Dalam matematika, trigonometri diartikan sebagai ilmu yang mempelajari mengenai hubungan sudut dan sisi dalam sebuah segitiga. Trigonometri merupakan salah satu materi matematika tingkat SMA yang banyak membuat siswa mengeluh karena dianggap sulit dipahami. Hal ini diduga karena banyaknya istilah baru yang wajib “dihafal” oleh siswa, apalagi dikolaborasikan dengan rumus-rumusnya yang bisa dibilang cukup banyak. Di lain sisi, siswa sebenarnya tidak dituntut untuk menghafal seluruh rumus yang ada, melainkan harus mampu bernalar dan memahami maksud dan asal muasal rumus yang bersangkutan. Ini adalah PR kita bersama khususnya bagi para guru matematika untuk dapat membuat pembelajaran trigonometri di kelas menjadi lebih interaktif dan mudah dipahami oleh siswa, dengan catatan tanpa memaksa mereka semata-mata untuk menghafalkan rumus yang tertera di buku paket pelajaran.
Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di . Folder soal tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Today Quote
Trigonometri berisi kisah yang cukup panjang, mulai dari bagian dasar sampai kompleks. Kali ini, disediakan soal dan pembahasan mengenai perbandingan trigonometri bagian dasar (pengenalan) dengan cakupan tentang konsep sudut dan penggunaan perbandingan trigonometri, yakni sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, dan kotangen. Catatan: soal-soal berikut ini sebagian besar diambil dari buku LKS Matematika Wajib Kelas X Semester 2 yang dikarang oleh Sdr. Nur Aksin dan Sdr. Anna Yuni Astuti dan diterbitkan oleh Intan Pariwara.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Perbandingan Trigonometri
Ada 6 jenis perbandingan trigonometri, yaitu sinus, kosinus, tangen, cosekan, sekan, dan kotangen. Perbandingan yang dimaksud adalah pada panjang sisi segitiga siku-siku.
Pada segitiga $ABC$ yang siku-siku di $B$, berlaku
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{BC}{AC}~~~~~~\csc \alpha = \dfrac{AC}{BC} \\ \cos \alpha & = \dfrac{AB}{AC}~~~~~~\sec \alpha = \dfrac{AC}{AB} \\ \tan \alpha & = \dfrac{BC}{AB}~~~~~~\cot \alpha= \dfrac{AB}{BC} \end{aligned}$
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah $\cdots \cdot$
A. $30^{\circ}$ D. $330^{\circ}$
B. $60^{\circ}$ E. $390^{\circ}$
C. $300^{\circ}$
Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam sehingga tandanya negatif, yakni $-30^{\circ}.$ Karena satu putaran sama dengan $360^{\circ},$ haruslah $-30^{\circ}$ sama dengan $(360-30)^{\circ} = 330^{\circ}.$
Jadi, besar sudutnya adalah $\boxed{330^{\circ}}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 2
Besar sudut $\dfrac34\pi~\text{rad}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $75^{\circ}$ D. $210^{\circ}$
B. $105^{\circ}$ E. $270^{\circ}$
C. $135^{\circ}$
Ingat bahwa $\pi~\text{rad} = 180^{\circ}.$ Dengan demikian,
$\begin{aligned} \dfrac34\pi~\text{rad} & = \dfrac{3}{\cancel{4}} \times \cancelto{45}{180}^{\circ} \\ & = 3 \times 45^{\circ} = 135^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $\dfrac34\pi~\text{rad}$ sama dengan $\boxed{135^{\circ}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 3
Besar sudut $72^{\circ}$ sama dengan $\cdots~\text{rad}.$
A. $\dfrac15\pi$ D. $\dfrac34\pi$
B. $\dfrac25\pi$ E. $\dfrac56\pi$
C. $\dfrac23\pi$
Ingat bahwa $1^{\circ} = \dfrac{\pi}{180}~\text{rad}.$ Dengan demikian,
$\begin{aligned} 72^{\circ} & = \cancelto{2}{72} \times \dfrac{\pi}{\cancelto{5}{180}}~\text{rad} \\ & = \dfrac25\pi~\text{rad}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $72^{\circ}$ sama dengan $\boxed{\dfrac25\pi~\text{rad}}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 4
Perhatikan gambar di bawah.
Segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Pernyataan berikut ini benar, kecuali $\cdots \cdot$
A. $\sin \alpha = \dfrac{BC}{AB}$
B. $\sin \beta = \dfrac{AC}{AB}$
C. $\cos \alpha = \dfrac{AC}{AB}$
D. $\cos \beta = \dfrac{BC}{AC}$
E. $\tan \alpha = \dfrac{BC}{AC}$
Berdasarkan gambar di atas, perbandingan trigonometri untuk sinus, kosinus, dan tangen dari sudut $\alpha$ dan $\beta$ adalah sebagai berikut.
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{BC}{AB} \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{AC}{AB} \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{BC}{AC} \\ \sin \beta & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{AC}{AB} \\ \cos \beta & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{BC}{AB} \\ \tan \beta & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{AC}{BC} \end{aligned}$
Jadi, dari kelima pernyataan (pilihan) yang diberikan, pernyataan yang salah ada pada pilihan jawaban D.
Soal Nomor 5
Perhatikan gambar berikut.
Nilai $\cos \alpha$ adalah $\cdots \cdot$
A. 1 C. $\dfrac12\sqrt3$ E. $\dfrac13\sqrt3$
B. $\sqrt3$ D. $\dfrac12$
Dengan teorema Pythagoras, panjang $c = AB$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} c & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2+1^2} \\ & = \sqrt4=2 \end{aligned}$
Kosinus sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku. Untuk itu, $\boxed{\cos \alpha = \dfrac{b}{c} = \dfrac{1}{2}}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 6
Diketahui koordinat titik $A(-2\sqrt2,-2\sqrt2).$ Koordinat kutub dari titik $A$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(4,210^{\circ})$ D. $(5,240^{\circ})$
B. $(2,240^{\circ})$ E. $(4,225^{\circ})$
C. $(2,225^{\circ})$
Diketahui $x = y = -2\sqrt2.$ Koordinat kutubnya berbentuk $(r, \theta)$ dengan
$\begin{aligned} r & = \sqrt{x^2+y^2} \\ & = \sqrt{(-2\sqrt2)^2+(-2\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{8+8} = 4. \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} & \tan \theta = \dfrac{y} {x} = \dfrac{-2\sqrt2}{-2\sqrt2} = 1 \\ & \Rightarrow \theta = 45^{\circ} \lor 225^{\circ}. \end{aligned}$
Karena titik $A$ berada di kuadran III (nilai $x$ dan $y$ negatif), haruslah $\theta = 225^{\circ}.$ Jadi, koordinat kutub dari $A(-2\sqrt2,-2\sqrt2)$ adalah $\boxed{(4, 225^{\circ})}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 7
Segitiga $KLM$ memiliki koordinat $K(-5, -2),$ $L(3, -2),$ dan $M(-5,4).$ Nilai $\cos L$ dan $\tan M$ berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac35$ dan $\dfrac34$
B. $\dfrac34$ dan $\dfrac35$
C. $\dfrac34$ dan $\dfrac43$
D. $\dfrac45$ dan $\dfrac34$
E. $\dfrac45$ dan $\dfrac43$
Pertama, sketsakan segitiga $KLM$ pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.
Tampak bahwa segitiga $KLM$ merupakan segitiga siku-siku (di $L$).
Dari gambar di atas, diketahui bahwa $KL = 3 -(-5) = 8;$ $KM = 4 -(-2) = 6.$
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} LM & = \sqrt{KL^2 + KM^2} \\ & = \sqrt{8^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10. \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} \cos L & = \dfrac{KL}{LM} = \dfrac{8}{10} = \dfrac45 \\ \tan M & = \dfrac{KL}{KM} = \dfrac86 = \dfrac43. \end{aligned}$
Jadi, nilai $\cos L$ dan $\tan M$ berturut-turut adalah $\boxed{\dfrac45}$ dan $\boxed{\dfrac43}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 8
Diketahui segitiga $PQR$ memiliki koordinat $P(-3,2),$ $Q(-3, -2),$ dan $R(3,2).$ Nilai $\dfrac{3 \sec R}{\csc Q} = \cdots \cdot$
A. $1$ D. $\sqrt{13}$
B. $2$ E. $2\sqrt{13}$
C. $3$
Pertama, sketsakan segitiga $KLM$ pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.
Tampak bahwa segitiga $PQR$ merupakan segitiga siku-siku (di $P$).
Tanpa menganalisis lebih jauh mengenai panjang sisi segitiga $PQR$, kita sebenarnya dapat langsung menghitung nilai dari $\dfrac{3 \sec R}{\csc Q}$ seperti berikut dengan mengingat bahwa sekan merupakan kebalikan dari kosinus (mi/sa), sedangkan kosekan merupakan kebalikan dari sinus (mi/de). Jadi,
$\dfrac{3 \sec R}{\csc Q} = \dfrac{3 \times \cancel{\dfrac{QR}{PR}}}{\cancel{\dfrac{QR}{PR}}} = 3.$
(Jawaban C)
Soal Nomor 9
Diketahui $\triangle ABC$ siku-siku di $B$. Jika $\cos A = \dfrac34,$ maka nilai $\cot A = \cdots \cdot$
A. $\sqrt{7}$ D. $\dfrac34\sqrt7$
B. $\dfrac37\sqrt7$ E. $\dfrac43\sqrt7$
C. $\dfrac47\sqrt7$
Kosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu, $\cos A = \dfrac{3}{4} = \dfrac{AB}{AC}.$
Misalkan $AB = 3$ dan $AC = 4,$ maka dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AC^2 -AB^2} \\ & = \sqrt{(4)^2-(3)^2} = \sqrt{7}. \end{aligned}$
Kotangen sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi depan sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu, $\cot A = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{\sqrt7} = \dfrac37\sqrt7.$
Jadi, nilai $\boxed{\cot A = \dfrac37\sqrt7}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 10
Diketahui $P$ merupakan sudut lancip. Jika $\tan P = \dfrac{5\sqrt{11}}{11},$ maka nilai $\sin P = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{5}{\sqrt{11}}$ D. $\dfrac{\sqrt{11}}{5}$
B. $\dfrac{6}{\sqrt{11}}$ E. $\dfrac{\sqrt{11}}{6}$
C. $\dfrac56$
Karena $P$ sudut lancip, maka nilai seluruh perbandingan trigonometri bertanda positif.
Tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu, $\tan P = \dfrac{5\sqrt{11}}{11} = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}}.$
Misalkan $\text{de} = 5\sqrt{11}$ dan $\text{sa} = 11,$ maka dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh panjang hipotenusa, yaitu
$\begin{aligned} \text{mi} & = \sqrt{(\text{de})^2 + (\text{sa})^2} \\ & = \sqrt{(5\sqrt{11})^2 + (11)^2} \\ &= \sqrt{275 + 121} \\ & = \sqrt{396} \\ & = \sqrt{36 \times 11} = 6\sqrt{11}. \end{aligned}$
Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu, $\sin P = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{5\cancel{\sqrt{11}}}{6\cancel{\sqrt{11}}} = \dfrac56.$
Jadi, nilai $\boxed{\sin P = \dfrac56}$
(Jawaban C)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri
Soal Nomor 11
Diketahui $\triangle ABC$ siku-siku di $C.$ Jika $\sin B = p,$ maka nilai $\tan B = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{p}{\sqrt{1-p^2}}$
B. $\dfrac{1}{\sqrt{1-p^2}}$
C. $\dfrac{1}{\sqrt{p^2-1}}$
D. $\dfrac{p}{\sqrt{p^2-1}}$
E. $\dfrac{\sqrt{1-p^2}}{p}$
Perhatikan sketsa gambar segitiga siku-siku $ABC$ berikut.
Karena $\sin B = p = \dfrac{p}{1} = \dfrac{AC}{AB}$, dapat dimisalkan bahwa $AC = p$ dan $AB = 1$ sehingga dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2 -AC^2} \\ & = \sqrt{(1)^2-p^2} \\ & = \sqrt{1-p^2}. \end{aligned}$
Dengan demikian, $\tan B = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{p}{\sqrt{1-p^2}}.$
Jadi, nilai $\boxed{\tan B = \dfrac{p}{\sqrt{1-p^2}}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 12
Perhatikan $\triangle KLM$ di bawah.
Jika $\cos K = \dfrac{1}{a}$, maka nilai $\sin K \tan K = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{a^2+1}{a}$
B. $\dfrac{a^2-1}{a}$
C. $\dfrac{a}{a^2-1}$
D. $\dfrac{a}{a^2+1}$
E. $\dfrac{a^2-1}{a^2+1}$
Kosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu, $\cos K = \dfrac{1}{a} = \dfrac{KL}{KM}.$
Misalkan $KL = 1$ dan $KM = a$, maka dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} LM & = \sqrt{KM^2 -KL^2} \\ & = \sqrt{a^2-(1)^2} \\ & = \sqrt{a^2-1}. \end{aligned}$
Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku, sedangkan tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku. Untuk itu,
$\begin{aligned} \sin K \tan K & = \dfrac{LM}{KM} \times \dfrac{LM}{KL} \\ & = \dfrac{\sqrt{a^2-1}}{a} \times \dfrac{\sqrt{a^2-1}}{1} \\ & = \dfrac{a^2-1}{a}. \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\sin K \tan K = \dfrac{a^2-1}{a}}$
(Jawaban B)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pembuktian Identitas Trigonometri
Soal Nomor 13
Berdasarkan gambar di bawah, jika $\cos \theta = \dfrac23$, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $3\sqrt5$ D. $6\sqrt5$
B. $4\sqrt5$ E. $7\sqrt5$
C. $5\sqrt5$
Tanpa memperhatikan gambar segitiga siku-siku yang diberikan, panjang sisi depan sudut $\theta$ dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras.
Dalam hal ini, karena $\cos \theta = \dfrac23$, maka dimisalkan $\text{sa} = 2$ dan $\text{mi} = 3$ sehingga $\text{de} = \sqrt{3^2 -2^2} = \sqrt5.$
Dengan demikian, $\sin \theta = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{\sqrt5}{3}.$ Berdasarkan gambar yang diberikan, haruslah $\sin \theta=\dfrac{5}{x}.$ Akibatnya,
$\dfrac{\sqrt5}{3} = \dfrac{5}{x} \Leftrightarrow \dfrac{\cancel{5}}{3\sqrt5} = \dfrac{\cancel{5}}{x}.$
Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{3\sqrt5}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 14
Jika $\tan \alpha = \dfrac{1}{a}$ dengan $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ},$ maka nilai dari $\cos \alpha -\dfrac{1}{\sin \alpha}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{a^2+a+1}{\sqrt{1+a^2}}$
B. $\dfrac{a^2+a-1}{\sqrt{1+a^2}}$
C. $\dfrac{a^2-a+1}{\sqrt{1+a^2}}$
D. $\dfrac{a^2-a-1}{\sqrt{1+a^2}}$
E. $\dfrac{-a^2+a-1}{\sqrt{1+a^2}}$
Karena $\alpha$ berada di kuadran I, maka semua nilai perbandingan trigonometri bertanda positif.
Diketahui bahwa $\tan \alpha = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{1}{a}$ sehingga dapat dimisalkan bahwa panjang sisi depan sudut $\text{de} = 1$ dan panjang sisi samping sudut $\text{sa} = a.$
Dengan demikian, panjang sisi miring (hipotenusa) pada segitiga siku-siku adalah
$\begin{aligned} \text{mi} & = \sqrt{(\text{de})^2+(\text{sa})^2} \\ & = \sqrt{1^2+a^2}. \end{aligned}$
Untuk itu, didapat
$$\begin{aligned} \cos \alpha -\dfrac{1}{\sin \alpha} & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} -\dfrac{\text{mi}}{\text{de}} \\ & = \dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}- \dfrac{\sqrt{1+a^2}}{1} \\ & = \dfrac{a -(a^2+1)}{\sqrt{a^2+1}} \\ & = \dfrac{-a^2+a-1}{\sqrt{a^2+1}}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\cos \alpha -\dfrac{1}{\sin \alpha} = \dfrac{-a^2+a-1}{\sqrt{a^2+1}}}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 15
Segitiga $KLM$ siku-siku di $L.$ Jika $\sin M = \dfrac23$ dan $KL = \sqrt{20}~\text{cm},$ maka panjang sisi $KM = \cdots~\text{cm}.$
A. $2\sqrt5$ D. $3\sqrt{10}$
B. $3\sqrt5$ E. $4\sqrt{10}$
C. $2\sqrt{10}$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \sin M & = \dfrac23 \\ \dfrac{KL}{KM} & = \dfrac23 \\ \dfrac{\sqrt{20}}{KM} & = \dfrac23 \\ KM & = \dfrac{3\sqrt{20}}{2} = \dfrac{3 \times \cancel{2}\sqrt5}{\cancel{2}} \\ & = 3\sqrt5~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{KM = 3\sqrt5~\text{cm}}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 16
Segitiga $DEF$ memiliki sisi tinggi $DF.$ Jika luas segitiga tersebut $9~\text{cm}^2$ dan panjang $EF = 3~\text{cm},$ maka nilai $\cos E = \cdots \cdot$
A. $\dfrac15\sqrt5$ D. $\dfrac45\sqrt5$
B. $\dfrac25\sqrt5$ E. $\sqrt5$
C. $\dfrac35\sqrt5$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena luas segitiga $DEF$ adalah $9~\text{cm}^2, dengan menggunakan rumus luas segitiga, diperoleh
$\begin{aligned} L_{\triangle DEF} & = \dfrac{EF \times DF}{2} \\ 9 & = \dfrac{3 \times DF}{2} \\ DF & = \dfrac{9 \times 2}{3} = 6~\text{cm}. \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} DE & = \sqrt{EF^2 + DF^2} \\ & = \sqrt{3^2+6^2} \\ & = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} = 3\sqrt5~\text{cm}. \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \cos E & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{EF}{DE} \\ & = \dfrac{\cancel{3}}{\cancel{3}\sqrt5} = \dfrac15\sqrt5~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\cos E = \dfrac15\sqrt5~\text{cm}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 17
Sesuai dengan gambar di bawah, nilai perbandingan $\sin^2 \theta$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{a^2-d^2}{f^2+g^2}$
B. $\dfrac{a^2+b^2}{f^2+g^2}$
C. $\dfrac{a^2-b^2}{f^2-g^2}$
D. $\dfrac{a^2+b^2}{f^2-g^2}$
E. $\dfrac{a^2-b^2}{f^2+g^2}$
Perhatikan bahwa dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita peroleh dua persamaan berikut.
$\begin{cases} c^2 & = a^2 -b^2 \\ e^2 & = f^2 + g^2 \end{cases}$
Dengan demikian, diperoleh
$\sin^2 \theta = \dfrac{c^2}{e^2} = \dfrac{a^2-b^2}{f^2+g^2}.$
(Jawaban E)
Soal Nomor 18
Jika $\tan x = -\dfrac23$, maka nilai dari $\dfrac{5 \sin x + 6 \cos x}{2 \cos x -3 \sin x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac76$ C. $\dfrac13$ E. $\dfrac76$
B. $-\dfrac23$ D. $\dfrac23$
Untuk mendapatkan bentuk $\tan x$, harus diperhatikan bahwa $\dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ sehingga kita perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan $\cos x.$ Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \dfrac{5 \sin x + 6 \cos x}{2 \cos x -3 \sin x} & = \dfrac{\dfrac{5 \sin x}{\cos x} + \dfrac{6 \cos x}{\cos x}}{\dfrac{2 \cos x}{\cos x} -\dfrac{3 \sin x}{\cos x}} \\ & = \dfrac{5 \tan x + 6}{2 -3 \tan x} \\ & = \dfrac{5\left(-\dfrac23\right) + 6}{2 -3\left(-\dfrac23\right)} \\ & = \dfrac{\frac83}{4} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{5 \sin x + 6 \cos x}{2 \cos x -3 \sin x} = \dfrac23}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 19
Dalam segitiga siku-siku $ABC$ di bawah, panjang $BC = a$ dan besar $\angle ABC = \beta.$ Panjang garis tinggi $AD = \cdots \cdot$
A. $\sin^2 \beta \cos \beta$
B. $a \sin \beta \cos \beta$
C. $a \sin^2 \beta$
D. $a \sin \beta \cos^2 \beta$
E. $a \sin \beta$
Perhatikan segitiga siku-siku $ABC.$
Dengan menggunakan perbandingan kosinus, berlaku
$\begin{aligned} \cos \beta & = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AB}{a} \\ AB & = a \cos \beta. \end{aligned}$
Sekarang perhatikan segitiga siku-siku $ABD$ (siku-siku di $D$).
Dengan menggunakan perbandingan sinus, berlaku
$\begin{aligned} \sin \beta & = \dfrac{AD}{AB} \\ AD & = AB \sin \beta \\ AD & = (a \cos \beta) \sin \beta = a \sin \beta \cos \beta. \end{aligned}$
Jadi, panjang garis tinggi $\boxed{AD = a \sin \beta \cos \beta}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 20
Perhatikan gambar di bawah.
Segi empat $ABCD$ siku-siku di $A$ dan $C.$ Diketahui besar $\angle ABD = \alpha, \angle CBD = \beta,$ dan panjang $AD = p.$ Panjang sisi $BC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $p \sin \alpha \cos \beta$
B. $p \cos \alpha \sin \beta$
C. $\dfrac{p \sin \alpha}{\cos \beta}$
D. $\dfrac{p \cos \beta}{\sin \alpha}$
E. $\dfrac{p \sin \beta}{\sin \alpha}$
Perhatikan segitiga siku-siku $ABD.$
Nilai sinus sudut alfa diberikan oleh
$\sin \alpha = \dfrac{AD}{BD} \Leftrightarrow BD = \dfrac{AD}{\sin \alpha} = \dfrac{p}{\sin \alpha}.$
Perhatikan segitiga siku-siku $BCD.$
Nilai kosinus sudut beta diberikan oleh $\cos \beta = \dfrac{BC}{BD}$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} BC & = \cos \beta \cdot BD \\ & = \cos \beta \cdot \dfrac{p}{\sin \alpha} \\ & = \dfrac{p \cos \beta}{\sin \alpha}. \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{BC = \dfrac{p \cos \beta}{\sin \alpha}}$
(Jawaban D)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Tentukan nilai $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha,$ $\sec \alpha,$ $\csc \alpha,$ dan $\cot \alpha$ pada segitiga berikut.
c.
Jawaban a)
Dari gambar yang diberikan, diketahui bahwa panjang sisi samping sudut alfa dan panjang sisi miring pada segitiga siku-siku itu berturut-turut adalah $\text{sa} = 12$ dan $\text{mi} = 15.$
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh panjang sisi depan sudut $\alpha,$ yaitu
$\begin{aligned} \text{de} & = \sqrt{15^2-12^2} \\ & = \sqrt{225-144} = \sqrt{81} = 9. \end{aligned}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{9}{15} = \dfrac35 \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{12}{15} = \dfrac45 \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34 \\ \csc \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} = \dfrac{15}{9} = \dfrac53 \\ \sec \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{sa}} = \dfrac{15}{12} = \dfrac54 \\ \cot \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} = \dfrac{12}{9} = \dfrac43. \end{aligned}$
Jawaban b)
Dari gambar yang diberikan, diketahui bahwa panjang sisi depan dan samping sudut alfa pada segitiga siku-siku itu berturut-turut adalah $\text{de} = 12$ dan $\text{sa} =5.$ Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh panjang sisi miring (hipotenusa), yaitu
$\begin{aligned} \text{mi} & = \sqrt{12^2+5^2} \\ & = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13. \end{aligned}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{12}{13} \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{5}{13} \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{12}{5} \\ \csc \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} = \dfrac{13}{12} \\ \sec \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{sa}} = \dfrac{13}{5} \\ \cot \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} = \dfrac{5}{12}.\end{aligned}$
Jawaban c)
Sketsakan ulang gambarnya dengan memberi nama titik sudutnya seperti gambar.
Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2 + CD^2} \\ & = \sqrt{24^2+7^2} \\ & = \sqrt{576+49} = \sqrt{625} = 25. \end{aligned}$
Panjang $BC$ juga dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AC^2 -AB^2} \\ & = \sqrt{25^2-20^2} \\ & = \sqrt{625-400} = \sqrt{225} = 15. \end{aligned}$
Dari sini, diketahui bahwa panjang sisi depan sudut alfa, sisi samping sudut alfa, dan panjang sisi miring (hipotenusa) pada $\triangle ABC$ berturut-turut adalah
$\text{de} = 15~~~\text{sa} = 20~~~\text{mi} = 25.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{15}{25} = \dfrac35 \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{20}{25} = \dfrac45 \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{15}{20} = \dfrac34 \\ \csc \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} = \dfrac{25}{15} = \dfrac53 \\ \sec \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{sa}} = \dfrac{25}{20} = \dfrac54 \\ \cot \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} = \dfrac{20}{15} = \dfrac43. \end{aligned}$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Penerapan Identitas Trigonometri
Soal Nomor 2
Segitiga $KLM$ siku-siku di $K.$ Jika nilai $\sin L = 0,\!28,$ tentukan:
a. $\tan L;$ b. $\tan M.$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena $\sin L = 0,\!28,$ didapat
$\begin{aligned} \sin L & = \dfrac{28}{100} \\ \dfrac{KM}{ML} & = \dfrac{7}{25}. \end{aligned}$
Misalkan $KM = 7$ dan $ML = 25,$ maka dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} KL & = \sqrt{ML^2-KM^2} \\ & = \sqrt{25^2-7^2} \\ & = \sqrt{625-49} = \sqrt{576} = 24. \end{aligned}$
Jawaban a)
$\tan L = \dfrac{KM}{KL} = \dfrac{7}{24}.$
Jawaban b)
$\tan M = \dfrac{KL}{KM} = \dfrac{24}{7}.$
Soal Nomor 3
Perhatikan segitiga siku-siku berikut.
Buktikan pernyataan berikut.
a. $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$
b. $\csc^2 A -\cot^2 A = 1$
Berdasarkan rumus Pythagoras, berlaku $b^2=a^2+c^2.$
Jawaban a)
Pembuktian dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} \sin^2 C + \cos^2 C & = \left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2 + \left(\dfrac{BC}{AC}\right)^2 \\ & = \left(\dfrac{c}{b}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{b}\right)^2 \\ & = \dfrac{c^2 + a^2}{b^2} \\ &= \dfrac{b^2}{b^2} = 1 \end{aligned}$$Jawaban b)
Pembuktian dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} \csc^2 C -\cot^2 C & = \left(\dfrac{AC}{AB}\right)^2- \left(\dfrac{BC}{AB}\right)^2 \\ & = \left(\dfrac{b}{c}\right)^2 -\left(\dfrac{a}{c}\right)^2 \\ & = \dfrac{b^2 -a^2}{c^2} \\ &= \dfrac{c^2}{c^2} = 1 \end{aligned}$$
Soal Nomor 4
Perhatikan gambar berikut.
Jika panjang $AD = 1~\text{cm}$, tunjukkan bahwa panjang $BD = \dfrac{\tan \alpha}{\tan \beta -\tan \alpha}~\text{cm}.$
Tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku. Pada segitiga $ABC$, diperoleh
$$\begin{aligned} \tan \alpha & = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BC}{AD + BD} = \dfrac{BC}{1 + BD} \\ BC & = \tan \alpha(1 + BD) \\ BC & = \color{red}{\tan \alpha + BD \tan \alpha} \end{aligned}$$Pada segitiga $DBC$, diperoleh
$$\begin{aligned} \tan \beta & = \dfrac{BC}{BD} \\ \tan \beta & = \dfrac{ \color{red}{\tan \alpha + BD \tan \alpha}}{BD} \\ BD \tan \beta & = \tan \alpha + BD \tan \alpha \\ BD(\tan \beta -\tan \alpha) & = \tan \alpha \\ BD & = \dfrac{\tan \alpha}{\tan \beta -\tan \alpha}~\text{cm}. \end{aligned}$$(Terbukti)
Soal Nomor 5
Diketahui persegi $ABCD$ mempunyai panjang sisi $6a$ satuan. Kedua diagonalnya berpotongan di titik $O.$ Jika titik $P$ terletak pada diagonal $AC$ dengan perbandingan $OP : PC = 1 : 2,$ tentukan nilai $\sin \angle PBO.$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Berdasarkan sifat persegi, kedua diagonalnya pasti berpotongan tegak lurus di tengah-tengah, yaitu titik $O.$
Panjang diagonal $AC = BD$ dapat ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras, misal ditinjau dari segitiga siku-siku $ABD.$
$\begin{aligned} AC = BD & = \sqrt{AB^2+AD^2} \\ & = \sqrt{(6a)^2 + (6a)^2} \\ & = \sqrt{(6a)^2(1+1)} \\ & = 6a\sqrt2~\text{satuan} \end{aligned}$
Titik $P$ terletak pada $AC$ dengan perbandingan $OP : PC = 1 : 2.$
Karena $AC = 6a\sqrt2$, maka panjang $OC = 3a\sqrt2$ (setengah dari $AC$).
Berdasarkan perbandingan tersebut, didapat
$\begin{aligned} OP & = \dfrac{1}{1+2} \times OC \\ & = \dfrac13 \times 3a\sqrt2 = a\sqrt2. \end{aligned}$
Sekarang tinjau segitiga siku-siku $BOP$ seperti ilustrasi gambar berikut.
Panjang $BP$ dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras seperti berikut.
$\begin{aligned} BP & = \sqrt{BO^2 + OP^2} \\ & = \sqrt{(3a\sqrt2)^2 + (a\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{18a^2 + 2a^2} = \sqrt{20a^2} \\ & = 2a\sqrt5~\text{satuan} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \sin \angle PBO & = \dfrac{OP}{BP} = \dfrac{a\sqrt2}{2a\sqrt5} \\ & = \dfrac{\sqrt2}{2\sqrt5} = \dfrac{1}{10}\sqrt{10}. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin \angle PBO = \dfrac{1}{10}\sqrt{10}}$
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga Menurut Trigonometri
Soal Nomor 6
Gambar berikut adalah lingkaran satuan dan segitiga yang berpotongan. Ruas garis yang dipertebal membentuk bangun datar trapesium siku-siku. Tentukan luas trapesium tersebut. Perhatikan sketsa gambar trapesium berikut.
Pada segitiga siku-siku $AGO$, berlaku $$\cos \alpha = \dfrac{a}{1} = a.$$Pada segitiga siku-siku $OED$, berlaku $$\cos \alpha = \dfrac{1-c}{1} \Leftrightarrow c = 1-\cos \alpha.$$Pada segitiga siku-siku $AHD$, berlaku $$\sin \alpha = \dfrac{2b}{2} = b.$$Dengan demikian, luas trapesium tersebut adalah
$$\begin{aligned} L & = \dfrac{AB + DC}{2} \times BC \\ & = \dfrac{(a+1) + c}{\cancel{2}} \times \cancel{2}b \\ & = \left(\cos \alpha + 1 + (1-\cos \alpha)\right) \times \sin \alpha \\ & = 2 \sin \alpha. \end{aligned}$$Jadi, luas trapesium tersebut adalah $\boxed{2 \sin \alpha}$
Soal Nomor 7
Seseorang berada pada ketinggian $h$ di atas permukaan air suatu danau. Terlihat di atasnya seekor burung pada sudut elevasi $\alpha$ dan bayangannya dalam air pada sudut depresi $\beta$ seperti tampak pada gambar berikut.
Berapa ketinggian terbang burung tersebut?
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dari gambar di atas, berlaku
$$\begin{aligned} \tan \alpha & = \dfrac{t}{a+b} \Leftrightarrow \color{blue}{a+b = \dfrac{t}{\tan \alpha}} && (\cdots 1) \\ \tan \beta & = \dfrac{h}{a} && (\cdots 2) \\ \tan \beta & = \dfrac{h+t}{b}. && (\cdots 3) \end{aligned}$$Dari Persamaan $(2)$ dan $(3),$ diperoleh
$$\begin{aligned} \tan \beta & = \dfrac{h+(h+t)}{a+b} \\ \tan \beta & = \dfrac{2h+t}{a+b} \\ \color{blue}{(a+b)} \tan \beta & = 2h+t \\ \dfrac{t}{\tan \alpha} \cdot \tan \beta & = 2h+t \\ t \left(\dfrac{\tan \beta}{\tan \alpha}-1\right) & = 2h \\ t\left(\dfrac{\tan \beta-\tan \alpha}{\tan \alpha}\right) & = 2h \\ t & = \dfrac{2h \tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}. \end{aligned}$$Karena ketinggian burung dari permukaan air/tanah sama dengan $t + h$, diperoleh
$$\begin{aligned} \text{Tinggi Burung} & = \dfrac{2h \tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha} + h \\ & = \dfrac{2h \tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha} + \dfrac{h(\tan \beta- \tan \alpha)}{\tan \beta-\tan \alpha} \\ & = \dfrac{h(2 \tan \alpha+\tan \beta-\tan \alpha)}{\tan \beta-\tan \alpha} \\ & = \dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{\tan \beta-\tan \alpha} \cdot h. \end{aligned}$$Jadi, ketinggian burung tersebut adalah $\boxed{\dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{\tan \beta-\tan \alpha} \cdot h}$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri Berbentuk a cos x + b sin x = c
Soal Nomor 8
Di dalam suatu segitiga siku-siku $ABC$ terdapat persegi yang tampak seperti gambar di bawah.
Diketahui besar sudut $A$ kira-kira $37^\circ.$ Tentukan panjang sisi persegi tersebut.
Pada segitiga tersebut, berlaku
$$\begin{aligned} \sin 37^\circ & = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac35 \\ \cos 37^\circ & = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac45. \end{aligned}$$Misalkan panjang sisi persegi = $s.$
Posisikan titik $D, E, F$ seperti tampak pada gambar di bawah. Misalkan juga $CE = x$ dan $EB = y$ sehingga $x + y = BC = 3.$Pada segitiga $CDE,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \cos 37^\circ & = \dfrac{DE}{CE} \\ \dfrac45 & = \dfrac{s}{x} \\ x & = \dfrac54s. \end{aligned}$$Pada segitiga $FBE,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \sin 37^\circ & = \dfrac{EB}{FE} \\ \dfrac35 & = \dfrac{y}{s} \\ y & = \dfrac35s. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} x + y & = 3 \\ \dfrac54s + \dfrac35s & = 3 \\ \dfrac{25+12}{20}s & = 3 \\ \dfrac{37}{20}s & = 3 \\ s & = \dfrac{60}{37}. \end{aligned}$$Jadi, panjang sisi persegi adalah $\boxed{\dfrac{60}{37}}$
saya rajin ngaji
6 essay hasilnya bisa sqrt(2) karena sin alpha =1/sqrt(2)
dari sisi segitiga setengah merah setengah hitam kan
1nya yg sb x kan jr2
yg satunya lg jg 1
soalnya td saya dptnya mlh
2V2*cos a*sin a
trs sy brpikr brrti cos a =1/V2 dong
Di soal itu tidak ada informasi bahwa sisi yg merah-hitam itu panjangnya $1,$ Mas. Kalau secara visual, memang kelihatannya $1$ karena bisa ditarik garis singgung horizontal dengan lingkarannya.
Permisi kak, untuk soal nya gk bisa di download ya? secara pdf?
beberapa materi trigonometri gk bisa di download kak. Terimakasih kak
Iya, Kak. Yg ini memang blom ada versi PDF-nya
thanks a lot
Sangat membantu
luar biasa, terima kasih
Blog Panjenengan sangat Mantab dan manfaat.. maturnuwun..
Sama-sama, Pak.
soal nomor 14 pembahasannya tidak mucul kenapa ya?