Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Limit Fungsi Aljabar

      Berikut ini adalah contoh soal dan pembahasan super lengkap mengenai limit khusus fungsi aljabar. Untuk soal limit fungsi trigonometri, dipisahkan dalam postingan lain karena soalnya akan terlalu banyak bila ditumpuk menjadi satu. Penyajian rumus/simbol matematika di sini menggunakan LaTeX sehingga lebih smooth dari segi tampilan.

Baca: Soal dan Pembahasan- Limit Tak Hingga

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Trigonometri

Today Quote

Tak pernah buat status otw, tak pernah buat status jalan ke mana-mana, makan di restoran mana, mobilnya apa…. bukan berarti tak punya kehidupan, sebab tak semua hal perlu DIPAMERKAN, sebab kehidupan dunia tak perlu pengakuan, sebab ada hati yang perlu dijaga, dan sebab tak semua orang seberuntung kita.

Bagian Pilihan Ganda

Perhatikan grafik berikut untuk menjawab soal nomor 1 – 2.
Grafik fungsi f(x)

Soal Nomor 1
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \cdots \cdot$
A. $1$                   C. $3$                  E. $\text{tidak ada}$
B. $2$                   D. $5$

Pembahasan

Tampak pada grafik bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} = \lim_{x \to 1^+} = 2$. Dengan demikian, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x) = \cdots \cdot$
A. $0$                   C. $5$                E. $\text{tidak ada}$
B. $3$                   D. $8$

Pembahasan

Tampak pada grafik bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) = 5$, sedangkan $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)= 8$. Karena berbeda, maka ini berarti nilai $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$ tidak ada.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui $f(x) = \begin{cases} 2x+1, &~\text{untuk}~x < 3 \\ 3x,~&~\text{untuk}~x \geq 3 \end{cases}$
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)=\cdots \cdot$
A. $-2$                   C. $1$                     E. $3$
B. $-1$                   D. $2$

Pembahasan

Karena $x \to 1$, maka rumus fungsi $f(x)$ yang digunakan adalah $f(x) = 2x+1$.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) & = \lim_{x \to 1} (2x+1) \\ & = 2(1)+1 = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)=3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to -3} 2x + \lim_{x \to -2} (x^2-5)^3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-9$                  C. $-5$                  E. $-1$
B. $-7$                  D. $-3$

Pembahasan

Gunakan teknik substitusi secara langsung.
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to -3} 2x + \lim_{x \to -2} (x^2-5)^3 \\ & = 2(-3) + ((-2)^2-5)^3 \\ & = -6 + (4-5)^3 \\ & = -6+(-1)^3 = -6+(-1) = -7 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to -3} 2x + \lim_{x \to -2} (x^2-5)^3 = -7}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 4} \sqrt[3]{3x^2+7x-12} + \lim_{x \to 5} (\sqrt{3x^2-11}$ $-3x) = \cdots \cdot$
A. $-7$                   C. $-3$                   E. $4$
B. $-4$                   D. $3$

Pembahasan

Dengan langsung menggunakan teknik substitusi, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 4} \sqrt[3]{3x^2+7x-12} + \lim_{x \to 5} (\sqrt{3x^2-11}-3x) \\ & = \sqrt[3]{3(4)^2+7(4)-12} + (\sqrt{3(5)^2-11}-3(5)) \\ & = \sqrt[3]{48+28-12} + \sqrt{75-11}-15 \\ & = \sqrt[3]{64}+\sqrt{64}-15 \\ & = 4+8-15 = -3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{-3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to 5} f(x)=2$ dan $\displaystyle \lim_{x \to 5} g(x)=-1$. Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 5} (f^2(x)-g^2(x))=\cdots \cdot$
A. $-5$                  C. $2$                 E. $5$
B. $-3$                  D. $3$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 5} f(x) & =2 \\ \displaystyle \lim_{x \to 5} g(x) & =-1 \end{aligned}$
Dengan menggunakan sifat dasar limit, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 5} (f^2(x)-g^2(x)) & = \left[\lim_{x \to 5} f(x)\right]^2-\left[\lim_{x \to 5} g(x)\right]^2 \\ & = (2)^2-(-1)^2 \\ & = 4-1 = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 5} (f^2(x)-g^2(x))=3}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to 2} (2x^2-px+5) = -1$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-7$                    C. $-2$                  E. $7$
B. $-6$                    D. $2$

Pembahasan

Dengan langsung menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} (2x^2-px+5) & = -1 \\ 2(2)^2-p(2)+5 & = -1 \\ 8-2p+5 & = -1 \\ 13-2p & = -1 \\ 2p & = 13+1 \\ 2p & = 14 \\ p & = 7 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{p=7}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui fungsi $f(x)=3-4x$. Jika $\displaystyle \lim_{x \to p} f(x)=p-2$, maka nilai $p = \cdots \cdot$
A. $1$                   C. $-1$                  E. $2$
B. $\dfrac35$                 D. $-\dfrac53$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=3-4x$.
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to p} (3-4x) & = p-2 \\ 3-4(p) & = p-2 \\ 3+2 & = p+4p \\ 5 & = 5p \\ p & = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{p=1}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = m$. Jika $f(x)=2x$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x^2-1) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac12m^2-1$
B. $\dfrac12m^2-2$
C. $m^2-1$
D. $m^2-2$
E. $2m^2-1$

Pembahasan

Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = m$.
Karena $f(x)=2x$, maka kita tuliskan
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to a} 2x & = m \\ 2 \cdot \lim_{x \to a} x & = m \\ \lim_{x \to a} x & = \dfrac12m \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to a} f(x^2-1) & = \lim_{x \to a} 2(x^2-1) \\ & = \lim_{x \to a} (2x^2-2) \\ & = 2 \left[\lim_{x \to a} x\right]^2-\lim_{x \to a} 2 \\ & = 2 \cdot \left(\dfrac12m\right)^2-2 \\ & = \dfrac12m^2-2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to a} f(x^2-1) = \dfrac12m^2-2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan sesaat (instantaenous velocity) yang dirumuskan dengan $v(t) = t^2-t$ dengan $v(t)$ dalam meter dan $t$ dalam detik. Jika $t$ mendekati $5$ detik, maka kecepatan mobil tersebut adalah $\cdots$ m/detik.
A. $10$                  C. $15$                E. $25$
B. $12$                  D. $20$

Pembahasan

Secara matematis, kecepatan mobil saat $t$ mendekati detik ke-$5$ adalah $\displaystyle \lim_{x \to 5} v(t)$.
Diketahui $v(t)=t^2-t$.
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 5} (t^2-t) & = (5)^2-(5) \\ & = 25-5=20 \end{aligned}$
Jadi, kecepatan mobil akan mendekati $\boxed{20}$ m/detik.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Angka pertumbuhan penduduk setiap tahun dirumuskan dengan $p(t) = \sqrt{\dfrac12t^2-3t+5}$ dengan $p(t)$ dalam persen dan $t$ dalam tahun. Pertumbuhan penduduk mendekati tahun kelima $(t=5)$ adalah $\cdots\%$.
A. $0,75$                        D. $\sqrt{2,5}$
B. $\sqrt{1,5}$                       E. $\sqrt{2,75}$
C. $\sqrt2$

Pembahasan

Secara matematis, angka pertumbuhan penduduk saat $t$ mendekati tahun ke-$5$ adalah $\displaystyle \lim_{t \to 5} p(t)$.
Diketahui $p(t) = \sqrt{\dfrac12t^2-3t+5}$.
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{t \to 5} \sqrt{\dfrac12t^2-3t+5} & = \sqrt{\dfrac12(5)^2-3(5)+5} \\ & = \sqrt{\dfrac{25}{2}-10} \\ & = \sqrt{12,5-10} \\ & = \sqrt{2,5} \end{aligned}$
Jadi, angka pertumbuhan penduduk akan mendekati $\boxed{2,5\%}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                  C. $0$                  E. $2$
B. $-1$                  D. $1$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Limit tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan metode pemfaktoran sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)\cancel{(x-1)}} {\cancel{x-1}} \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1) \\ & = 1+1 = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1} = 2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac54$                C. $\dfrac23$                E. $\dfrac54$
B. $-\dfrac45$                D. $\dfrac45$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4} & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x+3)\cancel{(x-2)} }{(x+2)\cancel{(x-2)}} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{x+3}{x+2} \\ & = \dfrac{2+3}{2+2} = \dfrac{5}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari  $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4} = \dfrac{5}{4}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 14
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{3x^3-48x}{x^2-16} = \cdots \cdot$
A. $4$                     C. $16$               E. $48$
B. $12$                   D. $24$        

Pembahasan

Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{3x^3-48x}{x^2-16} & = \lim_{x \to 4} \dfrac{3x\cancel{(x^2-16)}} {\cancel{x^2-16}} \\ & = \lim_{x \to 4} 3x = 3(4) = 12 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{3x^3-48x}{x^2-16} = 12}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^2-4}\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac14$                 C. $0$                     E. $\dfrac12$
B. $-\dfrac12$                 D. $\dfrac14$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^2-4}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{8}{(x+2)(x-2)}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2x-4}{(x-2)(x+2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2\cancel{(x-2)}} {\cancel{(x-2)}(x+2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2}{x+2} \\ & = \dfrac{2}{2+2} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^2-4}\right) = \dfrac{1}{2}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{x^2-x-2}-\dfrac{2}{x-2}\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                    C. $-\dfrac{1}{3}$                    E. $\dfrac{2}{3}$
B. $-\dfrac{2}{3}$                  D. $\dfrac{1}{3}$    

Pembahasan

Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{x^2-x-2}-\dfrac{2}{x-2}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{(x-2)(x+1)}-\dfrac{2(x+1)}{(x-2)(x+1)}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-2x+4}{(x-2)(x+1)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-2\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)} (x+1)} \\ & = \lim_{x \to 2}\dfrac{-2}{x+1} \\ & = \dfrac{-2}{2+1} =-\dfrac{2}{3} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{x^2-x-2}- \dfrac{2}{x-2}\right) =-\dfrac{2}{3}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 27} \dfrac{x-27}{x^{\frac{1}{3}}-3} = \cdots \cdot$
A. $27$                   C. $9$                  E. $1$
B. $18$                   D. $3$       

Pembahasan

Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu
Perhatikan bahwa bentuk $x-27$ dapat ditulis dalam bentuk pemfaktoran:
$x-27 = (x^{\frac{1}{3}}-3)(x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9)$
menggunakan pemfaktoran: $a^3-b^3=(a-b)-3a^2b-3ab^2$
Dengan demikian, limitnya dapat ditulis

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 27} \dfrac{x-27}{x^{\frac{1}{3}}-3} \\ & = \lim_{x \to 27} \dfrac{\cancel{(x^{\frac{1}{3}}- 3)} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9) }{\cancel{x^{\frac{1}{3}}-3}} \\ & = \lim_{x \to 27} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9) \\ & = 27^{\frac{2}{3}} + 3(27)^{\frac{1}{3}} + 9 \\ & = 9 + 3(3) + 9 = 27 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 27} \dfrac{x-27}{x^{\frac{1}{3}}- 3} = 27}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 18
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-30$                    C. $10$                   E. $50$
B. $-10$                    D. $30$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \times \dfrac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}} \right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5x(3+\sqrt{9+x})} {9-(9+x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5\cancel{x}(3+\sqrt{9+x})} {-\cancel{x}} \\ & = \lim_{x \to 0}-5(3+\sqrt{9+x}) \\ & =-5(3 + \sqrt{9+0}) \\ & =-5(3 + 3) =-30 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}}$ adalah $\boxed{-30}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac12$                 C. $0$                     E. $\dfrac12$
B. $-\dfrac14$                 D. $\dfrac14$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x=3$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} \\ & = \lim_{x \to 3} \left(\dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} \times \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{2+\sqrt{x+1}} \right) \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{4-(x+1)} {(x-3)(2+\sqrt{x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\cancel{-x+3}} {-\cancel{(-x+3)}(2+\sqrt{x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{1}{-2- \sqrt{x+1}} \\ & = \dfrac{1}{-2- \sqrt{3+1}} \\ & =-\dfrac{1}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3}$ adalah $\boxed{-\dfrac{1}{4}}$
(Jawaban B)

[collapse]
 

Soal Nomor 20
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                     C. $6$                  E. $10$
B. $4$                     D. $8$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}} \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}} \times \dfrac{3+\sqrt{x^2+5}}{3+\sqrt{x^2+5}} \right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(4-x^2)(3+\sqrt{x^2+5})} {9-(x^2+5)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{\cancel{(4-x^2)} (3+\sqrt{x^2+5})} {\cancel{4-x^2}} \\ & = \lim_{x \to 2} (3+\sqrt{x^2+5}) \\ & = 3 + \sqrt{2^2+5} \\ & = 3 + 3 = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}}$ adalah $\boxed{6}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $4$                  E. $10$
B. $2$                     D. $8$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} & = \lim_{x \to 4} \left( \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} \times \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x} +2}\right) \\ & = \lim_{x \to 4} \dfrac{\cancel{(x-4)} (\sqrt{x}+2)} {\cancel{x-4}} \\ & = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x} +2) \\ & = \sqrt{4} + 2 = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} = 4}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2\sqrt2$                  C. $0$                      E. $2\sqrt2$
B. $-\sqrt2$                    D. $\sqrt2$

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} & = \lim_{x \to \sqrt{2}} \left( \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} \times \dfrac{x+\sqrt{2}} {x+\sqrt{2}}\right) \\ & = \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{\cancel{(x^2-2)} (x+\sqrt{2})} {\cancel{x^2-2}} \\ & = \lim_{x \to \sqrt{2}} (x+\sqrt{2}) \\ & = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 23 (UM Undip 2019 Saintek Kode 324)
Jika $|f(x)-2| \leq x +3$, maka nilai $\displaystyle \lim_{x \to-3} f(x) = \cdots \cdot$
A. $-2$                    C. $1$                    E. $3$
B. $0$                       D. $2$           

Pembahasan

Diketahui bahwa $|f(x)- 2| \leq x +3$. Untuk $x =-3$, diperoleh
$|f(-3)-2| \leq-3+3 = 0$
Dari sini, diperoleh bahwa nilai $f(-3) = 2$
Dengan substitusi langsung limit, kita dapatkan
$\displaystyle \lim_{x \to-3} f(x) = f(-3) = 2$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 24
Jika $f(x) = \dfrac{x^2}{|x|} + 1$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) + \lim_{x \to 1} f(x) = \cdots \cdot$
A. $0$                     C. $3$                      E. $5$
B
. $1$                     D. $4$        

Pembahasan

Limit kiri untuk grafik fungsi $f$ saat mendekati 0 adalah
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} f(x) & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x^2}{(-x)} + 1\right) \\ & = \lim_{x \to 0} (-x + 1) = 1 \end{aligned}$
sedangkan limit kanannya adalah
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x^2}{x} + 1\right) \\ & = \lim_{x \to 0} (x + 1) = 1 \end{aligned}$
Karena nilai limitnya sama, maka 
$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 1$
Di lain hitungan,
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) & = \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{x^2}{|x|} + 1\right) \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1)= 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) + \lim_{x \to 1} f(x) = 1+2=3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Perhatikan grafik fungsi $f(x)$ berikut.
Grafik fungsi f(x)


Tentukan nilai:
a. $f(-2)$;
b. $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x)$;
c. $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$.

Pembahasan

Jawaban a)
Dari grafik di atas, tampak bahwa fungsi tidak memiliki nilai saat $x = -2$ (ditandai dengan noktah/titik putih). Ini artinya, $f(-2)$ tidak terdefinisi (tidak ada).
Jawaban b)
Dari grafik terlihat bahwa $\displaystyle \lim_{x \to -2^-} f(x) = 3$ (limit kiri), begitu juga $\displaystyle \lim_{x \to -2^+} f(x) = 3$ (limit kanan). Karena limit kiri-kanannya sama, maka ini artinya $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x) = 3$.
Jawaban c)
Dari grafik terlihat bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$ (limit kiri), tetapi $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x) = 6$ (limit kanan). Karena limit kiri-kanannya berbeda, maka ini artinya $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x)$ tidak ada.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai limit berikut.

  1. $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$ dengan $f(x)=\begin{cases} -x, &~\text{jika}~x < 0 \\ 3x,&~\text{jika}~x > 0 \end{cases}$.
  2. $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$ dengan $f(x)=\begin{cases} 2x-1, &~\text{jika}~x < 2 \\ -x+6,&~\text{jika}~x > 2 \end{cases}$.

Pembahasan

Untuk mencari nilai $\displaystyle \lim_{x \to k} f(x)$ untuk suatu $k$ anggota bilangan real, kita akan mencari nilai limit kiri dan kanannya. Jika nilainya berbeda, kita simpulkan bahwa limitnya tidak ada.
Jawaban a)
Diketahui
$f(x)=\begin{cases} -x, &~\text{jika}~x < 0 \\ 3x,&~\text{jika}~x > 0 \end{cases}$.
Limit untuk $x$ mendekati $0$ dari kiri (gunakan kurang dari $0$) adalah
$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} -x = 0$
Limit untuk $x$ mendekati $0$ dari kanan (gunakan lebih dari $0$) adalah
$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 3x = 3(0) = 0$
Karena sama, maka kita simpulkan bahwa $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0}$
Jawaban b)
Diketahui
$f(x)=\begin{cases} 2x-1, &~\text{jika}~x < 2 \\ -x+6,&~\text{jika}~x > 2 \end{cases}$.
Limit untuk $x$ mendekati $2$ dari kiri (gunakan kurang dari $2$) adalah
$\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (2x-1) = 2(2)-1 = 3$
Limit untuk $x$ mendekati $2$ dari kanan (gunakan lebih dari $2$) adalah
$\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (-x+6) = -(2) + 6 = 4$
Karena berbeda, maka kita simpulkan bahwa $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = \text{tidak ada}}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Carilah nilai dari limit berikut. 
a. $\displaystyle \lim_{x \to 3} 9$
b. $\displaystyle \lim_{x \to-2} 2x$
c. $\displaystyle \lim_{x \to 3} (2x^2+7x +8)$
d. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x + 2}{x + 3}$

Pembahasan

Semua bentuk limit tersebut dapat dicari dengan hanya mensubstitusikan langsung titik limitnya. 
Jawaban a) 
$\displaystyle \lim_{x \to 3} 9 = 9$
Jawaban b) 
$\displaystyle \lim_{x \to-2} 2x = 2(-2) =-4$
Jawaban c) 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} (2x^2+7x+8) & = 2(3)^2 + 7(3) + 8 \\ & = 18 + 21+8 = 47 \end{aligned}$
Jawaban d) 
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x+2}{x+3} = \dfrac{0+2}{0+3} = \dfrac{2}{3}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L$ dan $\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = K$ dengan $L, K, c$ bilangan real, maka tentukan:
a. $\displaystyle \lim_{x \to c} \dfrac{f(x)+2}{f(x)-2}$
b. $\displaystyle \lim_{x \to c} \dfrac{f^2(x)-L^2}{f^2(x)+L^2}$
c. $\displaystyle \lim_{x \to c} \left(\dfrac{f(x)-g(x)}{f(x)+g(x)}\right)^2$

Pembahasan

Jawaban a)
Dengan menggunakan sifat limit dasar, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to c} \dfrac{f(x)+2}{f(x)-2} & = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} (f(x)+2)}{\displaystyle \lim_{x \to c} (f(x)-2)} \\ & = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} 2}{\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)-\lim_{x \to c} 2} \\ & = \dfrac{L+2}{L-2} \end{aligned}$
Jawaban b)
Dengan menggunakan sifat limit dasar, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to c} \dfrac{f^2(x)-L^2}{f^2(x)+L^2} & = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} (f^2(x)-L^2)}{\displaystyle \lim_{x \to c} (f^2(x)+L^2)} \\ & = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} f^2(x)-\lim_{x \to c} L^2}{\displaystyle \lim_{x \to c} f^2(x)+\lim_{x \to c} L^2} \\ & = \dfrac{\displaystyle \left(\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)\right)^2-L^2}{\left(\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)\right)^2+L^2} \\ & = \dfrac{L^2-L^2}{L^2+L^2} = 0 \end{aligned}$
dengan catatan bahwa $L \neq 0$.
Jawaban c)

Dengan menggunakan sifat limit dasar, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to c} \left(\dfrac{f(x)-g(x)}{f(x)+g(x)}\right)^2 & = \left(\dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} (f(x)-g(x))}{\displaystyle \lim_{x \to c} (f(x)+g(x))}\right)^2 \\ & = \left(\dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)-\lim_{x \to c} g(x)}{\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)+\lim_{x \to c} g(x)}\right)^2 \\ & = \left(\dfrac{L-K}{L+K}\right)^2 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan nilai limit berikut.
a. $\displaystyle \lim_{x \to 9} \dfrac{9-x}{\sqrt{x}-3}$
b. $\displaystyle \lim_{x \to-2} \dfrac{2-\sqrt{2-x}}{6+x-x^2}$

Pembahasan

Jawaban a)
Substitusi langsung nilai $x = 9$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 9} \dfrac{9-x}{\sqrt{x}-3} \\ & = \lim_{x \to 9} \dfrac{9-x}{\sqrt{x}-3} \times \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \\ & = \lim_{x \to 9} \dfrac{-\cancel{(x-9)}(\sqrt{x} + 3)}{\cancel{x- 9}} \\ & = \lim_{x \to 9}-(\sqrt{x} + 3) \\ & =-(\sqrt{9} + 3) =-6 \end{aligned}$
Jawaban b)
Substitusi langsung nilai $x =-2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan metode perkalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to-2} \dfrac{2-\sqrt{2-x}}{6+x-x^2} & = \lim_{x \to-2} \dfrac{2-\sqrt{2-x}}{6+x-x^2} \times \dfrac{2 + \sqrt{2-x}}{2 + \sqrt{2-x}} \\ & = \lim_{x \to-2} \dfrac{4-(2-x)}{-(x-3)(x+2)(2 + \sqrt{2-x})} \\ & = \lim_{x \to-2} \dfrac{\cancel{x+2}}{-(x-3)\cancel{(x+2)}(2+\sqrt{2-x})} \\ & = \lim_{x \to-2} \dfrac{1}{-(x-3)(2+\sqrt{2-x})} \\ & = \dfrac{1}{-(-2-3)(2+\sqrt{2-(-2)})} \\ & = \dfrac{1}{-(-5)(4)} =-\dfrac{1}{20} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan nilai $c$ yang memenuhi persamaan berikut.
a. $\displaystyle \lim_{x \to-1} (5x^7- 10x^2 + cx-2) = c-4$
b. $\displaystyle \lim_{x \to-3} \dfrac{cx^2 + 5x-3}{x+3} =-7$

Pembahasan

Jawaban a)
Substitusi langsung $x =-1$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} 5(-1)^7-10(-1)^2 +c(-1)- 2 & = c-4 \\-5-10-c-2 & = c-4 \\-17-c & = c-4 \\ -2c & = 13 \\ c & =-\dfrac{13}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai $c$ adalah $\boxed{-\dfrac{13}{2}}$
Jawaban b)
Substitusi langsung $x =-3$ pada fungsi menghasilkan penyebut bernilai $0$, padahal limitnya ada, yaitu $-7$. Ini berarti, hasil substitusi juga harus menghasilkan pembilang $0$. Dengan kata lain, substitusi langsung $x =-3$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$ agar limitnya ada. Kita tuliskan,
$\dfrac{c(-3)^2 + 5(-3)-3}{-3 + 3} = \dfrac{9c-18}{0} = \dfrac{0}{0}$.
Persamaan di atas menghasilkan $9c-18 = 0 \iff c=2$.
Jadi, diperoleh $\boxed{c = 2}$.

[collapse]

Join yuk: Telegram- Komunitas dan Aliansi Matematika Indonesia

Soal Nomor 7
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x}$.

Pembahasan

Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} \\ & = \lim_{x \to 1} \left( \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} \times \dfrac{\sqrt{5-x} +2}{\sqrt{5-x} +2}\right) \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(5-x-4)(\sqrt{2-x} +1)} {(1-x)(\sqrt{5-x} +2)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\cancel{(1-x)} (\sqrt{2-x} +1)} {\cancel{(1-x)} (\sqrt{5-x} +2)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x} +1} {\sqrt{5-x} +2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2-1} + 1}{\sqrt{5-1} +2} \\ & = \dfrac{1+1}{2+2} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} = \dfrac{1}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Apakah fungsi $f$ berikut kontinu di $x = 1$? 
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, x \neq 1 \\ 2, x = 1 \end{cases}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $f(x)$ berbentuk fungsi parsial (piecewise function) yang rumus fungsinya tergantung dari nilai $x$. 
Diketahui: $f(1) = 2$. 
Agar kontinu, $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}$ juga harus bernilai $2$.
Limit tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)\cancel{(x-1)} } {\cancel{x-1}} \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1) \\ & = 1+1 = 2 \end{aligned}$
Karena $f(1) = \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}$, maka fungsi tersebut kontinu di $x = 1$. 

[collapse]

Soal Nomor 9
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 4^+} \dfrac{x} {x-4}$.

Pembahasan

Substitusi langsung $x = 4$ menghasilkan bentuk tak terdefinisi $\dfrac{4}{0}$, sehingga limitnya tidak bernilai real. 
Karena nilai limitnya ditinjau hanya dari limit kanan (notasi $+$ menyatakan limit kanan), maka kita dapat menggunakan pendekatan tabel untuk menganalisis nilai limitnya. 
$\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline x & 7 & 6 & 5 \\ \hline f(x) & \dfrac{7}{3} & 3 & 5 \\ \hline \end{array}$
Tampak bahwa ketika $x$ semakin mengecil mendekati $4$, nilai fungsinya semakin membesar menuju tak hingga
Selain menggunakan pendekatan tabel, nilai limitnya juga dapat ditentukan dengan menggunakan pendekatan geometris, yaitu dengan cara menggambar grafiknya seperti berikut.

Dengan demikian, dapat dipastikan bahwa $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4^+} \dfrac{x} {x-4} = \infty}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri (Versi HOTS/Olimpiade)

CategoriesLimit Fungsi, Fungsi, Kalkulus Diferensial, TrigonometriTags, , , , , , ,

10 Replies to “Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Limit Fungsi Aljabar”

    1. Coba ya,
      $\begin{aligned} -(x-3)(x+2) & = -(x^2+2x-3x-6) \\ & = -(x^2-x-6) \\ & = 6+x-x^2 \end{aligned}$
      Sepertinya pemfaktorannya sudah benar, kak.

      1. Astaga iya sama aja, ok kak mungkin aku ngantuk kurang fokus 😁, tapi kalo yg no. 14 bagian . giamana kak, kok = -7 bukannya sama dengan 0

        1. Kita tak perlu lihat berapa nilai limitnya. Tidak ada pengaruh. Yang penting, limitnya ada atau tidak ada. Kalau ada (berupa bilangan real), berarti harusnya hasil substitusi menghasilkan bentuk tak tentu

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *