Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Seleksi Universitas Tanjungpura Tahun 2019

Berikut ini merupakan soal & pembahasan (menyusulON MIPA-PT Matematika Seleksi Universitas Tanjungpura Tahun 2019 yang dilaksanakan pada tanggal 13 Februari 2019 di Gedung Auditorium Untan.

Bagian Isian Singkat

Soal Nomor 1
Subhimpunan bebas linear di \mathbb{R}^4 yang maksimal dari \{(1,1,1,1), (2,2,3,3), (1,0,1,0), (0,1,0,1), (1,1,0,0)\}

adalah \cdots

Soal Nomor 2
Diketahui pemetaan linear f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 dengan f\left(\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 \\  1 \end{bmatrix} dan f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}. Hasil dari f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) adalah \cdots

Soal Nomor 3
Misalkan A dan B berturut-turut merupakan matriks dari pemetaan linear T_A: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 dengan T_A(w, x, y, z) = (x+y-z-w, x+z, w-y) dan T_B: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 dengan T_B(x) = -5x, \forall x \in \mathbb{R}^3. Hasil dari B^{-1}A adalah \cdots

Soal Nomor 4
Misalkan T: P_2 \to P_1 dengan T(a+bx+cx^2)= (a+c) + bx dan diketahui pula bahwa A = \{1,x, x^2\} serta B = \{1+x, x, 1+x^2\} masing-masing basis bagi P_1 dan P_2. Matriks penyajian T terhadap basis A dan B yang dinotasikan [T]_{B, A} adalah \cdots

Soal Nomor 5
Entri baris ke-2 kolom ke-3 dari invers matriks \begin{pmatrix} 1 - \alpha & 2 & 3 \\ 4 & 2 - \alpha & -1 \\ 2 & 5 & 6 - \alpha \end{pmatrix} dalam bentuk paling sederhana adalah \cdots

Soal Nomor 6
Diketahui bahwa \{(1,-2,-1), (4,1,2), u\} untuk suatu u \in \mathbb{R}^3 adalah himpunan ortogonal. Konstanta a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R} sehingga vektor v = (1,1,1) dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari himpunan ortogonal tersebut adalah \cdots

Soal Nomor 7
Misalkan diketahui G = \{(a, b)~|~a, b\in \mathbb{R}, a \neq 0\}. Lebih lanjut, didefinisikan operasi biner * pada G, yaitu
(a, b) * (c, d) = (ac + bd)
untuk setiap (a, b), (c, d) \in G
Satu-satunya elemen di G yang berorder dua adalah \cdots

Soal Nomor 8
Misalkan (G,*) adalah suatu grup dengan a * b = b * a^{-1} dan b * a = a * b^{-1} untuk setiap a, b \in G. Nilai dari a^4 dan b^4 adalah \cdots

Soal Nomor 9
Hasil dari ([b], n) dengan [b] \in \mathbb{Z}_9 sehingga [8][b] = [1] dan n bilangan bulat terkecil sehingga n[6] = [0] di \mathbb{Z}_{14} adalah \cdots

Soal Nomor 10
Subring dengan orde terbesar dari ring \mathbb{Z}_{16} yang memuat identitas adalah \cdots

Soal Nomor 11
Pada ring \mathbb{Z}_{24}, diketahui bahwa I = \{[0], [8], [16]\} adalah suatu ideal. Semua elemen dari \mathbb{Z}_{24}/I adalah \cdots

Soal Nomor 12
Hasil dari deret 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1) bila dinyatakan dalam bentuk kombinasi adalah \cdots

Soal Nomor 13
Nilai dari \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^kk \binom{n} {k} adalah \cdots

Soal Nomor 14
Bentuk integral tentu dari \displaystyle \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N \dfrac{1}{N+k} adalah \cdots

Soal Nomor 15
Misalkan K bilangan positif terkecil yang memenuhi
|\sin x - 2 \cos x|^2 \leq K
untuk setiap x \in \mathbb{R}. Nilai K adalah \cdots

Soal Nomor 16
Misalkan f kontinu pada [0,1]. Jika f(0)=0,f(1)=1, dan f'(x) > 0 untuk setiap x \in (0,1) serta \displaystyle \int_0^1 f(x)~\text{d}x = \dfrac{1}{3}, maka hasil dari \displaystyle \int_0^1 f^{-1}(y)~\text{d}y adalah \cdots

Soal Nomor 17
Nilai maksimum dari f(x) = x^{\frac{1}{x}} adalah \cdots

Soal Nomor 18
Misalkan barisan rekursif \{x_n\} memenuhi x_{n+1} = 2x_n(1-x_n) untuk setiap n \geq 1 dan x_1 = \dfrac{1}{2019}. Jika barisan \{x_n\} konvergen ke L, nilai dari L^{-1} adalah \cdots

Soal Nomor 19
Hasil dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\int_0^x \sqrt{1+4t^2}~\text{d}t} {x^2+4}

Soal Nomor 20
Nilai dari \sin \left(\dfrac{\pi}{2} + i \ln(\pi + \sqrt{\pi^2 -1})\right) adalah \cdots

Soal Nomor 21
Misalkan (1+i)^{2019} dapat dinyatakan dalam bentuk a + ib. Nilai dari a+b adalah \cdots

Soal Nomor 22
Misalkan \{a_n\} barisan bilangan real yang memenuhi a_0 = 1, a_1 = 2, dan a_n = a_{n-1} + a_{n-2} untuk n \geq 2.
Jari-jari kekonvergenan dari deret pangkat \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n adalah \cdots

Soal Nomor 23
Diberikan f(z) = \dfrac{z^2}{(z+1)(z-1)}. Hasil dari \int \limits_C f(z)~\text{d}z di mana C merupakan lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di 1 adalah \cdots

Soal Nomor 24
Diberikan bilangan bulat positif n. Misalkan M(n) adalah bilangan positif terbesar m sedemikian sehingga \displaystyle \binom{m}{n-1} > \binom{m-1}{n}. Nilai dari \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{M(n)}{n} adalah \cdots

Soal Nomor 25
Jumlah dari dua bilangan prima adalah 85. Hasil kali dua bilangan prima tersebut adalah \cdots

Penyelesaian

Karena 85 merupakan bilangan ganjil, maka satu-satunya kemungkinan dua bilangan prima yang dimaksud harus meliputi bilangan genap dan bilangan ganjil. Bilangan genap yang prima hanya ada 1, yaitu 2, sehingga dua bilangan itu haruslah 2 dan 83.
Hasil kalinya adalah \boxed{2 \times 83 = 166}

[collapse]

Soal Nomor 26
Banyaknya semua pasangan bilangan bulat positif (a, b) yang memenuhi
\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{2019} adalah \cdots

Penyelesaian

\begin{aligned} \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} & = \dfrac{1}{2019} \\ \dfrac{a+b}{ab} & = \dfrac{1}{2019} \\ ab & = 2019a + 2019b \\ b(a - 2019) & = 2019a \\ b & = \dfrac{2019a}{a-2019} \\ b & = \dfrac{2019(a - 2019) + 2019^2}{a - 2019} \\ b & = 2019 + \dfrac{2019^2}{a - 2019} \end{aligned}
Perhatikan bahwa b akan bernilai bulat positif, apabila a - 2019 membagi habis 2019^2 atau dengan kata lain, a - 2019 merupakan faktor dari 2019^2 = 3^2 \times 673^2, yang banyak faktornya ada (2 + 1) \times (2 + 1) = 9.
Akibatnya, akan ada 9 nilai a, begitu juga b
Jadi, ada \boxed{9} pasangan bilangan bulat positif (a, b) yang memenuhi
\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{2019}

[collapse]

Bagian Esai

Soal Nomor 1
Tunjukkan bahwa \dim\{A \in \mathbb{R}^n: A = A^T\} = \dfrac{1}{2}n(n+1)

Soal Nomor 2
Misalkan I adalah ideal dari ring komutatif R. Didefinisikan annihilator dari I, \text{ann}(I) = \{r \in R~|~ra = 0~\text{untuk setiap}~a \in I\}. Pada ring \mathbb{Z}_{20}, buktikan bahwa I = \{[n]~|~n~\text{genap}\} adalah suatu ideal. Lebih lanjut, tentukan \text{ann}(I).

Soal Nomor 3
Misalkan f,g terdefinisi pada A \subseteq \mathbb{R} dan c titik kluster dari A. Jika f terbatas pada persekitaran c dan \displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = 0, buktikan bahwa \displaystyle \lim_{x \to c} f(x) g(x) = 0.

Soal Nomor 4
Misalkan f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{z^{2n}}{(2n)!}
Buktikan bahwa f''(z) = f(z).

Ayo Beri Rating Postingan Ini
KategoriON MIPATag, , , , , ,

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *