Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri (Dasar)

Dalam matematika, trigonometri diartikan sebagai ilmu yang mempelajari mengenai hubungan sudut dan sisi dalam sebuah segitigaTrigonometri merupakan salah satu materi matematika tingkat SMA yang banyak membuat siswa mengeluh karena dianggap sulit dipahami. Hal ini diduga karena banyaknya istilah baru yang wajib “dihafal” oleh siswa, apalagi dikolaborasikan dengan rumus-rumusnya yang bisa dibilang cukup banyak. Di lain sisi, siswa sebenarnya tidak dituntut untuk menghafal seluruh rumus yang ada, melainkan harus mampu bernalar dan memahami maksud dan asal muasal rumus yang bersangkutan. Ini adalah PR kita bersama khususnya bagi para guru matematika untuk dapat membuat pemhelajaran trigonometri di kelas menjadi lebih interaktif dan mudah dipahami oleh siswa, dengan catatan tanpa memaksa mereka semata-mata untuk menghafalkan rumus yang tertera di buku paket pelajaran.
         Trigonometri berisi kisah yang cukup panjang, mulai dari bagian dasar sampai kompleks. Kali ini, disediakan soal dan pembahasan mengenai perbandingan trigonometri bagian dasar (pengenalan) dengan cakupan tentang konsep sudut dan penggunaan perbandingan trigonometri, yakni sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan, dan cotangen.
Catatan: soal-soal berikut ini sebagian besar diambil dari buku LKS Matematika Wajib Kelas X Semester 2 yang dikarang oleh Sdr. Nur Aksin dan Sdr. Anna Yuni Astuti dan diterbitkan oleh Intan Pariwara.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Perbandingan Trigonometri

Ada 6 jenis perbandingan trigonometri, yaitu sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen. Perbandingan yang dimaksud adalah pada panjang sisi segitiga siku-siku.

Pada segitiga ABC

yang siku-siku di B, berlaku
\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{BC}{AC}~~~~~~\csc \alpha & = \dfrac{AC}{BC} \\ \cos \alpha & = \dfrac{AB}{AC}~~~~~~\sec \alpha & = \dfrac{AC}{AB} \\ \tan \alpha & = \dfrac{BC}{AB}~~~~~~\cot \alpha & = \dfrac{AB}{BC} \end{aligned}

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah \cdots

A. 30\degree              D. 330\degree
B. 60\degree              E. 390\degree
C. 300\degree

Penyelesaian

Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni -30\degree.
Karena satu putaran sama dengan 360\degree, maka -30\degree sama dengan (360-30)\degree = 330\degree
Jadi, besar sudutnya adalah \boxed{330\degree}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Besar sudut \dfrac34\pi~\text{rad} sama dengan \cdots
A. 75\degree                  D. 210\degree
B. 105\degree                 E. 270\degree
C. 135\degree

Penyelesaian

Ingat bahwa \pi~\text{rad} = 180\degree
Dengan demikian,
\begin{aligned} \dfrac34\pi~\text{rad} & = \dfrac{3}{\cancel{4}} \times \cancelto{45}{180}\degree \\ & = 3 \times 45\degree = 135\degree \end{aligned}
Jadi, besar sudut \dfrac34\pi~\text{rad} sama dengan \boxed{135\degree}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Besar sudut 72\degree sama dengan \cdots~\text{rad}
A. \frac15\pi           D. \frac34\pi
B. \frac25\pi           E. \frac56\pi
C. \frac23\pi

Penyelesaian

Ingat bahwa 1\degree = \dfrac{\pi}{180}~\text{rad}
Dengan demikian,
\begin{aligned} 72\degree & = \cancelto{2}{72} \times \dfrac{\pi}{\cancelto{5}{180}}~\text{rad} \\ & = \dfrac25\pi~\text{rad} \end{aligned}
Jadi, besar sudut 72\degree sama dengan \boxed{\dfrac25\pi~\text{rad}}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan gambar di bawah!

Segitiga ABC siku-siku di C. Pernyataan berikut ini benar, kecuali \cdots

A. \sin \alpha = \frac{BC}{AB}        D. \cos \beta = \frac{BC}{AC}
B. \sin \beta = \frac{AC}{AB}          E. \tan \alpha = \frac{BC}{AC}
C. \cos \alpha = \frac{AC}{AB}

Penyelesaian

Berdasarkan gambar di atas, perbandingan trigonometri untuk sinus, cosinus, dan tangen dari sudut \alfa dan \beta adalah sebagai berikut.
\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{BC}{AB} \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{AC}{AB} \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{BC}{AC} \\ \sin \beta & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{AC}{AB} \\ \cos \beta & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{BC}{AB} \\ \tan \beta & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{AC}{BC} \end{aligned}
Jadi, dari kelima pernyataan (pilihan) yang diberikan, pernyataan yang salah ada pada pilihan jawaban C.

[collapse]

Soal Nomor 5
Perhatikan gambar berikut!

Nilai \cos \alpha adalah …

A. 1        B. \sqrt3       C. \dfrac12\sqrt3        D. \dfrac12       E. \dfrac13\sqrt3

Penyelesaian

Dengan Teorema Pythagoras, panjang c = AB dapat ditentukan sebagai berikut.
c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt3)^2+1^2} = \sqrt4=2
Cosinus sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku.
Untuk itu,
\boxed{\cos \alpha = \dfrac{b}{c} = \dfrac{1}{2}}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui koordinat titik A(-2\sqrt2,-2\sqrt2). Koordinat kutub dari titik A adalah …
A. (4,210\degree)                 D. (5,240\degree) 
B. (2,240\degree)                 E. (4,225\degree)
C. (2,225\degree)

Penyelesaian

Diketahui: x = y = -2\sqrt2
Koordinat kutubnya berbentuk (r, \theta), dengan
\begin{aligned} r & = \sqrt{x^2+y^2} \\ & = \sqrt{(-2\sqrt2)^2+(-2\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{8+8} = 4 \end{aligned}
dan
\begin{aligned} & \tan \theta = \dfrac{y} {x} = \dfrac{-2\sqrt2}{-2\sqrt2} = 1 \\ & \Rightarrow \theta = 45\degree \lor 225\degree \end{aligned}
Karena titik A berada di kuadran 3 (nilai x dan y negatif), maka \theta = 225\degree
Jadi, koordinat kutub dari A(-2\sqrt2,-2\sqrt2) adalah \boxed{(4, 225\degree)}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Segitiga KLM memiliki koordinat K(-5, -2), L(3, -2), dan M(-5,4). Nilai \cos L dan \tan M berturut-turut adalah \cdots
A. \frac35 dan \frac34              D. \frac45 dan \frac34
B. \frac34 dan \frac35              E. \frac45 dan \frac43
C. \frac34 dan \frac43

Penyelesaian

Pertama, sketsakan segitiga KLM pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.

Tampak bahwa segitiga KLM merupakan segitiga siku-siku (di L).
Dari gambar di atas, diketahui bahwa
KL = 3 - (-5) = 8; KM = 4 - (-2) = 6
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
\begin{aligned} LM & = \sqrt{KL^2 + KM^2} \\ & = \sqrt{8^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10 \end{aligned}
Untuk itu,
\begin{aligned} \cos L & = \dfrac{KL}{LM} = \dfrac{8}{10} = \dfrac45 \\ \tan M & = \dfrac{KL}{KM} = \dfrac86 = \dfrac43 \end{aligned}
Jadi, nilai \cos L dan \tan M berturut-turut adalah \boxed{\dfrac45} dan \boxed{\dfrac43}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui segitiga PQR memiliki koordinat P(-3,2), Q(-3, -2), dan R(3,2). Nilai \dfrac{3 \sec R}{\csc Q} = \cdots
A. 1         B. 2        C. 3         D. \sqrt{13}          E. 2\sqrt{13}

Penyelesaian

Pertama, sketsakan segitiga KLM pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.

Tampak bahwa segitiga PQR merupakan segitiga siku-siku (di P).
Tanpa menganalisis lebih jauh mengenai panjang sisi segitiga PQR, kita sebenarnya dapat langsung menghitung nilai dari \dfrac{3 \sec R}{\csc Q} seperti berikut dengan mengingat bahwa secan merupakan kebalikan dari cosinus (mi/sa), sedangkan cosecan merupakan kebalikan dari sinus (mi/de).
\dfrac{3 \sec R}{\csc Q} = \dfrac{3 \times \cancel{\dfrac{QR}{PR}}}{\cancel{\dfrac{QR}{PR}}} = 3
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui \triangle ABC siku-siku di B. Jika \cos A = \dfrac34, nilai \cot A = \cdots
A. \sqrt{7}                   D. \frac34\sqrt7
B. \frac37\sqrt7                 E. \frac43\sqrt7
C. \frac47\sqrt7

Penyelesaian

Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
\cos A = \dfrac{3}{4} = \dfrac{AB}{AC}
Misalkan AB = 3 dan AC = 4, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
\begin{aligned} BC & = \sqrt{AC^2 - AB^2} \\ & = \sqrt{(4)^2-(3)^2} = \sqrt{7} \end{aligned}
Cotangen sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi depan sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
\cot A = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{\sqrt7} = \dfrac37\sqrt7
Jadi, nilai \boxed{\cot A = \dfrac37\sqrt7}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui P sudut lancip. Jika \tan P = \dfrac{5\sqrt{11}}{11}, maka nilai \sin P = \cdots
A. \frac{5}{\sqrt{11}}              D. \frac{\sqrt{11}}{5}
B. \frac{6}{\sqrt{11}}              E. \frac{\sqrt{11}}{6}
C. \frac56

Penyelesaian

Karena P sudut lancip, maka nilai seluruh perbandingan trigonometri bertanda positif.
Tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
\tan P = \dfrac{5\sqrt{11}}{11} = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}}
Misalkan \text{de} = 5\sqrt{11} dan \text{sa} = 11, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh panjang sisi miring, yaitu
\begin{aligned} \text{mi} & = \sqrt{(\text{de})^2 + (\text{sa})^2} \\ & = \sqrt{(5\sqrt{11})^2 + (11)^2} \\ &= \sqrt{275 + 121} = \sqrt{396} = \sqrt{36 \times 11} = 6\sqrt{11} \end{aligned}
Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
\sin P = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{5\cancel{\sqrt{11}}}{6\cancel{\sqrt{11}}} = \dfrac56
Jadi, nilai \boxed{\sin P = \dfrac56}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui \triangle ABC siku-siku di C. Jika \sin B = p, maka nilai \tan B = \cdots
A. \frac{p}{\sqrt{1-p^2}}            D. \frac{p}{\sqrt{p^2-1}}
B. \frac{1}{\sqrt{1-p^2}}            E. \frac{\sqrt{1-p^2}}{p}
C. \frac{1}{\sqrt{p^2-1}}

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar segitiga siku-siku ABC berikut.

Karena \sin B = p = \dfrac{p}{1} = \dfrac{AC}{AB}, maka dapat dimisalkan bahwa AC = p dan AB = 1, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2 - AC^2} \\ & = \sqrt{(1)^2-p^2} \\ & = \sqrt{1-p^2} \end{aligned}
Dengan demikian,
\tan B = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{p}{\sqrt{1-p^2}}
Jadi, nilai \boxed{\tan B = \dfrac{p}{\sqrt{1-p^2}}}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Perhatikan \triangle KLM di bawah!

Jika \cos K = \dfrac{1}{a}, maka nilai \sin K \tan K = \cdots
A. \frac{a^2+1}{a}          D. \frac{a}{a^2+1}
B. \frac{a^2-1}{a}           E. \frac{a^2-1}{a^2+1}
C. \frac{a}{a^2-1}

Penyelesaian

Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
\cos K = \dfrac{1}{a} = \dfrac{KL}{KM}
Misalkan KL = 1 dan KM = a, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
\begin{aligned} LM & = \sqrt{KM^2 - KL^2} \\ & = \sqrt{a^2-(1)^2} = \sqrt{a^2-1} \end{aligned}
Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku, sedangkan tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
\begin{aligned} \sin K \tan K & = \dfrac{LM}{KM} \times \dfrac{LM}{KL} \\ & = \dfrac{\sqrt{a^2-1}}{a} \times \dfrac{\sqrt{a^2-1}}{1} = \dfrac{a^2-1}{a} \end{aligned}
Jadi, nilai \boxed{\sin K \tan K = \dfrac{a^2-1}{a}}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Berdasarkan gambar di bawah, jika \cos \theta = \dfrac23, nilai x yang memenuhi adalah \cdots

A. 3\sqrt5              D. 6\sqrt5
B. 4\sqrt5              E. 7\sqrt5
C. 5\sqrt5

Penyelesaian

Tanpa memperhatikan gambar segitiga siku-siku yang diberikan, panjang sisi depan sudut \theta dapat dihitung dengan menggunakan Teorema Pythagoras.
Dalam hal ini, karena \cos \theta = \dfrac23, maka dimisalkan \text{sa} = 2 dan \text{mi} = 3, sehingga
\text{de} = \sqrt{3^2 - 2^2 } = \sqrt5
Dengan demikian,
\sin \theta = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{\sqrt5}{3}}
Berdasarkan gambar yang diberikan, haruslah \sin \theta = \dfrac{5}{x}. Akibatnya,
\dfrac{\sqrt5}{3} = \dfrac{5}{x} \Leftrightarrow \dfrac{\cancel{5}}{3\sqrt5} = \dfrac{\cancel{5}}{x}
Jadi, nilai x adalah \boxed{3\sqrt5}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika \tan \alpha = \dfrac{1}{a} dengan 0\degree < \alpha < 90\degree, maka nilai dari \cos \alpha - \dfrac{1}{\sin \alpha} sama dengan \cdots
A. \frac{a^2+a+1}{\sqrt{1+a^2}}             D. \frac{a^2-a-1}{\sqrt{1+a^2}}
B. \frac{a^2+a-1}{\sqrt{1+a^2}}             E. \frac{-a^2+a-1}{\sqrt{1+a^2}}
C. \frac{a^2-a+1}{\sqrt{1+a^2}}

Penyelesaian

Karena \alpha berada di kuadran I, maka semua nilai perbandingan trigonometri bertanda positif.
Diketahui bahwa \tan \alpha = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{1}{a}, sehingga dapat dimisalkan bahwa panjang sisi depan sudut \text{de} = 1 dan panjang sisi samping sudut \text{sa} = a.
Dengan demikian, panjang sisi miring (hipotenusa) pada segitiga siku-siku adalah
\begin{aligned} \text{mi} & = \sqrt{(\text{de})^2+(\text{sa})^2} \\ & = \sqrt{1^2+a^2} \end{aligned}
Untuk itu, didapat
\begin{aligned} \cos \alpha - \dfrac{1}{\sin \alpha} & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} - \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} \\ & = \dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}} - \dfrac{\sqrt{1+a^2}}{1} \\ & = \dfrac{a - (a^2+1)}{\sqrt{a^2+1}} \\ & = \dfrac{-a^2+a-1}{\sqrt{a^2+1}} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\cos \alpha - \dfrac{1}{\sin \alpha} = \dfrac{-a^2+a-1}{\sqrt{a^2+1}}}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 15
Segitiga KLM siku-siku di L. Jika \sin M = \dfrac23 dan KL = \sqrt{20}~\text{cm}, maka panjang sisi KM = \cdots~\text{cm}
A. 2\sqrt5                   D. 3\sqrt{10}
B. 3\sqrt5                   E. 4\sqrt{10}
C. 2\sqrt{10}

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku. Dengan demikian, dapat ditulis
\begin{aligned} \sin M & = \dfrac23 \\ \dfrac{KL}{KM} & = \dfrac23 \\ \dfrac{\sqrt{20}}{KM} & = \dfrac23 \\ KM & = \dfrac{3\sqrt{20}}{2} = \dfrac{3 \times \cancel{2}\sqrt5}{\cancel{2}} = 3\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang sisi \boxed{KM = 3\sqrt5~\text{cm}}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Segitiga DEF memiliki sisi tinggi DF. Jika luas segitiga tersebut 9~\text{cm}^2 dan panjang EF = 3~\text{cm}, maka nilai \cos E = \cdots
A. \frac15\sqrt5                D. \frac45\sqrt5
B. \frac25\sqrt5                E. \sqrt5
C. \frac35\sqrt5

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena luas segitiga DEF adalah 9~\text{cm}^2, maka dengan menggunakan rumus luas segitiga umum, diperoleh
\begin{aligned} L_{\triangle DEF} & = \dfrac{EF \times DF}{2} \\ 9 & = \dfrac{3 \times DF}{2} \\ DF & = \dfrac{9 \times 2}{3} = 6~\text{cm} \end{aligned}
Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
\begin{aligned} DE & = \sqrt{EF^2 + DF^2} \\ & = \sqrt{3^2+6^2} \\ & = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} = 3\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \cos E & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{EF}{DE} \\ &  = \dfrac{\cancel{3}}{\cancel{3}\sqrt5} = \dfrac15\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\cos E = \dfrac15\sqrt5~\text{cm}}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Sesuai dengan gambar di bawah, nilai perbandingan \sin \theta adalah \cdots

A. \frac{a^2-d^2}{f^2+g^2}             D. \frac{a^2+b^2}{f^2-g^2}
B. \frac{a^2+b^2}{f^2+g^2}             E. \frac{a^2-b^2}{f^2+g^2}
C. \frac{a^2-b^2}{f^2-g^2}

Penyelesaian

Perhatikan bahwa dengan menggunakan Teorema Pythagoras, kita peroleh dua persamaan berikut.
\begin{cases} c^2 & = a^2 - b^2 \\ e^2 & = f^2 + g^2 \end{cases}
Dengan demikian, diperoleh
\sin \theta = \dfrac{c}{e} = \dfrac{a^2-b^2}{f^2+g^2}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 18
Jika \tan x = -\dfrac23, maka nilai dari \dfrac{5 \sin x + 6 \cos x}{2 \cos x - 3 \sin x} adalah \cdots
A. -\dfrac76        B. -\dfrac23         C. \dfrac13         D. \dfrac23            E. \dfrac76

Penyelesaian

Untuk mendapatkan bentuk \tan x, harus diperhatikan bahwa \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x, sehingga kita perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan \cos x.
\begin{aligned} \dfrac{5 \sin x + 6 \cos x}{2 \cos x - 3 \sin x} & = \dfrac{\dfrac{5 \sin x}{\cos x} + \dfrac{6 \cos x}{\cos x}}{\dfrac{2 \cos x}{\cos x} - \dfrac{3 \sin x}{\cos x}} \\ & = \dfrac{5 \tan x + 6}{2 - 3 \tan x} \\ & = \dfrac{5\left(-\dfrac23\right) + 6}{2 - 3\left(-\dfrac23\right)} \\ & = \dfrac{\dfrac83}{4} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\dfrac{5 \sin x + 6 \cos x}{2 \cos x - 3 \sin x} = \dfrac23}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Dalam segitiga siku-siku ABC di bawah, panjang BC = a dan besar \angle ABC = \beta. Panjang garis tinggi AD = \cdots

A. \sin^2 \beta \cos \beta              D. a \sin \beta \cos^2 \beta
B. a \sin \beta \cos \beta             E. a \sin \beta
C. a \sin^2 \beta

Penyelesaian

Perhatikan segitiga siku-siku ABC.
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri cosinus, berlaku
\begin{aligned} \cos \beta & = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AB}{a} \\ AB & = a \cos \beta \end{aligned}
Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku ABD (siku-siku di D).
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri sinus, berlaku
\begin{aligned} \sin \beta & = \dfrac{AD}{AB} \\ AD & = AB \sin \beta \\ AD & = (a \cos \beta) \sin \beta = a \sin \beta \cos \beta \end{aligned}
Jadi, panjang garis tinggi \boxed{AD = a \sin \beta \cos \beta}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Perhatikan gambar di bawah!

Segiempat ABCD siku-siku di A dan C. Diketahui besar \angle ABD = \alpha, \angle CBD = \beta, dan panjang AD = p. Panjang sisi BC adalah \cdots
A. p \sin \alpha \cos \beta              D. \frac{p \cos \beta}{\sin \alpha}
B. p \cos \alpha \sin \beta              E. \frac{p \sin \beta}{\sin \alpha}
C. \frac{p \sin \alpha}{\cos \beta}

Penyelesaian

Perhatikan segitiga siku-siku ABD.
Nilai sinus sudut alfa diberikan oleh
\sin \alpha = \dfrac{AD}{BD} \Leftrightarrow BD = \dfrac{AD}{\sin \alpha} = \dfrac{p}{\sin \alpha}
Perhatikan segitiga siku-siku BCD.
Nilai cosinus sudut beta diberikan oleh
\begin{aligned} \cos \beta & = \dfrac{BC}{BD} \\ BC & = \cos \beta \cdot BD \\ BC & = \cos \beta \cdot \dfrac{p}{\sin \alpha} = \dfrac{p \cos \beta}{\sin \alpha} \end{aligned}
Jadi, panjang sisi \boxed{BC = \dfrac{p \cos \beta}{\sin \alpha}}
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 21
Tentukan nilai \sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha, \sec \alpha, \csc \alpha, dan \tan \alpha pada segitiga berikut.

Penyelesaian

Jawaban a)
Dari gambar yang diberikan, diketahui bahwa panjang sisi samping sudut alfa dan panjang sisi miring pada segitiga siku-siku itu berturut-turut adalah \text{sa} = 12 dan \text{mi} = 15
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh panjang sisi depan sudut,
\text{de} = \sqrt{15^2-12^2} = \sqrt{225-144} = \sqrt{81} = 9
Untuk itu, kita dapat peroleh
\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{9}{15} = \dfrac35 \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{12}{15} = \dfrac45 \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34 \\ \csc \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} = \dfrac{15}{9} = \dfrac53 \\ \sec \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{sa}} = \dfrac{15}{12} = \dfrac54 \\ \cot \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} = \dfrac{12}{9} = \dfrac43 \end{aligned}
Jawaban b)
Dari gambar yang diberikan, diketahui bahwa panjang sisi depan dan samping sudut alfa pada segitiga siku-siku itu berturut-turut adalah \text{de} = 12 dan \text{sa} =5
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh panjang sisi miring (hipotenusa),
\text{mi} = \sqrt{12^2+5^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13
Untuk itu, kita dapat peroleh
\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{12}{13} \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{5}{13} \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{12}{5} \\ \csc \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} = \dfrac{13}{12} \\ \sec \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{sa}} = \dfrac{13}{5} \\ \cot \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} = \dfrac{5}{12}\end{aligned}
Jawaban c)
Sketsakan ulang gambarnya dengan memberi nama titik sudutnya seperti gambar.

Panjang AC dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras,
\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2 + CD^2} \\ & = \sqrt{24^2+7^2} \\ & = \sqrt{576+49} = \sqrt{625} = 25 \end{aligned}
Panjang BC juga dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras,
\begin{aligned} BC & = \sqrt{AC^2 - AB^2} \\ & = \sqrt{25^2-20^2} \\ & = \sqrt{625-400} = \sqrt{225} = 15 \end{aligned}
Dari sini, diketahui bahwa panjang sisi depan sudut alfa, sisi samping sudut alfa, dan panjang sisi miring (hipotenusa) pada \triangle ABC berturut-turut adalah
\text{de} = 15~~~\text{sa} = 20~~~\text{mi} = 25
Untuk itu, kita dapat peroleh
\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{15}{25} = \dfrac35 \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{20}{25} = \dfrac45 \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{15}{20} = \dfrac34 \\ \csc \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} = \dfrac{25}{15} = \dfrac53 \\ \sec \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{sa}} = \dfrac{25}{20} = \dfrac54 \\ \cot \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} = \dfrac{20}{15} = \dfrac43 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 22
Segitiga KLM siku-siku di K. Jika nilai \sin L = 0,28, tentukan:
a. \tan L                      b. \tan M

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena \sin L = 0,28, maka dapat ditulis
\begin{aligned} \sin L & = \dfrac{28}{100} \\ \dfrac{KM}{ML} & = \dfrac{7}{25} \end{aligned}
Sekarang, misalkan KM = 7 dan ML = 25, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
\begin{aligned} KL & = \sqrt{ML^2-KM^2} \\ & = \sqrt{25^2-7^2} \\ & = \sqrt{625-49} = \sqrt{576} = 24 \end{aligned}
Jawaban a)
\tan L = \dfrac{KM}{KL} = \dfrac{7}{24}
Jawaban b)
\tan M = \dfrac{KL}{KM} = \dfrac{24}{7}

[collapse]

Soal Nomor 23
Perhatikan segitiga siku-siku berikut!

Buktikan pernyataan berikut!

a. \sin^2 C + \cos^2 C = 1
b. \csc^2 A - \cot^2 A = 1

Penyelesaian

Jawaban a)
Pembuktian dari ruas kiri.
\begin{aligned} \sin^2 C + \cos^2 C & = \left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2 + \left(\dfrac{BC}{AC}\right)^2 \\ & = \left(\dfrac{c}{b}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{b}\right)^2 \\ & = \dfrac{c^2 + a^2}{b^2} \\ \text{Terapkan rumus}&~\text{Pythagoras} \\ &= \dfrac{b^2}{b^2} = 1 \end{aligned}
Jawaban b)
Pembuktian dari ruas kiri.
\begin{aligned} \csc^2 C - \cot^2 C & = \left(\dfrac{AC}{AB}\right)^2 - \left(\dfrac{BC}{AB}\right)^2 \\ & = \left(\dfrac{b}{c}\right)^2 - \left(\dfrac{a}{c}\right)^2 \\ & = \dfrac{b^2 - a^2}{c^2} \\ \text{Terapkan rumus}&~\text{Pythagoras} \\ &= \dfrac{c^2}{c^2} = 1 \end{aligned} 

[collapse]

Soal Nomor 24
Perhatikan gambar berikut!

Jika panjang AD = 1~\text{cm}, tunjukkan bahwa panjang DB = \dfrac{\tan \alpha}{\tan \beta - \tan \alpha}

Penyelesaian

Tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Pada segitiga ABC, diperoleh
\begin{aligned} \tan \alpha & = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BC}{AD + BD} = \dfrac{BC}{1 + BD} \\ BC & = \tan \alpha(1 + BD) = \color{red}{\tan \alpha + BD \tan \alpha} \end{aligned}
Pada segitiga DBC, diperoleh
\begin{aligned} \tan \beta & = \dfrac{BC}{BD} \\ \tan \beta & = \dfrac{\begingroup \color{red}{\tan \alpha + BD \tan \alpha} \endgroup}{BD} \\ BD \tan \beta & = \tan \alpha + BD \tan \alpha \\ BD(\tan \beta - \tan \alpha) & = \tan \alpha \\ BD & = \dfrac{\tan \alpha}{\tan \beta - \tan \alpha}~\text{cm} \end{aligned}
(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 25
Diketahui persegi ABCD mempunyai panjang sisi 6a satuan. Kedua diagonalnya berpotongan di titik O. Jika titik P terletak pada diagonal AC dengan perbandingan OP : PC = 1 : 2, tentukan nilai \sin \angle PBO.

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Berdasarkan sifat persegi, kedua diagonalnya pasti berpotongan tegak lurus di tengah-tengah, yaitu titik O.
Panjang diagonal AC = BD dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras, misal ditinjau dari segitiga siku-siku ABD.
\begin{aligned} AC = BD & = \sqrt{AB^2+AD^2} \\ & = \sqrt{(6a)^2 + (6a)^2} \\ & = \sqrt{(6a)^2(1+1)} = 6a\sqrt2~\text{satuan} \end{aligned}
Titik P terletak pada AC dengan perbandingan OP : PC = 1 : 2.
Karena AC = 6a\sqrt2, maka panjang OC = 3a\sqrt2 (setengah dari AC).
Berdasarkan perbandingan tersebut, 
OP = \dfrac{1}{1+2} \times OC = \dfrac13 \times 3a\sqrt2 = a\sqrt2
Sekarang, tinjau segitiga siku-siku BOP seperti ilustrasi gambar berikut.

Panjang BP dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras seperti berikut.
\begin{aligned} BP & = \sqrt{BO^2 + OP^2} \\ & = \sqrt{(3a\sqrt2)^2 + (a\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{18a^2 + 2a^2} = \sqrt{20a^2} = 2a\sqrt5~\text{satuan} \end{aligned}
Dengan demikian,
\sin \angle PBO = \dfrac{OP}{BP} = \dfrac{a\sqrt2}{2a\sqrt5} = \dfrac{\sqrt2}{2\sqrt5} = \dfrac{1}{10}\sqrt{10}
Jadi, nilai dari \boxed{\sin \angle PBO = \dfrac{1}{10}\sqrt{10}}}

[collapse]

Kesuksesan dan alasan tidak bisa berjalan bersama.
Jika kamu terus membuat alasan, lupakanlah kesuksesan.
Jika kamu ingin sukses, berhentilah membuat alasan.

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesTrigonometriTags, , , , , , , , , , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *