Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri

      Berikut ini adalah contoh soal dan pembahasan mengenai limit fungsi aljabar dan trigonometri. Soal-soalnya dikumpulkan penulis dari berbagai sumber.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga

Today Quote

Tak pernah buat status otw, tak pernah buat status jalan ke mana-mana, makan di restoran mana, mobilnya apa…. bukan berarti tak punya kehidupan, sebab tak semua hal perlu DIPAMERKAN, sebab kehidupan dunia tak perlu pengakuan, sebab ada hati yang perlu dijaga, dan sebab tak semua orang seberuntung kita.

Soal Nomor 1
Carilah nilai dari limit berikut. 
a) $\displaystyle \lim_{x \to 3} 9$
b) $\displaystyle \lim_{x \to -2} 2x$
c) $\displaystyle \lim_{x \to 3} (2x^2+7x +8)$
d) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x + 2}{x + 3}$

Penyelesaian

Semua bentuk limit tersebut dapat dicari dengan hanya mensubstitusikan langsung titik limitnya. 
Jawaban a) 
$\displaystyle \lim_{x \to 3} 9 = 9$
Jawaban b) 
$\displaystyle \lim_{x \to -2} 2x = 2(-2) = -4$
Jawaban c) 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} (2x^2+7x+8) & = 2(3)^2 + 7(3) + 8 \\ & = 18 + 21+8 = 47 \end{aligned}$
Jawaban d) 
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x+2}{x+3} = \dfrac{0+2}{0+3} = \dfrac{2}{3}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1}$.

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Limit tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan metode pemfaktoran sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)\cancel{(x-1)}} {\cancel{x-1}} \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1) \\ & = 1+1 = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1} = 2}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4}$.

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4} & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x+3)\cancel{(x-2)} }{(x+2)\cancel{(x-2)}} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{x+3}{x+2} \\ & = \dfrac{2+3}{2+2} = \dfrac{5}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari  $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4} = \dfrac{5}{4}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{3x^3 -48x}{x^2-16} = \cdots \cdot$
A. $4$      B. $12$       C. $16$      D. $24$        E. $48$

Penyelesaian

Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{3x^3 -48x}{x^2-16} & = \lim_{x \to 4} \dfrac{3x\cancel{(x^2-16)}} {\cancel{x^2-16}} \\ & = \lim_{x \to 4} 3x = 3(4) = 12 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{3x^3 -48x}{x^2-16} = 12}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2} -\dfrac{8}{x^2-4}\right)$

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2} -\dfrac{8}{x^2-4}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} -\dfrac{8}{(x+2)(x-2)}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2x-4}{(x-2)(x+2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2\cancel{(x-2)}} {\cancel{(x-2)}(x+2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2}{x+2} \\ & = \dfrac{2}{2+2} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2} -\dfrac{8}{x^2-4}\right) = \dfrac{1}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{x^2-x-2} -\dfrac{2}{x-2}\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$     B. $-\frac{2}{3}$    C. $-\frac{1}{3}$      D. $\frac{1}{3}$    E. $\frac{2}{3}$

Penyelesaian

Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{x^2-x-2} -\dfrac{2}{x-2}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{(x-2)(x+1)} -\dfrac{2(x+1)}{(x-2)(x+1)}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-2x+4}{(x-2)(x+1)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-2\cancel{(x -2)}}{\cancel{(x-2)} (x+1)} \\ & = \lim_{x \to 2}\dfrac{-2}{x+1} \\ & = \dfrac{-2}{2+1} = -\dfrac{2}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{x^2-x-2}- \dfrac{2}{x-2}\right) = -\dfrac{2}{3}}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 27} \dfrac{x-27}{x^{\frac{1}{3}} -3} = \cdots \cdot$
A. $27$       B. $18$        C. $9$        D. $3$       E. $1$

Penyelesaian

Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu
Perhatikan bahwa bentuk $x-27$ dapat ditulis dalam bentuk pemfaktoran:
$x -27 = (x^{\frac{1}{3}} -3)(x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9)$
Dengan demikian, limitnya dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 27} \dfrac{x-27}{x^{\frac{1}{3}} -3} \\ & = \lim_{x \to 27} \dfrac{\cancel{(x^{\frac{1}{3}} – 3)} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9) }{\cancel{x^{\frac{1}{3}} -3}} \\ & = \lim_{x \to 27} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9) \\ & = 27^{\frac{2}{3}} + 3(27)^{\frac{1}{3}} + 9 \\ & = 9 + 3(3) + 9 = 27 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 27} \dfrac{x-27}{x^{\frac{1}{3}}- 3} = 27}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 8
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \times \dfrac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}} \right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5x(3+\sqrt{9+x})} {9-(9+x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5\cancel{x}(3+\sqrt{9+x})} {-\cancel{x}} \\ & = \lim_{x \to 0} -5(3+\sqrt{9+x}) \\ & = -5(3 + \sqrt{9+0}) \\ & = -5(3 + 3) = -30 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}}$ adalah $\boxed{-30}$.

[collapse]

Soal Nomor 9
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x=3$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} \\ & = \lim_{x \to 3} \left(\dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} \times \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{2+\sqrt{x+1}} \right) \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{4-(x+1)} {(x-3)(2+\sqrt{x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\cancel{-x+3}} {-\cancel{(-x+3)}(2+\sqrt{x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{1}{-2 – \sqrt{x+1}} \\ & = \dfrac{1}{-2 – \sqrt{3+1}} \\ & = -\dfrac{1}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3}$ adalah $-\dfrac{1}{4}$

[collapse]
 

Soal Nomor 10
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}$

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}} \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}} \times \dfrac{3+\sqrt{x^2+5}}{3+\sqrt{x^2+5}} \right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(4-x^2)(3+\sqrt{x^2+5})} {9-(x^2+5)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{\cancel{(4-x^2)} (3+\sqrt{x^2+5})} {\cancel{4-x^2}} \\ & = \lim_{x \to 2} (3+\sqrt{x^2+5}) \\ & = 3 + \sqrt{2^2+5} \\ & = 3 + 3 = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}}$ adalah $\boxed{6}$.

[collapse]

Soal Nomor 11
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2}$.

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} & = \lim_{x \to 4} \left( \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} \times \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x} +2}\right) \\ & = \lim_{x \to 4} \dfrac{\cancel{(x-4)} (\sqrt{x}+2)} {\cancel{x-4}} \\ & = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x} +2) \\ & = \sqrt{4} + 2 = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} = 4}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}}$.

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} & = \lim_{x \to \sqrt{2}} \left( \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} \times \dfrac{x+\sqrt{2}} {x+\sqrt{2}}\right) \\ & = \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{\cancel{(x^2-2)} (x+\sqrt{2})} {\cancel{x^2-2}} \\ & = \lim_{x \to \sqrt{2}} (x+\sqrt{2}) \\ & = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 13
Tentukan nilai limit berikut.
a. $\displaystyle \lim_{x \to 9} \dfrac{9-x}{\sqrt{x} -3}$
b. $\displaystyle \lim_{x \to -2} \dfrac{2-\sqrt{2-x}}{6+x-x^2}$

Penyelesaian

Jawaban a)
Substitusi langsung nilai $x = 9$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 9} \dfrac{9-x}{\sqrt{x} -3} \\ & = \lim_{x \to 9} \dfrac{9-x}{\sqrt{x} -3} \times \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \\ & = \lim_{x \to 9} \dfrac{-\cancel{(x-9)}(\sqrt{x} + 3)}{\cancel{x – 9}} \\ & = \lim_{x \to 9} -(\sqrt{x} + 3) \\ & = -(\sqrt{9} + 3) = -6 \end{aligned}$
Jawaban b)
Substitusi langsung nilai $x = -2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan metode perkalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -2} \dfrac{2-\sqrt{2-x}}{6+x-x^2} & = \lim_{x \to -2} \dfrac{2-\sqrt{2-x}}{6+x-x^2} \times \dfrac{2 + \sqrt{2-x}}{2 + \sqrt{2-x}} \\ & = \lim_{x \to -2} \dfrac{4 -(2 -x)}{-(x -3)(x+2)(2 + \sqrt{2-x})} \\ & = \lim_{x \to -2} \dfrac{\cancel{x+2}}{-(x+3)\cancel{(x+2)}(2+\sqrt{2-x})} \\ & = \lim_{x \to -2} \dfrac{1}{-(x+3)(2+\sqrt{2-x})} \\ & = \dfrac{1}{-(-2+3)(2+\sqrt{2-(-2)})} \\ & = \dfrac{1}{-(1)(4)} = -\dfrac{1}{4} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan nilai $c$ yang memenuhi persamaan berikut.
a. $\displaystyle \lim_{x \to -1} (5x^7- 10x^2 + cx -2) = c -4$
b. $\displaystyle \lim_{x \to -3} \dfrac{cx^2 + 5x -3}{x+3} = -7$

Penyelesaian

Jawaban a)
Substitusi langsung $x = -1$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} 5(-1)^7 -10(-1)^2 +c(-1)- 2 & = c -4 \\ -5 -10 -c -2 & = c -4 \\ -17 -c & = c -4 \\  -2c & = 13 \\ c & = -\dfrac{13}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai $c$ adalah $\boxed{-\dfrac{13}{2}}$
Jawaban b)
Dengan menggunakan dalil L’Hospital, kita dapat menentukan nilai $c$ pada persamaan tersebut, dengan syarat substitusi langsung $x = -3$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Ini berarti,
$\dfrac{c(-3)^2 + 5(-3) -3}{-3 + 3} = \dfrac{9c -18}{0} = \dfrac{0}{0}$.
Jadi, diperoleh $\boxed{c = 2}$.

[collapse]

Join yuk: Telegram – Komunitas Mathcyber

Soal Nomor 15
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x} -2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x}$

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x} -2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} \\ & = \lim_{x \to 1} \left( \dfrac{(\sqrt{5-x} -2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} \times \dfrac{\sqrt{5-x} +2}{\sqrt{5-x} +2}\right) \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(5-x-4)(\sqrt{2-x} +1)} {(1-x)(\sqrt{5-x} +2)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\cancel{(1-x)} (\sqrt{2-x} +1)} {\cancel{(1-x)} (\sqrt{5-x} +2)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x} +1} {\sqrt{5-x} +2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2-1} + 1}{\sqrt{5-1} +2} \\ & = \dfrac{1+1}{2+2} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x} -2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} = \dfrac{1}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 16
Apakah fungsi $f$ berikut kontinu di $x = 1$? 
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, x \neq 1 \\ 2, x = 1 \end{cases}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $f(x)$ berbentuk fungsi parsial (piecewise function) yang rumus fungsinya tergantung dari nilai $x$. 
Diketahui: $f(1) = 2$. 
Agar kontinu, $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}$ juga harus bernilai $2$.
Limit tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)\cancel{(x-1)} } {\cancel{x-1}} \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1) \\ & = 1+1 = 2 \end{aligned}$
Karena $f(1) = \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}$, maka fungsi tersebut kontinu di $x = 1$. 

[collapse]

Soal Nomor 17
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 4^+} \dfrac{x} {x-4}$.

Penyelesaian

Substitusi langsung $x = 4$ menghasilkan bentuk tak terdefinisi $\dfrac{4}{0}$, sehingga limitnya tidak bernilai real. 
Karena nilai limitnya ditinjau hanya dari limit kanan (notasi $+$ menyatakan limit kanan), maka kita dapat menggunakan pendekatan tabel untuk menganalisis nilai limitnya. 
$\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline x & 7 & 6 & 5 \\ \hline f(x) & \dfrac{7}{3} & 3 & 5 \\ \hline \end{array}$
Tampak bahwa ketika $x$ semakin mengecil mendekati $4$, nilai fungsinya semakin membesar menuju tak hingga
Selain menggunakan pendekatan tabel, nilai limitnya juga dapat ditentukan dengan menggunakan pendekatan geometris, yaitu dengan cara menggambar grafiknya seperti berikut.

Dengan demikian, dapat dipastikan bahwa $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4^+} \dfrac{x} {x-4} = \infty}$

[collapse]

Soal Nomor 18
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1 -\cos 5x}$

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$, sehingga perlu dilakukan manipulasi bentuk dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
$\boxed{\begin{aligned} & \cos ax = 1 -2 \sin^2 \dfrac{a}{2}x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{\sin bx} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1 -\cos 5x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1 -(1 -2 \sin^2 \dfrac{5}{2}x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x}{2 \cdot \sin \dfrac{5}{2}x \cdot \sin \dfrac{5}{2}x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sin 3x} {\sin \dfrac{5}{2}x} \cdot \dfrac{\tan 5x} {\sin \dfrac{5}{2}x}\right) \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{10}{5} = \dfrac{6}{5} \end{aligned}$$

Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1 -\cos 5x} = \dfrac{6}{5}} $

[collapse]

Baca Juga : Soal dan Pembahasan – Integral Dengan Substitusi Aljabar dan Trigonometri

Soal Nomor 19
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x} {x \tan 2x}$

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Ingat bahwa
$\boxed{\begin{aligned} \cos 2x & = 1 -2 \sin^2 x \\ \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {bx} & = \dfrac{a} {b} \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{ax}{\tan bx} & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-(1-2 \sin^2 x)} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin^2 x} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(2 \cdot \dfrac{\sin x} {x} \cdot \dfrac{\sin x}{\tan 2x}\right) \\ & = 2 \times 1 \times \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x} {x \tan 2x} = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x \tan (2x-6)} {\sin (x-3)}$.

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 3$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Ingat bahwa
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a} {b}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \lim_{x \to 3} \dfrac{x \tan (2x-6)} {\sin (x-3)} \\ & = \lim_{x \to 3} \left(x \cdot \dfrac{\tan 2(x-3)} {\sin (x-3)}\right) \\ & = 3 \cdot 2 = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x \tan (2x-6)} {\sin (x-3)} = 6}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x}- \dfrac{2}{x^2}\right)$.

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$, sehingga perlu dilakukan manipulasi bentuk dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \tan ax = \dfrac{\sin ax}{\cos ax} \\ & \sin 2ax = 2 \sin ax \cos ax \\ & \sin^2 ax + \cos^2 ax = 1 \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x}- \dfrac{2}{x^2}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} – \dfrac{2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x -2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x -2 \cdot \dfrac{\sin 2x} {\cos 2x}}{x^2 \tan 2x} \color{red}{\times \dfrac{\cos 2x}{\cos 2x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (2\cdot 2x) \cos 2x -2 \sin 2x}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(2 \sin 2x \cos 2x) \cos 2x -2 sin 2x}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x(\cos^2 2x – 1)}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x (-\sin^2 2x)}{x^2 \cdot \dfrac{\sin 2x}{\cancel{\cos 2x}} \cancel{\cos 2x} } \\ & = -2 \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 2x} {\sin 2x} \cdot \dfrac{\sin 2x} {x} \cdot \dfrac{\sin 2x} {x}\right) \\ & = -2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 = -8 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} -\dfrac{2}{x^2}\right)=-8}$

[collapse]

Soal Nomor 22
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x}$.

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} & \sin ax + \sin bx = 2 \sin \left(\dfrac{a+b}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{a-b}{2}x\right) \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b} \end{aligned}}$$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {2 \sin \left(\dfrac{1+3}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{1-3}{2}x\right)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cdot \cancel{\cos x} } {2 \cdot \sin 2x \cdot \cancel{\cos x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \right) \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 23
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1- \cos 4x} {x \sin x}$.

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.

$\boxed{\begin{aligned} & \cos 2x = 1 – l2 \sin^2 x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a}{b} \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 -\cos 4x}{x \sin x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 -\cos (2 \cdot 2x)}{x \sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 -(1 -2 \sin^2 2x)}{x \sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin^2 2x}{x \sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(2 \cdot \dfrac{\sin 2x}{x} \cdot \dfrac{\sin 2x}{\sin x}\right) \\ & = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 -\cos 4x}{x \sin x}= 8}$

[collapse]

Soal Nomor 24
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x} {\tan x -\sin 2x}$.

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.

$\boxed{\begin{aligned} & \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \\ & \sin 2x = 2 \sin x \cos x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = 1 \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{bx} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Alternatif I:

Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x}{\tan x -\sin 2x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x}{\dfrac{\sin x}{\cos x} -2 \sin x \cos x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x \cos x}{\sin x -2 \sin x \cos^2 x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x \cos x}{\sin x (1 -2 \cos^2 x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x}{\sin x} \cdot \dfrac{\cos 2x \cos x}{1 -2 \cos^2 x}\right) \\ & = 1 \cdot \dfrac{\cos 0 \cdot \cos 0}{1 -2 \cos^2 0} \\ & = 1 \cdot \dfrac{1 \cdot 1}{1 -2 \cdot 1} = -1 \end{aligned}$$
Alternatif II:

$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x} {\tan x -\sin 2x} & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x \cos 2x} {\tan x -\sin 2x} \cdot \dfrac{\frac{1}{x}} {\frac{1}{x}}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 2x} {\frac{\tan x} {x} -\frac{\sin 2x} {x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 0}{1-2} = \dfrac{1}{-1} = -1 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x}{\tan x -\sin 2x} = -1}$

[collapse]

Soal Nomor 25
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2-1) \tan (2x-2)} {\sin^2 (x-1)}$.

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Gunakan sifat limit trigonometri berikut.

$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} =1 \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2-1) \tan (2x-2)}{\sin^2 (x-1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)(x-1) \tan 2(x-1)}{\sin (x-1) \cdot \sin (x-1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \left((x + 1) \cdot \dfrac{x-1}{\sin (x-1)} \cdot \dfrac{\tan 2(x-1)}{\sin (x-1)}\right) \\ & = (1 + 1) \cdot 1 \cdot 2 = 4 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2-1) \tan(2x-2)}{\sin^2 (x-1)} = 4}$

[collapse]

Soal Nomor 26
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x} {\sin x- \cos x}$.

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = \dfrac{\pi}{4}$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$
Gunakan identitas trigonometri berikut.

$\boxed{\cos 2x = \cos^2 x -\sin^2 x}$
Dengan mengalikan limit fungsi tersebut dengan bentuk sekawan penyebutnya, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x} {\sin x -\cos x} & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \left(\dfrac{\cos 2x} {\sin x -\cos x} \times \dfrac{\sin x + \cos x} {\sin x + \cos x} \right) \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x (\sin x + \cos x)} {\sin^2 x- \cos^2 x} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cancel{\cos 2x} (\sin x + \cos x)} {-\cancel{\cos 2x}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} -(\sin x+ \cos x) \\ & = -\left(\sin \dfrac{\pi} {4} + \cos \dfrac{\pi} {4}\right) \\ & = -\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) = -\sqrt{2} \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x} {\sin x – \cos x} = -\sqrt{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 27
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\sin^2 2x -\cos^2 2x} {\sin 2x -\cos 2x}$

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = \dfrac{\pi}{8}$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Dengan mengalikan limit fungsi tersebut dengan bentuk sekawan penyebutnya, diperoleh,
$$\begin{aligned} \displaystyle & \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\sin^2 2x -\cos^2 2x} {\sin 2x -\cos 2x} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \left(\dfrac{\sin^2 2x -\cos^2 2x} {\sin 2x – \cos 2x} \times \dfrac{\sin 2x + \cos 2x}{\sin 2x + \cos 2x}\right) \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\cancel{(\sin^2 2x -\cos^2 2x)}(\sin 2x + \cos 2x)}{\cancel{\sin^2 2x -\cos^2 2x}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} (\sin 2x + \cos 2x) \\ & = \sin \dfrac{2\pi}{8} + \cos \dfrac{2\pi}{8} \\ & = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} = \sqrt{2} \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\sin^2 2x- \cos^2 2x} {\sin 2x -\cos 2x} = \sqrt{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 28
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos (\pi x -2\pi)} {\tan (2\pi x – 4\pi)}$.

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Gunakan sifat limit trigonometri berikut.
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax}{\tan bx} = \dfrac{a}{b}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos (\pi x -2\pi)} {\tan (2\pi x – 4\pi)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos \pi(x -2)}{\tan 2\pi(x-2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{x-2}{\tan 2\pi(x-2)} \cdot \cos \pi(x-2)\right) \\ & = \dfrac{1}{2\pi} \cdot 1 = \dfrac{1}{2\pi} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos (\pi x -2\pi)} {\tan (2\pi x -4\pi)} = \dfrac{1}{2\pi}}$

[collapse]

Soal Nomor 29
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x}- \dfrac{2}{x^2}\right)$.

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.

$\boxed{\begin{aligned} & \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \\ & \tan ax = \dfrac{\sin ax}{\cos ax} \\ & \sin 2ax = 2 \sin ax \cos ax \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax} {\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x}- \dfrac{2}{x^2}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} -\dfrac{2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x -2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x- 2 \cdot \dfrac{\sin 2x} {\cos 2x}}{x^2 \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (2\cdot 2x) \cos 2x -2 \sin 2x}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(2 \sin 2x \cos 2x) \cos 2x -2 \sin 2x}{x^2 \cdot \dfrac{\sin 2x} {\cos 2x} \cdot \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x \cos^2 2x -2 \sin 2x} {x^2 \sin 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x (\cos^2 2x -1)}{x^2 \sin 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x(-\sin^2 2x)} {x^2 \sin 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(-2 \cdot \dfrac{\cancel{\sin 2x} }{\cancel{\sin 2x}} \cdot \dfrac{\sin 2x} {x} \cdot \dfrac{\sin 2x} {x} \right) \\ & = -2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 = -8 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} -\dfrac{2}{x^2}\right) = -8}$

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan (Bagian Dasar)

Soal Nomor 30
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x}$

Penyelesaian

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Gunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} & \sin ax + \sin bx = 2 \sin \left(\dfrac{a+b}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{a-b}{2}x\right) \\ & \cos (-x) = \cos x \\ & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b} \end{aligned}}$$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cdot \cos x} {2 \sin \left(\dfrac{1+3}{2}x\right) \cos \left(\dfrac{1-3}{2}x\right)}\ \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cdot \cancel{\cos x} } {2 \sin 2x \cancel{\cos x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \right) \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 31
Hitunglah $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x + \sin 4x}{5x -\tan 2x}$.

Penyelesaian

Bagilah pembilang dan penyebut dengan $x$ sehingga rumus limit fungsi trigonometri dapat diterapkan.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x + \sin 4x}{5x -\tan 2x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{3 + \dfrac{\sin 4x}{x}}{5 – \dfrac{2 \tan 2x}{2x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{3 + \dfrac{4 \sin 4x}{4x}}{5 – \dfrac{\tan 2x}{x}} \\ & = \dfrac{3 + 4 \cdot \displaystyle \lim_{4x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x}}{5 -2 \cdot \displaystyle \lim_{2x \to 0} \dfrac{\tan 2x}{2x}} \\ & = \dfrac{3+4}{5-2} = \dfrac{7}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x + \sin 4x}{5x -\tan 2x} = \dfrac{7}{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 32
Hitunglah $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{x -\dfrac{\pi}{2}}$.

Penyelesaian

Gunakan rumus trigonometri berikut.
$\boxed{\cos x = \sin \left(\dfrac{\pi}{2}- x\right)}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{x -\dfrac{\pi}{2}} & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2} -x\right)}{x -\dfrac{\pi}{2}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2} -x\right)}{-\left(\dfrac{\pi}{2} -x\right)} \\ & = -\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2} -x\right)}{\left(\dfrac{\pi}{2} -x\right)} = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{x- \dfrac{\pi}{2}} = -1}$

[collapse]

Soal Nomor 33
Tentukan nilai dari
$\displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{\sin^3 2a} {\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a\right)$

Penyelesaian

Ingat bahwa $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a} {b}}$. 
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{\sin^3 2a} {\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a\right) \\ & = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin 2a} {a} \left(\dfrac{\sin^2 2a} {\cos 2a} + \cos 2a\right) \\ & = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin 2a} {a} \cdot \lim_{a \to 0} \left(\dfrac{\sin^2 2a} {\cos 2a} + \cos 2a\right) \\ & = 2(0+1) = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{\sin^3 2a} {\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a\right) = 2}$

[collapse]

Soal Nomor 34
Tentukan nilai dari
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x \sin 3x} {5x}$

Penyelesaian

Dalam trigonometri, terdapat formula berikut (yang selanjutnya akan digunakan untuk mencari limit fungsinya). 
$$\boxed{\cos A \cdot \sin B = \dfrac{1}{2} \sin (A + B)-\dfrac{1}{2} \sin (A -B)}$$
Juga ingat teorema limit trigonometri berikut. 
$\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {bx} = \dfrac{a} {b}}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x \sin 3x} {5x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{2} \sin (4x+3x)- \frac{1}{2} \sin (4x-3x)} {5x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{2} \sin 7x -\frac{1}{2} \sin x}{5x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 7x -\sin x} {10x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 7x} {10x} -\dfrac{\sin x} {10x} \right) \\ & = \dfrac{7}{10} -\dfrac{1}{10} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 35
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \tan 2x} {x -x \cos 4x}$

Penyelesaian

Gunakan identitas trigonometri dan teorema limit trigonometri berikut.
$\boxed{\begin{aligned} \cos ax & = 1 -2 \sin^2 \dfrac{a}{2}x \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{ax}{\sin bx} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \tan 2x} {x -x \cos 4x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cancel{x} \cdot x \tan 2x} {\cancel{x} (1 -\cos 4x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \tan 2x} {1-(1-2 \sin^2 2x)} \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{x \tan 2x}{2 \sin^2 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \cdot \dfrac{\tan 2x} {\sin 2x} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{4} \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \tan 2x} {x -x \cos 4x}$ adalah $\dfrac{1}{4}$

[collapse]
 

Soal Nomor 36
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos 2x} {1-\tan x}$

Penyelesaian

Gunakan perbandingan dan identitas trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} \\ \cos 2x & = \cos^2 x – \sin^2 x \end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos 2x} {1-\tan x} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos^2 x – \sin^2 x}{\dfrac{\cos x -\sin x} {\cos x}} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{(\cos^2 x- \sin^2 x) \cos x} {\cos x -\sin x} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{(\cos x + \sin x) \cancel{(\cos x -\sin x)} \cos x} {\cancel{\cos x -\sin x}} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} (\cos x + \sin x) \cos x \\ & = (\cos 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) \cos 45^{\circ} \\ & = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos 2x} {1-\tan x}$ adalah $\boxed{1}$

[collapse]

Soal Nomor 37
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{x^3 -1} = \cdots$
A. $\frac{1}{3}$    B. $-\frac{1}{3}$    C. $1$    D. $-1$    E. $\frac{1}{2}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $x^3 – 1$ dapat difaktorkan menjadi $(x -1)(x^2 + x + 1)$ sehingga dengan menggunakan metode pemfaktoran dalam limit, didapat
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{x^3 -1} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{(x-1)(x^2+x+1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \left(-\dfrac{\tan (x-1)}{x-1} \cdot \dfrac{1}{x^2 + x + 1}\right) \\ & = -\dfrac{1}{1^2 + 1 + 1} = -\dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{x^3 -1} = -\dfrac{1}{3}}$
Catatan: Ingat bahwa $\boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 38
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sec 9x-\sec 7x}{\sec 5x-\sec 3x}$ adalah $\cdots$
A. $0$          B. $1$         C. $2$           D. $3$           E. $4$

Penyelesaian

Gunakan beberapa identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} \\ \cos x + \cos y & = 2 \cos \dfrac12(x+y) \cos \dfrac12(x-y) \end{aligned}}$$
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sec 9x-\sec 7x}{\sec 5x-\sec 3x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{\cos 9x} -\dfrac{1}{\cos 7x}}{\dfrac{1}{\cos 5x} -\dfrac{1}{\cos 3x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\cos 7x -\cos 9x}{\cos 9x \cos 7x}}{\dfrac{\cos 3x -\cos 5x}{\cos 3x \cos 5x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 7x – \cos 9x}{\cos 9x \cos 7x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{\cos 3x- \cos 5x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{-2 \sin \dfrac12(7x+9x) \sin \dfrac12(7x-9x)}{\cos 9x \cos 7x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{-2 \sin \dfrac12(3x+5x) \sin \dfrac12(3x-5x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{-2 \sin 8x \sin (-x)}{\cos 9x \cos 7x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{-2 \sin 4x \sin (-x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 8x}{\sin 4x} \times \dfrac{\sin x}{\sin x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{\cos 9x \cos 7x} \\ & = \dfrac{8}{4} \times 1 \times \dfrac{\cos 0 \cos 0}{\cos 0 \cos 0} \\ & = 2 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sec 9x-\sec 7x}{\sec 5x-\sec 3x} = 2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Tambahan

Soal Nomor 39 (UM Undip 2019 Saintek Kode 324)
Jika $|f(x) -2| \leq x +3$, maka nilai $\displaystyle \lim_{x \to -3} f(x) = \cdots \cdot$
A. $-2$           B. $0$           C. $1$            D. $2$           E. $3$

Penyelesaian

Diketahui bahwa $|f(x) – 2| \leq x +3$. Untuk $x = -3$, diperoleh
$|f(-3)-2| \leq -3+3 = 0$
Dari sini, diperoleh bahwa nilai $f(-3) = 2$
Dengan substitusi langsung limit, kita dapatkan
$\displaystyle \lim_{x \to -3} f(x) = f(-3) = 2$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 40
Jika $f(x) = \dfrac{x^2}{|x|} + 1$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) + \lim_{x \to 1} f(x) = \cdots \cdot$
A. $0$          B. $1$          C. $3$           D. $4$          E. $5$

Penyelesaian

Limit kiri untuk grafik fungsi $f$ saat mendekati 0 adalah
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} f(x) & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x^2}{(-x)} + 1\right) \\ & = \lim_{x \to 0} (-x + 1) = 1 \end{aligned}$
sedangkan limit kanannya adalah
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x^2}{x} + 1\right) \\ & = \lim_{x \to 0} (x + 1) = 1 \end{aligned}$
Karena nilai limitnya sama, maka 
$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 1$
Di lain hitungan,
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) & = \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{x^2}{|x|} + 1\right) \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1)= 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) + \lim_{x \to 1} f(x) = 1+2=3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 41
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi -2x) \cdot \tan 5x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac45$          B. $\dfrac35$         C. $\dfrac25$          D. $\dfrac12$         E. $\dfrac14$

Penyelesaian

Misalkan $u = x-\dfrac{\pi}{2}$, atau dengan kata lain $x = u + \dfrac{\pi}{2}$. Ketika $x$ mendekati $\dfrac{\pi}{2}$, maka $u$ mendekati $0$. Dengan demikian, bentuk limitnya dapat ditulis dan diselesaikan seperti berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{u \to 0} \left(\pi -2\left(u + \dfrac{\pi}{2}\right)\right) \tan 5\left(u+\dfrac{\pi}{2}\right) \\ & = -2 \lim_{u \to 0} u \tan \left(5u + \dfrac{\pi}{2}\right) && \left(\cdots \tan \dfrac{5\pi}{2} = \tan \dfrac{\pi}{2}\right) \\ & = -2 \lim_{u \to 0} u (-\cot 5u) && \left(\cdots \tan \left(u + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cot u\right) \\ & = 2 \lim_{u \to 0} \dfrac{u}{\tan 5u} \\ & = 2 \times \dfrac15 = \dfrac25 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi -2x) \cdot \tan 5x = \dfrac25}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri (Versi HOTS/Olimpiade)

CategoriesFungsi, Kalkulus Diferensial, Limit Fungsi, TrigonometriTags, , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *