Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Nah, sekarang trigonometri mulai menunjukkan taringnya di sini. Sebelumnya, kita sudah belajar tentang Perbandingan Trigonometri (Dasar). Lanjutan dari submateri tersebut adalah mengenai Perbandingan Trigonometri (Lanjutan), yaitu pada berbagai kuadran. Dengan kata lain, kita akan mengenal jauh lebih dalam mengenai apa yang disebut sebagai sudut istimewa.
Berikut ini soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat!
Catatan: soal-soal berikut ini sebagian besar diambil dari buku LKS Matematika Wajib Kelas X Semester 2 yang dikarang oleh Sdr. Nur Aksin dan Sdr. Anna Yuni Astuti dan diterbitkan oleh Intan Pariwara.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Perhatikan gambar berikut!

Nilai \cos \alpha

adalah \cdots
A. \dfrac45        B. \dfrac35       C. \dfrac34       D. -\dfrac35         E. -\dfrac45

Penyelesaian

Panjang OA = r merupakan panjang hipotenusa suatu segitiga siku-siku yang sisinya pada sumbu koordinat, sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
\begin{aligned} OA = r & = \sqrt{(-6)^2+8^2} \\ & = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 \end{aligned}
Karena \alpha berada di kuadran II, maka cosinus sudut alfa bernilai negatif, sehingga
\cos \alpha = -\dfrac{x}{r} = -\dfrac{6}{10} = -\dfrac35
Jadi, nilai \boxed{\cos \alpha = -\dfrac35} 
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Perbandingan trigonometri yang senilai dengan \cos (180\degree + \alpha) adalah …
A. \cos \alpha           D. -\cos \alpha
B. \tan \alpha           E. -\sin \alpha
C. \sin \alpha

Penyelesaian

Untuk kuadran 3, berlaku hubungan relasi sudut:
\begin{aligned} \sin (180\degree + \alpha) & =-\sin \alpha \\ \cos (180\degree + \alpha) & = -\cos \alpha \\ \tan (180\degree + \alpha) & = \tan \alpha \end{aligned}
Jadi, perbandingan trigonometri yang senilai dengan \cos (180\degree + \alpha) adalah \boxed{-\cos \alpha}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Nilai dari \dfrac{\sin 60\degree}{1 + \cos 60\degree} = \cdots 
A. \tan 60\degree           D. \csc 60\degree 
B. \tan 30\degree           E. \sin 60\degree
C. \sec 60\degree 

Penyelesaian

Dengan memasukkan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewanya, diperoleh
\dfrac{\sin 60\degree}{1 + \cos 60\degree} = \dfrac{\frac12\sqrt3}{1 + \frac12} = \dfrac{\frac{1}{\cancel{2}} \sqrt3}{\frac{3}{\cancel{2}}} = \dfrac{1}{3}\sqrt3
Bentuk yang nilainya setara dengan \dfrac13\sqrt3 adalah \boxed{\tan 30\degree}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai dari \sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi adalah …
A. -\sqrt{3}                   D. 1
B. -1                     E. \sqrt3
C. 0                          

Penyelesaian

Konversi radian ke derajat:
\boxed{a~\text{rad} = a \times \dfrac{180\degree} {\pi}}
Untuk itu, 
\begin{aligned} & \dfrac23\pi = \dfrac23\pi \times \dfrac{180\degree} {\pi} = 120\degree \\ & \dfrac73\pi = \dfrac73\pi \times \dfrac{180\degree} {\pi} = 420\degree \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} & \sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi \\ & = \sin 120\degree + \sin 420\degree \\ & = \sin (180-60)\degree + \sin (360+60)\degree \\ & = \sin 60\degree + \sin 60\degree \\ & = \dfrac12\sqrt3 +\dfrac12\sqrt3 = \sqrt3 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi = \sqrt3}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai \dfrac{\sin 150\degree + \sin 120\degree}{\cos 210\degree - \cos 300\degree} = \cdots
A. 2            B. 1            C. 0         D -\frac12        E. -1

Penyelesaian

Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri sudut berelasi, diperoleh
\begin{aligned} & \dfrac{\sin 150\degree + \sin 120\degree}{\cos 210\degree - \cos 300\degree} \\ & = \dfrac{\sin (180-30)\degree + \sin (180-60)\degree}{\cos (180 + 30)\degree - \cos (360 - 60)\degree} \\ & = \dfrac{\sin 30\degree + \sin 60\degree}{-\cos 30\degree - \cos 60\degree} \\ & = \dfrac{\dfrac12 + \dfrac12\sqrt3}{-\dfrac12\sqrt3 - \dfrac12} \\ & = \dfrac{\cancel{\dfrac12 + \dfrac12\sqrt3}}{-\cancel{\left(\dfrac12\sqrt3 + \dfrac12\right)}} \\ & = -1 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\dfrac{\sin 150\degree + \sin 120\degree}{\cos 210\degree - \cos 300\degree} = -1}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai \cos 330\degree \tan (-315)\degree - \sin (-210\degree) \cot 330\degree adalah \cdots
A. \frac14\sqrt3               D. \sqrt3
B. \frac13\sqrt3               E. 2\sqrt3
C. \frac12\sqrt3

Penyelesaian

Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri sudut berelasi, diperoleh
\begin{aligned} & \cos 330\degree \tan (-315)\degree - \sin (-210\degree) \cot 330\degree \\ & = \cos (360 - 30)\degree (-\tan (360-45)\degree) \\ & - (-\sin (180+30)\degree) \cot (360-30)\degree \\ & = -\cos 30\degree (-\tan 45\degree) - \sin 30\degree(-\cot 30\degree) \\ & = \cos 30\degree \tan 45\degree + \sin 30\degree \cot 30\degree \\ & = \dfrac12\sqrt3 \times 1 + \dfrac12 \times \sqrt3 = \sqrt3 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\cos 330\degree \tan (-315)\degree - \sin (-210\degree) \cot 330\degree = \sqrt3}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika diketahui \alpha = \dfrac{3\pi}{4}, pernyataan berikut yang benar adalah \cdots
A. \sin \alpha = \cos \alpha
B. \sin \alpha + \cos \alpha = 1
C. \sin \alpha + \cos \alpha = 0
D. \sin \alpha - \cos \alpha = 1
E. \sin \alpha - \cos \alpha = 0

Penyelesaian

Karena \alpha = \dfrac{3\pi}{4}, maka
\begin{aligned} \sin \alpha & = \sin \dfrac{3\pi}{4} = \sin 135\degree \\ & = \sin (180-45)\degree = \sin 45\degree = \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}
dan
\begin{aligned} \cos \alpha & = \cos \dfrac{3\pi}{4} = \cos 135\degree \\ & = \cos (180-45)\degree = -\cos 45\degree = -\dfrac12\sqrt2 \end{aligned}
Dengan demikian, pernyataan yang benar adalah
\boxed{\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac12\sqrt2 + \left(-\dfrac12\sqrt2\right) = 0}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika \tan \alpha = \dfrac34 dengan 180\degree \leq \alpha \leq 270\degree, nilai \sin \alpha = \cdots
A. -\frac34             D. \frac35
B. -\frac45             E. \frac34
C. -\frac35             

Penyelesaian

Perhatikan bahwa \alpha berada di kuadran 3, sehingga tangen sudutnya bernilai positif, sedangkan sinus sudutnya bernilai negatif.

Karena \tan \alpha = \dfrac34, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya 3, sedangkan panjang sisi samping sudutnya 4 (tan = de/sa) seperti gambar berikut.

Dengan demikian, 
\text{mi} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25}=5
Untuk itu, 
\sin \alpha = -\dfrac{\text{de}} {\text{mi}} = -\dfrac{3}{5}
(Sinus sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran 3)
Jadi, nilai dari \boxed{\sin \alpha =-\dfrac35}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui 90\degree < \theta < 180\degree dan \sin \theta = \dfrac56. Nilai \cos \theta = \cdots
A. -\frac65                        D. \frac16\sqrt{11}
B. -\frac15\sqrt{11}               E. \frac15\sqrt{11}
C. -\frac16\sqrt{11}

Penyelesaian

Perhatikan bahwa \theta berada di kuadran 2, sehingga sinus sudutnya bernilai positif, sedangkan cosinus sudutnya bernilai negatif.

Karena \sin \theta = \dfrac56, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya 5, sedangkan panjang sisi miring/hipotenusanya 6 (sin = de/mi) seperti gambar berikut.

Dengan demikian, 

\text{sa} = \sqrt{6^2-5^2} = \sqrt{36-25}=\sqrt{11}
Untuk itu, 
\cos \theta = -\dfrac{\text{sa}} {\text{mi}} = -\dfrac{\sqrt{11}}{6} = -\frac16\sqrt{11}
(Cosinus sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran 2)
Jadi, nilai dari \boxed{\cos \theta = -\frac16\sqrt{11}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B. Jika \angle A = 30\degree dan BC = 6~\text{cm}, panjang AC = \cdots~\text{cm}.
A. 6\sqrt2                D. 12\sqrt2
B. 6\sqrt3                E. 12\sqrt3
C. 12

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena panjang sisi yang diketahui adalah BC (sisi depan sudut) dan panjang sisi yang ditanyakan adalah AC (sisi miring), maka perbandingan trigonometri yang digunakan adalah sinus (de/mi).
\begin{aligned} \sin 30\degree & = \dfrac{BC}{AC} \\ \dfrac12 & = \dfrac{6}{BC} \\ BC & = 6 \times \dfrac21 = 12~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang sisi \boxed{AC = 12~\text{cm}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Bentuk sederhana \sin \left(\dfrac{\pi}{2} + 2x\right) + \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - 2x\right) adalah \cdots
A. 2 \sin 2x                  D. 2 \cos x
B. 2 \cos 2x                  E. \cos 2x
C. 2 \sin x

Penyelesaian

Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri sudut berelasi, diperoleh
\begin{aligned} & \sin \left(\dfrac{\pi}{2} + 2x\right) + \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - 2x\right) \\ & = \sin (90\degree + 2x) + \sin (90\degree - 2x) \\ & = \cos 2x + \cos 2x = 2 \cos 2x \end{aligned}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika x+y+z=180\degree, bentuk \sin \dfrac12(y+z) setara dengan \cdots
A. \tan x                D. \sin \frac12x
B. \sin 2x               E. \cos \frac12x
C. \cos 2x

Penyelesaian

Persamaan x+y+z=180\degree ekuivalen dengan y+z=180\degree-x, sehingga
\begin{aligned} \sin \dfrac12(y+z) & = \sin \dfrac12(180\degree - x) \\ & = \sin \left(90 - \dfrac12x\right) \\ & = \cos \dfrac12x \end{aligned}
Jadi, bentuk \sin \dfrac12(y+z) setara dengan \boxed{\cos \dfrac12x}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13
Pada segitiga ABC, nilai \cot(A+B)=\cdots
A. \tan C               D. -\tan C
B. \cot C                E. -\cot C
C. -\cos C

Penyelesaian

Besarnya tiga sudut dalam segitiga bila dijumlahkan selalu 180\degree.
Pada segitiga ABC, berlaku
A + B + C = 180\degree \Leftrightarrow A + B = 180\degree - C
Dengan demikian,
\begin{aligned} \cot (A + B) & = \cot (180\degree - C) = -\cot C \end{aligned}
Jadi, nilai \boxed{\cot(A+B) = -\cot C}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika sudut lancip \alpha memenuhi \sin \alpha = \dfrac13\sqrt3, nilai \tan \left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) + 3 \cos \alpha = \cdots
A. 3\sqrt2 + \sqrt3            D. \sqrt6 - \sqrt2
B. 3\sqrt2 - \sqrt3            E. \sqrt3 + \sqrt2
C. \sqrt6 + \sqrt2

Penyelesaian

Diketahui bahwa \sin \alpha = \dfrac13\sqrt3 = \dfrac{\sqrt3}{3}.
Karena sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap panjang sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku, maka dapat dimisalkan bahwa masing-masing darinya adalah \text{de} = \sqrt3 dan \text{mi} = 3, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, panjang sisi samping sudutnya adalah
\begin{aligned} \text{sa} & = \sqrt{(\text{mi})^2-(\text{de})^2} \\ & = \sqrt{(3)^2 - (\sqrt3)^2} \\ & = \sqrt{9-3} = \sqrt6 \end{aligned}
Karena \alpha sudut lancip, maka semua perbandingan trigonometri bernilai positif.
Dengan demikian,
\begin{aligned} & \tan \left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) + 3 \cos \alpha \\ & = \tan (90\degree - \alpha) + 3 \cos \alpha \\ & = \cot \alpha + 3 \cos \alpha \\ & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} + 3 \times \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} \\ & = \dfrac{\sqrt6}{\sqrt3} + \cancel{3} \times \dfrac{\sqrt6}{\cancel{3}} \\ & = \sqrt2 + \sqrt6 \\ & = \sqrt6 + \sqrt2 \end{aligned}
Jadi, nilai \boxed{\tan \left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) + 3 \cos \alpha = \sqrt6 + \sqrt2}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika \tan \alpha = \dfrac12 dan \alpha sudut lancip, maka nilai 2 \sin \alpha - \sin \left(\alpha + \dfrac{\pi}{2}\right) + \cos (\pi - \alpha) = \cdots
A. \frac25\sqrt5                 D. -\frac25\sqrt5
B. \frac15\sqrt5                 E. -\frac45\sqrt5
C. -\frac15\sqrt5

Penyelesaian

Diketahui bahwa \tan \alpha = \dfrac12.
Karena tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap panjang sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku, maka dapat dimisalkan bahwa masing-masing darinya adalah \text{de} = 1 dan \text{sa} = 3, sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, panjang sisi miring (hipotenusa) adalah
\begin{aligned} \text{mi} & = \sqrt{(\text{de})^2+(\text{sa})^2} \\ & = \sqrt{(1)^2 + (2)^2} \\ & = \sqrt{1+4} = \sqrt5 \end{aligned}
Karena \alpha sudut lancip, maka semua perbandingan trigonometri bernilai positif.
Dengan demikian,
\begin{aligned} & 2 \sin \alpha - \sin \left(\alpha + \dfrac{\pi}{2}\right) + \cos (\pi - \alpha) \\ & = 2 \sin \alpha - \sin \left(\alpha + 90\degree\right) + \cos (180\degree- \alpha) \\ & = 2 \sin \alpha - \sin \alpha - \cos \alpha \\ & = \sin \alpha - \cos \alpha \\ & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} - \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt5} - \dfrac{2}{\sqrt5} = -\dfrac{1}{\sqrt5} = -\dfrac15\sqrt5 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{2 \sin \alpha - \sin \left(\alpha + \dfrac{\pi}{2}\right) + \cos (\pi - \alpha) = -\dfrac15\sqrt5}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Perhatikan gambar berikut!

Diketahui panjang AC = p dan \angle BAC = \theta. Panjang DE = \cdots
A. p \sin \theta \cos \theta                  D. p \sin \theta
B. p \sin^2 \theta \cos \theta               E. p \cos \theta
C. p \sin \theta \cos^2 \theta

Penyelesaian

Pada segitiga siku-siku ABC, berlaku
\cos \theta = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AB}{p} \Leftrightarrow AB = p \cos \theta
Pada segitiga siku-siku ABD, berlaku
\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{AD}{AB} \\ AD & = AB \cos \theta \\ & = (p \cos \theta) \cos \theta = p \cos^2 \theta \end{aligned}
Pada segitiga siku-siku ADE, berlaku
\begin{aligned} \sin \theta & = \dfrac{DE}{AD} \\ DE & = AD \sin \theta \\ & = (p \cos^2 \theta) \sin \theta = p \sin \theta \cos^2 \theta \end{aligned}
Jadi, panjang \boxed{DE = p \sin \theta \cos^2 \theta}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
Dalam ketidaksamaan berikut, besarnya sudut dinyatakan dalam satuan radian. Ketidaksamaan yang benar adalah \cdots
A. \sin 1 < \sin 2 < \sin 3      D. \sin 2 < \sin 1 < \sin 3
B. \sin 3 < \sin 2 < \sin 1       E. \sin 3 < \sin 1 < \sin 2
C. \sin 1 < \sin 3 < \sin 2

Penyelesaian

Diketahui bahwa
\begin{aligned} 1~\text{rad} & \approx 57,3\degree \\ 2~\text{rad} & \approx 114,6\degree \\ 3~\text{rad} & \approx 171,9\degree \end{aligned}
Ini berarti,
\begin{aligned} \sin 1 & \approx \sin 57,3\degree \\ \sin 2 & \approx \sin 114,6\degree = \sin (180-65,4)\degree = \sin 65,4\degree \\ \sin 3 & \approx \sin 57,3\degree = \sin (180-8,1)\degree = \sin 8,1\degree \end{aligned}
Pada kuadran I, semakin besar sudutnya, maka nilai perbandingan sinus semakin besar menuju 1. Dengan demikian, urutan nilainya bila ditulis dalam bentuk ketaksamaan adalah \sin 8,1\degree < \sin 57,3\degree < \sin 65,4\degree atau dalam radian ditulis \boxed{\sin 3 < \sin 1 < \sin 2}
(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 18
Diketahui segitiga DEF siku-siku di F. Jika \cos (D + F) = p, tentukan:
a. nilai \sin D                  b. nilai \cos E

Penyelesaian

Jawaban a)
Karena segitiga DEF siku-siku di F, maka besar sudut F = 90\degree, sehingga
\begin{aligned} \cos (D + F) & = p \\ \cos (D + 90\degree) & = p \\ -\sin D & = p \\ \sin D & = -p \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{\sin D = -p}
Jawaban b)
Jumlah sudut pada segitiga adalah 180\degree. Dengan kata lain, ditulis D + E +F = 180\degree \Leftrightarrow E = 180\degree - D - F
Karena besar sudut F = 90\degree, maka E = 90\degree - D, sehingga
\cos E = \cos (90\degree - D) = \sin D = -p
Jadi, nilai dari \boxed{\cos E = -p}

[collapse]

Soal Nomor 19
Perhatikan gambar di bawah!

Segitiga ABD siku-siku di A dan segitiga BCD siku-siku di C. Tentukan panjang CD.

Penyelesaian

Pada segitiga siku-siku ABD, panjang AD dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan trigonometri cosinus.
\begin{aligned} \cos 45\degree & = \dfrac{AB}{BD} \\ \dfrac12\sqrt2 & = \dfrac{10}{BD} \\ BD & = 10 \times \dfrac{2}{\sqrt2} = 10\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}
Pada segitiga siku-siku BCD, panjang CD juga dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan trigonometri cosinus.
\begin{aligned} \cos 60\degree & = \dfrac{CD}{BD} \\ \dfrac12 & = \dfrac{CD}{10\sqrt2} \\ CD & = 10\sqrt2 \times \dfrac12 = 5\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang \boxed{CD = 5\sqrt2~\text{cm}}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesTrigonometriTags, ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *