Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 3 & y \\ 5 &-1 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} x & 5 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} \\ C & = \begin{pmatrix}-3 &-1 \\ y & 9 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} A+B-C & = \begin{pmatrix} 8 & 5x \\-x &-4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & y \\ 5 &-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & 5 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3 &-1 \\ y & 9 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 8 & 5x \\-x &-4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 + x-(-3) & y + 5-(-1) \\ 5 + (-3)- y &-1 + 6-9 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 8 & 5x \\-x &-4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x + 6 & y + 6 \\ 2-y &-4 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 8 & 5x \\-x &-4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$x + 6 = 8$ sehingga $x = 2$, dan
$y + 6 = 5x$, berarti $y + 6 = 5(2) = 10$ sehingga didapat $y = 4$. 
Jadi, nilai dari $x+2xy+y$ adalah
$\boxed{2+2(2)(4)+4 = 22}$
(Jawaban E)

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} a+2 & 1-3b \\-1 &-6 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 2a & b-3 \\-1 & 2 \end{pmatrix} \\ C & = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\-2 &-4 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} A + B & = C \\ \begin{pmatrix} a+2 & 1-3b \\-1 &-6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2a & b-3 \\-1 & 2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\-2 &-4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3a + 2 &-2b-2 \\-2 &-4 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\-2 &-4 \end{pmatrix}\end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$$\begin{aligned} 3a + 2 = 5 \Rightarrow 3a = 3 \Rightarrow a = 1. \\ -2b- 2 = 6 \Rightarrow -2b = 8 \Rightarrow b =-4. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $a+b$ adalah $\boxed{1+(-4) =-3}$
(Jawaban B)

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 2m &-3 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} n+1 & 3 \\ m-n & 0 \end{pmatrix} \\ C & = \begin{pmatrix} 5 &-4 \\ 2 &-3 \end{pmatrix} \\ C^T & = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\-4 &-3 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} A + B & = C^T \\ \begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 2m &-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 & 3 \\ m-n & 0 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\-4 &-3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} n + 4 & 2 \\ 3m-n &-3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\-4 &-3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$$\begin{aligned} n + 4 & = 5 \Rightarrow n = 1. \\ 3m-n & =-4 \Rightarrow 3m-1  =-4 \Rightarrow m =-1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $3m+2n$ adalah $\boxed{3(-1) + 2(1) =-1}$
(Jawaban E)

Dari persamaan matriks yang diberikan itu, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 15 & 3x \\ 3y & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-6 & x-4 \\ 3-y &-7 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 13 & 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 9 & 4x- 4 \\ 2y + 3 & 5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 13 & 5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$$\begin{aligned} 4x-4 & = 8 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3. \\ 2y + 3 & = 13 \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $2x-y$ adalah $\boxed{2(3)-5 = 1}$
(Jawaban C)

Dari persamaan matriks di atas, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2a & 4 \\-6 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 &-1 \\ 0 & b \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3(2) + 2(1) & 3d + 2(3) \\ 2c + 4(1) & cd + 4(3) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a + 4 & 3 \\-6 & 2 + b \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 8 & 3d + 6 \\ 2c + 4 & cd+ 12 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir, didapat
$$\begin{aligned} 2a + 4 & = 8 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2. \\ 3 & = 3d + 6 \Rightarrow 3d =-3 \Rightarrow d =-1. \\ -6 & = 2c + 4 \Rightarrow 2c =-10 \Rightarrow c =-5. \end{aligned}$$Terakhir
$\begin{aligned} & 2 + b = cd + 12 \\ & \Rightarrow 2 + b = (-5)(-1) + 12 = 17 \\ & \Rightarrow b = 15. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $a+b+c+d$ adalah $\boxed{2+15+(-5)+(-1) = 11}$
(Jawaban A)

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 1 &-d \\ b & 3 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 4 &-5 \\-3 & b \end{pmatrix} \\ C & = \begin{pmatrix} 3c &-5c \\ 1-a & 3a-1 \end{pmatrix} \\ C^T & = \begin{pmatrix} 3c & 1-a \\-5c & 3a-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} B-A &=C^T \\ \begin{pmatrix} 4 &-5 \\-3 & b \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 &-d \\ b & 3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3c & 1-a \\-5c & 3a-1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 &-5+d \\-3-b & b-3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3c & 1-a \\-5c & 3a-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir, diperoleh
Baris $1$ kolom $1$:
$3 = 3c \iff c = 1.$
Baris $2$ kolom $1$:
$\begin{aligned} -3-b & =-5c \\ \implies-3-b & =-5(1) =-5 \\  \iff b & = 2. \end{aligned}$
Baris $2$ kolom $2$:
$\begin{aligned} b-3 & = 3a- 1 \\ \implies 2-3 & = 3a-1 \iff a = 0. \end{aligned}$
Baris $1$ kolom $2$:
$\begin{aligned} -5+d & = 1-a \\ \implies-5+d & = 1- 0 \iff d = 6. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $a+b+c+d$ adalah $\boxed{0+2+1+6 = 9}$
(Jawaban D)

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} \dfrac{6}{x} &-\dfrac{10}{x} \\-1 & 2 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \\ A^T & = \begin{pmatrix} \dfrac{6}{x} &-1 \\-\dfrac{10}{x} & 2 \end{pmatrix} \\ B^{-1} & = \dfrac{1}{3x-10} \begin{pmatrix} 3 &-2 \\-5 & x \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} A^T & = B^{-1} \\ \begin{pmatrix} \dfrac{6}{x} &-1 \\-\dfrac{10}{x} & 2 \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{3x-10} \begin{pmatrix} 3 &-2 \\-5 & x \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{6}{x} & = \dfrac{3}{3x-10} \\ 6(3x-10) & = 3x \\ 18x- 60 & = 3x \\ 15x & = 60 \\ x & = 4. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $2x$ adalah $\boxed{2(4)=8}$
(Jawaban E)

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} x + y & x \\ y & x-y \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 1 &-\frac{1}{2}x \\-2y & 3 \end{pmatrix} \\ A^T & = \begin{pmatrix} x + y & y \\ x & x-y \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} A^T & = B \\ \begin{pmatrix} x + y & y \\ x & x-y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 &-\frac{1}{2}x \\-2y & 3 \end{pmatrix}. \end{aligned}$
Dari persamaan terakhir, diperoleh SPLDV
$\begin{cases} x + y = 1 \\ x-y = 3 \end{cases}$
yang memiliki penyelesaian untuk $x = 2$ dan $y =-1$. 
Jadi, nilai dari $x+2y$ adalah $\boxed{2+2(-1)=0}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Determinan dari matriks tersebut adalah
$\begin{aligned} \det(A) & = 2(4)- 3(3) =-1 \\ \det(B) & =-1(2)-1(0) =-2. \end{aligned}$
Karena $AC = B$, maka berlaku $\color{red}{\det(A) \cdot \det(C) = \det(B)}$ sehingga
$-1 \cdot \det(C) =-2 \iff \det(C) = 2.$
Jadi, determinan dari matriks $C$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\-1 &-3 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} AB^2 & = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\-1 &-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\-1 &-2 \end{pmatrix} = B. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{AB^2 = B}$
(Jawaban E)

Diketahui
$B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}~~~~C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} (A+B)^{-1} \cdot C & = B^{-1} \\ C & = (A+B)B^{-1} \\ CB & = A + B \\ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} & = A + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5 & 13 \\ 9 & 23 \end{pmatrix} & = A + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ A & = \begin{pmatrix} 5 & 13 \\ 9 & 23 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ A & = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, matriks $A$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}}$
(Jawaban A)

Diketahui:
$P^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\-1 & 1 \end{pmatrix}~~~Q = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\-2 &-1 \end{pmatrix}$
Gunakan sifat invers matriks untuk mempermudah penyelesaian soal ini. 
$\begin{aligned} (PQ^{-1})^{-1} & = QP^{-1} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\-2 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\-1 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}-1 & 6 \\-5 &-5 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{(PQ^{-1})^{-1} = \begin{pmatrix}-1 & 6 \\-5 &-5 \end{pmatrix}} $
(Jawaban D)

Diketahui:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}~~~B = \begin{pmatrix}-1 & 1\\ 2 &-2 \\-3 & 3 \end{pmatrix}$
Untuk itu, 
$$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}$$dan
$B^T = \begin{pmatrix}-1 & 2 &-3 \\ 1 &-2 & 3 \end{pmatrix}.$ 
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} A^2 \times B^T & = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-1 & 2 &-3 \\ 1 &-2 & 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}-7+10 & 14-20 &-21+30 \\-15+22 & 30-44 &-45+66 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 &-6 & 9 \\ 7 &-14 & 21 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{A^2 \times B^T = \begin{pmatrix} 3 &-6 & 9 \\ 7 &-14 & 21 \end{pmatrix}}$ 
(Jawaban A)

Masing-masing matriks $\begin{pmatrix} x & 1 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$ memiliki entri $x$ sehingga entri matriks $A$ haruslah berupa konstanta. Karena koefisien $x^2$ pada ruas kanan persamaan di atas adalah $1$, maka entri baris pertama kolom pertama matriks $A$ haruslah $1$. Dengan demikian, kita dapat memisalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}.$
Untuk itu, dapat dituliskan
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix} & = [x^2+5x+8] \\ \begin{pmatrix} x + b & ax + c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix} & = [x^2+5x+8] \\ [x^2+bx + ax + c] & = [x^2+5x+8] \\ x^2+(a+b)x+c & = x^2+5x+8 \end{aligned}$$Diperoleh $a + b = 5$ dan $c = 8$. 
Dari kelima pilihan jawaban yang diberikan, hanya pilihan $A$ yang memenuhi nilai-nilai tersebut. Jadi, matriks $A$ yang mungkin adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}}$ 
(Jawaban A)

Diketahui:
$$A = \begin{pmatrix} 3x+6 & 9 \\ 9 & 9 \end{pmatrix}~~~B = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 15 & 3x+6 \end{pmatrix}$$Cari dulu determinan dari kedua matriks tersebut. 
$\begin{aligned} \det(A) & = (3x+6)9 + 9(9) \\ & = 27x + 54- 81 \\ & = 27x-27  \\ \det(B) & = 9(3x+6)-15(0) \\ & = 27x + 54 \end{aligned}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \det(AB) & = 729 \\ \det(A) \cdot \det(B) & = 729 \\ (27x-27)(27x+54)-729 & = 0 \\ 27(x-1) \cdot 27(x+2)-729 & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~&729 \\ (x-1)(x+2)-1 & = 0 \\ x^2 + x-3 & = 0. \end{aligned}$
Hasil kali nilai-nilai $x$ yang dimaksud dalam soal adalah hasil kali akar-akar persamaan kuadrat di atas, yaitu 
$x_1x_2 = \dfrac{\text{Konst.}} {\text{Koef.}~x^2} = \dfrac{-3}{1} =-3.$
Jadi, perkalian nilai-nilai $x$ yang memenuhi $\det(AB) = 729$ adalah $\boxed{-3}$
(Jawaban B)

Dari matriks $A$ dan $B$ yang diberikan, diketahui
$\det(A)= 1(3)-1(2) = 1$ dan
$\det(B) = 4(3)-1(1) = 11.$
Gunakan teorema determinan matriks.
$\begin{aligned} AC & = B \\ \det(A) \cdot \det(C) & = \det(B) \\ \det(C) & = \dfrac{\det(B)} {\det(A)} \\ \det(C) & = \dfrac{11}{1} = 11 \end{aligned}$
Jadi, determinan dari matriks $C$ adalah $\boxed{\det(C) = 11}$
(Jawaban D)

Diketahui:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 &-1 & 1 \end{pmatrix}~~~B^T= \begin{pmatrix} 1 & 2 &-1\\-1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$Matriks $B$ adalah $B = \begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 & 1 \\-1 & 2 \end{pmatrix}.$
Perhatikan bahwa hasil kali matriks $A$ dan $B$ adalah
$$\begin{aligned} AB & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 &-1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 & 1 \\-1 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1(1) + 1(2) + 2(-1) & 1(-1) + 1(1) + 2(2) \\ 2(1)-1(2) + 1(-1) & 2(-1)-1(1) + 1(2) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\-1 &-1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \det(2AB) & = k \det(AB)^{-1} \\ 2^2 \det(AB) & = \dfrac{k} {\det(AB)} \\ k & = 4 (\det (AB))^2 \\ k & = 4(1(-1)-(-1)(4))^2 \\ k & = 4(-1+4)^2 = 36. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $k$ adalah $\boxed{36}$
Catatan:
Gunakan sifat determinan:
Jika $A$ matriks berordo $n \times n$, maka $\color{red}{\det(kA) = k^n \det(A)}.$
(Jawaban E) 

Dengan menggunakan teorema determinan matriks, yaitu
$\boxed{\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)}$
diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix}-q+s & q\\-p+r & p \end{vmatrix} \cdot \det(A) & = \begin{vmatrix} p & q \\ r & s \end{vmatrix} \\ ((-q+s)p-(-p+r)q) \cdot \det(A) & = ps-qr \\ (-pq + ps + pq-qr) \cdot \det(A) & = ps-qr \\ (ps-qr) \cdot \det(A) & = ps-qr \\ \det(A) & = \dfrac{ps-qr} {ps-qr} = 1. \end{aligned}$$Jadi, determinan matriks $A$ adalah $\boxed{1}$
(Jawaban B)

$$\begin{aligned} 2A-B+C & = 2\begin{pmatrix} 2 & 3 \\-2 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 &-4 \\ 6 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 &-4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\-4 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 &-4 \\ 6 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 &-4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4-3 + (-1) & 6-(-4) + (-4) \\-4- 6 + 3 & 2-5 + 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\-7 &-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{2A-B+C = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\-7 &-1 \end{pmatrix}}$
(Jawaban C)

Diketahui $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.
Determinan dari matriks $A$ dan $A^T$ sama, yakni $|A| = |A^T| = ad-bc$.
Dari persamaan $A^T = A^{-1}$, kalikan kedua ruas dengan $A$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} A \cdot A^T & = A \cdot A^{-1} \\ A \cdot A^T & = I \end{aligned}$
dengan $I$ sebagai matriks identitas, memiliki determinan $|I| = 1$.
Persamaan terakhir mengimplikasikan persamaan determinasi.
$\begin{aligned} |A| \cdot |A^T| & = |I| \\ (ad-bc)(ad-bc) & = 1 \\ ad-bc & = \pm 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $ad-bc$ adalah $\boxed{-1}$ atau $\boxed{1}$
(Jawaban B)

Diketahui $A = \begin{pmatrix} 4 &-5 \\-7 & 9 \end{pmatrix}.$
Determinan matriks ini adalah
$\begin{aligned} \det(A) & = 4(9)-(-7)(-5) \\ & = 36-35 = 1. \end{aligned}$
Perhatikan bahwa jika diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka inversnya adalah
$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d &-b \\-c & a \end{pmatrix}.$
Dengan demikian, dapat dituliskan
$\begin{aligned} A^{-1} & = \dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 9 &-(-5) \\-(-7) & 4 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 9 & 5 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}. \end{aligned}$
Jadi, invers dari matriks $A$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 9 & 5 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}}$
(Jawaban A)

Determinan matriks berordo $3 \times 3$ dapat ditentukan secara khusus dengan menggunakan Aturan Sarrus sebagai berikut.

$$\begin{aligned} \det(A) & = (-4)(-2)(3) + 5(4)(-1) + (2)(0)(-6) \\ &-((-1)(-2)(2) + (-6)(4)(-4) + (3)(0)(5) \\ & = 24-20 + 0-(4 + 96 + 0) \\ & =-96 \end{aligned}$$Jadi, determinan matriks $A$ adalah $\boxed{\det(A) =-96}$
(Jawaban A)

Diketahui:
$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}~~~I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Pertama, akan dicari dulu matriks $(A-kI)$. 
$\begin{aligned} A-kI & = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}- k \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2-k & 4 \\ 3 & 1-k \end{pmatrix} \end{aligned}$
Matriks ini akan singular jika determinannya $0$. Jadi, haruslah
$\begin{aligned} \det(A-kI) & = 0 \\ (2-k)(1-k)- 4(3) & = 0 \\ k^2-3k + 2-12 & = 0 \\ k^2-3k-10 & = 0 \\ (k-5)(k+2) & = 0. \end{aligned}$
Dari persamaan terakhir, disimpulkan bahwa nilai $k$ yang memenuhi adalah $k =-2$ atau $k = 5$.
(Jawaban A)

Diketahui:
$A = \begin{pmatrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{pmatrix}~~~B = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$
Untuk itu, 
$$\begin{aligned} BA & = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2(2r)- 1(r) & 2(1)- 1(p+1) \\ 4(2r) + 3r & 4(1) + 3(p+1) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3r & 1-p \\ 11r & 3p+7 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Agar matriks $BA$ tidak memiliki invers, determinannya harus bernilai $0$. 
$\begin{aligned} \det(BA) & = 0 \\ 3r(3p+7)-11r(1-p) & = 0 \\ 9pr + 21r-11r + 11pr & = 0 \\ 20pr + 10r & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~&r \\ 20p + 10 & = 0 \\ 20p & =-10 \\ p & =-\dfrac{10}{20} \\ p & =-\dfrac{1}{2}. \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ yang dimaksud adalah $\boxed{-\dfrac{1}{2}}$
(Jawaban B)

Matriks tersebut tidak mempunyai invers jika determinannya bernilai $0$, atau ditulis $\begin{vmatrix} a & 1 & 2 \\ a & 1 & a \\ 5 & 6 & 7 \end{vmatrix} = 0.$
Determinannya dapat ditentukan dengan berbagai cara, antara lain aturan Sarrus atau ekspansi kofaktor. 
Untuk sekarang ini, akan digunakan ekspansi kofaktor untuk menentukan determinan matriks tersebut. Ekspansi kofaktornya pada baris pertama. 
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a & 1 & 2 \\ a & 1 & a \\ 5 & 6 & 7 \end{vmatrix} & = 0 \\ a \begin{vmatrix} 1 & a \\ 6 & 7 \end{vmatrix}- 1 \begin{vmatrix} a & a \\ 5 & 7 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} a & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} & = 0 \\ a(7-6a)-(7a-5a) + 2(6a-5) & = 0 \\ 7a-6a^2-2a + 12a- 10 & = 0 \\-6a^2 + 17a-10 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&-1 \\ 6a^2-17a + 10 & = 0 \\ (6a-5)(a-2) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = \dfrac{6}{5}$ atau $a = 2$. Karena $a$ harus bilangan bulat, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a = 2}$
(Jawaban D)

Susun SPL di atas ke dalam bentuk matriks. 
$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 &-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\-1 \end{pmatrix}$
Gunakan sifat invers matriks: $\color{red} AX = B \implies X = A^{-1}B$ sehingga
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 &-2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 8 \\-1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{2(-2)-3(3)} \begin{pmatrix}-2 &-3 \\-3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\-1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{-13} \begin{pmatrix} (-2)(8) + (-3)(-1) \\ (-3)(8) +2(-1) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & =-\dfrac{1}{13} \begin{pmatrix}-13 \\-26 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, nilai $x+y$ adalah $\boxed{1+2=3}$
(Jawaban B)

Susun SPL di atas ke dalam bentuk matriks. 
$\begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 5 \end{pmatrix}$
Gunakan sifat invers matriks: $\color{red} AX = B \implies X = A^{-1}B$ sehingga
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}-4 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{2(2)-(-3)(1)} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\-1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-4 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix} 2(-4) + 3(5) \\ (-1)(-4) + 2(5) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix} 7 \\ 14 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, nilai $x-y$ adalah $\boxed{1-2=-1}$
(Jawaban B)

Simbol $K_{21}$ menyatakan kofaktor baris ke-2 kolom ke-1. Dengan demikian, 
$\begin{aligned} K_{21} & =-8 \\- \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & x \end{vmatrix} & =-8 \\-(2x-1(4)) & =-8 \\ 2x-4 & = 8 \\ 2x & = 12 \\ x & = 6. \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{6}$
(Jawaban D)

Simbol $M_{11}$ menyatakan minor baris ke-1 kolom ke-1. Dengan demikian, 
$\begin{aligned} M_{11} & = \begin{vmatrix}-1 &-3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ & = (-1)(0)-(-3)(1) \\ & = 0 + 3 = 3. \end{aligned}$
Jadi, nilai $M_{11}$ yang memenuhi adalah $\boxed{3}$
(Jawaban D)

Ekspansi baris ke-3 matriks $A$, yaitu
$$\begin{aligned} & 0 \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}-2 \begin{vmatrix}-1 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix}-1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ & = 0- 2(-1(0)-3(2))-1(-1(1)-0(2)) \\ & =-2(-6)-(-1) = 12+1=13. \end{aligned}$$Jadi, nilai ekspansi baris ke-$3$ matriks tersebut adalah $\boxed{13}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa jika diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka inversnya adalah $A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d &-b \\-c & a \end{pmatrix}.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \det(A) & = 3(4)-(-10)(-1) = 12-10 = 2 \\ \det(B) & = 3(5)- 2(7) = 15-14 = 1 \\ \det(C) & = (-3)(-4)-10(1) = 12-10 = 2 \\ \det(D) & = 5(3)-(-2)(-7) = 15-14 = 1. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} A^{-1} & = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ B^{-1} & = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 5 &-2 \\-7 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 &-2 \\-7 & 3 \end{pmatrix} = D \\ C^{-1} & = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}-4 & 1 \\ 10 &-3 \end{pmatrix} \\ D^{-1} & = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = B. \end{aligned}$$Jadi, pasangan matriks yang saling invers adalah matriks $B$ dan $D$.
(Jawaban B)

Matriks koefisien dari SPLDV di atas diberikan oleh $\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & k \end{pmatrix}.$
Karena determinan matriks ini adalah $3$, maka kita tulis
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 1 & k \end{vmatrix} & = 3 \\ 5k-2(1) & = 3 \\ 5k & = 5 \\ k & = 1. \end{aligned}$
Substitusikan $k = 1$ pada sistem persamaan linear di atas.
$\begin{cases} 5x+2y=1250 \\ x+y = 400 \end{cases}$
Akan ditentukan nilai $x$ dengan menggunakan metode eliminasi.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x+2y & =1250  \\ x+y & = 400 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~5x+2y & = 1250 \\ 2x+2y & = 800 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.8pt}- \\ & \! \begin{aligned} 3x & = 450 \\ x & = 150 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x=150$ pada salah satu persamaan, misalnya pada persamaan $x+y=400$ sehingga diperoleh
$150+y=400 \Leftrightarrow y=250.$
Jadi, nilai dari $\boxed{x : y = 150 : 250 = 3 : 5}$
(Jawaban D)

Langkah pertama:
Menentukan elemen matriks $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$, yaitu
$\begin{aligned} a_{11} & = 2(1)+1 = 3 \\ a_{12} & = 2(1)+2 = 4 \\ a_{21} & = 2(2)+1 = 5 \\ a_{22} & = 2(2)+2 = 6. \end{aligned}$
Kita peroleh $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ sehingga $\det(A) = 3(6)-4(5) = -2$.
Langkah kedua:
Menentukan elemen matriks $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$, yaitu
$\begin{aligned} b_{11} & = 1-3(1) = -2 \\ b_{12} & = 1-3(2)= -5 \\ b_{21} & = 2-3(1) = -1 \\ b_{22} & = 2-3(2) = -4. \end{aligned}$
Kita peroleh $B = \begin{pmatrix} -2 & -5 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$ sehingga
$\begin{aligned} \det(B) & = -2(-4)-(-5)(-1) \\ &  = 8-5=3. \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh bahwa
$\boxed{\begin{aligned} \det(AB)  & = \det A \times \det(B) \\ & = -2(3) = -6. \end{aligned}}$
(Jawaban A)

Bila SPLDV tersebut dinyatakan dalam bentuk matriks, kita peroleh
$\begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 17 \end{pmatrix}.$
Dengan menggunakan sifat invers matriks: $\boxed{AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -1 \\ 17 \end{pmatrix} \\ & = \dfrac{1}{5(2)+3(-4)} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 17 \end{pmatrix} \\ & = \dfrac{1}{22} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -1 \\ 17 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Diperoleh nilai $a = \dfrac{2}{22}$, $b = \dfrac{4}{22}$, $c=\dfrac{-3}{22}$, dan $d= \dfrac{5}{22}$ sehingga $$\boxed{ab+cd=\dfrac{2}{22} \cdot \dfrac{4}{22} + \dfrac{-3}{22} \cdot \dfrac{5}{22} = -\dfrac{7}{484}}$$(Jawaban E)

Diketahui:
$$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \implies A^2 = \begin{pmatrix} k^2+6 & 2k-2 \\ 3k-3 & 7 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \implies B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 10 & 20 \end{pmatrix} \\ A + B & = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k+1 & 4 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \\ AB & = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k+4 & 2k+8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Karena berlaku persamaan $(A+B)^2=A^2+AB+B^2$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} k+1 & 4 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}^2 & = \begin{pmatrix} k^2+6 & 2k-2 \\ 3k-3 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} k+4 & 2k+8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 10 & 20 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} k^2+2k+21 & 4k+16 \\ 5k+20 & 29 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} k^2+k+15 & 4k+16 \\ 3k+8 & 29 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan menggunakan konsep persamaan matriks pada entri baris kedua kolom pertama, kita peroleh
$\begin{aligned} 5k+20 & = 3k+8 \\ 2k & = -12 \\ k & = -6. \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $\boxed{-6}$
(Jawaban A)

Diketahui $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & x \end{pmatrix}$.
Determinan matriks $A$ adalah $\det(A) = 1(x)-1(2) = x-2.$
Karena determinan matriks $A$ sama dengan $4$ kali determinan invers matriks $A$, maka kita tulis
$\begin{aligned} \det(A) & = 4 \cdot \det(A^{-1}) \\ \det(A) & = 4 \cdot \dfrac{1}{\det(A)} \\ (\det (A))^2 & = 4 \\ (x-2)^2 & = 4 \\ x-2 & = \pm 2 \\ x & = 4~\text{atau}~x = 0. \end{aligned}$
Akibatnya, nilai $2x$ menjadi $2(0) = 0$ atau $2(4) = 8.$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa matriks $C$ memuat variabel $a, b, c$ sehingga untuk menentukan nilai determinan, kita harus mencari nilai ketiga variabel itu terlebih dahulu dengan menggunakan persamaan matriks.
Karena $A = AI = ABB^{-1}$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} a-3 & 4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -20 & c \\ -16 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b-2 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{2(b-3)} \\ \begin{pmatrix} a-3 & 4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -20b + 40 + 2c & -20 + 2c \\ -16b + 32-8 & -16-8 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{2(b-3)} \\ \begin{pmatrix} a-3 & 4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -20b + 40 + 2c & -20 + 2c \\ -16b + 24 & -24 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{2(b-3)}. \end{aligned}$$Dari kolom kedua baris kedua, diperoleh
$\begin{aligned} 3 & = \dfrac{-24}{2(2b-3)} \\ 3(b-3) & = -12 \\ b-3 & = -4 \\ b & = -1. \end{aligned}$
Dari kolom kedua baris pertama, diperoleh
$\begin{aligned} 4 & = \dfrac{-20+2c}{2(\color{red}{b}-3)} \\ 4 & = \dfrac{-20+2c}{2(\color{red}{-1}-3)} \\ 4 & = \dfrac{-20+2c}{-8} \\ -32 & = -20+2c \\ -12 & = 2c \\ c & =-6. \end{aligned}$
Dari kolom pertama baris pertama, diperoleh
$\begin{aligned} a-3 & = \dfrac{-20\color{red}{b}+40+2\color{blue}{c}}{2(\color{red}{b}-3)} \\ a-3 & = \dfrac{-20\color{red}{(-1)}+40+2\color{blue}{(-6)}}{2(\color{red}{-1}-3)} \\ a-3 & = \dfrac{48}{-8} \\ a-3 & = -6 \\ a & = -3. \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$C = \begin{pmatrix} -3+(-1) & -1 \\ -6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -1 \\ -6 & 1 \end{pmatrix}.$$Karena transpos matriks memiliki determinan yang sama dengan matriks semula, maka
$\begin{aligned} \det (C^T) & = \det (C) \\ & = -4-(6) = -10. \end{aligned}$
Jadi, determinan matriks $C^T$ adalah $\boxed{-10}$
(Jawaban D)

Gunakan sifat determinan berikut.
$\boxed{P = AB \Rightarrow \det P = \det A \cdot \det B}$
Gunakan juga sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^{a^m} \log a^n & = \dfrac{n}{m} \\ ^a \log b \cdot ^b \log c & = ^a \log c \end{aligned}}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} P & = \begin{pmatrix} ^{\sqrt3} \log 2 & ^{1/2} \log 3 \\ ^{1/9} \log 4 & ^{2\sqrt2} \log 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} ^{4} \log 3 & ^{1/2} \log 3\sqrt3 \\ ^{1/3} \log 8 & ^{9} \log \dfrac18 \end{pmatrix} \\ \Rightarrow \det P & = \begin{vmatrix} ^{\sqrt3} \log 2 & ^{1/2} \log 3 \\ ^{1/9} \log 4 & ^{2\sqrt2} \log 9 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} ^{4} \log 3 & ^{1/2} \log 3\sqrt3 \\ ^{1/3} \log 8 & ^{9} \log \dfrac18 \end{vmatrix} \\ \det P & = \left(^{\sqrt3} \log 2 \cdot ^{2\sqrt2} \log 9-^{1/9} \log 4 \cdot ^{1/2} \log 3\right) \cdot \left(^4 \log 3 \cdot ^9 \log \dfrac18-^{1/3} \log 8 \cdot ^{1/2} \log 3\sqrt3\right) \\ \det P & = \left(^{3^{1/2}} \log 2 \cdot ^{2^{3/2}} \log 3^2-^{3^{-2}} \log 2^2 \cdot ^{2^{-1}} \log 3\right) \cdot \left(^{2^2} \log 3 \cdot ^{3^2} \log 2^{-3}-^{3^{-1}} \log 2^3 \cdot ^{2^{-1}} \log 3^{3/2}\right) \\ \det P & = \left(\dfrac23 \cdot 2 \cdot 2-\left(-\dfrac12\right) \cdot 2 \cdot (-1)\right) \cdot \left(\dfrac12 \cdot \dfrac12 \cdot (-3)-(-1) \cdot 3 \cdot (-1) \cdot \dfrac32\right) \\ \det P & = \left(\dfrac83-1\right) \cdot \left(-\dfrac34-\dfrac92\right) \\ \det P & = \dfrac53 \cdot \left(-\dfrac{21}{4}\right) = -\dfrac{35}{4}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\det P$ adalah $\boxed{-\dfrac{35}{4}}$
(Jawaban B)

Gunakan sifat determinan berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} C & = AB \Rightarrow \det C = \det (AB) = \det A \cdot \det B \\ \det (kA) & = k^n \det A~\text{jika}~A~\text{berukuran}~n \times n \\ \det(A^{-1}) & = \dfrac{1}{\det A} \end{aligned}}$$Karena $A+CB^T = CD$, maka diperoleh
$$\begin{aligned} A & = CD-CB^T \\ A & = C(D-B^T) \\ \det A & = \det(C(D-B^T)) \\ \det A & = \det C \cdot \det (D-B^T) \\ \det A & = \det C \cdot \det((-1) \cdot (B^T-D)) \\ \det A & = \det C \cdot (-1)^2 \det (B^T-D) \\ \det A & = m \cdot 1 \cdot n = mn$ \end{aligned}$$Dengan demikian,
$\begin{aligned} \det (2A^{-1}) & = 2^2 \det (A^{-1}) \\ & = 4 \cdot \dfrac{1}{\det A} \\ & = \dfrac{4}{mn}. \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{\det (2A^{-1})= \dfrac{4}{mn}}$
(Jawaban C)

Matriks $A$ adalah matriks berukuran $3 \times 3.$ Karena entri ketika letak baris kolomnya sama adalah $1$, sedangkan bila tidak entrinya adalah $0$, maka matriks itu dinyatakan oleh $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$
Cermati dulu definisi berikut.

1. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang entri di bawah diagonal utamanya bernilai $0$.
2. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang entri di atas diagonal utamanya bernilai $0$.
3. Matriks skalar adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya bernilai sama.
4. Matriks identitas adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya harus satu.
5. Matriks nol adalah matriks yang semua entrinya nol.

Matriks $A$ merupakan matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, matriks skalar, sekaligus matriks identitas.
Dapat disimpulkan bahwa $A$ bukan termasuk matriks nol, karena tidak semua entrinya nol.
(Jawaban E)

Sistem persamaan linear dua variabel yang merepresentasikan permasalahan di atas adalah
$\begin{cases} 5x + 3y = 27.500 \\ 4x + 2y = 21.000 \end{cases}$
Dalam bentuk matriks, disajikan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{5(2)-3(4)} \begin{pmatrix} 2 &-3 \\-4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}-2 & 3 \\ 4 &-5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, persamaan matriks yang sesuai dengan permasalahan tersebut adalah $\boxed{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}-2 & 3 \\ 4 &-5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix}}$
(Jawaban E)

Misalkan:
$x$ = panjang dari persegi panjang
$y$ = lebar dari persegi panjang
Kita peroleh
$$\begin{aligned} x & = \dfrac54y \\ 4x & = 5y \\ 4x-5y & = 0 && (\cdots 1) \\ y + 3 & = x \\ x-y & = 3 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Berdasarkan kedua persamaan linear dua variabel di atas, kita peroleh persamaan matriks
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{4(-1)-1(-5)} \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, persamaan matriks yang bersesuaian dengan kasus tersebut adalah $$\boxed{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}}$$(Jawaban B)

Definisi: Hasil Kali Ordo Matriks 
Suatu matriks berordo $a \times b$ hanya dapat dikalikan dengan matriks berordo $b \times c$ menghasilkan matriks baru berordo $a \times c$. 
Jawaban a) 
Matriks $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $2 \times 2$, sedangkan $\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $2 \times 3$. 
Untuk itu, hasil kali kedua matriks ini memiliki ordo $2 \times 3$. 
Jawaban b) 
Matriks $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $1 \times 4$, sedangkan $\begin{pmatrix} 2 \\-5 \\ 3 \\-2 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $4 \times 1$. 
Untuk itu, hasil kali kedua matriks ini memiliki ordo $1 \times 1$. 
Jawaban c)
Matriks $\begin{pmatrix} 4 & 7 &-1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $2 \times 3$, sedangkan matriks $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\-1 &-2 &-3 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $3 \times 3$. Untuk itu, hasil kali kedua matriks ini memiliki ordo $2 \times 3.$ 
Jawaban d) 
Matriks $\begin{pmatrix} 4 & 7 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 3 &-2 \\ 3 & 0 & 1 & 7 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $3 \times 4$, sedangkan matriks $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\-1 &-2 &-3 \end{pmatrix}$ memiliki ordo $3 \times 3$. Ini berarti, matriks tersebut tak bisa dikalikan.

Pada matriks $A$, notasi $a_{ij}$ menyatakan entri/elemen pada baris $i$ dan kolom $j$.
Jawaban a)
Diberikan $a_{ij} = i + j$.
$$\begin{aligned} a_{11} & = 1+1 = 2 \\ a_{21} & = 2+1 = 3 \\ a_{31} & = 3+1 = 4 \\ a_{41} & = 4+1 = 5 \\ a_{12} & = 1 + 2 = 3 \\ a_{22} & = 2 + 2 = 4 \\ & \vdots \vdots \\ a_{44} & = 4+4 = 8 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}}$$Jawaban b)
Diberikan $a_{ij} = i^{j-1}$.
$$\begin{aligned} a_{11} & = 1^{1-1} = 1 \\ a_{21} & = 2^{1-1} = 1 \\ a_{31} & = 3^{1-1} = 1 \\ a_{41} & = 4^{1-1} = 1 \\ a_{12} & = 1^{2-1} = 1 \\ a_{22} & = 2^{2-1} = 2 \\ & \vdots \vdots \\ a_{44} & = 4^{4-1} = 64 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1& 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 64 \end{pmatrix}}$$Jawaban c)
Diberikan
$a_{ij} = \begin{cases} 1, & |i-j| > 1 \\ -1, & |i-j| \le 1 \end{cases}$
$$\begin{aligned} a_{11} & = -1~\text{karena}~|1-1| = 0 \le 1 \\ a_{21} & = -1~\text{karena}~|2-1| = 1 \le 1 \\ a_{31} & = 1~\text{karena}~|3-1| = 2 > 1 \\ a_{41} & = 1~\text{karena}~|4-1| = 3 \le 1 \\ a_{12} & = -1~\text{karena}~|1-2| = 1 \le 1 \\ & \vdots \vdots \\ a_{44} & = -1~\text{karena}~|4-4| = 0 \le 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh $$\boxed{A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}}$$

Jika diberikan matriks berordo $2 \times 2$ dengan bentuk $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka determinannya adalah $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc$. 
Jika determinannya bernilai $0$, maka matriks tersebut dikatakan singular (tidak memiliki invers). 
Jawaban a) 
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} & = 2(1)-3(4) \\ & = 2-12 =-10. \end{aligned}$
Karena determinannya tidak $0$, maka matriks ini bukanlah matriks singular. 
Jawaban b) 
$\begin{aligned} \begin{vmatrix}-1 &-2 \\-3 &-4 \end{vmatrix} & =-1(-4)-(-2)(-3) \\ & = 4-6 =-2. \end{aligned}$
Karena determinannya tidak $0$, maka matriks ini bukanlah matriks singular. 
Jawaban c) 
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 10 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} & = 10(2)-4(5) \\ & = 20-20 = 0. \end{aligned}$
Karena determinannya $0$, maka matriks ini termasuk matriks singular.

Tentukan semua minor dari matriks $A$ terlebih dahulu.
$\begin{aligned} M_{11} & = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2-2 = 0 \\ M_{12} & = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 4-6=-2 \\ M_{13} & = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 4-6=-2 \\ M_{21} & = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \\ M_{22} & = \begin{vmatrix} 3& 0 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 6-0= 6 \\ M_{23} & = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 6-6 = 0 \\ M_{31} & = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1-0 = 1 \\ M_{32} & = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3-0=3 \\ M_{11} & = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2-2 = 0 \end{aligned}$
Matriks kofaktor dari $A$ adalah
$$\begin{aligned} \text{Kof}(A) & = \begin{pmatrix} +M_{11} &-M_{12} & +M_{13} \\-M_{21} & +M_{22} &-M_{23} \\ +M_{31} &-M_{32} & +M_{33} \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 2 &-2 \\-2 & 6 & 0 \\ 1 &-3 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Adjoin dari $A$ adalah transpos dari matriks kofaktornya, yakni
$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 &-2 & 1 \\ 2 & 6 &-3 \\-2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$
Determinan dari matriks $A$ dapat ditentukan dengan banyak cara. Kali ini, akan digunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama. 
$\begin{aligned} \det(A) & = 3 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}-1 \begin{vmatrix} 2 &1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} + 0 \\ & = 3(2-2)-1(4-6) = 2 \end{aligned}$
Invers dari matriks $A$ adalah
$$\boxed{\begin{aligned} A^{-1} & = \dfrac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A) \\ & = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 &-2 & 1 \\ 2 & 6 &-3 \\-2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}}$$

Pertama-tama, akan ditentukan determinan dari matriks $A$ terlebih dahulu.
Dalam hal ini, penentuan determinannya akan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga (karena nolnya banyak). 
$\begin{aligned} \det(A) & = 0-2 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} + 0 + 0 \\ & =-2 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{aligned}$
Selanjutnya, penentuan determinannya menggunakan aturan Sarrus. 
$$\begin{aligned} \det(A) & =-2(0 + 3(5)(3) + 0-3(1)(4)-1(5)(1)-0) \\ & =-2(45- 12- 5) \\ & =-56 \end{aligned}$$Ingat bahwa $\color{red} \det(kA) = k^n \det(A) $ di mana $A$ berordo $n \times n$. 
Karena $A$ berordo $4 \times 4$ (berarti $n=4$), maka
$\begin{aligned} \det(2A) & = 2^4 \det(A) \\ & = 16 \cdot (-56) =-896. \end{aligned}$
Jadi, determinan dari matriks $2A$ adalah $\boxed{-896}$

Gunakan teorema yang menyatakan bahwa “Determinan dari matriks segitiga (atas atau bawah) adalah hasil kali entri di diagonal utamanya.”
Jawaban a) 
Matriks $Z$ merupakan matriks segitiga atas sehingga berlaku teorema di atas. 
$\det(Z) = 4 \cdot 3 \cdot (-9)=-108.$
Jadi, determinan matriks $Z$ adalah $\boxed{-108}$
Jawaban b) 
Matriks $W$ merupakan matriks segitiga bawah sehingga berlaku teorema di atas. 
$\det(W) =-3 \cdot (-9) \cdot 10 \cdot 9 = 2430.$
Jadi, determinan matriks $W$ adalah $\boxed{2430}$

Jawaban a)
Berdasarkan aturan Sarrus-Kino yang dimaksud, kita dapat membuat sketsa penulisannya sebagai berikut.
Misalkan matriks yang nilai determinannya akan dicari di atas adalah $A$. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \det A & = (1)(1)(-2) + (3)(0)(3) + (2)(1)(-2)-(3)(1)(2)-(-2)(0)(1)-(-2)(1)(3) \\ & = -2 + 0- 4-6+0+6 = -6 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinannya adalah $\boxed{-6}$
Jawaban b)
Berdasarkan aturan Sarrus-Kino yang dimaksud, kita dapat membuat sketsa penulisannya sebagai berikut.
Misalkan matriks yang nilai determinannya akan dicari di atas adalah $B$. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \det B & = (0)(2)(-9) + (1)(5)(1) + (4)(0)(-3)-(4)(2)(1)-(0)(5)(-3)-(1)(0)(-9) \\ & = 0+5+0-8+0+0 = -3 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinannya adalah $\boxed{-3}$
Jawaban c)
Berdasarkan aturan Sarrus-Kino yang dimaksud, kita dapat membuat sketsa penulisannya sebagai berikut.
Misalkan matriks yang nilai determinannya akan dicari di atas adalah $B$. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \det B & = (1)(5)(1) + (4)(0)(-3) + (0)(2)(-9)-(0)(5)(-3)-(1)(0)(-9)-(4)(2)(1) \\ & = 5+0+0+0+0-8 = -3 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinannya adalah $\boxed{-3}$

Jawaban a)
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2x & 3 \\-5 &-5 \end{vmatrix} & = 7x \\ (2x) (-5)-(3)(-5) & = 7x \\-10x + 15 & = 7x \\-17x & =-15 \\ x & = \dfrac{15}{17} \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x = \dfrac{15}{17}}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3x & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & = x+4 \\ (3x) (1)- 3(2) & = x + 4 \\ 3x-6 & = x + 4 \\ 2x & = 10 \\ x & = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x = 5}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2x-1 &-3 \\-x & x+1 \end{vmatrix} & = 3 \\ (2x-1)(x+1)-(-3)(-x) & = 3 \\ (2x^2+x-1)-3x & = 3 \\ 2x^2-2x-4 & = 0 \\ x^2-x-2 & = 0 \\ (x-2)(x+1) & = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x =-1}$ atau $\boxed{x = 2}$
Jawaban d)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2x-1 &-3 \\ 0 & x \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} 9 & 7 \\ 1 & x \end{vmatrix} \\ (2x-1)(x)-(-3)(0) & = (9)(x)-(7)(1) \\ 2x^2-x + 0 & = 9x-7 \\ 2x^2-10x + 7 & = 0 \end{aligned}$$Persamaan kuadrat di atas tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran sehingga alternatif lain adalah dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus ABC).
Dari persamaan kuadrat di atas, diketahui $a=2, b=-10, c = 7$
$\begin{aligned} x & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a} \\ & = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2-4(2)(7)}} {2(2)} \\ & = \dfrac{10 \pm \sqrt{10)-56}} {4} \\ & = \dfrac{10 \pm \sqrt{44}} {4} \\ & = \dfrac{5 \pm \sqrt{11}} {2} \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x =\dfrac{5 \pm \sqrt{11}} {2}}$

Invers dari matriks berordo $2 \times 2$ berbentuk $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah
$\dfrac{1}{ad- bc} \begin{pmatrix} d &-b \\-c & a \end{pmatrix}.$
Persamaan matriks $AX = B$ ekuivalen dengan $X = A^{-1}B$, sedangkan $XA = B$ ekuivalen dengan $X = BA^{-1}$ (ingat bahwa perkalian matriks tidak bersifat komutatif).
Jawaban a)
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}X & = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 &-3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{(2)(5)- (-3)(3)} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\-3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{10 + 9} \begin{pmatrix} 5(7) + 3(1) \\-3(7) + 2(1) \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{19} \begin{pmatrix} 38 \\-19 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, matriks $X$ adalah $\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix}}$
Jawaban b)
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 &-1 \\-3 & 1 \end{pmatrix}X & = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\-3 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{2(1)- (-1)(-3)} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{2- 3} \begin{pmatrix} 1(5) + 1(4) \\ 3(5) + 2(4) \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{-1} \begin{pmatrix} 9 \\ 23 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix}-9 \\-23 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, matriks $X$ adalah $\boxed{X = \begin{pmatrix}-9 \\-23 \end{pmatrix}}$
Jawaban c)
$$\begin{aligned} X\begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{8(2)-3(5)} \begin{pmatrix} 2 &-3 \\-5 & 8 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 &-3 \\-5 & 8 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2(2) + (-1)(-5) & 2(-3) + (-1)(8) \\ 0(2) + (1)(-5) & 0(-3) + 1(8) \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 9 &-14 \\-5 & 8 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, matriks $X$ adalah $\boxed{X = \begin{pmatrix} 9 &-14 \\-5 & 8 \end{pmatrix}}$

Suatu matriks tidak dapat dibalik (tidak memiliki invers) jika determinannya bernilai $0$.
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} \det(A) & = 0 \\ (a + b-1)(3) & = 0 \\ a + b & = 1~~~~~~(1) \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \det(B) & = 0 \\ 5(2a-3b-7) & = 0 \\ 2a-3b & = 7~~~~~~(2) \end{aligned}$
Selanjutnya, akan digunakan metode penyelesaian SPLDV yang diperoleh.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + b & = 1 \\ 2a-3b & = 7 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 2a+2b & = 2 \\ 2a-3b & = 7 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt}- \\ & \! \begin{aligned} 5b & =-5 \\ b & =-1 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi nilai $b$ pada persamaan $1.$
$\begin{aligned} a + b & = 1 \\ a + (-1) & = 1 \\ a & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ dan $b$ masing-masing adalah $\boxed{a = 2}$ dan $\boxed{b =-1}$

Misalkan $A$ adalah matriks yang entri-entrinya menyatakan kuantitas makanan yang disetorkan ke masing-masing kantin (baris pertama untuk kantin A, baris kedua untuk kantin B, dan baris ketiga untuk kantin C) sehingga $A = \begin{pmatrix} 10 & 10 & 5 \\ 20 & 15 & 8 \\ 15 & 20 & 10 \end{pmatrix}.$
Misalkan juga $B$ adalah matriks yang menyatakan harga tiap makanan per bungkusnya sehingga $B = \begin{pmatrix} 2.000 \\ 3.000 \\ 1.000 \end{pmatrix}.$
Dengan demikian, hasil kali matriks $A$ dan $B$ menyatakan penghasilan Bu Ani untuk masing-masing kantin, yaitu
$$\begin{aligned} AB & = \begin{pmatrix} 10 & 10 & 5 \\ 20 & 15 & 8 \\ 15 & 20 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2.000 \\ 3.000 \\ 1.000 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} (10 \times 2.000) + (10 \times 3.000) + (5 \times 1.000) \\ (20 \times 2.000) + (15 \times 3.000) + (8 \times 1.000) \\ (16 \times 2.000) + (20 \times 3.000) + (10 \times 1.000) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 20.000 + 30.000 + 5.000 \\ 40.000 + 45.000 + 8.000 \\ 30.000 + 60.000 + 10.000 \end{pmatrix} \\ & =\begin{pmatrix} 55.000 \\ 93.000 \\ 100.000 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, penghasilan Bu Ani yang diterima dari Kantin A, B, dan C berturut-turut adalah Rp55.000,00, Rp93.000,00, dan Rp100.000,00.
Total penghasilannya adalah
Rp55.000,00 + Rp93.000,00 + Rp100.000,00 = Rp248.000,00.