Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Seleksi Universitas Tanjungpura Tahun 2019

Berikut ini merupakan soal & pembahasan (menyusulON MIPA-PT Matematika Seleksi Universitas Tanjungpura Tahun 2019 yang dilaksanakan pada tanggal 13 Februari 2019 di Gedung Auditorium Untan.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Seleksi Universitas Tanjungpura Tahun 2018

Bagian Isian Singkat

Soal Nomor 1
Subhimpunan bebas linear di \mathbb{R}^4 yang maksimal dari \{(1,1,1,1), (2,2,3,3), (1,0,1,0), (0,1,0,1), (1,1,0,0)\}

adalah \cdots

Soal Nomor 2
Diketahui pemetaan linear f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 dengan f\left(\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 \\  1 \end{bmatrix} dan f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}. Hasil dari f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) adalah \cdots

Penyelesaian

Ubah bentuk pemetaan linearnya menjadi f(X) = AX dengan A matriks berordo 2 \times 2, yakni A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
Pada pemetaan linear:
f\left(\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
dapat kita tuliskan sebagai
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
Selanjutnya, kita peroleh suatu sistem linear:
\begin{cases} 4a + b = 1 \\ 4c + d = 1 \end{cases}
Pada pemetaan linear:
f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}
dapat kita tuliskan sebagai
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\ -2 \end{bmatrix}
Selanjutnya, kita peroleh sistem linear yang lain:
\begin{cases} a + b = 3 \\ c + d = -2 \end{cases}
Sistem linear \begin{cases} 4a + b = 1 \\ a + b = 3 \end{cases} memiliki penyelesaian a = -\dfrac23 dan b = \dfrac{11}{3}.
Sistem linear \begin{cases} 4c + d = 1 \\ c + d = -2 \end{cases} memiliki penyelesaian c = 1 dan d = -3.
Ini berarti, pemetaan linear f dirumuskan oleh
f(X) = \begin{bmatrix} -\dfrac23 & \dfrac{11}{3} \\ 1 & -3 \end{bmatrix}X
Untuk X = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, diperoleh
f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} -\dfrac23 & \dfrac{11}{3} \\ 1 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{11}{3} \\ -3 \end{bmatrix}
Jadi, hasil dari \boxed{f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} \dfrac{11}{3} \\ -3 \end{bmatrix}}

[collapse]

Soal Nomor 3
Misalkan A dan B berturut-turut merupakan matriks dari pemetaan linear T_A: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 dengan T_A(w, x, y, z) = (x+y-z-w, x+z, w-y) dan T_B: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 dengan T_B(x) = -5x, \forall x \in \mathbb{R}^3. Hasil dari B^{-1}A adalah \cdots

Soal Nomor 4
Misalkan T: P_2 \to P_1 dengan T(a+bx+cx^2)= (a+c) + bx dan diketahui pula bahwa A = \{1,x, x^2\} serta B = \{1+x, x, 1+x^2\} masing-masing basis bagi P_1 dan P_2. Matriks penyajian T terhadap basis A dan B yang dinotasikan [T]_{B, A} adalah \cdots

Soal Nomor 5
Entri baris ke-2 kolom ke-3 dari invers matriks \begin{pmatrix} 1 - \alpha & 2 & 3 \\ 4 & 2 - \alpha & -1 \\ 2 & 5 & 6 - \alpha \end{pmatrix} dalam bentuk paling sederhana adalah \cdots

Penyelesaian

Misalkan A = \begin{pmatrix} 1 - \alpha & 2 & 3 \\ 4 & 2 - \alpha & -1 \\ 2 & 5 & 6 - \alpha \end{pmatrix}
Perhatikan bahwa A^{-1} dinyatakan oleh \dfrac{1}{\det(A)} \cdot \text{Adj}(A).
Determinan dari matriks A dapat ditentukan dengan berbagai cara, misalnya dengan menggunakan Aturan Sarrus sebagai berikut.
\begin{aligned} \det(A) & = (1 - \alpha)(2 - \alpha)(6 - \alpha) + 2(-1)(2) + (3)(4)(5) \\ & - (2)(2-\alpha)(3) - 5(-1)(1-\alpha) - (6-\alpha)(4)(2) \\ & = (12 - 20\alpha + 9\alpha^2 - \alpha^3) - 4 + 60 \\ & - (12 - 6\alpha) - (-5 + 5 \alpha) - (48 - 8\alpha) \\ & = -\alpha^3 + 9\alpha^2 - 11\alpha + 13 \end{aligned}
Karena yang ditanyakan pada soal adalah entri baris ke-2 kolom ke-3 dari A^{-1}, maka kita hanya perlu mencari minor transposnya, yakni minor entri baris ke-3 kolom ke-2, yaitu
\begin{aligned} M_{32} & = \begin{vmatrix} 1 - \alpha & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \\ & = -1(1 - \alpha) - 3(4) = \alpha - 13 \end{aligned}
Kofaktor baris ke-3 kolom ke-2 adalah
K_{32} = (-1)^{3 + 2}M_{32} = -\alpha + 13
Dengan demikian, entri baris ke-2 kolom ke-3 adjoin A adalah kofaktor baris ke-3 kolom ke-2, karena adjoin merupakan transpos dari matriks kofaktor.
Ini berarti, entri baris ke-2 kolom ke-3 dari A^{-1} adalah
\begin{aligned}\det(A) \times K_{32} & = (-\alpha^3 + 9\alpha^2 - 11\alpha + 13)(-\alpha + 13) \\ & = \alpha^4 - 22\alpha^3 + 128\alpha^2 - 156\alpha + 169 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui bahwa \{(1,-2,-1), (4,1,2), u\} untuk suatu u \in \mathbb{R}^3 adalah himpunan ortogonal. Konstanta a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R} sehingga vektor v = (1,1,1) dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari himpunan ortogonal tersebut adalah \cdots

Soal Nomor 7
Misalkan diketahui G = \{(a, b)~|~a, b\in \mathbb{R}, a \neq 0\}. Lebih lanjut, didefinisikan operasi biner * pada G, yaitu
(a, b) * (c, d) = (ac, b + d)
untuk setiap (a, b), (c, d) \in G
Satu-satunya elemen di G yang berorder dua selain elemen identitas adalah \cdots

Penyelesaian

Langkah pertama adalah menentukan identitas (G, *). Misalkan (a, b) adalah elemen identitasnya, sehingga berlaku
(a, b) * (c, d) = (c, d)
Dengan menggunakan definisi operasi *, didapat
(ac, b+d) = (c, d)
Dari sini, diperoleh ac = c dan b + d = d yang mengimplikasikan a = 1 dan b = 0
Jadi, elemen identitas (G, *) adalah (1,0)
Langkah berikutnya adalah menentukan unsur berorde dua di G
Misalkan (a, b) berorde dua di G, berarti
(a, b) * (a, b) =~\text{Identitas}~= (1,0)
Dengan menggunakan definisi operasi *, didapat
(a^2, 2b) = (1,0)
Dari sini, diperoleh a^2 = 1 dan 2b = 0 yang mengimplikasikan a = \pm 1 dan b = 0
Jadi, satu-satunya elemen di G yang berorde dua selain elemen identitas adalah \boxed{(-1, 0)}.

[collapse]

Soal Nomor 8
Misalkan (G,*) adalah suatu grup dengan a * b = b * a^{-1} dan b * a = a * b^{-1} untuk setiap a, b \in G. Nilai dari a^4 dan b^4 adalah \cdots

Penyelesaian

Diketahui bahwa
a \star b = b \star a^{-1}
untuk setiap a, b \in G. Karena G grup, maka setiap anggota G memiliki invers di G. Dalam kasus ini, a memiliki invers, yaitu a^{-1} \in G.
Jadi, berlaku
a \star a^{-1} = a^{-1} \star a^{-1}
Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan, diperoleh
\begin{aligned} a \star \cancel{a^{-1}} & = a^{-1} \star \cancel{a^{-1}} \\ a & = a^{-1} \end{aligned}

Diperoleh bahwa invers anggota G adalah dirinya sendiri. Menurut definisi grup, berlaku
\begin{aligned} a \star a^{-1} & = e \\ a \star a & = e \\ a^2 & = e \end{aligned}
Jadi, unsur identitas G adalah a^2 untuk a \in G. Dengan demikian,
\boxed{a^4 = (a^2)^2 = e^2 = e} dan \boxed{b^4 = (b^2)^2 = e^2 = e}

[collapse]

Soal Nomor 9
Hasil dari ([b], n) dengan [b] \in \mathbb{Z}_9 sehingga [8][b] = [1] dan n bilangan bulat terkecil sehingga n[6] = [0] di \mathbb{Z}_{14} adalah \cdots

Soal Nomor 10
Subring dengan orde terbesar dari ring \mathbb{Z}_{16} yang memuat identitas adalah \cdots

Penyelesaian

Elemen ring \mathbb{Z}_{16} adalah \{0, 1, 2, \cdots, 15\}.
Perhatikanlah bahwa faktor dari 16 adalah 1, 2, 4, 8, dan 16, sehingga \mathbb{Z}_i dengan i = 1, 2, 4, 8, 16 merupakan subring dari \mathbb{Z}_{16} yanng memuat identitas. Ini menunjukkan bahwa subring dengan orde terbesar (elemen terbanyak) dari ring \mathbb{Z}_{16} adalah \mathbb{Z}_{16} (dirinya sendiri), di mana struktur tersebut memiliki elemen sebanyak |\mathbb{Z}_{16}| = 16

[collapse]

Soal Nomor 11
Pada ring \mathbb{Z}_{24}, diketahui bahwa I = \{[0], [8], [16]\} adalah suatu ideal. Semua elemen dari \mathbb{Z}_{24}/I adalah \cdots

Penyelesaian

Diketahui banyak elemen dalam ring \mathbb{Z}_{24} adalah |\mathbb{Z}_{24}| = 24, yaitu \{[0], [1], [2], \cdots, [23]\}, sedangkan I jelas memiliki elemen sebanyak |I| = 3.
Berdasarkan Teorema Lagrange, banyaknya elemen \mathbb{Z}_{24}/I dinyatakan oleh
\boxed{\dfrac{|\mathbb{Z}_{24}|}{|I|} = \dfrac{24}{3} = 8}

[collapse]

Soal Nomor 12
Hasil dari deret 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1) bila dinyatakan dalam bentuk kombinasi adalah \cdots

Penyelesaian

Deret 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1) dapat dituliskan dalam notasi sigma, kemudian disederhanakan seperti berikut.
\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k = 1}^n k(k+1) & = \sum_{k = 1}^n (k^2 + k) \\ & = \sum_{k = 1}^n k^2 + \sum_{k = 1}^n k \\ & = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \dfrac{n(n+1)}{2} \\ & = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \dfrac{3n(n+1)}{6} \\ & = \dfrac{(2n+1+3)(n)(n+1)}{6} \\ & = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{aligned}
Langkah selanjutnya adalah mengubah bentuk terakhir dalam kombinasi.
\begin{aligned} \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} & = 2 \cdot \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} \\ & = 2 \cdot \dfrac{(n+2)!}{(n-1)! \cdot 3!} \\ & = 2 \cdot \dfrac{(n+2)!}{(n+2-3)! \cdot 3!} \\ & = 2 \displaystyle \binom{n+2}{3} \end{aligned}
Jadi, deret 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1) bila ditulis dalam bentuk kombinasi adalah \boxed{ 2 \displaystyle \binom{n+2}{3}}

[collapse]

Soal Nomor 13
Nilai dari \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^kk \binom{n} {k} adalah \cdots

Penyelesaian

Ekspansi binomial dari bentuk (1 - x)^n adalah \displaystyle 1 + \sum_{k = 1}^n (-1)^k\binom{n}{k}x^k
Turunkan terhadap x, sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(1 -x)^n & = \displaystyle \sum_{k = 1}^n (-1)^k\binom{n}{k}kx^{k-1} \\  -n(1-x)^{n-1} & =  \sum_{k = 1}^n (-1)^k\binom{n}{k}kx^{k-1}\end{aligned}
Untuk x = 1, kita peroleh
\begin{aligned} -n(1 - 1)^{n - 1} & = \displaystyle \sum_{k = 1}^n (-1)^k\binom{n}{k}k(1)^{k-1} \\ 0 & = \displaystyle \sum_{k = 1}^n (-1)^kk\binom{n}{k} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^kk \binom{n} {k} = 0}

[collapse]

Soal Nomor 14
Bentuk integral tentu dari \displaystyle \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N \dfrac{1}{N+k} adalah \cdots

Penyelesaian

Dengan menggunakan definisi Integral Riemann, diperoleh
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1+\frac{k}{n}}\right ) \\ & =\int_{0}^1\dfrac{\text{d}x}{1+x} \end{aligned} 
Jadi, bentuk integral tentu dari \displaystyle \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N \dfrac{1}{N+k} adalah \boxed{\int_{0}^1\dfrac{\text{d}x}{1+x}}

[collapse]

Soal Nomor 15
Misalkan K bilangan positif terkecil yang memenuhi
|\sin x - 2 \cos x|^2 \leq K
untuk setiap x \in \mathbb{R}. Nilai K adalah \cdots

Soal Nomor 16
Misalkan f kontinu pada [0,1]. Jika f(0)=0,f(1)=1, dan f'(x) > 0 untuk setiap x \in (0,1) serta \displaystyle \int_0^1 f(x)~\text{d}x = \dfrac{1}{3}, maka hasil dari \displaystyle \int_0^1 f^{-1}(y)~\text{d}y adalah \cdots

Soal Nomor 17
Nilai maksimum dari f(x) = x^{\frac{1}{x}} adalah \cdots

Penyelesaian

Fungsi f(x) = x^{\frac{1}{x}} dapat dicari nilai maksimumnya saat f'(x) = 0 di mana f'(x) menyatakan turunan pertama dari f(x). Oleh karena itu, akan ditentukan turunan pertama dari f(x). Sebelum itu, perhatikan beberapa aturan turunan (diferensial) berikut.
\boxed{\begin{aligned} & [u(x)^{v(x)}]^{'} = u(x)^{v(x)} \cdot [\ln (u(x)) \cdot v(x)]' \\ & \left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]' = \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2} \\ & [\ln x]' = \dfrac{1}{x} \end{aligned}}
Jadi, dapat ditulis
\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left[x^{\frac{1}{x}}\right] & = x^{\frac{1}{x}} \cdot \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left[\ln (x) \cdot \dfrac{1}{x}\right] \\ & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left[\dfrac{\ln (x)}{x}\right] \cdot x^{\frac{1}{x}} \\ & = \dfrac{\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} [\ln (x)] \cdot x - \ln (x) \cdot \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} [x]}{x^2} \cdot x^{\frac{1}{x}} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{x} \cdot x - \ln (x) \cdot 1}{x^2} \cdot x^{\frac{1}{x}} \\ & = \dfrac{1 - \ln (x)}{x^2} \cdot x^{\frac{1}{x}} \\ & = x^{\frac{1}{x} - 2}(1 - \ln (x)) \end{aligned}
Selanjutnya,
\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ x^{\frac{1}{x} - 2}(1 - \ln (x)) & = 0 \end{aligned}
Perhatikan bahwa bentuk x^{\frac{1}{x} - 2} tidak akan bernilai 0 untuk setiap nilai x, sehingga satu-satunya kemungkinan mengharuskan
1 - \ln (x) = 0 \Leftrightarrow \ln (x) = 1 \Leftrightarrow x = e
Jadi, nilai maksimum dari f(x) = x^{\frac{1}{x}} tercapai saat x = e, yakni \boxed{f_{\text{max}} = e^{\frac{1}{e}}}

[collapse]

Soal Nomor 18
Misalkan barisan rekursif \{x_n\} memenuhi x_{n+1} = 2x_n(1-x_n) untuk setiap n \geq 1 dan x_1 = \dfrac{1}{2019}. Jika barisan \{x_n\} konvergen ke L, nilai dari L^{-1} adalah \cdots

Soal Nomor 19
Hasil dari \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\int_0^x \sqrt{1+4t^2}~\text{d}t} {x^2+4}

Penyelesaian

Terapkan Dalil L’Hospital (turunan), sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\int_0^x \sqrt{1+4t^2}~\text{d}t} {x^2+4} & \stackrel{\text{L'H}}{=} \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{1 + 4x^2}}{2x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{1 + 4x^2}{x^2}}}{\dfrac{2x}{x}} \\ & = \dfrac{\sqrt{4}}{2} = 1 \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\int_0^x \sqrt{1+4t^2}~\text{d}t} {x^2+4} = 1}

[collapse]

Soal Nomor 20
Nilai dari \sin \left(\dfrac{\pi}{2} + i \ln(\pi + \sqrt{\pi^2 -1})\right) adalah \cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\boxed{\begin{aligned} \sin \left(\dfrac{\pi}{2} + a\right) & = \cos a \\ \cos x & = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \\ e^{\ln x} & = x \end{aligned}}
Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} & \sin \left(\dfrac{\pi}{2} + i \ln(\pi + \sqrt{\pi^2 -1})\right) \\ = & \cos \left(i \ln(\pi + \sqrt{\pi^2 -1})\right) \\ = & \dfrac{1}{2}\left(e^{i(i \ln(\pi + \sqrt{\pi^2 -1}))}+e^{(-i)i \ln(\pi + \sqrt{\pi^2 -1})}\right) \\ = & \dfrac{1}{2}\left(e^{-\ln(\pi + \sqrt{\pi^2 -1})}+e^{\ln(\pi + \sqrt{\pi^2 -1})}\right) \\ = & \dfrac{1}{2}\left(e^{\ln(\pi + (\sqrt{\pi^2 -1})^{-1})}+e^{\ln(\pi + \sqrt{\pi^2 -1})}\right) \\ = & \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\pi + \sqrt{\pi^2 -1}}+(\pi + \sqrt{\pi^2 -1})\right) \\ & \text{Rasionalkan pecahannya} \\ = & \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi \bcancel{- \sqrt{\pi^2 - 1}}}{\cancel{\pi^2} - (\cancel{\pi^2} + 1)} + (\pi + \bcancel{\sqrt{\pi^2 -1}})\right) \\ = & \dfrac{1}{2}(2\pi) = \pi \end{aligned}
Jadi, nilai dari \sin \left(\dfrac{\pi}{2} + i \ln(\pi + \sqrt{\pi^2 -1})\right) adalah \boxed{\pi}

[collapse]

Soal Nomor 21
Misalkan (1+i)^{2019} dapat dinyatakan dalam bentuk a + ib. Nilai dari a+b adalah \cdots

Penyelesaian

Misalkan z = 1+i. Dengan demikian,
\tan \theta = \dfrac{1}{1} = 1 \Rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{4}
dan
r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
Dengan menggunakan Dalil de Moivre, diperoleh
\begin{aligned} & z^{2019} \\ & = r(\cos 2019\theta + i \sin 2019\theta) \\ & = \sqrt{2}\left(\cos \left(2019 \times \dfrac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(2019 \times \dfrac{\pi}{4}\right)\right) \\ & = \sqrt{2} \left(\cos \left(504 \times 2\pi + \dfrac{3}{4}\pi\right) + i \sin \left(504 \times 2\pi + \dfrac{3}{4}\pi \right) \right) \\ & = \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{3}{4}\pi + i \sin \dfrac{3}{4}\pi\right) \\ & = \sqrt{2} \left(-\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) \\ & = 0 \end{aligned}
Jadi, nilai dari (1+i)^{2019} adalah \boxed{0}

[collapse]

Soal Nomor 22
Misalkan \{a_n\} barisan bilangan real yang memenuhi a_0 = 1, a_1 = 2, dan a_n = a_{n-1} + a_{n-2} untuk n \geq 2.
Jari-jari kekonvergenan dari deret pangkat \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n adalah \cdots

Soal Nomor 23
Diberikan f(z) = \dfrac{z^2}{(z+1)(z-1)}. Hasil dari \int \limits_C f(z)~\text{d}z di mana C merupakan lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di 1 adalah \cdots

Soal Nomor 24
Diberikan bilangan bulat positif n. Misalkan M(n) adalah bilangan positif terbesar m sedemikian sehingga \displaystyle \binom{m}{n-1} > \binom{m-1}{n}. Nilai dari \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{M(n)}{n} adalah \cdots

Soal Nomor 25
Jumlah dari dua bilangan prima adalah 85. Hasil kali dua bilangan prima tersebut adalah \cdots

Penyelesaian

Karena 85 merupakan bilangan ganjil, maka satu-satunya kemungkinan dua bilangan prima yang dimaksud harus meliputi bilangan genap dan bilangan ganjil. Bilangan genap yang prima hanya ada 1, yaitu 2, sehingga dua bilangan itu haruslah 2 dan 83.
Hasil kalinya adalah \boxed{2 \times 83 = 166}

[collapse]

Soal Nomor 26
Banyaknya semua pasangan bilangan bulat positif (a, b) yang memenuhi
\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{2019} adalah \cdots

Penyelesaian

\begin{aligned} \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} & = \dfrac{1}{2019} \\ \dfrac{a+b}{ab} & = \dfrac{1}{2019} \\ ab & = 2019a + 2019b \\ b(a - 2019) & = 2019a \\ b & = \dfrac{2019a}{a-2019} \\ b & = \dfrac{2019(a - 2019) + 2019^2}{a - 2019} \\ b & = 2019 + \dfrac{2019^2}{a - 2019} \end{aligned}
Perhatikan bahwa b akan bernilai bulat positif, apabila a - 2019 membagi habis 2019^2 atau dengan kata lain, a - 2019 merupakan faktor dari 2019^2 = 3^2 \times 673^2, yang banyak faktornya ada (2 + 1) \times (2 + 1) = 9.
Akibatnya, akan ada 9 nilai a, begitu juga b
Jadi, ada \boxed{9} pasangan bilangan bulat positif (a, b) yang memenuhi
\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{2019}

[collapse]

Bagian Esai

Soal Nomor 1
Tunjukkan bahwa \dim\{A \in \mathbb{R}^n: A = A^T\} = \dfrac{1}{2}n(n+1)

Soal Nomor 2
Misalkan I adalah ideal dari ring komutatif R. Didefinisikan annihilator dari I, \text{ann}(I) = \{r \in R~|~ra = 0~\text{untuk setiap}~a \in I\}. Pada ring \mathbb{Z}_{20}, buktikan bahwa I = \{[n]~|~n~\text{genap}\} adalah suatu ideal. Lebih lanjut, tentukan \text{ann}(I).

Soal Nomor 3
Misalkan f,g terdefinisi pada A \subseteq \mathbb{R} dan c titik kluster dari A. Jika f terbatas pada persekitaran c dan \displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = 0, buktikan bahwa \displaystyle \lim_{x \to c} f(x) g(x) = 0.

Soal Nomor 4
Misalkan f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{z^{2n}}{(2n)!}
Buktikan bahwa f''(z) = f(z).

Ayo Beri Rating Postingan Ini
KategoriON MIPATag, , , , , ,

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *