Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan

Bentuk umum PD linear orde dua dengan koefisien konstan adalah $a_0\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + a_1\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + a_2y = 0$.
Misalkan $y = e^{mx}$, maka $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = me^{mx}$ dan $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = m^2e^{mx}$, sehingga PD di atas dapat ditulis menjadi $a_0(m^2e^{mx}) + a_1(me^{mx}) + a_2(e^{mx}) = 0$.
Faktorkanlah menjadi $e^{mx}(a_0m^2 + a_1m + a_2) = 0$, sehingga dari sini, haruslah $a_0m^2 + a_1m + a_2 = 0$, sebab $e^{mx}$ tidak mungkin bernilai 0 untuk setiap $x$. Persamaan $a_0m^2 + a_1m + a_2 = 0$ selanjutnya disebut persamaan karakteristik. Akar penyelesaian untuk $m$ dinamakan akar karakteristik.

Aturan:
Misalkan $m_1$ dan $m_2$ adalah akar penyelesaian dari persamaan karakteristik serta $D$ adalah diskriminan persamaan kuadrat itu:
Jika $m_1 \neq m_2 $ ($D > 0$), maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x}$
Jika $m_1 = m_2 = m$ ($D = 0$), maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_1e^{mx} + C_2xe^{mx}$
Jika akarnya imajiner ($D < 0$) berbentuk $m_{1,2} = a \pm bi$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$ (Rumus Euler).
Berikut ini adalah contoh soal beserta penyelesaiannya mengenai persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan.

Soal Nomor 1
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} – 5 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} +6y = 0$

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2 – 5m + 6 = 0$. Dengan memfaktorkannya menjadi $(m – 2)(m-3) = 0$, kita dapatkan akar karakteristiknya $m = 2 \lor m = 3$. Karena $m_1 \neq m_2$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x}$
$y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}}$
Catatan: Nilai $m_1$ maupun $m_2$ dapat dibolak balik dan tidak menjadi masalah ketika kita memasukkannya ke bentuk umum PD sebab operator penjumlahan bersifat komutatif.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan penyelesaian umum dari PD $4\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} – 12 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} +5y = 0$

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $4m^2 – 12m + 5 = 0$. Dengan memfaktorkannya menjadi $(2m-1)(2m-5) = 0$, kita dapatkan akar karakteristiknya $m = \dfrac{1}{2} \lor m = \dfrac{5}{2}$. Karena $m_1 \neq m_2$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x}$
$y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{\frac{5}{2}x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{\frac{5}{2}x}}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} – 8 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} +16y = 0$

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2 – 8m + 16 = 0$. Dengan memfaktorkannya menjadi $(m-4)(m-4) = (m-4)^2 = 0$, kita dapatkan akar karakteristiknya $m = 4$. Karena akarnya kembar/sama, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_1e^{mx} + C_2xe^{mx}$
$y = C_1e^{4x} + C_2xe^{4x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1e^{4x} + C_2xe^{4x}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} +9y = 0$

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2 + 9 = 0$. Perhatikan bahwa,
$m^2 + 9 = 0 \Leftrightarrow m^2 = -9$
$m = \pm \sqrt{-9} = \pm 3i$
Karena akarnya imajiner dengan $a = 0$ dan $b = 3$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{0x}(C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x)$
$y = C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan penyelesaian umum dari PD $4\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} +y = 0$

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $4m^2 +4m + 1 = 0$. Dengan memfaktorkannya menjadi $(2m+1)(2m+1) = (2m+1)^2= 0$, kita dapatkan akar karakteristiknya $m = -\dfrac{1}{2}$. Karena akarnya kembar/sama, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_1e^{mx} + C_2xe^{mx}$
$y = C_1e^{-\frac{1}{2}x} + C_2xe^{-\frac{1}{2}x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1e^{-\frac{1}{2}x} + C_2xe^{-\frac{1}{2}x}}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} – 4\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 13y = 0$

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2 – 4m + 13 = 0$. Gunakan rumus kuadrat (rumus ABC),
$m_{1, 2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(1)(13)}}{2(1)}$
$m_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = 2 \pm 3i$
Karena akarnya imajiner dengan $a = 2$ dan $b = 3$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{2x}(C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = e^{2x}(C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x)}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} – 5\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 8y = 0$

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2 – 5m + 8 = 0$. Gunakan rumus kuadrat (rumus ABC),
$m_{1, 2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 – 4(1)(8)}}{2(1)}$
$m_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{-7}}{2} = \dfrac{5}{2} \pm \dfrac{\sqrt{7}}{2}i$
Karena akarnya imajiner dengan $a = \dfrac{5}{2}$ dan $b = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{\frac{5}{2}x}(C_1 \sin \dfrac{\sqrt{7}}{2}x + C_2 \cos \dfrac{\sqrt{7}}{2}x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = e^{\frac{5}{2}x}\left(C_1 \sin \dfrac{\sqrt{7}}{2}x + C_2 \cos \dfrac{\sqrt{7}}{2}x\right)}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan penyelesaian umum dan penyelesaian khusus dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} – 4\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 29y = 0$ dengan $y(0) = 0$ dan $y'(0) = 5$

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2 – 4m + 29 = 0$. Gunakan rumus kuadrat (rumus ABC),
$m_{1, 2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(1)(29)}}{2(1)}$
$m_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-100}}{2} = 2 \pm 5i$
Karena akarnya imajiner dengan $a = 2$ dan $b = 5$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x)}$
Diketahui $y(0) = 0$, sehingga bila disubstitusikan ke persamaan solusi umum tersebut, diperoleh
$0 = e^{2(0)}(C_1 \sin 5(0) + C_2 \cos 5(0)) \Leftrightarrow C_2 = 0$
Selanjutnya, carilah turunan pertama dari $y = e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x)$ (dengan menggunakan Aturan Hasil Kali dalam Turunan), yaitu
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 2e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x) + \\ & e^{2x}(5C_1 \cos 5x – 5C_2 \sin 5x) \end{aligned}$
Substitusikan $y'(0) = 5$ (diinformasikan pada soal) dan $C_2 = 0$ ,
$\begin{aligned} 5 & = 2e^{0}(C_1 \sin 0 + C_2 \cos 0) + \\ & e^{0}(5C_1 \cos 0 – 5C_2 \sin 0) \end{aligned}$
$5 = 1(0) + 1(5C_1) \Leftrightarrow C_1 = 1$
Jadi, solusi khususnya adalah $\boxed{y = e^{2x}(\sin 5x)}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Tentukan penyelesaian umum dan penyelesaian khusus dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 6\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 13y = 0$ dengan $y(0) = 3$ dan $y'(0) = -1$

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2 + 6m + 13 = 0$. Gunakan rumus kuadrat,
$m_{1, 2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{(6)^2 – 4(1)(13)}}{2(1)}$
$m_{1,2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = -3 \pm 2i$
Karena akarnya imajiner dengan $a = -3$ dan $b = 2$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)}$
Diketahui $y(0) = 3$, sehingga bila disubstitusikan ke persamaan solusi umum tersebut, diperoleh
$3 = e^{-3(0)}(C_1 \sin 2(0) + C_2 \cos 2(0)) \Leftrightarrow C_2 = 3$
Selanjutnya, carilah turunan pertama dari $y = e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)$ (dengan menggunakan Aturan Hasil Kali dalam Turunan), yaitu
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -3e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x) + \\ &  e^{-3x}(2C_1 \cos 2x – 2C_2 \sin 2x) \end{aligned}$
Substitusikan $y'(0) = -1$ (diinformasikan pada soal) dan $C_2 = 3$ ,
$\begin{aligned}-1 &= 2e^{0}(C_1 \sin 0 + 3 \times \cos 0) + \\ & e^{0}(2C_1 \cos 0 – 2(3) \sin 0) \end{aligned}$
$-1 = 2(3) + 1(2C_1) \Leftrightarrow C_1 = -\dfrac{7}{2}$
Jadi, solusi khususnya adalah $\boxed{y = e^{-3x}(-\dfrac{7}{2}\sin 2x + 3 \cos 2x)}$

[collapse]

Today Quote

Everything you do now is for your future. Think about that.
CategoriesPersamaan DiferensialTags, , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *