Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

     Berikut ini merupakan soal mengenai pangkat, akar, dan logaritma (soal standar dengan tingkat LOTS dan MOTS) yang dikutip dari berbagai sumber referensi. Soal-soal berikut masing-masing telah disediakan pembahasannya.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma (HOTS & Olimpiade)

Today Quote

Don’t stop when you’re tired. STOP when you are done. 

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Pangkat (Eksponen) Sederhana

Soal Nomor 1
Ubahlah bentuk berikut ke bentuk pangkat positif, kemudian hitunglah hasilnya.
a) $5^{-3}$
b) $4^{-2} \times 7^{-2}$
c) $\dfrac{8^{-6}} {8^{-2}}$
d) $(2^{-5})^{-2}$

Penyelesaian

Perpangkatan negatif didefinisikan sebagai $\boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}} $
Jawaban a)
$5^{-3} = \dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{5 \times 5 \times 5} = \dfrac{1}{125}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} 4^{-2} \times 7^{-2} & = \dfrac{1}{4^2} \times \dfrac{1}{7^2} \\ & = \dfrac{1}{16} \times \dfrac{1}{49} = \dfrac{1}{784} \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} \dfrac{8^{-6}} {8^{-2}} & = 8^{-6-(-2)} =8^{-4} \\ & = \dfrac{1}{8^4} = \dfrac{1}{8 \times 8 \times 8 \times 8}= \dfrac{1}{4.096} \end{aligned}$
Jawaban d)
$(2^{-5})^{-2} = 2^{-5 \times (-2)} = 2^{10} = 1.024$

[collapse]

Soal Nomor 2
Penulisan dalam bentuk baku (notasi ilmiah) adalah $a \times 10^n$ dengan $1 \leq a < 10$ dan $n$ bilangan bulat.
Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk baku.
a) $0,0053$
b) $0,00082$
c) $3^{-5}$
d) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^8$
e) $1 329 000 000 000 000$
f) $9 880 034 000 000 000$

Penyelesaian

Jawaban a)
$0,0053 = 5,3 \times 10^{-3}$
Jawaban b)
$0,00082 = 8,2 \times 10^{-4}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} 3^{-5} = \dfrac{1}{3^5} & = \dfrac{1}{243} \approx 0,004115226 \\ & = 4,115226 \times 10^{-3} \end{aligned}$
Jawaban d)
$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{2}\right)^8 & = (0,5)^8 = (5 \times 10^{-1})^8 \\ & = 390.625 \times 10^{-8} \\ & = 3,90625 \times 10^{-3} \end{aligned}$
Jawaban e)
$1 329 000 000 000 000 = 1,329 \times 10^{15}$
Ada $12$ angka nol (dari belakang) dan $3$ angka di belakang koma sehingga pangkatnya adalah $12+3=15$.
Jawaban f)
$9 880 034 000 000$ = 9,880034 \times 10^{12}$
Ada $6$ angka nol (dari belakang) dan $6$ angka di belakang koma sehingga pangkatnya adalah $6+6=15$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Nilai dari $\dfrac{5 \times 10^{-6} \times 1.000.000}{(100)^{-3}}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

$\begin{aligned}  & \dfrac{5 \times 10^{-6} \times 1.000.000}{(100)^{-3}} \\ & = \dfrac{5 \times 10^{-6} \times 10^6}{(10^2)^{-3}} \\ & = \dfrac{5 \times 10^{-6 + 6}} {10^{-6}} \\ & = 5 \times 10^{-6 + 6 – (-6)} = \boxed{5 \times 10^6} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Bentuk $\dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}}$ dapat disederhanakan menjadi $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Akar sekawan dari $\sqrt{7} – 2\sqrt{3}$ adalah $\sqrt{7} + 2\sqrt{3}$, sehingga
$$\begin{aligned} & \dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}} {\sqrt{7}-2\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{7} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{7}+2\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{3\sqrt{3}.\sqrt{7} + 3\sqrt{3}. 2\sqrt{3} +\sqrt{7}. \sqrt{7} + \sqrt{7}. 2\sqrt{3}} {(\sqrt{7})^2- (2\sqrt{3})^2} \\ & = \dfrac{3\sqrt{21} + 18 + 7 + 2\sqrt{21}} {7-12} \\ & = \dfrac{5\sqrt{21} + 25}{-5} \\ & = -\dfrac{\cancel{5}(\sqrt{21}+5)}{\cancel{5}} \\ & = -(\sqrt{21} + 5) \\ & = \boxed{-5 – \sqrt{21}} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 5
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3} -3\sqrt{5}}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Akar sekawan dari $2\sqrt{3} -3\sqrt{5}$ adalah $2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$, sehingga
$$\begin{aligned} & \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3} -3\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5}} {2\sqrt{3} – 3\sqrt{5}} \times \dfrac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} {2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3}.2\sqrt{3}+\sqrt{3}.3\sqrt{5} + \sqrt{5}. 2\sqrt{3} + \sqrt{5}. 3\sqrt{5}} {(2\sqrt{3})^2 -(3\sqrt{5})^2} \\ & = \dfrac{6 + 3\sqrt{15} + 2\sqrt{15} + 15}{12-45} \\ & = \dfrac{21+5\sqrt{15}} {-33} \\ & = \boxed{\dfrac{-21-5\sqrt{15}} {33}} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $^x \log \left(\dfrac{2}{9}\right)^3 = -2$

Penyelesaian

Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma, kita dapatkan
$\begin{aligned} x^{-2} & = \left(\dfrac{2}{9}\right)^3 \\ (x^{-2})^{-\frac{1}{2}} & = \left(\left(\dfrac{2}{9}\right)^3\right)^{-\frac{1}{2}} \\ x & = \left( \dfrac{9}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \dfrac{27}{2\sqrt{2}} = \dfrac{27}{4}\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{x = \dfrac{27}{4}\sqrt{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $^5 \log 3 = a$ dan $^3 \log 4 = b$. Nilai dari $^4 \log 15 = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} & ^5 \log 3 = a \iff ^3 \log 5 = \dfrac{1}{a} \\ & ^3 \log 4 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^4 \log 15 = \cdots$
Gunakan sifat logaritma berikut. 
$\boxed{^a \log b = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} ^4 \log 15 & = \dfrac{^3 \log 15}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{^3 \log (3 \times 5)}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{^3 \log 3 + ^3 \log 5}{^3 \log 4} \\ & = \dfrac{1 + \frac{1}{a}} {b} \\ & = \dfrac{1+\frac{1}{a}} {b} \times \dfrac{a} {a} \\ & = \boxed{\dfrac{a + 1}{ab}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui $^2 \log 3 = a$ dan $^2 \log 5 = b$. Nilai dari $^9 \log 150$ dalam $a$ dan $b$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui: 
$\begin{aligned} & ^2 \log 3 = a \\ &^2 \log 5 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^9 \log 150$
Gunakan sifat logaritma berikut. 
$\boxed{^a \log b = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} ^9 \log 150 & = \dfrac{^2 \log 150}{^2 \log 9} \\ & = \dfrac{^2 \log (2 \times 3 \times 5^2)} {^2 \log (3 \times 3)} \\ & = \dfrac{^2 \log 2 + ^2 \log 3 + 2 \cdot ^2 \log 5}{^2 \log 3 + ^2 \log 3} \\ & = \boxed{\dfrac{1 + a + 2b}{2a}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Bentuk sederhana dari $\left(\dfrac{9a^2b^{-1}c^3}{27a^{-1}b^2c^2}\right)^{-1}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \left(\dfrac{9a^2b^{-1}c^3}{27a^{-1}b^2c^2}\right)^{-1} & = \dfrac{27a^{-1}b^2c^2}{9a^2b^{-1}c^3} \\ & = 3a^{-1-2}b^{2-(-1)}c^{2-3} \\ & = 3a^{-3}b^3c^{-1} \\ & = \boxed{\dfrac{3b^3}{a^3c}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai dari $\dfrac{^3 \log^2 18 -^3 \log^2 2}{^3 \log 36}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Gunakan sifat pemfaktoran berikut. $\boxed{a^2-b^2 = (a+b) (a-b)}$
Dalam hal ini, $a = ^3 \log 18$ dan $b = ^3 \log 2$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} & \dfrac{^3 \log^2 18 -^3 \log^2 2}{^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log 18 -^3 \log 2)(^3 \log 18 + ^3 \log 2)}{^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log \frac{18}{2})(^3 \log (18 \times 2))} {^3 \log 36} \\ & = \dfrac{(^3 \log 9)(\cancel{^3 \log 36})} {\cancel{^3 \log 36}} \\ & = ^3 \log 9 = \boxed{2} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Bentuk sederhana dari
$\left(\dfrac{2x^{-1}y^2z^{-2}} {4xy^{-3}z^2}\right)^{-2}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \left(\dfrac{2x^{-1}y^2z^{-2}} {4xy^{-3}z^2}\right)^{-2} & = \left(\dfrac{y^{2-(-3)}}{2x^{1-(-1)}z^{2-(-2)}}\right)^{-2} \\ & = \left(\dfrac{y^5}{2x^2z^4}\right)^{-2} \\ & = \left(\dfrac{2x^2z^4}{y ^5}\right)^2 \\ & = \boxed{\dfrac{4x^4z^8}{y^{10}}}\end{aligned} $
Catatan: Nilai pangkat pada bentuk sederhana ini harus bernilai positif.

[collapse]

Soal Nomor 12
Bentuk $\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$ dapat disederhanakan menjadi $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Gunakan sifat akar berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn] {a} \\ & \sqrt{(a+b) -2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} – \sqrt{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}} & = \sqrt{\sqrt{49-20\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49-2 \cdot 10\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49 – 2\sqrt{100 \cdot 6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{(25+24)-2\sqrt{25 \cdot 24}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{25} -\sqrt{24}} \\ & = \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \\ & = \sqrt{(3+2) -2\sqrt{3 \cdot 2}} \\ & = \sqrt{3}-\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, bentuk $\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$ dapat disederhanakan menjadi $\sqrt{3}- \sqrt{2}$.

[collapse]

Soal Nomor 13 (Soal UN Matematika Tapel 2006/2007)
Bentuk sederhana dari $2\sqrt{2} + \sqrt{8} + \sqrt{32} + 2\sqrt{3} + \sqrt{12}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Sederhanakan bentuk akar yang ditandai dengan warna merah, kemudian operasikan dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
$$\begin{aligned} & 2\sqrt{2} + \color{red}{\sqrt{8}} + \color{red}{\sqrt{32}}+ 2\sqrt{3} + \color{red}{\sqrt{12}} \\ & = 2\sqrt{2} + \sqrt{4 \times 2} + \sqrt{16 \times 2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{4 \times 3} \\ & = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \\ & = (2+2+4)\sqrt{2} + (2+2)\sqrt{3} \\ & = \boxed{8\sqrt{2} + 4\sqrt{3}} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 14 (Soal UN Matematika Tapel 2007/2008)
Jika nilai $^2 \log 3 = a$ dan $^3 \log 5 = b$, maka $^6 \log 15 = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} & ^2 \log 3 = a \iff ^3 \log 2 = \dfrac{1}{a} \\ & ^3 \log 5 = b \end{aligned}$
Ditanya: $^6 \log 15 = \cdots$
Dengan menggunakan cara yang sama, diperoleh
$\begin{aligned} ^6 \log 15 & = \dfrac{^3 \log 15}{^3 \log 6} \\ & = \dfrac{^3 \log (5 \times 3)} {^3 \log (3 \times 2)} \\ & = \dfrac{^3 \log 5 + ^3 \log 3}{^3 \log 3 + ^3 \log 2} \\ & = \dfrac{b+1}{1+\dfrac{1}{a}} \\ & = \dfrac{b+1}{1+\dfrac{1}{a}} \times \dfrac{a} {a} \\ & = \boxed{\dfrac{a(1+b)} {1+a}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui $3^{2+x} = 45$, maka $3^{2x}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa persamaan $3^{2+x} = 45$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \cancel{3^2}.3^x & = \cancel{3^2}.5 \\ 3^x & = 5 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\  (3^x)^2 & = 5^2 \\ 3^{2x} & = 25 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $3^{2x}$ adalah $25$.

[collapse]

Soal Nomor 16
Ubahlah bentuk pangkat berikut dalam basis 10.
$10^9 \times 100^2 \times 1000^{-3} \times 10000^{-2} \times 2222^0$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $100 = 10^2, 1000 = 10^3, 10000=10^4$, dan $a^0 = 1$ untuk $a \neq 0$, sehingga bentuk pangkat di atas dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} & 10^9 \times (10^2)^2 \times (10^3)^{-3} \times (10^4)^{-2} \times 1 \\ & = 10^9 \times 10^4 \times 10^{-9} \times 10^{-8} \\ & = 10^{9 + 4 + (-9) + (-8)} = \boxed{10^{-4} = \dfrac{1}{10^4}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 17
Sederhanakan bentuk akar berikut.
$\sqrt{72} + \sqrt{50} \times \sqrt{288} -\sqrt{200}$

Penyelesaian

$$\begin{aligned} &\sqrt{72} + \sqrt{50} \times \sqrt{288}- \sqrt{200} \\ & = \sqrt{36 \times 2} + \sqrt{25 \times 2} \times \sqrt{144 \times 2} -\sqrt{100 \times 2} \\ & = 6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \times 12\sqrt{2}- 10\sqrt{2} \\ & = 6\sqrt{2} + (5 \times 12) \times 2 -10\sqrt{2} \\ & = -4\sqrt{2} + 120 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{-4\sqrt{2} + 120}$

[collapse]

Soal Nomor 18
$\left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1}$ dalam bentuk pangkat positif adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Ingat bahwa $x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ sehingga
$\begin{aligned} \left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1} & = \dfrac{x^{-1}-y^{-1}} {x^{-1}+y^{-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{y}} {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \\ & = \dfrac{\dfrac{y-x} {\cancel{xy}}} {\dfrac{x+y} {\cancel{xy}}} = \dfrac{y-x}{x+y} \end{aligned}$ 
Jadi, bentuk pangkat positif dari $\left(\dfrac{x^{-1} + y^{-1}} {x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1}$ adalah $\boxed{\dfrac{y-x} {x+y}}$

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika $^6 \log 3 = x$ dan $^6 \log 2 = y$, maka $^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} ^6 \log 3 & = x \\ ^6 \log 2 & = y \end{aligned}$
Ditanya: $^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2}$
Dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} ^6 \log \dfrac{2}{27}\sqrt{2} & = ^6 \log 2\sqrt{2} -^6 \log 27 \\ & = ^6 \log 2 + ^6 \log 2^{\frac{1}{2}} -^6 \log 3^3 \\ & = ^6 \log 2 + \dfrac{1}{2} \cdot ^6 \log 2 – 3 \cdot ^6 \log 3 \\ & = y + \dfrac{1}{2}y – 3x \\ & = \dfrac{3}{2}y -3x \\ & = \dfrac{-6x + 3y}{2} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika $x > 0$ dan $x \neq 1$ memenuhi bentuk $x^{\frac{1}{p}} \cdot x^{\frac{1}{q}} = x^{\frac{1}{pq}}$, di mana $p$ dan $q$ bilangan rasional, maka hubungan antara $p$ dan $q$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat perpangkatan, diperoleh
$\begin{aligned} x^{\frac{1}{p}} \cdot x^{\frac{1}{q}} & = x^{\frac{1}{pq}} \\ x^{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}} & = x^{\frac{1}{pq}} \end{aligned}$
Selanjutnya, gunakan hubungan pangkat bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} & = \dfrac{1}{pq} \\ \dfrac{p+q} {\cancel{pq}} & = \dfrac{1}{\cancel{pq}} \\ p+q & = 1 \end{aligned}$ 
Jadi, hubungan antara $p$ dan $q$ dinyatakan oleh persamaan $\boxed{p + q = 1}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah $2^{x+2}$. Jika panjang dua sisi yang lain adalah $4$ dan $2^{2x+1}$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Berdasarkan Teorema Pythagoras, berlaku
$\begin{aligned} 4^2 + (2^{2x+1})^2 & = (2^{x+2})^2 \\ 16 + 2^{4x+2} & = 2^{2x+4} \\ 16 + 2^{4x} \cdot 2^2 & = 2^{2x} \cdot 2^4 \\ & 16 + (2^{2x})^2 \cdot 4 & = 16 \cdot 2^{2x} \end{aligned}$
Misalkan $2^{2x} =a$, sehingga diperoleh 
$$\begin{aligned} 16 + a^2 \cdot 4 & = 16a \\ 4a^2 -16a + 16 & = 0 \\ a^2 -4a + 4 & = 0 && (\text{kedua ruas dibagi 4}) \\ (a -2)^2 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $a = 2$. Ini berarti, $2^{2x} = 2$, dan akibatnya nilai $x$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 22
Bentuk sederhana dari 
$\dfrac{^5 \log \sqrt{3} \cdot ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8 -^2 \log^2 2} = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Ingat bahwa $^a \log^b c = (^a \log c)^b$. 
Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} & \dfrac{^5 \log \sqrt{3} \cdot ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8 -^2 \log^2 2} \\ & = \dfrac{^5 \log 3^{\frac{1}{2}} \cdot ^{3^2} \log 5^3 + ^{2^4} \log 2^5}{(^2 \log 8 + ^2 \log 2)(^2 \log 8 -^2 \log 2)} \\ & = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot ^5 \log 3 \cdot \frac{3}{2} ^3 \log 5 + \frac{5}{4} ^2 \log 2}{(3 + 1)(3-1)} \\ & = \dfrac{\frac{3}{4} \cdot ^5 \log 5 + \frac{5}{4}} {4.2} \\ & = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} \end{aligned} $
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^5 \log \sqrt{3} \cdot ^9 \log 125 + ^{16} \log 32}{^2 \log^2 8 -^2 \log^2 2}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{4}}$

[collapse]

Soal Nomor 23
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\log \sqrt{^2 \log x + 8} = 1$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Ingat bahwa prinsip logaritma adalah: $a^c = b \iff ^a \log b = c$.
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} \log \sqrt{^2 \log x + 8} & = 1 \\ \cancel{\log} \sqrt{^2 \log x + 8} & = \cancel{\log} 10 \\ \sqrt{^2 \log x + 8} & = 10 \\ ^2 \log x + 8 & = 100 && (\text{Kuadratkan kedua ruas}) \\ ^2 \log x & = 92 \\ x &= 2^{92} \end{aligned}$$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x = 2^{92}$.

[collapse]

Soal Nomor 24
Hubungan antara kecepatan pompa sirkulasi dan kapasitas ditentukan dengan
$R = 356.(10)^{0,000152G}$
dengan $R$ adalah kecepatan (putaran/menit) dan $G$ adalah kapasitas (galon/menit). Apabila $R = 500$, nilai $G$ yang memenuhi persamaan adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui bahwa $R = 356.(10)^{0,000152G}$ dan $R = 500$, sehingga selanjutnya dapat ditulis
$\begin{aligned} 500 & = 356 \cdot (10)^{0,000152G} \\ \dfrac{500}{356} & = 10^{0,000152G} \\ ^{10} \log \dfrac{500}{356} & = 0,000152G \\ \log 500 -\log 356 & = 0,000152G \\ G & = \dfrac{\log 500 -\log 356}{0,000152} \end{aligned}$
Jadi, nilai $G$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{G = \dfrac{\log 500 – \log 356}{0,000152}}$

[collapse]

Join yuk: Telegram – Komunitas dan Aliansi Matematika Indonesia

Soal Nomor 25
Jika $p = (x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{3}} -x^{-\frac{1}{3}})$ dan $q = (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})(x -x^{\frac{1}{3}})$, maka $\dfrac{p} {q} = \cdots \cdot$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \dfrac{p} {q} & = \dfrac{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{3}}- x^{-\frac{1}{3}})} {(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})(x -x^{\frac{1}{3}})} \\ & = \dfrac{x(\cancel{(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})}\bcancel{(x^{\frac{1}{3}} -x^{-\frac{1}{3}})}} {\cancel{ (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})} x^{\frac{2}{3}}\bcancel{(x^{\frac{1}{3}} -x^{-\frac{1}{3}})}} \\ & = \dfrac{x} {x^{\frac{2}{3}}} \\ & = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\dfrac{p} {q} $ adalah $\boxed{\sqrt[3]{x}} $

[collapse]

Soal Nomor 26
Nilai $x$ yang memenuhi $8^{x+1} = 24^{x-1}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Persamaan berpangkat tersebut tidak dapat diselesaikan dengan cara standar karena $8$ dan $24$ tidak memiliki basis pangkat yang sama.
Logaritmakan kedua ruas, kemudian gunakan sifat-sifat logaritma untuk mencari nilai $x$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 8^{x+1} & = 24^{x-1} \\ \log 8^{x+1} & = \log 24^{x-1} \\ (x+1) \log 8 & = (x-1) \log 24 \\ x \log 8 + \log 8 & = x \log 24 -\log 24 \\ x \log 8- x \log 24 & = -\log 24 -\log 8 \\ x(\log 8 -\log 24) & = -\log 24 -\log 8 \\ x & = \dfrac{-\log 24 -\log 8}{\log 8 -\log 24} = \dfrac{\log 24 + \log 8}{\log 24 -\log 8} \\ x & = \dfrac{\log (8 \times 3) + \log 8}{\log \frac{24}{8}} \\ x & = \dfrac{\log 8 + \log 3 + \log 8}{\log 3} \\ x & = \dfrac{2 \log 8 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{2 \log 2^3 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{6 \log 2 + \log 3}{\log 3} \\ x & = \dfrac{6 \log 2}{\log 3} + \dfrac{\log 3}{\log 3} \\ x & = 6 \cdot ^3 \log 2 + 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan berpangkat di atas adalah $\boxed{x = 6 \cdot ^3 \log 2 + 1}$

[collapse]

Soal Nomor 27
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\dfrac{x^{\log 15x}} {27x^{\log 5x}} = 9$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x^{\log 15x}} {27x^{\log 5x}} & = 9 \\ \dfrac{1}{27} \times \dfrac{x^{\log 15x}} {x^{\log 5x}} & = 9 \\ x^{\log 15x -\log 5x} & = 9 \times 27 \\ x^{\log \frac{15\cancel{x} } {5\cancel{x}}} & = 3^2 \times 3^3 \\ x^{\log 3} & = 3^5 \end{aligned}$
Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma, bentuk terakhir dapat ditulis $\begin{aligned} ^x \log 3^5 & = \log 3 \\ ^x \cancel{\log 3^5} & = ^{10^5} \cancel{\log 3^5}\\ x & = 10^5 = 100.000\end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x = 100.000}$

[collapse]

Soal Nomor 28
Jika $\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{9} = \dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$, maka $a = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{2-\sqrt{3}} & = \dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \times \dfrac{2+\sqrt{3}} {2+\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3} \\ & = 2 + \sqrt{3} \end{aligned}$

Jadi, persamaannya dapat ditulis ulang menjadi
$\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{9} = 2 + \sqrt{3}$
Sekarang, perhatikan bahwa $\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = \sqrt{3}$, sehingga haruslah
$\begin{aligned} \sqrt[4]{a} & = 2 \\ (\sqrt[4]{a})^4 & = 2^4 \\ a & = 16 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $a$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $\boxed{a = 16}$

[collapse]

Soal Nomor 29
Jika $6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) = 3^{43}$, maka nilai $a = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} 6(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \\ 2.3(3^{40})(^2 \log a) + 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{41} \cdot 3^2 \\ 2\cancel{(3^{41})}(^2 \log a) + \cancel{3^{41}}(^2 \log a) & = \cancel{3^{41}} \cdot 9 \\ 2(^2 \log a) + ^2 \log a & = 9 \\ 3(^2 \log a) & = 9 \\ ^2 \log a & = \dfrac{9}{3}=3 \\ a & = 2^3 = 8 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $8$.

[collapse]

Soal Nomor 30
Nilai dari $\dfrac{5^{^{25} \log 9}} {8^{^2 \log 3}} = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Gunakan sifat logaritma berikut. $\boxed{a^{^a \log b} = b}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \dfrac{5^{^{25} \log 9}} {8^{^2 \log 3}} & = \dfrac{5^{^{\sqrt{25}} \log \sqrt{9}}}{8^{^{2^3} \log 3^3}} \\ & = \dfrac{5^{^5 \log 3}} {8^{^8 \log 27}} \\ & = \dfrac{3}{27} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 31
Jika $a = 0,111\cdots$, maka nilai $^a \log 729 = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Ubah $0,111\cdots$ menjadi bentuk pecahan biasa terlebih dahulu. Perhatikan bahwa,
$\begin{cases} a & = 0,111\cdots \\ 10a & = 1,111\cdots \end{cases}$
Kurangi persamaan 2 (bawah) dengan persamaan 1 (atas),
$\begin{aligned} 10a – a & = 1,111\cdots – 0,111\cdots \\ 9a & = 1 \\ a & = \dfrac{1}{9} = 9^{-1} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} ^a \log 729 & = 9^{-1} \log 9^3 \\ & = \dfrac{3}{-1} ^9 \log 9 = -3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{^{0,111\cdots} \log 729 = -3}$

[collapse]

Soal Nomor 32
Jika $m > 1, n > 1$, dan $x > 1$, maka bentuk sederhana dari $\dfrac{^n \log x} {1+^n \log m} = \cdots \cdot$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \dfrac{^n \log x} {1+^n \log m} & = \dfrac{^n \log x} {^n \log n + ^n \log m} \\ & = \dfrac{^n \log x} {^n \log mn} \\ & = ^{mn} \log x \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^n \log x} {1+^n \log m}$ adalah $\boxed{^{mn} \log x}$

[collapse]

Soal Nomor 33
Karakteristik $\log 1234,56789$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Nilai karakteristik logaritma ditentukan oleh numerusnya.
Jika diberikan $^a \log x = n$, maka: karakteristiknya 0 jika $1 < x < 10$, karakteristiknya 1 jika $10 < x < 100$,  karakteristiknya 2 jika $100 < x < 1000$ dan seterusnya.
Karena numerus logaritmanya yaitu $1234,56789$, berada di antara $1.000$ dan $10.000$, maka ini berarti karakteristik logaritmanya adalah $3$.

[collapse]

Soal Nomor 34
Jika $a > b > c > 1$, maka bentuk sederhana dari $\dfrac{^a \log b. ^c \log a} {^b \log a + ^c \log a}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log b. ^b \log c & = ^a \log c \\ ^a \log b + ^a \log c & = ^a \log bc \\ ^a \log b & = \dfrac{^c \log b} {^c \log a}\end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{^a \log b. ^c \log a} {^b \log a + ^c \log a} & = \dfrac{\dfrac{\log a} {\log b}. \dfrac{\log a} {\log c}} {\dfrac{\log a} {\log b} + \dfrac{\log a} {\log c}} \\ & = \dfrac{\dfrac{\log^2 a} {\cancel{\log b \log c}}} {\dfrac{\log a \log c + \log a \log b}{\cancel{\log b \log c}} } \\ & = \dfrac{\log^2 a} {\log a \log c + \log a \log b} \\ & = \dfrac{\log^{\cancel{2}} a} {\cancel{\log a}(\log c + \log b)} \\ & = \dfrac{\log a} {\log c + \log b} \\ & = \dfrac{\log a} {\log bc} \\ & = ^{bc} \log a \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{^a \log b. ^c \log a} {^b \log a + ^c \log a}$ adalah $\boxed{^{bc} \log a} $

[collapse]

Soal Nomor 35
Jika $a+b=1$ dan $a^2 + b^2 = 2$, maka $a^4 + b^4 = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Kuadratkan kedua ruas pada persamaan $a+b=1$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} (a+b)^2 & = 1^2 \\  a^2 + b^2 + 2ab & = 1 \\ 2 + 2ab & = 1 \\ 2ab & = -1 \\ ab & = -\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan kesimetrian bentuk pangkat, diperoleh
$\begin{aligned} a^4 + b^4 & = (a^2 + b^2)(a^2 + b^2) – 2(ab)^2 \\ & = (2)(2) – 2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ & = 4 – 2 \times \dfrac{1}{4} \\ & = 4 -\dfrac{1}{2} = 3\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{a^4 + b^4 = 3\dfrac{1}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 36
Jika $\dfrac{^2 \log a} {^3 \log b} = m$ dan $\dfrac{^3 \log a} {^2 \log b} = n, a > 1$, maka $\dfrac{m} {n} = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $\dfrac{m} {n} = m \times \dfrac{1}{n}$, sehingga
$\begin{aligned} \dfrac{m} {n} & = \dfrac{^2 \log a} {^3 \log b} \times \dfrac{^2 \log b} {^3 \log a} \\ & = \dfrac{\dfrac{^3 \log a} {^3 \log 2}} {^3 \log b} \times \dfrac{\dfrac{^3 \log b} {^3 \log 2}} {^3 \log a} \\ & = \dfrac{\cancel{^3 \log a \cdot ^3 \log b} } {^3 \log 2 \cdot ^3 \log 2} \times \dfrac{1}{\cancel{^3 \log b \cdot ^3 \log a}} \\ & = \dfrac{1}{(^3 \log 2)^2} = (^2 \log 3)^2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\dfrac{m} {n} = (^2 \log 3)^2$

[collapse]

Soal Nomor 37
Hasil dari $\dfrac{(^3 \log 45)^2 -(^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa bentuk pada pembilang dapat difaktorkan dengan mengikuti konsep: $a^2-b^2 = (a+b) (a-b)$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} &\dfrac{(^3 \log 45)^2 -(^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}} \\ & = \dfrac{(^3 \log 45 + ^3 \log 5)(^3 \log 45 -^3 \log 5)} {^3 \log 15^{\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{(^3 \log 225)(^3 \log 9)} {\frac{1}{3} \cdot ^3 \log 15} \\ & = \dfrac{(^3 \log 15^2)(2)} {\frac{1}{3} \cdot ^3 \log 15} \\ & = \dfrac{(2)(2)\cancel{(^3 \log 15)}} {\frac{1}{3} \cdot \cancel{^3 \log 15}} \\ & = \dfrac{4}{\frac{1}{3}} = 12 \end{aligned}$
Jafi, nilai dari $\dfrac{(^3 \log 45)^2 -(^3 \log 5)^2}{^3 \log \sqrt[3]{15}}$ adalah $\boxed{12}$

[collapse]

Soal Nomor 38
Jika $60^a = 3$ dan $60^b = 5$, maka nilai dari $12^{\frac{1-a-b} {2-2b}} $ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui:
$\boxed{\begin{aligned} 60^a = 3 & \iff a = ^{60} \\ 60^b = 5 & \iff b = ^{60} \log 5 \end{aligned}}$
Sederhanakan dulu ekspresi pangkatnya. 
$\begin{aligned} \dfrac{1-a-b} {2-2b} & = \dfrac{1-^{60} \log 3 -^{60} \log 5}{2-2(^{60} \log 5)} \\ & = \dfrac{^{60} \log 60 -^{60} \log 3 -^{60} \log 5}{^{60} \log 60^2 -^{60} \log 25} \\ & = \dfrac{^{60} \log (60 \div 3 \div 5)} {^{60} \log (3600 \div 25)} \\ & = \dfrac{^{60} \log 4}{^{60} \log 144} \\ & = ^{144} \log 4 = ^{12} \log 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$12^{^{12} \log 2} = 2$
Jadi, nilai dari $12^{\frac{1-a-b} {2-2b}}$ adalah $\boxed{2}$

[collapse]

Soal Nomor 39
Tentukan hasil dari $\dfrac{5^{2-n} -(0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n}$.

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat: $\boxed{\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}}$ dan definisi bahwa $\boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}$, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{5^{2-n} -(0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n} & = \dfrac{\dfrac{5^2}{5^n} -\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}{\dfrac{5}{5^n} + \left(\dfrac{1}{5}\right)^n} \\ & = \dfrac{\dfrac{25}{5^n} -\dfrac{1}{5^n}}{\dfrac{5}{5^n} + \dfrac{1}{5^n}} \\ & = \dfrac{\dfrac{25 -1}{\cancel{5^n}}}{\dfrac{5+1}{\cancel{5^n}}} \\ & = \dfrac{25-1}{5+1} = \dfrac{24}{6} = 4 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{5^{2-n} -(0,2)^n}{5^{1-n} + (0,2)^n} = 4}$

[collapse]

Soal Nomor 40
Jika $3^{\frac{x}{y}}$ adalah penyederhanaan dari $\sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}}$, tentukan nilai $x+y$.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $3, 9, 27$ memiliki basis perpangkatan yang sama dan ingat bahwa $\boxed{\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}}$, sehingga
$\begin{aligned} \sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}} & = \sqrt{3\sqrt{9\sqrt{3^3}}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{9(3^{\frac{3}{2}})}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{3^2(3^{\frac{3}{2}})}} \\ & = \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{2}}}} \\ & = \sqrt{3(3^{\frac{7}{4}})} \\ & = \sqrt{3^{\frac{11}{4}}}= 3^{\frac{11}{8}} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\sqrt{3\sqrt{9\sqrt{27}}}$ adalah $3^{\frac{11}{8}}$, sehingga diperoleh nilai $x = 11$ dan $y = 8$. Dengan demikian, $\boxed{x + y = 11 + 8 = 19}$

[collapse]

Soal Nomor 41
Tentukan nilai dari $\dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}}$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat bahwa $\boxed{a^{m – n} = \dfrac{a^m}{a^n}}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}} & = \dfrac{1}{1 + \dfrac{a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{1 + \dfrac{a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{a^q}{a^q} + \dfrac{a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{\dfrac{a^p}{a^p} + \dfrac{a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{a^q + a^p}{a^q}} + \dfrac{1}{\dfrac{a^p + a^q}{a^p}} \\ & = \dfrac{a^q}{a^q + a^p} + \dfrac{a^p}{a^p + a^q} \\ & = \dfrac{a^p + a^q}{a^p + a^q} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{1}{1+a^{p-q}} + \dfrac{1}{1+a^{q-p}}=1}$

[collapse]

Soal Nomor 42
Apabila $a = 0,909090\cdots$ dan $b = 1,331$, maka $^a \log b = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Ubah $a$ menjadi bentuk pecahan biasa sebagai berikut.
$\begin{aligned} a & = 0,909090\cdots \\ 100a & = 90,909090\cdots \\ & \rule{3 cm} {0.8pt}~- \\ 99a & = 90 \\ a & = \dfrac{90}{99} = \dfrac{10}{11} \end{aligned}$
Selanjutnya, $b = 1,331 = \dfrac{1331}{1000}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} ^a \log b & = ^{\frac{10}{11}} \log \dfrac{1331}{1000} \\ & = ^{\frac{10}{11}} \log \left(\dfrac{11}{10}\right)^3 \\ & = 3 \times ^{\frac{10}{11}} \log \dfrac{11}{10} \bigstar\\ & = -3 \end{aligned}$

Jadi, nilai dari $\boxed{^a \log b = -3}$
NB: $\bigstar$ Gunakan sifat bahwa $\boxed{^{\frac{a}{b}} \log \dfrac{b} {a} = – ^{\frac{a} {b}} \log \dfrac{a}{b} = -1}$

[collapse]

Soal Nomor 43
Jika diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x > 1$ dan $y > 0, xy = x^y$, dan $\dfrac{x} {y} = x^{5y}$, maka $x^2 +3y = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Misalkan $xy = x^y$ disebut sebagai persamaan pertama, sedangkan $\dfrac{x} {y} = x^{5y}$ disebut sebagai persamaan kedua.
Pandang persamaan kedua.
$\begin{aligned} \dfrac{x}{y} & = x^{5y} \\ y & = \dfrac{x} {x^{5y}} = x^{1-5y} \end{aligned}$
Substitusikan ini ke persamaan pertama:
$\begin{aligned} x(x^{1-5y}) & = x^y \\ x^{2-5y} & = x^y \\ 2 -5y & = y \\ y & =\dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Substitusikan $y = \dfrac{1}{3}$ ke persamaan kedua, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 3x & = x^{\frac{5}{3}} \\ ^x \log 3x & = \dfrac{5}{3} \\ ^x \log x + ^x \log 3 & =\dfrac{5}{3} \\ 1 + ^x \log 3 & = \dfrac{5}{3} \\ ^x \log 3 & = \dfrac{2}{3} \\ x & = 3^{\frac{3}{2}} = \sqrt{27} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\boxed{x^2 + 3y = (\sqrt{27})^2 + 3\left(\dfrac{1}{3}\right) = 28}$

[collapse]

Soal Nomor 44
Jika $^4 \log ^4 \log x -^4 \log ^4 \log ^4 \log 16 = 2$, maka $x = \cdots \cdot$

Penyelesaian

$$\begin{aligned} ^4 \log ^4 \log x -^4 \log ^4 \log ^4 \log 16 & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x -^4 \log ^4 \log 2 & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x -^4 \log \dfrac{1}{2} & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x -^{2^2} \log 2^{-1} & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x + \dfrac{1}{2} & = 2 \\ ^4 \log ^4 \log x & = \dfrac{3}{2} \\ ^4 \log x & = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 8 \\ x = 4^8 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $x$ adalah $\boxed{x = 4^8}$

[collapse]

Soal Nomor 45
Persamaan $^{x^2-6x+14} \log (x-3) = ^{4x^2-4x+1} \log (x^2-6x+9)$ akan bernilai benar apabila nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan ruas kanan persamaan tersebut. Dengan menggunakan sifat bahwa $\boxed{a^n \log b^n = a \log b}$, diperoleh
$$\begin{aligned} ^{4x^2-4x+1} \log (x^2-6x+9) & = ^{(2x-1)^2} \log (x-3)^2 \\ & = ^{2x-1} \log (x-3) \end{aligned}$$
Dengan demikian, persamaannya dapat ditulis sebagai berikut. $\begin{aligned} ^{x^2-6x+14} \cancel{\log (x-3)} & = ^{2x-1} \cancel{\log (x-3)} \\ x^2-6x+14 & = 2x -1 \\ x^2 -8x + 15 & = 0 \\ (x-3)(x-5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 3$ atau $x = 5$
Sekarang, ingat bahwa numerus logaritma haruslah positif, sehingga $x -3 > 0 \iff \boxed{x > 3}$
Untuk itu, hanya $x = 5$ yang memenuhi syarat ini, sehingga agar persamaan yang diberikan bernilai benar, nilai $x$ adalah $\boxed{x=5}$.

[collapse]

Soal Nomor 46
Bentuk $\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ dapat disederhanakan menjadi $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Ingat bahwa $\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$.
Untuk itu, dapat kita tuliskan

$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}} & = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{4 \cdot \frac{3}{4}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2 + 2\sqrt{\frac{3}{4}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right) + 2\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}} \times \dfrac{\sqrt{\frac{3}{2}} -\sqrt{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}- \sqrt{\frac{1}{2}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{9} -\sqrt{3} + \sqrt{3} – \sqrt{1}} {\frac{3}{2} -\frac{1}{2}} \\ & = \dfrac{3-1}{1} = 2 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {\sqrt{2+\sqrt{3}}} = 2}$

[collapse]

Soal Nomor 47
Diketahui $\log 3,16 = 0,5$. Nilai dari $(3,16)^4$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

$$\begin{aligned} \log 3,16 & = 0,5 \\ 10^{0,5} & = 3,16 && (^a \log b = c \iff a^c = b) \\ (10^{0,5})^4 & = (3,16)^4 \\ 10^2 = 100 & = (3,16)^4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{(3,16)^4 = 100}$

[collapse]

Soal Nomor 48
Misalkan $^a \log b = 2, ^b \log c = 3$, dan $^c \log d = 4$, maka nilai dari $^{abc} \log d$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log bc & = ^a \log b + ^a \log c \\ ^a \log b & = \dfrac{^c \log b}{^c \log a}, c > 0 \\ ^a \log b \cdot ^b \log c & = ^a \log c \end{aligned}}$
Diketahui: $^a \log b = 2, ^b \log c = 3$, dan $^c \log d = 4$. Dengan menggunakan sifat perkalian logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} ^a \log b \cdot ^b \log c & = 2 \cdot 3 \\ ^a \log c & = 6 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} ^a \log b \cdot ^b \log c \cdot ^c \log d & = 2 \cdot 3 \cdot 4 \\ ^a \log d & = 24 \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} ^{abc} \log d & = \dfrac{^a \log d}{^a \log (abc)} \\ & = \dfrac{^a \log d}{^a \log a + ^a \log b + ^a \log c} \\ & = \dfrac{24}{1+2+6} \\ & = \dfrac{24}{9} = \dfrac{8}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $^{abc} \log d$ adalah $\boxed{\dfrac{8}{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 49
Jika $x = \dfrac{3}{9}$ dan $y = 0,111\cdots$, maka nilai dari $(^x \log y)a^{^a \log 10}$ dengan $a>1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $20$                       D. $2a$
B. $10a$                      E. $\frac{1}{2}$
C. $2$

Penyelesaian

Diketahui
$\begin{aligned} x & = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} = 3^{-1} \\ y & = 0,111\cdots = \dfrac{1}{9} = 3^{-2} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa bentuk $a^{^a \log b} = b$ untuk $a > 1$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (^x \log y)a^{^a \log 10} & = (^{3^{-1}} \log 3^{-2}) \cdot 10 \\ & = \dfrac{-2}{-1} \cdot ^3 \log 3 \cdot 10 \\ & = 2 \cdot 1 \cdot 10 = 20 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $(^x \log y)a^{^a \log 10}$ adalah $\boxed{20}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 50 (Soal Aplikasi Peluang dan Logaritma)
Dalam suatu kotak terdapat bola hitam dan bola putih. Jika peluang muncul bola hitam adalah $\log x$ dan peluang muncul bola putih adalah $\log 2x$ , tentukan nilai $x^2 + 1$.

Penyelesaian

Gunakan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} \log a + \log b & = \log bc \\ ^a \log b = c \iff b & = a^c \end{aligned}}$
Peluang mendapatkan bola hitam atau bola putih dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \log x + \log 2x & = 1 \\ \log 2x^2 & = 1 \\ 2x^2 & = 10 \\ x^2 & = 5 \\ x^2 + 1 & = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $x^2+1$ adalah $\boxed{6}$

[collapse]

Soal Nomor 51
Tentukan bentuk sederhana dari $\sqrt{6 + \sqrt{20}}$

Penyelesaian

Gunakan sifat berikut.
$\boxed{ \sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \sqrt{6 + \sqrt{20}} & = \sqrt{6 + \sqrt{4 \times 5}} \\ & = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} \\ & = \sqrt{(5 + 1) + 2\sqrt{5 \times 1}} \\ & = \sqrt{5} + \sqrt{1} \\ & = 1 + \sqrt{5} \end{aligned}$

Jadi,  bentuk sederhana dari  $\sqrt{6 + \sqrt{20}}$ adalah $\boxed{1 + \sqrt{5}}$

[collapse]

Soal Nomor 52
Jika $x>0$ dan $y>0$, maka $\dfrac{3-3 \log^2 xy} {1- \log x^3y^2 + 2 \log x\sqrt{y}} = \cdots \cdot$
A. $3+\log xy$             D. $\dfrac{1}{3}$
B. $3 \log xy$                 E. $3$
C. $3 \log 10xy$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \dfrac{3-3 \log^2 xy} {1- \log x^3y^2 + 2 \log x\sqrt{y}} \\ & = \dfrac{3(1- \log^2 xy)} {1 -(\log x^3y^2 -\log (x\sqrt{y})^2)} \\ & = \dfrac{3\cancel{(1- \log xy)}(1 + \log xy)} {\cancel{1 -\log xy}} \\ & = 3(1 + \log xy) \\ & = 3(\log 10 + \log xy) \\ & = 3 \log 10xy \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{3-3 \log^2 xy} {1- \log x^3y^2 + 2 \log x\sqrt{y}} = 3 \log 10xy}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 53
Hasil dari $\dfrac{9 -\log^2 a^3b^3}{1 -\log a^5b^3 + 2 \log a^2b} = \cdots \cdot$
A. $9 + \log 10ab$
B. $3 + \log 10ab$
C. $3 + 3 \log ab$
D. $9 + 9 \log ab$
E. $\log ab$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \dfrac{9 -\log^2 a^3b^3}{1 -\log a^5b^3 + 2 \log a^2b} \\ & = \dfrac{(3 + \log a^3b^3)(3 -\log a^3b^3)}{1 -\log a^5b^3 + \log a^4b^2} \\ & = \dfrac{(3 + 3 \log ab)(3 -3 \log ab)}{1 -\left(\log \dfrac{a^5b^3}{a^4b^2}\right)} \\ & = \dfrac{3(1 + \log ab) \cdot 3\cancel{(1 -\log ab)}}{\cancel{1 -\log ab}} \\ & = 9(1 + \log ab) \\ & = 9 + 9 \log ab \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{9 – \log^2 a^3b^3}{1 -\log a^5b^3 + 2 \log a^2b} = 9 + 9 \log ab}$

[collapse]

Soal Nomor 54
Jika $u=x^2$ dan $^x \log 10 = ^u \log (5u-40)$, maka nilai $u$ adalah $\cdots \cdot$
A. $25$                    C. $27$                   E. $29$
B. $26$                    D. $28$          

Penyelesaian

Substitusikan $u=x^2$ pada persamaan logaritma tersebut. 
$\begin{aligned} ^x \log 10 & = ^u \log (5u-40) \\ ^x \log 10 & = ^{x^2} \log (5u-40) \\ ^x \log 10 & = \dfrac{1}{2} \cdot ^x \log (5u-40) \\ \bcancel{^x \log} 10 & = \bcancel{^x \log} \sqrt{5u-40} \\ 10 & = \sqrt{5u-40} \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 10^2 & = (\sqrt{5u-40})^2 \\ 100 & = 5u-40 \\ 140 & = 5u \\ u & = \dfrac{140}{5} = 28 \end{aligned}$
Jadi, nilai $u$ adalah $\boxed{28}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 55
Jika $x \log 2- y \log 3 + z \log 5 = 10$ maka $2x + 8y -3z = \cdots \cdot$
A. $-20$                     C. $0$                    E. $20$
B. $-10$                     D. $10$        

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat logaritma, diperoleh
$\begin{aligned} x \log 2 -y \log 3 + z \log 5 & = 10 \\ \log 2^x -\log 3^y + \log 5^z & = 10 \\ \cancel{\log} \left(\dfrac{2^x \cdot 5^z} {3^y}\right) & = \cancel{\log} 10^{10} \\ \dfrac{2^x \cdot 5^z} {3^y} & = 10^{10} \end{aligned}$
Karena $2, 3, 5$ merupakan bilangan prima, maka bentuk pecahan $\dfrac{2^x \cdot 5^z} {3^y}$ sudah dalam bentuk paling sederhana. Ini berarti $3^y$ haruslah bernilai $1$ (jika tidak, hasilnya akan berupa pecahan). 
Jadi, $y$ yang memenuhi adalah $0$.
Untuk itu, 
$2^x \cdot 5^z = 10^{10}$
Pilih $x = z = 10$, sehingga
$2^{10} \cdot 5^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 10^{10}$
Jadi, hasil dari
$\boxed{2x + 8y -3z = 2(10) + 8(0) – 3(10) = -10}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 56
Jika $a^x = b^y = c^z$ dan $b^2=ac$, maka $x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{2yz}{y+z}$                  D. $\dfrac{yz}{2y-z}$
B. $\dfrac{2yz}{2z-y}$                  E. $\dfrac{yz}{2z-y}$
C. $\dfrac{2yz}{2y-z}$

Penyelesaian

Misalkan $a^x = b^y = c^z = k^{xyz}$, sehingga $a = k ^{yz}, b = k^{xz}$, dan $c = k^{xy}$
Dengan demikian, dari persamaan $b^2=ac$, berlaku
$\begin{aligned} (k^{xz})^2 & = k^{yz}k^{xy} \\ k^{2xz} & = k^{yz + xy} \\ 2xz & = yz + xy \\ x(2z -y) & = yz \\ x & = \dfrac{yz}{2z-y} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{x = \dfrac{yz}{2z-y}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 57
Jika $x \neq y$ memenuhi persamaan $5x ^3 \log 2^y = x ^3 \log 2^x + y ^3 \log 2^{4y}$, maka nilai $\dfrac{x}{y}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$            B. $2$          C. $3$           D. $4$           E. $5$

Penyelesaian

Sederhanakan persamaan yang diberikan.
$\begin{aligned} 5x~^3 \log 2^y & = x~^3 \log 2^x + y~^3 \log 2^{4y} \\ 5xy ~\cancel{^3 \log 2} & = x^2~\cancel{^3 \log 2} + 4y^2~\cancel{^3 \log 2} \\ 5xy & = x^2 + 4y^2 \\ x^2 -5xy + 4y^2 & = 0 \\ (x -y)(x -4y) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $x = y$ atau $x = 4y$, tetapi karena diberikan bahwa $x \neq y$ (pada soal), maka dipilih $x = 4y$. Dengan demikian,
$\boxed{\dfrac{x}{y} = \dfrac{4y}{y} = 4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 58
Bentuk sederhana dari $\dfrac{(\sqrt2-1)^{1-\sqrt3}}{(\sqrt2+1)^{1+\sqrt3}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1-2\sqrt2$                 D. $3-3\sqrt2$
B. $2-2\sqrt2$                 E. $2\sqrt2$
C. $3-2\sqrt2$

Penyelesaian

Sederhanakan dengan menerapkan sifat akar.
$\begin{aligned}\dfrac{(\sqrt2-1)^{1-\sqrt3}}{(\sqrt2+1)^{1+\sqrt3}} & = \dfrac{\dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2-1)^{\sqrt3}}}{(\sqrt2+1)(\sqrt2+1)^{\sqrt3}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{\color{red}{(\sqrt2-1)^{\sqrt3}}(\sqrt2+1)\color{red}{(\sqrt2+1)^{\sqrt3}}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(2-1)^{\sqrt3}} \\ & = \dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1} \times \color{red}{\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}} \\ & = \dfrac{2 -2\sqrt2 + 1}{2 -1} \\ & = 3 -2\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{(\sqrt2-1)^{1-\sqrt3}}{(\sqrt2+1)^{1+\sqrt3}}$ adalah $\boxed{3 – 2\sqrt2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 59
Jika $b > 1, x > 0$ dan $(2x)^{^b \log 2} = (3x)^{^b \log 3}$, maka $x = \cdots$
A. $\dfrac{1}{216}$                           D. $6$
B. $\dfrac16$                                 E. $216$
C. $1$

Penyelesaian

Logaritmakan kedua ruas, kemudian sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.
$$\begin{aligned} (2x)^{^b \log 2} & = (3x)^{^b \log 3} \\ ^b \log (2x)^{^b \log 2} & = ^b \log (3x)^{^b \log 3} \\ ^b log 2 \cdot ^b \log 2x & = ^b \log 3 \cdot ^b \log 3x \\ ^b log 2 \cdot (^b \log 2 + ^b \log x) & = ^b \log 3 \cdot (^b \log 3 + ^b \log x) \\ (^b \log 2)^2 + ^b log 2 \cdot ^b \log x & = (^b \log 3)^2 + ^b log 3 \cdot ^b \log x \\ (^b \log 2)^2 -(^b \log 3)^2 &= ^b \log 3 \cdot ^b \log x -^b \log 2 \cdot ^b \log x \\ (^b \log 2 + ^b \log 3)(^b \log 2 -^b \log 3) & = ^b \log x(^b \log 3 -^b \log 2) \\ ^b \log 6 \cdot \cancel{^b \log \dfrac23} & = ^b \log x \cdot (-1) \cancel{^b \log \dfrac23} \\ \cancel{^b \log} 6 & = \cancel{^b \log} x^{-1} \\ x^{-1} & = 6 \\ x & = \dfrac16 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $x$ adalah $\boxed{\dfrac16}$
(Jawaban B)

[collapse]

CategoriesEksponen dan LogaritmaTags, , , , , , , , ,

Leave a Reply to anisah ainun zahrah Cancel reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *