Bentuk umum PD linear orde dua dengan koefisien konstan adalah $$\boxed{a_0\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + a_1\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + a_2y = 0}$$Misalkan $y = e^{mx}$, maka
$$\Rightarrow \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = me^{mx} \Rightarrow \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = m^2e^{mx}$$sehingga PD di atas dapat ditulis menjadi $$a_0(m^2e^{mx}) + a_1(me^{mx}) + a_2(e^{mx}) = 0$$Faktorkanlah menjadi $$e^{mx}(a_0m^2 + a_1m + a_2) = 0$$sehingga dari sini, haruslah $$4a_0m^2 + a_1m + a_2 = 0,$$sebab $e^{mx}$ tidak mungkin bernilai $0$ untuk setiap $x$. Persamaan $a_0m^2 + a_1m + a_2 = 0$ selanjutnya disebut persamaan karakteristik. Akar penyelesaian untuk $m$ dinamakan akar karakteristik.
Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah
Aturan:
Misalkan $m_1$ dan $m_2$ adalah akar penyelesaian dari persamaan karakteristik serta $D$ adalah diskriminan persamaan kuadrat itu.
- Jika $m_1 \neq m_2 $ ($D > 0$), maka solusi umum PD tersebut adalah $y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x}.$
- Jika $m_1 = m_2 = m$ ($D = 0$), maka solusi umum PD tersebut adalah $y = C_1e^{mx} + C_2xe^{mx}.$
- Jika akarnya imajiner ($D < 0$) berbentuk $m_{1,2} = a \pm bi$, maka solusi umum PD tersebut adalah $y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$(Rumus Euler).
Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial (Tingkat Dasar)
Berikut ini adalah contoh soal beserta penyelesaiannya mengenai persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan.
Today Quote
Soal Nomor 1
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 5 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} +6y = 0$.
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2- 5m + 6 = 0$. Dengan memfaktorkannya menjadi $(m- 2)(m-3) = 0$, kita dapatkan akar karakteristiknya $m = 2 \lor m = 3.$ Karena $m_1 \neq m_2$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x}$
$y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}}$
Catatan: Nilai $m_1$ maupun $m_2$ dapat dibolak-balik dan tidak menjadi masalah ketika kita memasukkannya ke bentuk umum PD sebab operator penjumlahan bersifat komutatif.
Soal Nomor 2
Tentukan penyelesaian umum dari PD $4\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 12 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} +5y = 0$.
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $4m^2- 12m + 5 = 0$. Dengan memfaktorkannya menjadi $(2m-1)(2m-5) = 0$, kita dapatkan akar karakteristiknya $m = \dfrac{1}{2} \lor m = \dfrac{5}{2}$. Karena $m_1 \neq m_2$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x}$
$y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{\frac{5}{2}x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{\frac{5}{2}x}}$
Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Soal Nomor 3
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 8 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} +16y = 0$.
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2- 8m + 16 = 0$. Dengan memfaktorkannya menjadi $(m-4)(m-4) = (m-4)^2 = 0$, kita dapatkan akar karakteristiknya $m = 4$. Karena akarnya kembar/sama, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_1e^{mx} + C_2xe^{mx}$
$y = C_1e^{4x} + C_2xe^{4x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1e^{4x} + C_2xe^{4x}}$
Soal Nomor 4
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} +9y = 0$.
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2 + 9 = 0$. Perhatikan bahwa
$m^2 + 9 = 0 \Leftrightarrow m^2 =-9$
$m = \pm \sqrt{-9} = \pm 3i.$
Karena akarnya imajiner dengan $a = 0$ dan $b = 3$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{0x}(C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x)$
$y = C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x}$
Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Non-Homogen) dengan Koefisien Konstan
Soal Nomor 5
Tentukan penyelesaian umum dari PD $4\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} +y = 0$.
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $4m^2 +4m + 1 = 0$. Dengan memfaktorkannya menjadi $(2m+1)(2m+1) = (2m+1)^2= 0,$ kita dapatkan akar karakteristiknya $m =-\dfrac{1}{2}$. Karena akarnya kembar/sama, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_1e^{mx} + C_2xe^{mx}$
$y = C_1e^{-\frac{1}{2}x} + C_2xe^{-\frac{1}{2}x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1e^{-\frac{1}{2}x} + C_2xe^{-\frac{1}{2}x}}$
Soal Nomor 6
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 4\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 13y = 0$.
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2- 4m + 13 = 0$. Gunakan rumus kuadrat (rumus ABC),
$m_{1, 2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2- 4(1)(13)}}{2(1)}$
$m_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = 2 \pm 3i$
Karena akarnya imajiner dengan $a = 2$ dan $b = 3$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{2x}(C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = e^{2x}(C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x)}$
Soal Nomor 7
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 5\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 8y = 0$.
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2- 5m + 8 = 0$. Gunakan rumus kuadrat (rumus ABC),
$m_{1, 2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2- 4(1)(8)}}{2(1)}$
$m_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{-7}}{2} = \dfrac{5}{2} \pm \dfrac{\sqrt{7}}{2}i$
Karena akarnya imajiner dengan $a = \dfrac{5}{2}$ dan $b = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{\frac{5}{2}x}(C_1 \sin \dfrac{\sqrt{7}}{2}x + C_2 \cos \dfrac{\sqrt{7}}{2}x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $$\boxed{y = e^{\frac{5}{2}x}\left(C_1 \sin \dfrac{\sqrt{7}}{2}x + C_2 \cos \dfrac{\sqrt{7}}{2}x\right)}$$
Soal Nomor 8
Tentukan penyelesaian umum dan penyelesaian khusus dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 4\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 29y = 0$ dengan $y(0) = 0$ dan $y'(0) = 5$.
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2- 4m + 29 = 0$. Gunakan rumus kuadrat (rumus ABC).
$m_{1, 2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2- 4(1)(29)}}{2(1)}$
$m_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-100}}{2} = 2 \pm 5i$
Karena akarnya imajiner dengan $a = 2$ dan $b = 5$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x)}$
Diketahui $y(0) = 0$ sehingga bila disubstitusikan ke persamaan solusi umum tersebut, diperoleh
$\begin{aligned} 0 & = e^{2(0)}(C_1 \sin 5(0) + C_2 \cos 5(0)) \\ 0 & = 1(C_1(0) + C_2(1)) \\ C_2 & = 0 \end{aligned}$
Selanjutnya, carilah turunan pertama dari $y = e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x)$ (dengan menggunakan Aturan Hasil Kali dalam Turunan), yaitu
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 2e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x) + \\ & e^{2x}(5C_1 \cos 5x- 5C_2 \sin 5x) \end{aligned}$
Substitusikan $y'(0) = 5$ dan $C_2 = 0$ sehingga didapat
$\begin{aligned} 5 & = 2e^{0}(C_1 \sin 0 + C_2 \cos 0) + \\ & e^{0}(5C_1 \cos 0- 5C_2 \sin 0) \end{aligned}$
$5 = 1(0) + 1(5C_1) \Leftrightarrow C_1 = 1.$
Jadi, solusi khususnya adalah $\boxed{y = e^{2x}(\sin 5x)}$
Soal Nomor 9
Tentukan penyelesaian umum dan penyelesaian khusus dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 6\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 13y = 0$ dengan $y(0) = 3$ dan $y'(0) =-1$.
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2 + 6m + 13 = 0$. Gunakan rumus kuadrat.
$m_{1, 2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{(6)^2- 4(1)(13)}}{2(1)}$
$m_{1,2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} =-3 \pm 2i.$
Karena akarnya imajiner dengan $a =-3$ dan $b = 2$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)}$
Diketahui $y(0) = 3$ sehingga bila disubstitusikan ke persamaan solusi umum tersebut, diperoleh
$$\begin{aligned} 3 & = e^{-3(0)}(C_1 \sin 2(0) + C_2 \cos 2(0)) \\ 3 & = 1(C_1(0) + C_2(1)) \\ C_2 & = 3 \end{aligned}$$Selanjutnya, carilah turunan pertama dari $y = e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)$ (dengan menggunakan Aturan Hasil Kali dalam Turunan), yaitu
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & =-3e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x) + \\ & e^{-3x}(2C_1 \cos 2x- 2C_2 \sin 2x) \end{aligned}$$Substitusikan $y'(0) =-1$ dan $C_2 = 3$,
$$\begin{aligned}-1 & = -3e^{0}(C_1 \sin 0 + 3 \times \cos 0) + e^{0}(2C_1 \cos 0- 2(3) \sin 0) \\ -1 & = -3(1)(0 + 3) + 1(2C_1-0) \\ -1 & = -9 + 2C_1 \\ 8 & = 2C_1 \Leftrightarrow C_1 = 4 \end{aligned}$$Jadi, solusi khususnya adalah $\boxed{y = e^{-3x}(4 \sin 2x + 3 \cos 2x)}$
Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Homogen (Reduksi dan Pemisahan Variabel)
Permisi, saya ingin bertanya tentang pembahasan pada soal 9 nomor. disitu tertulis setelah di subtitusikan y'(0) = -1, persamaan berubah menjadi: -1 = 2e^0( C1 sin 0 + 3 cos 0)… Itu 2 di e^0 nya dari mana ya? Karena sebelumnya persamaanya -3 e^-3x sebelum di subtitusikan 0 dan -1. Bukankah seharusnya menjadi -3e^0? Terimakasih
Baik, terima kasih atas koreksinya. Sudah diperbaiki, ya