Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri (Dasar)

       Dalam matematika, trigonometri diartikan sebagai ilmu yang mempelajari mengenai hubungan sudut dan sisi dalam sebuah segitigaTrigonometri merupakan salah satu materi matematika tingkat SMA yang banyak membuat siswa mengeluh karena dianggap sulit dipahami. Hal ini diduga karena banyaknya istilah baru yang wajib “dihafal” oleh siswa, apalagi dikolaborasikan dengan rumus-rumusnya yang bisa dibilang cukup banyak. Di lain sisi, siswa sebenarnya tidak dituntut untuk menghafal seluruh rumus yang ada, melainkan harus mampu bernalar dan memahami maksud dan asal muasal rumus yang bersangkutan. Ini adalah PR kita bersama khususnya bagi para guru matematika untuk dapat membuat pemhelajaran trigonometri di kelas menjadi lebih interaktif dan mudah dipahami oleh siswa, dengan catatan tanpa memaksa mereka semata-mata untuk menghafalkan rumus yang tertera di buku paket pelajaran.
         Trigonometri berisi kisah yang cukup panjang, mulai dari bagian dasar sampai kompleks. Kali ini, disediakan soal dan pembahasan mengenai perbandingan trigonometri bagian dasar (pengenalan) dengan cakupan tentang konsep sudut dan penggunaan perbandingan trigonometri, yakni sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan, dan cotangen.
Catatan: soal-soal berikut ini sebagian besar diambil dari buku LKS Matematika Wajib Kelas X Semester 2 yang dikarang oleh Sdr. Nur Aksin dan Sdr. Anna Yuni Astuti dan diterbitkan oleh Intan Pariwara.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Perbandingan Trigonometri

Ada 6 jenis perbandingan trigonometri, yaitu sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen. Perbandingan yang dimaksud adalah pada panjang sisi segitiga siku-siku.

Pada segitiga $ABC$ yang siku-siku di $B$, berlaku
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{BC}{AC}~~~~~~\csc \alpha & = \dfrac{AC}{BC} \\ \cos \alpha & = \dfrac{AB}{AC}~~~~~~\sec \alpha & = \dfrac{AC}{AB} \\ \tan \alpha & = \dfrac{BC}{AB}~~~~~~\cot \alpha & = \dfrac{AB}{BC} \end{aligned}$

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah $\cdots$


A. $30^{\circ}$              D. $330^{\circ}$
B. $60^{\circ}$              E. $390^{\circ}$
C. $300^{\circ}$

Penyelesaian

Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni $-30^{\circ}$.
Karena satu putaran sama dengan $360^{\circ}$, maka $-30^{\circ}$ sama dengan $(360-30)^{\circ} = 330^{\circ}$
Jadi, besar sudutnya adalah $\boxed{330^{\circ}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Besar sudut $\dfrac34\pi~\text{rad}$ sama dengan $\cdots$
A. $75^{\circ}$                  D. $210^{\circ}$
B. $105^{\circ}$                 E. $270^{\circ}$
C. $135^{\circ}$

Penyelesaian

Ingat bahwa $\pi~\text{rad} = 180^{\circ}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \dfrac34\pi~\text{rad} & = \dfrac{3}{\cancel{4}} \times \cancelto{45}{180}^{\circ} \\ & = 3 \times 45^{\circ} = 135^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $\dfrac34\pi~\text{rad}$ sama dengan $\boxed{135^{\circ}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Besar sudut $72^{\circ}$ sama dengan $\cdots~\text{rad}$
A. $\frac15\pi$           D. $\frac34\pi$
B. $\frac25\pi$           E. $\frac56\pi$
C. $\frac23\pi$

Penyelesaian

Ingat bahwa $1^{\circ} = \dfrac{\pi}{180}~\text{rad}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} 72^{\circ} & = \cancelto{2}{72} \times \dfrac{\pi}{\cancelto{5}{180}}~\text{rad} \\ & = \dfrac25\pi~\text{rad} \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $72^{\circ}$ sama dengan $\boxed{\dfrac25\pi~\text{rad}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan gambar di bawah!

Segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Pernyataan berikut ini benar, kecuali $\cdots$

A. $\sin \alpha = \frac{BC}{AB}$          D. $\cos \beta = \frac{BC}{AC}$
B. $\sin \beta = \frac{AC}{AB}$          E. $\tan \alpha = \frac{BC}{AC}$
C. $\cos \alpha = \frac{AC}{AB}$

Penyelesaian

Berdasarkan gambar di atas, perbandingan trigonometri untuk sinus, cosinus, dan tangen dari sudut $\alfa$ dan $\beta$ adalah sebagai berikut.
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{BC}{AB} \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{AC}{AB} \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{BC}{AC} \\ \sin \beta & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{AC}{AB} \\ \cos \beta & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{BC}{AB} \\ \tan \beta & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{AC}{BC} \end{aligned}$
Jadi, dari kelima pernyataan (pilihan) yang diberikan, pernyataan yang salah ada pada pilihan jawaban C.

[collapse]

Soal Nomor 5
Perhatikan gambar berikut!

Nilai $\cos \alpha$ adalah …

A. 1        B. $\sqrt3$       C. $\dfrac12\sqrt3$        D. $\dfrac12$       E. $\dfrac13\sqrt3$

Penyelesaian

Dengan Teorema Pythagoras, panjang $c = AB$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt3)^2+1^2} = \sqrt4=2$
Cosinus sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\boxed{\cos \alpha = \dfrac{b}{c} = \dfrac{1}{2}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui koordinat titik $A(-2\sqrt2,-2\sqrt2)$. Koordinat kutub dari titik $A$ adalah …
A. $(4,210^{\circ})$                 D. $(5,240^{\circ})$ 
B. $(2,240^{\circ})$                 E. $(4,225^{\circ})$
C. $(2,225^{\circ})$

Penyelesaian

Diketahui: $x = y = -2\sqrt2$
Koordinat kutubnya berbentuk $(r, \theta)$, dengan
$\begin{aligned} r & = \sqrt{x^2+y^2} \\ & = \sqrt{(-2\sqrt2)^2+(-2\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{8+8} = 4 \end{aligned} $
dan
$\begin{aligned} & \tan \theta = \dfrac{y} {x} = \dfrac{-2\sqrt2}{-2\sqrt2} = 1 \\ & \Rightarrow \theta = 45^{\circ} \lor 225^{\circ} \end{aligned}$
Karena titik $A$ berada di kuadran 3 (nilai $x$ dan $y$ negatif), maka $\theta = 225^{\circ}$. 
Jadi, koordinat kutub dari $A(-2\sqrt2,-2\sqrt2)$ adalah $\boxed{(4, 225^{\circ})}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Segitiga $KLM$ memiliki koordinat $K(-5, -2), L(3, -2)$, dan $M(-5,4)$. Nilai $\cos L$ dan $\tan M$ berturut-turut adalah $\cdots$
A. $\frac35$ dan $\frac34$              D. $\frac45$ dan $\frac34$
B. $\frac34$ dan $\frac35$              E. $\frac45$ dan $\frac43$
C. $\frac34$ dan $\frac43$

Penyelesaian

Pertama, sketsakan segitiga $KLM$ pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.

Tampak bahwa segitiga $KLM$ merupakan segitiga siku-siku (di $L$).
Dari gambar di atas, diketahui bahwa
$KL = 3 – (-5) = 8; KM = 4 – (-2) = 6$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} LM & = \sqrt{KL^2 + KM^2} \\ & = \sqrt{8^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10 \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} \cos L & = \dfrac{KL}{LM} = \dfrac{8}{10} = \dfrac45 \\ \tan M & = \dfrac{KL}{KM} = \dfrac86 = \dfrac43 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\cos L$ dan $\tan M$ berturut-turut adalah $\boxed{\dfrac45}$ dan $\boxed{\dfrac43}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui segitiga $PQR$ memiliki koordinat $P(-3,2), Q(-3, -2)$, dan $R(3,2)$. Nilai $\dfrac{3 \sec R}{\csc Q} = \cdots$
A. 1         B. 2        C. 3         D. $\sqrt{13}$          E. $2\sqrt{13}$

Penyelesaian

Pertama, sketsakan segitiga $KLM$ pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.

Tampak bahwa segitiga $PQR$ merupakan segitiga siku-siku (di $P$).
Tanpa menganalisis lebih jauh mengenai panjang sisi segitiga $PQR$, kita sebenarnya dapat langsung menghitung nilai dari $\dfrac{3 \sec R}{\csc Q}$ seperti berikut dengan mengingat bahwa secan merupakan kebalikan dari cosinus (mi/sa), sedangkan cosecan merupakan kebalikan dari sinus (mi/de).
$\dfrac{3 \sec R}{\csc Q} = \dfrac{3 \times \cancel{\dfrac{QR}{PR}}}{\cancel{\dfrac{QR}{PR}}} = 3$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui $\triangle ABC$ siku-siku di $B$. Jika $\cos A = \dfrac34$, nilai $\cot A = \cdots$
A. $\sqrt{7}$                   D. $\frac34\sqrt7$
B. $\frac37\sqrt7$                 E. $\frac43\sqrt7$
C. $\frac47\sqrt7$

Penyelesaian

Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cos A = \dfrac{3}{4} = \dfrac{AB}{AC}$
Misalkan $AB = 3$ dan $AC = 4$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AC^2 – AB^2} \\ & = \sqrt{(4)^2-(3)^2} = \sqrt{7} \end{aligned}$
Cotangen sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi depan sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cot A = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{\sqrt7} = \dfrac37\sqrt7$
Jadi, nilai $\boxed{\cot A = \dfrac37\sqrt7}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui $P$ sudut lancip. Jika $\tan P = \dfrac{5\sqrt{11}}{11}$, maka nilai $\sin P = \cdots$
A. $\frac{5}{\sqrt{11}}$              D. $\frac{\sqrt{11}}{5}$
B. $\frac{6}{\sqrt{11}}$              E. $\frac{\sqrt{11}}{6}$
C. $\frac56$

Penyelesaian

Karena $P$ sudut lancip, maka nilai seluruh perbandingan trigonometri bertanda positif.
Tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\tan P = \dfrac{5\sqrt{11}}{11} = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}}$
Misalkan $\text{de} = 5\sqrt{11}$ dan $\text{sa} = 11$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh panjang sisi miring, yaitu
$\begin{aligned} \text{mi} & = \sqrt{(\text{de})^2 + (\text{sa})^2} \\ & = \sqrt{(5\sqrt{11})^2 + (11)^2} \\ &= \sqrt{275 + 121} = \sqrt{396} = \sqrt{36 \times 11} = 6\sqrt{11} \end{aligned}$
Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\sin P = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{5\cancel{\sqrt{11}}}{6\cancel{\sqrt{11}}} = \dfrac56$
Jadi, nilai $\boxed{\sin P = \dfrac56}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui $\triangle ABC$ siku-siku di $C$. Jika $\sin B = p$, maka nilai $\tan B = \cdots$
A. $\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}$            D. $\frac{p}{\sqrt{p^2-1}}$
B. $\frac{1}{\sqrt{1-p^2}}$            E. $\frac{\sqrt{1-p^2}}{p}$
C. $\frac{1}{\sqrt{p^2-1}}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar segitiga siku-siku $ABC$ berikut.

Karena $\sin B = p = \dfrac{p}{1} = \dfrac{AC}{AB}$, maka dapat dimisalkan bahwa $AC = p$ dan $AB = 1$, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2 – AC^2} \\ & = \sqrt{(1)^2-p^2} \\ & = \sqrt{1-p^2} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\tan B = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{p}{\sqrt{1-p^2}}$
Jadi, nilai $\boxed{\tan B = \dfrac{p}{\sqrt{1-p^2}}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Perhatikan $\triangle KLM$ di bawah!

Jika $\cos K = \dfrac{1}{a}$, maka nilai $\sin K \tan K = \cdots$
A. $\frac{a^2+1}{a}$          D. $\frac{a}{a^2+1}$
B. $\frac{a^2-1}{a}$           E. $\frac{a^2-1}{a^2+1}$
C. $\frac{a}{a^2-1}$

Penyelesaian

Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cos K = \dfrac{1}{a} = \dfrac{KL}{KM}$
Misalkan $KL = 1$ dan $KM = a$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} LM & = \sqrt{KM^2 – KL^2} \\ & = \sqrt{a^2-(1)^2} = \sqrt{a^2-1} \end{aligned}$
Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku, sedangkan tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\begin{aligned} \sin K \tan K & = \dfrac{LM}{KM} \times \dfrac{LM}{KL} \\ & = \dfrac{\sqrt{a^2-1}}{a} \times \dfrac{\sqrt{a^2-1}}{1} = \dfrac{a^2-1}{a} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\sin K \tan K = \dfrac{a^2-1}{a}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Berdasarkan gambar di bawah, jika $\cos \theta = \dfrac23$, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots$

A. $3\sqrt5$              D. $6\sqrt5$
B. $4\sqrt5$              E. $7\sqrt5$
C. $5\sqrt5$

Penyelesaian

Tanpa memperhatikan gambar segitiga siku-siku yang diberikan, panjang sisi depan sudut $\theta$ dapat dihitung dengan menggunakan Teorema Pythagoras.
Dalam hal ini, karena $\cos \theta = \dfrac23$, maka dimisalkan $\text{sa} = 2$ dan $\text{mi} = 3$, sehingga
$\text{de} = \sqrt{3^2 – 2^2 } = \sqrt5$
Dengan demikian,
$\sin \theta = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{\sqrt5}{3}} $
Berdasarkan gambar yang diberikan, haruslah $\sin \theta=\dfrac{5}{x}$. Akibatnya,
$\dfrac{\sqrt5}{3} = \dfrac{5}{x} \Leftrightarrow \dfrac{\cancel{5}}{3\sqrt5} = \dfrac{\cancel{5}}{x}$
Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{3\sqrt5}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika $\tan \alpha = \dfrac{1}{a}$ dengan $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$, maka nilai dari $\cos \alpha – \dfrac{1}{\sin \alpha}$ sama dengan $\cdots$
A. $\frac{a^2+a+1}{\sqrt{1+a^2}}$             D. $\frac{a^2-a-1}{\sqrt{1+a^2}}$
B. $\frac{a^2+a-1}{\sqrt{1+a^2}}$             E. $\frac{-a^2+a-1}{\sqrt{1+a^2}}$
C. $\frac{a^2-a+1}{\sqrt{1+a^2}}$

Penyelesaian

Karena $\alpha$ berada di kuadran I, maka semua nilai perbandingan trigonometri bertanda positif.
Diketahui bahwa $\tan \alpha = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{1}{a}$, sehingga dapat dimisalkan bahwa panjang sisi depan sudut $\text{de} = 1$ dan panjang sisi samping sudut $\text{sa} = a$.
Dengan demikian, panjang sisi miring (hipotenusa) pada segitiga siku-siku adalah
$\begin{aligned} \text{mi} & = \sqrt{(\text{de})^2+(\text{sa})^2} \\ & = \sqrt{1^2+a^2} \end{aligned}$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} \cos \alpha – \dfrac{1}{\sin \alpha} & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} – \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} \\ & = \dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}} – \dfrac{\sqrt{1+a^2}}{1} \\ & = \dfrac{a – (a^2+1)}{\sqrt{a^2+1}} \\ & = \dfrac{-a^2+a-1}{\sqrt{a^2+1}} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\cos \alpha – \dfrac{1}{\sin \alpha} = \dfrac{-a^2+a-1}{\sqrt{a^2+1}}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 15
Segitiga $KLM$ siku-siku di $L$. Jika $\sin M = \dfrac23$ dan $KL = \sqrt{20}~\text{cm}$, maka panjang sisi $KM = \cdots~\text{cm}$
A. $2\sqrt5$                   D. $3\sqrt{10}$
B. $3\sqrt5$                   E. $4\sqrt{10}$
C. $2\sqrt{10}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \sin M & = \dfrac23 \\ \dfrac{KL}{KM} & = \dfrac23 \\ \dfrac{\sqrt{20}}{KM} & = \dfrac23 \\ KM & = \dfrac{3\sqrt{20}}{2} = \dfrac{3 \times \cancel{2}\sqrt5}{\cancel{2}} = 3\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{KM = 3\sqrt5~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Segitiga $DEF$ memiliki sisi tinggi $DF$. Jika luas segitiga tersebut $9~\text{cm}^2$ dan panjang $EF = 3~\text{cm}$, maka nilai $\cos E = \cdots$
A. $\frac15\sqrt5$                D. $\frac45\sqrt5$
B. $\frac25\sqrt5$                E. $\sqrt5$
C. $\frac35\sqrt5$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena luas segitiga $DEF$ adalah $9~\text{cm}^2$, maka dengan menggunakan rumus luas segitiga umum, diperoleh
$\begin{aligned} L_{\triangle DEF} & = \dfrac{EF \times DF}{2} \\ 9 & = \dfrac{3 \times DF}{2} \\ DF & = \dfrac{9 \times 2}{3} = 6~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} DE & = \sqrt{EF^2 + DF^2} \\ & = \sqrt{3^2+6^2} \\ & = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} = 3\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \cos E & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{EF}{DE} \\ &  = \dfrac{\cancel{3}}{\cancel{3}\sqrt5} = \dfrac15\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\cos E = \dfrac15\sqrt5~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Sesuai dengan gambar di bawah, nilai perbandingan $\sin \theta$ adalah $\cdots$

A. $\frac{a^2-d^2}{f^2+g^2}$             D. $\frac{a^2+b^2}{f^2-g^2}$
B. $\frac{a^2+b^2}{f^2+g^2}$             E. $\frac{a^2-b^2}{f^2+g^2}$
C. $\frac{a^2-b^2}{f^2-g^2}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa dengan menggunakan Teorema Pythagoras, kita peroleh dua persamaan berikut.
$\begin{cases} c^2 & = a^2 – b^2 \\ e^2 & = f^2 + g^2 \end{cases}$
Dengan demikian, diperoleh
$\sin \theta = \dfrac{c}{e} = \dfrac{a^2-b^2}{f^2+g^2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 18
Jika $\tan x = -\dfrac23$, maka nilai dari $\dfrac{5 \sin x + 6 \cos x}{2 \cos x – 3 \sin x}$ adalah $\cdots$
A. $-\dfrac76$        B. $-\dfrac23$         C. $\dfrac13$         D. $\dfrac23$            E. $\dfrac76$

Penyelesaian

Untuk mendapatkan bentuk $\tan x$, harus diperhatikan bahwa $\dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x$, sehingga kita perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan $\cos x$.
$\begin{aligned} \dfrac{5 \sin x + 6 \cos x}{2 \cos x – 3 \sin x} & = \dfrac{\dfrac{5 \sin x}{\cos x} + \dfrac{6 \cos x}{\cos x}}{\dfrac{2 \cos x}{\cos x} – \dfrac{3 \sin x}{\cos x}} \\ & = \dfrac{5 \tan x + 6}{2 – 3 \tan x} \\ & = \dfrac{5\left(-\dfrac23\right) + 6}{2 – 3\left(-\dfrac23\right)} \\ & = \dfrac{\dfrac83}{4} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{5 \sin x + 6 \cos x}{2 \cos x – 3 \sin x} = \dfrac23}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Dalam segitiga siku-siku $ABC$ di bawah, panjang $BC = a$ dan besar $\angle ABC = \beta$. Panjang garis tinggi $AD = \cdots$

A. $\sin^2 \beta \cos \beta$              D. $a \sin \beta \cos^2 \beta$
B. $a \sin \beta \cos \beta$             E. $a \sin \beta$
C. $a \sin^2 \beta$

Penyelesaian

Perhatikan segitiga siku-siku $ABC$.
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri cosinus, berlaku
$\begin{aligned} \cos \beta & = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AB}{a} \\ AB & = a \cos \beta \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku $ABD$ (siku-siku di $D$).
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri sinus, berlaku
$\begin{aligned} \sin \beta & = \dfrac{AD}{AB} \\ AD & = AB \sin \beta \\ AD & = (a \cos \beta) \sin \beta = a \sin \beta \cos \beta \end{aligned}$
Jadi, panjang garis tinggi $\boxed{AD = a \sin \beta \cos \beta}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Perhatikan gambar di bawah!

Segiempat $ABCD$ siku-siku di $A$ dan $C$. Diketahui besar $\angle ABD = \alpha, \angle CBD = \beta$, dan panjang $AD = p$. Panjang sisi $BC$ adalah $\cdots$
A. $p \sin \alpha \cos \beta$              D. $\frac{p \cos \beta}{\sin \alpha}$
B. $p \cos \alpha \sin \beta$              E. $\frac{p \sin \beta}{\sin \alpha}$
C. $\frac{p \sin \alpha}{\cos \beta}$

Penyelesaian

Perhatikan segitiga siku-siku $ABD$.
Nilai sinus sudut alfa diberikan oleh
$\sin \alpha = \dfrac{AD}{BD} \Leftrightarrow BD = \dfrac{AD}{\sin \alpha} = \dfrac{p}{\sin \alpha}$
Perhatikan segitiga siku-siku $BCD$.
Nilai cosinus sudut beta diberikan oleh
$\begin{aligned} \cos \beta & = \dfrac{BC}{BD} \\ BC & = \cos \beta \cdot BD \\ BC & = \cos \beta \cdot \dfrac{p}{\sin \alpha} = \dfrac{p \cos \beta}{\sin \alpha} \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{BC = \dfrac{p \cos \beta}{\sin \alpha}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 21
Tentukan nilai $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\sec \alpha$, $\csc \alpha$, dan $\tan \alpha$ pada segitiga berikut.

Penyelesaian

Jawaban a)
Dari gambar yang diberikan, diketahui bahwa panjang sisi samping sudut alfa dan panjang sisi miring pada segitiga siku-siku itu berturut-turut adalah $\text{sa} = 12$ dan $\text{mi} = 15$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh panjang sisi depan sudut,
$ \text{de} = \sqrt{15^2-12^2} = \sqrt{225-144} = \sqrt{81} = 9$
Untuk itu, kita dapat peroleh
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{9}{15} = \dfrac35 \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{12}{15} = \dfrac45 \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34 \\ \csc \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} = \dfrac{15}{9} = \dfrac53 \\ \sec \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{sa}} = \dfrac{15}{12} = \dfrac54 \\ \cot \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} = \dfrac{12}{9} = \dfrac43 \end{aligned}$
Jawaban b)
Dari gambar yang diberikan, diketahui bahwa panjang sisi depan dan samping sudut alfa pada segitiga siku-siku itu berturut-turut adalah $\text{de} = 12$ dan $\text{sa} =5$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh panjang sisi miring (hipotenusa),
$ \text{mi} = \sqrt{12^2+5^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13$
Untuk itu, kita dapat peroleh
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{12}{13} \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{5}{13} \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{12}{5} \\ \csc \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} = \dfrac{13}{12} \\ \sec \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{sa}} = \dfrac{13}{5} \\ \cot \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} = \dfrac{5}{12}\end{aligned}$
Jawaban c)
Sketsakan ulang gambarnya dengan memberi nama titik sudutnya seperti gambar.

Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras,
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2 + CD^2} \\ & = \sqrt{24^2+7^2} \\ & = \sqrt{576+49} = \sqrt{625} = 25 \end{aligned}$
Panjang $BC$ juga dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras,
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AC^2 – AB^2} \\ & = \sqrt{25^2-20^2} \\ & = \sqrt{625-400} = \sqrt{225} = 15 \end{aligned}$
Dari sini, diketahui bahwa panjang sisi depan sudut alfa, sisi samping sudut alfa, dan panjang sisi miring (hipotenusa) pada $\triangle ABC$ berturut-turut adalah
$\text{de} = 15~~~\text{sa} = 20~~~\text{mi} = 25$
Untuk itu, kita dapat peroleh
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{15}{25} = \dfrac35 \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{20}{25} = \dfrac45 \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{15}{20} = \dfrac34 \\ \csc \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} = \dfrac{25}{15} = \dfrac53 \\ \sec \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{sa}} = \dfrac{25}{20} = \dfrac54 \\ \cot \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} = \dfrac{20}{15} = \dfrac43 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 22
Segitiga $KLM$ siku-siku di $K$. Jika nilai $\sin L = 0,28$, tentukan:
a. $\tan L$                      b. $\tan M$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena $\sin L = 0,28$, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} \sin L & = \dfrac{28}{100} \\ \dfrac{KM}{ML} & = \dfrac{7}{25} \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $KM = 7$ dan $ML = 25$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} KL & = \sqrt{ML^2-KM^2} \\ & = \sqrt{25^2-7^2} \\ & = \sqrt{625-49} = \sqrt{576} = 24 \end{aligned}$
Jawaban a)
$\tan L = \dfrac{KM}{KL} = \dfrac{7}{24}$
Jawaban b)
$\tan M = \dfrac{KL}{KM} = \dfrac{24}{7}$

[collapse]

Soal Nomor 23
Perhatikan segitiga siku-siku berikut!

Buktikan pernyataan berikut!

a. $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$
b. $\csc^2 A – \cot^2 A = 1$

Penyelesaian

Jawaban a)
Pembuktian dari ruas kiri.
$\begin{aligned} \sin^2 C + \cos^2 C & = \left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2 + \left(\dfrac{BC}{AC}\right)^2 \\ & = \left(\dfrac{c}{b}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{b}\right)^2 \\ & = \dfrac{c^2 + a^2}{b^2} \\ \text{Terapkan rumus}&~\text{Pythagoras} \\ &= \dfrac{b^2}{b^2} = 1 \end{aligned}$
Jawaban b)
Pembuktian dari ruas kiri.
$\begin{aligned} \csc^2 C – \cot^2 C & = \left(\dfrac{AC}{AB}\right)^2 – \left(\dfrac{BC}{AB}\right)^2 \\ & = \left(\dfrac{b}{c}\right)^2 – \left(\dfrac{a}{c}\right)^2 \\ & = \dfrac{b^2 – a^2}{c^2} \\ \text{Terapkan rumus}&~\text{Pythagoras} \\ &= \dfrac{c^2}{c^2} = 1 \end{aligned}$ 

[collapse]

Soal Nomor 24
Perhatikan gambar berikut!

Jika panjang $AD = 1~\text{cm}$, tunjukkan bahwa panjang $DB = \dfrac{\tan \alpha}{\tan \beta – \tan \alpha}$

Penyelesaian

Tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Pada segitiga $ABC$, diperoleh
$\begin{aligned} \tan \alpha & = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BC}{AD + BD} = \dfrac{BC}{1 + BD} \\ BC & = \tan \alpha(1 + BD) = \color{red}{\tan \alpha + BD \tan \alpha} \end{aligned}$
Pada segitiga $DBC$, diperoleh
$\begin{aligned} \tan \beta & = \dfrac{BC}{BD} \\ \tan \beta & = \dfrac{\begingroup \color{red}{\tan \alpha + BD \tan \alpha} \endgroup}{BD} \\ BD \tan \beta & = \tan \alpha + BD \tan \alpha \\ BD(\tan \beta – \tan \alpha) & = \tan \alpha \\ BD & = \dfrac{\tan \alpha}{\tan \beta – \tan \alpha}~\text{cm} \end{aligned}$
(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 25
Diketahui persegi $ABCD$ mempunyai panjang sisi $6a$ satuan. Kedua diagonalnya berpotongan di titik $O$. Jika titik $P$ terletak pada diagonal $AC$ dengan perbandingan $OP : PC = 1 : 2$, tentukan nilai $\sin \angle PBO$.

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Berdasarkan sifat persegi, kedua diagonalnya pasti berpotongan tegak lurus di tengah-tengah, yaitu titik $O$.
Panjang diagonal $AC = BD$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras, misal ditinjau dari segitiga siku-siku $ABD$.
$\begin{aligned} AC = BD & = \sqrt{AB^2+AD^2} \\ & = \sqrt{(6a)^2 + (6a)^2} \\ & = \sqrt{(6a)^2(1+1)} = 6a\sqrt2~\text{satuan} \end{aligned}$
Titik $P$ terletak pada $AC$ dengan perbandingan $OP : PC = 1 : 2$.
Karena $AC = 6a\sqrt2$, maka panjang $OC = 3a\sqrt2$ (setengah dari $AC$).
Berdasarkan perbandingan tersebut, 
$OP = \dfrac{1}{1+2} \times OC = \dfrac13 \times 3a\sqrt2 = a\sqrt2$
Sekarang, tinjau segitiga siku-siku $BOP$ seperti ilustrasi gambar berikut.

Panjang $BP$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras seperti berikut.
$\begin{aligned} BP & = \sqrt{BO^2 + OP^2} \\ & = \sqrt{(3a\sqrt2)^2 + (a\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{18a^2 + 2a^2} = \sqrt{20a^2} = 2a\sqrt5~\text{satuan} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\sin \angle PBO = \dfrac{OP}{BP} = \dfrac{a\sqrt2}{2a\sqrt5} = \dfrac{\sqrt2}{2\sqrt5} = \dfrac{1}{10}\sqrt{10}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin \angle PBO = \dfrac{1}{10}\sqrt{10}}}$

[collapse]

Kesuksesan dan alasan tidak bisa berjalan bersama.
Jika kamu terus membuat alasan, lupakanlah kesuksesan.
Jika kamu ingin sukses, berhentilah membuat alasan.

CategoriesTrigonometriTags, , , , , , , , , , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *