Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Matriks merupakan salah satu materi matematika yang dipelajari saat tingkat SMA/Sederajat. Banyak rumor yang mengatakan bahwa matriks merupakan materi matematika yang paling gampang dipahami di tingkat SMA. Meskipun demikian, latihan soal tentang matriks tetap menjadi kunci utama untuk memahami materi tersebut. Untuk itu, penulis sajikan soal dan pembahasan mengenai matriks, determinan, dan invers matriks di bawah ini Semoga bermanfaat dan selamat belajar!

Soal Nomor 1 (Soal UN SMA Jurusan IPA Tahun 2012)
Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 3 & y \\ 5 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} x & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}, dan C = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ y & 9 \end{pmatrix}

. Jika A+B-C = \begin{pmatrix} 8 & 5x \\ -x & -4 \end{pmatrix}, maka nilai x + 2xy + y adalah \cdots
A. 8      B. 12       C. 18       D. 20      E. 22

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 3 & y \\ 5 & -1 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} x & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \\ C & = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ y & 9 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} A+B-C & = \begin{pmatrix} 8 & 5x \\ -x & -4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & y \\ 5 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ y & 9 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 8 & 5x \\ -x & -4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 + x - (-3) & y + 5 - (-1) \\ 5 + (-3) - y & -1 + 6 - 9 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 8 & 5x \\ -x & -4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x + 6 & y + 6 \\ 2 - y & -4 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 8 & 5x \\ -x & -4 \end{pmatrix} \end{aligned}
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
x + 6 = 8, sehingga x = 2, dan
y + 6 = 5x, berarti y + 6 = 5(2) = 10, sehingga didapat y = 4
Jadi, nilai dari x+2xy+y adalah
\boxed{2+2(2)(4)+4 = 22}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2 (Soal UN SMA Jurusan IPA Tahun 2013)
Diketabui matriks A = \begin{pmatrix} a+2 & 1-3b \\ -1 & -6 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2a & b-3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, dan C = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}. Jika A+B = C, maka nilai a+b adalah \cdots
A. -6    B. -3      C. -2       D. 1       E. 2

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} a+2 & 1-3b \\ -1 & -6 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 2a & b-3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \\ C & = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} A + B & = C \\ \begin{pmatrix} a+2 & 1-3b \\ -1 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2a & b-3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3a + 2 & -2b-2 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}\end{aligned}
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
3a + 2 = 5 \iff 3a = 3 \iff a = 1
dan
-2b - 2 = 6 \iff -2b = 8 \iff b = -4
Jadi, nilai dari a+b adalah \boxed{1+(-4) = -3} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3 (Soal UN SMA Jurusan IPA Tahun 2014)
Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2m & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} n+1 & 3 \\ m-n & 0 \end{pmatrix}, dan C = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}. Jika C^T adalah transpos dari C dan A + B = C^T, nilai dari 3m+2n = \cdots
A. -25      B. -14       C. -11      D. -7      E. -1

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2m & -3 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} n+1 & 3 \\ m-n & 0 \end{pmatrix} \\ C & = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \\ C^T & = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -4 & -3 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} A + B & = C^T \\ \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2m & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 & 3 \\ m-n & 0 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -4 & -3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} n + 4 & 2 \\ 3m - n & -3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -4 & -3 \end{pmatrix} \end{aligned}
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
n + 4 = 5 \iff n = 1
dan
3m-n = -4 \implies 3m - 1 = -4 \iff m = -1
Jadi, nilai dari 3m+2n adalah \boxed{3(-1) + 2(1) = -1} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui persamaan matriks 3 \begin{pmatrix} 5 & x \\ y & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 & x-4 \\ 3-y & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 13 & 5 \end{pmatrix}
Nilai 2x-y adalah \cdots
A. -2      B. -1       C. 1       D. 3       E. 5

Penyelesaian

Dari persamaan matriks yang diberikan itu, dapat ditulis
\begin{aligned} \begin{pmatrix} 15 & 3x \\ 3y & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 & x-4 \\ 3-y & -7 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 13 & 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 9 & 4x - 4 \\ 2y + 3 & 5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 13 & 5 \end{pmatrix} \end{aligned}
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
4x - 4 = 8 \iff 4x = 12 \iff x = 3
dan
2y + 3 = 13 \iff 2y = 10 \iff y = 5
Jadi, nilai dari 2x-y adalah \boxed{2(3)-5 = 1} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui persamaan matriks 2 \begin{pmatrix} a & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ c & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & d \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
Nilai dari a+b+c+d = \cdots
A. 11      B. 13        C. 15       D. 17        E. 19

Penyelesaian

Dari persamaan matriks di atas, diperoleh
\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2a & 4 \\ -6 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & b \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3(2) + 2(1) & 3d + 2(3) \\ 2c + 4(1) & cd + 4(3) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a + 4 & 3 \\ -6 & 2 + b \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 8 & 3d + 6 \\ 2c + 4 & cd+ 12 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dari persamaan terakhir, didapat
2a + 4 = 8 \iff 2a = 4 \iff a = 2
3 = 3d + 6 \iff 3d = -3 \iff d = -1
-6= 2c + 4 \iff 2c = -10 \iff c = -5
dan
\begin{aligned} & 2 + b = cd + 12 \\ & \implies 2 + b = (-5)(-1) + 12 = 17 \iff b = 15 \end{aligned}
Jadi, nilai dari a+b+c+d adalah \boxed{2+15+(-5)+(-1) = 11}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 1 & -d \\ b & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & b \end{pmatrix}, dan C = \begin{pmatrix} 3c & -5c \\ 1-a & 3a-1 \end{pmatrix}. Nilai a+b+c+d yang memenuhi persamaan B-A=C^T adalah \cdots
A. -8     B. -3      C. \dfrac{11}{3}      D. 9      E. \dfrac{141}{9}

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 1 & -d \\ b & 3 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & b \end{pmatrix} \\ C & = \begin{pmatrix} 3c & -5c \\ 1-a & 3a-1 \end{pmatrix} \\ C^T & = \begin{pmatrix} 3c & 1-a \\ -5c & 3a-1 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} B-A &=C^T \\ \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & b \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -d \\ b & 3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3c & 1-a \\ -5c & 3a-1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & -5+d \\ -3-b & b-3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3c & 1-a \\ -5c & 3a-1 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dari persamaan terakhir, diperoleh
3 = 3c \iff c = 1 
-3-b = -5c \implies -3-b = -5(1) = -5 \iff b = 2
b-3 = 3a - 1 \implies 2-3 = 3a-1 \iff a = 0
-5+d = 1-a \implies -5+d = 1 - 0 \iff d = 6
Jadi, nilai dari a+b+c+d adalah \boxed{0+2+1+6 = 9} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} \frac{6}{x} & -\frac{10}{x} \\ -1 & 2 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}
Jika A^T = B^{-1}, maka nilai 2x = \cdots
A. -8     B. -4      C. -\dfrac{1}{4}       D. 4      E. 8

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} \frac{6}{x} & -\frac{10}{x} \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \\ A^T & = \begin{pmatrix} \frac{6}{x} & -1 \\ -\frac{10}{x} & 2 \end{pmatrix} \\ B^{-1} & = \dfrac{1}{3x-10} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -5 & x \end{pmatrix} \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} A^T & = B^{-1} \\ \begin{pmatrix} \dfrac{6}{x} & -1 \\ -\dfrac{10}{x} & 2 \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{3x-10} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -5 & x \end{pmatrix} \end{aligned}
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
\begin{aligned} \dfrac{6}{x} & = \dfrac{3}{3x-10} \\ 6(3x-10) & = 3x \\ 18x - 60 & = 3x \\ 15x & = 60 \\ x & = 4 \end{aligned}
Jadi, nilai dari 2x adalah \boxed{2(4)=8} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} x + y & x \\ y & x-y \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix}, dan A^T = B. Nilai x+2y = \cdots
A. -11      B. -2      C. 0       D. 1       E. 2

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} x + y & x \\ y & x-y \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix} \\ A^T & = \begin{pmatrix} x + y & y \\ x & x-y \end{pmatrix} \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} A^T & = B \\ \begin{pmatrix} x + y & y \\ x & x-y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dari persamaan terakhir, diperoleh SPLDV
\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 3 \end{cases}
yang memiliki penyelesaian untuk x = 2 dan y = -1
Jadi, nilai dari x+2y adalah \boxed{2+2(-1)=0} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
Jika AC = B, maka determinan matriks C adalah \cdots
A. 5       B. 3       C. 2      D. -1       E. -2

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}
Determinan dari matriks tersebut adalah
\begin{aligned} \det(A) & = 2(4) - 3(3) = -1 \\ \det(B) & = -1(2)-1(0) = -2 \end{aligned}
Karena AC = B, maka berlaku \color{red}{\det(A) \cdot \det(C) = \det(B)}, sehingga
-1 \cdot \det(C) = -2 \iff \det(C) = 2
Jadi, determinan dari matriks C adalah \boxed{2} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}.
Hasil dari AB^2 = \cdots
A. A^t      B. B^{-1}       C. B^t         D. A^{-1}      E. B

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \\ B & = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} AB^2 & = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = B \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{AB^2 = B} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui matriks B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} dan matriks C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}. Jika (A+B)^{-1} \cdot C = B^{-1}, matriks A = \cdots
A. \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}
C. \begin{pmatrix} -3 & 8 \\ 9 & 20 \end{pmatrix}
D. \begin{pmatrix} 20 & -9 \\ -8 & 3 \end{pmatrix}
E. \begin{pmatrix} -3 & -9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Diketahui
B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}~~~~C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}
Untuk itu, diperoleh
\begin{aligned} (A+B)^{-1} \cdot C & = B^{-1} \\ C & = (A+B)B^{-1} \\ CB & = A + B \\ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} & = A + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5 & 13 \\ 9 & 23 \end{pmatrix} & = A + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ A & = \begin{pmatrix} 5 & 13 \\ 9 & 23 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ A & = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, matriks A adalah \boxed{\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 8 & 20 \end{pmatrix}} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui matriks P^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} dan matriks Q = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}. Hasil dari (PQ^{-1})^{-1} = \cdots
A. \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -5 & -1 \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -5 & -5 \end{pmatrix}
C. \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}
D. \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ -5 & -5 \end{pmatrix}
E. \begin{pmatrix} -5 & -6 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Diketahui:
P^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}~~~Q = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}
Gunakan sifat invers matriks untuk mempermudah penyelesaian soal ini. 
\begin{aligned} (PQ^{-1})^{-1} & = QP^{-1} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ -5 & -5 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{(PQ^{-1})^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ -5 & -5 \end{pmatrix}} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} dan matriks B = \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 2 & -2 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} serta B^T adalah transpos dari matriks B. Hasil dari A^2 \times B^T = \cdots
A. \begin{pmatrix} 3 & -6 & 9 \\ 7 & -14 & 21 \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} -17 & -6 & -51 \\ -37 & -14 & -111 \end{pmatrix} 
C. \begin{pmatrix} 17 & 6 & 51 \\ 37 & 14 & 111 \end{pmatrix}
D. \begin{pmatrix} -3 & 6 & -9 \\ -7 & 14 & -21 \end{pmatrix}
E. \begin{pmatrix} 3 & -6 & 8 \\ 7 & -14 & 21 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Diketahui:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}~~~B = \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 2 & -2 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}
Untuk itu, 
A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}
dan
B^T = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} 
Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} A^2 \times B^T & = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -7+10 & 14-20 & -21+30 \\ -15+22 & 30-44 & -45+66 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 9 \\ 7 & -14 & 21 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{A^2 \times B^T = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 9 \\ 7 & -14 & 21 \end{pmatrix}} 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika A adalah matriks berukuran 2 \times 2 dan diketahui
\begin{pmatrix} x & 1 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix} = [x^2+5x+8]
maka matriks A yang mungkin adalah \cdots
A. \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} 
C. \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}
D. \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}
E. \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -5 & -8 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Masing-masing matriks \begin{pmatrix} x & 1 \end{pmatrix} dan \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix} memiliki entri x, sehingga entri matriks A haruslah berupa konstanta. Karena koefisien x^2 pada ruas kanan persamaan di atas adalah 1, maka entri baris pertama kolom pertama matriks A haruslah 1. Dengan demikian, kita dapat memisalkan A = \begin{bmatrix} 1 & a \\ b & c \end{bmatrix}
Untuk itu, dapat dituliskan
\begin{aligned} \begin{pmatrix} x & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix} & = [x^2+5x+8] \\ \begin{pmatrix} x + b & ax + c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix} & = [x^2+5x+8] \\ [x^2+bx + ax + c] & = [x^2+5x+8] \\ x^2+(a+b)x+c & = x^2+5x+8 \end{aligned}
Diperoleh a + b = 5 dan c = 8
Dari kelima pilihan jawaban yang diberikan, hanya pilihan A yang memenuhi nilai-nilai tersebut. Jadi, matriks A yang mungkin adalah \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}} 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui A = \begin{bmatrix} 3x+6 & 9 \\ 9 & 9 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 9 & 0 \\ 15 & 3x+6 \end{bmatrix}, maka perkalian nilai-nilai x yang memenuhi \det(AB) = 729 adalah \cdots
A. -4      B. -3       C. 1       D. 3       E. 4

Penyelesaian

Diketahui:
A = \begin{bmatrix} 3x+6 & 9 \\ 9 & 9 \end{bmatrix}~~~B = \begin{bmatrix} 9 & 0 \\ 15 & 3x+6 \end{bmatrix}
Cari dulu determinan dari kedua matriks tersebut. 
\begin{aligned} \det(A) & = (3x+6)9 + 9(9) \\ & = 27x + 54 - 81 \\ & = 27x - 27  \\ \det(B) & = 9(3x+6) - 15(0) \\ & = 27x + 54 \end{aligned}
Untuk itu, diperoleh
\begin{aligned} \det(AB) & = 729 \\ \det(A) \cdot \det(B) & = 729 \\ (27x-27)(27x+54) - 729 & = 0 \\ 27(x-1) \cdot 27(x+2) - 729 & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~&729 \\ (x-1)(x+2) - 1 & = 0 \\ x^2 + x - 3 & = 0 \end{aligned}
Hasil kali nilai-nilai x yang dimaksud dalam soal adalah hasil kali akar-akar persamaan kuadrat di atas, yaitu 
x_1x_2 = \dfrac{\text{Konstanta}} {\text{Koefisien}~x^2} = \dfrac{-3}{1} = -3
Jadi, perkalian nilai-nilai x yang memenuhi \det(AB) = 729 adalah \boxed{-3} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, dan matriks C memenuhi AC = B, maka \det(C) = \cdots
A. 1      B. 6      C. 9       D. 11      E. 12

Penyelesaian

Dari matriks A dan B yang diberikan, diketahui
\det(A)= 1(3) - 1(2) = 1 dan
\det(B) = 4(3) - 1(1) = 11
Gunakan Teorema Determinan Matriks
\begin{aligned} AC & = B \\ \det(A) \cdot \det(C) & = \det(B) \\ \det(C) & = \dfrac{\det(B)} {\det(A)} \\ \det(C) & = \dfrac{11}{1} = 11 \end{aligned}
Jadi, determinan dari matriks C adalah \boxed{\det(C) = 11} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} dan B^T= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, dan B^T adalah transpos matriks B. Jika \det(2AB) = k \det(AB)^{-1}, maka k = \cdots
A. 2      B. 3      C. 12       D. 24         E. 36

Penyelesaian

Diketahui:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}~~~B^T= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
Matriks B adalah
B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
Perhatikan bahwa hasil kali matriks A dan B adalah
\begin{aligned} AB & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1(1) + 1(2) + 2(-1) & 1(-1) + 1(1) + 2(2) \\ 2(1) - 1(2) + 1(-1) & 2(-1) - 1(1) + 1(2) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} \det(2AB) & = k \det(AB)^{-1} \\ 2^2 \det(AB) & = \dfrac{k} {\det(AB)} \\ k & = 4 (\det (AB))^2 \\ k & = 4(1(-1) - (-1)(4))^2 \\ k & = 4(-1+4)^2 = 36 \end{aligned}
Jadi, nilai dari k adalah \boxed{36}
(Jawaban E) 
Catatan:
Gunakan Teorema Determinan:
Apabila A matriks berordo n \times n, maka \color{red}{\det(kA) = k^n \det(A)}

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui suatu persamaan matriks:
\begin{pmatrix} -q+s & q \\ -p+r & p \end{pmatrix} \cdot A & = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}
Determinan matriks A adalah \cdots
A. 0       B. 1       C. 2        D. 3        E. 4

Penyelesaian

Dengan menggunakan Teorema Determinan:
\boxed{\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)}
diperoleh
\begin{aligned} \begin{vmatrix} -q+s & q\\ -p+r & p \end{vmatrix} \cdot \det(A) & = \begin{vmatrix} p & q \\ r & s \end{vmatrix} \\ ((-q+s)p -(-p+r)q) \cdot \det(A) & = ps - qr \\ (-pq + ps + pq - qr) \cdot \det(A) & = ps-qr \\ (ps - qr) \cdot \det(A) & = ps -qr \\ \det(A) & = \dfrac{ps-qr} {ps-qr} = 1 \end{aligned}
Jadi, determinan matriks A adalah \boxed{1} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Diketahui matriks A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix}, dan C = \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}.
Nilai dari 2A-B+C = \cdots
A. \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}
B. \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ -5 & -1 \end{bmatrix}
C. \begin{bmatrix} 0 & 6 \\ -7 & -1 \end{bmatrix}
D. \begin{bmatrix} 0 & -6 \\ -7 & -1 \end{bmatrix}
E. \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ -7 & 1 \end{bmatrix}

Penyelesaian

\begin{aligned} 2A-B+C & = 2\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 4 - 3 + (-1) & 6 - (-4) + (-4) \\ -4 - 6 + 3 & 2 - 5 + 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 6 \\ -7 & -1 \end{bmatrix} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{2A-B+C = \begin{bmatrix} 0 & 6 \\ -7 & -1 \end{bmatrix}} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 20
Invers dari matriks A = \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ -7 & 9 \end{bmatrix} adalah \cdots
A. \begin{bmatrix} 9 & 5 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}
B. \begin{bmatrix} 9 & -5 \\ -7 & 4 \end{bmatrix}
C. \begin{bmatrix} 4 & -7 \\ -5 & 9\end{bmatrix}
D. \begin{bmatrix} 9 & -5 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}
E. \begin{bmatrix} -9 & -7 \\ -5 & -4 \end{bmatrix}

Penyelesaian

Diketahui A = \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ -7 & 9 \end{bmatrix}
Determinan matriks ini adalah
\det(A) = 4(9) - (-7)(-5) = 36 - 35 = 1
Perhatikan bahwa jika diberikan matriks A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, maka inversnya adalah
A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
Dengan demikian, dapat dituliskan
A^{-1} = \dfrac{1}{1}\begin{bmatrix} 9 & -(-5) \\ -(-7) & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 5 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}
Jadi, invers dari matriks A adalah \boxed{\begin{bmatrix} 9 & 5 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21
Diketahui A = \begin{bmatrix} -4 & 5 & 2 \\ 0 & -2 & 4 \\ -1 & -6 & 3 \end{bmatrix}
Nilai \det(A) = \cdots
A. -96     B. -72    C. -48     D. 12    E. 24

Penyelesaian

Determinan matriks berordo 3 \times 3 dapat ditentukan secara khusus dengan menggunakan Aturan Sarrus sebagai berikut.

\begin{aligned} \det(A) & = (-4)(-2)(3) + 5(4)(-1) + (2)(0)(-6) \\ & -((-1)(-2)(2) + (-6)(4)(-4) + (3)(0)(5) \\ & = 24 - 20 + 0 - (4 + 96 + 0) \\ & = -96 \end{aligned}
Jadi, determinan matriks A adalah \boxed{\det(A) = -96} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22
Tentukan ordo hasil perkalian dua buah matriks berikut. 
a. \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}
b. \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}
c. \begin{pmatrix} 4 & 7 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \end{pmatrix}
d. \begin{pmatrix} 4 & 7 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & -2 \\ 3 & 0 & 1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Definisi: Hasil Kali Ordo Matriks 
Suatu matriks berordo a \times b hanya dapat dikalikan dengan matriks berordo b \times c menghasilkan matriks baru berordo a \times c
Jawaban a) 
Matriks \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} memiliki ordo 2 \times 2, sedangkan \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} memiliki ordo 2 \times 3
Untuk itu, hasil kali kedua matriks ini memiliki ordo 2 \times 3
Jawaban b) 
Matriks \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} memiliki ordo 1 \times 4, sedangkan \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} memiliki ordo 4 \times 1
Untuk itu, hasil kali kedua matriks ini memiliki ordo 1 \times 1
Jawaban c)
Matriks \begin{pmatrix} 4 & 7 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} memiliki ordo 2 \times 3, sedangkan matriks \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \end{pmatrix} memiliki ordo 3 \times 3. Untuk itu, hasil kali kedua matriks ini memiliki ordo 2 \times 3
Jawaban d) 
Matriks \begin{pmatrix} 4 & 7 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & -2 \\ 3 & 0 & 1 & 7 \end{pmatrix} memiliki ordo 3 \times 4, sedangkan matriks \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \end{pmatrix} memiliki ordo 3 \times 3. Ini berarti, matriks tersebut tak bisa dikalikan.

[collapse]

Soal Nomor 23
Tentukan determinan dari matriks berordo 2 \times 2 berikut. Apakah matriks tersebut singular? 
a. \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}
b. \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -3 & -4 \end{pmatrix} 
c. \begin{pmatrix} 10 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Jika diberikan matriks berordo 2 \times 2 dengan bentuk \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, maka determinannya adalah \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
Jika determinannya bernilai 0, maka matriks tersebut dikatakan singular (tidak memiliki invers). 
Jawaban a) 
\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2(1) - 3(4) = 2-12 = -10
Karena determinannya tidak 0, maka matriks ini bukanlah matriks singular. 
Jawaban b) 
\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -3 & -4 \end{vmatrix}= -1(-4) - (-2)(-3) = 4 - 6 = -2
Karena determinannya tidak 0, maka matriks ini bukanlah matriks singular. 
Jawaban c) 
\begin{vmatrix} 10 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 10(2) - 4(5) = 20-20 = 0
Karena determinannya 0, maka matriks ini termasuk matriks singular.

[collapse]

Soal Nomor 24
Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} dan I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Matriks (A-kI) adalah matriks singular untuk nilai k = \cdots
A. -2 atau 5
B. -5 atau 2
C. 2 atau 5
D. 3 atau 4
E. 1 atau 2

Penyelesaian

Diketahui:
A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}~~~I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
Pertama, akan dicari dulu matriks (A-kI)
\begin{aligned} A-kI & = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} - k \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2-k & 4 \\ 3 & 1-k \end{pmatrix} \end{aligned}
Matriks ini akan singular apabila determinannya 0. Jadi, haruslah
\begin{aligned} \det(A-kI) & = 0 \\ (2-k)(1-k) - 4(3) & = 0 \\ k^2 - 3k + 2 - 12 & = 0 \\ k^2 - 3k - 10 & = 0 \\ (k-5)(k+2) & = 0 \end{aligned}
Dari persamaan terakhir, disimpulkan bahwa nilai k yang memenuhi adalah k = -2 atau k = 5 (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 25
Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} dengan r \neq 0 dan p \neq 0. Nilai p agar matriks BA tidak memiliki invers adalah \cdots
A. -2     B. -\dfrac{1}{2}     C. 0       D. \dfrac{1}{2}       E. 1

Penyelesaian

Diketahui:
A = \begin{pmatrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{pmatrix}~~~B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}
Untuk itu, 
\begin{aligned} BA & = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2(2r) - 1(r) & 2(1) - 1(p+1) \\ 4(2r) + 3r & 4(1) + 3(p+1) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3r & 1-p \\ 11r & 3p+7 \end{pmatrix} \end{aligned}
Agar matriks BA tidak memiliki invers, determinannya harus bernilai 0
\begin{aligned} \det(BA) & = 0 \\ 3r(3p+7) - 11r(1-p) & = 0 \\ 9pr + 21r - 11r + 11pr & = 0 \\ 20pr + 10r & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~&r \\ 20p + 10 & = 0 \\ 20p & = -10 \\ p & = -\dfrac{10}{20} = -\dfrac{1}{2} \end{aligned}
Jadi, nilai p yang dimaksud adalah \boxed{-\dfrac{1}{2}} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 26 (\bigstar HOTS \bigstar
Jika diketahui A = \begin{pmatrix} 6 & -3 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \\ 5 & 7 & 6 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 1 & -9 & 4 \\ 2 & 2 & -3 \\ 3 & 13 & -10 \end{pmatrix}, maka nilai \det(B^{-1}(A^{-1}B^{-1})^{-1}A^{-1}) adalah \cdots
A. -1     B. 0       C. 1        D. 3       E. 5

Penyelesaian

Gunakan sifat invers berikut. 
\boxed{\begin{aligned}&  (A^{-1}B^{-1})^{-1} \\ & = BA \\ A^{-1} \cdot A & = A \cdot A^{-1} = I \\ I \cdot I = I \end{aligned}}
dan perhatikan juga bahwa determinan matriks identitas selalu 1
dengan I merupakan matriks identitas. 
Untuk itu, dapat dituliskan
\begin{aligned} \det(B^{-1}(A^{-1}B^{-1})^{-1}A^{-1}) & = \det(B^{-1}(BA)A^{-1}) \\ & = \det((B^{-1}B) (AA^{-1})) \\ & = \det(I \cdot I) \\ & = \det(I) = 1 \end{aligned}
Jadi, determinan dari B^{-1}(A^{-1}B^{-1})^{-1}A^{-1} adalah \boxed{1} (Jawaban C) 
(tanpa perlu memperhatikan entri matriks A dan B yang diberikan).

[collapse]

Soal Nomor 27
Jika a bilangan bulat, maka matriks \begin{pmatrix} a & 1 & 2 \\ a & 1 & a \\ 5 & 6 & 7 \end{pmatrix} tidak mempunyai invers untuk a = \cdots
A. 5      B. 4       C. 3       D. 2        E. 1

Penyelesaian

Matriks tersebut tidak mempunyai invers apabila determinannya bernilai 0, atau ditulis
\begin{vmatrix} a & 1 & 2 \\ a & 1 & a \\ 5 & 6 & 7 \end{vmatrix} = 0
Determinannya dapat ditentukan dengan berbagai cara, antara lain Aturan Sarrus atau Ekspansi Kofaktor
Untuk sekarang ini, akan digunakan Ekspansi Kofaktor untuk menentukan determinan matriks tersebut. Ekspansi kofaktornya pada baris pertama. 
\begin{aligned} \begin{vmatrix} a & 1 & 2 \\ a & 1 & a \\ 5 & 6 & 7 \end{vmatrix} & = 0 \\ a \begin{vmatrix} 1 & a \\ 6 & 7 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} a & a \\ 5 & 7 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} a & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} & = 0 \\ a(7-6a) - (7a-5a) + 2(6a - 5) & = 0 \\ 7a - 6a^2 - 2a + 12a - 10 & = 0 \\ -6a^2 + 17a - 10 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&-1 \\ 6a^2 - 17a + 10 & = 0 \\ (6a-5)(a-2) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh a = \dfrac{6}{5} atau a = 2. Karena a harus bilangan bulat, maka nilai a yang memenuhi adalah \boxed{a = 2} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 28 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Diketahui A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix}
Nilai dari A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} adalah \cdots
A. O             D. 2017A+2I
B. 2I             E. A+2I
C. A

Penyelesaian

Perhatikanlah bahwa
\begin{aligned} A^2 & = A \times A \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}
Karena perkalian matriks nol dengan matriks apapun tetap menghasilkan matriks nol, sedangkan perpangkatan matriks identitas tetap menghasilkan matriks identitas, maka dapat ditulis
\begin{aligned} & A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} \\ & = O + 2017O + 2I = 2I \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{A^{2017} + 2017A^{2018} + 2I^{2018} = 2I} (Jawaban B) 
Catatan:
O merupakan notasi matriks nol, sedangkan I adalah notasi matriks identitas.

[collapse]

Soal Nomor 29 (\bigstar HOTS \bigstar
Jika A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, maka A^{2009} = \cdots
A. \begin{pmatrix} a^{1004} & 0 \\ 0 & a^{1004} \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1004} & 0 \end{pmatrix}
C. \begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1005} & 0 \end{pmatrix}
D. \begin{pmatrix} a^{2008} & 0 \\ 0 & a^{1004) \end{pmatrix}
E. \begin{pmatrix} 0 & a^{1004} \\ a^{1004} & 0 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Diketahui: A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
Perhatikan hasil dari sejumlah perpangkatan matriks A berikut. 
\begin{aligned} A^2 & = A \times A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \times A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ 0 & a \end{pmatrix} \\ A^4 & = A^3 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^2 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \\ A^5 & = A^4 \times A = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix} \\ A^6 & = A^5 \times A = \begin{pmatrix} 0 & a^3 \\ a^2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^3 & 0 \\ 0 & a^3 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dari uraian di atas, ditemukan pola
A^n = \begin{pmatrix} a^{\frac{n} {2}} & 0 \\ 0 & a^{\frac{n} {2}} \end{pmatrix}
untuk n genap. 
A^n = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{n+1} {2}} \\ a^{\frac{n-1} {2}} & 0\end{pmatrix}
untuk n ganjil. 
Karena 2009 adalah bilangan ganjil, maka kita dapatkan
A^{2009} = \begin{pmatrix} 0 & a^{\frac{2009+1} {2}} \\ a^{\frac{2009-1} {2}} & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a^{1005} \\ a^{1004} & 0\end{pmatrix}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 30 (\bigstar HOTS \bigstar
Jika M adalah matriks sehingga
M \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ a - c & b - d \end{pmatrix}, maka determinan matriks M adalah \cdots
A. -1     B. 0     C. 1       D. 2        E. 3

Penyelesaian

Diketahui M \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ a - c & b - d \end{pmatrix}
Untuk itu, dapat ditulis
\begin{aligned} |M| \cdot \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} a & b \\ a - c & b - d \end{vmatrix} \\ |M| \cdot (ad - bc) & = a(b - d) - b(a - c) \\ |M| \cdot (ad - bc) & = \cancel{ab} - ad \cancel{- ab} + bc \\ |M| \cdot (ad - bc) & = -(ad - bc) \\ |M| & = \dfrac{-(ad-bc)}{ad-bc} = -1 \end{aligned}
Jadi, determinan dari matriks M adalah \boxed{-1} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 31
Tentukan invers dari matriks A berikut. 
A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 6 & 2 & 2 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Tentukan semua minor dari matriks A terlebih dahulu.
\begin{aligned} M_{11} & = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2-2 = 0 \\ M_{12} & = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 4-6= -2 \\ M_{13} & = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 4-6= -2 \\ M_{21} & = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \\ M_{22} & = \begin{vmatrix} 3& 0 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 6-0= 6 \\ M_{23} & = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 6-6 = 0 \\ M_{31} & = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1-0 = 1 \\ M_{32} & = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3-0=3 \\ M_{11} & = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 2 = 0 \end{aligned}
Matriks kofaktor dari A adalah
\text{Kof}(A) = \begin{pmatrix} +M_{11} & -M_{12} & +M_{13} \\ -M_{21} & +M_{22} & -M_{23} \\ +M_{31} & -M_{32} & +M_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ -2 & 6 & 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}
Adjoin dari A adalah transpos dari matriks kofaktornya, yakni
\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & 6 & -3 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Determinan dari matriks A dapat ditentukan dengan banyak cara. Kali ini, akan digunakan Ekspansi Kofaktor sepanjang baris pertama. 
\begin{aligned} \det(A) & = 3 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 &1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} + 0 \\ & = 3(2-2) - 1(4-6) = 2 \end{aligned}
Invers dari matriks A adalah
\boxed{A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A) = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & 6 & -3 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}}

[collapse]

Soal Nomor 32 (\bigstar HOTS \bigstar
Tunjukkan bahwa nilai determinan matriks
\begin{pmatrix} \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ -\cos \theta & \sin \theta & 0 \\ \sin \theta \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta & 1 \end{pmatrix}
tidak tergantung pada \theta.

Penyelesaian

Misalkan 
X = \begin{pmatrix} \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ -\cos \theta & \sin \theta & 0 \\ \sin \theta - \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta & 1 \end{pmatrix} 
Dengan menggunakan Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom ketiga, diperoleh
\begin{aligned} \det(X) & = 0 \begin{vmatrix} -cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta - \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta \end{vmatrix} \\ & - 0 \begin{vmatrix} \sin \theta & \cos \theta \\ \sin \theta - \cos \theta & \sin \theta + \cos \theta \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} \sin \theta & \cos \theta \\ -\cos \theta & \sin \theta \end{vmatrix} \\ & = 0 - 0 + (\sin^2 \theta - (-\cos^2 \theta)) \\ & = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \end{aligned}
Diperoleh determinan X selalu 1 dan ini menunjukkan bahwa nilai \theta tidak memengaruhi determinan matriks tersebut. 
Catatan:
Ingat sifat identitas Pythagoras dalam trigonometri
\boxed{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1}

[collapse]

Soal Nomor 33 (\bigstar HOTS \bigstar
Buktikan bahwa matriks
A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix}
komutatif terhadap operasi perkalian matriks jika dan hanya jika
\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0

Penyelesaian

Pembuktian pernyataan di atas harus bersifat dua arah (memuat frasa “jika dan hanya jika”)
Pembuktian: p \impliedby q
Akan dibuktikan bahwa jika matriks
A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix}
komutatif terhadap operasi perkalian matriks, maka \begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0
——————
Anteseden memberlakukan persamaan 
AB = BA (sifat komutatif perkalian)
Untuk itu, diperoleh
\begin{aligned} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} ad & ae+bf \\ 0 & cf \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} ad & bd + ce \\ 0 & cf \end{pmatrix} \end{aligned}
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
\begin{aligned} ae + bf & = bd + ce \\ (ae - ce) + (bf - bd) & = 0 \\ e(a-c) - b(d - f) & = 0 \\ b(d-f) - e(a-c) & = 0 \end{aligned}
Bentuk terakhir dapat dinyatakan dalam bentuk determinan matriks berordo 2 \times 2, yaitu
\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0
(Terbukti)

Pembuktian p \implies q 
Akan dibuktikan bahwa jika \begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0, maka matriks A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix}
komutatif terhadap operasi perkalian matriks
——————
Diketahui bahwa
\begin{aligned} \begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} & = 0 \\ b(d-f) - e(a - c) & = 0 \\ bd - bf - ae + ce & = 0 \\ ae + bf & = bd + ce \end{aligned}
Perhatikan bahwa
\begin{aligned} AB & = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} ad & ae+bf \\ 0 & cf \end{pmatrix} \\ \text{Substitusi}~ae + bf & = bd + ce \\ & = \begin{pmatrix} ad & bd + ce \\ 0 & cf \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \\ & = BA \end{aligned}
Karena berlaku AB = BA, maka matriks tersebut komutatif terhadap operasi perkalian matriks (terbukti)
Jadi, matriks A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} komutatif terhadap operasi perkalian matriks jika dan hanya jika
\begin{vmatrix} b & a-c \\ e & d-f \end{vmatrix} = 0 

[collapse]

Soal Nomor 34 (\bigstar HOTS \bigstar
Jika diketahui
\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 3, maka
\begin{vmatrix} 2a + d& a & 4a+2d+g \\ 2b+e & b & 4b+2e+h \\ 2c+f & c & 4c+2f+i \end{vmatrix} = \cdots
A. -3     B. -2       C. 0        D. 2        E. 3

Penyelesaian

Diketahui ersamaan
\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 3
Dengan melakukan penukaran entri baris pertama dan kedua, yang akibatnya menegatifkan determinan, diperoleh
\begin{vmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{vmatrix} = -3
Transposkan untuk memperoleh
\begin{vmatrix} d & a & g \\ e & b & h \\ f & c & i \end{vmatrix} = -3
(Transpos tidak mengubah determinan)
Selanjutnya, jumlahkan entri kolom pertama dengan dua kali entri kolom kedua yang bersesuaian (tidak mengubah determinan). 
\begin{vmatrix} 2a+d & a & g \\ 2b + e & b & h \\ 2c + f & c & i \end{vmatrix} = -3
Terakhir, jumlahkan entri kolom ketiga dengan dua kali entri kolom pertama yang bersesuaian (tidak mengubah determinan). 
\begin{vmatrix} 2a+d & a & 4a+2d+g\\ 2b + e & b & 4b+2e+h \\ 2c + f & c & 4c+2f+i \end{vmatrix} = -3 
Jadi, nilai dari
\boxed{\begin{vmatrix} 2a+d & a & 4a+2d+g\\ 2b + e & b & 4b+2e+h \\ 2c + f & c & 4c+2f+i \end{vmatrix} = -3} 
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 35
Diketahui matriks
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & -5 & 1 & 0 \end{pmatrix}
Tentukan \det(2A)

Penyelesaian

Pertama-tama, akan ditentukan determinan dari matriks A terlebih dahulu.
Dalam hal ini, penentuan determinannya akan menggunakan Ekspansi Kofaktor sepanjang baris ketiga (karena nolnya banyak). 
\begin{aligned} \det(A) & = 0 - 2 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} + 0 + 0 \\ & = -2 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{aligned}
Selanjutnya, penentuan determinannya menggunakan Aturan Sarrus
\begin{aligned} & \det(A) \\ & = -2(0 + 3(5)(3) + 0 - 3(1)(4) - 1(5)(1) - 0) \\ & = -2(45 - 12 - 5) \\ & = -56 \end{aligned}
Ingat bahwa \color{red} \det(kA) = k^n \det(A) di mana A berordo n \times n
Karena A berordo 4 \times 4 (berarti n=4), maka
\det(2A) = 2^4 \det(A) = 16 \cdot (-56) = -896
Jadi, determinan dari matriks 2A adalah \boxed{-896}

[collapse]

Soal Nomor 36
Nilai x+y dari sistem persamaan linear
\begin{cases} 2x+3y=8 \\ 3x-2y=-1 \end{cases}
adalah \cdots
A. 1       B. 3        C. 5       D. 7        E. 9

Penyelesaian

Susun SPL di atas ke dalam bentuk matriks
\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \end{pmatrix}
Gunakan sifat invers matriks: \color{red} AX = B \implies X = A^{-1}B, sehingga
\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{2(-2) - 3(3)} \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{-13} \begin{pmatrix} (-2)(8) + (-3)(-1) \\ (-3)(8) +2(-1) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = -\dfrac{1}{13} \begin{pmatrix} -13 \\ -26 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, nilai x+y adalah \boxed{1+2=3}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 37
Nilai x-y dari sistem persamaan linear
\begin{cases} 2x-3y=-4 \\ x+2y=5 \end{cases}
adalah \cdots
A. -2       B. -1         C. 0         D. 1            E. 2

Penyelesaian

Susun SPL di atas ke dalam bentuk matriks
\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix}
Gunakan sifat invers matriks: \color{red} AX = B \implies X = A^{-1}B, sehingga
\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{2(2) - (-3)(1)} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix} 2(-4) + 3(5) \\ (-1)(-4) + 2(5) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix} 7 \\ 14 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, nilai x-y adalah \boxed{1-2=-1}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 38
Tentukan determinan dari matriks 
a) Z = \begin{pmatrix} 4 & 6 & -2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -9 \end{pmatrix}
b) W = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -9 & 0 & 0 \\ -6 & 3 & 10 & 0 \\ 5 & 4 & 7 & 9 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Gunakan teorema yang menyatakan bahwa
“Determinan dari matriks segitiga (atas atau bawah) adalah hasil kali entri di diagonal utamanya”
Jawaban a) 
Matriks Z merupakan matriks segitiga atas, sehingga berlaku teorema di atas. 
\det(Z) = 4 \cdot 3 \cdot (-9)= -108
Jadi, determinan matriks Z adalah \boxed{-108}
Jawaban b) 
Matriks W merupakan matriks segitiga bawah, sehingga berlaku teorema di atas. 
\det(W) = -3 \cdot (-9) \cdot 10 \cdot 9 = 2430
Jadi, determinan matriks W adalah \boxed{2430}

[collapse]

Soal Nomor 39
Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & -2 & -3 \\ 1 & 4 & x \end{pmatrix}. Jika K_{21} = -8, maka nilai x yang memenuhi adalah \cdots
A. -3       B. -1       C. 3       D. 6        E. 9

Penyelesaian

Simbol K_{21} menyatakan kofaktor baris ke-2 kolom ke-1. Dengan demikian, 
\begin{aligned} K_{21} = -8 \\ - \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & x \end{vmatrix} & = -8 \\ -(2x - 1(4)) & = -8 \\ 2x - 4 & = 8 \\ 2x & = 12 \\ x & = 6 \end{aligned}
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah \boxed{6} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 40
Jika matriks A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, nilai dari M_{11} adalah \cdots
A. 0       B. 1        C. 2       D. 3          E. 4

Penyelesaian

Simbol M_{11} menyatakan minor baris ke-1 kolom ke-1. Dengan demikian, 
\begin{aligned} M_{11} & = \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ & = (-1)(0) - (-3)(1) \\ & = 0 + 3 = 3 \end{aligned}
Jadi, nilai M_{11} yang memenuhi adalah \boxed{3} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 41
Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}
Nilai ekspansi baris ke-3 matriks tersebut adalah \cdots
A. 10       B. 11      C. 12        D. 13        E. 14

Penyelesaian


Ekspansi baris ke-3 matriks A, yaitu
\begin{aligned} & 0 \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ & = 0 - 2(-1(0)-3(2)) - 1(-1(1)-0(2)) \\ & = -2(-6)-(-1) = 12+1=13 \end{aligned}
Jadi, nilai ekspansi baris ke-3 matriks tersebut adalah \boxed{13} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 42
Tentukan nilai x dari persamaan berikut ini.
a. \begin{vmatrix} 2x & 3 \\ -5 & -5 \end{vmatrix} = 7x
b. \begin{vmatrix} 3x & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = x+4
c. \begin{vmatrix} 2x-1 & -3 \\ -x & x+1 \end{vmatrix} = 3
d. \begin{vmatrix} 2x-1 & -3 \\ 0 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 9 & 7 \\ 1 & x \end{vmatrix}

Penyelesaian

Jawaban a)
\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2x & 3 \\ -5 & -5 \end{vmatrix} & = 7x \\ (2x) (-5) - (3)(-5) & = 7x \\ -10x + 15 & = 7x \\ -17x & = -15 \\ x & = \dfrac{15}{17} \end{aligned}
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah \boxed{x = \dfrac{15}{17}}
Jawaban b)
\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3x & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & = x+4 \\ (3x) (1) - 3(2) & = x + 4 \\ 3x - 6 & = x + 4 \\ 2x & = 10 \\ x & = 5 \end{aligned}
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah \boxed{x = 5}
Jawaban c)
\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2x-1 & -3 \\ -x & x+1 \end{vmatrix} & = 3 \\ (2x-1)(x+1) - (-3)(-x) & = 3 \\ (2x^2+x-1)-3x & = 3 \\ 2x^2-2x-4 & = 0 \\ x^2-x-2 & = 0 \\ (x-2)(x+1) & = 0 \end{aligned}
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah \boxed{x = -1} atau \boxed{x = 2}
Jawaban d)
\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2x-1 & -3 \\ 0 & x \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} 9 & 7 \\ 1 & x \end{vmatrix} \\ (2x-1)(x) - (-3)(0) & = (9)(x) - (7)(1) \\ 2x^2-x + 0 & = 9x - 7 \\ 2x^2-10x + 7 & = 0 \end{aligned}
Persamaan kuadrat di atas tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran, sehingga alternatif lain adalah dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus ABC).
Dari persamaan kuadrat di atas, diketahui a=2, b=-10, c = 7
\begin{aligned} x & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a} \\ & = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2-4(2)(7)}} {2(2)} \\ & = \dfrac{10 \pm \sqrt{10) - 56}} {4} \\ & = \dfrac{10 \pm \sqrt{44}} {4} \\ & = \dfrac{5 \pm \sqrt{11}} {2} \end{aligned}
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah \boxed{x =\dfrac{5 \pm \sqrt{11}} {2}}

[collapse]

Soal Nomor 43
Tentukan matriks X dari persamaan berikut.
a. \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}X = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}
b. \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}X = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}
c. X\begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Invers dari matriks berordo 2 \times 2 berbentuk \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} adalah
\dfrac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
Persamaan matriks AX = B ekuivalen dengan X = A^{-1}B, sedangkan XA = B ekuivalen dengan X = BA^{-1} (ingat bahwa perkalian matriks tidak bersifat komutatif).
Jawaban a)
\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}X & = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{(2)(5) - (-3)(3)} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{10 + 9} \begin{pmatrix} 5(7) + 3(1) \\ -3(7) + 2(1) \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{19} \begin{pmatrix} 38 \\ -19 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, matriks X adalah \boxed{X = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}}
Jawaban b)
\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}X & = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{2(1) - (-1)(-3)} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{2 - 3} \begin{pmatrix} 1(5) + 1(4) \\ 3(5) + 2(4) \end{pmatrix} \\ X & = \dfrac{1}{-1} \begin{pmatrix} 9 \\ 23 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} -9 \\ -23 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, matriks X adalah \boxed{X = \begin{pmatrix} -9 \\ -23 \end{pmatrix}}
Jawaban c)
\begin{aligned} X\begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{8(2)-3(5)} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -5 & 8 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -5 & 8 \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 2(2) + (-1)(-5) & 2(-3) + (-1)(8) \\ 0(2) + (1)(-5) & 0(-3) + 1(8) \end{pmatrix} \\ X & = \begin{pmatrix} 9 & -14 \\ -5 & 8 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, matriks X adalah \boxed{X = \begin{pmatrix} 9 & -14 \\ -5 & 8 \end{pmatrix}}

[collapse]

Soal Nomor 44
Tentukan semua nilai a, b, c jika diketahui A adalah matriks simetris, dengan
A = \begin{pmatrix} 2 & a - 2b + 2c & 2a+b+c \\ 3 & 5 & a + c \\ 0 & -2 & 7 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Karena A matriks simetris, maka berlaku
\begin{aligned} A & = A^T \\ \begin{pmatrix} 2 & a - 2b + 2c & 2a+b+c \\ 3 & 5 & a + c \\ 0 & -2 & 7 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ a - 2b + 2c & 5 & -2 \\ 2a+b+c & a+c & 7\end{pmatrix} \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh sistem persamaan linear
\begin{cases} a - 2b + 2c = 3~~~~(1) \\ 2a + b + c = 0~~~~(2)\\ a + c = -2~~~~~~~(3) \end{cases}
Eliminasi b pada persamaan 1 dan 2:
\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-2b+2c & = 3 \\ 2a+b+c & = 0 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} a-2b+2c & = 3 \\ 4a +2b+2c & = 0 \end{aligned} \\ & \noindent\rule{3.5 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 5a + 4c & = 3~~~~~~(4) \end{aligned} \end{aligned}
Cari nilai a dan c menggunakan persamaan 3 dan 4.
\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + c& = -2 \\ 5a + 4c & = 3\end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 4a + 4c & = -8 \\ 5a + 4c & = 3 \end{aligned} \\ & \noindent\rule{2.5 cm}{0.6pt} - \\ & \! \begin{aligned} a & = 11 \end{aligned} \end{aligned}
Untuk a = 11, diperoleh
\begin{aligned} a + c & = -2 \\ 11 + c & = -2 \\ c & = -13 \end{aligned}
Substitusi nilai a dan c pada satu dari tiga persamaan pertama, misalnya persamaan 1.
\begin{aligned} a - 2b + 2c & = 3 \\ 11 - 2b + 2(-13) & = 3 \\ -15 - 2b & = 3 \\ -2b & = 18 \\ b & = -9 \end{aligned}
Jadi, nilai a, b, c berturut-turut adalah \color{red}{a = 11, b = -9}, dan \color{red}{c = -13}.

[collapse]

Soal Nomor 45
Tentukan semua nilai a dan b sehingga matriks A dan B tidak dapat dibalik.
A = \begin{pmatrix} a + b - 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2a - 3b - 7 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Suatu matriks tidak dapat dibalik (tidak memiliki invers) jika determinannya bernilai 0.
Untuk itu, dapat ditulis
\begin{aligned} \det(A) & = 0 \\ (a + b - 1)(3) & = 0 \\ a + b & = 1~~~~~~(1) \end{aligned}
dan

\begin{aligned} \det(B) & = 0 \\ 5(2a - 3b - 7) & = 0 \\ 2a - 3b & = 7~~~~~~(2) \end{aligned}
Selanjutnya, akan digunakan metode penyelesaian SPLDV yang diperoleh.
\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + b & = 1 \\ 2a - 3b & = 7 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 2a+2b & = 2 \\ 2a - 3b & = 7 \end{aligned} \\ & \noindent\rule{2.5 cm}{0.6pt} - \\ & \! \begin{aligned} 5b & = -5 \\ b & = -1 \end{aligned} \end{aligned}
Substitusi nilai b pada persamaan 1
\begin{aligned} a + b & = 1 \\ a + (-1) & = 1 \\ a & = 2 \end{aligned}
Jadi, nilai a dan b masing-masing adalah \boxed{a = 2} dan \boxed{b = -1}

[collapse]

Soal Nomor 46
Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 3 & -10 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} -3 & 10 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}, dan D = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -7 & 3 \end{pmatrix}
Pasangan matriks yang saling invers adalah \cdots
A. A dan B
B. B dan D
C. B dan C
D. A dan C
E. A dan D

Penyelesaian

Perhatikan bahwa jika diberikan matriks A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, maka inversnya adalah
A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
Perhatikan bahwa,
\begin{aligned} \det(A) & = 3(4) - (-10)(-1) = 12 - 10 = 2 \\ \det(B) & = 3(5) - 2(7) = 15 - 14 = 1 \\ \det(C) & = (-3)(-4) - 10(1) = 12 - 10 = 2 \\ \det(D) & = 5(3) - (-2)(-7) = 15 - 14 = 1 \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} A^{-1} & = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ B^{-1} & = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -7 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -7 & 3 \end{pmatrix} = D \\ C^{-1} & = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 10 & -3 \end{pmatrix} \\ D^{-1} & = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = B \end{aligned}
Jadi, pasangan matriks yang saling invers adalah matriks B dan D (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 47 (\bigstar HOTS \bigstar
Jika matriks A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, maka A^{27} + A^{31} + A^{40} adalah \cdots
A. \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} -7 & 14 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}
C. \begin{pmatrix} 7 & -14 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}
D. \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
E. \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Diketahui A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}
Perhatikan bahwa
\begin{aligned} A^2 & = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \\ A^3 & = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -I\end{aligned}
di mana I matriks identitas. 
Selanjutnya, 
\begin{aligned} A^{27} + A^{31} + A^{40} & = A^{27}(I + A^4 + A^{13}) \\ & = (A^3)^9(I + A^3A + (A^3)^4A) \\ & = (-I)^9(I - IA + (-I)^4A) \\ & = -I(I - A + A) \\ & = -I = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, 
\boxed{A^{27} + A^{31} + A^{40} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}
(Jawaban E)
Catatan: Perpangkatan matriks identitas tetap menghasilkan matriks identitas.

[collapse]

Soal Nomor 48
Nuha membeli 5 buku tulis dan 3 bolpoin di toko Murah dengan membayar Rp27.500,00. Anin membeli 4 buku tulis dan 2 bolpoin yang sama di toko Murah dengan membayar Rp21.000,00. Jika harga sebuah buku tulis x rupiah dan harga sebatang bolpoin y rupiah, maka persamaan matriks yang sesuai dengan permasalahan tersebut adalah \cdots
A. \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix}
C. \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix}
D. \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix}
E. \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 4 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Sistem persamaan linear dua variabel yang merepresentasikan permasalahan di atas adalah
\begin{cases} 5x + 3y = 27.500 \\ 4x + 2y = 21.000 \end{cases}
Dalam bentuk matriks, disajikan sebagai berikut.
\begin{aligned} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{5(2)-3(4)} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 4 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, persamaan matriks yang sesuai dengan permasalahan tersebut adalah \boxed{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 4 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27.500 \\ 21.000 \end{pmatrix}}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 49
Bu Ani adalah seorang pengusaha makanan ringan yang menyetorkan dagangannya ke tiga kantin sekolah. Tabel berikut menyatakan jenis dan kuantitas makanan (dalam satuan bungkus) yang disetorkan setiap harinya di tiga kantin sekolah tersebut. 
\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline & \text{Kacang} & \text{Keripik} & \text{Permen} \\ \hline \text{Kantin A} & 10 & 10 & 5 \\ \text{Kantin B} & 20 & 15 & 8 \\ \text{Kantin C} & 15 & 20 & 10 \\ \hline \end{array}
Harga sebungkus kacang, sebungkus keripik, dan sebungkus permen masing-masing adalah Rp2.000,00, Rp3.000,00, dan Rp1.000,00. Hitunglah pemasukan harian yang diterima Bu Ani dari setiap kantin dalam bentuk matriks serta total pemasukan hariannya.

Penyelesaian

Misalkan A adalah matriks yang entri-entrinya menyatakan kuantitas makanan yang disetorkan ke masing-masing kantin (baris pertama untuk kantin A, baris kedua untuk kantin B, dan baris ketiga untuk kantin C), sehingga
A = \begin{pmatrix} 10 & 10 & 5 \\ 20 & 15 & 8 \\ 15 & 20 & 10 \end{pmatrix}
Misalkan juga B adalah matriks yang menyatakan harga tiap makanan per bungkusnya, sehingga
B = \begin{pmatrix} 2.000 \\ 3.000 \\ 1.000 \end{pmatrix}
Dengan demikian, hasil kali matriks A dan B menyatakan penghasilan Bu Ani untuk masing-masing kantin, yaitu
\begin{aligned} AB & = \begin{pmatrix} 10 & 10 & 5 \\ 20 & 15 & 8 \\ 15 & 20 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2.000 \\ 3.000 \\ 1.000 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} (10 \times 2.000) + (10 \times 3.000) + (5 \times 1.000) \\ (20 \times 2.000) + (15 \times 3.000) + (8 \times 1.000) \\ (16 \times 2.000) + (20 \times 3.000) + (10 \times 1.000) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 20.000 + 30.000 + 5.000 \\ 40.000 + 45.000 + 8.000 \\ 30.000 + 60.000 + 10.000 \end{pmatrix} \\ & =\begin{pmatrix} 55.000 \\ 93.000 \\ 100.000 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, penghasilan Bu Ani yang diterima dari Kantin A, B, dan C berturut-turut adalah Rp55.000,00, Rp93.000,00, dan Rp100.000,00.
Total penghasilannya adalah
Rp55.000,00 + Rp93.000,00 + Rp100.000,00 = Rp248.000,00.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
KategoriMatriksTag, , , , , , , ,

Satu Balasan untuk “Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *