Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Linear Orde Dua Koefisien Konstan dengan Metode Variasi Parameter


Berikut ini merupakan contoh soal beserta pembahasannya mengenai penyelesaian persamaan diferensial linear orde dua berkoefisien konstan dengan menggunakan metode variasi parameter. Untuk visualisasi yang lebih efektif, sebaiknya gunakan tampilan website/browser (bukan tampilan mobile).

Soal Nomor 1
Carilah solusi umum dari \dfrac{d^2y}{dx^2} + y = \tan x jika diberikan penyelesaian PD homogen terkait adalah y_c(x) = C_1 \sin x + C_2 \cos x

Penyelesaian:
Diberikan y_c = C_1 \sin x + C_2 \cos x. Misalkan
y_p(x) = v_1(x)\sin x + v_2(x)\cos x
sehingga turunan pertamanya adalah
y_p'(x) = v_1'(x) \sin x + v_2'(x) \cos x + v_1(x) \cos x - v_2(x) \sin x
Misalkan v_1'(x) \sin x + v_2'(x) \cos x = 0, berarti
y_p'(x) = v_1(x) \cos x - v_2(x) \sin x
Turunannya adalah
y_p''(x) = v_1'(x) \cos x - v_1(x) \sin x - v_2(x) \cos x - v_2'(x) \sin x
Substitusikan y_p(x) beserta turunannya ke dalam PD:
\begin{multlined} (-v_1(x) \sin x - v_2(x) \cos x + v_1'(x) \cos x - v_2'(x) \sin x) \\ (v_1(x) \sin x + v_2(x) \cos x) = \tan x \end{multlined}
Sederhanakan,
v_1'(x) \cos x - v_2'(x) \sin x = \tan x
Dari sini, kita memperoleh SPL berikut.
\begin{cases} v_1'(x) \sin x + v_2'(x) \cos x = 0 \\ v_1'(x) \cos x - v_2'(x) \sin x = \tan x \end{cases}
Selanjutnya, akan dicari nilai v_1'(x)~ \text{dan}~v_2'(x) dengan menggunakan Aturan Cramer.
v_1'(x) = \dfrac{\begin{vmatrix} 0 & \cos x \\ \tan x & -\sin x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \sin x & \cos x \\ \cos x & -\sin x \end{vmatrix}} = \dfrac{-\tan x \cos x}{-\sin^2 x - \cos^2 x} = \sin x
\begin{multlined} v_2'(x) = \dfrac{\begin{vmatrix} \sin x & 0 \\ \cos x & \tan x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \sin x & \cos x \\ \cos x & -\sin x \end{vmatrix}} = \dfrac{\sin x \tan x}{-\sin^2 x - \cos^2 x} \\ = -\dfrac{\sin^2 x}{\cos x} = \dfrac{\cos^2 x - 1}{\cos x} = \cos x - \sec x \end{multlined}
Berikutnya, cari nilai y_1(x) dan y_2(x) dengan integral.
v_1(x) = \int v_1'(x)~dx = \int \sin x ~dx = -\cos x + D
v_2(x) = \int v_2'(x)~dx = \int (\cos x - \sec x)~dx
v_2(x) = \sin x - \ln |\sec x + \tan x| + E
Jadi, kita peroleh
y_p(x) = (-\cos x + D) \sin x + (\sin x - \ln |\sec x + \tan x| + E) \cos x
y_p(x) = D \sin x + (- \ln |\sec x + \tan x| + E) \cos x
Penyelesaian umum dari PD tersebut adalah
y(x) = y_c(x) + y_p(x)
y(x) = C_1 \sin x + C_2 \cos x + D \sin x + (- \ln |\sec x + \tan x| + E) \cos x
\boxed{y(x)= A \sin x + B \cos x - \cos x~\ln |\sec x + \tan x|}

Soal Nomor 2
Carilah solusi umum dari (x^2 + 1)\dfrac{d^2y}{dx^2} - 2x\dfrac{dy}{dx} + 2y = 6(x^2 + 1)^2 jika diberikan solusi umum PD homogen terkait y_c(x) = C_1(x) + C_2(x^2 - 1)

Penyelesaian:
Diberikan y_c(x) = C_1(x) + C_2(x^2 - 1). Misalkan
y_p(x) = v_1(x).x + v_2(x).(x^2 - 1)
y_p'(x) = v_1(x) + v_1'(x).x + v_2'(x)(x^2 - 1) + v_2(x)(2x)
Misal v_1'(x).x + v_2'(x)(x^2 - 1) = 0
sehingga
y_p'(x) = v_1(x) + v_2(x)(2x)
Turunannya adalah
y_p''(x) = v_1'(x) + v_2'(x)(2x) + 2v_2(x)
Substitusikan y_p(x) beserta turunannya ke PD, diperoleh
\begin{multlined} (x^2 + 1)(v_1'(x) + v_2'(x).2x + 2v_2(x)) 2x(v_1(x) \\ + v_2(x).2x) + 2(v_1(x).x + v_2(x).(x^2 - 1)) = 6(x^2 + 1)^2 \end{multlined}
Sederhanakan bentuk di atas sehingga menjadi
v_1'(x) + 2xv_2'(x) = 6(x^2 + 1)
Dari sini, kita peroleh SPL
\begin{cases} v_1'(x).x + v_2'(x)(x^2 - 1) = 0 \\ v_1'(x) + 2xv_2'(x) = 6(x^2 + 1) \end{cases}
Cari nilai v_1'(x) dan v_2'(x) dengan menggunakan Aturan Cramer.
v_1'(x) = \dfrac{\begin{vmatrix} 0 & x^2-1 \\ 6(x^2+1) & 2x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x & x^2-1 \\ 1 & 2x \end{vmatrix}} = \dfrac{-6(x^4-1)}{x^2 + 1} = -6(x^2 - 1)
v_2'(x) = \dfrac{\begin{vmatrix} x & 0 \\ 1 & 6(x^2+1) \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x & x^2-1 \\ 1 & 2x \end{vmatrix}} = \dfrac{6x(x^2+1)}{x^2+1} = 6x
Dengan integral, diperoleh
v_1(x) = -2x^3 + 6x +D_1
v_2(x) = 3x^2 + D_2
Jadi, kita peroleh
y_p(x) = (-2x^3 + 6x +D_1) x + (3x^2 + D_2)(x^2 - 1)
y_p(x)= x^4 + (3 + D_2)x^2 + D_1x - D_2
Penyelesaian umum dari PD tersebut adalah
y(x) = y_c(x) + y_p(x)
y(x) = C_1(x) + C_2(x^2 - 1) + x^4 + (3 + D_2)x^2 + D_1x - D_2
\boxed{y(x) = Cx + (3 + D)x^2 + x^4 + E}
(Perhatikan bahwa dalam hal ini, kita mentransformasi/mengubah bentuk konstanta agar lebih sederhana yaitu dengan mengganti hurufnya saja)

 

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *