Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

Berikut ini adalah soal & pembahasan materi persamaan kuadrat (tingkat SMA). Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi belajar.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Kuadrat

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat (Versi HOTS/Olimpiade)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi (Soal Cerita) Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Soal Nomor 1
Apakah persamaan berikut tergolong persamaan kuadrat atau tidak? Berilah alasannya jika tidak.
a. $x^2-7 = 3$
b. $x^3+7x^2-6x+8=0$
c. $x+6=-2x+9$
d. $3x^2-7x+9=0$
e. $x^2 + \sqrt{x} – 6 = 0$
f. $x^2 + \dfrac{1}{x} + x = 0$

Penyelesaian

Persamaan kuadrat haruslah berbentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan $a, b, c \in \mathbb{R}$ dan $a \neq 0$.
(Jawaban a) Persamaan kuadrat dengan $b = 0$ (variabel $x$ tidak ada).
(Jawaban b) Bukan persamaan kuadrat, karena terdapat variabel berpangkat $3$.
(Jawaban c) Bukan persamaan kuadrat, karena tidak terdapat variabel berpangkat $2$. Dengan kata lain, $a = 0$.
(Jawaban d) Persamaan kuadrat.
(Jawaban e) Bukan persamaan kuadrat, karena terdapat variabel di bawah tanda akar.
(Jawaban f) Bukan persamaan kuadrat, karena terdapat bentuk $\dfrac{1}{x}$.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai diskriminan dari masing-masing persamaan kuadrat berikut.
a. $x^2+8x+7=0$
b. $x^2-5x+6=0$
c. $x^2-9=0$
d. $2x^2-7x = 0$
e. $3x^2+\sqrt{3}x – 9 = 3$

Penyelesaian

Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ ditentukan oleh $D = b^2-4ac$.
(Jawaban a) Diketahui $a = 1, b = 8$, dan $c=7$.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= 8^2-4(1)(7) \\ & = 64-28 = 36 \end{aligned}$
Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{36}$.
(Jawaban b) Diketahui $a = 1, b = -5$, dan $c=6$.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= (-5)^2-4(1)(6) \\ & = 25-24 = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{1}$.
(Jawaban c) Diketahui $a = 1, b = 0$, dan $c=-9$.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= 0^2-4(1)(-9) \\ & = 0+36 = 36 \end{aligned}$
Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{36}$.
(Jawaban d) Diketahui $a = 2, b = -7$, dan $c=0$.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= (-7)^2-4(2)(0) \\ & = 49-0=49 \end{aligned}$

Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{49}$.
(Jawaban e) Ubah menjadi bentuk umum persamaan kuadrat: $3x^2+\sqrt{3}x-12=0$
Diketahui $a = 3, b = \sqrt{3}$, dan $c=-12$.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= (\sqrt{3})^2-4(3)(-12) \\ & = 3+144 = 147 \end{aligned}$
Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{147}$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika $1-\dfrac{6}{x} + \dfrac{9}{x^2} = 0$, maka $\dfrac{3}{x} = \cdots$
A. $-1$                   D. $-1~\text{atau}~2$
B. $1$                     E. $-1~\text{atau}-2$
C. $2$

Penyelesaian

Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan cara mengalikan kedua ruasnya dengan $x^2$, sehingga diperoleh $x^2-6x +9=0$.
Perhatikan bahwa,
$x^2-6x+9=(x-3)(x-3)=0$
Ini berarti, satu-satunya penyelesaian dari persamaan kuadrat itu adalah $x = 3$, sehingga $\boxed{\dfrac{3}{x} =\dfrac{3}{3} = 1}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Persamaan berikut ini yang akar-akarnya tidak nyata adalah $\cdots$
A. $x^2+5x+7=0$
B. $4x^2+12x+9=0$
C. $x^2-x-1=0$
D. $2x^2+x-3=0$
E. $2x^2-5x+3=0$

Penyelesaian

Suatu persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ memiliki akar yang tidak nyata (atau disebut imajiner) apabila diskriminannya bernilai negatif atau secara matematis, ditulis
$D = b^2-4ac < 0$
(Pilihan A) Diketahui $a = 1, b =5,c=7$
$\begin{aligned} D & = b^2+4ac \\ & = 5^2-4(1)(7) \\ & = 25-28 = -3 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat ini memiliki diskriminan yang negatif, sehingga akarnya tidak nyata.
(Pilihan B) Diketahui $a = 4, b =12,c=9$
$\begin{aligned} D & = b^2+4ac \\ & = 12^2-4(4)(9) \\ & = 144-144 = 0 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat ini memiliki diskriminan nol, sehingga akarnya nyata dan kembar.
(Pilihan C) Diketahui $a = 1, b =-1,c=-1$
$\begin{aligned} D & = b^2+4ac \\ & = (-1)^2-4(1)(-1) \\ & = 1+4 = 5 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat ini memiliki diskriminan yang positif, sehingga akarnya nyata dan berlainan.
(Pilihan D) Diketahui $a = 2, b =1,c=-3$
$\begin{aligned} D & = b^2+4ac \\ & = 1^2-4(2)(-3) \\ & = 1+24 = 25 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat ini memiliki diskriminan yang positif, sehingga akarnya nyata dan berlainan.
(Pilihan E) Diketahui $a = 2, b =-5,c=3$
$\begin{aligned} D & = b^2+4ac \\ & = (-5)^2-4(2)(3) \\ & = 25-24 = 1 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat ini memiliki diskriminan yang positif, sehingga akarnya nyata dan berlainan.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2+ax-4=0$ adalah $p$ dan $q$. Jika $p^2 – 2pq + q^2 = 8a$, maka nilai $a$ adalah $\cdots$
A. $-8$        B. $-4$        C. $4$          D. $6$        E. $8$

Penyelesaian

Alternatif I:
Diketahui jumlah akar $p+q = -\dfrac{a}{1} = -a$ dan hasil kali akar $pq = \dfrac{-4}{1} = -4$.

Selanjutnya, akan dicari nilai $a$.
$$\begin{aligned} p^2 – 2pq + q^2 & = 8a \\ (p + q)^2 – 4pq & = 8a \\ \text{Substitusikan}~p+q & =-a~\text{dan}~pq = -4 \\ (-a)^2 – 4(-4) – 8a & = 0 \\ a^2 – 8a + 16 & = 0 \\ (a – 4)(a-4) & = 0 \end{aligned}$$
Alternatif II:

Diketahui bahwa $p – q = \dfrac{\sqrt{D}}{a}$, yang ekuivalen dengan $(p – q)^2 = D$ karena $a = 1$, di mana $D$ adalah diskriminan. Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} (p-q)^2 & = D \\ p^2 – 2pq + q^2 & = a^2 – 4(1)(-4) \\ 8a & = a^2 + 16 \\ a^2 – 8a + 16 & = 0 \\ (a – 4)(a-4) & = 0 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{a = 4}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Akar-akar persamaan $x^2 – (a-1)x + 2 = 0$ adalah $\alpha$ (baca: alfa) dan $\beta$ (baca: beta). Jika $\alpha = 2\beta$ dan $a > 0$, maka nilai $a = \cdots$
A. $2$        B. $3$        C. $4$         D. $6$           E.$8$

Penyelesaian

Diketahui jumlah akar $\alpha + \beta = -\dfrac{-(a-1)}{1} = a-1$
dan hasil kali akar
$\alpha \beta = \dfrac{2}{1} = 2$.

Langkah pertama adalah mencari dulu nilai $\alpha$ dan $\beta$.
$\begin{aligned} \alpha \beta & = 2 \\ \text{Substitusikan} & ~\alpha = 2\beta \\ 2\beta \cdot \beta & = 2 \\ \beta^2 & = 1 \\ \beta & = \pm 1 \end{aligned}$
Untuk $\beta = 1$, didapat $\alpha = 2(1) = 2$.
Untuk $\beta = -1$, didapat $\alpha = 2(-1) = -2$.
Substitusikan nilai-nilai ini pada persamaan jumlah akar.
Misalnya $\alpha = 2$ dan $\beta = 1$.
$\begin{aligned} \alpha + \beta & = a – 1 \\ 1 + 2 & = a – 1 \\ 3 & = a – 1 \\ a & = 4 \end{aligned}$
Misalnya $\alpha = -2$ dan $\beta = -1$.
$\begin{aligned} \alpha + \beta & = a – 1 \\ -1 – 2 & = a – 1 \\ -3 & = a – 1 \\ a & = -2 \end{aligned}$
Diperoleh $a = -2$ (tidak memenuhi karena syaratnya $a > 0$) dan $a = 4$. Untuk itu, nilai $a$ yang dimaksud adalah $\boxed{4}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui persamaan kuadrat $x^2+(a-3)x+9=0$. Nilai $a$ yang menyebabkan persamaan tersebut mempunyai akar-akar kembar adalah $\cdots$
A. $a = 6$ atau $a = -6$
B. $a = 3$ atau $a = -3$
C. $a = 6$ atau $a = 3$
D. $a = 9$ atau $a = -3$
E. $a = 12$ atau $a = -3$

Penyelesaian

Syarat akar kembar dalam persamaan kuadrat adalah diskriminannya harus bernilai 0. Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (a-3)^2 – 4(1)(9) & = 0 \\ a^2 – 6a + 9 – 36 & = 0 \\ a^2-6a-27&=0 \\ (a-9)(a+3)&=0 \\ a = 9 ~\text{atau}~a & = -3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang membuat persamaan kuadrat itu memiliki akar kembar adalah $a = 9$ atau $a = -3$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2 – 4x – 5 = 0$, nilai dari $x_1^2 + x_2^2$ adalah $\cdots$
A. $24$               C. $28$            E. $32$
B. $26$               D. $30$               

Penyelesaian

Diketahui persamaan kuadrat $x^2-4x-5=0$ memiliki jumlah akar
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b} {a} = -\dfrac{-4}{1} = 4$
dan hasil kali akarnya
$x_1x_2 = \dfrac{c} {a} = \dfrac{-5}{1} = -5$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 – 2x_1x_2 \\ & = (4)^2 – 2(-5) \\ & = 16 + 10 = 26 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $x_1^2 + x_2^2$ adalah $\boxed{26}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Persamaan kuadrat $x^2+4px+4=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1 \cdot x_2^2 + x_1^2 \cdot x_2 = 32$, maka nilai $p = \cdots$
A. $-4$       B. $-2$        C. $2$         D. $4$         E. $8$

Penyelesaian

Diketahui jumlah akar
$x_1+x_2 = -\dfrac{4p} {1} = -4p$
dan hasil kali akar
$x_1 x_2 = \dfrac{4}{1} = 4$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} x_1 \cdot x_2^2 + x_1^2 \cdot x_2 & = 32 \\ x_1x_2(x_1 + x_2) & = 32 \\ 4(-4p) & = 32 \\ -16p & = 32 \\ p & = -2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{-2}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10 
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $(1-\sqrt{3})$ dan $(1+\sqrt{3})$ adalah $\cdots$
A. $x^2+2x-2=0$               
B. $x^2-2x-2=0$                
C. $x^2-2x+2=0$
D. $2x^2+2x-1=0$
E. $2x^2-2x-1=0$

Penyelesaian

Misalkan akar-akarnya adalah $x_1 = 1-\sqrt{3}$ dan $x_2 = 1+\sqrt{3}$. Diketahui jumlah akar
$x_1 + x_2 = (1-\sqrt{3}) + (1+\sqrt{3}) = 2$
dan hasil kali akar
$\begin{aligned} x_1 x_2 & = (1-\sqrt{3}) (1+\sqrt{3}) \\ & = 1 – 3 = -2 \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
$\begin{aligned} x^2-(x_1+x_2)x + x_1x_2 & = 0 \\ x^2-2x-2 & = 0 \end{aligned}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11 
Persamaan kuadrat $2x^2-2(p-4)x+p=0$ mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai $p$ yang memenuhi adalah $\cdots$
A. $p \leq -2$ atau $p \geq 8$
B. $p < 2$ atau $p > 8$
C. $p < -8$ atau $p>-2$
D. $2 \leq p \leq 8$
E. $2 < p < 8$

Penyelesaian

Syarat persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda adalah diskriminannya bernilai $0$.
$\begin{aligned} D & > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ (-2(p-4))^2 – 4(2)(p) & > 0 \\ 4(p^2-8p+16) – 8p & > 0 \\ 4p^2-32p+64 – 8p & > 0 \\ 4p^2-40p+64 & > 0 \\p^2-10p+16 & > 0 \\ (p-2)(p-8) &>0 \end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $p = 2$ atau $p = 8$. Gunakan garis bilangan untuk menentukan tanda positif-negatif.

Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{p < 2~\text{atau}~p > 8}$ (Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 12 
Persamaan $3x^2+(k-2)x – k+2 = 0$ mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai $k$ yang memenuhi adalah $\cdots$
A. $k \leq 2$ atau $k \geq 10$         D. $k > 10$
B. $k \leq -10$ atau $k \geq 2$       E. $-10 < k < 2$
C. $k < -10$ atau $k > 2$

Penyelesaian

Suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar real yang berbeda apabila diskriminannya bernilai lebih dari 0. Untuk itu, ditulis
$\begin{aligned} D > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ (k-2)^2-4(3)(-k+2)&> 0 \\ k^2-4k+4+12k-24 & > 0 \\ k^2+8k-20 & > 0 \\ (k+10)(k-2) & > 0 \end{aligned} $
Diperoleh pembuat nol $k = -10$ atau $k=2$. Gunakan garis bilangan berikut untuk menentukan tanda positif-negatif.



Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $\boxed{k < -10~\text{atau}~k > 2}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13 
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya satu kurangnya dari dua kali akar-akar persamaan kuadrat $x^2+3x+7=0$ adalah $\cdots$
A. $x^2+12x+23=0$       
B. $x^2-8x+35=0$           
C. $x^2-4x+23=0$
D. $x^2+8x+35=0$
E. $x^2+8x-35=0$

Penyelesaian

Misalkan akar persamaan kuadrat $x^2+3x+7=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$, sehingga
$x_1 + x_2 = -\dfrac{3}{1} = -3$
dan
$x_1x_2 = \dfrac{7}{1} = 7$
Selanjutnya, misalkan akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dengan $p = 2x_1-1$ dan $q = 2x_2-1$.
Jumlah akarnya adalah
$\begin{aligned} p + q & = (2x_1-1)+(2x_2-1) \\ & = 2(x_1+x_2) – 2 \\ & = 2(-3) – 2 = -8 \end{aligned}$
Hasil kali akarnya adalah
$\begin{aligned} pq & = (2x_1-1)(2x_2-1) \\ & = 4x_1x_2 – 2(x_1+x_2) + 1 \\ & = 4(7) -2(-3)+1 = 35 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat yang baru itu adalah
$\begin{aligned} x^2-(p+q)x + pq & = 0 \\ x^2-(-8)x + 35 & = 0 \\ x^2+8x+35 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan kuadrat tersebut adalah $\boxed{x^2+8x+35=0}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Persamaan kuadrat $3x^2-(a-1)x-1=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Sedangkan persamaan yang akar-akarnya $\dfrac{1}{x_1}$ dan $\dfrac{1}{x_2}$ adalah $x^2-(2b+1)x + b = 0$. Nilai dari $2a+b=\cdots$
A. $11$        B. $10$        C. $9$          D. $7$         E. $5$

Penyelesaian

Dari persamaan $3x^2-(a-1)x-1=0$, diperoleh
$x_1+x_2 = -\dfrac{-(a-1)} {3} = \dfrac{a-1}{3}$
dan
$x_1x_2 = \dfrac{-1}{3}$
Dari persamaan $x^2-(2b+1)x+b=0$, diperoleh hasil kali akarnya
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} & = \dfrac{b}{1} \\ \dfrac{1}{x_1x_2} & =b \\ \dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}} & = b \\ b & = -3 \end{aligned}$
dan jumlah akarnya
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} & = -\dfrac{-(2b+1)} {1} \\ \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2} & = 2b+1 \\ \text{Substitusikan}~b & = -3 \\ \dfrac{\dfrac{a-1}{\cancel{3}}} {-\dfrac{1}{\cancel{3}}} & = 2(-3) +1 \\ -(a – 1) & = -5 \\ a-1 & = 5 \\ a & = 6 \end{aligned}$
Dengan demikian, $2a+b = 2(6)+(-3) = 9$
Jadi, nilai dari $2a+b$ adalah $\boxed{9}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Persamaan kuadrat $x^2+x+p=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1 > x_2$ dan $2x_1+x_2 = 1$, maka nilai $p$ adalah $\cdots$
A. $-8$        B. $-6$        C. $2$         D. $4$          E. $8$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $x^2+x+p=0$, diketahui
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -\dfrac{1}{1}=-1 \\ x_1x_2 & = \dfrac{p} {1}=p \\ 2x_1+x_2&=1 \end{aligned}$
Akan dicari nilai dari $x_1$ dan $x_2$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} 2x_1+x_2& = 1 \\ x_1 + (x_1+x_2) & = 1 \\ x_1 + (-1) & = 1 \\ x_1 & = 2 \end{aligned}$
Ini berarti,
$\begin{aligned} x_1+x_2&=-1 \\ \text{Substitusikan}~x_1 & =2 \\ 2+x_2 & = -1 \\ x_2 & = -3 \end{aligned}$
Selanjutnya, diperoleh $x_1x_2=p \Rightarrow p = 2(-3) = -6$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{-6}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Diketahui persamaan kuadrat $(p-2)x^2-2px+2p-7=0$ mempunyai dua akar yang saling berkebalikan. Nilai $p$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\cdots$
A. $5$       B. $4$         C. $3$         D. $-3$          E. $-5$

Penyelesaian

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $(p-2)x^2 -2px + 2p -7 = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$, diperoleh
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -\dfrac{-2p} {p-2} = \dfrac{2p} {p-2} \\ x_1x_2 & = \dfrac{2p-7}{p-2} \end{aligned}$
Diketahui bahwa akarnya saling berkebalikan, sehingga ditulis
$\begin{aligned} x_1 & = \dfrac{1}{x_2} \\ x_1x_2 & = 1 \\ \dfrac{2p-7}{p-2} & = 1 \\ 2p-7 & = p – 2 \\ 2p-p & = -2+7\\ p & = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{5}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Jika akar-akar persamaan kuadrat $3x^2+6x + k+2=0$ adalah $A$ dan $B$, serta diketahui $A^3+B^3 = 12$, maka nilai $k = \cdots$
A. $-16$       B. $-12$      C. $-8$        D. $8$        E. $12$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $3x^2+6k+k+2=0$, diperoleh
$\begin{aligned} A+B & = -\dfrac{6}{3} = -2 \\ AB & = \dfrac{k+2}{3} \end{aligned}$
Diketahui: $A^3+B^3=12$. Akan dicari nilai $k$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} A^3+B^3 & = 12 \\ (A+B)^3 -3A^2B -3AB^2 & = 12 \\ (A+B)^3 -3AB(A+B) & = 12 \\ \text{Substitusikan}~A+B = -2 & ~\text{dan}~AB = \dfrac{k+2}{3} \\ (-2)^3-\cancel{3} \cdot \dfrac{k+2}{\cancel{3}} (-2) & = 12 \\ -8-(k+2)(-2) & = 12 \\ 2(k+2) & = 20 \\ k+2&= 10 \\ k & = 8 \end{aligned}$$
Jadi, nilai $k$ adalah $\boxed{8}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Persamaan kuadrat dari $x^2-4x-6=0$ mempunyai akar-akar $m$ dan $n$ dengan ketentuan $m<n$. Nilai dari $n-m$ adalah $\cdots$
A. $\sqrt{10}$                  D. $4\sqrt{10}$
B. $2\sqrt{10}$                E. $5\sqrt{10}$
C. $3\sqrt{10}$

Penyelesaian

Dengan menggunakan rumus selisih akar dalam persamaan kuadrat:
$\boxed{n-m = \dfrac{\sqrt{D}} {a} =\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}} {a}}$
diperoleh
$\begin{aligned} n-m & = \dfrac{\sqrt{(-4)^2-4(1)(-6)}} {1} \\ & = \sqrt{16 + 24} \\ & = \sqrt{40} \\ & = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $n-m$ adalah $\boxed{2\sqrt{10}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Persamaan kuadrat $x^2-2x-5=0$ memiliki akar-akar $p$ dan $q$. Nilai dari $(p^2-q^2)^2$ adalah $\cdots$
A. $24$                 C. $72$                E. $120$
B. $48$                 D. $96$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui
$\begin{aligned} p + q & = 2 \\ pq = -5 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} (p^2-q^2)^2 & = ((p+q) (p-q))^2 \\ & = (p+q)^2(p^2-2pq+q^2) \\ & = (p+q)^2((p+q)^2-2pq-2pq) \\ & = (p+q)^2((p+q) ^2-4pq) \\ & = 2^2(2^2-4(-5)) \\ & = 4(24) = 96 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari $(p^2-q^2)^2$ adalah $\boxed{96}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 20
Akar-akar dari $2x^2-6x-p=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1-x_2 = 5$, nilai $p$ adalah $\cdots$
A. $-8$       B. $-6$      C.$4$        D. $6$        E. $8$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat itu, diketahui $a = 2, b = -6$, dan $c = -p$. Dengan menggunakan rumus selisih akar:
$\boxed{x_1-x_2 = \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}} {a}}$
diperoleh
$\begin{aligned} x_1-x_2 & = \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{a} \\ 5 & = \dfrac{\sqrt{(-6)^2-4(2)(-p)}} {2} \\ 10 & = \sqrt{36 + 8p} \\ \text{Kuadratkan}~& \text{kedua ruas} \\ 100 & = 36 + 8p \\ 64 & = 8p \\ p & = 8 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{8}$ (Jawaban E).

[collapse]

Soal Nomor 21
Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+mx+16=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha = 2\beta$ dan $\alpha, \beta$ positif, maka nilai $m$ adalah $\cdots$
A. $-12$      B. $-6$     C. $-4$       D. $6$      E. $12$

Penyelesaian

Diketahui:
$\boxed{\begin{aligned} \alpha + \beta & = -\dfrac{m} {2} \\ \alpha \beta & = \dfrac{16}{2} = 8 \\ \alpha & = 2 \beta \end{aligned}} $
Substitusikan $\alpha = 2\beta$ ke $\alpha \beta = 8$.
$\begin{aligned} \alpha \beta & = 8 \\ 2\beta \cdot \beta & = 8 \\ \beta^2 & = 4 \\ \beta & = \pm 2 \end{aligned}$
Karena diketahui $\beta$ positif, maka diambil $\beta = 2$.
Untuk $\beta = 2$, diperoleh $\alpha = 2(2) = 4$.
Selanjutnya, akan dicari nilai $m$.
$\begin{aligned} \alpha + \beta & = -\dfrac{m} {2} \\ 4+2 & = -\dfrac{m} {2} \\ 6 & = -\dfrac{m} {2} \\ m & = -12 \end{aligned}$
Jadi, nilai $m$ adalah $\boxed{-12}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22
Persamaan kuadrat $(k+2)x^2-(2k-1)x+k-1$ mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah $\cdots$
A. $\dfrac{9}{8}$      B. $\dfrac{8}{9}$      C. $\dfrac{5}{2}$      D. $\dfrac{2}{5}$       E. $\dfrac{1}{5}$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui
$\boxed{\begin{aligned} a & = k +2 \\ b & = -(2k-1) = -2k+1 \\ c & = k-1 \end{aligned}}$
Syarat akar real dan sama (kembar) dalam persamaan kuadrat adalah diskriminannya bernilai 0.
$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (-2k+1)^2 – 4(k+2)(k-1) & = 0 \\ 4k^2-4k+1-4(k^2+k-2)& = 0 \\ 4k^2-4k+1-4k^2-4k+8 & = 0 \\ -8k + 9 & = 0 \\ k & = \dfrac{9}{8} \end{aligned}$
Jumlah akar persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned} -\dfrac{b} {a} & = \dfrac{2k-1}{k+2} \\ & = \dfrac{2 \cdot \frac{9}{8} – 1}{\frac{9}{8} + 2} \\ & = \dfrac{\frac{9}{4} – \frac{4}{4}} {\frac{9}{8} + \frac{16}{8}} \\ & = \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{25} = \dfrac{2}{5} \end{aligned}$
Jadi, jumlah akar persamaan kuadrat itu adalah $\boxed{\dfrac{2}{5}}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 23
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2-2x+3=0$ adalah $m$ dan $n$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\dfrac{1}{m^2+2}$ dan $\dfrac{1}{n^2+2}$ adalah $\cdots$
A. $9x^2-2x+1=0$
B. $9x^2+2x+1=0$
C. $9x^2-2x-1=0$
D. $9x^2+x-2=0$
E. $9x^2-x-2=0$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $x^2-2x+3=0$, diketahui
$\begin{aligned} m+n & = 2 \\ mn & = 3 \end{aligned}$
Jumlah akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{m^2+2}+\dfrac{1}{n^2+2} & = \dfrac{n^2+2+m^2+2}{(m^2+2)(n^2+2)} \\ & = \dfrac{m^2+n^2+4}{m^2n^2+2m^2+2n^2+4} \\ & = \dfrac{(m+n)^2-2mn+4}{(mn)^2+2(m+n)^2-4mn+4} \\ & = \dfrac{2^2-2(3)+4}{3^2+2(2)^2 – 4(3)+4} \\ & = \dfrac{4-6+4}{9+8-12+4} \\ & = \dfrac{2}{9} \end{aligned}$$
Hasil kali akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{m^2+2} \cdot \dfrac{1}{n^2+2} & = \dfrac{1}{(m^2+2)(n^2+2)} \\ & = \dfrac{1}{(mn)^2+2(m+n)^2-4mn+4}\\ & = \dfrac{1}{3^2+2(2)^2-4(3)+4} \\ & = \dfrac{1}{9+8-12+4} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}$$
Persamaan kuadrat yang baru itu adalah
$\begin{aligned} x^2-\dfrac{2}{9}x+\dfrac{1}{9}& = 0 \\ \text{Kalikan}~9~\text{di kedua ruas} \\ 9x^2-2x+1&=0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\dfrac{1}{m^2+2}$ dan $\dfrac{1}{n^2+2}$ adalah $\boxed{9x^2-2x+1=0}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 24
Persamaan kuadrat $x^2+(2a-1)x+a^2-3a-4=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1>0$ dan $x_2>0$, maka nilai $a$ adalah $\cdots$
A. $-\dfrac{17}{8} \leq a < \dfrac{1}{2}$     
B. $-\dfrac{17}{8} \leq a < 4$
C. $-\dfrac{17}{8} \leq a < -1$
D. $-1 \leq a < \dfrac{1}{2}$
E. $-1 \leq a < 4$

Penyelesaian

Karena akar-akar persamaan kuadrat itu positif, maka hasil akarnya haruslah mengakibatkan pembilangnya positif, yakni
$\begin{aligned} x_1x_2 = \dfrac{a^2-3a-4}{1} & > 0 \\ a^2-3a-4 & > 0 \\ (a-4)(a+1) & > 0 \end{aligned}$
Pembuat nol $a = 4$ atau $a = -1$.
Agar persamaan kuadrat itu memiliki akar yang real (nyata), maka diskriminannya harus sama dengan atau lebih dari 0.
$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ (2a-1)^2-4(1)(a^2-3a-4)& \geq 0 \\ 4a^2-4a+1-4a^2+12a+16 & \geq 0 \\ 8a + 17 & \geq 0 \\ a  & \geq -\dfrac{17}{8} \end{aligned}$
Buatlah garis bilangan berikut dan tentukan tandanya dengan uji titik.

himpunan penyelesaiannya adalah $\boxed{-\dfrac{17}{8} \leq a < 1}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25
Jika $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan $x^2-6x+2=0$, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(3p-1)$ dan $(3q-1)$ adalah $\cdots$
A. $x^2+10x+1=0$
B. $x^2-10x+7=0$
C. $x^2-16x+7=0$
D. $x^2-16x+1=0$
E. $x^2-x-7=0$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $x^2-6x+2=0$, diketahui
$\begin{aligned} p + q & = -\dfrac{b}{a} = – \dfrac{-6}{2}=3 \\ pq & = \dfrac{c} {a} = \dfrac{3}{1}= 3 \end{aligned}$
Jumlah akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$\begin{aligned} (3p-1)+(3q-1) & = 3(p+q) -2 \\ & = 3(6)-2 = 18 \end{aligned}$
Hasil kali akar persamaan kuadrat yang baru adalah

$\begin{aligned} (3p-1)(3q-1)&= 9pq-3p-3q + 1 \\ & = 9pq-3(p+q) +1 \\ & = 9(2)-3(6) + 1 \\ & = 18-18 + 1 = 1 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat yang baru itu adalah $\boxed{x^2-16x + 1 = 0}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 26
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2-(p^2+q^2)x + pq = 0$ dan $3(x_1+x_2)=10x_1x_2$, maka $\cdots$
A. $p=\frac{3}{2}q$            D. $p=\frac{3}{4}q$ 
B. $p=\frac{1}{3}q$            E. $p=\frac{1}{4}q$
C. $p=\frac{2}{3}q$       

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat $x^2-(p^2+q^2)x + pq = 0$, diperoleh
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -\dfrac{-(p^2+q^2)} {1} = p^2+q^2 \\ x_1x_2 & = \dfrac{pq} {1} = pq \end{aligned}$
Dari persamaan $3(x_1+x_2) = 10x_1x_2$, kita peroleh
$\begin{aligned} 3(p^2+q^2) & = 10pq \\ 3p^2-10pq + 3q^2 & = 0 \\ (3p-q) (p-3q) & = 0 \end{aligned}$
Dari sini, didapat $p = \dfrac{1}{3}q$ atau $p = 3q$
Berdasarkan pilihan jawaban yang diberikan, maka pilihan jawaban yang tepat adalah B.

[collapse]

Soal Nomor 27
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya satu lebih dari kebalikan akar-akar persamaan $2x^2-3x-4=0$ adalah $\cdots$
A. $2x^2-x-5=0$
B. $2x^2+x-4=0$
C. $4x^2-5x-1=0$
D. $4x^2+5x-1=0$
E. $5x^2-4x-1=0$

Penyelesaian

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $2x^2-3x-4=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x_1 + x_2 & = -\dfrac{-3}{2} = \dfrac{3}{2} \\ x_1x_2 & = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-4}{2} = -2 \end{aligned}$
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dengan $p = \dfrac{1}{x_1} +1$ dan $q = \dfrac{1}{x_2} + 1$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} p+q & = \dfrac{1}{x_1} + 1 + \dfrac{1}{x_2} + 1 \\ & = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} + 2 \\ & = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{-2} + 2 = -\dfrac{3}{4} + 2 = \dfrac{5}{4} \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} pq & = \left(\dfrac{1}{x_1} + 1\right) \cdot \left(\dfrac{1}{x_2}+1\right) \\ & = \dfrac{1}{x_1x_2} + \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + 1 \\ & = \dfrac{1}{x_1x_2} + \dfrac{x_1+x_2}{x_1x+2} + 1 \\ & = \dfrac{1}{-2} – \dfrac{3}{4} + 1 = -\dfrac{1}{4} \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat yang baru itu adalah
$\begin{aligned} x^2 – (p+q)x + pq & = 0 \\ x^2 – \dfrac{5}{4}x – \dfrac{1}{4} & = 0 \\ 4x^2 – 5x – 1 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah $\boxed{4x^2-5x-1=0}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 28
Jika akar persamaan kuadrat $x^2 + (2m-5)x + (m^2-2m-15) = 0$ real
dan negatif, maka nilai $m$ yang memenuhi adalah $\cdots$
A. $-3<m<5$
B. $m<-3$
C. $m<-3$ atau $m>5$
D. $5<m \leq 7\frac{1}{12}$
E. $m<5$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui $a = 1, b = 2m – 5, c = m^2-2m-15$.
Misalkan persamaan kuadrat itu memiliki akar $p$ dan $q$, maka
$\begin{aligned} p + q & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2m-5}{1} = -2m+5 \\ pq & = \dfrac{c}{a} = m^2-2m-15 \end{aligned}$
Agar akar persamaan kuadrat itu real (nyata), maka diskriminannya harus sama dengan atau lebih dari 0.
$$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ b^2-4ac & \geq 0 \\ (-2m+5)^2 – 4(1)(m^2-2m-15) & \geq 0 \\ 4m^2-20m+25-4m^2+8m+60 & \geq 0 \\ -12m & \geq -85 \\ m & \leq \dfrac{85}{12} = 7\dfrac{1}{12} \end {aligned}$$
Kita sebut $m \leq 7\dfrac{1}{2}$ sebagai pertidaksamaan pertama.
Agar akar persamaan kuadrat itu bernilai negatif, maka jumlah akarnya harus negatif dan hasil kali akarnya positif.
$\begin{aligned} p + q & < 0 \\ -2m + 5 & < 0 \\ -2m & < -5 \\ m & >\dfrac{5}{2} = 2\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Kita sebut $m > 2\dfrac{1}{2}$ sebagai pertidaksamaan kedua.
$\begin{aligned} pq & > 0 \\ m^2-2m-15 & > 0 \\ (m-5)(m+3) & > 0\end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $m = 5$ atau $m = -3$.
Penyelesaian dari pertidaksamaan ini adalah $m < -3$ atau $m > 5$.

Iriskan dengan pertidaksamaan pertama dan kedua dengan menggunakan bantuan garis bilangan berikut.

Jadi, nilai $m$ yang memenuhi adalah $5 < m \leq 7\dfrac{1}{2}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 29
Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat $(p-2)x^2+2px +p-1=0$ negatif dan berlainan adalah $\cdots$
A. $p>2$
B. $p<0$ atau $p>\frac{2}{3}$
C. $0<p<\frac{2}{3}$
D. $\frac{2}{3}<p<1$
E. $\frac{2}{3}<p<2$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui $a = p-2, b = 2p, c = p-1$.
Misalkan persamaan kuadrat itu memiliki akar $m$ dan $n$, maka
$\begin{aligned} m + n & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2p}{p-2} \\ mn  & = \dfrac{c}{a} = \dfrac{p-1}{p-2} \end{aligned}$
Agar akar persamaan kuadrat itu real (nyata) dan berlainan, maka diskriminannya harus lebih dari 0.
$\begin{aligned} D & > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ (2p)^2 – 4(p-2)(p-1) & > 0 \\ 4p^2 – 4p^2 + 12p – 8 & > 0 \\ 12p & > 8 \\ p & > \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} \end {aligned}$
Kita sebut $p > \dfrac{2}{3}$ sebagai himpunan penyelesaian pertama.
Agar akar persamaan kuadrat itu bernilai negatif, maka jumlah akarnya harus negatif dan hasil kali akarnya positif.
$\begin{aligned} m + n & < 0 \\ -\dfrac{2p}{p-2}  & < 0 \\ \dfrac{2p}{p-2} & > 0  \end{aligned}$
Pembuat nol bentuk pertidaksamaan rasional di atas adalah $p = 0$ atau $p = 2$. Uji tanda positif-negatif pada garis bilangan seperti berikut untuk menentukan himpunan penyelesaiannya.

Kita sebut sebagai himpunan penyelesaian kedua: $p < 0$ atau $p > 2$

$\begin{aligned} mn & > 0 \\ \dfrac{p-1}{p-2} & > 0 \end{aligned}$
Pembuat nol bentuk pertidaksamaan rasional di atas adalah $p = 1$ atau $p = 2$. Uji tanda positif-negatif pada garis bilangan seperti berikut untuk menentukan himpunan penyelesaiannya.

Kita sebut himpunan penyelesaian ketiga: $p < 1$ atau $p > 2$

Iriskan ketiga himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut dengan menggunakan bantuan garis bilangan berikut.

Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{p > 2}$ (Jawaban A

[collapse]

Soal Nomor 30
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2-ax+2a-7=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika $2x_1-x_2=7$, maka nilai $a$ adalah $\cdots$
A. $-3,5~\text{atau}~-2$
B. $7~\text{atau}~-2$
C. $7~\text{atau}~2$
D. $3,5~\text{atau}~2$
E. $-3,5~\text{atau}~2$            

Penyelesaian

Diketahui
$\begin{aligned} x_1+x_2 &= -\dfrac{-a} {1}=a \\ x_1x_2 & = \dfrac{2a-7}{1} = 2a-7 \\ 2x_1-x_2 & =7 \end{aligned}$
Dengan menambahkan persamaan pertama dengan persamaan ketiga, diperoleh
$3x_1 = a + 7 \iff x_1 = \dfrac{a+7}{3}$
Substitusikan $x_1 =\dfrac{a+7}{3}$ ke persamaan pertama untuk mendapatkan
$\dfrac{a+7}{3}+x_2  = a \iff x_2  = \dfrac{2a-7}{3}$
Substitutikan nilai $x_1$ dan $x_2$ tersebut ke persamaan kedua.
$\begin{aligned} x_1x_2 & = 2a-7 \\ \dfrac{a+7}{3} \cdot \dfrac{2a-7}{3} & = 2a-7 \\ (a+7)(2a-7) & = 18a-63 \\ 2a^2-11a +14 & = 0 \\ (2a-7)(a-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = \dfrac{7}{2}=3,5$ atau $a=2$ (Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 31
Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar persamaan $x^2+bx-2=0$ dan $\dfrac{x_1}{2x_2} = x_1-\dfrac{1}{2}$, maka nilai $b$ adalah $\cdots$
A. $4$        B. $2$         C. $1$         D. $-2$         E. $-4$

Penyelesaian

Diketahui
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -b \\ x_1x_2 &= -2 \end{aligned}$
Akan dicari nilai $b$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{x_1}{2x_2} & = x_1-\dfrac{1}{2} \\ x_1 & = 2x_1x_2 – x_2 \\ x_1+x_2 &= 2x_1x_2 \\ -b & = 2(-2) \\ b & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $b$ adalah $\boxed{4}$ (Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 32
Jika persamaan kuadrat $x^2-(a+2)x – a = 0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ dengan $\dfrac{\alpha} {\beta} + \dfrac{\beta} {\alpha} = -1$, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah $\cdots$
A. $-4$ atau $-1$             D. $-1$ atau $4$
B. $-4$ atau $1$               E. $1$ atau $4$
C. $-1$ atau $1$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} \alpha + \beta & = -\dfrac{-(a+2)} {1} = a + 2 \\ \alpha \beta & = \dfrac{-a} {1} = -a \end{aligned}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{\alpha} {\beta} + \dfrac{\beta} {\alpha} & = -1 \\ \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} & = -1 \\ \dfrac{(\alpha + \beta)^2 – 2\alpha \beta} {\alpha \beta} & = -1 \\ \dfrac{(a+2)^2 – 2(-a)} {-a} & = -1 \\ (a+2)^2 + 2a & = (-1)(-a) \\ a^2+4a+4+2a & = a \\ a^2+5a+4 & = 0 \\ (a+4)(a+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a=-4$ atau $a=-1$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $-4$ atau $-1$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 33
Misalkan salah satu akar dari persamaan kuadrat $x^2-10x+a=0$ mempunyai tanda yang berlawanan dengan salah satu akar dari persamaan kuadrat $x^2+10x-a=0$ di mana $a$ adalah sebuah bilangan real, maka jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan $x^2+2ax-5=0$ adalah $\cdots$
A. $36$                  D. $15$
B. $20$                  E. $10$
C. $18$

Penyelesaian

Misalkan $m$ adalah salah satu akar persamaan kuadrat $x^2-10x+a=0$, sehingga salah satu dari akar persamaan kuadrat $x^2+10x-a=0$ adalah $-m$ (karena berlawanan tanda), maka substitusi menghasilkan dua persamaan
$\begin{cases} m^2-10m + a = 0 \\ m^2-10m-a = 0 \end{cases}$
Jumlahkan kedua persamaan di atas untuk mendapatkan
$\begin{aligned} 2m^2 – 20m & = 0 \\ m^2 – 10m & = 0 \\ m(m – 10) & = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai $m$ adalah $0$ atau $10$.
Substitusikan nilai $m$ ini ke persamaan kuadrat $m^2 – 10m + a = 0$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} m = 0 & \implies (0)^2 – 10(0)+a=0 \Leftrightarrow a = 0 \\ m = 10 & \implies (10)^2 – 10(10) + a = 0 \Leftrightarrow a = 0 \end{aligned}$$
Jadi, nilai $a = 0$.
Dengan demikian,
$x^2 + 2ax – 5 = 0 \implies x^2 – 5 = 0$
Diketahui bahwa jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat itu adalah
$x1 + x2 = -\dfrac{0}{1} = 0~~~~~x_1x_2 = \dfrac{-5}{1} = -5$
Jumlah kuadrat akar persamaan kuadrat itu dinyatakan oleh
$\begin{aligned} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 \\ & = (0)^2 – 2(-5) = 10 \end{aligned}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 34
Jika salah satu akar persamaan kuadrat $x^2-3x-2p=0$ tiga lebih besar dari salah satu akar persamaan $x^2-3x+p=0$, maka bilangan asli $p = \cdots$
A. $1$         B. $2$         C. $3$          D. $4$            E. $5$

Penyelesaian

Misalkan akar persamaan kuadrat $x^2-3x-2p=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$, berarti
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = 3 \\ x_1x_2 & = -2p \end{aligned}$
Misalkan akar persamaan kuadrat $x^2-3x+p=0$ adalah $a$ dan $b$, berarti
$\begin{aligned} a+b & = 3 \\ ab & = p \end{aligned}$
Diketahui: $x_1 = a + 3$.
Substitusikan $x_1 = a +3$ ke persamaan $x_1+x_2=3$, sehingga ditulis
$(a+3)+x_2 = 3 \iff x_2 = -a$
Substitusikan $x_1 = a + 3$ dan $x_2=-a$ ke persamaan $x_1x_2 = -2p$, sehingga ditulis
$(a+3)(-a) = -2p \iff -a^2-3a = -2p$
Ubah bentuk $a+b = 3$ menjadi $b = 3-a$, lalu substitusikan ke persamaan $ab = p$.
$$ab = p \Rightarrow a(3-a) = p \iff -a^2+3a = p$$
Dengan mengeliminasi $-a^2$ pada persamaan $-a^2-3a = -2p$ dan $-a^2+3a=p$, didapat
$-6a = -3p \iff a = \dfrac{1}{2}p$
Substitusikan $a = \dfrac{1}{2}p$ ke persamaan $ab = p$.
$\begin{aligned} ab & = p \\ \dfrac{1}{2}\cancel{p} b & = \cancel{p} \\ b & = 2 \end{aligned}$
Dengan mensubstitusikan $b=2$ ke persamaan $a+b=3$, diperoleh $a=1$, sehingga $p=ab = (1)(2) = 2$.
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{2}$ (Jawaban B).

[collapse]

Soal Nomor 35
Jika salah satu akar persamaan $x^2-5x+2k=0$ bernilai dua kali dari salah satu akar persamaan $x^2+2x-k=0$, maka nilai $k$ positif yang memenuhi adalah $\cdots$
A. $1$         B. $2$           C. $3$           D. $4$           E. $5$

Penyelesaian

Misalkan salah satu akar persamaan $x^2-5x+2k=0$ adalah $a$, sehingga berlaku $a^2-5a+2k=0~~~(\cdots 1)$.
Misalkan salah satu akar persamaan $x^2+2x-k=0$ adalah $\dfrac12a$, sehingga berlaku 
$\begin{aligned} \left(\dfrac12\right)^2+2\left(\dfrac12a\right)-k & =0 \\ \dfrac14a^2 + a – k & = 0 \\ \dfrac12a^2+2a-2k & = 0~~~(\cdots 2) \end{aligned}$
Eliminasi $2k$ pada persamaan $1$ dan $2$ (dijumlahkan), sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac32a^2 – 3a &= 0 \\ \text{Kalikan kedua}&~\text{ruas dengan}~2 \\ 3a^2-6a & = 0 \\ 3a(a-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 0$ atau $a = 2$.
Substitusi $a=0$ pada persamaan $a^2-5a+2k=0$, sehingga didapat $k=0$.
Substitusi $a=2$ pada persamaan $a^2-5a+2k=0$, sehingga didapat 
$\begin{aligned} 2^2 – 5(2) + 2k & = 0 \\ 4-10+2k & = 0 \\ 2k & = 6 \\ k & = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ positif yang memenuhi adalah $\boxed{k=3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 36
Persamaan $r = \dfrac{x^2+4x+2}{x^2+6x+3}$ mempunyai akar real yang kembar apabila $r = \cdots$
A. $\dfrac{1}{2}$ atau $\dfrac{3}{2}$
B. $-\dfrac{1}{2}$ atau $\dfrac{3}{2}$
C. $\dfrac{1}{2}$ atau $\dfrac{2}{3}$
D. $-\dfrac{1}{2}$ atau $\dfrac{2}{3}$
E. $2$ atau $-\dfrac{2}{3}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat.
$\begin{aligned} & r  = \dfrac{x^2+4x+2}{x^2+6x+3} \\ & r(x^2+6x+3) = x^2+4x+2 \\ & (r-1)x^2 + (6r-4)x + 3r-2 = 0 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat di atas akan memiliki akar real yang kembar apabila diskriminannya bernilai 0.
$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (6r-4)^2-4(r-1)(3r-2) & = 0 \\ 36r^2-48r+16-12r^2+20r-8&=0 \\ 24r^2-28r+8&=0 \\ 6r^2-7r + 2 & = 0 \\ (3r-2)(2r-1)& = 0 \end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $3r-2=0 \iff r = \dfrac{2}{3}$ atau $2r-1=0 \iff r = \dfrac{1}{2}$.
Jadi, persamaan itu akan memiliki akar real yang kembar apabila $r = \dfrac{1}{2}$ atau $r = \dfrac{2}{3}$ (Jawaban C).

[collapse]

Soal Nomor 37
Diketahui persamaan kuadrat $x^2+px+1 = 0$ dan $x^2+qx +r =0$ memiliki akar persekutuan, demikian pula persamaan $x^2+x+p=0$ dan $x^2+rx+q=0$ juga mempunyai akar persekutuan. Nilai $p+q+r =\cdots$
A. $-5$        B. $-3$        C. $-1$        D. $1$        E. $3$

Penyelesaian

Misalkan akar persekutuan dari $x^2+px+1=0$ dan $x^2+qx+r=0$ adalah $a$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} a^2+pa+1 & = 0 && (\cdots 1) \\ a^2+qa + r & = 0 && (\cdots 2) \\ a(p-q) & = r – 1 \\ a & = \dfrac{r-1}{p-q} \\ \dfrac{1}{a} & = \dfrac{p-q} {r-1} \end{aligned}$
Dari persamaan (1), diperoleh
$pa = -1-a^2 \iff p = -\dfrac{1}{a} – a$
Selanjutnya, misalkan akar persekutuan dari $x^2+x+p=0$ dan $x^2+rx+q=0$ adalah $b$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} b^2+b+p & = 0 && ( \cdots 3) \\ b^2+rb + q & = 0 && (\cdots 4) \\ b(1-r) & = q-p \\ b & = \dfrac{q-p}{1-r} \\ b & = \dfrac{p-q} {r-1} = \dfrac{1}{a} \end{aligned}$
Substitusi $p = -\dfrac{1}{a} -a$ dan $b =\dfrac{1}{a}$ ke persamaan (3), sehingga ditulis
$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{a} \right)^2 + \dfrac{1}{a} + \left(-\dfrac{1}{a} – a\right) & = 0 \\ \dfrac{1}{a^2} – a & = 0 \\ a^3 – 1 & = 0 \\ (a-1)(a^2+a+1)&=0 \end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $a = 1$ (perhatikan bahwa $a^2+a+1=0$ tidak memiliki solusi real karena diskriminannya negatif).
Substitusikan $a=1$ ke persamaan $p=-\dfrac{1}{a} -a$, sehingga diperoleh $p=-1-1 =-2$.
Substitusikan $a=1$ ke persamaan (2).
$\begin{aligned} a^2+qa+r &=0 \\ 1^2 + 1q + r & = 0 \\ q+r & = -1 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$p+q+r = p+(q+r) = -2 + (-1) = -3$
Jadi, nilai dari $p+q+r$ adalah $\boxed{-3}$ (Jawaban B).

[collapse]

Soal Nomor 38
Diketahui persamaan $2x^2+3x-n+1=0$ dengan akar-akar $p$ dan $q$. Jika $p^2-q^2 = -\dfrac{27}{4}$, maka nilai $n$ adalah $\cdots$
A. $8$        B. $9$        C. $10$         D. $11$          E. $12$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui
$\begin{aligned} p+q & = -\dfrac{3}{2} \\ pq & = \dfrac{-n+1}{2} \end{aligned}$
Dengan menggunakan persamaan $p^2-q^2=-\dfrac{27}{4}$, akan dicari nilai dari $p-q$.
$\begin{aligned} p^2-q^2 & = – \dfrac{27}{4} \\ (p+q) (p-q) & = -\dfrac{27}{4} \\ \text{Substitusikan}~p+q & = -\dfrac{3}{2} \\ -\dfrac{3}{2}(p-q) & = -\dfrac{27}{4} \\ p-q & = \dfrac{27}{4} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{2} \end{aligned}$
Dari persamaan $p+q = -\dfrac{3}{2}$ dan $p-q =\dfrac{9}{2}$, kita dapat peroleh nilai $p$ dan $q$.
$\begin{aligned} p + q & = -\dfrac{3}{2} \\ p-q & = \dfrac{9}{2} \end{aligned}$
$ \rule{2 cm} {1 pt} +$
$\begin{aligned} 2p & = 3 \\ p & = \dfrac{3}{2} \end{aligned}$

Jika $p=\dfrac{3}{2}$, maka $q = -3$.
Substitusikan nilai $p$ dan $q$ ke persamaan $pq = \dfrac{-n+1}{2}$.
$\begin{aligned} pq & = \dfrac{-n+1}{2} \\ \dfrac{3}{2} \cdot (-3) &= \dfrac{-n+1}{2} \\ -9 & = -n+1 \\ n & = 10 \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{10}$ (Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 39
Jika persamaan kuadrat $x^2+(a-2)x-3a+8=0$ mempunyai akar $x_1$ dan $x_2$, maka nilai minimum dari $x_1^2+x_2^2$ akan tercapai untuk $a = \cdots$
A. $-2$        B. $-1$        C. $0$          D. $1$          E. $2$

Penyelesaian

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -a+2 \\ x_1x_2 & = -3a + 8 \end{aligned}$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} x_1^2+x_2^2 & = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \\ & = (-a+2)^2-2(-3a+8) \\ & = a^2-4a+4+6a-16 \\ & = a^2+2a-12 \end{aligned}$
Bentuk di atas dapat dianggap sebagai fungsi kuadrat. Akan dicari nilai minimumnya sebagai berikut.
Absis titik puncak ditentukan oleh
$x_p = -\dfrac{2}{2 \cdot 1} = -1$
Ini akan menjadi nilai $a$.
Dengan kata lain, $x_1^2+x_2^2$ mencapai nilai minimum saat $a = -1$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 40
Jika $a^2$ dan $b$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2-(b^2-1)x+b=0$. Himpunan nilai-nilai $a+b$ adalah $\cdots$
A. $\{-3,0,1,2\}$            D. $\{0,1,2\}$
B. $\{-2,0,1,3\}$            E. $\{-2,-1,0,3\}$
C. $\{-1,0,2,3\}$

Penyelesaian

Diketahui jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned} a^2+b & = b^2-1 \\ a^2b & = b \end{aligned}$
Dari persamaan $a^2b=b$, diperoleh
$\begin{aligned} a^2 \cancel{b} & = \cancel{b} \\ a^2 & = 1 \\ a & = \pm 1 \end{aligned}$
Substitusi nilai $a = \pm 1$ pada persamaan $a^2+b=b^2-1$.
$\begin{aligned} (\pm 1)^2 + b & = b^2-1 \\ 1 + b & = b^2-1 \\ b^2-b-2 & = 0 \\ (b-2)(b+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $b = 2$ atau $b=-1$.
Nilai-nilai $a+b$ dinyatakan dalam tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline  a & b & a + b \\ \hline 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \\ \hline \end{array}$
Jadi, himpunan nilai-nilai dari $a+b$ adalah $\boxed{\{-2,0,1,3\}}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 41
Jika kedua akar persamaan $x^2-px+p=0$ bernilai positif, maka jumlah kuadrat akar-akar itu adalah $\cdots$
A. minimum $-1$               D. maksimum $0$
B. maksimum $-1$            E. minimum $1$
C. minimum $0$

Penyelesaian

Misalkan $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat, sehingga
$\begin{aligned} x_1+ x_2 = p \\ x_1x_2 = p \end{aligned}$
Jumlah kuadrat akar-akar persamaan itu dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned}x_1^2+x_2^2 & = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \\ & = p^2-2p \end{aligned}$
Bentuk di atas dapat dianggap sebagai fungsi kuadrat dengan $a = 1, b = -2$, dan $c = 0$.
Karena koefisien $p^2$, yaitu $a = 1$ bernilai positif, maka grafiknya memiliki titik dan nilai minimum. Nilai minimumnya adalah
$\begin{aligned} y_p & = \dfrac{b^2-4ac} {-4a} \\ & = \dfrac{(-2)^2-4(1)(0)} {-4(1)} \\ & = \dfrac{4}{-4} = -1 \end{aligned}$
Jadi, jumlah kuadrat akar-akar persamaan itu adalah minimum $-1$ (Jawaban A).

[collapse]

Soal Nomor 42
Jika semua akar $x^2-99x+p=0$ merupakan bilangan prima, maka nilai $p$ adalah $\cdots$
A. $100$            D. $288$
B. $194$            E. $380$
C. $198$

Penyelesaian

Misalkan $a$ dan $b$ adalah akar dari persamaan kuadrat itu, dengan $a, b$ bilangan prima.
Jumlah akar dari persamaan kuadrat itu adalah
$a+b = 99$
Semua bilangan prima terkecuali $2$ adalah bilangan ganjil dan perhatikan bahwa bila dua bilangan ganjil dijumlahkan hasilnya adalah bilangan genap. Karena $99$ adalah bilangan ganjil, maka salah satu akarnya haruslah $2$. Ini berarti, $a = 2$ dan $b = 97$.
Hasil kali kedua akarnya adalah
$p = ab = 2 \times 97 = 194$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{194}$ (Jawaban B).

[collapse]

Soal Nomor 43
Dennis dan Willy menyelesaikan sebuah persamaan kuadrat. Dalam menyelesaikannya, Dennis membuat kesalahan dalam menulis konstanta dan ia memperoleh akar-akarnya $6$ dan $2$, sedangkan Willy membuat kesalahan dalam menulis koefisien $x$ dan memperoleh akar-akarnya $-7$ dan $-1$. Persamaan kuadrat yang diselesaikan sebenarnya berbentuk $\cdots$
A. $x^2-8x+7=0$
B. $x^2-8x-7=0$
C. $x^2+8x-7=0$
D. $x^2-7x+8=0$
E. $x^2+7x-8=0$

Penyelesaian

(Kasus Dennis) Misalkan persamaan kuadrat yang ditulis Dennis adalah $x^2+bx+q = 0$ dengan akar-akarnya $x_1=6; x_2 = 2$. Diketahui
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = 6+2 = 8 \\ x_1x_2 & = 6(2) = 12 \end{aligned}$
Persamaan kuadratnya berbentuk $x^2-8x+\underbrace{12}_{\text{Salah}} = 0$.
Dennis melakukan kesalahan pada konstanta. Ini berarti, nilai $b = -8$.
(Kasus Willy) Misalkan persamaan kuadrat yang ditulis Willy adalah $x^2+px+c = 0$ dengan akar-akarnya $x_1=-7$ dan $x_2=-1$. Diketahui

$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -7+(-1)= – 8 \\ x_1x_2 & = -7(-1) = 7 \end{aligned}$
Persamaan kuadratnya berbentuk $x^2+\underbrace{8}_{\text{Salah}}x+7 = 0$.
Willy melakukan kesalahan pada koefisien $x$. Ini berarti, nilai $c= 7$.
Jadi, persamaan kuadrat yang sebenarnya berbentuk $\boxed{x^2-8x+7=0}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 44
Tentukan semua nilai $a$ yang mengakibatkan persamaan $(a+1)x^2-3ax+4a = 0$ mempunyai dua akar berbeda dan keduanya lebih besar dari $1$.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 45
Jika kedua akar persamaan $\dfrac{x^2-bx} {ax-c} =\dfrac{m-1}{m+1}$ saling berlawanan tanda, tetapi mempunyai nilai mutlak yang sama, maka nilai $m = \cdots$
A. $\dfrac{a+b} {a-b}$               D. $\dfrac{1}{c}$
B. $c$                    E. $1$
C. $\dfrac{a-b} {a+b}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat seperti berikut.
$$\begin{aligned} & \dfrac{x^2-bx} {ax-c} =\dfrac{m-1}{m+1} \\ & (x^2-bx) (m+1) = (ax-c) (m-1) \\ & mx^2+x^2-bmx-bx  = amx-ax-cm+1 \\ & (m+1)x^2-(bm+b+am-a)x + cm -1  = 0 \end{aligned}$$
Misalkan akar persamaan kuadrat itu adalah $x_1$ dan $x_2$. Diketahui: $x_1 = -x_2$. Dengan kata lain, $x_1+x_2 = 0$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = 0 \\ \dfrac{bm+b+am-a} {m+1} & = 0 \\ bm+am & = a-b \\ (a+b)m & = a-b \\ m & = \dfrac{a-b} {a+b} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{m = \dfrac{a-b} {a+b}}$ (Jawaban C).

[collapse]

Soal Nomor 46
Himpunan nilai $a$ yang membuat akar-akar persamaan kuadrat $x^2-2x+a-8=0$ rasional dengan $a$ bilangan cacah adalah $\cdots$
A. $\{1,5\}$             D. $\{2,8,9\}$
B. $\{2,8\}$             E. $\{0,5,8,9\}$
C. $\{2,4\}$

Penyelesaian

Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki akar yang rasional, diskriminannya haruslah berupa bilangan kuadrat dan juga positif. Ini dilihat dari rumus ABC:
$\boxed{x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}}$
di mana $D$ (diskriminan) yang menentukan rasional atau tidaknya akar-akar persamaan kuadrat. 
$\begin{aligned} D & = (-2)^2-4(1)(a-8) \\ & = 4 -4a + 32 \\ & = 36 -4a \end{aligned}$
Gunakan tabel berikut untuk mengorelasikan nilai $a$ dan $D$. 
$\begin{array} {|c|c|} \hline a & D = 36-4a \\ \hline 0 & 36 \\ 1 & 32 \\ 2 & 28 \\ 3 & 24 \\ 4 & 20 \\ 5 & 16 \\ 6 & 12 \\ 7 & 8 \\ 8 & 4 \\ 9 & 0 \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, tampak bahwa nilai $a$ yang membuat $D$ bilangan kuadrat adalah $0, 5, 8$, dan $9$. Jadi, himpunan nilai $a$ yang dimaksud adalah $\{0,5,8,9\}$. (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 47
Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $a$ dan $b$ sehingga $\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} = \dfrac{7}{10}$ adalah $\cdots$
A. $x^2-10x+7=0$
B. $x^2+7x+10=0$
C. $x^2+7x-10=0$
D. $x^2-7x+10=0$
E. $x^2-7x-10=0$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} & = \dfrac{7}{10} \\ \dfrac{a+b} {ab} & = \dfrac{7}{10} \end{aligned}$
Dari persamaan di atas, diperoleh kesimpulan bahwa jumlah akarnya adalah $a+b = 7k$ dan hasil kali kedua akarnya adalah $ab = 10k$ untuk $k \in \mathbb{R}$.
Persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
$$x^2-(a+b)x+ab = 0 \Rightarrow x^2-7kx + 10k = 0$$
Misalkan diambil $k = 1$, berarti diperoleh $\boxed{x^2-7x+10=0}$ yang merupakan salah satu persamaan kuadrat yang memenuhi syarat tersebut (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 48
Jika semua akar-akar persamaan $x^2-6x + q = 0$ merupakan bilangan bulat positif, maka jumlah semua nilai $q$ yang mungkin adalah $\cdots$
A. $5$      B. $8$       C. $9$       D. $17$        E. $22$

Penyelesaian

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $x^2-6x+q$ adalah $m$ dan $n$, dengan $m, n \in \mathbb{Z}^+$, sehingga
$\begin{aligned} m + n & = 6 \\ mn & = q \end{aligned}$
Pasangan $(m, n)$ yang memenuhi $m + n = 6$ adalah $(1, 5), (2, 4)$, dan $(3, 3)$, tanpa perlu memperhatikan urutannya (karena akan disubstitusikan dalam persamaan $mn = q$ dan perlu diperhatikan bahwa perkalian bersifat komutatif)
Nilai $q$ yang mungkin didaftar pada tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline m & n & mn = q \\ \hline 1 & 5 & 5 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 3 & 9 \\ \hline \end{array}$
Jumlah nilai $q$ adalah $\boxed{5 + 8 + 9 = 22}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 49
Diketahui persamaan $x^2 + ax + (a-1) = 0$ memiliki akar-akar $x_1 < 1$ dan $x_2 > 1$. Nilai $a$ yang memenuhi kondisi itu adalah $\cdots$
A. $a \neq 2$            D. $a < 0$
B. $a > 2$             E. $a < 2$
C. $a > 0$             

Penyelesaian

Dari syarat $x_1 < 1$ dan $x_2 > 1$, dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat $f(x) = x^2 + ax + (a-1)$ yang terbuka ke atas ini akan berada di bawah sumbu $Y$ (nilai fungsinya negatif) saat $x = 1$. Untuk itu,
$1^2 + a(1) + (a-1) < 0 \Leftrightarrow a < 0$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a < 0}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 50
Jika $2$ adalah satu-satunya akar persamaan kuadrat $\dfrac{1}{4}x^2 + bx + a = 0$, maka nilai $a+b$ adalah $\cdots$
A. $32$      B. $2$      C. $0$        D. $-2$        E. $-32$

Penyelesaian

Kalikan kedua ruas persamaan itu dengan $4$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} 4(\dfrac{1}{4}x^2 + bx + a) & = 4(0) \\ x^2 + 4bx + 4a & = 0 \end{aligned}$
Karena $2$ merupakan satu-satunya persamaan kuadrat itu, maka dapat ditulis $(x-2)^2 = 0$, atau $x^2-4x + 4 = 0$.
Dengan membandingkannya pada persamaan $x^2 + 4bx + 4a = 0$, diperoleh $4b = -4 \Rightarrow b = -1$ dan $4a = 4 \Rightarrow a = 1$.
Jadi, nilai $\boxed{a + b = 1 + (-1) = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 51
Nilai $x+p$ yang memenuhi persamaan $x^2-px+20=0$ dan $x^2-20x+p=0$ adalah $\cdots$
A. $-19$                      C. $-21$                  E. $-23$
B. $-20$                      D. $-22$

Penyelesaian

Pada persamaan $x^2-px+20=0$, konstanta $20$ diperoleh dengan mengalikan dua bilangan. Dengan try & error (coba-coba), kita misalkan bilangan itu adalah $-1$ dan $-20$, sehingga bentuk pemfaktorannya adalah 
$(x+1)(x+20) = 0$
dan akibatnya $x1+x2 = -1 + (-20) = -21 = p$
Substitusi $p = -21$ ke persamaan $x^2-20x+p=0$, sehingga diperoleh
$x^2-20x-21 = (x-21)(x+1) = 0$
Pilih $x = -1$ sebagai nilai $x$ yang memenuhi kedua persamaan kuadrat tersebut. Jadi, nilai $\boxed{x+p = -1+(-21) = -22}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 52
Diberikan persamaan kuadrat $x^2-3x+5=0$. Jika $p$ adalah akar dari persamaan kuadrat itu, maka nilai dari $p^2-3p-5 = \cdots$
A. $-10$                       C. $3$                       E. $10$
B. $0$                            D. $5$

Penyelesaian

Karena $p$ adalah akar persamaan kuadrat $x^2-3x+5=0$, maka substitusi $x=p$ menghasilkan $p^2-3p+5=0$.
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} p^2-3p-5 & = (p^2-3p+5)-10 \\ & = 0-10 = -10 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{p^2-3p-5 = -10}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 53
Jumlah lawan dari kebalikan akar-akar persamaan $x^2+ax+(a-1)=0$ adalah $\dfrac45$. Nilai $a$ yang memenuhi adalah ….
A. $-5$          B. $-4$           C. $3$            D. $4$            E. $5$

Penyelesaian

Diketahui $x^2+ax+(a-1)=0$. Misalkan akar-akarnya adalah $m$ dan $n$, sehingga
$\begin{aligned} m+n & =-a \\ mn & = a-1 \end{aligned}$
Jumlah lawan dari kebalikan akar-akarnya selanjutnya dinyatakan sebagai berikut.
$-\dfrac{1}{m} -\dfrac{1}{n} = \dfrac45$
Ubah bentuk yang ada seperti berikut.
$\begin{aligned} -\dfrac{m+n}{mn} & = \dfrac45 \\ -\dfrac{-a}{a-1} & = \dfrac45 \\ 5a & = 4a-4 \\ a & =-4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-4}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Tambahan

Soal Nomor 54
Diketahui $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2+x-3 = 0$. Tentukan nilai-nilai berikut! 
a. $\alpha^2 + \beta^2$
b. $\alpha^2 \beta^2$
c. $\alpha^2 -\beta^2$
d. $\dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha}$

Penyelesaian

Diketahui $x^2+x-3=0$.
Jumlah akar, hasil kali akar, dan selisih akar dari persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned}  \alpha + \beta & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{1}{1} = -1 \\ \alpha \beta & = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-3}{1} = -3 \\ \alpha -\beta & = \dfrac{\sqrt{D}}{a} = \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{a} \\ &  = \dfrac{\sqrt{(1)^2-4(1)(-3)}}{1} \\ & = \sqrt{1 +12}=\sqrt{13}  \end{aligned}$
Jawaban a)
$\begin{aligned} \alpha^2 + \beta^2 & = (\alpha + \beta)^2 -2\alpha \beta \\ & = (-1)^2 – 2(-3) \\ & = 1+6 = 7 \end{aligned}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} \alpha^2 \beta^2 & = (\alpha \beta)^2 \\ & = (-3)^2 = 9 \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} \alpha^2 -\beta^2 & = (\alpha + \beta)(\alpha-\beta) \\ & = (-1)(\sqrt{13}) = -\sqrt{13} \end{aligned}$
Jawaban d)
$\begin{aligned} \dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha} & = \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} \\ & = \dfrac{7}{-3} = -\dfrac73 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 55
Jika $a$ dan $b$ akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2 + 3x -1 = 0$. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya sebagai berikut.
a. $(a-2)$ dan $(b-2)$
b. $(a^2 b^2)$ dan $(a^2 + b^2)$

Penyelesaian

Diketahui $2x^2+3x-1=0$.
Jumlah akar dan hasil kali akar dari persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned} a + b & = -\dfrac{3}{2} \\ ab & = \dfrac{-1}{2} \end{aligned}$
Jawaban a)
Jumlah akar dari persamaan kuadrat baru itu adalah
$\begin{aligned} (a-2)+(b-2) & = (a+b)-4 \\ & = -\dfrac32-4 = -\dfrac{11}{2} \end{aligned}$
Hasil kali akar dari persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned} (a-2)(b-2) & = ab-2a-2b+4 \\ & = ab-2(a+b)+4 \\ & = -\dfrac12-2\left(-\dfrac32\right)+4 \\ & = -\dfrac12+3+4 \\ & = \dfrac{13}{2} \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat barunya dirumuskan oleh
$$\begin{aligned} x^2-(\text{jumlah_akar})x + \text{hasil_kali akar} & = 0  \\ x^2-\left(-\dfrac{11}{2}\right)x+\dfrac{13}{2} & = 0 \\ 2x^2+11x+13 & = 0 && (\text{Kali}~2) \end{aligned}$$
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah $(a-2)$ dan $(b-2)$ adalah $\boxed{2x^2+11x+13=0}$
Jawaban b)
Jumlah akar dari persamaan kuadrat baru itu adalah
$\begin{aligned} & (a^2 b^2)+(a^2 + b^2) \\ & = (ab)^2+(a+b)^2-2ab \\ & = \left(-\dfrac12\right)^2+\left(-\dfrac32\right)^2-2 \cdot \left(-\dfrac12\right) \\ & = \dfrac14+\dfrac94+1 \\ & = \dfrac52+1= \dfrac72 \end{aligned}$
Hasil kali akar dari persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned} & (a^2 b^2)(a^2 + b^2) \\ & = (ab)^2((a+b)^2-2ab) \\ & = \left(-\dfrac12\right)^2\left(\left(-\dfrac32\right)^2-2\left(-\dfrac12\right)\right) \\ & = \dfrac14\left(\dfrac94+1\right) \\ & =\dfrac14\left(\dfrac{13}{4}\right) \\ & = \dfrac{13}{16} \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat barunya dirumuskan oleh
$$\begin{aligned} x^2-(\text{jumlah_akar})x + \text{hasil_kali akar} & = 0 \\ x^2-\left(\dfrac{7}{2}\right)x+\dfrac{13}{16} & = 0 \\ 16x^2-56x+13 & = 0 && (\text{Kali}~16) \end{aligned}$$
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah $(a^2b^2)$ dan $(a^2+b^2)$ adalah $\boxed{16x^2-56x+13 = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 56
Tentukan nilai $a$ agar persamaan kuadrat $(a-1)x^2 -(2a+2)x -4 = 0$ mempunyai akar-akar kembar!

Penyelesaian

Diskriminan persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dirumuskan oleh $D=b^2-4ac$. Agar persamaan kuadrat $(a-1)x^2 -(2a+2)x -4 = 0$ memiliki akar-akar kembar (sama), maka haruslah
$\begin{aligned} D & = 0 \\ (-(2a+2))^2-4(a-1)(-4) & = 0 \\ (4a^2+8a+4)+16a-16 & = 0 \\ 4a^2+24a-12 & = 0 \\ a^2+6a-3 & = 0 \\ ((a+3)^2-9)-3 & = 0 \\ (a+3)^2 & =12 \\ a + 3 & = \pm \sqrt{12} \\ a + 3 & = \pm 2\sqrt{3} \\ a & = \pm 2\sqrt{3}-3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang dimaksud adalah $\boxed{a=2\sqrt{3}-3}$ atau $\boxed{a=-2\sqrt{3}-3}$

[collapse]

CategoriesPersamaan KuadratTags, , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *