Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

      Matriks merupakan salah satu materi matematika yang dipelajari saat tingkat SMA/Sederajat. Banyak rumor yang mengatakan bahwa matriks merupakan materi matematika yang paling gampang dipahami di tingkat SMA. Meskipun demikian, latihan soal tentang matriks tetap menjadi kunci utama untuk memahami materi tersebut. Untuk itu, disajikan soal dan pembahasan super lengkap mengenai matriks, determinan, dan invers matriks di bawah ini. Penyajian rumus/simbol matematikanya menggunakan LaTeX sehingga lebih smooth dari segi tampilan. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF, 173 KB).

Semoga bermanfaat dan selamat belajar! 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Matriks, Determinan, dan Invers Matriks (Versi HOTS dan Olimpiade)

Today Quote

Hidup itu indah jika kita selalu bersyukur atas semua yang ada.

Soal Nomor 1 (Soal UN SMA Jurusan IPA Tahun 2012)
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 3 & y \\ 5 &-1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} x & 5 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix}-3 &-1 \\ y & 9 \end{pmatrix}$. Jika $A+B-C = \begin{pmatrix} 8 & 5x \\-x &-4 \end{pmatrix}$, maka nilai $x + 2xy + y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$                      C. $18$                     E. $22$
B. $12$                    D. $20$     

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 3 & y \\ 5 &-1 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} x & 5 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} \\ C & = \begin{pmatrix}-3 &-1 \\ y & 9 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} A+B-C & = \begin{pmatrix} 8 & 5x \\-x &-4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & y \\ 5 &-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & 5 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3 &-1 \\ y & 9 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 8 & 5x \\-x &-4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 + x-(-3) & y + 5-(-1) \\ 5 + (-3)- y &-1 + 6-9 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 8 & 5x \\-x &-4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x + 6 & y + 6 \\ 2-y &-4 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 8 & 5x \\-x &-4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$x + 6 = 8$, sehingga $x = 2$, dan
$y + 6 = 5x$, berarti $y + 6 = 5(2) = 10$, sehingga didapat $y = 4$. 
Jadi, nilai dari $x+2xy+y$ adalah
$\boxed{2+2(2)(4)+4 = 22}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2 (Soal UN SMA Jurusan IPA Tahun 2013)
Diketabui matriks $A = \begin{pmatrix} a+2 & 1-3b \\-1 &-6 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2a & b-3 \\-1 & 2 \end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\-2 &-4 \end{pmatrix}$. Jika $A+B = C$, maka nilai $a+b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-6$                        C. $-2$                   E. $2$
B. $-3$                        D. $1$       

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} a+2 & 1-3b \\-1 &-6 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 2a & b-3 \\-1 & 2 \end{pmatrix} \\ C & = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\-2 &-4 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} A + B & = C \\ \begin{pmatrix} a+2 & 1-3b \\-1 &-6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2a & b-3 \\-1 & 2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\-2 &-4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3a + 2 &-2b-2 \\-2 &-4 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\-2 &-4 \end{pmatrix}\end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$3a + 2 = 5 \iff 3a = 3 \iff a = 1$
dan
$-2b- 2 = 6 \iff-2b = 8 \iff b =-4$
Jadi, nilai dari $a+b$ adalah $\boxed{1+(-4) =-3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3 (Soal UN SMA Jurusan IPA Tahun 2014)
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 2m &-3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} n+1 & 3 \\ m-n & 0 \end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix} 5 &-4 \\ 2 &-3 \end{pmatrix}$. Jika $C^T$ adalah transpos dari $C$ dan $A + B = C^T$, nilai dari $3m+2n = \cdots \cdot$
A. $-25$                 C. $-11$               E. $-1$
B. $-14$                 D. $-7$     

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 2m &-3 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} n+1 & 3 \\ m-n & 0 \end{pmatrix} \\ C & = \begin{pmatrix} 5 &-4 \\ 2 &-3 \end{pmatrix} \\ C^T & = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\-4 &-3 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} A + B & = C^T \\ \begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 2m &-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 & 3 \\ m-n & 0 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\-4 &-3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} n + 4 & 2 \\ 3m-n &-3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\-4 &-3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$n + 4 = 5 \iff n = 1$
dan
$\begin{aligned} 3m-n & =-4 \\ \implies 3m-1 & =-4 \iff m =-1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $3m+2n$ adalah $\boxed{3(-1) + 2(1) =-1}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui persamaan matriks $3 \begin{pmatrix} 5 & x \\ y & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-6 & x-4 \\ 3-y &-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 13 & 5 \end{pmatrix}$
Nilai $2x-y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                       C. $1$                     E. $5$
B. $-1$                       D. $3$       

Pembahasan

Dari persamaan matriks yang diberikan itu, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 15 & 3x \\ 3y & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-6 & x-4 \\ 3-y &-7 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 13 & 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 9 & 4x- 4 \\ 2y + 3 & 5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 13 & 5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$4x-4 = 8 \iff 4x = 12 \iff x = 3$
dan
$2y + 3 = 13 \iff 2y = 10 \iff y = 5$
Jadi, nilai dari $2x-y$ adalah $\boxed{2(3)-5 = 1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui persamaan matriks $$2 \begin{pmatrix} a & 2 \\-3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 &-1 \\ 0 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ c & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & d \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$Nilai dari $a+b+c+d = \cdots \cdot$
A. $11$                    C. $15$                    E. $19$
B. $13$                    D. $17$       

Pembahasan

Dari persamaan matriks di atas, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2a & 4 \\-6 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 &-1 \\ 0 & b \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3(2) + 2(1) & 3d + 2(3) \\ 2c + 4(1) & cd + 4(3) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a + 4 & 3 \\-6 & 2 + b \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 8 & 3d + 6 \\ 2c + 4 & cd+ 12 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir, didapat
$2a + 4 = 8 \iff 2a = 4 \iff a = 2$
$3 = 3d + 6 \iff 3d =-3 \iff d =-1$
$-6= 2c + 4 \iff 2c =-10 \iff c =-5$
dan
$\begin{aligned} & 2 + b = cd + 12 \\ & \implies 2 + b = (-5)(-1) + 12 = 17 \\ & \iff b = 15 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $a+b+c+d$ adalah $\boxed{2+15+(-5)+(-1) = 11}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 1 &-d \\ b & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 4 &-5 \\-3 & b \end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix} 3c &-5c \\ 1-a & 3a-1 \end{pmatrix}$. Nilai $a+b+c+d$ yang memenuhi persamaan $B-A=C^T$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-8$                    C. $\dfrac{11}{3}$                    E. $\dfrac{141}{9}$
B. $-3$                    D. $9$      

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 1 &-d \\ b & 3 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 4 &-5 \\-3 & b \end{pmatrix} \\ C & = \begin{pmatrix} 3c &-5c \\ 1-a & 3a-1 \end{pmatrix} \\ C^T & = \begin{pmatrix} 3c & 1-a \\-5c & 3a-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} B-A &=C^T \\ \begin{pmatrix} 4 &-5 \\-3 & b \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 &-d \\ b & 3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3c & 1-a \\-5c & 3a-1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 &-5+d \\-3-b & b-3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3c & 1-a \\-5c & 3a-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir, diperoleh
Baris $1$ kolom $1$:
$3 = 3c \iff c = 1$
Baris $2$ kolom $1$:
$\begin{aligned} -3-b & =-5c \\ \implies-3-b & =-5(1) =-5 \iff b = 2 \end{aligned}$
Baris $2$ kolom $2$:
$\begin{aligned} b-3 & = 3a- 1 \\ \implies 2-3 & = 3a-1 \iff a = 0 \end{aligned}$
Baris $1$ kolom $2$:
$\begin{aligned} -5+d & = 1-a \\ \implies-5+d & = 1- 0 \iff d = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $a+b+c+d$ adalah $\boxed{0+2+1+6 = 9}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} \dfrac{6}{x} &-\dfrac{10}{x} \\-1 & 2 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$. Jika $A^T = B^{-1}$, maka nilai $2x = \cdots \cdot$
A. $-8$                     C. $-\dfrac{1}{4}$                       E. $8$
B. $-4$                    D. $4$      

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} \dfrac{6}{x} &-\dfrac{10}{x} \\-1 & 2 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \\ A^T & = \begin{pmatrix} \dfrac{6}{x} &-1 \\-\dfrac{10}{x} & 2 \end{pmatrix} \\ B^{-1} & = \dfrac{1}{3x-10} \begin{pmatrix} 3 &-2 \\-5 & x \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} A^T & = B^{-1} \\ \begin{pmatrix} \dfrac{6}{x} &-1 \\-\dfrac{10}{x} & 2 \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{3x-10} \begin{pmatrix} 3 &-2 \\-5 & x \end{pmatrix} \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{6}{x} & = \dfrac{3}{3x-10} \\ 6(3x-10) & = 3x \\ 18x- 60 & = 3x \\ 15x & = 60 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $2x$ adalah $\boxed{2(4)=8}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} x + y & x \\ y & x-y \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 1 &-\dfrac{1}{2}x \\-2y & 3 \end{pmatrix}$, dan $A^T = B$. Nilai $x+2y = \cdots \cdot$
A. $-11$                     C. $0$                     E. $2$
B. $-2$                       D. $1$      

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} x + y & x \\ y & x-y \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 1 &-\frac{1}{2}x \\-2y & 3 \end{pmatrix} \\ A^T & = \begin{pmatrix} x + y & y \\ x & x-y \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} A^T & = B \\ \begin{pmatrix} x + y & y \\ x & x-y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 &-\frac{1}{2}x \\-2y & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dari persamaan terakhir, diperoleh SPLDV
$\begin{cases} x + y = 1 \\ x-y = 3 \end{cases}$
yang memiliki penyelesaian untuk $x = 2$ dan $y =-1$. 
Jadi, nilai dari $x+2y$ adalah $\boxed{2+2(-1)=0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- SPLDV

Soal Nomor 9
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. 
Jika $AC = B$, maka determinan matriks $C$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                     C. $2$                    E. $-2$
B. $3$                     D. $-1$       

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Determinan dari matriks tersebut adalah
$\begin{aligned} \det(A) & = 2(4)- 3(3) =-1 \\ \det(B) & =-1(2)-1(0) =-2 \end{aligned}$
Karena $AC = B$, maka berlaku $\color{red}{\det(A) \cdot \det(C) = \det(B)}$, sehingga
$-1 \cdot \det(C) =-2 \iff \det(C) = 2$
Jadi, determinan dari matriks $C$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\-1 &-3 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix}$.
Hasil dari $AB^2 = \cdots \cdot$
A. $A^t$                     C. $B^t$                      E. $B$
B. $B^{-1}$                  D. $A^{-1}$     

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\-1 &-3 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} AB^2 & = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\-1 &-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} = B \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{AB^2 = B}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui matriks $B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ dan matriks $C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$. Jika $(A+B)^{-1} \cdot C = B^{-1}$, matriks $A = \cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix}-3 & 8 \\ 9 & 20 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 20 &-9 \\-8 & 3 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix}-3 &-9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Diketahui
$B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}~~~~C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} (A+B)^{-1} \cdot C & = B^{-1} \\ C & = (A+B)B^{-1} \\ CB & = A + B \\ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} & = A + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5 & 13 \\ 9 & 23 \end{pmatrix} & = A + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ A & = \begin{pmatrix} 5 & 13 \\ 9 & 23 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ A & = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, matriks $A$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui matriks $P^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\-1 & 1 \end{pmatrix}$ dan matriks $Q = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\-2 &-1 \end{pmatrix}$. Hasil dari $(PQ^{-1})^{-1} = \cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix}-5 & 6 \\-5 &-1 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 1 & 6 \\-5 &-5 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix}-1 & 6 \\-5 &-5 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix}-5 &-6 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Diketahui:
$P^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\-1 & 1 \end{pmatrix}~~~Q = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\-2 &-1 \end{pmatrix}$
Gunakan sifat invers matriks untuk mempermudah penyelesaian soal ini. 
$\begin{aligned} (PQ^{-1})^{-1} & = QP^{-1} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\-2 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\-1 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}-1 & 6 \\-5 &-5 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{(PQ^{-1})^{-1} = \begin{pmatrix}-1 & 6 \\-5 &-5 \end{pmatrix}} $
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ dan matriks $B = \begin{pmatrix}-1 & 1\\ 2 &-2 \\-3 & 3 \end{pmatrix}$ serta $B^T$ adalah transpos dari matriks $B$. Hasil dari $A^2 \times B^T = \cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} 3 &-6 & 9 \\ 7 &-14 & 21 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix}-17 &-6 &-51 \\-37 &-14 &-111 \end{pmatrix}$ 
C. $\begin{pmatrix} 17 & 6 & 51 \\ 37 & 14 & 111 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix}-3 & 6 &-9 \\-7 & 14 &-21 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} 3 &-6 & 8 \\ 7 &-14 & 21 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Diketahui:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}~~~B = \begin{pmatrix}-1 & 1\\ 2 &-2 \\-3 & 3 \end{pmatrix}$
Untuk itu, 
$$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}$$dan
$B^T = \begin{pmatrix}-1 & 2 &-3 \\ 1 &-2 & 3 \end{pmatrix}$ 
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} A^2 \times B^T & = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-1 & 2 &-3 \\ 1 &-2 & 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}-7+10 & 14-20 &-21+30 \\-15+22 & 30-44 &-45+66 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 &-6 & 9 \\ 7 &-14 & 21 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{A^2 \times B^T = \begin{pmatrix} 3 &-6 & 9 \\ 7 &-14 & 21 \end{pmatrix}}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika $A$ adalah matriks berukuran $2 \times 2$ dan diketahui
$\begin{pmatrix} x & 1 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix} = [x^2+5x+8]$, 
maka matriks $A$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$ 
C. $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\-5 &-8 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Masing-masing matriks $\begin{pmatrix} x & 1 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$ memiliki entri $x$, sehingga entri matriks $A$ haruslah berupa konstanta. Karena koefisien $x^2$ pada ruas kanan persamaan di atas adalah $1$, maka entri baris pertama kolom pertama matriks $A$ haruslah $1$. Dengan demikian, kita dapat memisalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}$
Untuk itu, dapat dituliskan
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix} & = [x^2+5x+8] \\ \begin{pmatrix} x + b & ax + c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix} & = [x^2+5x+8] \\ [x^2+bx + ax + c] & = [x^2+5x+8] \\ x^2+(a+b)x+c & = x^2+5x+8 \end{aligned}$
Diperoleh $a + b = 5$ dan $c = 8$. 
Dari kelima pilihan jawaban yang diberikan, hanya pilihan $A$ yang memenuhi nilai-nilai tersebut. Jadi, matriks $A$ yang mungkin adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui $A = \begin{pmatrix} 3x+6 & 9 \\ 9 & 9 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 15 & 3x+6 \end{pmatrix}$, maka perkalian nilai-nilai $x$ yang memenuhi $\det(AB) = 729$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$                   C. $1$                     E. $4$
B. $-3$                   D. $3$       

Pembahasan

Diketahui:
$A = \begin{pmatrix} 3x+6 & 9 \\ 9 & 9 \end{pmatrix}~~~B = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 15 & 3x+6 \end{pmatrix}$
Cari dulu determinan dari kedua matriks tersebut. 
$\begin{aligned} \det(A) & = (3x+6)9 + 9(9) \\ & = 27x + 54- 81 \\ & = 27x-27  \\ \det(B) & = 9(3x+6)-15(0) \\ & = 27x + 54 \end{aligned}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \det(AB) & = 729 \\ \det(A) \cdot \det(B) & = 729 \\ (27x-27)(27x+54)-729 & = 0 \\ 27(x-1) \cdot 27(x+2)-729 & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~&729 \\ (x-1)(x+2)-1 & = 0 \\ x^2 + x-3 & = 0 \end{aligned}$
Hasil kali nilai-nilai $x$ yang dimaksud dalam soal adalah hasil kali akar-akar persamaan kuadrat di atas, yaitu 
$x_1x_2 = \dfrac{\text{Konst.}} {\text{Koef.}~x^2} = \dfrac{-3}{1} =-3$
Jadi, perkalian nilai-nilai $x$ yang memenuhi $\det(AB) = 729$ adalah $\boxed{-3}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, dan matriks $C$ memenuhi $AC = B$, maka $\det(C) = \cdots \cdot$
A. $1$                       C. $9$                    E. $12$
B. $6$                       D. $11$      

Pembahasan

Dari matriks $A$ dan $B$ yang diberikan, diketahui
$\det(A)= 1(3)-1(2) = 1$ dan
$\det(B) = 4(3)-1(1) = 11$
Gunakan Teorema Determinan Matriks. 
$\begin{aligned} AC & = B \\ \det(A) \cdot \det(C) & = \det(B) \\ \det(C) & = \dfrac{\det(B)} {\det(A)} \\ \det(C) & = \dfrac{11}{1} = 11 \end{aligned}$
Jadi, determinan dari matriks $C$ adalah $\boxed{\det(C) = 11}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 &-1 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B^T= \begin{pmatrix} 1 & 2 &-1\\-1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, dan $B^T$ adalah transpos matriks $B$. Jika $\det(2AB) = k \det(AB)^{-1}$, maka $k = \cdots \cdot$
A. $2$                     C. $12$                    E. $36$
B. $3$                     D. $24$         

Pembahasan

Diketahui:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 &-1 & 1 \end{pmatrix}; B^T= \begin{pmatrix} 1 & 2 &-1\\-1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
Matriks $B$ adalah
$B = \begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 & 1 \\-1 & 2 \end{pmatrix}$
Perhatikan bahwa hasil kali matriks $A$ dan $B$ adalah
$$\begin{aligned} AB & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 &-1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 & 1 \\-1 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1(1) + 1(2) + 2(-1) & 1(-1) + 1(1) + 2(2) \\ 2(1)-1(2) + 1(-1) & 2(-1)-1(1) + 1(2) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\-1 &-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \det(2AB) & = k \det(AB)^{-1} \\ 2^2 \det(AB) & = \dfrac{k} {\det(AB)} \\ k & = 4 (\det (AB))^2 \\ k & = 4(1(-1)-(-1)(4))^2 \\ k & = 4(-1+4)^2 = 36 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $k$ adalah $\boxed{36}$
Catatan:
Gunakan Teorema Determinan:
Apabila $A$ matriks berordo $n \times n$, maka $\color{red}{\det(kA) = k^n \det(A)}$

(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui suatu persamaan matriks:
$\begin{pmatrix}-q+s & q \\-p+r & p \end{pmatrix} \cdot A = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$
Determinan matriks $A$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                  E. $4$
B. $1$                     D. $3$        

Pembahasan

Dengan menggunakan Teorema Determinan:
$\boxed{\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)}$
diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix}-q+s & q\\-p+r & p \end{vmatrix} \cdot \det(A) & = \begin{vmatrix} p & q \\ r & s \end{vmatrix} \\ ((-q+s)p-(-p+r)q) \cdot \det(A) & = ps-qr \\ (-pq + ps + pq-qr) \cdot \det(A) & = ps-qr \\ (ps-qr) \cdot \det(A) & = ps-qr \\ \det(A) & = \dfrac{ps-qr} {ps-qr} = 1 \end{aligned}$$Jadi, determinan matriks $A$ adalah $\boxed{1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\-2 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3 &-4 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix}-1 &-4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$.
Nilai dari $2A-B+C = \cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} 2 &-5 \\-5 & 1 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 2 & 6 \\-5 &-1 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 0 & 6 \\-7 &-1 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 0 &-6 \\-7 &-1 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} 6 & 0 \\-7 & 1 \end{pmatrix}$

Pembahasan

$$\begin{aligned} 2A-B+C & = 2\begin{pmatrix} 2 & 3 \\-2 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 &-4 \\ 6 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 &-4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\-4 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 &-4 \\ 6 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 &-4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4-3 + (-1) & 6-(-4) + (-4) \\-4- 6 + 3 & 2-5 + 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\-7 &-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{2A-B+C = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\-7 &-1 \end{pmatrix}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 20
Transpos matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah $A^T = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$. Jika $A^T = A^{-1}$, maka $ad-bc = \cdots \cdot$
A. $-1$ atau $-\sqrt2$
B. $-1$ atau $1$
C. $-\sqrt2$ atau $\sqrt2$
D. $1$ atau $-\sqrt2$
E. $1$ atau $\sqrt2$

Pembahasan

Diketahui $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.
Determinan dari matriks $A$ dan $A^T$ sama, yakni $|A| = |A^T| = ad-bc$.
Dari persamaan $A^T = A^{-1}$, kalikan kedua ruas dengan $A$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} A \cdot A^T & = A \cdot A^{-1} \\ A \cdot A^T & = I \end{aligned}$
dengan $I$ sebagai matriks identitas, memiliki determinan $|I| = 1$.
Persamaan terakhir mengimplikasikan persamaan determinasi.
$\begin{aligned} |A| \cdot |A^T| & = |I| \\ (ad-bc)(ad-bc) & = 1 \\ ad-bc & = \pm 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $ad-bc$ adalah $\boxed{-1}$ atau $\boxed{1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Invers dari matriks $A = \begin{pmatrix} 4 &-5 \\-7 & 9 \end{pmatrix}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} 9 & 5 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 9 &-5 \\-7 & 4 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 4 &-7 \\-5 & 9\end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 9 &-5 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix}-9 &-7 \\-5 &-4 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Diketahui $A = \begin{pmatrix} 4 &-5 \\-7 & 9 \end{pmatrix}$
Determinan matriks ini adalah
$\det(A) = 4(9)-(-7)(-5) = 36-35 = 1$
Perhatikan bahwa jika diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka inversnya adalah
$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d &-b \\-c & a \end{pmatrix}$
Dengan demikian, dapat dituliskan
$A^{-1} = \dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 9 &-(-5) \\-(-7) & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 5 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}$
Jadi, invers dari matriks $A$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 9 & 5 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22
Diketahui $A = \begin{pmatrix}-4 & 5 & 2 \\ 0 &-2 & 4 \\-1 &-6 & 3 \end{pmatrix}$
Nilai $\det(A) = \cdots \cdot$
A. $-96$                    C. $-48$                E. $24$
B. $-72$                    D. $12$   

Pembahasan

Determinan matriks berordo $3 \times 3$ dapat ditentukan secara khusus dengan menggunakan Aturan Sarrus sebagai berikut.

$$\begin{aligned} \det(A) & = (-4)(-2)(3) + 5(4)(-1) + (2)(0)(-6) \\ &-((-1)(-2)(2) + (-6)(4)(-4) + (3)(0)(5) \\ & = 24-20 + 0-(4 + 96 + 0) \\ & =-96 \end{aligned}$$Jadi, determinan matriks $A$ adalah $\boxed{\det(A) =-96}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 23
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ dan $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Matriks $(A-kI)$ adalah matriks singular untuk nilai $k = \cdots \cdot$
A. $-2$ atau $5$
B. $-5$ atau $2$
C. $2$ atau $5$
D. $3$ atau $4$
E. $1$ atau $2$

Pembahasan

Diketahui:
$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}~~~I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Pertama, akan dicari dulu matriks $(A-kI)$. 
$\begin{aligned} A-kI & = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}- k \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2-k & 4 \\ 3 & 1-k \end{pmatrix} \end{aligned}$
Matriks ini akan singular apabila determinannya $0$. Jadi, haruslah
$\begin{aligned} \det(A-kI) & = 0 \\ (2-k)(1-k)- 4(3) & = 0 \\ k^2-3k + 2-12 & = 0 \\ k^2-3k-10 & = 0 \\ (k-5)(k+2) & = 0 \end{aligned}$
Dari persamaan terakhir, disimpulkan bahwa nilai $k$ yang memenuhi adalah $k =-2$ atau $k = 5$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 24
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ dengan $r \neq 0$ dan $p \neq 0$. Nilai $p$ agar matriks $BA$ tidak memiliki invers adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                     C. $0$                     E. $1$
B. $-\dfrac{1}{2}$                   D. $\dfrac{1}{2}$     

Pembahasan

Diketahui:
$A = \begin{pmatrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{pmatrix}~~~B = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$
Untuk itu, 
$\begin{aligned} BA & = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2(2r)- 1(r) & 2(1)- 1(p+1) \\ 4(2r) + 3r & 4(1) + 3(p+1) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3r & 1-p \\ 11r & 3p+7 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Agar matriks $BA$ tidak memiliki invers, determinannya harus bernilai $0$. 
$\begin{aligned} \det(BA) & = 0 \\ 3r(3p+7)-11r(1-p) & = 0 \\ 9pr + 21r-11r + 11pr & = 0 \\ 20pr + 10r & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~&r \\ 20p + 10 & = 0 \\ 20p & =-10 \\ p & =-\dfrac{10}{20} =-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ yang dimaksud adalah $\boxed{-\dfrac{1}{2}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 25
Jika $a$ bilangan bulat, maka matriks $\begin{pmatrix} a & 1 & 2 \\ a & 1 & a \\ 5 & 6 & 7 \end{pmatrix}$ tidak mempunyai invers untuk $a = \cdots \cdot$
A. $5$                     C. $3$                   E. $1$
B. $4$                     D. $2$        

Pembahasan

Matriks tersebut tidak mempunyai invers apabila determinannya bernilai $0$, atau ditulis
$\begin{vmatrix} a & 1 & 2 \\ a & 1 & a \\ 5 & 6 & 7 \end{vmatrix} = 0$
Determinannya dapat ditentukan dengan berbagai cara, antara lain Aturan Sarrus atau Ekspansi Kofaktor. 
Untuk sekarang ini, akan digunakan Ekspansi Kofaktor untuk menentukan determinan matriks tersebut. Ekspansi kofaktornya pada baris pertama. 
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a & 1 & 2 \\ a & 1 & a \\ 5 & 6 & 7 \end{vmatrix} & = 0 \\ a \begin{vmatrix} 1 & a \\ 6 & 7 \end{vmatrix}- 1 \begin{vmatrix} a & a \\ 5 & 7 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} a & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} & = 0 \\ a(7-6a)-(7a-5a) + 2(6a-5) & = 0 \\ 7a-6a^2-2a + 12a- 10 & = 0 \\-6a^2 + 17a-10 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&-1 \\ 6a^2-17a + 10 & = 0 \\ (6a-5)(a-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = \dfrac{6}{5}$ atau $a = 2$. Karena $a$ harus bilangan bulat, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a = 2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 26
Nilai $x+y$ dari sistem persamaan linear
$\begin{cases} 2x+3y=8 \\ 3x-2y=-1 \end{cases}$
adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                   C. $5$                   E. $9$
B. $3$                   D. $7$        

Pembahasan

Susun SPL di atas ke dalam bentuk matriks. 
$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 &-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\-1 \end{pmatrix}$
Gunakan sifat invers matriks: $\color{red} AX = B \implies X = A^{-1}B$, sehingga
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 &-2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 8 \\-1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{2(-2)-3(3)} \begin{pmatrix}-2 &-3 \\-3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\-1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{-13} \begin{pmatrix} (-2)(8) + (-3)(-1) \\ (-3)(8) +2(-1) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & =-\dfrac{1}{13} \begin{pmatrix}-13 \\-26 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, nilai $x+y$ adalah $\boxed{1+2=3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 27
Nilai $x-y$ dari sistem persamaan linear
$\begin{cases} 2x-3y=-4 \\ x+2y=5 \end{cases}$
adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                  C. $0$                   E. $2$
B. $-1$                  D. $1$            

Pembahasan

Susun SPL di atas ke dalam bentuk matriks. 
$\begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 5 \end{pmatrix}$
Gunakan sifat invers matriks: $\color{red} AX = B \implies X = A^{-1}B$, sehingga
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}-4 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{2(2)-(-3)(1)} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\-1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-4 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix} 2(-4) + 3(5) \\ (-1)(-4) + 2(5) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix} 7 \\ 14 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, nilai $x-y$ adalah $\boxed{1-2=-1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 28
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 &-2 &-3 \\ 1 & 4 & x \end{pmatrix}$. Jika $K_{21} =-8$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                   C. $3$                  E. $9$
B. $-1$                   D. $6$            

Pembahasan

Simbol $K_{21}$ menyatakan kofaktor baris ke-2 kolom ke-1. Dengan demikian, 
$\begin{aligned} K_{21} =-8 \\- \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & x \end{vmatrix} & =-8 \\-(2x-1(4)) & =-8 \\ 2x-4 & = 8 \\ 2x & = 12 \\ x & = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{6}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 29
Jika matriks $A = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 2 &-1 &-3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, nilai dari $M_{11}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                 C. $2$                  E. $4$
B. $1$                 D. $3$          

Pembahasan

Simbol $M_{11}$ menyatakan minor baris ke-1 kolom ke-1. Dengan demikian, 
$\begin{aligned} M_{11} & = \begin{vmatrix}-1 &-3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ & = (-1)(0)-(-3)(1) \\ & = 0 + 3 = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $M_{11}$ yang memenuhi adalah $\boxed{3}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 30
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 &-1 \end{pmatrix}$. 
Nilai ekspansi baris ke-3 matriks tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $10$                    C. $12$                   E. $14$
B. $11$                    D. $13$       

Pembahasan



Ekspansi baris ke-3 matriks $A$, yaitu
$\begin{aligned} & 0 \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}-2 \begin{vmatrix}-1 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix}-1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ & = 0- 2(-1(0)-3(2))-1(-1(1)-0(2)) \\ & =-2(-6)-(-1) = 12+1=13 \end{aligned}$
Jadi, nilai ekspansi baris ke-$3$ matriks tersebut adalah $\boxed{13}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 31
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 3 &-10 \\-1 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix}-3 & 10 \\ 1 &-4 \end{pmatrix}$, dan $D = \begin{pmatrix} 5 &-2 \\-7 & 3 \end{pmatrix}$
Pasangan matriks yang saling invers adalah $\cdots \cdot$
A. $A$ dan $B$                 D. $A$ dan $C$
B. $B$ dan $D$                 E. $A$ dan $D$
C. $B$ dan $C$

Pembahasan

Perhatikan bahwa jika diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka inversnya adalah
$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d &-b \\-c & a \end{pmatrix}$
Perhatikan bahwa,
$$\begin{aligned} \det(A) & = 3(4)-(-10)(-1) = 12-10 = 2 \\ \det(B) & = 3(5)- 2(7) = 15-14 = 1 \\ \det(C) & = (-3)(-4)-10(1) = 12-10 = 2 \\ \det(D) & = 5(3)-(-2)(-7) = 15-14 = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} A^{-1} & = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ B^{-1} & = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 5 &-2 \\-7 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 &-2 \\-7 & 3 \end{pmatrix} = D \\ C^{-1} & = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}-4 & 1 \\ 10 &-3 \end{pmatrix} \\ D^{-1} & = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = B \end{aligned}$$Jadi, pasangan matriks yang saling invers adalah matriks $B$ dan $D$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 32
Determinan matriks koefisien dari sistem persamaan linear
$$\begin{cases} 5x+2y=1250 \\ x+ky = 400 \end{cases}$$adalah $3$. Nilai $x : y = \cdots \cdot$
A. $2 : 1$                    D. $3 : 5$
B. $2 : 5$                    E. $5 : 3$
C. $3 : 2$

Pembahasan

Matriks koefisien dari SPLDV di atas diberikan oleh
$\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & k \end{pmatrix}$
Karena determinan matriks ini adalah $3$, maka kita tulis
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 1 & k \end{vmatrix} & = 3 \\ 5k-2(1) & = 3 \\ 5k & = 5 \\ k & = 1 \end{aligned}$
Substitusikan $k = 1$ pada sistem persamaan linear di atas.
$\begin{cases} 5x+2y=1250 \\ x+y = 400 \end{cases}$
Akan ditentukan nilai $x$ dengan menggunakan metode eliminasi.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x+2y & =1250  \\ x+y & = 400 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~5x+2y & = 1250 \\ 2x+2y & = 800 \end{aligned} \\ & \rule{3.2 cm}{0.8pt}- \\ & \! \begin{aligned} 3x & = 450 \\ x & = 150 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x=150$ pada salah satu persamaan, misalnya pada persamaan $x+y=400$, sehingga diperoleh
$150+y=400 \Leftrightarrow y=250$
Jadi, nilai dari $\boxed{x : y = 150 : 250 = 3 : 5}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 33
Matriks $A$ dan $B$ memiliki ordo $2 \times 2$. Diketahui $a_{ij}$ dan $b_{ij}$ masing-masing menyatakan elemen matriks $A$ dan $B$ pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$. Jika $a_{ij} = 2i + j$ dan $b_{ij} = i-3j$, maka determinan matriks $AB$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-6$                     C. $-2$                    E. $4$
B. $-3$                     D. $1$

Pembahasan

Langkah pertama:
Menentukan elemen matriks $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$, yaitu
$\begin{aligned} a_{11} & = 2(1)+1 = 3 \\ a_{12} & = 2(1)+2 = 4 \\ a_{21} & = 2(2)+1 = 5 \\ a_{22} & = 2(2)+2 = 6 \end{aligned}$.
Kita peroleh $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$, sehingga $\det(A) = 3(6)-4(5) = -2$.
Langkah kedua:
Menentukan elemen matriks $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$, yaitu
$\begin{aligned} b_{11} & = 1-3(1) = -2 \\ b_{12} & = 1-3(2)= -5 \\ b_{21} & = 2-3(1) = -1 \\ b_{22} & = 2-3(2) = -4 \end{aligned}$.
Kita peroleh $B = \begin{pmatrix} -2 & -5 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$, sehingga
$\begin{aligned} \det(B) & = -2(-4)-(-5)(-1) \\ &  = 8-5=3 \end{aligned}$

Dengan demikian, kita peroleh bahwa
$\boxed{\begin{aligned} \det(AB)  & = \det A \times \det(B) \\ & = -2(3) = -6 \end{aligned}}$

(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 34
Sistem persamaan linear $\begin{cases} 5x-4y&=-1 \\ 3x+2y&=17 \end{cases}$ memiliki penyelesaian $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 17 \end{pmatrix}$. Nilai dari $ab+cd = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{7}{484}$                    D. $-\dfrac{5}{484}$
B. $\dfrac{5}{484}$                    E. $-\dfrac{7}{484}$
C. $-\dfrac{3}{484}$

Pembahasan

Bila SPLDV tersebut dinyatakan dalam bentuk matriks, kita peroleh
$\begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 17 \end{pmatrix}$
Dengan menggunakan sifat invers matriks: $\boxed{AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B}$, diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -1 \\ 17 \end{pmatrix} \\ & = \dfrac{1}{5(2)+3(-4)} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 17 \end{pmatrix} \\ & = \dfrac{1}{22} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -1 \\ 17 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Diperoleh nilai $a = \dfrac{2}{22}$, $b = \dfrac{4}{22}$, $c=\dfrac{-3}{22}$, dan $d= \dfrac{5}{22}$ sehingga $\boxed{ab+cd=\dfrac{2}{22} \cdot \dfrac{4}{22} + \dfrac{-3}{22} \cdot \dfrac{5}{22} = -\dfrac{7}{484}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 35
Jika $A = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ memenuhi $(A+B)^2=A^2+AB+B^2$, maka nilai $k$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-6$                      C. $0$                    E. $6$
B. $-4$                      D. $4$

Pembahasan

Diketahui:
$$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \implies A^2 = \begin{pmatrix} k^2+6 & 2k-2 \\ 3k-3 & 7 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \implies B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 10 & 20 \end{pmatrix} \\ A + B & = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k+1 & 4 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \\ AB & = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k+4 & 2k+8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Karena berlaku persamaan $(A+B)^2=A^2+AB+B^2$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} k+1 & 4 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}^2 & = \begin{pmatrix} k^2+6 & 2k-2 \\ 3k-3 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} k+4 & 2k+8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 10 & 20 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} k^2+2k+21 & 4k+16 \\ 5k+20 & 29 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} k^2+k+15 & 4k+16 \\ 3k+8 & 29 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dengan menggunakan konsep persamaan matriks pada entri baris kedua kolom pertama, kita peroleh
$\begin{aligned} 5k+20 & = 3k+8 \\ 2k & = -12 \\ k & = -6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $\boxed{-6}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 36
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & x \end{pmatrix}$. Jika determinan matriks $A$ sama dengan determinan invers matriks $A$, maka nilai $2x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                           D. $0$ atau $8$
B. $2$                           E. $1$ atau $6$
C. $0$ atau $4$

Pembahasan

Diketahui $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & x \end{pmatrix}$.
Determinan matriks $A$ adalah $\det(A) = 1(x)-1(2) = x-2$.
Karena determinan matriks $A$ sama dengan determinan invers matriks $A$, maka kita tulis
$\begin{aligned} \det(A) & = 4 \cdot \det(A^{-1}) \\ \det(A) & = 4 \cdot \dfrac{1}{\det(A)} \\ (\det (A))^2 & = 4 \\ (x-2)^2 & = 4 \\ x-2 & = \pm 2 \\ x & = 4~\text{atau}~x = 0 \end{aligned}$
Akibatnya, nilai $2x$ menjadi $2(0) = 0$ atau $2(4) = 8$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 37
Diketahui $A = \begin{pmatrix} a-3 & 4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$, $B^{-1} = \dfrac{1}{2(b-3)} \begin{pmatrix} b-2 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix} a+b & -1 \\ c & 1 \end{pmatrix}$. Jika $AB = \begin{pmatrix} -20 & c \\ -16 & -4 \end{pmatrix}$ dan $C^T$ menyatakan transpos matriks $C$, maka $\det(C^T) = \cdots \cdot$
A. $-7$                  C. $-9$                  E. $-11$
B. $-8$                  D. $-10$

Pembahasan

Perhatikan bahwa matriks $C$ memuat variabel $a, b, c$ sehingga untuk menentukan nilai determinan, kita harus mencari nilai ketiga variabel itu terlebih dahulu dengan menggunakan persamaan matriks.
Karena $A = AI = ABB^{-1}$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} a-3 & 4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -20 & c \\ -16 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b-2 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{2(b-3)} \\ \begin{pmatrix} a-3 & 4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -20b + 40 + 2c & -20 + 2c \\ -16b + 32-8 & -16-8 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{2(b-3)} \\ \begin{pmatrix} a-3 & 4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -20b + 40 + 2c & -20 + 2c \\ -16b + 24 & -24 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{2(b-3)} \end{aligned}$$Dari kolom kedua baris kedua, diperoleh
$\begin{aligned} 3 & = \dfrac{-24}{2(2b-3)} \\ 3(b-3) & = -12 \\ b-3 & = -4 \\ b & = -1 \end{aligned}$
Dari kolom kedua baris pertama, diperoleh
$\begin{aligned} 4 & = \dfrac{-20+2c}{2(\color{red}{b}-3)} \\ 4 & = \dfrac{-20+2c}{2(\color{red}{-1}-3)} \\ 4 & = \dfrac{-20+2c}{-8} \\ -32 & = -20+2c \\ -12 & = 2c \\ c & =-6 \end{aligned}$
Dari kolom pertama baris pertama, diperoleh
$\begin{aligned} a-3 & = \dfrac{-20\color{red}{b}+40+2\color{blue}{c}}{2(\color{red}{b}-3)} \\ a-3 & = \dfrac{-20\color{red}{(-1)}+40+2\color{blue}{(-6)}}{2(\color{red}{-1}-3)} \\ a-3 & = \dfrac{48}{-8} \\ a-3 & = -6 \\ a & = -3 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$C = \begin{pmatrix} -3+(-1) & -1 \\ -6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -1 \\ -6 & 1 \end{pmatrix}$
Karena transpos matriks memiliki determinan yang sama dengan matriks semula, maka
$\det (C^T) = \det (C) = -4-(6) = -10$
Jadi, determinan matriks $C^T$ adalah $\boxed{-10}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 38
Perhatikan perkalian matriks berikut.
$$P = \begin{pmatrix} ^{\sqrt3} \log 2 & ^{1/2} \log 3 \\ ^{1/9} \log 4 & ^{2\sqrt2} \log 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} ^{4} \log 3 & ^{1/2} \log 3\sqrt3 \\ ^{1/3} \log 8 & ^{9} \log \dfrac18 \end{pmatrix}$$Nilai $\det P$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac{23}{4}$                     D. $-\dfrac{83}{2}$
B. $-\dfrac{35}{4}$                     E. $-\dfrac{143}{4}$
C. $-\dfrac{43}{2}$

Pembahasan

Gunakan sifat determinan berikut.
$\boxed{P = AB \Rightarrow \det P = \det A \cdot \det B}$
Gunakan juga sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^{a^m} \log a^n & = \dfrac{n}{m} \\ ^a \log b \cdot ^b \log c & = ^a \log c \end{aligned}}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} P & = \begin{pmatrix} ^{\sqrt3} \log 2 & ^{1/2} \log 3 \\ ^{1/9} \log 4 & ^{2\sqrt2} \log 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} ^{4} \log 3 & ^{1/2} \log 3\sqrt3 \\ ^{1/3} \log 8 & ^{9} \log \dfrac18 \end{pmatrix} \\ \Rightarrow \det P & = \begin{vmatrix} ^{\sqrt3} \log 2 & ^{1/2} \log 3 \\ ^{1/9} \log 4 & ^{2\sqrt2} \log 9 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} ^{4} \log 3 & ^{1/2} \log 3\sqrt3 \\ ^{1/3} \log 8 & ^{9} \log \dfrac18 \end{vmatrix} \\ \det P & = \left(^{\sqrt3} \log 2 \cdot ^{2\sqrt2} \log 9-^{1/9} \log 4 \cdot ^{1/2} \log 3\right) \cdot \left(^4 \log 3 \cdot ^9 \log \dfrac18-^{1/3} \log 8 \cdot ^{1/2} \log 3\sqrt3\right) \\ \det P & = \left(^{3^{1/2}} \log 2 \cdot ^{2^{3/2}} \log 3^2-^{3^{-2}} \log 2^2 \cdot ^{2^{-1}} \log 3\right) \cdot \left(^{2^2} \log 3 \cdot ^{3^2} \log 2^{-3}-^{3^{-1}} \log 2^3 \cdot ^{2^{-1}} \log 3^{3/2}\right) \\ \det P & = \left(\dfrac23 \cdot 2 \cdot 2-\left(-\dfrac12\right) \cdot 2 \cdot (-1)\right) \cdot \left(\dfrac12 \cdot \dfrac12 \cdot (-3)-(-1) \cdot 3 \cdot (-1) \cdot \dfrac32\right) \\ \det P & = \left(\dfrac83-1\right) \cdot \left(-\dfrac34-\dfrac92\right) \\ \det P & = \dfrac53 \cdot \left(-\dfrac{21}{4}\right) = -\dfrac{35}{4} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\det P$ adalah $\boxed{-\dfrac{35}{4}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 39
Diketahui $A, B, C$, dan $D$ adalah matriks berukuran $2 \times 2$ yang memenuhi $A+CB^T = CD$. Jika matriks $A$ memiliki invers, $\det(B^T-D) = m$, dan $\det(C) = n$, maka $\det(2A^{-1}) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{mn}$                      D. $-\dfrac{2}{mn}$
B. $\dfrac{2}{mn}$                      E. $-\dfrac{4}{mn}$
C. $\dfrac{4}{mn}$

Pembahasan

Gunakan sifat determinan berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} C & = AB \Rightarrow \det C = \det (AB) = \det A \cdot \det B \\ \det (kA) & = k^n \det A~\text{jika}~A~\text{berukuran}~n \times n \\ \det(A^{-1}) & = \dfrac{1}{\det A} \end{aligned}}$$Karena $A+CB^T = CD$, maka diperoleh
$\begin{aligned} A & = CD-CB^T \\ A & = C(D-B^T) \\ \det A & = \det(C(D-B^T)) \\ \det A & = \det C \cdot \det (D-B^T) \\ \det A & = \det C \cdot \det((-1) \cdot (B^T-D)) \\ \det A & = \det C \cdot (-1)^2 \det (B^T-D) \\ \det A & = m \cdot 1 \cdot n = mn \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \det (2A^{-1}) & = 2^2 \det (A^{-1}) \\ & = 4 \cdot \dfrac{1}{\det A} \\ & = \dfrac{4}{mn} \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{\det (2A^{-1})= \dfrac{4}{mn}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 40
Jika $A_{3 \times 3} = (a_{ij})$ dengan $a_{ij} = 1$ untuk $i = j$ dan $a_{ij} = 0$ untuk $i \neq j$, maka matriks $A$ bukan termasuk matriks $\cdots \cdot$
A. segitiga atas                        D. identitas
B. segitiga bawah                    E. nol
C. skalar

Pembahasan

Matriks $A$ adalah matriks berukuran $3 \times 3.$ Karena entri ketika letak baris kolomnya sama adalah $1$, sedangkan bila tidak entrinya adalah $0$, maka matriks itu dinyatakan oleh $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Cermati dulu definisi berikut.

  1. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang entri di bawah diagonal utamanya bernilai $0$.
  2. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang entri di atas diagonal utamanya bernilai $0$.
  3. Matriks skalar adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya bernilai sama.
  4. Matriks identitas adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya harus satu.
  5. Matriks nol adalah matriks yang semua entrinya nol.

Matriks $A$ merupakan matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, matriks skalar, sekaligus matriks identitas.
Dapat disimpulkan bahwa $A$ bukan termasuk matriks nol, karena tidak semua entrinya nol.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 41
Nuha membeli $5$ buku tulis dan $3$ bolpoin di toko Murah dengan membayar Rp27.500,00. Anin membeli $4$ buku tulis dan $2$ bolpoin yang sama di toko Murah dengan membayar Rp21.000,00. Jika harga sebuah buku tulis $x$ rupiah dan harga sebatang bolpoin $y$ rupiah, maka persamaan matriks yang sesuai dengan permasalahan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}-5 & 3 \\ 4 &-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\-4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}-2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 &-3 \\-4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}-2 & 3 \\ 4 &-5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Sistem persamaan linear dua variabel yang merepresentasikan permasalahan di atas adalah
$\begin{cases} 5x + 3y = 27.500 \\ 4x + 2y = 21.000 \end{cases}$
Dalam bentuk matriks, disajikan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{5(2)-3(4)} \begin{pmatrix} 2 &-3 \\-4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}-2 & 3 \\ 4 &-5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, persamaan matriks yang sesuai dengan permasalahan tersebut adalah $\boxed{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}-2 & 3 \\ 4 &-5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Cramer

Soal Nomor 42
Panjang suatu persegi panjang adalah $\dfrac54$ dari lebarnya. Jika lebar dari persegi panjang tersebut ditambah $3$ cm, nilai panjang dan lebarnya menjadi sama. Jika $x$ dan $y$ masing-masing menyatakan panjang dan lebar persegi panjang, maka matriks berikut yang bersesuaian untuk menentukan nilai panjang dan lebarnya adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2,5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2,5 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2,5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Misalkan:
$x$ = panjang dari persegi panjang
$y$ = lebar dari persegi panjang
Kita peroleh
$$\begin{aligned} x & = \dfrac54y \\ 4x & = 5y \\ 4x-5y & = 0 && (\cdots 1) \\ y + 3 & = x \\ x-y & = 3 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Berdasarkan kedua persamaan linear dua variabel di atas, kita peroleh persamaan matriks
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{4(-1)-1(-5)} \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, persamaan matriks yang bersesuaian dengan kasus tersebut adalah $$\boxed{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}}$$(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Tentukan ordo hasil perkalian dua buah matriks berikut. 
a. $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\-5 \\ 3 \\-2 \end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix} 4 & 7 &-1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\-1 &-2 &-3 \end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix} 4 & 7 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 3 &-2 \\ 3 & 0 & 1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\-1 &-2 &-3 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Definisi: Hasil Kali Ordo Matriks 
Suatu matriks berordo $a \times b$ hanya dapat dikalikan dengan matriks berordo $b \times c$ menghasilkan matriks baru berordo $a \times c$. 
Jawaban a) 
Matriks $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $2 \times 2$, sedangkan $\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $2 \times 3$. 
Untuk itu, hasil kali kedua matriks ini memiliki ordo $2 \times 3$. 
Jawaban b) 
Matriks $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $1 \times 4$, sedangkan $\begin{pmatrix} 2 \\-5 \\ 3 \\-2 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $4 \times 1$. 
Untuk itu, hasil kali kedua matriks ini memiliki ordo $1 \times 1$. 
Jawaban c)
Matriks $\begin{pmatrix} 4 & 7 &-1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $2 \times 3$, sedangkan matriks $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\-1 &-2 &-3 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $3 \times 3$. Untuk itu, hasil kali kedua matriks ini memiliki ordo $2 \times 3$. 
Jawaban d) 
Matriks $\begin{pmatrix} 4 & 7 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 3 &-2 \\ 3 & 0 & 1 & 7 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $3 \times 4$, sedangkan matriks $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\-1 &-2 &-3 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $3 \times 3$. Ini berarti, matriks tersebut tak bisa dikalikan.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan determinan dari matriks berordo $2 \times 2$ berikut. Apakah matriks tersebut singular? 
a. $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix}-1 &-2 \\-3 &-4 \end{pmatrix}$ 
c. $\begin{pmatrix} 10 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Jika diberikan matriks berordo $2 \times 2$ dengan bentuk $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka determinannya adalah $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc$. 
Jika determinannya bernilai $0$, maka matriks tersebut dikatakan singular (tidak memiliki invers). 
Jawaban a) 
$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2(1)-3(4) = 2-12 =-10$
Karena determinannya tidak $0$, maka matriks ini bukanlah matriks singular. 
Jawaban b) 
$\begin{aligned} \begin{vmatrix}-1 &-2 \\-3 &-4 \end{vmatrix} & =-1(-4)-(-2)(-3) \\ & = 4-6 =-2 \end{aligned}$
Karena determinannya tidak $0$, maka matriks ini bukanlah matriks singular. 
Jawaban c) 
$\begin{vmatrix} 10 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 10(2)-4(5) = 20-20 = 0$
Karena determinannya $0$, maka matriks ini termasuk matriks singular.

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan invers dari matriks $A$ berikut. 
$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 6 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Tentukan semua minor dari matriks $A$ terlebih dahulu.
$\begin{aligned} M_{11} & = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2-2 = 0 \\ M_{12} & = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 4-6=-2 \\ M_{13} & = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 4-6=-2 \\ M_{21} & = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \\ M_{22} & = \begin{vmatrix} 3& 0 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 6-0= 6 \\ M_{23} & = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 6-6 = 0 \\ M_{31} & = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1-0 = 1 \\ M_{32} & = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3-0=3 \\ M_{11} & = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2-2 = 0 \end{aligned}$
Matriks kofaktor dari $A$ adalah
$\begin{aligned} \text{Kof}(A) & = \begin{pmatrix} +M_{11} &-M_{12} & +M_{13} \\-M_{21} & +M_{22} &-M_{23} \\ +M_{31} &-M_{32} & +M_{33} \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 2 &-2 \\-2 & 6 & 0 \\ 1 &-3 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Adjoin dari $A$ adalah transpos dari matriks kofaktornya, yakni
$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 &-2 & 1 \\ 2 & 6 &-3 \\-2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Determinan dari matriks $A$ dapat ditentukan dengan banyak cara. Kali ini, akan digunakan Ekspansi Kofaktor sepanjang baris pertama. 
$\begin{aligned} \det(A) & = 3 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}-1 \begin{vmatrix} 2 &1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} + 0 \\ & = 3(2-2)-1(4-6) = 2 \end{aligned}$
Invers dari matriks $A$ adalah
$$\boxed{\begin{aligned} A^{-1} & = \dfrac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A) \\ & = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 &-2 & 1 \\ 2 & 6 &-3 \\-2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}}$$

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui matriks
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 &-1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 3 &-5 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
Tentukan $\det(2A)$.

Pembahasan

Pertama-tama, akan ditentukan determinan dari matriks $A$ terlebih dahulu.
Dalam hal ini, penentuan determinannya akan menggunakan Ekspansi Kofaktor sepanjang baris ketiga (karena nolnya banyak). 
$\begin{aligned} \det(A) & = 0-2 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} + 0 + 0 \\ & =-2 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{aligned}$
Selanjutnya, penentuan determinannya menggunakan Aturan Sarrus. 
$$\begin{aligned} \det(A) & =-2(0 + 3(5)(3) + 0-3(1)(4)-1(5)(1)-0) \\ & =-2(45- 12- 5) \\ & =-56 \end{aligned}$$Ingat bahwa $\color{red} \det(kA) = k^n \det(A) $ di mana $A$ berordo $n \times n$. 
Karena $A$ berordo $4 \times 4$ (berarti $n=4$), maka
$\det(2A) = 2^4 \det(A) = 16 \cdot (-56) =-896$
Jadi, determinan dari matriks $2A$ adalah $\boxed{-896}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan determinan dari matriks berikut.
a. $Z = \begin{pmatrix} 4 & 6 &-2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 &-9 \end{pmatrix}$
b. $W = \begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 &-9 & 0 & 0 \\-6 & 3 & 10 & 0 \\ 5 & 4 & 7 & 9 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Gunakan teorema yang menyatakan bahwa
“Determinan dari matriks segitiga (atas atau bawah) adalah hasil kali entri di diagonal utamanya”
Jawaban a) 
Matriks $Z$ merupakan matriks segitiga atas, sehingga berlaku teorema di atas. 
$\det(Z) = 4 \cdot 3 \cdot (-9)=-108$
Jadi, determinan matriks $Z$ adalah $\boxed{-108}$
Jawaban b) 
Matriks $W$ merupakan matriks segitiga bawah, sehingga berlaku teorema di atas. 
$\det(W) =-3 \cdot (-9) \cdot 10 \cdot 9 = 2430$
Jadi, determinan matriks $W$ adalah $\boxed{2430}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan nilai determinan di bawah menggunakan aturan Sarrus-Kino.
a. Sarrus Kino: pindahkan kolom pertama ke sebelah kanan dan kolom ketiga ke sebelah kiri sesuai arah panah.
b. Sarrus Kino: pindahkan baris pertama ke sebelah bawah dan baris ketiga ke sebelah atas sesuai arah panah.

c. Sarrus Kino: pindahkan baris pertama ke baris keempat dan baris kedua ke baris kelima sesuai arah panah.

Pembahasan

Jawaban a)
Berdasarkan aturan Sarrus-Kino yang dimaksud, kita dapat membuat sketsa penulisannya sebagai berikut.

Misalkan matriks yang nilai determinannya akan dicari di atas adalah $A$. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \det A & = (1)(1)(-2) + (3)(0)(3) + (2)(1)(-2)-(3)(1)(2)-(-2)(0)(1)-(-2)(1)(3) \\ & = -2 + 0- 4-6+0+6 = -6 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinannya adalah $\boxed{-6}$
Jawaban b)
Berdasarkan aturan Sarrus-Kino yang dimaksud, kita dapat membuat sketsa penulisannya sebagai berikut.
Misalkan matriks yang nilai determinannya akan dicari di atas adalah $B$. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \det B & = (0)(2)(-9) + (1)(5)(1) + (4)(0)(-3)-(4)(2)(1)-(0)(5)(-3)-(1)(0)(-9) \\ & = 0+5+0-8+0+0 = -3 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinannya adalah $\boxed{-3}$
Jawaban c)
Berdasarkan aturan Sarrus-Kino yang dimaksud, kita dapat membuat sketsa penulisannya sebagai berikut.
Misalkan matriks yang nilai determinannya akan dicari di atas adalah $B$. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \det B & = (1)(5)(1) + (4)(0)(-3) + (0)(2)(-9)-(0)(5)(-3)-(1)(0)(-9)-(4)(2)(1) \\ & = 5+0+0+0+0-8 = -3 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinannya adalah $\boxed{-3}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan nilai $x$ dari persamaan berikut ini.
a. $\begin{vmatrix} 2x & 3 \\-5 &-5 \end{vmatrix} = 7x$
b. $\begin{vmatrix} 3x & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = x+4$
c. $\begin{vmatrix} 2x-1 &-3 \\-x & x+1 \end{vmatrix} = 3$
d. $\begin{vmatrix} 2x-1 &-3 \\ 0 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 9 & 7 \\ 1 & x \end{vmatrix}$

Pembahasan

Jawaban a)
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2x & 3 \\-5 &-5 \end{vmatrix} & = 7x \\ (2x) (-5)-(3)(-5) & = 7x \\-10x + 15 & = 7x \\-17x & =-15 \\ x & = \dfrac{15}{17} \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x = \dfrac{15}{17}}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3x & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & = x+4 \\ (3x) (1)- 3(2) & = x + 4 \\ 3x-6 & = x + 4 \\ 2x & = 10 \\ x & = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x = 5}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2x-1 &-3 \\-x & x+1 \end{vmatrix} & = 3 \\ (2x-1)(x+1)-(-3)(-x) & = 3 \\ (2x^2+x-1)-3x & = 3 \\ 2x^2-2x-4 & = 0 \\ x^2-x-2 & = 0 \\ (x-2)(x+1) & = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x =-1}$ atau $\boxed{x = 2}$
Jawaban d)
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2x-1 &-3 \\ 0 & x \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} 9 & 7 \\ 1 & x \end{vmatrix} \\ (2x-1)(x)-(-3)(0) & = (9)(x)-(7)(1) \\ 2x^2-x + 0 & = 9x-7 \\ 2x^2-10x + 7 & = 0 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat di atas tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran, sehingga alternatif lain adalah dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus ABC).
Dari persamaan kuadrat di atas, diketahui $a=2, b=-10, c = 7$
$\begin{aligned} x & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a} \\ & = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2-4(2)(7)}} {2(2)} \\ & = \dfrac{10 \pm \sqrt{10)-56}} {4} \\ & = \dfrac{10 \pm \sqrt{44}} {4} \\ & = \dfrac{5 \pm \sqrt{11}} {2} \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x =\dfrac{5 \pm \sqrt{11}} {2}}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan matriks $X$ dari persamaan berikut.
a. $\begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}X = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix} 2 &-1 \\-3 & 1 \end{pmatrix}X = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$
c. $X\begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Invers dari matriks berordo $2 \times 2$ berbentuk $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah
$\dfrac{1}{ad- bc} \begin{pmatrix} d &-b \\-c & a \end{pmatrix}$
Persamaan matriks $AX = B$ ekuivalen dengan $X = A^{-1}B$, sedangkan $XA = B$ ekuivalen dengan $X = BA^{-1}$ (ingat bahwa perkalian matriks tidak bersifat komutatif).
Jawaban a)
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}X & = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{(2)(5)- (-3)(3)} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\-3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{10 + 9} \begin{pmatrix} 5(7) + 3(1) \\-3(7) + 2(1) \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{19} \begin{pmatrix} 38 \\-19 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, matriks $X$ adalah $\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix}}$
Jawaban b)
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 &-1 \\-3 & 1 \end{pmatrix}X & = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\-3 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{2(1)- (-1)(-3)} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{2- 3} \begin{pmatrix} 1(5) + 1(4) \\ 3(5) + 2(4) \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{-1} \begin{pmatrix} 9 \\ 23 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix}-9 \\-23 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, matriks $X$ adalah $\boxed{X = \begin{pmatrix}-9 \\-23 \end{pmatrix}}$
Jawaban c)
$$\begin{aligned} X\begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{8(2)-3(5)} \begin{pmatrix} 2 &-3 \\-5 & 8 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 &-3 \\-5 & 8 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2(2) + (-1)(-5) & 2(-3) + (-1)(8) \\ 0(2) + (1)(-5) & 0(-3) + 1(8) \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 9 &-14 \\-5 & 8 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, matriks $X$ adalah $\boxed{X = \begin{pmatrix} 9 &-14 \\-5 & 8 \end{pmatrix}}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Tentukan semua nilai $a$ dan $b$ sehingga matriks $A$ dan $B$ tidak dapat dibalik.
$A = \begin{pmatrix} a + b-1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ $B = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2a-3b-7 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Suatu matriks tidak dapat dibalik (tidak memiliki invers) jika determinannya bernilai $0$.
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} \det(A) & = 0 \\ (a + b-1)(3) & = 0 \\ a + b & = 1~~~~~~(1) \end{aligned}$
dan

$\begin{aligned} \det(B) & = 0 \\ 5(2a-3b-7) & = 0 \\ 2a-3b & = 7~~~~~~(2) \end{aligned}$
Selanjutnya, akan digunakan metode penyelesaian SPLDV yang diperoleh.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + b & = 1 \\ 2a-3b & = 7 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 2a+2b & = 2 \\ 2a-3b & = 7 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt}- \\ & \! \begin{aligned} 5b & =-5 \\ b & =-1 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi nilai $b$ pada persamaan $1$
$\begin{aligned} a + b & = 1 \\ a + (-1) & = 1 \\ a & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ dan $b$ masing-masing adalah $\boxed{a = 2}$ dan $\boxed{b =-1}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Bu Ani adalah seorang pengusaha makanan ringan yang menyetorkan dagangannya ke tiga kantin sekolah. Tabel berikut menyatakan jenis dan kuantitas makanan (dalam satuan bungkus) yang disetorkan setiap harinya di tiga kantin sekolah tersebut. 
$\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline & \text{Kacang} & \text{Keripik} & \text{Permen} \\ \hline \text{Kantin A} & 10 & 10 & 5 \\ \text{Kantin B} & 20 & 15 & 8 \\ \text{Kantin C} & 15 & 20 & 10 \\ \hline \end{array}$
Harga sebungkus kacang, sebungkus keripik, dan sebungkus permen masing-masing adalah Rp2.000,00, Rp3.000,00, dan Rp1.000,00. Hitunglah pemasukan harian yang diterima Bu Ani dari setiap kantin dalam bentuk matriks serta total pemasukan hariannya.

Pembahasan

Misalkan $A$ adalah matriks yang entri-entrinya menyatakan kuantitas makanan yang disetorkan ke masing-masing kantin (baris pertama untuk kantin A, baris kedua untuk kantin B, dan baris ketiga untuk kantin C), sehingga
$A = \begin{pmatrix} 10 & 10 & 5 \\ 20 & 15 & 8 \\ 15 & 20 & 10 \end{pmatrix}$
Misalkan juga $B$ adalah matriks yang menyatakan harga tiap makanan per bungkusnya, sehingga
$B = \begin{pmatrix} 2.000 \\ 3.000 \\ 1.000 \end{pmatrix}$
Dengan demikian, hasil kali matriks $A$ dan $B$ menyatakan penghasilan Bu Ani untuk masing-masing kantin, yaitu
$$\begin{aligned} AB & = \begin{pmatrix} 10 & 10 & 5 \\ 20 & 15 & 8 \\ 15 & 20 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2.000 \\ 3.000 \\ 1.000 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} (10 \times 2.000) + (10 \times 3.000) + (5 \times 1.000) \\ (20 \times 2.000) + (15 \times 3.000) + (8 \times 1.000) \\ (16 \times 2.000) + (20 \times 3.000) + (10 \times 1.000) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 20.000 + 30.000 + 5.000 \\ 40.000 + 45.000 + 8.000 \\ 30.000 + 60.000 + 10.000 \end{pmatrix} \\ & =\begin{pmatrix} 55.000 \\ 93.000 \\ 100.000 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, penghasilan Bu Ani yang diterima dari Kantin A, B, dan C berturut-turut adalah Rp55.000,00, Rp93.000,00, dan Rp100.000,00.
Total penghasilannya adalah
Rp55.000,00 + Rp93.000,00 + Rp100.000,00 = Rp248.000,00.

[collapse]

4 Replies to “Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks”

  1. assalamualaikum
    ya untuk komentar saya singkat saja saya belum terlalu paham dengan materinya karena cara pemahaman orang lain itu beda
    cukup sekian
    jangan lupa semangat dan senyum
    wassalamualaikum

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *