Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri (Dasar)

Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam sehingga tandanya negatif, yakni $-30^{\circ}.$ Karena satu putaran sama dengan $360^{\circ},$ haruslah $-30^{\circ}$ sama dengan $(360-30)^{\circ} = 330^{\circ}.$
Jadi, besar sudutnya adalah $\boxed{330^{\circ}}$
(Jawaban D)

Ingat bahwa $\pi~\text{rad} = 180^{\circ}.$ Dengan demikian,
$\begin{aligned} \dfrac34\pi~\text{rad} & = \dfrac{3}{\cancel{4}} \times \cancelto{45}{180}^{\circ} \\ & = 3 \times 45^{\circ} = 135^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $\dfrac34\pi~\text{rad}$ sama dengan $\boxed{135^{\circ}}$
(Jawaban C)

Ingat bahwa $1^{\circ} = \dfrac{\pi}{180}~\text{rad}.$ Dengan demikian,
$\begin{aligned} 72^{\circ} & = \cancelto{2}{72} \times \dfrac{\pi}{\cancelto{5}{180}}~\text{rad} \\ & = \dfrac25\pi~\text{rad}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $72^{\circ}$ sama dengan $\boxed{\dfrac25\pi~\text{rad}}$
(Jawaban B)

Berdasarkan gambar di atas, perbandingan trigonometri untuk sinus, kosinus, dan tangen dari sudut $\alpha$ dan $\beta$ adalah sebagai berikut.
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{BC}{AB} \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{AC}{AB} \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{BC}{AC} \\ \sin \beta & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{AC}{AB} \\ \cos \beta & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{BC}{AB} \\ \tan \beta & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{AC}{BC} \end{aligned}$
Jadi, dari kelima pernyataan (pilihan) yang diberikan, pernyataan yang salah ada pada pilihan jawaban D.

Dengan teorema Pythagoras, panjang $c = AB$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} c & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2+1^2} \\ & = \sqrt4=2 \end{aligned}$
Kosinus sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku. Untuk itu, $\boxed{\cos \alpha = \dfrac{b}{c} = \dfrac{1}{2}}$
(Jawaban D)

Diketahui $x = y = -2\sqrt2.$ Koordinat kutubnya berbentuk $(r, \theta)$ dengan
$\begin{aligned} r & = \sqrt{x^2+y^2} \\ & = \sqrt{(-2\sqrt2)^2+(-2\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{8+8} = 4. \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} & \tan \theta = \dfrac{y} {x} = \dfrac{-2\sqrt2}{-2\sqrt2} = 1 \\ & \Rightarrow \theta = 45^{\circ} \lor 225^{\circ}. \end{aligned}$
Karena titik $A$ berada di kuadran III (nilai $x$ dan $y$ negatif), haruslah $\theta = 225^{\circ}.$ Jadi, koordinat kutub dari $A(-2\sqrt2,-2\sqrt2)$ adalah $\boxed{(4, 225^{\circ})}$
(Jawaban E)

Pertama, sketsakan segitiga $KLM$ pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.

Tampak bahwa segitiga $KLM$ merupakan segitiga siku-siku (di $L$).
Dari gambar di atas, diketahui bahwa $KL = 3 -(-5) = 8;$ $KM = 4 -(-2) = 6.$
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} LM & = \sqrt{KL^2 + KM^2} \\ & = \sqrt{8^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10. \end{aligned}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} \cos L & = \dfrac{KL}{LM} = \dfrac{8}{10} = \dfrac45 \\ \tan M & = \dfrac{KL}{KM} = \dfrac86 = \dfrac43. \end{aligned}$
Jadi, nilai $\cos L$ dan $\tan M$ berturut-turut adalah $\boxed{\dfrac45}$ dan $\boxed{\dfrac43}$
(Jawaban E)

Pertama, sketsakan segitiga $KLM$ pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.
Tampak bahwa segitiga $PQR$ merupakan segitiga siku-siku (di $P$).
Tanpa menganalisis lebih jauh mengenai panjang sisi segitiga $PQR$, kita sebenarnya dapat langsung menghitung nilai dari $\dfrac{3 \sec R}{\csc Q}$ seperti berikut dengan mengingat bahwa sekan merupakan kebalikan dari kosinus (mi/sa), sedangkan kosekan merupakan kebalikan dari sinus (mi/de). Jadi,
$\dfrac{3 \sec R}{\csc Q} = \dfrac{3 \times \cancel{\dfrac{QR}{PR}}}{\cancel{\dfrac{QR}{PR}}} = 3.$
(Jawaban C)

Kosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu, $\cos A = \dfrac{3}{4} = \dfrac{AB}{AC}.$
Misalkan $AB = 3$ dan $AC = 4,$ maka dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AC^2 -AB^2} \\ & = \sqrt{(4)^2-(3)^2} = \sqrt{7}. \end{aligned}$
Kotangen sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi depan sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu, $\cot A = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{\sqrt7} = \dfrac37\sqrt7.$
Jadi, nilai $\boxed{\cot A = \dfrac37\sqrt7}$
(Jawaban B)

Karena $P$ sudut lancip, maka nilai seluruh perbandingan trigonometri bertanda positif.
Tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu, $\tan P = \dfrac{5\sqrt{11}}{11} = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}}.$
Misalkan $\text{de} = 5\sqrt{11}$ dan $\text{sa} = 11,$ maka dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh panjang hipotenusa, yaitu
$\begin{aligned} \text{mi} & = \sqrt{(\text{de})^2 + (\text{sa})^2} \\ & = \sqrt{(5\sqrt{11})^2 + (11)^2} \\ &= \sqrt{275 + 121} \\ & = \sqrt{396} \\ & = \sqrt{36 \times 11} = 6\sqrt{11}. \end{aligned}$
Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu, $\sin P = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{5\cancel{\sqrt{11}}}{6\cancel{\sqrt{11}}} = \dfrac56.$
Jadi, nilai $\boxed{\sin P = \dfrac56}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar segitiga siku-siku $ABC$ berikut.
Karena $\sin B = p = \dfrac{p}{1} = \dfrac{AC}{AB}$, dapat dimisalkan bahwa $AC = p$ dan $AB = 1$ sehingga dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2 -AC^2} \\ & = \sqrt{(1)^2-p^2} \\ & = \sqrt{1-p^2}. \end{aligned}$
Dengan demikian, $\tan B = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{p}{\sqrt{1-p^2}}.$
Jadi, nilai $\boxed{\tan B = \dfrac{p}{\sqrt{1-p^2}}}$
(Jawaban A)

Kosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu, $\cos K = \dfrac{1}{a} = \dfrac{KL}{KM}.$
Misalkan $KL = 1$ dan $KM = a$, maka dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} LM & = \sqrt{KM^2 -KL^2} \\ & = \sqrt{a^2-(1)^2} \\ & = \sqrt{a^2-1}. \end{aligned}$
Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku, sedangkan tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku. Untuk itu,
$\begin{aligned} \sin K \tan K & = \dfrac{LM}{KM} \times \dfrac{LM}{KL} \\ & = \dfrac{\sqrt{a^2-1}}{a} \times \dfrac{\sqrt{a^2-1}}{1} \\ & = \dfrac{a^2-1}{a}. \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\sin K \tan K = \dfrac{a^2-1}{a}}$
(Jawaban B)

Tanpa memperhatikan gambar segitiga siku-siku yang diberikan, panjang sisi depan sudut $\theta$ dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras.
Dalam hal ini, karena $\cos \theta = \dfrac23$, maka dimisalkan $\text{sa} = 2$ dan $\text{mi} = 3$ sehingga $\text{de} = \sqrt{3^2 -2^2} = \sqrt5.$
Dengan demikian, $\sin \theta = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{\sqrt5}{3}.$ Berdasarkan gambar yang diberikan, haruslah $\sin \theta=\dfrac{5}{x}.$ Akibatnya,
$\dfrac{\sqrt5}{3} = \dfrac{5}{x} \Leftrightarrow \dfrac{\cancel{5}}{3\sqrt5} = \dfrac{\cancel{5}}{x}.$
Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{3\sqrt5}$
(Jawaban A)

Karena $\alpha$ berada di kuadran I, maka semua nilai perbandingan trigonometri bertanda positif.
Diketahui bahwa $\tan \alpha = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{1}{a}$ sehingga dapat dimisalkan bahwa panjang sisi depan sudut $\text{de} = 1$ dan panjang sisi samping sudut $\text{sa} = a.$
Dengan demikian, panjang sisi miring (hipotenusa) pada segitiga siku-siku adalah
$\begin{aligned} \text{mi} & = \sqrt{(\text{de})^2+(\text{sa})^2} \\ & = \sqrt{1^2+a^2}. \end{aligned}$
Untuk itu, didapat
$$\begin{aligned} \cos \alpha -\dfrac{1}{\sin \alpha} & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} -\dfrac{\text{mi}}{\text{de}} \\ & = \dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}- \dfrac{\sqrt{1+a^2}}{1} \\ & = \dfrac{a -(a^2+1)}{\sqrt{a^2+1}} \\ & = \dfrac{-a^2+a-1}{\sqrt{a^2+1}}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\cos \alpha -\dfrac{1}{\sin \alpha} = \dfrac{-a^2+a-1}{\sqrt{a^2+1}}}$
(Jawaban E)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \sin M & = \dfrac23 \\ \dfrac{KL}{KM} & = \dfrac23 \\ \dfrac{\sqrt{20}}{KM} & = \dfrac23 \\ KM & = \dfrac{3\sqrt{20}}{2} = \dfrac{3 \times \cancel{2}\sqrt5}{\cancel{2}} \\ & = 3\sqrt5~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{KM = 3\sqrt5~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena luas segitiga $DEF$ adalah $9~\text{cm}^2, dengan menggunakan rumus luas segitiga, diperoleh
$\begin{aligned} L_{\triangle DEF} & = \dfrac{EF \times DF}{2} \\ 9 & = \dfrac{3 \times DF}{2} \\ DF & = \dfrac{9 \times 2}{3} = 6~\text{cm}. \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} DE & = \sqrt{EF^2 + DF^2} \\ & = \sqrt{3^2+6^2} \\ & = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} = 3\sqrt5~\text{cm}. \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \cos E & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{EF}{DE} \\ &  = \dfrac{\cancel{3}}{\cancel{3}\sqrt5} = \dfrac15\sqrt5~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\cos E = \dfrac15\sqrt5~\text{cm}}$
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita peroleh dua persamaan berikut.
$\begin{cases} c^2 & = a^2 -b^2 \\ e^2 & = f^2 + g^2 \end{cases}$
Dengan demikian, diperoleh
$\sin^2 \theta = \dfrac{c^2}{e^2} = \dfrac{a^2-b^2}{f^2+g^2}.$
(Jawaban E)

Untuk mendapatkan bentuk $\tan x$, harus diperhatikan bahwa $\dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ sehingga kita perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan $\cos x.$ Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \dfrac{5 \sin x + 6 \cos x}{2 \cos x -3 \sin x} & = \dfrac{\dfrac{5 \sin x}{\cos x} + \dfrac{6 \cos x}{\cos x}}{\dfrac{2 \cos x}{\cos x} -\dfrac{3 \sin x}{\cos x}} \\ & = \dfrac{5 \tan x + 6}{2 -3 \tan x} \\ & = \dfrac{5\left(-\dfrac23\right) + 6}{2 -3\left(-\dfrac23\right)} \\ & = \dfrac{\frac83}{4} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{5 \sin x + 6 \cos x}{2 \cos x -3 \sin x} = \dfrac23}$
(Jawaban D)

Perhatikan segitiga siku-siku $ABC.$
Dengan menggunakan perbandingan kosinus, berlaku
$\begin{aligned} \cos \beta & = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AB}{a} \\ AB & = a \cos \beta. \end{aligned}$
Sekarang perhatikan segitiga siku-siku $ABD$ (siku-siku di $D$).
Dengan menggunakan perbandingan sinus, berlaku
$\begin{aligned} \sin \beta & = \dfrac{AD}{AB} \\ AD & = AB \sin \beta \\ AD & = (a \cos \beta) \sin \beta = a \sin \beta \cos \beta. \end{aligned}$
Jadi, panjang garis tinggi $\boxed{AD = a \sin \beta \cos \beta}$
(Jawaban B)

Perhatikan segitiga siku-siku $ABD.$
Nilai sinus sudut alfa diberikan oleh
$\sin \alpha = \dfrac{AD}{BD} \Leftrightarrow BD = \dfrac{AD}{\sin \alpha} = \dfrac{p}{\sin \alpha}.$
Perhatikan segitiga siku-siku $BCD.$
Nilai kosinus sudut beta diberikan oleh $\cos \beta = \dfrac{BC}{BD}$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} BC & = \cos \beta \cdot BD \\ & = \cos \beta \cdot \dfrac{p}{\sin \alpha} \\ & = \dfrac{p \cos \beta}{\sin \alpha}. \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{BC = \dfrac{p \cos \beta}{\sin \alpha}}$
(Jawaban D)

Jawaban a)
Dari gambar yang diberikan, diketahui bahwa panjang sisi samping sudut alfa dan panjang sisi miring pada segitiga siku-siku itu berturut-turut adalah $\text{sa} = 12$ dan $\text{mi} = 15.$
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh panjang sisi depan sudut $\alpha,$ yaitu
$\begin{aligned} \text{de} & = \sqrt{15^2-12^2} \\ & = \sqrt{225-144} = \sqrt{81} = 9. \end{aligned}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{9}{15} = \dfrac35 \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{12}{15} = \dfrac45 \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34 \\ \csc \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} = \dfrac{15}{9} = \dfrac53 \\ \sec \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{sa}} = \dfrac{15}{12} = \dfrac54 \\ \cot \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} = \dfrac{12}{9} = \dfrac43. \end{aligned}$
Jawaban b)
Dari gambar yang diberikan, diketahui bahwa panjang sisi depan dan samping sudut alfa pada segitiga siku-siku itu berturut-turut adalah $\text{de} = 12$ dan $\text{sa} =5.$ Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh panjang sisi miring (hipotenusa), yaitu
$\begin{aligned} \text{mi} & = \sqrt{12^2+5^2} \\ & = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13. \end{aligned}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{12}{13} \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{5}{13} \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{12}{5} \\ \csc \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} = \dfrac{13}{12} \\ \sec \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{sa}} = \dfrac{13}{5} \\ \cot \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} = \dfrac{5}{12}.\end{aligned}$
Jawaban c)
Sketsakan ulang gambarnya dengan memberi nama titik sudutnya seperti gambar.
Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AD^2 + CD^2} \\ & = \sqrt{24^2+7^2} \\ & = \sqrt{576+49} = \sqrt{625} = 25. \end{aligned}$
Panjang $BC$ juga dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AC^2 -AB^2} \\ & = \sqrt{25^2-20^2} \\ & = \sqrt{625-400} = \sqrt{225} = 15. \end{aligned}$
Dari sini, diketahui bahwa panjang sisi depan sudut alfa, sisi samping sudut alfa, dan panjang sisi miring (hipotenusa) pada $\triangle ABC$ berturut-turut adalah
$\text{de} = 15~~~\text{sa} = 20~~~\text{mi} = 25.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac{15}{25} = \dfrac35 \\ \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{20}{25} = \dfrac45 \\ \tan \alpha & = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{15}{20} = \dfrac34 \\ \csc \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} = \dfrac{25}{15} = \dfrac53 \\ \sec \alpha & = \dfrac{\text{mi}}{\text{sa}} = \dfrac{25}{20} = \dfrac54 \\ \cot \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} = \dfrac{20}{15} = \dfrac43. \end{aligned}$

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena $\sin L = 0,\!28,$ didapat
$\begin{aligned} \sin L & = \dfrac{28}{100} \\ \dfrac{KM}{ML} & = \dfrac{7}{25}. \end{aligned}$
Misalkan $KM = 7$ dan $ML = 25,$ maka dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} KL & = \sqrt{ML^2-KM^2} \\ & = \sqrt{25^2-7^2} \\ & = \sqrt{625-49} = \sqrt{576} = 24. \end{aligned}$
Jawaban a)
$\tan L = \dfrac{KM}{KL} = \dfrac{7}{24}.$
Jawaban b)
$\tan M = \dfrac{KL}{KM} = \dfrac{24}{7}.$

Berdasarkan rumus Pythagoras, berlaku $b^2=a^2+c^2.$
Jawaban a)
Pembuktian dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} \sin^2 C + \cos^2 C & = \left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2 + \left(\dfrac{BC}{AC}\right)^2 \\ & = \left(\dfrac{c}{b}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{b}\right)^2 \\ & = \dfrac{c^2 + a^2}{b^2} \\ &= \dfrac{b^2}{b^2} = 1 \end{aligned}$$Jawaban b)
Pembuktian dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} \csc^2 C -\cot^2 C & = \left(\dfrac{AC}{AB}\right)^2- \left(\dfrac{BC}{AB}\right)^2 \\ & = \left(\dfrac{b}{c}\right)^2 -\left(\dfrac{a}{c}\right)^2 \\ & = \dfrac{b^2 -a^2}{c^2} \\ &= \dfrac{c^2}{c^2} = 1 \end{aligned}$$

Tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku. Pada segitiga $ABC$, diperoleh
$$\begin{aligned} \tan \alpha & = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BC}{AD + BD} = \dfrac{BC}{1 + BD} \\ BC & = \tan \alpha(1 + BD) \\ BC & = \color{red}{\tan \alpha + BD \tan \alpha} \end{aligned}$$Pada segitiga $DBC$, diperoleh
$$\begin{aligned} \tan \beta & = \dfrac{BC}{BD} \\ \tan \beta & = \dfrac{ \color{red}{\tan \alpha + BD \tan \alpha}}{BD} \\ BD \tan \beta & = \tan \alpha + BD \tan \alpha \\ BD(\tan \beta -\tan \alpha) & = \tan \alpha \\ BD & = \dfrac{\tan \alpha}{\tan \beta -\tan \alpha}~\text{cm}. \end{aligned}$$(Terbukti)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Berdasarkan sifat persegi, kedua diagonalnya pasti berpotongan tegak lurus di tengah-tengah, yaitu titik $O.$
Panjang diagonal $AC = BD$ dapat ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras, misal ditinjau dari segitiga siku-siku $ABD.$
$\begin{aligned} AC = BD & = \sqrt{AB^2+AD^2} \\ & = \sqrt{(6a)^2 + (6a)^2} \\ & = \sqrt{(6a)^2(1+1)} \\ & = 6a\sqrt2~\text{satuan} \end{aligned}$
Titik $P$ terletak pada $AC$ dengan perbandingan $OP : PC = 1 : 2.$
Karena $AC = 6a\sqrt2$, maka panjang $OC = 3a\sqrt2$ (setengah dari $AC$).
Berdasarkan perbandingan tersebut, didapat
$\begin{aligned} OP & = \dfrac{1}{1+2} \times OC \\ &  = \dfrac13 \times 3a\sqrt2 = a\sqrt2. \end{aligned}$
Sekarang tinjau segitiga siku-siku $BOP$ seperti ilustrasi gambar berikut.
Panjang $BP$ dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras seperti berikut.
$\begin{aligned} BP & = \sqrt{BO^2 + OP^2} \\ & = \sqrt{(3a\sqrt2)^2 + (a\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{18a^2 + 2a^2} = \sqrt{20a^2} \\ & = 2a\sqrt5~\text{satuan} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \sin \angle PBO & = \dfrac{OP}{BP} = \dfrac{a\sqrt2}{2a\sqrt5} \\ & = \dfrac{\sqrt2}{2\sqrt5} = \dfrac{1}{10}\sqrt{10}. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin \angle PBO = \dfrac{1}{10}\sqrt{10}}$

Perhatikan sketsa gambar trapesium berikut.
Pada segitiga siku-siku $AGO$, berlaku $$\cos \alpha = \dfrac{a}{1} = a.$$Pada segitiga siku-siku $OED$, berlaku $$\cos \alpha = \dfrac{1-c}{1} \Leftrightarrow c = 1-\cos \alpha.$$Pada segitiga siku-siku $AHD$, berlaku $$\sin \alpha = \dfrac{2b}{2} = b.$$Dengan demikian, luas trapesium tersebut adalah
$$\begin{aligned} L & = \dfrac{AB + DC}{2} \times BC \\ & = \dfrac{(a+1) + c}{\cancel{2}} \times \cancel{2}b \\ & = \left(\cos \alpha + 1 + (1-\cos \alpha)\right) \times \sin \alpha \\ & = 2 \sin \alpha. \end{aligned}$$Jadi, luas trapesium tersebut adalah $\boxed{2 \sin \alpha}$

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dari gambar di atas, berlaku
$$\begin{aligned} \tan \alpha & = \dfrac{t}{a+b} \Leftrightarrow \color{blue}{a+b = \dfrac{t}{\tan \alpha}} && (\cdots 1) \\ \tan \beta & = \dfrac{h}{a} && (\cdots 2) \\ \tan \beta & = \dfrac{h+t}{b}. && (\cdots 3) \end{aligned}$$Dari Persamaan $(2)$ dan $(3),$ diperoleh
$$\begin{aligned} \tan \beta & = \dfrac{h+(h+t)}{a+b} \\ \tan \beta & = \dfrac{2h+t}{a+b} \\ \color{blue}{(a+b)} \tan \beta & = 2h+t \\ \dfrac{t}{\tan \alpha} \cdot \tan \beta & = 2h+t \\ t \left(\dfrac{\tan \beta}{\tan \alpha}-1\right) & = 2h \\ t\left(\dfrac{\tan \beta-\tan \alpha}{\tan \alpha}\right) & = 2h \\ t & = \dfrac{2h \tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}. \end{aligned}$$Karena ketinggian burung dari permukaan air/tanah sama dengan $t + h$, diperoleh
$$\begin{aligned} \text{Tinggi Burung} & = \dfrac{2h \tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha} + h \\ & = \dfrac{2h \tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha} + \dfrac{h(\tan \beta- \tan \alpha)}{\tan \beta-\tan \alpha} \\ & = \dfrac{h(2 \tan \alpha+\tan \beta-\tan \alpha)}{\tan \beta-\tan \alpha} \\ & = \dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{\tan \beta-\tan \alpha} \cdot h. \end{aligned}$$Jadi, ketinggian burung tersebut adalah $\boxed{\dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{\tan \beta-\tan \alpha} \cdot h}$

Pada segitiga tersebut, berlaku
$$\begin{aligned} \sin 37^\circ & = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac35 \\ \cos 37^\circ & = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac45. \end{aligned}$$Misalkan panjang sisi persegi = $s.$
Posisikan titik $D, E, F$ seperti tampak pada gambar di bawah. Misalkan juga $CE = x$ dan $EB = y$ sehingga $x + y = BC = 3.$Pada segitiga $CDE,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \cos 37^\circ & = \dfrac{DE}{CE} \\ \dfrac45 & = \dfrac{s}{x} \\ x & = \dfrac54s. \end{aligned}$$Pada segitiga $FBE,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \sin 37^\circ & = \dfrac{EB}{FE} \\ \dfrac35 & = \dfrac{y}{s} \\ y & = \dfrac35s. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} x + y & = 3 \\ \dfrac54s +  \dfrac35s & = 3 \\ \dfrac{25+12}{20}s & = 3 \\ \dfrac{37}{20}s & = 3 \\ s & = \dfrac{60}{37}. \end{aligned}$$Jadi, panjang sisi persegi adalah $\boxed{\dfrac{60}{37}}$