Soal dan Pembahasan – Logika Matematika

Buatlah tabel kebenaran. Kolom pertama untuk $p$, kolom kedua untuk $q$, kolom ketiga untuk $\neg p$, dan kolom terakhir untuk $\neg p\, \land q.$ Pernyataan konjungsi akan bernilai BENAR ketika $\neg p$ dan $q$ keduanya bernilai BENAR.
Dari kolom terakhir, kita peroleh bahwa urutan nilai kebenaran dari $\neg p\, \land q$ adalah SSBS (dibaca dari atas ke bawah).
(Jawaban C)

Buatlah tabel kebenaran. Kolom pertama untuk $p$, kolom kedua untuk $q$, kolom ketiga untuk $\neg p$, kolom keempat untuk $q \lor \neg p$, dan kolom terakhir untuk $p \Leftrightarrow (q \lor \neg p).$ Pernyataan biimplikasi akan bernilai BENAR ketika $p$ dan $q \lor \neg p$ keduanya memiliki nilai kebenaran yang sama.

Dari kolom terakhir, kita peroleh bahwa urutan nilai kebenaran dari $p \Leftrightarrow (q \lor \neg p)$ adalah BSSS (dibaca dari atas ke bawah).
(Jawaban A)

Diketahui $p$ benar (B) dan $q$ salah (S).
Cek semua opsi yang ada.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Pernyataan} & \text{Pernyataan B/S} & \text{Nilai Kebenaran} \\ \hline p \lor q & \text{B} \lor \text{S} & \text{B} \\ p\, \land \neg q & \text{B}\, \land \neg \text{B} & \text{B} \\ \neg p \Rightarrow q & \text{S} \Rightarrow \text{S} & \text{B} \\ \neg p \, \land q & \text{S}\, \land \text{S} & \text{S} \\ \neg(p \Rightarrow q) & \neg(\text{B} \Rightarrow S) & \text{B} \\ \hline \end{array}$$Jadi, pernyataan majemuk yang tidak bernilai benar adalah $\boxed{\neg p\, \land q}$
(Jawaban D)

Semua pernyataan majemuk di atas dihubungkan oleh disjungsi dan akan bernilai benar ketika “cukup” salah satu pernyataan tunggal bernilai benar.
Cek opsi A:
$$\begin{aligned} p : &~3^3 = 27~~(\text{B}) \\ q : &~3^2 = 8~~(\text{S}) \end{aligned}$$Karena ada pernyataan tunggal yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai benar.
Cek Opsi B:
$$\begin{aligned} p : &~11~\text{adalah bilangan prima}~~(\text{B}) \\ q : &~10~\text{adalah bilangan kelipatan 5}~~(\text{B}) \end{aligned}$$Karena ada pernyataan tunggal yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai benar.
Cek Opsi C:
$$\begin{aligned} p : &~\text{Sudut lancip kurang dari}~ 90^\circ~~(\text{B}) \\ q : &~5^3 = 25~~(\text{S}) \end{aligned}$$Karena ada pernyataan tunggal yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai benar.
Cek Opsi D:
$$\begin{aligned} p : &~\text{Denpasar ada di Bali}~~(\text{B}) \\ q : &~\text{Surabaya merupakan ibu kota Jawa Tengah}~~(\text{S}) \end{aligned}$$Karena ada pernyataan tunggal yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai benar.
Cek Opsi E:
$$\begin{aligned} p : &~\text{Tahun kabisat ada 365 hari}~~(\text{S}) \\ q : &~\text{Satu tahun terdiri dari 52 minggu}~~(\text{S}) \end{aligned}$$Karena kedua pernyataan tunggal bernilai salah, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai salah.
(Jawaban E)

Pernyataan $2 < x \le 10$ dapat ditulis dalam bentuk panjang menjadi $x > 2$ dan $x \le 10$ sehingga diperoleh pernyataan konjungsi.
Ingkaran dari $p \, \land q$ adalah $$\boxed{\neg(p \, \land q) \equiv \neg p \lor \neg q}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p : &~x > 2 \\ q : &~x \le 10 \\ \neg p : &~x \le 2 \\ \neg q : &~x > 10 \end{aligned}$$Jadi, ingkarannya adalah $$\boxed{\neg p \lor \neg q :~x \le 2~\text{atau}~x > 10}$$(Jawaban C)

Perhatikan bahwa pernyataan memuat kuantor universal (setiap) dan juga perlu diingkarkan menjadi kuantor eksistensial (ada).
$$\begin{aligned} p :&~\text{Untuk}~\color{blue}{\text{setiap}}~\text{nilai}~x,~\text{berlaku}~x^2 = x \cdot x \\ \neg p:&~\text{Untuk}~\color{blue}{\text{sebagian}}~\text{nilai}~x,~\color{red}{\text{tidak}}~\text{berlaku}~x^2 = x \cdot x \\ \neg p :&~\color{blue}{\text{Ada}}~\text{nilai}~x~\text{yang}~\color{red}{\text{tidak}}~\text{berlaku}~x^2 = x \cdot x \end{aligned}$$Jadi, negasi dari pernyataan tersebut adalah “Ada nilai $x$ yang tidak berlaku $x^2 = x \cdot x.$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa pernyataan memuat kuantor eksistensial (ada) dan juga perlu diingkarkan menjadi kuantor universal (semua).
$$\begin{aligned} p : &~\color{blue}{\text{Ada}}~\text{siswa SMK yang}~\color{red}{\text{tidak}}~\text{harus mengikuti praktik kerja industri} \\ \neg p : &~\color{blue}{\text{Semua}}~\text{siswa SMK harus mengikuti praktik kerja industri} \end{aligned}$$(Jawaban D)

Pernyataan yang senilai (ekuivalen) dengan bentuk implikasi adalah kontrapositifnya, yaitu $$\boxed{p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p : &~\text{UMR naik} \\ q : &~\color{blue}{\text{Semua}}~\text{harga sembako naik} \\ \neg p : &~\text{UMR tidak naik} \\ \neg q : &~\color{blue}{\text{Ada}}~\text{harga sembako yang tidak naik} \end{aligned}$$Dengan demikian, pernyataan yang senilai adalah “Jika ada harga sembako yang tidak naik, maka UMR tidak naik.”
(Jawaban C)

Pernyataan yang senilai (ekuivalen) dengan bentuk implikasi adalah kontrapositifnya, yaitu $$\boxed{p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p : &~2 \times 3 = 6 \\ q : &~2 + 3 = 5 \\ \neg p : &~2 \times 3 \neq 6 \\ \neg q : &~2 + 3 \neq 5 \end{aligned}$$Dengan demikian, pernyataan yang senilai adalah “Jika $2+3 \neq 5$, maka $2 \times 3 \neq 6.$”
(Jawaban D)

Konvers dari pernyataan implikasi $p \Rightarrow q$ adalah $q \Rightarrow p.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p : &~n~\text{bilangan prima lebih dari 2} \\ q : &~n~\text{ganjil} \end{aligned}$$Jadi, konversnya adalah “Jika $n$ ganjil, maka $n$ bilangan prima lebih dari $2$.”
(Jawaban A)

Invers dari pernyataan implikasi $p \Rightarrow q$ adalah $\neg p \Rightarrow \neg q.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p : &~2 \times 4 = 8 \\ q : &~7 \le 8 \\ \neg p :&~2 \times 4 \neq 8 \\ \neg q : &~7 > 8 \end{aligned}$$Jadi, inversnya adalah “Jika $2 \times 4 \neq 8$, maka $7 > 8$.”
(Jawaban B)

Kontrapositif dari pernyataan implikasi $p \Rightarrow q$ adalah $\neg q \Rightarrow \neg p.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p : &~x~\text{bilangan bulat} \\ q : &~x^2 + 2 > 11 \\ \neg p :&~x~\text{bukan bilangan bulat} \\ \neg q : &~x^2 + 2 \le 11 \end{aligned}$$Jadi, kontrapositifnya adalah “Jika $x^2 + 2 \le 11$, maka $x$ bukan bilangan bulat.”
(Jawaban B)

“$\sqrt7$ merupakan bilangan rasional” adalah pernyataan yang salah. Agar pernyataan biimplikasi bernilai benar, maka pernyataan tunggal kedua harus salah juga. Oleh karena itu, $x$ yang dipilih tidak boleh merupakan bilangan asli lebih dari $4$. Dengan kata lain, akan ada tak terhingga bilangan lain yang dapat dipilih untuk nilai $x$.
(Jawaban E)

Negasi dari pernyataan biimplikasi $p \Leftrightarrow q$ ada dua bentuk, yaitu 
$$\boxed{\neg(p \Leftrightarrow q) \equiv \neg p \Leftrightarrow q \equiv p \Leftrightarrow \neg q}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p : &~2 > 5 \\ q : &~5 < 1 \\ \neg p :&~2 \le 5 \\ \neg q: &~5 \ge 1 \end{aligned}$$Jadi, negasi dari pernyataan biimplikasi tersebut adalah 
$$\begin{aligned} \neg p \Leftrightarrow q : &~2 \le 5~\text{jika dan hanya jika}~5 < 1 \\ p \Leftrightarrow \neg q : &~2 > 5~\text{jika dan hanya jika}~5 \ge 1 \end{aligned}$$Berdasarkan opsi yang diberikan, jawaban yang tepat adalah D.

Sebelumnya perlu ditegaskan bahwa negasi (ingkaran) dari kata ada atau beberapa (kuantor eksistensial) adalah semua, setiap, atau seluruh (kuantor universal), begitu juga sebaliknya.
Jawaban a)
$$\begin{aligned} p : &~\text{Semua hewan berkaki empat} \\ \neg p : &~\text{Ada hewan yang tidak berkaki empat} \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} p : &~\text{Ada ikan yang bernapas dengan paru-paru} \\ \neg p : &~\text{Semua ikan tidak bernapas dengan paru-paru} \end{aligned}$$Jawaban c)
$$\begin{aligned} p : &~\text{Ada manusia yang tidak dapat hidup di daerah pegunungan} \\ \neg p : &~\text{Semua manusia dapat hidup di daerah pegunungan} \end{aligned}$$Jawaban d)
$$\begin{aligned} p : &~\text{Semua siswa SMK tidak dapat melanjutkan ke perguruan tinggi} \\ \neg p : &~\text{Ada siswa SMK yang dapat melanjutkan ke perguruan tinggi} \end{aligned}$$Jawaban e)
$$\begin{aligned} p : &~3 + 12 \div 4 < 5 \\ \neg p : &~3 + 12 \div 4 \ge 5 \end{aligned}$$Jawaban f)
$$\begin{aligned} p : &~\text{Beberapa siswa tidak hadir karena sakit} \\ \neg p : &~\text{Semua siswa hadir karena sakit} \end{aligned}$$Jawaban g)
$$\begin{aligned} p : &~\text{1 + 1 = 2} \\ \neg p : &~1 + 1 \neq 2 \end{aligned}$$

Simbol $\land$ menyatakan konjungsi (dihubungkan oleh kata “dan”). Kata “dan” secara logika ekuivalen dengan “tetapi” ketika pernyataannya bersifat kontra.
Jawaban a)
Lili menyukai matematika dan merupakan siswi SMK 3.
Jawaban b)
Lili tidak menyukai matematika dan merupakan siswi SMK 3.
Jawaban c)
Lili menyukai matematika, tetapi bukan siswi SMK 3.

Diketahui:
$$\begin{aligned} \color{blue}{p} : &~\text{Sukardi bisa berbahasa Indonesia} \\ \color{red}{q} : &~\text{Sukardi bisa berbahasa Inggris} \\ \color{green}{r} : &~\text{Sukardi bisa berbahasa Mandarin} \end{aligned}$$Jawaban a)
“Sukardi bisa berbahasa Indonesia dan Inggris” ditulis dalam bentuk panjang akan menjadi “Sukardi bisa berbahasa Indonesia dan Sukardi bisa berbahasa Inggris“. Jadi, notasi simboliknya adalah $p \land q.$
Jawaban b)
“Sukardi bisa berbahasa Inggris, tetapi tidak bisa berbahasa Mandarin” ditulis dalam bentuk panjang akan menjadi “Sukardi bisa berbahasa Inggris dan Sukardi tidak bisa berbahasa Mandarin“. Jadi, notasi simboliknya adalah $q\, \land \neg r.$
Jawaban c)
“Sukardi bisa berbahasa Mandarin, tetapi tidak untuk bahasa Indonesia dan Inggris” ditulis dalam bentuk panjang akan menjadi “Sukardi bisa berbahasa Mandarin, Sukardi tidak bisa berbahasa Indonesia, dan Sukardi tidak bisa berbahasa Inggris“. Jadi, notasi simboliknya adalah $r\, \land \neg p\, \land \neg q.$
Jawaban d)
“Tidak benar bahwa Sukardi bisa berbahasa Indonesia atau Inggris” ditulis dalam bentuk panjang akan menjadi “Tidak benar bahwa Sukardi bisa berbahasa Indonesia atau Sukardi bisa berbahasa Inggris“. Jadi, notasi simboliknya adalah $\neg(p \lor q).$
Jawaban e)
“Tidak benar bahwa Sukardi bisa berbahasa Inggris dan Mandarin, tetapi tidak bisa berbahasa Indonesia” ditulis dalam bentuk panjang akan menjadi “Tidak benar bahwa Sukardi bisa berbahasa Inggris, Sukardi bisa berbahasa Mandarin, dan Sukardi tidak bisa berbahasa Indonesia“. Jadi, notasi simboliknya adalah $\neg(q\, \land r\, \land \neg p).$

Perhatikan bahwa pernyataan $q$ memuat kuantor universal, yaitu “semua” sehingga $\neg q$ berbunyi ada keluarga yang tidak berbahagia.
$$\begin{aligned} \text{a}.~&p\, \land q :&&\text{Saya lulus ujian dan semua keluarga berbahagia} \\ \text{b}.~&\neg r\, \land t :&&\text{Saya tidak melanjutkan ke perguruan tinggi dan saya bekerja} \\ \text{c}.~&\neg p \Rightarrow \neg t :&&\text{Jika saya tidak lulus ujian, maka saya tidak bekerja} \\
\text{d}.~&p \Rightarrow r :&&\text{Jika saya lulus ujian, maka saya melanjutkan ke perguruan tinggi} \\
\text{e}.~&p\, \land \neg r :&&\text{Saya lulus ujian dan saya tidak melanjutkan ke perguruan tinggi} \\
\text{f}.~&\neg q \Leftrightarrow \neg r :&&\text{Ada keluarga yang tidak berbahagia jika dan hanya jika saya tidak melanjutkan ke perguruan tinggi} \\
\text{g}.~&q \Leftrightarrow t :&&\text{Semua keluarga berbahagia jika dan hanya jika saya bekerja} \\
\text{h}.~&\neg p~\lor r :&&\text{Saya tidak lulus ujian atau saya melanjutkan ke perguruan tinggi} \\
\text{i}.~&p \Rightarrow \neg q :&&\text{Jika saya lulus ujian, maka ada keluarga yang tidak berbahagia} \\
\text{j}.~&\neg p \Leftrightarrow t :&&\text{Saya tidak lulus ujian jika dan hanya jika saya bekerja} \end{aligned}$$ 

Jawaban a)
Misalkan:
$$\begin{aligned} \color{blue}{p} : &~\text{Penjualan merosot} \\ \color{red}{q} : &~\text{Pendapatan naik} \\ \end{aligned}$$Perhatikan bahwa  “Tidak benar bahwa penjualan merosot maupun pendapatan tidak naik” ditulis dalam bentuk panjang akan menjadi “Tidak benar bahwa penjualan merosot dan pendapatan tidak naik.” Jadi, notasi simbolik yang sesuai adalah $\boxed{\neg(p\, \land \neg q)}$
Jawaban b)
Gunakan Hukum De Morgan dan Hukum involusi (negasi ganda).
$$\begin{aligned} \neg(p\, \land \neg q) & \equiv \neg p~\lor \neg(\neg q) && (\text{Hukum De Morgan}) \\ & \equiv \neg p~\lor q && (\text{Hukum Involusi}) \end{aligned}$$Jadi, pernyataan yang ekuivalen secara logika adalah “Penjualan tidak merosot atau pendapatan naik”.

Jawaban a)
Misalkan:
$$\begin{aligned} p : &~x^2 = 25 \\ q : &~6 < 2~~(\text{S})\end{aligned}$$Pernyataan $q$ bernilai salah sehingga agar $p \lor q$ bernilai benar, maka $p$ harus bernilai benar.
$$\begin{aligned} x^2 & = 25 \\ x & = \pm \sqrt{25} \\ x & = \pm 5 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = 5$ atau $x = -5.$
Jawaban b)
Misalkan:
$$\begin{aligned} p : &~x~\text{adalah bilangan asli kurang dari 6} \\ q : &~\text{India terletak di benua Asia (B)} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $q$ bernilai benar sehingga $p \lor q$ sudah pasti bernilai benar. Jadi, berapapun nilai $x$ tidak akan memengaruhi kebenaran pernyataan majemuk tersebut.

Jawaban a)
$$3 \times 5 = 15~\text{jika dan hanya jika}~12 \div 4 < 5.$$Perhatikan bahwa $3 \times 5 = 15$ bernilai benar, begitu juga halnya dengan $12 \div 4 < 5.$ Karena memiliki nilai kebenaran yang sama (keduanya benar), maka pernyataan biimplikasi tersebut bernilai benar.
Jawaban b)
$$\text{Canberra adalah ibu kota Australia jika dan hanya jika}~5^2-5 > 0.$$Perhatikan bahwa Canberra memang ibu kota Australia dan $5^2-5 = 20 > 0$. Karena kedua pernyataan itu memiliki nilai kebenaran yang sama (keduanya benar), maka pernyataan biimplikasi tersebut bernilai benar.
Jawaban c)
$$\text{Luas segitiga sama dengan panjang alas dikali tinggi dibagi 3 jika dan hanya jika}~3^2 = 9.$$Perhatikan bahwa seharusnya luas segitiga sama dengan panjang alas dikali tinggi dibagi 2 sehingga pernyataan pertama bernilai salah, tetapi $3^2 = 9$ adalah pernyataan yang benar. Karena memiliki nilai kebenaran yang berbeda (satunya benar, satunya salah), maka pernyataan biimplikasi tersebut bernilai salah.

Kita akan membagi penyelesaian soal ini menjadi dua kasus: i) $\mathcal{A}$ tidak mendapatkan nilai tertinggi dan ii) $\mathcal{A}$ mendapatkan nilai tertinggi.
Kasus i:
$\mathcal{A}$ tidak mendapatkan nilai tertinggi berakibat bahwa nilai $\mathcal{C}$ yang paling tinggi. Ini berarti nilai $\mathcal{C}$ bukan yang terendah sehingga $\mathcal{B}$ memperoleh nilai tertinggi. Terjadi kontradiksi karena sebelumnya kita peroleh bahwa $\mathcal{C}$-lah yang paling tinggi.
Kasus ii:
$\mathcal{A}$ mendapatkan nilai tertinggi. Jika $\mathcal{C}$ tidak memperoleh nilai terendah, maka $B$ memperoleh nilai tertinggi sehingga terjadi kontradiksi kembali. Jadi, $\mathcal{C}$ harus memperoleh nilai terendah yang berakibat bahwa nilai $\mathcal{B}$ berada pada urutan kedua.
Jadi, kita dapat menentukan urutan nilai tes dari ketiga orang itu secara pasti, yaitu $\mathcal{A}, \mathcal{B},$ dan $\mathcal{C}$ (tertinggi ke terendah).