Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

       Nah, sekarang trigonometri mulai menunjukkan taringnya di sini. Sebelumnya, kita sudah belajar tentang Perbandingan Trigonometri (Dasar). Lanjutan dari submateri tersebut adalah mengenai Perbandingan Trigonometri (Lanjutan), yaitu pada berbagai kuadran. Dengan kata lain, kita akan mengenal jauh lebih dalam mengenai apa yang disebut sebagai sudut istimewa.

Today Quote

Orang sukses adalah orang biasa yang pantang menyerah dan pekerja keras.

Berikut ini soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat!
Catatan: soal-soal berikut ini sebagian besar diambil dari buku LKS Matematika Wajib Kelas X Semester 2 yang dikarang oleh Sdr. Nur Aksin dan Sdr. Anna Yuni Astuti dan diterbitkan oleh Intan Pariwara.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Perhatikan gambar berikut!

Nilai $\cos \alpha$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac45$                   C. $\dfrac34$                 E. $-\dfrac45$
B. $\dfrac35$                   D. $-\dfrac35$         

Penyelesaian

Panjang $OA = r$ merupakan panjang hipotenusa suatu segitiga siku-siku yang sisinya pada sumbu koordinat, sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} OA = r & = \sqrt{(-6)^2+8^2} \\ & = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 \end{aligned}$
Karena $\alpha$ berada di kuadran II, maka cosinus sudut alfa bernilai negatif, sehingga
$\cos \alpha = -\dfrac{x}{r} = -\dfrac{6}{10} = -\dfrac35$
Jadi, nilai $\boxed{\cos \alpha = -\dfrac35}$ 
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Perbandingan trigonometri yang senilai dengan $\cos (180^{\circ} + \alpha)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\cos \alpha$                      D. $-\cos \alpha$
B. $\tan \alpha$                      E. $-\sin \alpha$
C. $\sin \alpha$

Penyelesaian

Untuk kuadran 3, berlaku hubungan relasi sudut:
$\begin{aligned} \sin (180^{\circ} + \alpha) & =-\sin \alpha \\ \cos (180^{\circ} + \alpha) & = -\cos \alpha \\ \tan (180^{\circ} + \alpha) & = \tan \alpha \end{aligned}$
Jadi, perbandingan trigonometri yang senilai dengan $\cos (180^{\circ} + \alpha)$ adalah $\boxed{-\cos \alpha}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Nilai dari $\dfrac{\sin 60^{\circ}}{1 + \cos 60^{\circ}} = \cdots \cdot$ 
A. $\tan 60^{\circ}$                     D. $\csc 60^{\circ}$ 
B. $\tan 30^{\circ}$                     E. $\sin 60^{\circ}$
C. $\sec 60^{\circ}$ 

Penyelesaian

Dengan memasukkan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewanya, diperoleh
$\dfrac{\sin 60^{\circ}}{1 + \cos 60^{\circ}} = \dfrac{\frac12\sqrt3}{1 + \frac12} = \dfrac{\frac{1}{\cancel{2}} \sqrt3}{\frac{3}{\cancel{2}}} = \dfrac{1}{3}\sqrt3$
Bentuk yang nilainya setara dengan $\dfrac13\sqrt3$ adalah $\boxed{\tan 30^{\circ}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai dari $\sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\sqrt{3}$                   D. $1$
B. $-1$                       E. $\sqrt3$
C. $0$                          

Penyelesaian

Konversi radian ke derajat:
$\boxed{a~\text{rad} = a \times \dfrac{180^{\circ}} {\pi}}$
Untuk itu, 
$\begin{aligned} & \dfrac23\pi = \dfrac23\pi \times \dfrac{180^{\circ}} {\pi} = 120^{\circ} \\ & \dfrac73\pi = \dfrac73\pi \times \dfrac{180^{\circ}} {\pi} = 420^{\circ} \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} & \sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi \\ & = \sin 120^{\circ} + \sin 420^{\circ} \\ & = \sin (180-60)^{\circ} + \sin (360+60)^{\circ} \\ & = \sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ} \\ & = \dfrac12\sqrt3 +\dfrac12\sqrt3 = \sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi = \sqrt3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai $\dfrac{\sin 150^{\circ} + \sin 120^{\circ}}{\cos 210^{\circ} -\cos 300^{\circ}} = \cdots \cdot$
A. $2$           B. $1$           C. $0$        D $-\dfrac12$        E. $-1$

Penyelesaian

Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri sudut berelasi, diperoleh
$\begin{aligned} & \dfrac{\sin 150^{\circ} + \sin 120^{\circ}}{\cos 210^{\circ}- \cos 300^{\circ}} \\ & = \dfrac{\sin (180-30)^{\circ} + \sin (180-60)^{\circ}}{\cos (180 + 30)^{\circ} -\cos (360 -60)^{\circ}} \\ & = \dfrac{\sin 30^{\circ} + \sin 60^{\circ}}{-\cos 30^{\circ} -\cos 60^{\circ}} \\ & = \dfrac{\dfrac12 + \dfrac12\sqrt3}{-\dfrac12\sqrt3 – \dfrac12} \\ & = \dfrac{\cancel{\dfrac12 + \dfrac12\sqrt3}}{-\cancel{\left(\dfrac12\sqrt3 + \dfrac12\right)}} = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{\sin 150^{\circ} + \sin 120^{\circ}}{\cos 210^{\circ} – \cos 300^{\circ}} = -1}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai $\cos 330^{\circ} \tan (-315)^{\circ} -\sin (-210^{\circ}) \cot 330^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac14\sqrt3$                       D. $\sqrt3$
B. $\frac13\sqrt3$                       E. $2\sqrt3$
C. $\frac12\sqrt3$

Penyelesaian

Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri sudut berelasi, diperoleh
$$\begin{aligned} & \cos 330^{\circ} \tan (-315)^{\circ} -\sin (-210^{\circ}) \cot 330^{\circ} \\ & = \cos (360 -30)^{\circ} (-\tan (360-45)^{\circ}) -(-\sin (180+30)^{\circ}) \cot (360-30)^{\circ} \\ & = -\cos 30^{\circ} (-\tan 45^{\circ}) -\sin 30^{\circ}(-\cot 30^{\circ}) \\ & = \cos 30^{\circ} \tan 45^{\circ} + \sin 30^{\circ} \cot 30^{\circ} \\ & = \dfrac12\sqrt3 \times 1 + \dfrac12 \times \sqrt3 = \sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\cos 330^{\circ} \tan (-315)^{\circ} – \sin (-210^{\circ}) \cot 330^{\circ} = \sqrt3}$$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika diketahui $\alpha = \dfrac{3\pi}{4}$, pernyataan berikut yang benar adalah $\cdots \cdot$
A. $\sin \alpha = \cos \alpha$
B. $\sin \alpha + \cos \alpha = 1$
C. $\sin \alpha + \cos \alpha = 0$
D. $\sin \alpha -\cos \alpha = 1$
E. $\sin \alpha -\cos \alpha = 0$

Penyelesaian

Karena $\alpha = \dfrac{3\pi}{4}$, maka
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \sin \dfrac{3\pi}{4} = \sin 135^{\circ} \\ & = \sin (180-45)^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \cos \alpha & = \cos \dfrac{3\pi}{4} = \cos 135^{\circ} \\ & = \cos (180-45)^{\circ} \\ & = -\cos 45^{\circ} = -\dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
Dengan demikian, pernyataan yang benar adalah
$\boxed{\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac12\sqrt2 + \left(-\dfrac12\sqrt2\right) = 0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $\tan \alpha = \dfrac34$ dengan $180^{\circ} \leq \alpha \leq 270^{\circ}$, nilai $\sin \alpha = \cdots \cdot$
A. $-\dfrac34$                  C. $-\dfrac35$               E. $\dfrac34$
B. $-\dfrac45$                  D. $\dfrac35$
             

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $\alpha$ berada di kuadran III, sehingga tangen sudutnya bernilai positif, sedangkan sinus sudutnya bernilai negatif.



Karena $\tan \alpha = \dfrac34$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $3$, sedangkan panjang sisi samping sudutnya $4$ (tan = de/sa) seperti gambar berikut.

Dengan demikian, 
$\text{mi} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25}=5$
Untuk itu, 
$\sin \alpha = -\dfrac{\text{de}} {\text{mi}} = -\dfrac{3}{5}$
(Sinus sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran III)
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin \alpha =-\dfrac35}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui $90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$ dan $\sin \theta = \dfrac56$. Nilai $\cos \theta = \cdots \cdot$
A. $-\dfrac65$                            D. $\dfrac16\sqrt{11}$
B. $-\dfrac15\sqrt{11}$                   E. $\dfrac15\sqrt{11}$
C. $-\dfrac16\sqrt{11}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $\theta$ berada di kuadran II, sehingga sinus sudutnya bernilai positif, sedangkan cosinus sudutnya bernilai negatif.

Karena $\sin \theta = \dfrac56$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $5$, sedangkan panjang sisi miring/hipotenusanya $6$ (sin = de/mi) seperti gambar berikut.

Dengan demikian, 

$\text{sa} = \sqrt{6^2-5^2} = \sqrt{36-25}=\sqrt{11}$
Untuk itu, 
$\cos \theta = -\dfrac{\text{sa}} {\text{mi}} = -\dfrac{\sqrt{11}}{6} = -\frac16\sqrt{11}$
(Cosinus sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran II)
Jadi, nilai dari $\boxed{\cos \theta = -\frac16\sqrt{11}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui segitiga $ABC$ siku-siku di $B$. Jika $\angle A = 30^{\circ}$ dan $BC = 6~\text{cm}$, panjang $AC = \cdots~\text{cm}$.
A. $6\sqrt2$                           D. $12\sqrt2$
B. $6\sqrt3$                           E. $12\sqrt3$
C. $12$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena panjang sisi yang diketahui adalah $BC$ (sisi depan sudut) dan panjang sisi yang ditanyakan adalah $AC$ (sisi miring), maka perbandingan trigonometri yang digunakan adalah sinus (de/mi).
$\begin{aligned} \sin 30^{\circ} & = \dfrac{BC}{AC} \\ \dfrac12 & = \dfrac{6}{BC} \\ BC & = 6 \times \dfrac21 = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{AC = 12~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Bentuk sederhana $\sin \left(\dfrac{\pi}{2} + 2x\right) + \sin \left(\dfrac{\pi}{2} – 2x\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2 \sin 2x$                  D. $2 \cos x$
B. $2 \cos 2x$                  E. $\cos 2x$
C. $2 \sin x$

Penyelesaian

Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri sudut berelasi, diperoleh
$\begin{aligned} & \sin \left(\dfrac{\pi}{2} + 2x\right) + \sin \left(\dfrac{\pi}{2} – 2x\right) \\ & = \sin (90^{\circ} + 2x) + \sin (90^{\circ} – 2x) \\ & = \cos 2x + \cos 2x = 2 \cos 2x \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $x+y+z=180^{\circ}$, bentuk $\sin \dfrac12(y+z)$ setara dengan $\cdots \cdot$
A. $\tan x$                D. $\sin \frac12x$
B. $\sin 2x$               E. $\cos \frac12x$
C. $\cos 2x$

Penyelesaian

Persamaan $x+y+z=180^{\circ}$ ekuivalen dengan $y+z=180^{\circ}-x$, sehingga
$\begin{aligned} \sin \dfrac12(y+z) & = \sin \dfrac12(180^{\circ} -x) \\ & = \sin \left(90 -\dfrac12x\right) \\ & = \cos \dfrac12x \end{aligned}$
Jadi, bentuk $\sin \dfrac12(y+z)$ setara dengan $\boxed{\cos \dfrac12x}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13
Pada segitiga $ABC$, nilai $\cot(A+B)=\cdots \cdot$
A. $\tan C$                       D. $-\tan C$
B. $\cot C$                        E. $-\cot C$
C. $-\cos C$

Penyelesaian

Besarnya tiga sudut dalam segitiga bila dijumlahkan selalu $180^{\circ}$.
Pada segitiga $ABC$, berlaku
$A + B + C = 180^{\circ} \Leftrightarrow A + B = 180^{\circ} -C$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \cot (A + B) & = \cot (180^{\circ} -C) = -\cot C \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\cot(A+B) = -\cot C}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika sudut lancip $\alpha$ memenuhi $\sin \alpha = \dfrac13\sqrt3$, nilai $\tan \left(\dfrac{\pi}{2} – \alpha\right) + 3 \cos \alpha = \cdots \cdot$
A. $3\sqrt2 + \sqrt3$                   D. $\sqrt6 -\sqrt2$
B. $3\sqrt2 -\sqrt3$                     E. $\sqrt3 + \sqrt2$
C. $\sqrt6 + \sqrt2$

Penyelesaian

Diketahui bahwa $\sin \alpha = \dfrac13\sqrt3 = \dfrac{\sqrt3}{3}$.
Karena sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap panjang sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku, maka dapat dimisalkan bahwa masing-masing darinya adalah $\text{de} = \sqrt3$ dan $\text{mi} = 3$, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, panjang sisi samping sudutnya adalah
$\begin{aligned} \text{sa} & = \sqrt{(\text{mi})^2-(\text{de})^2} \\ & = \sqrt{(3)^2 – (\sqrt3)^2} \\ & = \sqrt{9-3} = \sqrt6 \end{aligned}$
Karena $\alpha$ sudut lancip, maka semua perbandingan trigonometri bernilai positif.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} & \tan \left(\dfrac{\pi}{2} – \alpha\right) + 3 \cos \alpha \\ & = \tan (90^{\circ} – \alpha) + 3 \cos \alpha \\ & = \cot \alpha + 3 \cos \alpha \\ & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} + 3 \times \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} \\ & = \dfrac{\sqrt6}{\sqrt3} + \cancel{3} \times \dfrac{\sqrt6}{\cancel{3}} \\ & = \sqrt2 + \sqrt6 \\ & = \sqrt6 + \sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\tan \left(\dfrac{\pi}{2} -\alpha\right) + 3 \cos \alpha = \sqrt6 + \sqrt2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri

Soal Nomor 15
Jika $\tan \alpha = \dfrac12$ dan $\alpha$ sudut lancip, maka nilai $2 \sin \alpha- \sin \left(\alpha + \dfrac{\pi}{2}\right) + \cos (\pi -\alpha) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac25\sqrt5$                          D. $-\dfrac25\sqrt5$
B. $\dfrac15\sqrt5$                          E. $-\dfrac45\sqrt5$
C. $-\dfrac15\sqrt5$

Penyelesaian

Diketahui bahwa $\tan \alpha = \dfrac12$.
Karena tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap panjang sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku, maka dapat dimisalkan bahwa masing-masing darinya adalah $\text{de} = 1$ dan $\text{sa} = 3$, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, panjang sisi miring (hipotenusa) adalah
$\begin{aligned} \text{mi} & = \sqrt{(\text{de})^2+(\text{sa})^2} \\ & = \sqrt{(1)^2 + (2)^2} \\ & = \sqrt{1+4} = \sqrt5 \end{aligned}$
Karena $\alpha$ sudut lancip, maka semua perbandingan trigonometri bernilai positif.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} & 2 \sin \alpha -\sin \left(\alpha + \dfrac{\pi}{2}\right) + \cos (\pi -\alpha) \\ & = 2 \sin \alpha -\sin \left(\alpha + 90^{\circ}\right) + \cos (180^{\circ}- \alpha) \\ & = 2 \sin \alpha -\sin \alpha -\cos \alpha \\ & = \sin \alpha -\cos \alpha \\ & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} -\dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt5} -\dfrac{2}{\sqrt5} = -\dfrac{1}{\sqrt5} = -\dfrac15\sqrt5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{2 \sin \alpha -\sin \left(\alpha + \dfrac{\pi}{2}\right) + \cos (\pi -\alpha) = -\dfrac15\sqrt5}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Perhatikan gambar berikut!

Diketahui panjang $AC = p$ dan $\angle BAC = \theta$. Panjang $DE = \cdots \cdot$
A. $p \sin \theta \cos \theta$                  D. $p \sin \theta$
B. $p \sin^2 \theta \cos \theta$                E. $p \cos \theta$
C. $p \sin \theta \cos^2 \theta$

Penyelesaian

Pada segitiga siku-siku $ABC$, berlaku
$\cos \theta = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AB}{p} \Leftrightarrow AB = p \cos \theta$
Pada segitiga siku-siku $ABD$, berlaku
$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{AD}{AB} \\ AD & = AB \cos \theta \\ & = (p \cos \theta) \cos \theta = p \cos^2 \theta \end{aligned}$
Pada segitiga siku-siku $ADE$, berlaku
$\begin{aligned} \sin \theta & = \dfrac{DE}{AD} \\ DE & = AD \sin \theta \\ & = (p \cos^2 \theta) \sin \theta = p \sin \theta \cos^2 \theta \end{aligned}$
Jadi, panjang $\boxed{DE = p \sin \theta \cos^2 \theta}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
Dalam ketidaksamaan berikut, besarnya sudut dinyatakan dalam satuan radian. Ketidaksamaan yang benar adalah $\cdots \cdot$
A. $\sin 1 < \sin 2 < \sin 3$      
B. $\sin 3 < \sin 2 < \sin 1$       
C. $\sin 1 < \sin 3 < \sin 2$
D. $\sin 2 < \sin 1 < \sin 3$
E. $\sin 3 < \sin 1 < \sin 2$

Penyelesaian

Diketahui bahwa
$\begin{aligned} 1~\text{rad} & \approx 57,3^{\circ} \\ 2~\text{rad} & \approx 114,6^{\circ} \\ 3~\text{rad} & \approx 171,9^{\circ} \end{aligned}$
Ini berarti,
$$\begin{aligned} \sin 1 & \approx \sin 57,3^{\circ} \\ \sin 2 & \approx \sin 114,6^{\circ} = \sin (180-65,4)^{\circ} = \sin 65,4^{\circ} \\ \sin 3 & \approx \sin 57,3^{\circ} = \sin (180-8,1)^{\circ} = \sin 8,1^{\circ} \end{aligned}$$Pada kuadran I, semakin besar sudutnya, maka nilai perbandingan sinus semakin besar menuju $1$. Dengan demikian, urutan nilainya bila ditulis dalam bentuk ketaksamaan adalah $\sin 8,1^{\circ} < \sin 57,3^{\circ} < \sin 65,4^{\circ}$ atau dalam radian ditulis $\boxed{\sin 3 < \sin 1 < \sin 2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 18
Nilai $\tan 25^{\circ} \cdot \tan 65^{\circ} -\dfrac{\sin 25^{\circ}}{\cos 65^{\circ}} = \cdots \cdot$
A. $-2$          B. $-1$         C. $0$          D. $1$          E. $2$

Penyelesaian

Dengan menggunakan konsep relasi sudut pada perbandingan trigonometri,
$\boxed{\begin{aligned} \cot x & = \tan (90^{\circ} -x) \\ \sin x & = \cos (90^{\circ} -x) \end{aligned}}$
diperoleh
$$\begin{aligned} & \tan 25^{\circ} \cdot \tan 65^{\circ} -\dfrac{\sin 25^{\circ}}{\cos 65^{\circ}} \\ & = \tan 25^{\circ} \cdot \tan (90^{\circ}-25^{\circ})-\dfrac{\sin 25^{\circ}}{\cos (90^{\circ}-25^{\circ})} \\ & = \tan 25^{\circ} \cdot \cot 25^{\circ} -\dfrac{\sin 25^{\circ}}{\sin 25^{\circ}} \\ & = 1 -1 = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\tan 25^{\circ} \cdot \tan 65^{\circ}- \dfrac{\sin 25^{\circ}}{\cos 65^{\circ}} = 0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Penerapan Identitas Trigonometri

Soal Nomor 19
Jika $\sin 70^{\circ} = p$ dan $\cos 70^{\circ}=q$, nilai dari $\cos 110^{\circ} \cdot \cot 160^{\circ} + \sin 200^{\circ} = \cdots \cdot$
A. $p-q$                   C. $2p$               E. $2p-2q$
B. $p+q$                   D. $2q$

Penyelesaian

Dengan menggunakan konsep relasi sudut pada perbandingan trigonometri,
$\boxed{\begin{aligned} \cot (90^{\circ} + x) & = -\tan x \\ \cos (180^{\circ} – x) & = -\cos x \\ \sin (180^{\circ}+x) & = -\sin x \end{aligned}}$
diperoleh
$$\begin{aligned} & \cos 110^{\circ} \cdot \cot 160^{\circ} + \sin 200^{\circ} \\ & = \cos (180^{\circ}-70^{\circ}) \cdot \cot (90^{\circ} + 70^{\circ}) + \sin (180^{\circ}+20^{\circ}) \\ & = (-\cos 70^{\circ})(-\tan 70^{\circ})-\sin 20^{\circ} \\ & = \cancel{\cos 70^{\circ}} \cdot \dfrac{\sin 70^{\circ}}{\cancel{\cos 70^{\circ}}} -\sin (90^{\circ}-70^{\circ}) \\ & = \sin 70^{\circ}- \cos 70^{\circ} = p-q \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\cos 110^{\circ} \cdot \cot 160^{\circ} + \sin 200^{\circ} = p-q}$
(Jawaban A)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 20
Diketahui segitiga $DEF$ siku-siku di $F$. Jika $\cos (D + F) = p$, tentukan:
a. nilai $\sin D$                  b. nilai $\cos E$

Penyelesaian

Jawaban a)
Karena segitiga $DEF$ siku-siku di $F$, maka besar sudut $F = 90^{\circ}$, sehingga
$\begin{aligned} \cos (D + F) & = p \\ \cos (D + 90^{\circ}) & = p \\ -\sin D & = p \\ \sin D & = -p \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin D = -p}$
Jawaban b)
Jumlah sudut pada segitiga adalah $180^{\circ}$. Dengan kata lain, ditulis $D + E +F = 180^{\circ} \Leftrightarrow E = 180^{\circ} – D – F$
Karena besar sudut $F = 90^{\circ}$, maka $E = 90^{\circ} -D$, sehingga
$\cos E = \cos (90^{\circ} -D) = \sin D = -p$
Jadi, nilai dari $\boxed{\cos E = -p}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Perhatikan gambar di bawah!

Segitiga $ABD$ siku-siku di $A$ dan segitiga $BCD$ siku-siku di $C$. Tentukan panjang $CD$.

Penyelesaian

Pada segitiga siku-siku $ABD$, panjang $AD$ dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan trigonometri cosinus.
$\begin{aligned} \cos 45^{\circ} & = \dfrac{AB}{BD} \\ \dfrac12\sqrt2 & = \dfrac{10}{BD} \\ BD & = 10 \times \dfrac{2}{\sqrt2} = 10\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Pada segitiga siku-siku $BCD$, panjang $CD$ juga dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan trigonometri cosinus.
$\begin{aligned} \cos 60^{\circ} & = \dfrac{CD}{BD} \\ \dfrac12 & = \dfrac{CD}{10\sqrt2} \\ CD & = 10\sqrt2 \times \dfrac12 = 5\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $\boxed{CD = 5\sqrt2~\text{cm}}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pembuktian Identitas Trigonometri

CategoriesTrigonometriTags, ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *