Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan


Bentuk umum PD linear orde dua dengan koefisien konstan adalah a_0\dfrac{d^2y}{dx^2} + a_1\dfrac{dy}{dx} + a_2y = 0. Misalkan y = e^{mx}, maka \dfrac{dy}{dx} = me^{mx} dan \dfrac{d^2y}{dx^2} = m^2e^{mx}, sehingga PD di atas dapat ditulis menjadi a_0(m^2e^{mx}) + a_1(me^{mx}) + a_2(e^{mx}) = 0. Faktorkanlah menjadi e^{mx}(a_0m^2 + a_1m + a_2) = 0, sehingga dari sini, haruslah a_0m^2 + a_1m + a_2 = 0, sebab e^{mx} tidak mungkin bernilai 0 untuk setiap x. Persamaan a_0m^2 + a_1m + a_2 = 0 selanjutnya disebut persamaan karakteristik. Akar penyelesaian untuk m dinamakan akar karakteristik.
Aturan:
Misalkan m_1 dan m_2 adalah akar penyelesaian dari persamaan karakteristik.
Jika m_1 \neq m_2 (D > 0), maka solusi umum PD tersebut adalah
y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x}
Jika m_1 = m_2 = m (D = 0), maka solusi umum PD tersebut adalah
y = C_1e^{mx} + C_2xe^{mx}
Jika akarnya imajiner (D < 0) berbentuk m_{1,2} = a \pm bi, maka solusi umum PD tersebut adalah
y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx) (Rumus Euler).
Berikut ini adalah contoh soal beserta penyelesaiannya mengenai persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan.

Soal Nomor 1
Tentukan penyelesaian umum dari PD \dfrac{d^2y}{dx^2} - 5 \dfrac{dy}{dx} +6y = 0

Penyelesaian:
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah m^2 - 5m + 6 = 0. Dengan memfaktorkannya menjadi (m - 2)(m-3) = 0, kita dapatkan akar karakteristiknya m = 2 \lor m = 3. Karena m_1 \neq m_2, maka solusi umum PD tersebut adalah
y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x}
y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah \boxed{y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}}
Catatan: Nilai m_1 maupun m_2 dapat dibolak balik dan tidak menjadi masalah ketika kita memasukkannya ke bentuk umum PD sebab operator penjumlahan bersifat komutatif.

Soal Nomor 2
Tentukan penyelesaian umum dari PD 4\dfrac{d^2y}{dx^2} - 12 \dfrac{dy}{dx} +5y = 0

Penyelesaian:
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah 4m^2 - 12m + 5 = 0. Dengan memfaktorkannya menjadi (2m-1)(2m-5) = 0, kita dapatkan akar karakteristiknya m = \dfrac{1}{2} \lor m = \dfrac{5}{2}. Karena m_1 \neq m_2, maka solusi umum PD tersebut adalah
y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x}
y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{\frac{5}{2}x}
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah \boxed{y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{\frac{5}{2}x}}

Soal Nomor 3
Tentukan penyelesaian umum dari PD \dfrac{d^2y}{dx^2} - 8 \dfrac{dy}{dx} +16y = 0

Penyelesaian:
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah m^2 - 8m + 16 = 0. Dengan memfaktorkannya menjadi (m-4)(m-4) = (m-4)^2 = 0, kita dapatkan akar karakteristiknya m = 4. Karena akarnya kembar/sama, maka solusi umum PD tersebut adalah
y = C_1e^{mx} + C_2xe^{mx}
y = C_1e^{4x} + C_2xe^{4x}
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah \boxed{y = C_1e^{4x} + C_2xe^{4x}}

Soal Nomor 4
Tentukan penyelesaian umum dari PD \dfrac{d^2y}{dx^2} +9y = 0

Penyelesaian:
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah m^2 + 9 = 0. Perhatikan bahwa,
m^2 + 9 = 0 \Leftrightarrow m^2 = -9
m = \pm \sqrt{-9} = \pm 3i
Karena akarnya imajiner dengan a = 0 dan b = 3, maka solusi umum PD tersebut adalah
y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)
y = e^{0x}(C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x)
y = C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah \boxed{y = C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x}

Soal Nomor 5
Tentukan penyelesaian umum dari PD 4\dfrac{d^2y}{dx^2} + 4 \dfrac{dy}{dx} +y = 0

Penyelesaian:
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah 4m^2 +4m + 1 = 0. Dengan memfaktorkannya menjadi (2m+1)(2m+1) = (2m+1)^2= 0, kita dapatkan akar karakteristiknya m = \dfrac{1}{2}. Karena akarnya kembar/sama, maka solusi umum PD tersebut adalah
y = C_1e^{mx} + C_2xe^{mx}
y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2xe^{\frac{1}{2}x}
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah \boxed{y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2xe^{\frac{1}{2}x}}

Soal Nomor 6
Tentukan penyelesaian umum dari PD \dfrac{d^2y}{dx^2} - 4\dfrac{dy}{dx} + 13y = 0

Penyelesaian:
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah m^2 - 4m + 13 = 0. Gunakan rumus kuadrat,
m_{1, 2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(13)}}{2(1)}
m_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = 2 \pm 3i
Karena akarnya imajiner dengan a = 2 dan b = 3, maka solusi umum PD tersebut adalah
y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)
y = e^{2x}(C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x)
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah \boxed{y = e^{2x}(C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x)}

Soal Nomor 7
Tentukan penyelesaian umum dari PD \dfrac{d^2y}{dx^2} - 5\dfrac{dy}{dx} + 8y = 0

Penyelesaian:
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah m^2 - 5m + 8 = 0. Gunakan rumus kuadrat,
m_{1, 2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)}
m_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{-7}}{2} = \dfrac{5}{2} \pm \dfrac{\sqrt{7}}{2}i
Karena akarnya imajiner dengan a = \dfrac{5}{2} dan b = \dfrac{\sqrt{7}}{2}, maka solusi umum PD tersebut adalah
y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)
y = e^{\frac{5}{2}x}(C_1 \sin \dfrac{\sqrt{7}}{2}x + C_2 \cos \dfrac{\sqrt{7}}{2}x)
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah \boxed{y = e^{\frac{5}{2}x}\left(C_1 \sin \dfrac{\sqrt{7}}{2}x + C_2 \cos \dfrac{\sqrt{7}}{2}x\right)}

Soal Nomor 8
Tentukan penyelesaian umum dan penyelesaian khusus dari PD \dfrac{d^2y}{dx^2} - 4\dfrac{dy}{dx} + 29y = 0 dengan y(0) = 0 dan y'(0) = 5

Penyelesaian:
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah m^2 - 4m + 29 = 0. Gunakan rumus kuadrat,
m_{1, 2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(29)}}{2(1)}
m_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-100}}{2} = 2 \pm 5i
Karena akarnya imajiner dengan a = 2 dan b = 5, maka solusi umum PD tersebut adalah
y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)
y = e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x)
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah \boxed{y = e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x)}
Diketahui y(0) = 0, sehingga bila disubstitusikan ke persamaan solusi umum tersebut, diperoleh
0 = e^{2(0)}(C_1 \sin 5(0) + C_2 \cos 5(0)) \Leftrightarrow C_2 = 0
Selanjutnya, carilah turunan pertama dari y = e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x) (dengan menggunakan Aturan Hasil Kali dalam Turunan), yaitu
\dfrac{dy}{dx} = 2e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x) + e^{2x}(3C_1 \cos 5x - 3C_2 \sin 5x)
Substitusikan y'(0) = 5 (diinformasikan pada soal) dan C_2 = 0 ,
5 = 2e^{0}(C_1 \sin 0 + C_2 \cos 0) + e^{0}(5C_1 \cos 0 - 5C_2 \sin 0)
5 = 1(0) + 1(5C_1) \Leftrightarrow C_1 = 1
Jadi, solusi khususnya adalah \boxed{y = e^{2x}(\sin 5x)}

Soal Nomor 9
Tentukan penyelesaian umum dan penyelesaian khusus dari PD \dfrac{d^2y}{dx^2} + 6\dfrac{dy}{dx} + 13y = 0 dengan y(0) = 3 dan y'(0) = -1

Penyelesaian:
Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah m^2 + 6m + 13 = 0. Gunakan rumus kuadrat,
m_{1, 2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{(6)^2 - 4(1)(13)}}{2(1)}
m_{1,2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = -3 \pm 2i
Karena akarnya imajiner dengan a = -3 dan b = 2, maka solusi umum PD tersebut adalah
y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)
y = e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah \boxed{y = e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)}
Diketahui y(0) = 3, sehingga bila disubstitusikan ke persamaan solusi umum tersebut, diperoleh
3 = e^{-3(0)}(C_1 \sin 2(0) + C_2 \cos 2(0)) \Leftrightarrow C_2 = 3
Selanjutnya, carilah turunan pertama dari y = e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x) (dengan menggunakan Aturan Hasil Kali dalam Turunan), yaitu
\dfrac{dy}{dx} = -3e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x) + e^{-3x}(2C_1 \cos 2x - 2C_2 \cos 2x)
Substitusikan y'(0) = -1 (diinformasikan pada soal) dan C_2 = 3 ,
-1 = 2e^{0}(C_1 \sin 0 + 3 \times \cos 0) + e^{0}(2C_1 \cos 0 - 2(3) \sin 0)
-1 = 2(3) + 1(2C_1) \Leftrightarrow C_1 = -\dfrac{7}{2}
Jadi, solusi khususnya adalah \boxed{y = e^{-3x}(-\dfrac{7}{2}\sin 2x + 3 \cos 2x)}

Jika ada kesalahan pengetikan/jawaban, silakan berikan kritik/komentar/perbaikan Anda di kolom komentar di bawah. 

Ayo Beri Rating Postingan Ini

4 Balasan untuk “Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *