9$
(Catatan: $F_{k83}$ adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-$83$, sedangkan $f_{83}$ adalah frekuensi kelas persentil ke-$83$)
$P_{83} = L_b + \dfrac{\dfrac{83}{100} \times n-F_{k83}}{f_{83}} \times c$
$P_{83} = 153,5 + \dfrac{\dfrac{83}{100} \times 40-29}{5} \times 9$
$P_{83} = 153,5 + \dfrac{4,2}{5} \times 9$
$P_{83} = 153,5 + 7,56 = 161,06$
Jadi, persentil ke-$83$ dari data tersebut adalah $161,06$ mm.

Periksa apakah ketika kita mensubstitusikan $x = 0$ ke dalam fungsi, kita peroleh bentuk tak tentu.
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x-\sin 2x}{4x-\tan 3x}$
$ = \dfrac{3(0)-\sin 2(0)}{4(0)-\tan 3(0)} = \dfrac{0}{0}$
Karena kita peroleh bentuk $\dfrac{0}{0}$ (bentuk tak tentu), maka kita bisa menghitung limitnya dengan Dalil L’Hospital.
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x-\sin 2x}{4x-\tan 3x}$
(Terapkan Dalil L’Hospital)
$= \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3-2 \cos 2x}{4-3 \sec^2 3x}$
$ = \dfrac{3-2(1)}{4-3(1)} = 1$
Jadi, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x-\sin 2x}{4x-\tan 3x} = 1}$

Diketahui rasio dari deret geometri tersebut adalah $\dfrac{1}{x-1}$. Agar memiliki jumlah limit, haruslah memenuhi
$\left|\dfrac{1}{x-1}\right| < 1$
$|x-1| > 1$
$x-1 > 1 \lor x-1 <-1$
$x > 2 \lor x < 0$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\{x \in \mathbb{R}| x < 0 \lor x > 2\}$

Tinjau entri baris kedua kolom pertama pada persamaan matriks $A = B$, diperoleh
$\log (4a- 14) = 1 = \log 10$
$ 4a- 14 = 10 \Leftrightarrow a = 6$
Selanjutnya, tinjau entri pada baris pertama kolom kedua, didapat
$\log(b-4) = \log a = \log 6$
$b- 4 = 6 \Leftrightarrow b = 10$
Terakhir, tinjau entri pada baris dan kolom pertamanya.
$^x \log a = \log b \Rightarrow ^x \log 6 = \log 10$
Dari persamaan di atas, diperolehlah nilai $\boxed{x = 6}$

Diketahui $x_1 + x_2 =-4$ dan $x_1x_2 = k$
Diketahui juga dari soal bahwa $x_1^2- x_2^2 =-32$
Persamaan di atas dapat diubah menjadi
$(x_1 + x_2)(x_1-x_2) =-32$
Substitusikan $x_1 + x_2 =-4$,
$(-4)(x_1- x_2) =-32$
$x_1- x_2 = 8$
Dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV pada sistem
$\begin{cases} x_1 + x_2 =-4 \\ x_1-x_2 = 8 \end{cases}$
diperoleh $x_1 = 2~\text{dan}~x_2 =-6$
Dengan demikian, $x_1x_2 = 2(-6) =-12$. Berarti, nilai $k$ adalah $-12$.

Perhatikan gambar berikut.

Karena bayangan proyeksi rusuk $TC$ jatuh pada garis $CQ$, maka bidang $ABC$ dapat diwakili oleh garis $CP$. $P$ adalah titik tengah $AB$, sedangkan $CP$ adalah simetri lipat segitiga sama sisi $ABC$. Diketahui, $AB = 6$ cm, sehingga $PB = \dfrac{1}{2} \times AB = \dfrac{1}{2} \times 6 = 3~\text{cm}$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga $BCP$:
$\begin{aligned} CP & = \sqrt{BC^2-PB^2} \\ & = \sqrt{6^2-3^2} \\ & = 3\sqrt{3}~\text{cm} \end{aligned}$
Tinjau kembali gambar di atas. Segitiga $TCQ$ adalah segitiga siku-siku (di $Q$) dengan $CQ = \dfrac{2}{3} \times CP = \dfrac{2}{3} \times  3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}~\text{cm}$ dan $TC = 6\sqrt{3}~\text{cm}$

Dengan demikian,
$\begin{aligned} TQ & = \sqrt{TC^2-CQ^2} \\ & = \sqrt{(6\sqrt3)^2-(2\sqrt3)^2} \\ & = \sqrt{108-12} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}$
Terakhir, gunakan konsep trigonometri untuk tangen.
$\boxed{\tan \alpha = \dfrac{TQ}{QC} = \dfrac{4\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}}$

Misalkan $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)~\text{d}x = k$, sehingga $f'(x)$ dapat ditulis menjadi
$f'(x) =-3x + 2k$
Integrasikan kedua ruas terhadap $x$,
$\int f'(x) = \int (-3x + 2k)~\text{d}x$
$f(x) =-\dfrac{3}{2}x^2 + 2kx + C$
Diketahui $f(0) = 5$, sehingga bila disubstitusikan ke persamaan di atas, diperoleh
$5 =-\dfrac{3}{2}(0)^2 + 2k(0) + C \Leftrightarrow C = 5$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)~\text{d}x & k \\ \int_{0}^{2} \left(-\dfrac{3}{2}x^2 + 2kx + 5\right) ~\text{d}x & = k \\ \left[-\dfrac{1}{2}x^3 + kx^2 + 5x\right]_{0}^{2} & = k \\ -4 + 4k + 10 = k \\ 4k-k & =-6 \\ 3k & =-6 \\ k & =-2 \end{aligned}$
Berarti, $y = f(x) = -\dfrac{3}{2}x^2-4x + 5$
Untuk mencari nilai maksimum, syaratnya adalah $y’ =-3x-4 = 0$, sehingga diperolehlah $x =-\dfrac{4}{3}$. Cari nilai fungsi $f$ ketika $x =-\dfrac{4}{3}$, yaitu
$\begin{aligned} f\left(-\dfrac{4}{3}\right) & =  -\dfrac{3}{2}\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2-4\left(-\dfrac{4}{3}\right) + 5 \\ & = 7\dfrac{2}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai maksimum (terbesar) dari $y = f(x)$ adalah $\boxed{7\dfrac{2}{3}}$