Soal dan Pembahasan – Logika Matematika

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai logika matematika (umum). Semoga dapat dijadikan referensi untuk belajar.

Quote by Bruce Lee

Jika Anda menghabiskan terlalu banyak waktu untuk memikirkan sesuatu, maka Anda tidak akan pernah menyelesaikannya. Buatlah setidaknya satu gerakan yang pasti setiap harinya untuk mencapai tujuan Anda.

Bagian Pilihan Ganda 

Soal Nomor 1
Urutan nilai kebenaran dari $\neg p\, \land q$ adalah $\cdots \cdot$
A. BSSS                     D. SSSB
B. SBSS                     E. SSSS
C. SSBS

Pembahasan

Buatlah tabel kebenaran. Kolom pertama untuk $p$, kolom kedua untuk $q$, kolom ketiga untuk $\neg p$, dan kolom terakhir untuk $\neg p\, \land q.$ Pernyataan konjungsi akan bernilai BENAR ketika $\neg p$ dan $q$ keduanya bernilai BENAR.
Dari kolom terakhir, kita peroleh bahwa urutan nilai kebenaran dari $\neg p\, \land q$ adalah SSBS (dibaca dari atas ke bawah).
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Urutan nilai kebenaran dari $p \Leftrightarrow (q \lor \neg p)$ adalah $\cdots \cdot$
A. BSSS                     D. BBBS
B. BSBB                     E. SSSB
C. SSBB

Pembahasan

Buatlah tabel kebenaran. Kolom pertama untuk $p$, kolom kedua untuk $q$, kolom ketiga untuk $\neg p$, kolom keempat untuk $q \lor \neg p$, dan kolom terakhir untuk $p \Leftrightarrow (q \lor \neg p).$ Pernyataan biimplikasi akan bernilai BENAR ketika $p$ dan $q \lor \neg p$ keduanya memiliki nilai kebenaran yang sama.



Dari kolom terakhir, kita peroleh bahwa urutan nilai kebenaran dari $p \Leftrightarrow (q \lor \neg p)$ adalah BSSS (dibaca dari atas ke bawah).
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika $p$ bernilai benar dan $q$ bernilai salah, maka pernyataan majemuk di bawah ini yang tidak bernilai benar adalah $\cdots \cdot$
A. $p \lor q$
B. $p\, \land \neg q$
C. $\neg p \Rightarrow q$
D. $\neg p\, \land q$
E. $\neg(p \Rightarrow q)$

Pembahasan

Diketahui $p$ benar (B) dan $q$ salah (S).
Cek semua opsi yang ada.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Pernyataan} & \text{Pernyataan B/S} & \text{Nilai Kebenaran} \\ \hline p \lor q & \text{B} \lor \text{S} & \text{B} \\ p\, \land \neg q & \text{B}\, \land \neg \text{B} & \text{B} \\ \neg p \Rightarrow q & \text{S} \Rightarrow \text{S} & \text{B} \\ \neg p \, \land q & \text{S}\, \land \text{S} & \text{S} \\ \neg(p \Rightarrow q) & \neg(\text{B} \Rightarrow S) & \text{B} \\ \hline \end{array}$$Jadi, pernyataan majemuk yang tidak bernilai benar adalah $\boxed{\neg p\, \land q}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Manakah dari pernyataan majemuk berikut yang bernilai salah?

  1. $3^3 = 27$ atau $3^2 = 8.$
  2. $11$ adalah bilangan prima atau $10$ adalah bilangan kelipatan $5.$
  3. Sudut lancip kurang dari $90^\circ$ atau $5^3 = 25$
  4. Denpasar ada di Bali atau Surabaya merupakan ibu kota Jawa Tengah.
  5. Tahun kabisat ada $365$ hari atau satu tahun terdiri dari 52 minggu.

Pembahasan

Semua pernyataan majemuk di atas dihubungkan oleh disjungsi dan akan bernilai benar ketika “cukup” salah satu pernyataan tunggal bernilai benar.
Cek opsi A:
$$\begin{aligned} p : &~3^3 = 27~~(\text{B}) \\ q : &~3^2 = 8~~(\text{S}) \end{aligned}$$Karena ada pernyataan tunggal yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai benar.
Cek Opsi B:
$$\begin{aligned} p : &~11~\text{adalah bilangan prima}~~(\text{B}) \\ q : &~10~\text{adalah bilangan kelipatan 5}~~(\text{B}) \end{aligned}$$Karena ada pernyataan tunggal yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai benar.
Cek Opsi C:
$$\begin{aligned} p : &~\text{Sudut lancip kurang dari}~ 90^\circ~~(\text{B}) \\ q : &~5^3 = 25~~(\text{S}) \end{aligned}$$Karena ada pernyataan tunggal yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai benar.
Cek Opsi D:
$$\begin{aligned} p : &~\text{Denpasar ada di Bali}~~(\text{B}) \\ q : &~\text{Surabaya merupakan ibu kota Jawa Tengah}~~(\text{S}) \end{aligned}$$Karena ada pernyataan tunggal yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai benar.
Cek Opsi E:
$$\begin{aligned} p : &~\text{Tahun kabisat ada 365 hari}~~(\text{S}) \\ q : &~\text{Satu tahun terdiri dari 52 minggu}~~(\text{S}) \end{aligned}$$Karena kedua pernyataan tunggal bernilai salah, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai salah.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Ingkaran dari pernyataan $2 < x \le 10$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2 > x$ dan $x < 10$
B. $2 > x > 10$
C. $x \le 2$ atau $x > 10$
D. $x \le 2$ dan $x > 10$
E. $2 \le x > 10$

Pembahasan

Pernyataan $2 < x \le 10$ dapat ditulis dalam bentuk panjang menjadi $x > 2$ dan $x \le 10$, sehingga diperoleh pernyataan konjungsi.
Ingkaran dari $p \, \land q$ adalah $$\boxed{\neg(p \, \land q) \equiv \neg p \lor \neg q}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p : &~x > 2 \\ q : &~x \le 10 \\ \neg p : &~x \le 2 \\ \neg q : &~x > 10 \end{aligned}$$Jadi, ingkarannya adalah $$\boxed{\neg p \lor \neg q :~x \le 2~\text{atau}~x > 10}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Negasi dari pernyataan “Untuk setiap nilai $x$, berlaku $x^2 = x \cdot x$” adalah $\cdots \cdot$

  1. Untuk semua nilai $x$, berlaku $x^2 = x \cdot x$
  2. Untuk sebagian nilai $x$, berlaku $x^2 = x \cdot x$
  3. Untuk setiap nilai $x$, tidak berlaku $x^2 = x \cdot x$
  4. Ada nilai $x$ yang tidak berlaku $x^2 = x \cdot x$
  5. Ada nilai $x$ yang berlaku $x^2 = x \cdot x$

Pembahasan

Perhatikan bahwa pernyataan memuat kuantor universal (setiap) dan juga perlu diingkarkan menjadi kuantor eksistensial (ada).
$$\begin{aligned} p :&~\text{Untuk}~\color{blue}{\text{setiap}}~\text{nilai}~x,~\text{berlaku}~x^2 = x \cdot x \\ \neg p:&~\text{Untuk}~\color{blue}{\text{sebagian}}~\text{nilai}~x,~\color{red}{\text{tidak}}~\text{berlaku}~x^2 = x \cdot x \\ \neg p :&~\color{blue}{\text{Ada}}~\text{nilai}~x~\text{yang}~\color{red}{\text{tidak}}~\text{berlaku}~x^2 = x \cdot x \end{aligned}$$Jadi, negasi dari pernyataan tersebut adalah “Ada nilai $x$ yang tidak berlaku $x^2 = x \cdot x.$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Ingkaran dari pernyataan “Ada siswa SMK yang tidak harus mengikuti praktik kerja industri” adalah $\cdots \cdot$

  1. Ada siswa SMK yang tidak mengikuti praktik kerja industri
  2. Semua siswa SMK tidak mengikuti praktik kerja industri
  3. Ada siswa SMK yang mengikuti praktik kerja industri
  4. Semua siswa SMK harus mengikuti praktik kerja industri
  5. Tidak ada siswa SMK yang tidak mengikuti praktik kerja industri

Pembahasan

Perhatikan bahwa pernyataan memuat kuantor eksistensial (ada) dan juga perlu diingkarkan menjadi kuantor universal (semua).
$$\begin{aligned} p : &~\color{blue}{\text{Ada}}~\text{siswa SMK yang}~\color{red}{\text{tidak}}~\text{harus mengikuti praktik kerja industri} \\ \neg p : &~\color{blue}{\text{Semua}}~\text{siswa SMK harus mengikuti praktik kerja industri} \end{aligned}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Pernyataan yang senilai dengan “Jika UMR naik, maka semua harga sembako naik” adalah $\cdots \cdot$

  1. Jika UMR tidak naik, maka semua harga sembako tidak naik
  2. Jika UMR tidak naik, maka ada harga sembako yang tidak naik  
  3. Jika ada harga sembako yang tidak naik, maka UMR tidak naik
  4. Jika semua harga sembako tidak naik, maka UMR tidak naik
  5. Jika ada harga sembako yang naik, maka UMR tidak naik

Pembahasan

Pernyataan yang senilai (ekuivalen) dengan bentuk implikasi adalah kontraposisinya, yaitu $$\boxed{p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p : &~\text{UMR naik} \\ q : &~\color{blue}{\text{Semua}}~\text{harga sembako naik} \\ \neg p : &~\text{UMR tidak naik} \\ \neg q : &~\color{blue}{\text{Ada}}~\text{harga sembako yang tidak naik} \end{aligned}$$Dengan demikian, pernyataan yang senilai adalah “Jika ada harga sembako yang tidak naik, maka UMR tidak naik.”
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Pernyataan yang senilai dengan “Jika $2 \times 3 = 6$, maka $2+3 = 5$ adalah $\cdots \cdot$

  1. Jika $2 \times 3 = 6$, maka $2+3 \neq 5$
  2. Jika $2 \times 3 \neq 6$, maka $2+3 = 5$
  3. Jika $2+ 3 = 5$, maka $2 \times 3 = 6$
  4. Jika $2+ 3 \neq 5$, maka $2 \times 3 \neq 6$
  5. Jika $2+ 3 = 5$, maka $2 \times 3 \neq 6$

Pembahasan

Pernyataan yang senilai (ekuivalen) dengan bentuk implikasi adalah kontraposisinya, yaitu $$\boxed{p \Rightarrow q \equiv \neg q \Rightarrow \neg p}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p : &~2 \times 3 = 6 \\ q : &~2 + 3 = 5 \\ \neg p : &~2 \times 3 \neq 6 \\ \neg q : &~2 + 3 \neq 5 \end{aligned}$$Dengan demikian, pernyataan yang senilai adalah “Jika $2+3 \neq 5$, maka $2 \times 3 \neq 6.$”
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Konvers dari “Jika $n$ bilangan prima lebih dari $2$, maka $n$ ganjil” adalah $\cdots \cdot$

  1. Jika $n$ ganjil, maka $n$ bilangan prima lebih dari $2$
  2. Jika $n$ bukan bilangan prima lebih dari $2$, maka $n$ ganjil
  3. Jika $n$ bilangan prima lebih dari $2$, maka $n$ bukan ganjil
  4. Jika $n$ bukan bilangan prima lebih dari $2$, maka $n$ bukan ganjil
  5. Jika $n$ bukan ganjil, maka $n$ bukan bilangan prima lebih dari $2$

Pembahasan

Konvers dari pernyataan implikasi $p \Rightarrow q$ adalah $q \Rightarrow p.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p : &~n~\text{bilangan prima lebih dari 2} \\ q : &~n~\text{ganjil} \end{aligned}$$Jadi, konversnya adalah “Jika $n$ ganjil, maka $n$ bilangan prima lebih dari $2$.”
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Dari pernyataan “Jika $2 \times 4 = 8$, maka $7 \le 8$, inversnya adalah $\cdots \cdot$

  1. Jika $2 \times 4 = 8$, maka $7 > 8$
  2. Jika $2 \times 4 \neq 8$, maka $7 > 8$
  3. Jika $7 > 8$, maka $2 \times 4 \neq 8$
  4. Jika $7 < 8$, maka $2 \times 4 = 8$
  5. $2 \times 4 = 8$ dan $7 \ge 8$

Pembahasan

Invers dari pernyataan implikasi $p \Rightarrow q$ adalah $\neg p \Rightarrow \neg q.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p : &~2 \times 4 = 8 \\ q : &~7 \le 8 \\ \neg p :&~2 \times 4 \neq 8 \\ \neg q : &~7 > 8 \end{aligned}$$Jadi, inversnya adalah “Jika $2 \times 4 \neq 8$, maka $7 > 8$.”
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Kontraposisi dari pernyataan “Jika $x$ bilangan bulat, maka $x^2 + 2 > 11$” adalah $\cdots \cdot$

  1. Jika $x^2 + 2 \ge 11$, maka $x$ bilangan bulat
  2. Jika $x^2 + 2 \le 11$, maka $x$ bukan bilangan bulat
  3. Jika $x^2+2 <11$, maka $x$ bukan bilangan bulat
  4. Jika $x^2+2>11$, maka $x$ bukan bilangan bulat
  5. Jika $x^2 + 2<11$, maka $x$ bilangan bulat

Pembahasan

Kontraposisi dari pernyataan implikasi $p \Rightarrow q$ adalah $\neg q \Rightarrow \neg p.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p : &~x~\text{bilangan bulat} \\ q : &~x^2 + 2 > 11 \\ \neg p :&~x~\text{bukan bilangan bulat} \\ \neg q : &~x^2 + 2 \le 11 \end{aligned}$$Jadi, kontraposisinya adalah “Jika $x^2 + 2 \le 11$, maka $x$ bukan bilangan bulat.”
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Pernyataan biimplikasi “$\sqrt7$ merupakan bilangan rasional jika dan hanya jika $x$ adalah bilangan asli lebih dari 4” bernilai salah. Berapa banyak nilai $x$ yang mungkin?
A. $0$                    C. $4$                     E. $\infty$
B. $1$                    D. $10$

Pembahasan

“$\sqrt7$ merupakan bilangan rasional” adalah pernyataan yang salah. Agar pernyataan biimplikasi bernilai benar, maka pernyataan tunggal kedua harus salah juga. Oleh karena itu, $x$ yang dipilih tidak boleh merupakan bilangan asli lebih dari $4$. Dengan kata lain, akan ada tak terhingga bilangan lain yang dapat dipilih untuk nilai $x$.
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup

Soal Nomor 14
Negasi dari “2 > 5 jika dan hanya jika 5 < 1” adalah $\cdots \cdot$

  1. $2 < 5$ jika dan hanya jika $5 > 1$
  2. $2 < 5$ jika dan hanya jika $5 < 1$
  3. $2 \le 5$ jika dan hanya jika $5 \le1$
  4. $2 \le 5$ jika dan hanya jika $5 < 1$
  5. $2 \le 5$ jika dan hanya jika $5 \ge 1$

Pembahasan

Negasi dari pernyataan biimplikasi $p \Leftrightarrow q$ ada dua bentuk, yaitu 
$$\boxed{\neg(p \Leftrightarrow q) \equiv \neg p \Leftrightarrow q \equiv p \Leftrightarrow \neg q}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} p : &~2 > 5 \\ q : &~5 < 1 \\ \neg p :&~2 \le 5 \\ \neg q: &~5 \ge 1 \end{aligned}$$Jadi, negasi dari pernyataan biimplikasi tersebut adalah 
$$\begin{aligned} \neg p \Leftrightarrow q : &~2 \le 5~\text{jika dan hanya jika}~5 < 1 \\ p \Leftrightarrow \neg q : &~2 > 5~\text{jika dan hanya jika}~5 \ge 1 \end{aligned}$$Berdasarkan opsi yang diberikan, jawaban yang tepat adalah D.

[collapse]

Bagian Uraian 

Soal Nomor 1
Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut.

  1. Semua hewan berkaki empat.
  2. Ada ikan yang bernapas dengan paru-paru.
  3. Ada manusia yang tidak dapat hidup di daerah pegunungan.
  4. Semua siswa SMK tidak dapat melanjutkan ke perguruan tinggi.
  5. $3 + 12 \div 4 < 5$
  6. Beberapa siswa tidak hadir karena sakit.
  7. $1 + 1 = 2$

Pembahasan

Sebelumnya perlu ditegaskan bahwa negasi (ingkaran) dari kata ada atau beberapa (kuantor eksistensial) adalah semua, setiap, atau seluruh (kuantor universal), begitu juga sebaliknya.
Jawaban a)
$$\begin{aligned} p : &~\text{Semua hewan berkaki empat} \\ \neg p : &~\text{Ada hewan yang tidak berkaki empat} \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} p : &~\text{Ada ikan yang bernapas dengan paru-paru} \\ \neg p : &~\text{Semua ikan tidak bernapas dengan paru-paru} \end{aligned}$$Jawaban c)
$$\begin{aligned} p : &~\text{Ada manusia yang tidak dapat hidup di daerah pegunungan} \\ \neg p : &~\text{Semua manusia dapat hidup di daerah pegunungan} \end{aligned}$$Jawaban d)
$$\begin{aligned} p : &~\text{Semua siswa SMK tidak dapat melanjutkan ke perguruan tinggi} \\ \neg p : &~\text{Ada siswa SMK yang dapat melanjutkan ke perguruan tinggi} \end{aligned}$$Jawaban e)
$$\begin{aligned} p : &~3 + 12 \div 4 < 5 \\ \neg p : &~3 + 12 \div 4 \ge 5 \end{aligned}$$Jawaban f)
$$\begin{aligned} p : &~\text{Beberapa siswa tidak hadir karena sakit} \\ \neg p : &~\text{Semua siswa hadir karena sakit} \end{aligned}$$Jawaban g)
$$\begin{aligned} p : &~\text{1 + 1 = 2} \\ \neg p : &~1 + 1 \neq 2 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui dua pernyataan berikut.
$$\begin{aligned} p : &~\text{Lili menyukai matematika} \\ q : &~\text{Lili adalah siswi SMK 3} \end{aligned}$$Tuliskan pernyataan majemuk yang dinotasikan sebagai berikut.
a. $p\, \land q$
b. $\neg p\, \land q$
c. $p\, \land \neg q$

Pembahasan

Simbol $\land$ menyatakan konjungsi (dihubungkan oleh kata “dan”). Kata “dan” secara logika ekuivalen dengan “tetapi” ketika pernyataannya bersifat kontra.
Jawaban a)
Lili menyukai matematika dan merupakan siswi SMK 3.
Jawaban b)
Lili tidak menyukai matematika dan merupakan siswi SMK 3.
Jawaban c)
Lili menyukai matematika, tetapi bukan siswi SMK 3.

[collapse]

Baca Juga: Logika Matematika: Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

Soal Nomor 3
Misalkan $p$ adalah “Sukardi bisa berbahasa Indonesia”, $q$ adalah “Sukardi bisa berbahasa Inggris”, dan $r$ adalah “Sukardi bisa berbahasa Mandarin”. Terjemahkan kalimat majemuk berikut ke dalam notasi simbolik menggunakan operator logika yang sesuai.

  1. Sukardi bisa berbahasa Indonesia dan Inggris.
  2. Sukardi bisa berbahasa Inggris, tetapi tidak bisa berbahasa Mandarin.
  3. Sukardi bisa berbahasa Mandarin, tetapi tidak untuk bahasa Indonesia dan Inggris.
  4. Tidak benar bahwa Sukardi bisa berbahasa Indonesia atau Inggris.
  5. Tidak benar bahwa Sukardi bisa berbahasa Inggris dan Mandarin, tetapi tidak bisa berbahasa Indonesia.

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} \color{blue}{p} : &~\text{Sukardi bisa berbahasa Indonesia} \\ \color{red}{q} : &~\text{Sukardi bisa berbahasa Inggris} \\ \color{green}{r} : &~\text{Sukardi bisa berbahasa Mandarin} \end{aligned}$$Jawaban a)
“Sukardi bisa berbahasa Indonesia dan Inggris” ditulis dalam bentuk panjang akan menjadi “Sukardi bisa berbahasa Indonesia dan Sukardi bisa berbahasa Inggris“. Jadi, notasi simboliknya adalah $p \land q.$
Jawaban b)
“Sukardi bisa berbahasa Inggris, tetapi tidak bisa berbahasa Mandarin” ditulis dalam bentuk panjang akan menjadi “Sukardi bisa berbahasa Inggris dan Sukardi tidak bisa berbahasa Mandarin“. Jadi, notasi simboliknya adalah $q\, \land \neg r.$
Jawaban c)
“Sukardi bisa berbahasa Mandarin, tetapi tidak untuk bahasa Indonesia dan Inggris” ditulis dalam bentuk panjang akan menjadi “Sukardi bisa berbahasa Mandarin, Sukardi tidak bisa berbahasa Indonesia, dan Sukardi tidak bisa berbahasa Inggris“. Jadi, notasi simboliknya adalah $r\, \land \neg p\, \land \neg q.$
Jawaban d)
“Tidak benar bahwa Sukardi bisa berbahasa Indonesia atau Inggris” ditulis dalam bentuk panjang akan menjadi “Tidak benar bahwa Sukardi bisa berbahasa Indonesia atau Sukardi bisa berbahasa Inggris“. Jadi, notasi simboliknya adalah $\neg(p \lor q).$
Jawaban e)
“Tidak benar bahwa Sukardi bisa berbahasa Inggris dan Mandarin, tetapi tidak bisa berbahasa Indonesia” ditulis dalam bentuk panjang akan menjadi “Tidak benar bahwa Sukardi bisa berbahasa Inggris, Sukardi bisa berbahasa Mandarin, dan Sukardi tidak bisa berbahasa Indonesia“. Jadi, notasi simboliknya adalah $\neg(q\, \land r\, \land \neg p).$

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui pernyataan:
$$\begin{aligned} p : &~\text{Saya lulus ujian} \\ q : &~\text{Semua keluarga berbahagia} \\ r : &~\text{Saya melanjutkan ke perguruan tinggi} \\ t : &~\text{Saya bekerja} \end{aligned}$$Buatlah pernyataan dari notasi berikut.
a. $p\, \land q$
b. $\neg r\, \land t$
c. $\neg p \Rightarrow \neg t$
d. $p \Rightarrow r$
e. $p\, \land \neg r$
f. $\neg q \Leftrightarrow \neg r$
g. $q \Leftrightarrow t$
h. $\neg p~\lor r$
i. $p \Rightarrow \neg q$
j. $\neg p \Leftrightarrow t$

Pembahasan

Perhatikan bahwa pernyataan $q$ memuat kuantor universal, yaitu “semua”, sehingga $\neg q$ berbunyi ada keluarga yang tidak berbahagia.
$$\begin{aligned} \text{a}.~&p\, \land q :&&\text{Saya lulus ujian dan semua keluarga berbahagia} \\ \text{b}.~&\neg r\, \land t :&&\text{Saya tidak melanjutkan ke perguruan tinggi dan saya bekerja} \\ \text{c}.~&\neg p \Rightarrow \neg t :&&\text{Jika saya tidak lulus ujian, maka saya tidak bekerja} \\
\text{d}.~&p \Rightarrow r :&&\text{Jika saya lulus ujian, maka saya melanjutkan ke perguruan tinggi} \\
\text{e}.~&p\, \land \neg r :&&\text{Saya lulus ujian dan saya tidak melanjutkan ke perguruan tinggi} \\
\text{f}.~&\neg q \Leftrightarrow \neg r :&&\text{Ada keluarga yang tidak berbahagia jika dan hanya jika saya tidak melanjutkan ke perguruan tinggi} \\
\text{g}.~&q \Leftrightarrow t :&&\text{Semua keluarga berbahagia jika dan hanya jika saya bekerja} \\
\text{h}.~&\neg p~\lor r :&&\text{Saya tidak lulus ujian atau saya melanjutkan ke perguruan tinggi} \\
\text{i}.~&p \Rightarrow \neg q :&&\text{Jika saya lulus ujian, maka ada keluarga yang tidak berbahagia} \\
\text{j}.~&\neg p \Leftrightarrow t :&&\text{Saya tidak lulus ujian jika dan hanya jika saya bekerja} \end{aligned}$$ 

[collapse]

Soal Nomor 5
Diberikan pernyataan “Tidak benar bahwa penjualan merosot maupun pendapatan tidak naik”.

  1. Tuliskan pernyataan di atas dalam notasi simbolik dengan menggunakan operator logika.
  2. Berikan pernyataan yang ekuivalen secara logika dengan pernyataan tersebut.

Pembahasan

Jawaban a)
Misalkan:
$$\begin{aligned} \color{blue}{p} : &~\text{Penjualan merosot} \\ \color{red}{q} : &~\text{Pendapatan naik} \\ \end{aligned}$$Perhatikan bahwa  “Tidak benar bahwa penjualan merosot maupun pendapatan tidak naik” ditulis dalam bentuk panjang akan menjadi “Tidak benar bahwa penjualan merosot dan pendapatan tidak naik.” Jadi, notasi simbolik yang sesuai adalah $\boxed{\neg(p\, \land \neg q)}$
Jawaban b)
Gunakan Hukum De Morgan dan Hukum involusi (negasi ganda).
$$\begin{aligned} \neg(p\, \land \neg q) & \equiv \neg p~\lor \neg(\neg q) && (\text{Hukum De Morgan}) \\ & \equiv \neg p~\lor q && (\text{Hukum Involusi}) \end{aligned}$$Jadi, pernyataan yang ekuivalen secara logika adalah “Penjualan tidak merosot atau pendapatan naik”.

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan nilai $x$ agar pernyataan majemuk berikut bernilai benar.

  1. $x^2 = 25$ atau $6 < 2.$
  2. $x$ adalah bilangan asli kurang dari $6$ atau India terletak di benua Asia.

Pembahasan

Jawaban a)
Misalkan:
$$\begin{aligned} p : &~x^2 = 25 \\ q : &~6 < 2~~(\text{S})\end{aligned}$$Pernyataan $q$ bernilai salah, sehingga agar $p \lor q$ bernilai benar, maka $p$ harus bernilai benar.
$$\begin{aligned} x^2 & = 25 \\ x & = \pm \sqrt{25} \\ x & = \pm 5 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = 5$ atau $x = -5.$
Jawaban b)
Misalkan:
$$\begin{aligned} p : &~x~\text{adalah bilangan asli kurang dari 6} \\ q : &~\text{India terletak di benua Asia (B)} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $q$ bernilai benar, sehingga $p \lor q$ sudah pasti bernilai benar. Jadi, berapapun nilai $x$ tidak akan memengaruhi kebenaran pernyataan majemuk tersebut.

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan biimplikasi berikut.

  1. $3 \times 5 = 15$ jika dan hanya jika $12 \div 4 < 5.$
  2. Canberra adalah ibu kota Australia jika dan hanya jika $5^2-5 > 0.$
  3. Luas segitiga sama dengan panjang alas dikali tinggi dibagi $3$ jika dan hanya jika $3^2 = 9.$

Pernyataan biimplikasi bernilai benar ketika dua pernyataan tunggal penyusunnya memiliki nilai kebenaran yang sama.

Pembahasan

Jawaban a)
$$3 \times 5 = 15~\text{jika dan hanya jika}~12 \div 4 < 5.$$Perhatikan bahwa $3 \times 5 = 15$ bernilai benar, begitu juga halnya dengan $12 \div 4 < 5.$ Karena memiliki nilai kebenaran yang sama (keduanya benar), maka pernyataan biimplikasi tersebut bernilai benar.
Jawaban b)
$$\text{Canberra adalah ibu kota Australia jika dan hanya jika}~5^2-5 > 0.$$Perhatikan bahwa Canberra memang ibu kota Australia dan $5^2-5 = 20 > 0$. Karena kedua pernyataan itu memiliki nilai kebenaran yang sama (keduanya benar), maka pernyataan biimplikasi tersebut bernilai benar.
Jawaban c)
$$\text{Luas segitiga sama dengan panjang alas dikali tinggi dibagi 3 jika dan hanya jika}~3^2 = 9.$$Perhatikan bahwa seharusnya luas segitiga sama dengan panjang alas dikali tinggi dibagi 2, sehingga pernyataan pertama bernilai salah, tetapi $3^2 = 9$ adalah pernyataan yang benar. Karena memiliki nilai kebenaran yang berbeda (satunya benar, satunya salah), maka pernyataan biimplikasi tersebut bernilai salah.

[collapse]

2 Replies to “Soal dan Pembahasan – Logika Matematika”

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *