Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Seleksi Universitas Tanjungpura Tahun 2019

Ubah bentuk pemetaan linearnya menjadi $f(X) = AX$ dengan $A$ matriks berordo $2 \times 2$, yakni $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$
Pada pemetaan linear:
$f\left(\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
dapat kita tuliskan sebagai
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
Selanjutnya, kita peroleh suatu sistem linear:
$\begin{cases} 4a + b = 1 \\ 4c + d = 1 \end{cases}$
Pada pemetaan linear:
$f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 3 \\-2 \end{bmatrix}$
dapat kita tuliskan sebagai
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\-2 \end{bmatrix}$
Selanjutnya, kita peroleh sistem linear yang lain:
$\begin{cases} a + b = 3 \\ c + d =-2 \end{cases}$
Sistem linear $\begin{cases} 4a + b = 1 \\ a + b = 3 \end{cases}$ memiliki penyelesaian $a =-\dfrac23$ dan $b = \dfrac{11}{3}$.
Sistem linear $\begin{cases} 4c + d = 1 \\ c + d =-2 \end{cases}$ memiliki penyelesaian $c = 1$ dan $d =-3$.
Ini berarti, pemetaan linear $f$ dirumuskan oleh
$f(X) = \begin{bmatrix}-\dfrac23 & \dfrac{11}{3} \\ 1 &-3 \end{bmatrix}X$
Untuk $X = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, diperoleh
$f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}-\dfrac23 & \dfrac{11}{3} \\ 1 &-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{11}{3} \\-3 \end{bmatrix}$
Jadi, hasil dari $\boxed{f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} \dfrac{11}{3} \\-3 \end{bmatrix}}$

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 1- \alpha & 2 & 3 \\ 4 & 2- \alpha &-1 \\ 2 & 5 & 6- \alpha \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa $A^{-1}$ dinyatakan oleh $\dfrac{1}{\det(A)} \cdot \text{Adj}(A).$
Determinan dari matriks $A$ dapat ditentukan dengan berbagai cara, misalnya dengan menggunakan aturan Sarrus sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \det(A) & = (1- \alpha)(2- \alpha)(6- \alpha) + 2(-1)(2) + (3)(4)(5) \\ &- (2)(2-\alpha)(3)- 5(-1)(1-\alpha)- (6-\alpha)(4)(2) \\ & = (12- 20\alpha + 9\alpha^2- \alpha^3)- 4 + 60 \\ &- (12- 6\alpha)-(-5 + 5 \alpha)- (48- 8\alpha) \\ & =-\alpha^3 + 9\alpha^2- 11\alpha + 13 \end{aligned}$$Karena yang ditanyakan pada soal adalah entri baris ke-2 kolom ke-3 dari $A^{-1}$, kita hanya perlu mencari minor transposnya, yakni minor entri baris ke-3 kolom ke-2, yaitu
$\begin{aligned} M_{32} & = \begin{vmatrix} 1- \alpha & 3 \\ 4 &-1 \end{vmatrix} \\ & =-1(1- \alpha)- 3(4) = \alpha- 13. \end{aligned}$
Kofaktor baris ke-3 kolom ke-2 adalah
$K_{32} = (-1)^{3 + 2}M_{32} =-\alpha + 13.$
Dengan demikian, entri baris ke-2 kolom ke-3 adjoin $A$ adalah kofaktor baris ke-3 kolom ke-2, karena adjoin merupakan transpos dari matriks kofaktor.
Ini berarti, entri baris ke-2 kolom ke-3 dari $A^{-1}$ adalah
$$\begin{aligned}\det(A) \times K_{32} & = (-\alpha^3 + 9\alpha^2- 11\alpha + 13)(-\alpha + 13) \\ & = \alpha^4- 22\alpha^3 + 128\alpha^2- 156\alpha + 169. \end{aligned}$$

Langkah pertama adalah menentukan identitas $(G, *)$. Misalkan $(a, b)$ adalah elemen identitasnya sehingga berlaku $(a, b) * (c, d) = (c, d).$
Dengan menggunakan definisi operasi $*$, didapat $(ac, b+d) = (c, d).$
Dari sini, diperoleh $ac = c$ dan $b + d = d$ yang mengimplikasikan $a = 1$ dan $b = 0.$ 
Jadi, elemen identitas $(G, *)$ adalah $(1,0).$
Langkah berikutnya adalah menentukan unsur berorde dua di $G$. 
Misalkan $(a, b)$ berorde dua di $G$, berarti
$(a, b) * (a, b) =~\text{Identitas}~= (1,0).$
Dengan menggunakan definisi operasi $*$, didapat $(a^2, 2b) = (1,0).$
Dari sini, diperoleh $a^2 = 1$ dan $2b = 0$ yang mengimplikasikan $a = \pm 1$ dan $b = 0.$ 
Jadi, satu-satunya elemen di $G$ yang berorde dua selain elemen identitas adalah $\boxed{(-1, 0)}.$

Diketahui bahwa
$a \star b = b \star a^{-1}$
untuk setiap $a, b \in G$. Karena $G$ grup, setiap anggota $G$ memiliki invers di $G$. Dalam kasus ini, $a$ memiliki invers, yaitu $a^{-1} \in G.$
Jadi, berlaku
$a \star a^{-1} = a^{-1} \star a^{-1}.$
Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan, diperoleh
$\begin{aligned} a \star \cancel{a^{-1}} & = a^{-1} \star \cancel{a^{-1}} \\ a & = a^{-1}. \end{aligned}$
Diperoleh bahwa invers anggota $G$ adalah dirinya sendiri. Menurut definisi grup, berlaku
$\begin{aligned} a \star a^{-1} & = e \\ a \star a & = e \\ a^2 & = e. \end{aligned}$
Jadi, unsur identitas $G$ adalah $a^2$ untuk $a \in G.$ Dengan demikian,
$\boxed{a^4 = (a^2)^2 = e^2 = e}$ dan $\boxed{b^4 = (b^2)^2 = e^2 = e}$

Elemen ring $\mathbb{Z}_{16}$ adalah $\{0, 1, 2, \cdots, 15\}.$
Perhatikanlah bahwa faktor dari 16 adalah $1, 2, 4, 8,$ dan $16$ sehingga $\mathbb{Z}_i$ dengan $i = 1, 2, 4, 8, 16$ merupakan subring dari $\mathbb{Z}_{16}$ yang memuat identitas. Ini menunjukkan bahwa subring dengan orde terbesar (elemen terbanyak) dari ring $\mathbb{Z}_{16}$ adalah $\mathbb{Z}_{16}$ (dirinya sendiri). Struktur tersebut memiliki elemen sebanyak $|\mathbb{Z}_{16}| = 16.$

Diketahui banyak elemen dalam ring $\mathbb{Z}_{24}$ adalah $|\mathbb{Z}_{24}| = 24$, yaitu $\{[0], [1], [2], \cdots, [23]\},$ sedangkan $I$ jelas memiliki elemen sebanyak $|I| = 3.$
Berdasarkan teorema Lagrange, banyaknya elemen $\mathbb{Z}_{24}/I$ dinyatakan oleh
$\boxed{\dfrac{|\mathbb{Z}_{24}|}{|I|} = \dfrac{24}{3} = 8}$

Deret $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1)$ dapat dituliskan dalam notasi sigma, kemudian disederhanakan seperti berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k = 1}^n k(k+1) & = \sum_{k = 1}^n (k^2 + k) \\ & = \sum_{k = 1}^n k^2 + \sum_{k = 1}^n k \\ & = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \dfrac{n(n+1)}{2} \\ & = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \dfrac{3n(n+1)}{6} \\ & = \dfrac{(2n+1+3)(n)(n+1)}{6} \\ & = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{aligned}$$
Langkah selanjutnya adalah mengubah bentuk terakhir dalam kombinasi.
$\begin{aligned} \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} & = 2 \cdot \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} \\ & = 2 \cdot \dfrac{(n+2)!}{(n-1)! \cdot 3!} \\ & = 2 \cdot \dfrac{(n+2)!}{(n+2-3)! \cdot 3!} \\ & = 2 \displaystyle \binom{n+2}{3} \end{aligned}$
Jadi, deret $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1)$ bila ditulis dalam bentuk kombinasi adalah $\boxed{ 2 \displaystyle \binom{n+2}{3}}$

Ekspansi binomial dari bentuk $(1- x)^n$ adalah $\displaystyle 1 + \sum_{k = 1}^n (-1)^k\binom{n}{k}x^k.$
Turunkan terhadap $x$ sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(1-x)^n & = \displaystyle \sum_{k = 1}^n (-1)^k\binom{n}{k}kx^{k-1} \\ -n(1-x)^{n-1} & =  \sum_{k = 1}^n (-1)^k\binom{n}{k}kx^{k-1}.\end{aligned}$
Untuk $x = 1$, kita peroleh
$\begin{aligned}-n(1- 1)^{n- 1} & = \displaystyle \sum_{k = 1}^n (-1)^k\binom{n}{k}k(1)^{k-1} \\ 0 & = \displaystyle \sum_{k = 1}^n (-1)^kk\binom{n}{k}. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^kk \binom{n} {k} = 0}$

Dengan menggunakan definisi integral Riemann, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1+\frac{k}{n}}\right ) \\ & =\int_{0}^1\dfrac{\text{d}x}{1+x} \end{aligned}$ 
Jadi, bentuk integral tentu dari $\displaystyle \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N \dfrac{1}{N+k}$ adalah $\boxed{\int_{0}^1\dfrac{\text{d}x}{1+x}}$

Perhatikan bahwa $f'(x) > 0$ yang artinya fungsi $f$ monoton naik pada selang $[0, 1].$ Luas di bawah kurva $f(x)$ pada selang $[0, 1]$ terhadap sumbu-$X$ dinyatakan oleh $A = \displaystyle \int_0^1 f(x)~\text{d}x = \dfrac{1}{3}.$
$B = \displaystyle \int_0^1 f^{-1}(y)~\text{d}y$ menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh kurva $f(x)$ dan sumbu-$Y$ pada selang $[0, 1]$. Untuk menentukan nilai $B$, kita hanya perlu mengurangi luas persegi $1$ satuan terhadap $A$, yaitu
$B = \text{Lua}\text{s pers}\text{egi}-A = 1-\dfrac13 = \dfrac23.$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_0^1 f^{-1}(y)~\text{d}y = \dfrac23}$

Fungsi $f(x) = x^{\frac{1}{x}}$ dapat dicari nilai maksimumnya saat $f'(x) = 0$ dengan $f'(x)$ menyatakan turunan pertama dari $f(x).$ Oleh karena itu, akan ditentukan turunan pertama dari $f(x)$. Sebelum itu, perhatikan beberapa aturan turunan (diferensial) berikut.
$\boxed{\begin{aligned} & [u(x)^{v(x)}]^{‘} = u(x)^{v(x)} \cdot [\ln (u(x)) \cdot v(x)]’ \\ & \left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]’ = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2} \\ & [\ln x]’ = \dfrac{1}{x} \end{aligned}}$
Jadi, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left[x^{\frac{1}{x}}\right] & = x^{\frac{1}{x}} \cdot \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left[\ln (x) \cdot \dfrac{1}{x}\right] \\ & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left[\dfrac{\ln (x)}{x}\right] \cdot x^{\frac{1}{x}} \\ & = \dfrac{\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} [\ln (x)] \cdot x- \ln (x) \cdot \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} [x]}{x^2} \cdot x^{\frac{1}{x}} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{x} \cdot x- \ln (x) \cdot 1}{x^2} \cdot x^{\frac{1}{x}} \\ & = \dfrac{1- \ln (x)}{x^2} \cdot x^{\frac{1}{x}} \\ & = x^{\frac{1}{x}- 2}(1- \ln (x)). \end{aligned}$$Selanjutnya,
$\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ x^{\frac{1}{x}- 2}(1- \ln (x)) & = 0. \end{aligned}$
Perhatikan bahwa bentuk $x^{\frac{1}{x}- 2}$ tidak akan bernilai $0$ untuk setiap nilai $x$ sehingga satu-satunya kemungkinan mengharuskan
$1- \ln (x) = 0 \Leftrightarrow \ln (x) = 1 \Leftrightarrow x = e.$
Jadi, nilai maksimum dari $f(x) = x^{\frac{1}{x}}$ tercapai saat $x = e$, yakni $\boxed{f_{\text{max}} = e^{\frac{1}{e}}}$

Terapkan dalil L’Hospital sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\int_0^x \sqrt{1+4t^2}~\text{d}t} {x^2+4} & \stackrel{\text{L’H}}{=} \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{1 + 4x^2}}{2x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{1 + 4x^2}{x^2}}}{\dfrac{2x}{x}} \\ & = \dfrac{\sqrt{4}}{2} = 1. \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\int_0^x \sqrt{1+4t^2}~\text{d}t} {x^2+4} = 1}$

Perhatikan bahwa
$\boxed{\begin{aligned} \sin \left(\dfrac{\pi}{2} + a\right) & = \cos a \\ \cos x & = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \\ e^{\ln x} & = x. \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \sin \left(\dfrac{\pi}{2} + i \ln(\pi + \sqrt{\pi^2-1})\right)
\\ = & \cos \left(i \ln(\pi + \sqrt{\pi^2-1})\right) \\ = & \dfrac{1}{2}\left(e^{i(i \ln(\pi + \sqrt{\pi^2-1}))}+e^{(-i)i \ln(\pi + \sqrt{\pi^2-1})}\right) \\ = & \dfrac{1}{2}\left(e^{-\ln(\pi + \sqrt{\pi^2-1})}+e^{\ln(\pi + \sqrt{\pi^2-1})}\right) \\ = & \dfrac{1}{2}\left(e^{\ln(\pi + (\sqrt{\pi^2-1})^{-1})}+e^{\ln(\pi + \sqrt{\pi^2-1})}\right) \\ = & \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\pi + \sqrt{\pi^2-1}}+(\pi + \sqrt{\pi^2-1})\right) \\ & \text{Rasionalkan pecahannya} \\ = & \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi \bcancel{- \sqrt{\pi^2- 1}}}{\cancel{\pi^2}- (\cancel{\pi^2} + 1)} + (\pi + \bcancel{\sqrt{\pi^2-1}})\right) \\ = & \dfrac{1}{2}(2\pi) = \pi. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\sin \left(\dfrac{\pi}{2} + i \ln(\pi + \sqrt{\pi^2-1})\right)$ adalah $\boxed{\pi}$

Misalkan $z = 1+i$. Dengan demikian,
$\tan \theta = \dfrac{1}{1} = 1 \Rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{4}$
dan
$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$
Dengan menggunakan dalil de Moivre, diperoleh
$$\begin{aligned} z^{2019} & = r(\cos 2019\theta + i \sin 2019\theta) \\ & = \sqrt{2}\left(\cos \left(2019 \times \dfrac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(2019 \times \dfrac{\pi}{4}\right)\right) \\ & = \sqrt{2} \left(\cos \left(504 \times 2\pi + \dfrac{3}{4}\pi\right) + i \sin \left(504 \times 2\pi + \dfrac{3}{4}\pi \right) \right) \\ & = \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{3}{4}\pi + i \sin \dfrac{3}{4}\pi\right) \\ & = \sqrt{2} \left(-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) \\ & = 0. \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $(1+i)^{2019}$ adalah $\boxed{0}$

Karena $85$ merupakan bilangan ganjil, satu-satunya kemungkinan dua bilangan prima yang dimaksud harus meliputi bilangan genap dan bilangan ganjil. Bilangan genap yang prima hanya ada $1$, yaitu $2$ sehingga dua bilangan itu haruslah $2$ dan $83.$
Hasil kalinya adalah $\boxed{2 \times 83 = 166}$

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} & = \dfrac{1}{2019} \\ \dfrac{a+b}{ab} & = \dfrac{1}{2019} \\ ab & = 2019a + 2019b \\ b(a- 2019) & = 2019a \\ b & = \dfrac{2019a}{a-2019} \\ b & = \dfrac{2019(a- 2019) + 2019^2}{a- 2019} \\ b & = 2019 + \dfrac{2019^2}{a- 2019}. \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $b$ akan bernilai bulat positif jika $a-2019$ membagi habis $2019^2.$ Dengan kata lain, $a- 2019$ merupakan faktor dari $2019^2 = 3^2 \times 673^2,$ yang banyak faktornya ada $(2 + 1) \times (2 + 1) = 9.$
Akibatnya, akan ada $9$ nilai $a$, begitu juga $b.$
Jadi, ada $\boxed{9}$ pasangan bilangan bulat positif $(a, b)$ yang memenuhi
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{2019}$