Berikut ini adalah contoh soal dan pembahasan super lengkap mengenai limit khusus fungsi aljabar. Untuk soal limit fungsi trigonometri, dipisahkan pada pos lain karena soalnya akan terlalu banyak bila ditumpuk menjadi satu. Penyajian rumus/simbol matematika di sini menggunakan LaTeX sehingga lebih smooth dari segi tampilan. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF, 257 KB).
Baca: Soal dan Pembahasan- Limit Tak Hingga
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Trigonometri
Today Quote
Bagian Pilihan Ganda
Perhatikan grafik berikut untuk menjawab soal nomor 1 – 2.
Soal Nomor 1
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \cdots \cdot$
A. $1$ C. $3$ E. $\text{tidak ada}$
B. $2$ D. $5$
Tampak pada grafik bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2$. Dengan demikian, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 2}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 2
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x) = \cdots \cdot$
A. $0$ C. $5$ E. $\text{tidak ada}$
B. $3$ D. $8$
Tampak pada grafik bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) = 5$, sedangkan $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)= 8$. Karena berbeda, maka ini berarti nilai $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$ tidak ada.
(Jawaban E)
Soal Nomor 3
Diketahui $f(x) = \begin{cases} 2x+1, &~\text{untuk}~x < 3 \\ 3x,~&~\text{untuk}~x \geq 3 \end{cases}$
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)=\cdots \cdot$
A. $-2$ C. $1$ E. $3$
B. $-1$ D. $2$
Karena $x \to 1$, maka rumus fungsi $f(x)$ yang digunakan adalah $f(x) = 2x+1$.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) & = \lim_{x \to 1} (2x+1) \\ & = 2(1)+1 = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)=3}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 4
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to -3} 2x + \lim_{x \to -2} (x^2-5)^3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-9$ C. $-5$ E. $-1$
B. $-7$ D. $-3$
Gunakan teknik substitusi secara langsung.
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to -3} 2x + \lim_{x \to -2} (x^2-5)^3 \\ & = 2(-3) + ((-2)^2-5)^3 \\ & = -6 + (4-5)^3 \\ & = -6+(-1)^3 = -6+(-1) = -7 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to -3} 2x + \lim_{x \to -2} (x^2-5)^3 = -7}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 5
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 4} \sqrt[3]{3x^2+7x-12} + \lim_{x \to 5} (\sqrt{3x^2-11}$ $-3x) = \cdots \cdot$
A. $-7$ C. $-3$ E. $4$
B. $-4$ D. $3$
Dengan langsung menggunakan teknik substitusi, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 4} \sqrt[3]{3x^2+7x-12} + \lim_{x \to 5} (\sqrt{3x^2-11}-3x) \\ & = \sqrt[3]{3(4)^2+7(4)-12} + (\sqrt{3(5)^2-11}-3(5)) \\ & = \sqrt[3]{48+28-12} + \sqrt{75-11}-15 \\ & = \sqrt[3]{64}+\sqrt{64}-15 \\ & = 4+8-15 = -3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{-3}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 6
Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to 5} f(x)=2$ dan $\displaystyle \lim_{x \to 5} g(x)=-1$. Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 5} (f^2(x)-g^2(x))=\cdots \cdot$
A. $-5$ C. $2$ E. $5$
B. $-3$ D. $3$
Diketahui:
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 5} f(x) & =2 \\ \displaystyle \lim_{x \to 5} g(x) & =-1 \end{aligned}$
Dengan menggunakan sifat dasar limit, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 5} (f^2(x)-g^2(x)) & = \left[\lim_{x \to 5} f(x)\right]^2-\left[\lim_{x \to 5} g(x)\right]^2 \\ & = (2)^2-(-1)^2 \\ & = 4-1 = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 5} (f^2(x)-g^2(x))=3}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 7
Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to 2} (2x^2-px+5) = -1$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-7$ C. $-2$ E. $7$
B. $-6$ D. $2$
Dengan langsung menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} (2x^2-px+5) & = -1 \\ 2(2)^2-p(2)+5 & = -1 \\ 8-2p+5 & = -1 \\ 13-2p & = -1 \\ 2p & = 13+1 \\ 2p & = 14 \\ p & = 7 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{p=7}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 8
Diketahui fungsi $f(x)=3-4x$. Jika $\displaystyle \lim_{x \to p} f(x)=p-2$, maka nilai $p = \cdots \cdot$
A. $1$ C. $-1$ E. $2$
B. $\dfrac35$ D. $-\dfrac53$
Diketahui $f(x)=3-4x$.
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to p} (3-4x) & = p-2 \\ 3-4(p) & = p-2 \\ 3+2 & = p+4p \\ 5 & = 5p \\ p & = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{p=1}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 9
Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = m$. Jika $f(x)=2x,$ maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x^2-1) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac12m^2-1$
B. $\dfrac12m^2-2$
C. $m^2-1$
D. $m^2-2$
E. $2m^2-1$
Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = m$.
Karena $f(x)=2x$, maka kita tuliskan
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to a} 2x & = m \\ 2 \cdot \lim_{x \to a} x & = m \\ \lim_{x \to a} x & = \dfrac12m \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to a} f(x^2-1) & = \lim_{x \to a} 2(x^2-1) \\ & = \lim_{x \to a} (2x^2-2) \\ & = 2 \left[\lim_{x \to a} x\right]^2-\lim_{x \to a} 2 \\ & = 2 \cdot \left(\dfrac12m\right)^2-2 \\ & = \dfrac12m^2-2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to a} f(x^2-1) = \dfrac12m^2-2}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 10
Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan sesaat (instantaenous velocity) yang dirumuskan dengan $v(t) = t^2-t$ dengan $v(t)$ dalam meter dan $t$ dalam detik. Jika $t$ mendekati $5$ detik, maka kecepatan mobil tersebut adalah $\cdots$ m/detik.
A. $10$ C. $15$ E. $25$
B. $12$ D. $20$
Secara matematis, kecepatan mobil saat $t$ mendekati detik ke-$5$ adalah $\displaystyle \lim_{x \to 5} v(t)$.
Diketahui $v(t)=t^2-t$.
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 5} (t^2-t) & = (5)^2-(5) \\ & = 25-5=20 \end{aligned}$
Jadi, kecepatan mobil akan mendekati $\boxed{20}$ m/detik.
(Jawaban D)
Soal Nomor 11
Angka pertumbuhan penduduk setiap tahun dirumuskan dengan $p(t) = \sqrt{\dfrac12t^2-3t+5}$ dengan $p(t)$ dalam persen dan $t$ dalam tahun. Pertumbuhan penduduk mendekati tahun kelima $(t=5)$ adalah $\cdots\%$.
A. $0,75$ D. $\sqrt{2,5}$
B. $\sqrt{1,5}$ E. $\sqrt{2,75}$
C. $\sqrt2$
Secara matematis, angka pertumbuhan penduduk saat $t$ mendekati tahun ke-$5$ adalah $\displaystyle \lim_{t \to 5} p(t)$.
Diketahui $p(t) = \sqrt{\dfrac12t^2-3t+5}.$
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{t \to 5} \sqrt{\dfrac12t^2-3t+5} & = \sqrt{\dfrac12(5)^2-3(5)+5} \\ & = \sqrt{\dfrac{25}{2}-10} \\ & = \sqrt{12,5-10} \\ & = \sqrt{2,5} \end{aligned}$$Jadi, angka pertumbuhan penduduk akan mendekati $\boxed{\sqrt{2,5\%}}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 12
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$ C. $0$ E. $2$
B. $-1$ D. $1$
Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Limit tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan metode pemfaktoran sebagai berikut.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)\cancel{(x-1)}} {\cancel{x-1}} \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1) \\ & = 1+1 = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1} {x-1} = 2}$
(Jawaban E)
Baca Juga: Tujuh Bentuk Tak Tentu dalam Matematika
Soal Nomor 13
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac54$ C. $\dfrac23$ E. $\dfrac54$
B. $-\dfrac45$ D. $\dfrac45$
Substitusi langsung nilai $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4} & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x+3)\cancel{(x-2)} }{(x+2)\cancel{(x-2)}} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{x+3}{x+2} \\ & = \dfrac{2+3}{2+2} = \dfrac{5}{4} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-4} = \dfrac{5}{4}}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 14
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{3x^3-48x}{x^2-16} = \cdots \cdot$
A. $4$ C. $16$ E. $48$
B. $12$ D. $24$
Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu.
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{3x^3-48x}{x^2-16} & = \lim_{x \to 4} \dfrac{3x\cancel{(x^2-16)}} {\cancel{x^2-16}} \\ & = \lim_{x \to 4} 3x = 3(4) = 12 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{3x^3-48x}{x^2-16} = 12}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 15
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^2-4}\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac14$ C. $0$ E. $\dfrac12$
B. $-\dfrac12$ D. $\dfrac14$
Substitusi langsung nilai $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^2-4}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{8}{(x+2)(x-2)}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2x-4}{(x-2)(x+2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2\cancel{(x-2)}} {\cancel{(x-2)}(x+2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{2}{x+2} \\ & = \dfrac{2}{2+2} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^2-4}\right) = \dfrac{1}{2}}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 16
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{x^2-x-2}-\dfrac{2}{x-2}\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$ C. $-\dfrac{1}{3}$ E. $\dfrac{2}{3}$
B. $-\dfrac{2}{3}$ D. $\dfrac{1}{3}$
Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{x^2-x-2}-\dfrac{2}{x-2}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{(x-2)(x+1)}-\dfrac{2(x+1)}{(x-2)(x+1)}\right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-2x+4}{(x-2)(x+1)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-2\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)} (x+1)} \\ & = \lim_{x \to 2}\dfrac{-2}{x+1} \\ & = \dfrac{-2}{2+1} =-\dfrac{2}{3} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{6}{x^2-x-2}- \dfrac{2}{x-2}\right) =-\dfrac{2}{3}}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 17
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 27} \dfrac{x-27}{x^{\frac{1}{3}}-3} = \cdots \cdot$
A. $27$ C. $9$ E. $1$
B. $18$ D. $3$
Substitusi menghasilkan bentuk tak tentu.
Perhatikan bahwa bentuk $x-27$ dapat ditulis dalam bentuk pemfaktoran:
$x-27 = (x^{\frac{1}{3}}-3)(x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9)$
menggunakan pemfaktoran: $a^3-b^3=(a-b)^3-3a^2b-3ab^2.$
Dengan demikian, limitnya dapat ditulis
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 27} \dfrac{x-27}{x^{\frac{1}{3}}-3} \\ & = \lim_{x \to 27} \dfrac{\cancel{(x^{\frac{1}{3}}- 3)} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9) }{\cancel{x^{\frac{1}{3}}-3}} \\ & = \lim_{x \to 27} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{1}{3}} + 9) \\ & = 27^{\frac{2}{3}} + 3(27)^{\frac{1}{3}} + 9 \\ & = 9 + 3(3) + 9 = 27 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 27} \dfrac{x-27}{x^{\frac{1}{3}}- 3} = 27}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 18
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{x}}{1-x^2} = \cdots \cdot$
A. $0$ C. $\dfrac14$ E. $4$
B. $\dfrac12$ D. $1$
Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{x}}{1-x^2} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{x}}{(1+x)(1-x)} \color{blue}{\times \dfrac{1+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\cancel{1-x}}{(1+x)\cancel{(1-x)}(1+\sqrt{x})} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{(1+x)(1+\sqrt{x})} \\ & = \dfrac{1}{(1+1)(1+\sqrt{1})} \\ & = \dfrac{1}{(2)(2)} = \dfrac14 \end{aligned}$
Jadj, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{x}}{1-x^2} = \dfrac14}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 19
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \cdots \cdot$
A. $0$ C. $1$ E. $3$
B. $\sqrt2$ D. $2$
Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \color{blue}{\times \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x\sqrt{x} + x}{x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cancel{x}(\sqrt{x}+1)}{\cancel{x}} \\ & = \lim_{x \to 0} (\sqrt{x}+1) \\ & = \sqrt{0} + 1 = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 1}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 20
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-30$ C. $10$ E. $50$
B. $-10$ D. $30$
Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}} \times \dfrac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}} \right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5x(3+\sqrt{9+x})} {9-(9+x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{5\cancel{x}(3+\sqrt{9+x})} {-\cancel{x}} \\ & = \lim_{x \to 0}-5(3+\sqrt{9+x}) \\ & =-5(3 + \sqrt{9+0}) \\ & =-5(3 + 3) =-30 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{5x} {3-\sqrt{9+x}}$ adalah $\boxed{-30}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 21
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac12$ C. $0$ E. $\dfrac12$
B. $-\dfrac14$ D. $\dfrac14$
Substitusi langsung nilai $x=3$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} \\ & = \lim_{x \to 3} \left(\dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3} \times \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{2+\sqrt{x+1}} \right) \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{4-(x+1)} {(x-3)(2+\sqrt{x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\cancel{-x+3}} {-\cancel{(-x+3)}(2+\sqrt{x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{1}{-2- \sqrt{x+1}} \\ & = \dfrac{1}{-2- \sqrt{3+1}} \\ & =-\dfrac{1}{4} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}} {x-3}$ adalah $\boxed{-\dfrac{1}{4}}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 22
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $6$ E. $10$
B. $4$ D. $8$
Substitusi langsung nilai $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}} \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}} \times \dfrac{3+\sqrt{x^2+5}}{3+\sqrt{x^2+5}} \right) \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(4-x^2)(3+\sqrt{x^2+5})} {9-(x^2+5)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{\cancel{(4-x^2)} (3+\sqrt{x^2+5})} {\cancel{4-x^2}} \\ & = \lim_{x \to 2} (3+\sqrt{x^2+5}) \\ & = 3 + \sqrt{2^2+5} \\ & = 3 + 3 = 6 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{4-x^2} {3-\sqrt{x^2+5}}$ adalah $\boxed{6}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 23
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$ C. $4$ E. $10$
B. $2$ D. $8$
Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} & = \lim_{x \to 4} \left( \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} \times \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x} +2}\right) \\ & = \lim_{x \to 4} \dfrac{\cancel{(x-4)} (\sqrt{x}+2)} {\cancel{x-4}} \\ & = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x} +2) \\ & = \sqrt{4} + 2 = 4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x-4} {\sqrt{x}-2} = 4}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 24
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2\sqrt2$ C. $0$ E. $2\sqrt2$
B. $-\sqrt2$ D. $\sqrt2$
Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} & = \lim_{x \to \sqrt{2}} \left( \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} \times \dfrac{x+\sqrt{2}} {x+\sqrt{2}}\right) \\ & = \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{\cancel{(x^2-2)} (x+\sqrt{2})} {\cancel{x^2-2}} \\ & = \lim_{x \to \sqrt{2}} (x+\sqrt{2}) \\ & = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \sqrt{2}} \dfrac{x^2-2} {x-\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 25
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} = \cdots \cdot$
A. $0$ C. $\dfrac23\sqrt3$ E. $\dfrac32$
B. $\dfrac23$ D. $1$
Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan (dua kali berturut-turut), diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} \color{blue}{\times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{3x}+3} \times \dfrac{\sqrt{2x-2}+2}{\sqrt{2x-2}+2}} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{(2x-2)-4}{3x-9} \times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{2x-2}+2} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2\cancel{(x-3)}}{3\cancel{(x-3)}} \times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{2x-2}+2} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac23 \times \dfrac{\sqrt{3x}+3}{\sqrt{2x-2}+2} \\ & = \dfrac23 \times \dfrac{\sqrt{3(3)}+3}{\sqrt{2(3)-2}+2} \\ & = \dfrac23 \times \dfrac{6}{4} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{2x-2}-2}{\sqrt{3x}-3} = 1}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 26
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1}}{x-3} = \cdots \cdot$
A. $-\dfrac17\sqrt7$ C. $0$ E. $\dfrac{1}{14}\sqrt7$
B. $-\dfrac{1}{14}\sqrt7$ D. $\dfrac17\sqrt7$
Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1}}{x-3} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1}}{x-3} \color{blue}{\times \dfrac{\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}}} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{(x+4)-(2x+1)}{(x-3)(\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{-x+3}{(x-3)(\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{-\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-3)}(\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1})} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{-1}{\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}} \\ & = \dfrac{-1}{\sqrt{3+4}+\sqrt{2(3)+1}} \\ & = \dfrac{-1}{2\sqrt7} \color{blue}{\times \dfrac{\sqrt7}{\sqrt7}} \\ & = -\dfrac{1}{14}\sqrt7 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1}}{x-3} = -\dfrac{1}{14}\sqrt7}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 27
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x^2+8x-3}-\sqrt{4x^2+9}}{x-2} = \cdots \cdot$
A. $-\dfrac45$ C. $\dfrac25$ E. $\infty$
B. $0$ D. $\dfrac52$
Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x^2+8x-3}-\sqrt{4x^2+9}}{x-2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x^2+8x-3}-\sqrt{4x^2+9}}{x-2} \times \color{blue}{\dfrac{\sqrt{3x^2+8x-3}+\sqrt{4x^2+9}}{\sqrt{3x^2+8x-3}+\sqrt{4x^2+9}}} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(3x^2+8x-3)-(4x^2+9)}{(x-2)(\sqrt{3x^2+8x-3}+\sqrt{4x^2+9})} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-x^2+8x-12}{(x-2)(\sqrt{3x^2+8x-3}+\sqrt{4x^2+9})} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-\cancel{(x-2)}(x-6)}{\cancel{(x-2)}(\sqrt{3x^2+8x-3}+\sqrt{4x^2+9})} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-(x-6)}{\sqrt{3x^2+8x-3}+\sqrt{4x^2+9}} \\ & = \dfrac{-(2-6)}{\sqrt{3(2)^2+8(2)-3}+\sqrt{4(2)^2+9}} \\ & = \dfrac{4}{\sqrt{12+16-3}+\sqrt{16+9}} \\ & = \dfrac{4}{10} = \dfrac25 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x^2+8x-3}-\sqrt{4x^2+9}}{x-2} = \dfrac25}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 28
Jika $|f(x)-2| \leq x +3$, maka nilai $\displaystyle \lim_{x \to-3} f(x) = \cdots \cdot$
A. $-2$ C. $1$ E. $3$
B. $0$ D. $2$
Diketahui bahwa $|f(x)- 2| \leq x +3$. Untuk $x =-3$, diperoleh
$|f(-3)-2| \leq-3+3 = 0.$
Dari sini, diperoleh bahwa nilai $f(-3) = 2.$
Dengan substitusi langsung limit, kita dapatkan
$\displaystyle \lim_{x \to-3} f(x) = f(-3) = 2.$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 29
Jika $f(x) = \dfrac{x^2}{|x|} + 1$, maka nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) + \lim_{x \to 1} f(x) = \cdots \cdot$
A. $0$ C. $3$ E. $5$
B. $1$ D. $4$
Limit kiri untuk grafik fungsi $f$ saat mendekati 0 adalah
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} f(x) & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x^2}{(-x)} + 1\right) \\ & = \lim_{x \to 0} (-x + 1) = 1 \end{aligned}$
sedangkan limit kanannya adalah
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x^2}{x} + 1\right) \\ & = \lim_{x \to 0} (x + 1) = 1 \end{aligned}$
Karena nilai limitnya sama, maka
$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 1.$
Di lain hitungan,
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) & = \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{x^2}{|x|} + 1\right) \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1)= 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) + \lim_{x \to 1} f(x) = 1+2=3}$
(Jawaban C)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Perhatikan grafik fungsi $f(x)$ berikut.
Tentukan nilai:
a. $f(-2)$;
b. $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x)$;
c. $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$.
Jawaban a)
Dari grafik di atas, tampak bahwa fungsi tidak memiliki nilai saat $x = -2$ (ditandai dengan noktah/titik putih). Ini artinya, $f(-2)$ tidak terdefinisi (tidak ada).
Jawaban b)
Dari grafik terlihat bahwa $\displaystyle \lim_{x \to -2^-} f(x) = 3$ (limit kiri), begitu juga $\displaystyle \lim_{x \to -2^+} f(x) = 3$ (limit kanan). Karena limit kiri-kanannya sama, maka ini artinya $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x) = 3$.
Jawaban c)
Dari grafik terlihat bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$ (limit kiri), tetapi $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x) = 6$ (limit kanan). Karena limit kiri-kanannya berbeda, maka ini artinya $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$ tidak ada.
Soal Nomor 2
Tentukan nilai limit berikut.
- $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$ dengan $f(x)=\begin{cases} -x, &~\text{jika}~x < 0 \\ 3x,&~\text{jika}~x > 0 \end{cases}$.
- $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$ dengan $f(x)=\begin{cases} 2x-1, &~\text{jika}~x < 2 \\ -x+6,&~\text{jika}~x > 2 \end{cases}$.
Untuk mencari nilai $\displaystyle \lim_{x \to k} f(x)$ untuk suatu $k$ anggota bilangan real, kita akan mencari nilai limit kiri dan kanannya. Jika nilainya berbeda, kita simpulkan bahwa limitnya tidak ada.
Jawaban a)
Diketahui
$f(x)=\begin{cases} -x, &~\text{jika}~x < 0 \\ 3x,&~\text{jika}~x > 0 \end{cases}$.
Limit untuk $x$ mendekati $0$ dari kiri (gunakan kurang dari $0$) adalah
$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} -x = 0$
Limit untuk $x$ mendekati $0$ dari kanan (gunakan lebih dari $0$) adalah
$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 3x = 3(0) = 0$
Karena sama, maka kita simpulkan bahwa $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0}$
Jawaban b)
Diketahui
$f(x)=\begin{cases} 2x-1, &~\text{jika}~x < 2 \\ -x+6,&~\text{jika}~x > 2 \end{cases}$.
Limit untuk $x$ mendekati $2$ dari kiri (gunakan kurang dari $2$) adalah
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) & = \lim_{x \to 2^-} (2x-1) \\ & = 2(2)-1 = 3 \end{aligned}$$Limit untuk $x$ mendekati $2$ dari kanan (gunakan lebih dari $2$) adalah
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) & = \lim_{x \to 2^+} (-x+6) \\ & = -(2) + 6 = 4 \end{aligned}$$Karena berbeda, maka kita simpulkan bahwa $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = \text{tidak ada}}$
Soal Nomor 3
Carilah nilai dari limit berikut.
a. $\displaystyle \lim_{x \to 3} 9$
b. $\displaystyle \lim_{x \to-2} 2x$
c. $\displaystyle \lim_{x \to 3} (2x^2+7x +8)$
d. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x + 2}{x + 3}$
Semua bentuk limit tersebut dapat dicari dengan hanya mensubstitusikan langsung titik limitnya.
Jawaban a)
$\displaystyle \lim_{x \to 3} 9 = 9.$
Jawaban b)
$\displaystyle \lim_{x \to-2} 2x = 2(-2) =-4.$
Jawaban c)
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 3} (2x^2+7x+8) \\ & = 2(3)^2 + 7(3) + 8 \\ & = 18 + 21+8 = 47. \end{aligned}$
Jawaban d)
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x+2}{x+3} = \dfrac{0+2}{0+3} = \dfrac{2}{3}.$
Soal Nomor 4
Jika $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L$ dan $\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = K$ dengan $L, K, c$ bilangan real, maka tentukan:
a. $\displaystyle \lim_{x \to c} \dfrac{f(x)+2}{f(x)-2}$
b. $\displaystyle \lim_{x \to c} \dfrac{f^2(x)-L^2}{f^2(x)+L^2}$
c. $\displaystyle \lim_{x \to c} \left(\dfrac{f(x)-g(x)}{f(x)+g(x)}\right)^2$
Jawaban a)
Dengan menggunakan sifat limit dasar, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to c} \dfrac{f(x)+2}{f(x)-2} & = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} (f(x)+2)}{\displaystyle \lim_{x \to c} (f(x)-2)} \\ & = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} 2}{\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)-\lim_{x \to c} 2} \\ & = \dfrac{L+2}{L-2} \end{aligned}$
Jawaban b)
Dengan menggunakan sifat limit dasar, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to c} \dfrac{f^2(x)-L^2}{f^2(x)+L^2} & = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} (f^2(x)-L^2)}{\displaystyle \lim_{x \to c} (f^2(x)+L^2)} \\ & = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} f^2(x)-\lim_{x \to c} L^2}{\displaystyle \lim_{x \to c} f^2(x)+\lim_{x \to c} L^2} \\ & = \dfrac{\displaystyle \left(\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)\right)^2-L^2}{\left(\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)\right)^2+L^2} \\ & = \dfrac{L^2-L^2}{L^2+L^2} = 0 \end{aligned}$
dengan catatan bahwa $L \neq 0$.
Jawaban c)
Dengan menggunakan sifat limit dasar, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to c} \left(\dfrac{f(x)-g(x)}{f(x)+g(x)}\right)^2 & = \left(\dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} (f(x)-g(x))}{\displaystyle \lim_{x \to c} (f(x)+g(x))}\right)^2 \\ & = \left(\dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)-\lim_{x \to c} g(x)}{\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)+\lim_{x \to c} g(x)}\right)^2 \\ & = \left(\dfrac{L-K}{L+K}\right)^2 \end{aligned}$$
Soal Nomor 5
Tentukan nilai limit berikut.
a. $\displaystyle \lim_{x \to 9} \dfrac{9-x}{\sqrt{x}-3}$
b. $\displaystyle \lim_{x \to-2} \dfrac{2-\sqrt{2-x}}{6+x-x^2}$
Jawaban a)
Substitusi langsung nilai $x = 9$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 9} \dfrac{9-x}{\sqrt{x}-3} \\ & = \lim_{x \to 9} \dfrac{9-x}{\sqrt{x}-3} \times \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} \\ & = \lim_{x \to 9} \dfrac{-\cancel{(x-9)}(\sqrt{x} + 3)}{\cancel{x- 9}} \\ & = \lim_{x \to 9}-(\sqrt{x} + 3) \\ & =-(\sqrt{9} + 3) =-6 \end{aligned}$
Jawaban b)
Substitusi langsung nilai $x =-2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan metode perkalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to-2} \dfrac{2-\sqrt{2-x}}{6+x-x^2} & = \lim_{x \to-2} \dfrac{2-\sqrt{2-x}}{6+x-x^2} \times \dfrac{2 + \sqrt{2-x}}{2 + \sqrt{2-x}} \\ & = \lim_{x \to-2} \dfrac{4-(2-x)}{-(x-3)(x+2)(2 + \sqrt{2-x})} \\ & = \lim_{x \to-2} \dfrac{\cancel{x+2}}{-(x-3)\cancel{(x+2)}(2+\sqrt{2-x})} \\ & = \lim_{x \to-2} \dfrac{1}{-(x-3)(2+\sqrt{2-x})} \\ & = \dfrac{1}{-(-2-3)(2+\sqrt{2-(-2)})} \\ & = \dfrac{1}{-(-5)(4)} =\dfrac{1}{20} \end{aligned}$$
Soal Nomor 6
Carilah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[4]{1+x^4}-\sqrt{1+x^2}}{x^2}$.
Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Gunakan perkalian akar sekawan sebanyak dua kali, faktorkan, coret faktor yang sama, barulah substitusi $x = 0$.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[4]{1+x^4}-\sqrt{1+x^2}}{x^2} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[4]{1+x^4}-\sqrt{1+x^2}}{x^2} \color{red}{\times \dfrac{\sqrt{1+x^4}+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^4}+\sqrt{1+x^2}}} && (\text{Kali Akar Se}\text{kawan}) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x^4}-(1+x^2)}{x^2(\sqrt{1+x^4}+\sqrt{1+x^2})} \color{red}{\times \dfrac{\sqrt{1+x^4}+(1+x^2)}{\sqrt{1+x^4}+(1+x^2)}} && (\text{Kali Akar Se}\text{kawan}) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x^4)-(1+x^2)^2}{x^2(\sqrt{1+x^4}+\sqrt{1+x^2})(\sqrt{1+x^4}+(1+x^2))} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x^4)-(1+2x^2+x^4}{x^2(\sqrt{1+x^4}+\sqrt{1+x^2})(\sqrt{1+x^4}+(1+x^2))} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{-2\cancel{x^2}}{\cancel{x^2}(\sqrt{1+x^4}+\sqrt{1+x^2})(\sqrt{1+x^4}+(1+x^2))} && (\text{Coret Faktor yang Sama}) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{-2}{(\sqrt{1+x^4}+\sqrt{1+x^2})(\sqrt{1+x^4}+(1+x^2))} \\ & = \dfrac{-2}{(\sqrt{1+0^4}+\sqrt{1+0^2})(\sqrt{1+0^4}+(1+0^2))} && (\text{Substitusi}~x = 0) \\ & = \dfrac{-2}{(\sqrt1+\sqrt1)(\sqrt1+1)} = \dfrac{-2}{2 \cdot 2} = -\dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[4]{1+x^4}-\sqrt{1+x^2}}{x^2} = -\dfrac12}$
Soal Nomor 7
Tentukan nilai $c$ yang memenuhi persamaan berikut.
a. $\displaystyle \lim_{x \to-1} (5x^7- 10x^2 + cx-2) = c-4$
b. $\displaystyle \lim_{x \to-3} \dfrac{cx^2 + 5x-3}{x+3} =-7$
Jawaban a)
Substitusi langsung $x =-1$ untuk memperoleh
$$\begin{aligned} 5(-1)^7-10(-1)^2 +c(-1)- 2 & = c-4 \\-5-10-c-2 & = c-4 \\-17-c & = c-4 \\ -2c & = 13 \\ c & =-\dfrac{13}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai $c$ adalah $\boxed{-\dfrac{13}{2}}$
Jawaban b)
Substitusi langsung $x =-3$ pada fungsi menghasilkan penyebut bernilai $0$, padahal limitnya ada, yaitu $-7$. Ini berarti, hasil substitusi juga harus menghasilkan pembilang $0$. Dengan kata lain, substitusi langsung $x =-3$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$ agar limitnya ada. Kita tuliskan,
$$\begin{aligned} \dfrac{c(-3)^2 + 5(-3)-3}{-3 + 3} & = \dfrac{9c-18}{0} \\ & = \dfrac{0}{0} \end{aligned}$$Persamaan di atas menghasilkan $9c-18 = 0 \iff c=2$.
Jadi, diperoleh $\boxed{c = 2}$
Join yuk: Telegram- Komunitas dan Aliansi Matematika Indonesia
Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x}$.
Substitusi langsung nilai $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} \\ & = \lim_{x \to 1} \left( \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} \times \dfrac{\sqrt{5-x} +2}{\sqrt{5-x} +2}\right) \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(5-x-4)(\sqrt{2-x} +1)} {(1-x)(\sqrt{5-x} +2)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\cancel{(1-x)} (\sqrt{2-x} +1)} {\cancel{(1-x)} (\sqrt{5-x} +2)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x} +1} {\sqrt{5-x} +2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2-1} + 1}{\sqrt{5-1} +2} \\ & = \dfrac{1+1}{2+2} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x} +1)} {1-x} = \dfrac{1}{2}}$
Soal Nomor 9
Apakah fungsi $f$ berikut kontinu di $x = 1$?
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x \neq 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases}$
Perhatikan bahwa $f(x)$ berbentuk fungsi parsial (piecewise function) yang rumus fungsinya tergantung dari nilai $x$.
Diketahui: $f(1) = 2$.
Agar kontinu, $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}$ juga harus bernilai $2$.
Limit tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)\cancel{(x-1)} } {\cancel{x-1}} \\ & = \lim_{x \to 1} (x+1) \\ & = 1+1 = 2 \end{aligned}$
Karena $f(1) = \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}$, maka fungsi tersebut kontinu di $x = 1$.
Soal Nomor 10
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 4^+} \dfrac{x} {x-4}$.
Substitusi langsung $x = 4$ menghasilkan bentuk tak terdefinisi $\dfrac{4}{0}$ sehingga limitnya tidak bernilai real.
Karena nilai limitnya ditinjau hanya dari limit kanan (notasi $+$ menyatakan limit kanan), maka kita dapat menggunakan pendekatan tabel untuk menganalisis nilai limitnya.
$\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline x & 7 & 6 & 5 \\ \hline f(x) & \dfrac{7}{3} & 3 & 5 \\ \hline \end{array}$
Tampak bahwa ketika $x$ semakin mengecil mendekati $4$, nilai fungsinya semakin membesar menuju tak hingga.
Selain menggunakan pendekatan tabel, nilai limitnya juga dapat ditentukan dengan menggunakan pendekatan geometris, yaitu dengan cara menggambar grafiknya seperti berikut.
Dengan demikian, dapat dipastikan bahwa $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 4^+} \dfrac{x} {x-4} = \infty}$
Soal Nomor 11
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[5]{x}-\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[15]{x}}.$
Misalkan $x = y^{15}$ sehingga jika $x \to 1,$ maka $y \to 1.$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[5]{x}-\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[15]{x}} & = \lim_{y \to 1} \dfrac{\sqrt[5]{y^{15}}-\sqrt[3]{y^{15}}}{1-\sqrt[15]{y^{15}}} \\ & = \lim_{y \to 1} \dfrac{y^3-y^5}{1-y} \\ & = \lim_{y \to 1} \dfrac{y^3(1-y^2)}{1-y} \\ & = \lim_{y \to 1} \dfrac{y^3(1+y)\cancel{(1-y)}}{\cancel{1-y}} \\ & = \lim_{y \to 1} y^3(1+y) \\ & = 1^3(1+1) = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{2}$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri (Versi HOTS/Olimpiade)
Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini jika ada kesalahan pengetikan sekecil apa pun, seperti kesalahan pengetikan, kode LaTeX yang tidak berjalan, atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!
Kak itu no 25 -4 nya kemana kak makasih ya btw ini situs nya langganan ku banget mudah dimengerti terima kasih sekali yang membuat situs ini🙏🙏🙏🙏
$(2x-2)-4 = 2x-6 = 2(x-3)$, gini ya Kak.
Terima kasih kembali. Sukses selalu, Kak. :d
Sangat membantu
No 5 yang bagian uraian seharusnya 1/20 karena min ketemu min plus
Terima kasih atas koreksinya. Sudah diperbaiki, ya.
Kak bagus bgt huhu, aku saranin bikin yt kak biar ada pembahasan soal yg lebih jelas gitu. Keren bgt pokoknya mantapp lah
Semoga bisa terwujud ya, kak 😀
terimakasih banyak ya .. sangat membantu
Siap
Kak itu pada pembahasan soal no13 bagian b, – (x – 3) (x + 2) kenapa bisa berubah jadi – (x +3) (x + 2).
Iya. Ada kesalahan pengetikan dan sudah diperbaiki. Trima kasih bnyak telah memberitahu, ya 😀
untuk no.13 yg b, – (x – 3) (x + 2) faktor tsb tidak menghasilkan 6 + X – X’2 kalau salah tolong direvisi kak
Coba ya,
$\begin{aligned} -(x-3)(x+2) & = -(x^2+2x-3x-6) \\ & = -(x^2-x-6) \\ & = 6+x-x^2 \end{aligned}$
Sepertinya pemfaktorannya sudah benar, kak.
Astaga iya sama aja, ok kak mungkin aku ngantuk kurang fokus 😁, tapi kalo yg no. 14 bagian . giamana kak, kok = -7 bukannya sama dengan 0
Seharusnya – (x + 2) (x – 3)
Untuk soal no.14 yg B, = -7 fungsinya apa?
Dan kok hasilnya c=2
Baik, sudah diperbaiki (ada sedikit kesalahan) dan dirincikan penjelasannya. Terima kasih atas koreksinya.
Kok di soal hasilnya masih = -7 kak ngga di ubah = 0/0
Kita tak perlu lihat berapa nilai limitnya. Tidak ada pengaruh. Yang penting, limitnya ada atau tidak ada. Kalau ada (berupa bilangan real), berarti harusnya hasil substitusi menghasilkan bentuk tak tentu