Soal dan Pembahasan – Babak Penyisihan Olimpiade Guru Matematika (OGM) KPM Read1 Institute Tingkat SMA/Sederajat Tahun 2021

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan babak penyisihan Olimpiade Guru Matematika Tingkat SMA/Sederajat Tahun 2021 (OGM 6) yang diselenggarakan oleh Klinik Pendidikan MIPA (KPM) Read1 Institute. Perlombaan dilaksanakan pada hari Minggu, 18 April 2021 secara daring dengan menggunakan sistem Computer Based Test (CBT). Soal berbentuk pilihan ganda sebanyak 25 butir yang perlu dikerjakan peserta dalam waktu 90 menit.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Babak Final OGM KPM Read1 Institute Tingkat SMA/Sederajat Tahun 2020

Soal juga dapat diunduh dalam file berformat PDF melalui tautan berikut: Download (PDF). Catatan: Terdapat beberapa perubahan redaksi kalimat dan opsi jawaban pada soal tertentu, tetapi tidak mengubah inti soal tersebut.

Quote by R.A. Kartini

Banyak hal yang bisa menjatuhkanmu, tetapi satu hal yang benar-benar dapat menjatuhkanmu adalah sikapmu sendiri.

Soal Nomor 1
Nilai dari $$\left(\sqrt{1+\dfrac12} \times \sqrt{1+\dfrac13} \times \sqrt{1+\dfrac14} \times \sqrt{1+\dfrac15}\right)^2$$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                      C. $3$                     E. $5$
B. $2$                     D. $4$

Pembahasan

Jumlahkan bentuk jumlah dalam tanda akar, kemudian gabungkan tanda akarnya, dan sederhanakan.
$$\begin{aligned} & \left(\sqrt{1+\dfrac12} \times \sqrt{1+\dfrac13} \times \sqrt{1+\dfrac14} \times \sqrt{1+\dfrac15}\right)^2 \\ & = \left(\sqrt{\dfrac32} \times \sqrt{\dfrac43} \times \sqrt{\dfrac54} \times \sqrt{\dfrac65}\right)^2 \\ & = \left(\sqrt{\dfrac{3}{\color{red}{2}} \times \dfrac43 \times \dfrac54 \times \dfrac{\color{red}{6}}{5}}\right)^2 \\ & = \left(\sqrt{\dfrac62}\right)^2 = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari ekspresi tersebut sama dengan $\boxed{3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui $f(x) = |2x-5|$ dan $g(x) = |x+1|$ untuk $x$ bilangan real. Berapakah nilai dari $f(-5)-g(-5)-f(1)g(3)$?
A. $-23$                    C. $-1$                   E. $23$
B. $-7$                      D. $1$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = |2x-5|$ dan $g(x) = |x+1|.$ Kita peroleh
$$\begin{aligned} f(-5) & = |2(-5)-5| = |-10-5| = 15 \\ g(-5) & = |(-5) + 1| = |-4| = 4 \\ f(1) & = |2(1)-5| = |2-5| = 3 \\ g(3) & = |(3) + 1| = 4 \end{aligned}$$Dengan demikian, nilai dari
$$\begin{aligned} f(-5)-g(-5)-f(1)g(3) & = 15-4-(3)(4) \\ & = 11-12 = -1 \end{aligned}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Pada gambar berikut, $\angle PKO = 38^\circ$ dan $\angle KPM = 49^\circ.$ Berapakah besar sudut $PMK$?
A. $11^\circ$                        D. $74^\circ$
B. $41^\circ$                        E. $98^\circ$
C. $52^\circ$

Pembahasan

Diketahui $\angle PKO = 38^\circ$ dan $\angle KPM = 49^\circ.$
Karena $\angle KPM$ merupakan sudut keliling dan $\angle KOM$ merupakan sudut pusat yang menghadap busur $KM$, maka berlaku
$$\begin{aligned} \angle KOM & = 2 \times \angle KPM \\ & = 2 \times 49^\circ \\ & = 98^\circ \end{aligned}$$Selanjutnya, kita akan mencari besar $\angle PMO = \angle M$ dengan menggunakan segi empat $KPMO$ (jumlah sudut segi empat adalah $360^\circ).$
$$\begin{aligned} \angle K + \angle P + \angle M + \angle O & = 360^\circ \\ 38^\circ + 49^\circ + \angle M + (360^\circ-98^\circ) & = 360^\circ \\ \angle M & = 11^\circ \end{aligned}$$Perhatikan bahwa segitiga $KOM$ merupakan segitiga sama kaki dengan $KO = OM$ sebagai jari-jari lingkaran sehingga
$$\begin{aligned} \angle KOM + \angle OKM + \angle KMO & = 180^\circ \\ 98^\circ + 2 \times \angle KMO & = 180^\circ \\ 2 \times \angle KMO & = 82^\circ \\ \angle KMO & = 41^\circ \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $PMK$ adalah $\begin{aligned} \angle PMK & = \angle PMO + \angle KMO \\ & = 11^\circ + 41^\circ = 52^\circ \end{aligned}$



(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan gambar berikut.
Berapakah luas daerah yang diarsir pada gambar di atas?
A. $48$                          D. $56$
B. $50$                          E. $60$
C. $54$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.
Nilai $t$ dapat dicari dengan menggunakan kesebangunan segitiga $ABC$ dan $ADE.$
$$\begin{aligned} \dfrac{AB}{AD} & = \dfrac{BC}{DE} \\ \dfrac{4}{4+12} & = \dfrac{t}{12} \\ \dfrac14 & = \dfrac{t}{12} \\ t & = 3 \end{aligned}$$Dengan demikian, luas daerah yang diarsir tersebut adalah
$\boxed{\begin{aligned} L_{\triangle CEF} & = \dfrac{EF \times CF}{2} \\ & = \dfrac{12 \times (12-3)}{2} = 54 \end{aligned}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nala memilih sebuah bilangan, lalu membaginya dengan $6,$ kemudian menambahkan dengan $6$. Akhirnya, ia mengalikan hasilnya dengan $6$ sehingga diperoleh $6.666.$ Bilangan yang dipilih Nala adalah $\cdots \cdot$
A. $6.630$                          D. $5.400$
B. $6.360$                          E. $5.280$
C. $5.460$

Pembahasan

Lakukan operasi kebalikan.
$$\begin{aligned} \text{Langkah 1}~~~6.666 \div 6 & = 1.111 \\ \text{Langkah 2}~~~1.111-6 & = 1.105 \\ \text{Langkah 3}~~~1.105 \times 6 & = 6.630 \end{aligned}$$Jadi, bilangan yang dipilih Nala adalah $\boxed{6.630}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Nala dan Ria masing-masing melempar secara acak sebuah dadu setimbang yang sisinya diberi nomor $1, 2, 3, 4, 5,$ dan $6.$ Berapa peluang selisih hasil yang diperoleh Nala dan Ria sama dengan $2$?
A. $\dfrac19$                   C. $\dfrac29$                   E. $\dfrac12$
B. $\dfrac16$                   D. $\dfrac13$

Pembahasan

Misalkan $(x, y)$ menyatakan nomor yang muncul pada pelemparan dadu berturut-turut oleh Nala dan Ria. Adapun nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi agar keduanya berselisih $2$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc} \hline (1, 3) & (3, 1) \\ (2, 4) & (4, 2) \\ (3, 5) & (5, 3) \\ (4, 6) & (6, 4) \\ \hline \end{array}$$Jadi, ada $8$ sampel yang mungkin sehingga peluangnya adalah $\boxed{\dfrac{8}{6^2} = \dfrac29}$
(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $$\dfrac{1}{x^2+x} + \dfrac{1}{x^2+3x+2} + \dfrac{1}{x^2+5x+6} + \cdots + \dfrac{1}{x^2+21x+110} = \dfrac{A}{Bx^2 + Cx},$$dengan $A, B, C$ adalah bilangan bulat. Nilai $A + B + C = \cdots \cdot$
A. $11$                     C. $22$                    E. $25$
B. $12$                    D. $23$

Pembahasan

Faktorkan bentuk penyebutnya dan kita akan peroleh bahwa setiap faktor pada masing-masing penyebut memiliki selisih $1.$ Selanjutnya, bentuk tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk pengurangan sehingga terbentuklah deret teleskopik.
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{x^2+x} + \dfrac{1}{x^2+3x+2} + \dfrac{1}{x^2+5x+6} + \cdots + \dfrac{1}{x^2+21x+110} \\ & = \dfrac{1}{x(x+1)} + \dfrac{1}{(x+1)(x+2)} + \dfrac{1}{(x+2)(x+3)} + \cdots + \dfrac{1}{(x+10)(x+11)} \\ & = \left(\color{red}{\dfrac{1}{x}}-\dfrac{1}{x+1}\right) + \left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\right)+ \left(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{x+10}-\color{red}{\dfrac{1}{x+11}}\right) \\ & = \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+11} \\ & = \dfrac{(x+11)-x}{x(x+11)} \\ & = \dfrac{11}{x^2+11x} \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, kita peroleh nilai $A = 11,$ $B = 1,$ dan $C = 11$ sehingga $\boxed{A+B+C=23}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Dari bilangan berikut, manakah bilangan yang terbesar?
A. $2^{120}$                         D. $6^{60}$
B.  $3^{100}$                       E. $15^{40}$
C. $4^{80}$

Pembahasan

Kelima bilangan berpangkat tersebut merupakan bilangan yang nilainya sangat besar sehingga tidak mungkin dihitung secara manual. Untuk menentukan urutan besar-kecilnya, kita bisa menyamakan pangkatnya. Perhatikan bahwa kelima pangkatnya merupakan kelipatan $20.$ Jadi, kita bisa membuat setiap pangkatnya menjadi $20$ seperti berikut.
$$\begin{aligned} 2^{120} & = (2^6)^{20} = 64^{20} \\ 3^{100} & = (3^5)^{20} = 243^{20} \\ 4^{80} & = (4^4)^{20} = 256^{20} \\ 6^{60} & = (6^3)^{20} = 216^{20} \\ 15^{40} & = (15^2)^{20} = 225^{20} \end{aligned}$$Dengan melihat basisnya saja, jelas bahwa $256^{20} = 4^{80}$ adalah bilangan yang terbesar di antara kelima bilangan itu.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Perhatikan gambar berikut.
Jika semua sisi segi empat menyinggung lingkaran, maka panjang sisi $KM$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$                                      D. $22$
B. $14$                                    E. $27$
C. $19$

Pembahasan

Menurut Teorema Pitot, jumlah panjang sisi yang saling berseberangan pada segi empat garis singgung (tangensial quadrilateral) adalah sama. Oleh karena itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} KM + PS & = MS + KP \\ (3 + 3x) + 7 & = 12 + (2x + 6) \\ 10 + 3x & = 18 + 2x \\ x & = 8 \end{aligned}$$Jadi, panjang sisi $\boxed{KM = 3 + 3(8) = 27}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Solusi dari pertidaksamaan $15-4|x+1| \ge 3$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Dengan menerapkan operasi aljabar dan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} 15-4|x+1| & \ge 3 \\ -4|x+1| & \ge -12 \\ |x+1| & \le 3 \\ -3 \le x+1 & \le 3 \\ -4 \le x & \le 2 \end{aligned}$$Dengan demikian, garis bilangan yang sesuai untuk solusi tersebut adalah pada pilihan jawaban C.

[collapse]

Soal Nomor 11
Pada saat pembelajaran daring menggunakan salah satu aplikasi telekonferensi, dua breakroom dibuat, yaitu breakroom A dan breakroom B. Perbandingan jumlah peserta di breakroom A dan B mula-mula adalah $3 : 1.$ Jika $24$ peserta pindah ke breakroom A menuju B, maka perbandingan jumlah peserta breakroom A dan B menjadi $5 : 7.$ Banyak peserta di breakroom B mula-mula adalah $\cdots \cdot$

A. $18$                            D. $60$
B. $36$                            E. $72$
C. $54$

Pembahasan

Misalkan jumlah peserta di breakroom A dan B berturut-turut adalah $3x$ dan $x.$
Karena sebanyak $24$ peserta pindah dari A ke B sehingga perbandingan banyak peserta berubah menjadi $5 : 7,$ maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{3x-24}{x+24} & = \dfrac57 \\ 7(3x-24) & = 5(x+24) \\ 21x-168 & = 5x+120 \\ 16x & = 288 \\ x & = 18 \end{aligned}$$Jadi, banyak peserta di breakroom B mula-mula adalah $\boxed{x = 18}$ orang.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Persamaan $-5x^2-8x+15$ dapat dituliskan ke dalam bentuk $a(x+b)^2+c.$ Nilai yang tepat untuk $a(b+c)$ adalah $\cdots \cdot$

A. $-95$                          D. $55$
B. $-59$                          E. $59$
C. $-3$

Pembahasan

Lengkapkan kuadrat sempurna.
$$\begin{aligned} -5x^2-8x+15 & = -5\left(x^2+\dfrac85x\right) + 15 \\ & = -5\left[\left(x + \dfrac45\right)^2-\dfrac{16}{25}\right] + 15 \\ & = -5\left(x + \dfrac45\right)^2+\dfrac{16}{5}+15 \\ & = -5\left(x + \dfrac45\right)^2+\dfrac{91}{5} \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat $a = -5,$ $b = \dfrac45,$ dan $c = \dfrac{91}{5}$ sehingga
$$\begin{aligned} a(b+c) & = -5\left(\dfrac45+\dfrac{91}{5}\right) \\ & = -\cancel{5} \cdot \dfrac{95}{\cancel{5}} = -95 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a(b+c) = -95}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Ada empat bilangan bulat positif berurutan. Tiga dari mereka menghasilkan nilai $44.030$ ketika dikalikan. Berapakah jumlah bilangan terbesar dan terkecil dari keempat bilangan itu?

A. $71$                         D. $74$
B. $72$                         E. $75$
C. $73$

Pembahasan

Faktorisasi prima dari $44.030$ adalah $2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 37.$ Perhatikan bahwa perkalian tersebut dapat kita tulis menjadi $44.030 = 34 \cdot 35 \cdot 36 \cdot 37.$ Dengan demikian, empat bilangan bulat positif berurutan tersebut adalah $34, 35, 36, 37.$ Jadi, jumlah bilangan terbesar dan terkecilnya adalah $\boxed{37 + 34 = 71}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Dua bilangan dipilih dari himpunan bilangan $\{1, 2, 3, \cdots, 14\}.$ Jika dua bilangan yang dipilih tersebut tidak relatif prima, berapa banyak cara memilih dua bilangan tersebut? 

A. $22$                           D. $27$
B. $24$                           E. $28$
C. $25$

Pembahasan

Bilangan bulat positif $a$ dan $b$ dikatakan relatif prima jika $\text{FPB}(a, b) = 1.$ Akan dicari pasangan dua bilangan dari $\{1, 2, 3, \cdots, 14\}$ yang tidak relatif prima, artinya $\text{FPB}(a, b) \neq 1.$



  1. Bilangan kelipatan $2$ ada $7$ buah, yakni $2, 4, 6, 8,$ $10, 12, 14.$ Banyak cara memilih $2$ dari $7$ bilangan tersebut adalah $C_2^7 = \dfrac{7!}{5! \cdot 2!} = 21.$
  2. Bilangan kelipatan $3$ ada $4$ buah, yakni $3, 6, 9, 12.$ Banyak cara memilih $2$ dari $4$ bilangan tersebut adalah $C_2^4 = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6.$ Namun, perhatikan bahwa $(6, 12)$ sudah kita hitung sebelumnya (pada kasus kelipatan $2$) sehingga banyak cara memilih menjadi $6-1=5.$
  3. Bilangan kelipatan $5$ hanya ada $2$ buah, yakni $5$ dan $10$ sehingga banyak cara memilihnya hanya ada $1.$
  4. Bilangan kelipatan $7$ hanya ada $2$ buah, yakni $7$ dan $14$ sehingga banyak cara memilihnya hanya ada $1.$

Dengan demikian, banyak cara memilih pasangan dua bilangan yang tidak relatif prima adalah $\boxed{21 + 5 + 1 + 1 = 28}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika $x^3 + 2x^2 = 3x + 4$ $=a(x+4)^3 + b(x+4)^2$ $+ c(x+d) + d$ adalah benar untuk setiap nilai $x,$ maka nilai dari $a+b+c+d=\cdots \cdot$

A. $-86$                           D. $15$
B. $-14$                            E. $86$
C. $14$

Pembahasan

Alternatif I: Menyamakan Koefisien
$$\begin{aligned} & a(x+4)^3 + b(x+4)^2 + c(x+4) + d \\ & = a(x^3 + 12x^2 + 48x + 64) + b(x^2+8x+16) + c(x+4) + d \\ & = ax^3 + 12ax^2 + 48ax + 64a + bx^2 + 8bx + 16b + cx + 4c + d \\ & = ax^3 + (12a + b)x^2 + (48a + 8b + c)x + (64a + 16b + 4c + d) \\ & = x^3 + 2x^2 + 3x + 4 \end{aligned}$$Dengan menyamakan koefisien setiap suku sejenis, kita peroleh
$$\begin{cases} a & = 1 \\ 12a + b & = 2 \\ 48a+8b+c & = 3 \\ 64a + 16b + 4c + d & = 4 \end{cases}$$Berturut-turut dimulai dari persamaan pertama, kita peroleh
$\begin{aligned} & a = 1 \Rightarrow b = -10 \\ & \Rightarrow c = 35 \Rightarrow d = -40 \end{aligned}$
Jadi, nilai $$\boxed{a+b+c+d = 1+(-10)+35+(-40) = -14}$$Alternatif 2: Substitusi

Substitusi $x = -3$ pada kesamaan tersebut untuk mendapatkan
$$\begin{aligned} (-3)^3 + 2(-3)^2 + 3(-3) + 4 & = a(-3 + 4)^3 + b(-3 + 4)^2 + c(-3 + 4) + d \\ -27+18-9+4 & = a + b + c + d \\ -14 & = a+b+c+d \end{aligned}$$(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 16
Pada gambar di bawah, titik $P$ dan $Q$ berada pada sisi $BC,$ sedangkan titik $M$ adalah titik tengah $AB$ pada segitiga sembarang $ABC.$ Jika $BP =CQ = 9$ cm, $AC = 20$ cm, dan $AB= 32$ cm, serta $PM$ tegak lurus $MQ,$ maka kelling $\triangle ABC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $61$ cm                         D. $80$ cm
B. $70$ cm                         E. $90$ cm
C. $77$ cm

Pembahasan

Misalkan $PQ = x~\text{cm}$ sehingga $BC = (18+x)~\text{cm}.$
Karena $M$ berada di tengah $AB,$ maka $BM = MA = 16~\text{cm}.$ Perhatikan $\triangle ABC.$
Dengan menggunakan Aturan Cosinus ditinjau dari sudut $B,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \cos B & = \dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \\ & = \dfrac{32^2 + (18+x)^2-20^2}{2 \cdot 32 \cdot (18+x)} \\ & = \color{blue}{\dfrac{624 + (18+x)^2}{2 \cdot 32 \cdot (18+x)}} \end{aligned}$$Menurut Aturan Cosinus pada $\triangle BMQ$ ditinjau dari sisi $MQ,$ diperoleh
$$\begin{aligned} MQ^2 & = BM^2+BQ^2-2 \cdot BM \cdot BQ \cos B \\ & = 16^2 + (9+x)^2-2 \cdot 16 \cdot (9+x) \cos B \\ & = 256 + (81 + 18x + x^2)-32(9+x) \cos B \\ & = x^2 + 18x + 337-32(9+x) \cos B \end{aligned}$$Menurut Aturan Cosinus pada $\triangle BPM$ ditinjau dari sisi $MP,$ diperoleh
$$\begin{aligned} MP^2 & = BM^2 + BP^2-2 \cdot BM \cdot BP \cos B \\ & = 16^2 + 9^2-2 \cdot 16 \cdot 9 \cos B \\ & = 337-32 \cdot 9 \cos B \end{aligned}$$Karena $\triangle PMQ$ siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras.
$$\begin{aligned} PQ^2 & = MP^2 + MQ^2 \\ \cancel{x^2} & = (337-32 \cdot 9 \cos B + (\cancel{x^2} + 18x + 337-32(9+x) \cos B \\ 0 & = 674+18x-32(18+x) \cos B \\ 0 & = 674+18x-\cancel{32(18+x)} \cdot \color{blue}{\dfrac{624 + (18+x)^2}{2 \cdot \cancel{32 \cdot (18+x)}}} \\ 0 & = 1.348+\cancel{36x}-624-(324+\cancel{36x} + x^2) \\ 0 & = 400-x^2 \\ x & = 20 \end{aligned}$$Jadi, panjang $PQ = 20~\text{cm}$ sehingga keliling $\triangle ABC$ adalah $$\boxed{20+32+(9+20+9) = 90~\text{cm}}$$(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 17
Pada operasi aljabar $$a^b + c^d + e^f + g^h + i^j,$$setiap huruf diganti dengan bilangan $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,$ dan $10$, serta harus berbeda-beda. Berapakah hasil terkecil dari operasi tersebut?

A. $7.776$                            D. $10.771$
B. $10.161$                          E. $10.780$
C. $10.241$

Pembahasan

Suku-suku bentuk aljabar tersebut berbentuk eksponen yang saling serupa dengan yang lain. Untuk memperoleh hasil terkecil, kita harus mengusahakan agar pangkat bilangannya sekecil mungkin untuk basis yang jauh lebih dari $1$.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Basis} & \text{Pangkat} & \text{Bentuk Eksponen} & \text{Hasil} \\ \hline 1 & 10 & 1^{10} & 1 \\ 9 & 2 & 9^2 & 81 \\ 8 & 3 & 8^3 & 512 \\ 7 & 4 & 7^4 & 2.401 \\ 6 & 5 & 6^5 & 7.776 \\ \hline \end{array}$$Kita peroleh
$$\begin{aligned} & 1^{10} + 9^2 + 8^3 + 7^4 + 6^5 \\ & = 1 + 81 + 512 + 2.401 + 7.776 = 10.771 \end{aligned}$$Jadi, nilai terkecil dari operasi aljabar tersebut adalah $\boxed{10.771}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Pada gambar berikut, $ABCD$ adalah sebuah persegi dan titik $G$ pada sisi $CD.$ Lipat sisi $BC$ sepanjang garis $BG$ sehingga mendapatkan segitiga $BEG.$ Jika $\angle CBG = 32^\circ,$ maka besar sudut $\angle DAE + \angle DGE$ adalah $\cdots \cdot$
A. $56^\circ$                          D. $77^\circ$
B. $58^\circ$                          E. $85^\circ$
C. $64^\circ$

Pembahasan

Diketahui $\angle CBG = 32^\circ.$ Pada segitiga siku-siku $BCG,$ jumlah semua sudutnya adalah $180^\circ$ sehingga $\angle BGC = 58^\circ.$ Karena setiap sisi yang bersesuaian pada $\triangle BCG$ dan $\triangle BEG$ sama panjang, maka kedua segitiga tersebut kongruen sehingga $\angle BGE = \angle BGC = 58^\circ$ dan $\angle CBG = \angle GBE = 32^\circ.$ Selanjutnya, $CGD$ membentuk sudut berpelurus sehingga
$$\begin{aligned} \angle BGC + \angle BGE + \angle DGE & = 180^\circ \\ 58^\circ + 58^\circ + \angle DGE & = 180^\circ \\ \angle DGE & = 64^\circ \end{aligned}$$Karena $AB \perp BC,$ maka $\angle ABE = 90^\circ-(32^\circ+32^\circ) = 26^\circ.$ Panjang $BC$ sama dengan panjang $BE$ dan $AB$, berarti $\triangle ABE$ sama kaki sehingga $$\angle BAE = \angle BEA = \dfrac{180^\circ-26^\circ}{2} = 77^\circ.$$ Terakhir, $AB \perp AD$ mengakibatkan $\angle DAE = 90^\circ-77^\circ = 13^\circ.$
Jadi, $$\boxed{\angle DAE + \angle DGE = 13^\circ + 64^\circ = 77^\circ}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19
Pertemuan para ahli matematika Indonesia dihadiri oleh $50$ peserta. Semua peserta laki-laki hanya berjabat tangan dengan sesama peserta laki-laki, demikian juga peserta perempuan hanya berjabat tangan dengan sesama peserta perempuan. Jika banyaknya jabat tangan laki-laki lebih banyak $245$ dari banyaknya jabat tangan perempuan, maka banyaknya peserta laki-laki pada pertemuan tersebut adalah $\cdots$ orang.

A. $28$                             D. $31$
B. $29$                             E. $32$
C. $30$

Pembahasan

Misalkan banyak peserta laki-laki adalah $n$ orang, berarti banyak peserta perempuan adalah $(50-n)$ orang. Setiap jabat tangan yang terjadi melibatkan dua orang. Ketika $A$ bersalaman dengan $B$, maka itu sama saja artinya $B$ bersalaman dengan $A$ sehingga ini merupakan kasus kombinasi.
Diketahui banyak jabat tangan peserta laki-laki lebih banyak $245$ daripada jabat tangan peserta perempuan. Oleh karena itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} C_2^n & = C_2^{50-n} + 245 \\ \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!} & = \dfrac{(50-n)!}{(48-n)! \cdot 2!} + 245 \\ \dfrac{n(n-1)}{2} & = \dfrac{(50-n)(49-n)}{2} + 245 \\ n(n-1) & = (50-n)(49-n) + 490 \\ n^2-n & = 2.450-99n+n^2+490 \\ 98n & = 2.940 \\ n & = 30 \end{aligned}$$Jadi, banyak peserta laki-laki pada pertemuan tersebut adalah $\boxed{n = 30}$ orang.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika $k, p,$ dan $m$ merupakan bilangan real berbeda yang jumlahnya $0,$ maka nilai maksimum dari $\dfrac{k^2 + p^2 + m^2}{kp + pm + km}$ adalah $\cdots \cdot$

A. $-2$                             D. $1$
B. $-0,5$                         E. $2$
C. $0,5$

Pembahasan

Karena $k + p + m = 0,$ maka kita peroleh
$$\begin{aligned} (k + p + m)^2 & = 0 \\ k^2 + p^2 + m^2 + 2kp + 2pm + 2km & = 0 \\ k^2 + p^2 + m^2 & = -2(kp + pm + km) \\ \dfrac{k^2 + p^2 + m^2}{kp + pm + km} & = -2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{k^2 + p^2 + m^2}{kp + pm + km} = -2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jika $\sqrt{49-12\sqrt5} = a+b\sqrt5,$ maka nilai maksimum yang mungkin untuk $a+b$ adalah $\cdots \cdot$

A. $-2$                       C. $0$                     E. $2$
B. $-1$                       D. $1$

Pembahasan

Gunakan sifat akar berikut.
$$\boxed{\sqrt{(a + b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a}-\sqrt{b}}$$dengan syarat $a > b.$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \sqrt{49-12\sqrt5} & = \sqrt{49-2\sqrt{36 \cdot 5}} \\ & = \sqrt{49-2\sqrt{180}} \\ & = \sqrt{(45 + 4)-2\sqrt{45 \cdot 4}} \\ & = \sqrt{45}-\sqrt{4} \\ & = 3\sqrt5-2 \\ & = \underbrace{-2}_{a} + \underbrace{3}_{b}\sqrt5 \end{aligned}$$Jadi, satu-satunya nilai $a$ dan $b$ masing-masing adalah $-2$ dan $3$ sehingga $\boxed{a + b = -2 + 3 = 1}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Nala melempar secara acak sebuah dadu standar berbentuk kubus yang permukaannya diberi label $1, 2, 3, 4, 5,$ dan $6.$ Misalkan $a, b,$ dan $c$ adalah hasil yang muncul berturut-turut pada pelemparan pertama, kedua, dan ketiga, maka berapakah peluang nilai $a < b < c$?

A. $\dfrac13$                            D. $\dfrac{5}{54}$
B. $\dfrac14$                            E. $\dfrac{17}{216}$
C. $\dfrac{21}{216}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $a < b < c$ menunjukkan bahwa hasil pelemparan dadu selalu berbeda-beda. Banyak kemungkinannya adalah $6 \cdot 5 \cdot 4.$
Pada setiap susunan $3$ angka tertentu, tepat ada $1$ kemungkinan yang memenuhi syarat $a < b < c$ dari $3! = 6$ kemungkinan.
Sebagai contoh: Dari permutasi $123$, yaitu $123,$ $132,$ $213,$ $231,$ $312,$ dan $321,$ hanya $123$ yang memenuhi $a < b < c.$
Dengan demikian, dari $6 \cdot 5 \cdot 4$ kemungkinan tadi, sebanyak $\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3!} = \color{red}{20}$ kemungkinan yang memenuhi $a < b < c.$ Karena $n(S) = 6^3 = \color{blue}{216},$ maka peluangnya sebesar $\boxed{\dfrac{\color{red}{20}}{\color{blue}{216}} = \dfrac{5}{54}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 23
Diketahui segitiga $ABC$ sama kaki dengan $AB = BC$ dan $\angle ABC = 80^\circ.$ Titik $P$ di dalam segitiga sehingga $\angle PAC = 40^\circ$ dan $\angle PCA = 30^\circ.$ Besar $\angle PBC$ adalah $\cdots \cdot$

A. $45^\circ$                         D. $60^\circ$
B. $50^\circ$                         E. $65^\circ$
C. $55^\circ$

Pembahasan

Misalkan $\angle PBC = \alpha.$ Karena $\angle ABC = 80^\circ$ dan $\triangle ABC$ sama kaki, maka $\angle BCA = \angle BAC = 50^\circ.$ Perhatikan sketsa gambar berikut.
Ingat bahwa jumlah sudut dalam setiap segitiga adalah $180^\circ.$ Ini menunjukkan bahwa pada $\triangle BPC$, diperoleh
$$\begin{aligned} \angle BPC & = 180^\circ-(20^\circ + \alpha) \\ & = 160^\circ-\alpha \end{aligned}$$Lain halnya pada segitiga $BPA,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \angle BPA & = 180^\circ-(10^\circ + (80^\circ-\alpha) \\ & = 90^\circ+\alpha \end{aligned}$$Menurut Aturan Sinus pada $\triangle BPC,$ berlaku $\dfrac{BC}{\sin (160^\circ-\alpha)} = \dfrac{BP}{\sin 20^\circ}.$
Menurut Aturan Sinus pada $\triangle BPA,$ berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin (90^\circ+\alpha)} & = \dfrac{BP}{\sin 10^\circ} \\ \dfrac{\cancel{AB}}{\sin (90^\circ+\alpha)} \cdot \dfrac{\sin (160^\circ-\alpha)}{\cancel{BC}} & = \dfrac{\cancel{BP}}{\sin 10^\circ} \cdot \dfrac{\sin 20^\circ}{\cancel{BP}} \\ \dfrac{\sin (90^\circ + \alpha)}{\sin (160^\circ-\alpha)} & = \dfrac{\sin 10^\circ}{\sin 20^\circ} \\ \dfrac{\cos \alpha}{\sin (90^\circ + (70^\circ-\alpha)} & = \dfrac{\cancel{\sin 10^\circ}}{2 \cancel{\sin 10^\circ} \cos 10^\circ} \\ \cos (70^\circ-\alpha) & = 2 \cos \alpha \cos 10^\circ \end{aligned}$$Karena $\alpha < 80^\circ,$, maka nilai $\alpha$ yang memenuhi dilihat dari persamaan terakhir adalah $\alpha = 60^\circ.$
Jadi, besar $\angle PBC$ adalah $\boxed{60^\circ}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 24
Toko komputer ABC berhasil menjual $2021$ unit laptop selama bulan Mei 2021. Mereka menjual 4 merek laptop terbaru, yaitu merek A, B, C, dan D. Diketahui bahwa $20$ unit laptop merek A memiliki harga yang sama dengan $7$ unit laptop merek B, sedangkan $4$ unit laptop merek A berturut-turut memiliki harga yang setara dengan $1$ unit laptop merek C dan $3$ laptop merek D. Setelah dihitung, ternyata masing-masing merek laptop menghasilkan jumlah uang yang sama setelah dijual. Berapa banyak unit laptop merek A yang terjual?
A. $215$                         D. $860$
B. $505$                         E. $920$
C. $645$

Pembahasan

Misalkan $A, B, C,$ dan $D$ berturut-turut mewakili harga satu unit laptop merek $A, B, C,$ dan $D.$ Dengan demikian, diperoleh persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 20A & = 7B \\ 4A & = C \Rightarrow 20A = 5C \\ 4A & = 3D \Rightarrow 20A = 15D \end{aligned}$$Ketiga persamaan di atas dapat digabungkan sehingga menjadi $20A = 7B = 5C = 15D.$Perbandingan banyak laptop yang dijual adalah $n_A : n_B : n_C : n_D = 20 : 7 : 5 : 15.$ Karena jumlah laptop yang terjual ada $2021$ unit, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} n_A & = \dfrac{20}{20 + 7 + 5 + 15} \times 2021 \\ & = \dfrac{20}{\cancel{47}} \times \cancelto{43}{2021} \\ & = 860 \end{aligned}$$Jadi, laptop merek A terjual sebanyak $\boxed{860}$ unit.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 25
Jumlah $3$ bilangan bulat nonnegatif $a, b, c$ adalah $50$. Jika $a$ selalu ganjil, maka banyak pasangan terurut $(a, b, c)$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $375$                               D. $650$
B. $420$                              E. $720$
C. $625$

Pembahasan

Diketahui $a, b, c \in \mathbb{Z}_0$ dan $a + b + c = 50$ serta $a$ ganjil. Kita bisa daftarkan setiap kemungkinan pasangan nilai $(a, b, c)$ yang memenuhi dengan mematok nilai $a$ terlebih dahulu.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{Nilai}~a & \text{Nilai}~b & \text{Nilai}~c \\ \hline 1 & 0 & 49 \\ & 1 & 48 \\ & 2 & 47 \\ & \cdots & \cdots \\ & 49 & 0 \\ \hline 3 & 0 & 47 \\ & 1 & 46 \\ & 2 & 45 \\ & \cdots & \cdots \\ & 47 & 0 \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline \end{array}$$Perhatikan bahwa untuk $a = 1$, diperoleh $50$ pasangan nilai $(a, b, c)$ yang mungkin. Untuk $a = 3,$ diperoleh $48$ pasangan nilai $(a, b, c)$ yang mungkin. Ini berlaku seterusnya sampai ketika $a = 49$ di mana hanya ada $2$ pasangan nilai $(a, b, c)$ yang mungkin.
Jadi, secara keseluruhan banyaknya kemungkinan pasangan $(a,b,c)$ tersebut dapat dihitung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} S & = 50+48+46+\cdots+2 \\ & = \dfrac{25}{2}(50+2) \\ & = 25 \cdot 26 = 650 \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{650}$ pasangan nilai $(a, b, c)$ yang memenuhi.
(Jawaban D)

[collapse]

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *