Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Limit Fungsi Aljabar

Semua bentuk limit tersebut dapat dicari dengan hanya mensubstitusikan langsung titik limitnya. 
Jawaban a) 
$\displaystyle \lim_{x \to 3} 9 = 9$
Jawaban b) 
$\displaystyle \lim_{x \to-2} 2x = 2(-2) =-4$
Jawaban c) 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} (2x^2+7x+8) & = 2(3)^2 + 7(3) + 8 \\ & = 18 + 21+8 = 47 \end{aligned}$
Jawaban d) 
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x+2}{x+3} = \dfrac{0+2}{0+3} = \dfrac{2}{3}$

Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Limit tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan metode pemfaktoran sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)\cancel{(x-1)}} {\cancel{x-1}} \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1) \\ & = 1+1 = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1} = 2}$

Substitusi langsung nilai $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4} & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x+3)\cancel{(x-2)} }{(x+2)\cancel{(x-2)}} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{x+3}{x+2} \\ & = \dfrac{2+3}{2+2} = \dfrac{5}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari  $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4} = \dfrac{5}{4}}$

Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu. 
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{3x^3-48x}{x^2-16} & = \lim_{x \to 4} \dfrac{3x\cancel{(x^2-16)}} {\cancel{x^2-16}} \\ & = \lim_{x \to 4} 3x = 3(4) = 12 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{3x^3-48x}{x^2-16} = 12}$
(Jawaban B)

Substitusi langsung nilai $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^2-4}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{8}{(x+2)(x-2)}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2x-4}{(x-2)(x+2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2\cancel{(x-2)}} {\cancel{(x-2)}(x+2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2}{x+2} \\ & = \dfrac{2}{2+2} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^2-4}\right) = \dfrac{1}{2}}$

Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu. 
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{x^2-x-2}-\dfrac{2}{x-2}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{(x-2)(x+1)}-\dfrac{2(x+1)}{(x-2)(x+1)}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-2x+4}{(x-2)(x+1)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-2\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)} (x+1)} \\ & = \lim_{x \to 2}\dfrac{-2}{x+1} \\ & = \dfrac{-2}{2+1} =-\dfrac{2}{3} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{x^2-x-2}- \dfrac{2}{x-2}\right) =-\dfrac{2}{3}}$
(Jawaban B)

Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu. 
Perhatikan bahwa bentuk $x-27$ dapat ditulis dalam bentuk pemfaktoran:
$x-27 = (x^{\frac{1}{3}}-3)(x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9)$
menggunakan pemfaktoran: $a^3-b^3=(a-b)-3a^2b-3ab^2$
Dengan demikian, limitnya dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 27} \dfrac{x-27}{x^{\frac{1}{3}}-3} \\ & = \lim_{x \to 27} \dfrac{\cancel{(x^{\frac{1}{3}}- 3)} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9) }{\cancel{x^{\frac{1}{3}}-3}} \\ & = \lim_{x \to 27} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9) \\ & = 27^{\frac{2}{3}} + 3(27)^{\frac{1}{3}} + 9 \\ & = 9 + 3(3) + 9 = 27 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 27} \dfrac{x-27}{x^{\frac{1}{3}}- 3} = 27}$
(Jawaban A) 

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \times \dfrac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}} \right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5x(3+\sqrt{9+x})} {9-(9+x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5\cancel{x}(3+\sqrt{9+x})} {-\cancel{x}} \\ & = \lim_{x \to 0}-5(3+\sqrt{9+x}) \\ & =-5(3 + \sqrt{9+0}) \\ & =-5(3 + 3) =-30 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}}$ adalah $\boxed{-30}$.

Substitusi langsung nilai $x=3$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} \\ & = \lim_{x \to 3} \left(\dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} \times \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{2+\sqrt{x+1}} \right) \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{4-(x+1)} {(x-3)(2+\sqrt{x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\cancel{-x+3}} {-\cancel{(-x+3)}(2+\sqrt{x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{1}{-2- \sqrt{x+1}} \\ & = \dfrac{1}{-2- \sqrt{3+1}} \\ & =-\dfrac{1}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3}$ adalah $-\dfrac{1}{4}$

Substitusi langsung nilai $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}} \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}} \times \dfrac{3+\sqrt{x^2+5}}{3+\sqrt{x^2+5}} \right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(4-x^2)(3+\sqrt{x^2+5})} {9-(x^2+5)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{\cancel{(4-x^2)} (3+\sqrt{x^2+5})} {\cancel{4-x^2}} \\ & = \lim_{x \to 2} (3+\sqrt{x^2+5}) \\ & = 3 + \sqrt{2^2+5} \\ & = 3 + 3 = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}}$ adalah $\boxed{6}$.

Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} & = \lim_{x \to 4} \left( \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} \times \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x} +2}\right) \\ & = \lim_{x \to 4} \dfrac{\cancel{(x-4)} (\sqrt{x}+2)} {\cancel{x-4}} \\ & = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x} +2) \\ & = \sqrt{4} + 2 = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} = 4}$

Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} & = \lim_{x \to \sqrt{2}} \left( \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} \times \dfrac{x+\sqrt{2}} {x+\sqrt{2}}\right) \\ & = \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{\cancel{(x^2-2)} (x+\sqrt{2})} {\cancel{x^2-2}} \\ & = \lim_{x \to \sqrt{2}} (x+\sqrt{2}) \\ & = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}}$

Jawaban a)
Substitusi langsung nilai $x = 9$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 9} \dfrac{9-x}{\sqrt{x}-3} \\ & = \lim_{x \to 9} \dfrac{9-x}{\sqrt{x}-3} \times \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \\ & = \lim_{x \to 9} \dfrac{-\cancel{(x-9)}(\sqrt{x} + 3)}{\cancel{x- 9}} \\ & = \lim_{x \to 9}-(\sqrt{x} + 3) \\ & =-(\sqrt{9} + 3) =-6 \end{aligned}$
Jawaban b)
Substitusi langsung nilai $x =-2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan metode perkalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to-2} \dfrac{2-\sqrt{2-x}}{6+x-x^2} & = \lim_{x \to-2} \dfrac{2-\sqrt{2-x}}{6+x-x^2} \times \dfrac{2 + \sqrt{2-x}}{2 + \sqrt{2-x}} \\ & = \lim_{x \to-2} \dfrac{4-(2-x)}{-(x-3)(x+2)(2 + \sqrt{2-x})} \\ & = \lim_{x \to-2} \dfrac{\cancel{x+2}}{-(x-3)\cancel{(x+2)}(2+\sqrt{2-x})} \\ & = \lim_{x \to-2} \dfrac{1}{-(x-3)(2+\sqrt{2-x})} \\ & = \dfrac{1}{-(-2-3)(2+\sqrt{2-(-2)})} \\ & = \dfrac{1}{-(-5)(4)} =-\dfrac{1}{20} \end{aligned}$$

Jawaban a)
Substitusi langsung $x =-1$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} 5(-1)^7-10(-1)^2 +c(-1)- 2 & = c-4 \\-5-10-c-2 & = c-4 \\-17-c & = c-4 \\ -2c & = 13 \\ c & =-\dfrac{13}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai $c$ adalah $\boxed{-\dfrac{13}{2}}$
Jawaban b)
Substitusi langsung $x =-3$ pada fungsi menghasilkan penyebut bernilai $0$, padahal limitnya ada, yaitu $-7$. Ini berarti, hasil substitusi juga harus menghasilkan pembilang $0$. Dengan kata lain, substitusi langsung $x =-3$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$ agar limitnya ada. Kita tuliskan,
$\dfrac{c(-3)^2 + 5(-3)-3}{-3 + 3} = \dfrac{9c-18}{0} = \dfrac{0}{0}$.
Persamaan di atas menghasilkan $9c-18 = 0 \iff c=2$.
Jadi, diperoleh $\boxed{c = 2}$.

Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} \\ & = \lim_{x \to 1} \left( \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} \times \dfrac{\sqrt{5-x} +2}{\sqrt{5-x} +2}\right) \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(5-x-4)(\sqrt{2-x} +1)} {(1-x)(\sqrt{5-x} +2)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\cancel{(1-x)} (\sqrt{2-x} +1)} {\cancel{(1-x)} (\sqrt{5-x} +2)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x} +1} {\sqrt{5-x} +2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2-1} + 1}{\sqrt{5-1} +2} \\ & = \dfrac{1+1}{2+2} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} = \dfrac{1}{2}}$

Perhatikan bahwa $f(x)$ berbentuk fungsi parsial (piecewise function) yang rumus fungsinya tergantung dari nilai $x$. 
Diketahui: $f(1) = 2$. 
Agar kontinu, $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}$ juga harus bernilai $2$.
Limit tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran. 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)\cancel{(x-1)} } {\cancel{x-1}} \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1) \\ & = 1+1 = 2 \end{aligned}$
Karena $f(1) = \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}$, maka fungsi tersebut kontinu di $x = 1$. 

Substitusi langsung $x = 4$ menghasilkan bentuk tak terdefinisi $\dfrac{4}{0}$, sehingga limitnya tidak bernilai real. 
Karena nilai limitnya ditinjau hanya dari limit kanan (notasi $+$ menyatakan limit kanan), maka kita dapat menggunakan pendekatan tabel untuk menganalisis nilai limitnya. 
$\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline x & 7 & 6 & 5 \\ \hline f(x) & \dfrac{7}{3} & 3 & 5 \\ \hline \end{array}$
Tampak bahwa ketika $x$ semakin mengecil mendekati $4$, nilai fungsinya semakin membesar menuju tak hingga. 
Selain menggunakan pendekatan tabel, nilai limitnya juga dapat ditentukan dengan menggunakan pendekatan geometris, yaitu dengan cara menggambar grafiknya seperti berikut.

Dengan demikian, dapat dipastikan bahwa $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4^+} \dfrac{x} {x-4} = \infty}$

Diketahui bahwa $|f(x)- 2| \leq x +3$. Untuk $x =-3$, diperoleh
$|f(-3)-2| \leq-3+3 = 0$
Dari sini, diperoleh bahwa nilai $f(-3) = 2$
Dengan substitusi langsung limit, kita dapatkan
$\displaystyle \lim_{x \to-3} f(x) = f(-3) = 2$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D)

Limit kiri untuk grafik fungsi $f$ saat mendekati 0 adalah
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} f(x) & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x^2}{(-x)} + 1\right) \\ & = \lim_{x \to 0} (-x + 1) = 1 \end{aligned}$
sedangkan limit kanannya adalah
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x^2}{x} + 1\right) \\ & = \lim_{x \to 0} (x + 1) = 1 \end{aligned}$
Karena nilai limitnya sama, maka 
$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 1$
Di lain hitungan,
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) & = \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{x^2}{|x|} + 1\right) \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1)= 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) + \lim_{x \to 1} f(x) = 1+2=3}$
(Jawaban C)