Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan

Bentuk umum PD linear orde dua dengan koefisien konstan adalah $$\boxed{a_0\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + a_1\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + a_2y = 0}$$Misalkan $y = e^{mx}$, maka
$$\Rightarrow \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = me^{mx} \Rightarrow \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = m^2e^{mx}$$sehingga PD di atas dapat ditulis menjadi $$a_0(m^2e^{mx}) + a_1(me^{mx}) + a_2(e^{mx}) = 0$$Faktorkanlah menjadi $$e^{mx}(a_0m^2 + a_1m + a_2) = 0$$sehingga dari sini, haruslah $$4a_0m^2 + a_1m + a_2 = 0,$$sebab $e^{mx}$ tidak mungkin bernilai $0$ untuk setiap $x$. Persamaan $a_0m^2 + a_1m + a_2 = 0$ selanjutnya disebut persamaan karakteristik. Akar penyelesaian untuk $m$ dinamakan akar karakteristik.

Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah

Aturan:
Misalkan $m_1$ dan $m_2$ adalah akar penyelesaian dari persamaan karakteristik serta $D$ adalah diskriminan persamaan kuadrat itu.

  1. Jika $m_1 \neq m_2 $ ($D > 0$), maka solusi umum PD tersebut adalah $y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x}.$
  2. Jika $m_1 = m_2 = m$ ($D = 0$), maka solusi umum PD tersebut adalah $y = C_1e^{mx} + C_2xe^{mx}.$
  3. Jika akarnya imajiner ($D < 0$) berbentuk $m_{1,2} = a \pm bi$, maka solusi umum PD tersebut adalah $y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$(Rumus Euler).

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial (Tingkat Dasar)

Berikut ini adalah contoh soal beserta penyelesaiannya mengenai persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan.

Today Quote

Everything you do now is for your future. Think about that.

Soal Nomor 1
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 5 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} +6y = 0$.

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2- 5m + 6 = 0$. Dengan memfaktorkannya menjadi $(m- 2)(m-3) = 0$, kita dapatkan akar karakteristiknya $m = 2 \lor m = 3.$ Karena $m_1 \neq m_2$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x}$
$y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}}$
Catatan: Nilai $m_1$ maupun $m_2$ dapat dibolak-balik dan tidak menjadi masalah ketika kita memasukkannya ke bentuk umum PD sebab operator penjumlahan bersifat komutatif.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan penyelesaian umum dari PD $4\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 12 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} +5y = 0$.

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $4m^2- 12m + 5 = 0$. Dengan memfaktorkannya menjadi $(2m-1)(2m-5) = 0$, kita dapatkan akar karakteristiknya $m = \dfrac{1}{2} \lor m = \dfrac{5}{2}$. Karena $m_1 \neq m_2$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x}$
$y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{\frac{5}{2}x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{\frac{5}{2}x}}$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Soal Nomor 3
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 8 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} +16y = 0$.

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2- 8m + 16 = 0$. Dengan memfaktorkannya menjadi $(m-4)(m-4) = (m-4)^2 = 0$, kita dapatkan akar karakteristiknya $m = 4$. Karena akarnya kembar/sama, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_1e^{mx} + C_2xe^{mx}$
$y = C_1e^{4x} + C_2xe^{4x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1e^{4x} + C_2xe^{4x}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} +9y = 0$.

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2 + 9 = 0$. Perhatikan bahwa
$m^2 + 9 = 0 \Leftrightarrow m^2 =-9$
$m = \pm \sqrt{-9} = \pm 3i.$
Karena akarnya imajiner dengan $a = 0$ dan $b = 3$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{0x}(C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x)$
$y = C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x}$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Non-Homogen) dengan Koefisien Konstan

Soal Nomor 5
Tentukan penyelesaian umum dari PD $4\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} +y = 0$.

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $4m^2 +4m + 1 = 0$. Dengan memfaktorkannya menjadi $(2m+1)(2m+1) = (2m+1)^2= 0,$ kita dapatkan akar karakteristiknya $m =-\dfrac{1}{2}$. Karena akarnya kembar/sama, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = C_1e^{mx} + C_2xe^{mx}$
$y = C_1e^{-\frac{1}{2}x} + C_2xe^{-\frac{1}{2}x}$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = C_1e^{-\frac{1}{2}x} + C_2xe^{-\frac{1}{2}x}}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 4\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 13y = 0$.

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2- 4m + 13 = 0$. Gunakan rumus kuadrat (rumus ABC),
$m_{1, 2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2- 4(1)(13)}}{2(1)}$
$m_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = 2 \pm 3i$
Karena akarnya imajiner dengan $a = 2$ dan $b = 3$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{2x}(C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = e^{2x}(C_1 \sin 3x + C_2 \cos 3x)}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan penyelesaian umum dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 5\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 8y = 0$.

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2- 5m + 8 = 0$. Gunakan rumus kuadrat (rumus ABC),
$m_{1, 2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2- 4(1)(8)}}{2(1)}$
$m_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{-7}}{2} = \dfrac{5}{2} \pm \dfrac{\sqrt{7}}{2}i$
Karena akarnya imajiner dengan $a = \dfrac{5}{2}$ dan $b = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{\frac{5}{2}x}(C_1 \sin \dfrac{\sqrt{7}}{2}x + C_2 \cos \dfrac{\sqrt{7}}{2}x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $$\boxed{y = e^{\frac{5}{2}x}\left(C_1 \sin \dfrac{\sqrt{7}}{2}x + C_2 \cos \dfrac{\sqrt{7}}{2}x\right)}$$

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan penyelesaian umum dan penyelesaian khusus dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 4\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 29y = 0$ dengan $y(0) = 0$ dan $y'(0) = 5$.

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2- 4m + 29 = 0$. Gunakan rumus kuadrat (rumus ABC).
$m_{1, 2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2- 4(1)(29)}}{2(1)}$
$m_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-100}}{2} = 2 \pm 5i$
Karena akarnya imajiner dengan $a = 2$ dan $b = 5$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x)}$
Diketahui $y(0) = 0$ sehingga bila disubstitusikan ke persamaan solusi umum tersebut, diperoleh
$\begin{aligned} 0 & = e^{2(0)}(C_1 \sin 5(0) + C_2 \cos 5(0)) \\ 0 & = 1(C_1(0) + C_2(1)) \\ C_2 & = 0 \end{aligned}$
Selanjutnya, carilah turunan pertama dari $y = e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x)$ (dengan menggunakan Aturan Hasil Kali dalam Turunan), yaitu
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 2e^{2x}(C_1 \sin 5x + C_2 \cos 5x) + \\ & e^{2x}(5C_1 \cos 5x- 5C_2 \sin 5x) \end{aligned}$
Substitusikan $y'(0) = 5$ dan $C_2 = 0$ sehingga didapat
$\begin{aligned} 5 & = 2e^{0}(C_1 \sin 0 + C_2 \cos 0) + \\ & e^{0}(5C_1 \cos 0- 5C_2 \sin 0) \end{aligned}$
$5 = 1(0) + 1(5C_1) \Leftrightarrow C_1 = 1.$
Jadi, solusi khususnya adalah $\boxed{y = e^{2x}(\sin 5x)}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Tentukan penyelesaian umum dan penyelesaian khusus dari PD $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 6\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 13y = 0$ dengan $y(0) = 3$ dan $y'(0) =-1$.

Pembahasan

Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $m^2 + 6m + 13 = 0$. Gunakan rumus kuadrat.
$m_{1, 2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{(6)^2- 4(1)(13)}}{2(1)}$
$m_{1,2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} =-3 \pm 2i.$
Karena akarnya imajiner dengan $a =-3$ dan $b = 2$, maka solusi umum PD tersebut adalah
$y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx)$
$y = e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)$
Jadi, penyelesaian umum PD ini adalah $\boxed{y = e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)}$
Diketahui $y(0) = 3$ sehingga bila disubstitusikan ke persamaan solusi umum tersebut, diperoleh
$$\begin{aligned} 3 & = e^{-3(0)}(C_1 \sin 2(0) + C_2 \cos 2(0)) \\ 3 & = 1(C_1(0) + C_2(1)) \\ C_2 & = 3 \end{aligned}$$Selanjutnya, carilah turunan pertama dari $y = e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x)$ (dengan menggunakan Aturan Hasil Kali dalam Turunan), yaitu
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & =-3e^{-3x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x) + \\ &  e^{-3x}(2C_1 \cos 2x- 2C_2 \sin 2x) \end{aligned}$$Substitusikan $y'(0) =-1$ dan $C_2 = 3$,
$$\begin{aligned}-1 & = -3e^{0}(C_1 \sin 0 + 3 \times \cos 0) + e^{0}(2C_1 \cos 0- 2(3) \sin 0) \\ -1 & = -3(1)(0 + 3) + 1(2C_1-0) \\  -1 & = -9 + 2C_1 \\ 8 &  = 2C_1 \Leftrightarrow C_1 = 4 \end{aligned}$$Jadi, solusi khususnya adalah $\boxed{y = e^{-3x}(4 \sin 2x + 3 \cos 2x)}$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Homogen (Reduksi dan Pemisahan Variabel)

2 Replies to “Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan”

  1. Permisi, saya ingin bertanya tentang pembahasan pada soal 9 nomor. disitu tertulis setelah di subtitusikan y'(0) = -1, persamaan berubah menjadi: -1 = 2e^0( C1 sin 0 + 3 cos 0)… Itu 2 di e^0 nya dari mana ya? Karena sebelumnya persamaanya -3 e^-3x sebelum di subtitusikan 0 dan -1. Bukankah seharusnya menjadi -3e^0? Terimakasih

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *