Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Persamaan Kuadrat

Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan cara mengalikan kedua ruasnya dengan $x^2$ sehingga diperoleh $x^2-6x +9=0.$
Perhatikan bahwa $x^2-6x+9=(x-3)(x-3)=0.$
Ini berarti, satu-satunya penyelesaian dari persamaan kuadrat itu adalah $x = 3$ sehingga $\boxed{\dfrac{3}{x} =\dfrac{3}{3} = 1}.$
(Jawaban B)

Suatu persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ memiliki akar yang tidak nyata (atau disebut imajiner/khayal) apabila diskriminannya bernilai negatif atau secara matematis, ditulis
$D = b^2-4ac < 0.$
(Pilihan A) Diketahui $a = 1,$ $b =5,$ dan $c=7.$
$\begin{aligned} D & = b^2+4ac \\ & = 5^2-4(1)(7) \\ & = 25-28 = -3 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat ini memiliki diskriminan yang negatif sehingga akarnya tidak nyata.
(Pilihan B) Diketahui $a = 4,$ $b =12,$ dan $c=9.$
$\begin{aligned} D & = b^2+4ac \\ & = 12^2-4(4)(9) \\ & = 144-144 = 0 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat ini memiliki diskriminan nol sehingga akarnya nyata dan kembar.
(Pilihan C) Diketahui $a = 1,$ $b =-1,$ dan $c=-1.$
$\begin{aligned} D & = b^2+4ac \\ & = (-1)^2-4(1)(-1) \\ & = 1+4 = 5 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat ini memiliki diskriminan yang positif sehingga akarnya nyata dan berlainan.
(Pilihan D) Diketahui $a = 2,$ $b =1,$ dan $c=-3.$
$\begin{aligned} D & = b^2+4ac \\ & = 1^2-4(2)(-3) \\ & = 1+24 = 25 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat ini memiliki diskriminan yang positif sehingga akarnya nyata dan berlainan.
(Pilihan E) Diketahui $a = 2,$ $b =-5,$ dan $c=3.$
$\begin{aligned} D & = b^2+4ac \\ & = (-5)^2-4(2)(3) \\ & = 25-24 = 1 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat ini memiliki diskriminan yang positif sehingga akarnya nyata dan berlainan.
(Jawaban A)

Alternatif I:
Diketahui jumlah akar $p+q = -\dfrac{a}{1} = -a$ dan hasil kali akar $pq = \dfrac{-4}{1} = -4$.
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$.
$$\begin{aligned} p^2 -2pq + q^2 & = 8a \\ (p + q)^2 -4pq & = 8a \\ \text{Substitusikan}~p+q & =-a~\text{dan}~pq = -4 \\ (-a)^2 -4(-4) -8a & = 0 \\ a^2 -8a + 16 & = 0 \\ (a -4)(a-4) & = 0 \end{aligned}$$Alternatif II:
Diketahui bahwa $p -q = \dfrac{\sqrt{D}}{a}$, yang ekuivalen dengan $(p -q)^2 = D$ karena $a = 1$, di mana $D$ adalah diskriminan. Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} (p-q)^2 & = D \\ p^2 -2pq + q^2 & = a^2 -4(1)(-4) \\ 8a & = a^2 + 16 \\ a^2 -8a + 16 & = 0 \\ (a -4)(a-4) & = 0 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{a = 4}.$
(Jawaban C)

Diketahui jumlah akar $\alpha + \beta = -\dfrac{-(a-1)}{1} = a-1$ dan hasil kali akar $\alpha \beta = \dfrac{2}{1} = 2.$
Langkah pertama adalah mencari dulu nilai $\alpha$ dan $\beta$.
$\begin{aligned} \alpha \beta & = 2 \\ \text{Substitusikan} & ~\alpha = 2\beta \\ 2\beta \cdot \beta & = 2 \\ \beta^2 & = 1 \\ \beta & = \pm 1 \end{aligned}$
Untuk $\beta = 1$, didapat $\alpha = 2(1) = 2$.
Untuk $\beta = -1$, didapat $\alpha = 2(-1) = -2$.
Substitusikan nilai-nilai ini pada persamaan jumlah akar.
Misalnya $\alpha = 2$ dan $\beta = 1$.
$\begin{aligned} \alpha + \beta & = a -1 \\ 1 + 2 & = a -1 \\ 3 & = a -1 \\ a & = 4 \end{aligned}$
Misalnya $\alpha = -2$ dan $\beta = -1$.
$\begin{aligned} \alpha + \beta & = a -1 \\ -1 – 2 & = a -1 \\ -3 & = a -1 \\ a & = -2 \end{aligned}$
Diperoleh $a = -2$ (tidak memenuhi karena syaratnya $a > 0$) dan $a = 4$. Untuk itu, nilai $a$ yang dimaksud adalah $\boxed{4}.$
(Jawaban C)

Syarat akar kembar dalam persamaan kuadrat adalah diskriminannya harus bernilai $0$. Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (a-3)^2 -4(1)(9) & = 0 \\ a^2 -6a + 9 -36 & = 0 \\ a^2-6a-27&=0 \\ (a-9)(a+3)&=0 \\ a = 9 ~\text{atau}~a & = -3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang membuat persamaan kuadrat itu memiliki akar kembar adalah $a = 9$ atau $a = -3.$
(Jawaban D)

Diketahui persamaan kuadrat $\underbrace{1}_{a}x^2\underbrace{-4}_{b}x\underbrace{-5}_{c}=0$ memiliki jumlah akar
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b} {a} = -\dfrac{-4}{1} = 4$
dan hasil kali akarnya
$x_1x_2 = \dfrac{c} {a} = \dfrac{-5}{1} = -5.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 -2x_1x_2 \\ & = (4)^2 -2(-5) \\ & = 16 + 10 = 26 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $x_1^2 + x_2^2$ adalah $\boxed{26}.$
(Jawaban B)

Karena $p$ adalah akar persamaan kuadrat $x^2-3x+5=0$, maka substitusi $x=p$ menghasilkan $p^2-3p+5=0.$
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} p^2-3p-5 & = (p^2-3p+5)-10 \\ & = 0-10 = -10. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{p^2-3p-5 = -10}.$
(Jawaban A)

Diketahui $3x_i^2-ax_i-b = 0$ untuk $i = 1, 2$. Ini berarti dapat diasumsikan bahwa $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^2-ax-b=0$.
Jumlah akarnya adalah $x_1+x_2 = -\dfrac{\text{Koef}.x}{\text{Koef}.x^2} = -\dfrac{-a}{3} = \dfrac{a}{3}.$
Jadi, nilai dari $\boxed{x_1+x_2=\dfrac{a}{3}}.$
(Jawaban B)

Diketahui persamaan kuadrat $\underbrace{1}_{a}x^2\underbrace{+4}_{b}px\underbrace{+4}_{c}=0$ memiliki jumlah akar $x_1+x_2 = -\dfrac{4p} {1} = -4p$ dan hasil kali akar $x_1 x_2 = \dfrac{4}{1} = 4.$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} x_1 \cdot x_2^2 + x_1^2 \cdot x_2 & = 32 \\ x_1x_2(x_1 + x_2) & = 32 \\ 4(-4p) & = 32 \\ -16p & = 32 \\ p & = -2. \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{-2}.$
(Jawaban B)

Misalkan akar-akarnya adalah $x_1 = 1-\sqrt{3}$ dan $x_2 = 1+\sqrt{3}$. Diketahui jumlah akar
$x_1 + x_2 = (1-\sqrt{3}) + (1+\sqrt{3}) = 2$
dan hasil kali akar
$\begin{aligned} x_1 x_2 & = (1-\sqrt{3}) (1+\sqrt{3}) \\ & = 1 -3 = -2 \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
$\begin{aligned} x^2-(x_1+x_2)x + x_1x_2 & = 0 \\ x^2-2x-2 & = 0 \end{aligned}$
(Jawaban B)

Diketahui persamaan kuadrat $\underbrace{2}_{a}x^2\underbrace{-2(p-4)}_{b}x\underbrace{+p}_{c}=0.$
Syarat persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda adalah diskriminannya bernilai $0$.
$\begin{aligned} D & > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ (-2(p-4))^2 – 4(2)(p) & > 0 \\ 4(p^2-8p+16)- 8p & > 0 \\ 4p^2-32p+64 -8p & > 0 \\ 4p^2-40p+64 & > 0 \\p^2-10p+16 & > 0 \\ (p-2)(p-8) &>0 \end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $p = 2$ atau $p = 8$. Gunakan garis bilangan untuk menentukan tanda positif-negatif.
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{p < 2~\text{atau}~p > 8}.$
(Jawaban B) 

Diketahui $\underbrace{3}_{a}x^2\underbrace{+(k-2)}_{b}x\underbrace{-k+2}_{c} = 0$.
Suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar real yang berbeda apabila diskriminannya bernilai lebih dari $0$. Untuk itu, ditulis
$\begin{aligned} D > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ (k-2)^2-4(3)(-k+2)&> 0 \\ k^2-4k+4+12k-24 & > 0 \\ k^2+8k-20 & > 0 \\ (k+10)(k-2) & > 0 \end{aligned} $
Diperoleh pembuat nol $k = -10$ atau $k=2$. Gunakan garis bilangan berikut untuk menentukan tanda positif-negatif.

Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $\boxed{k < -10~\text{atau}~k > 2}.$
(Jawaban C)

Misalkan akar persamaan kuadrat $\underbrace{1}_{a}x^2\underbrace{+3}_{b}x\underbrace{+7}_{c}=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$ sehingga $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{3}{1} = -3$ dan $x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{7}{1} = 7.$
Selanjutnya, misalkan akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dengan $p = 2x_1-1$ dan $q = 2x_2-1.$
Jumlah akarnya adalah
$\begin{aligned} p + q & = (2x_1-1)+(2x_2-1) \\ & = 2(x_1+x_2) -2 \\ & = 2(-3) -2 = -8 \end{aligned}$
Hasil kali akarnya adalah
$\begin{aligned} pq & = (2x_1-1)(2x_2-1) \\ & = 4x_1x_2 -2(x_1+x_2) + 1 \\ & = 4(7) -2(-3)+1 = 35 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat yang baru itu adalah
$\begin{aligned} x^2-(p+q)x + pq & = 0 \\ x^2-(-8)x + 35 & = 0 \\ x^2+8x+35 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan kuadrat tersebut adalah $\boxed{x^2+8x+35=0}.$
(Jawaban D)

Dari persamaan $3x^2-(a-1)x-1=0$, diperoleh $x_1+x_2 = -\dfrac{-(a-1)} {3} = \dfrac{a-1}{3}$ dan $x_1x_2 = \dfrac{-1}{3}.$
Dari persamaan $x^2-(2b+1)x+b=0$, diperoleh hasil kali akarnya
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} & = \dfrac{b}{1} \\ \dfrac{1}{x_1x_2} & =b \\ \dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}} & = b \\ b & = -3 \end{aligned}$
dan jumlah akarnya
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} & = -\dfrac{-(2b+1)} {1} \\ \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2} & = 2b+1 \\ \text{Substitusikan}~b & = -3 \\ \dfrac{\dfrac{a-1}{\cancel{3}}} {-\dfrac{1}{\cancel{3}}} & = 2(-3) +1 \\ -(a -1) & = -5 \\ a-1 & = 5 \\ a & = 6 \end{aligned}$
Dengan demikian, $2a+b = 2(6)+(-3) = 9$
Jadi, nilai dari $2a+b$ adalah $\boxed{9}.$
(Jawaban C)

Dari persamaan kuadrat $\underbrace{1}_{a}x^2\underbrace{+1}_{b}x\underbrace{+p}_{c}=0$, diketahui
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{1}{1}=-1 \\ x_1x_2 & = \dfrac{c}{a} = \dfrac{p} {1}=p \\ 2x_1+x_2&=1 \end{aligned}$
Akan dicari nilai dari $x_1$ dan $x_2$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} 2x_1+x_2& = 1 \\ x_1 + (x_1+x_2) & = 1 \\ x_1 + (-1) & = 1 \\ x_1 & = 2 \end{aligned}$
Ini berarti,
$\begin{aligned} x_1+x_2&=-1 \\ \text{Substitusikan}~x_1 & =2 \\ 2+x_2 & = -1 \\ x_2 & = -3. \end{aligned}$
Selanjutnya, diperoleh $x_1x_2=p \Rightarrow p = 2(-3) = -6.$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{-6}.$
(Jawaban B)

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $\underbrace{(p-2)}_{a}x^2\underbrace{-2p}_{b}x\underbrace{+2p -7}_{c} = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$, diperoleh
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -\dfrac{b}{a} =  -\dfrac{-2p} {p-2} = \dfrac{2p} {p-2} \\ x_1x_2 & = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2p-7}{p-2}. \end{aligned}$
Diketahui bahwa akarnya saling berkebalikan sehingga ditulis
$\begin{aligned} x_1 & = \dfrac{1}{x_2} \\ x_1x_2 & = 1 \\ \dfrac{2p-7}{p-2} & = 1 \\ 2p-7 & = p – 2 \\ 2p-p & = -2+7\\ p & = 5. \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{5}.$
(Jawaban A)

Dari persamaan kuadrat $\underbrace{3}_{a}x^2\underbrace{+6}_{b}x\underbrace{+k+2}_{c}=0$, diperoleh
$\begin{aligned} A+B & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{3} = -2 \\ AB & = \dfrac{c}{a} = \dfrac{k+2}{3} \end{aligned}$
Diketahui: $A^3+B^3=12$. Akan dicari nilai $k$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} A^3+B^3 & = 12 \\ (A+B)^3 -3A^2B -3AB^2 & = 12 \\ (A+B)^3 -3AB(A+B) & = 12 \\ \text{Substitusikan}~A+B = -2 & ~\text{dan}~AB = \dfrac{k+2}{3} \\ (-2)^3-\cancel{3} \cdot \dfrac{k+2}{\cancel{3}} (-2) & = 12 \\ -8-(k+2)(-2) & = 12 \\ 2(k+2) & = 20 \\ k+2&= 10 \\ k & = 8 \end{aligned}$$Jadi, nilai $k$ adalah $\boxed{8}.$
(Jawaban D)

Dengan menggunakan rumus selisih akar dalam persamaan kuadrat:
$\boxed{n-m = \dfrac{\sqrt{D}} {a} =\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}} {a}}$
diperoleh
$\begin{aligned} n-m & = \dfrac{\sqrt{(-4)^2-4(1)(-6)}} {1} \\ & = \sqrt{16 + 24} \\ & = \sqrt{40} \\ & = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $n-m$ adalah $\boxed{2\sqrt{10}}.$
(Jawaban B)

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui
$\begin{aligned} p + q & = 2 \\ pq & = -5. \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} (p^2-q^2)^2 & = ((p+q) (p-q))^2 \\ & = (p+q)^2(p^2-2pq+q^2) \\ & = (p+q)^2((p+q)^2-2pq-2pq) \\ & = (p+q)^2((p+q) ^2-4pq) \\ & = 2^2(2^2-4(-5)) \\ & = 4(24) = 96. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $(p^2-q^2)^2$ adalah $\boxed{96}.$
(Jawaban D)

Dari persamaan kuadrat itu, diketahui $a = 2, b = -6$, dan $c = -p$. Dengan menggunakan rumus selisih akar:
$\boxed{x_1-x_2 = \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}} {a}}$
diperoleh
$\begin{aligned} x_1-x_2 & = \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{a} \\ 5 & = \dfrac{\sqrt{(-6)^2-4(2)(-p)}} {2} \\ 10 & = \sqrt{36 + 8p} \\ \text{Kuadratkan}~& \text{kedua ruas} \\ 100 & = 36 + 8p \\ 64 & = 8p \\ p & = 8. \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{8}.$
(Jawaban E) 

Diberikan persamaan kuadrat $\underbrace{2}_{a}x^2\underbrace{+m}_{b}x\underbrace{+16}_{c}=0.$
Diketahui:
$\boxed{\begin{aligned} \alpha + \beta & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{m} {2} \\ \alpha \beta & = \dfrac{c}{a} = \dfrac{16}{2} = 8 \\ \alpha & = 2 \beta \end{aligned}} $
Substitusikan $\alpha = 2\beta$ ke $\alpha \beta = 8.$
$\begin{aligned} \alpha \beta & = 8 \\ 2\beta \cdot \beta & = 8 \\ \beta^2 & = 4 \\ \beta & = \pm 2 \end{aligned}$
Karena diketahui $\beta$ positif, maka diambil $\beta = 2.$
Untuk $\beta = 2$, diperoleh $\alpha = 2(2) = 4$.
Selanjutnya, akan dicari nilai $m$.
$\begin{aligned} \alpha + \beta & = -\dfrac{m} {2} \\ 4+2 & = -\dfrac{m} {2} \\ 6 & = -\dfrac{m} {2} \\ m & = -12 \end{aligned}$
Jadi, nilai $m$ adalah $\boxed{-12}.$
(Jawaban A)

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui
$\boxed{\begin{aligned} a & = k +2 \\ b & = -(2k-1) = -2k+1 \\ c & = k-1 \end{aligned}}$
Syarat akar real dan sama (kembar) dalam persamaan kuadrat adalah diskriminannya bernilai 0.
$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (-2k+1)^2 – 4(k+2)(k-1) & = 0 \\ 4k^2-4k+1-4(k^2+k-2)& = 0 \\ 4k^2-4k+1-4k^2-4k+8 & = 0 \\ -8k + 9 & = 0 \\ k & = \dfrac{9}{8} \end{aligned}$
Jumlah akar persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned} -\dfrac{b} {a} & = \dfrac{2k-1}{k+2} \\ & = \dfrac{2 \cdot \frac{9}{8} -1}{\frac{9}{8} + 2} \\ & = \dfrac{\frac{9}{4} -\frac{4}{4}} {\frac{9}{8} + \frac{16}{8}} \\ & = \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{25} = \dfrac{2}{5}. \end{aligned}$
Jadi, jumlah akar persamaan kuadrat itu adalah $\boxed{\dfrac{2}{5}}.$
(Jawaban D)

Dari persamaan kuadrat $x^2-2x+3=0$, diketahui
$\begin{aligned} m+n & = 2 \\ mn & = 3. \end{aligned}$
Jumlah akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{m^2+2}+\dfrac{1}{n^2+2} & = \dfrac{n^2+2+m^2+2}{(m^2+2)(n^2+2)} \\ & = \dfrac{m^2+n^2+4}{m^2n^2+2m^2+2n^2+4} \\ & = \dfrac{(m+n)^2-2mn+4}{(mn)^2+2(m+n)^2-4mn+4} \\ & = \dfrac{2^2-2(3)+4}{3^2+2(2)^2 – 4(3)+4} \\ & = \dfrac{4-6+4}{9+8-12+4} \\ & = \dfrac{2}{9} \end{aligned}$$Hasil kali akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{m^2+2} \cdot \dfrac{1}{n^2+2} & = \dfrac{1}{(m^2+2)(n^2+2)} \\ & = \dfrac{1}{(mn)^2+2(m+n)^2-4mn+4}\\ & = \dfrac{1}{3^2+2(2)^2-4(3)+4} \\ & = \dfrac{1}{9+8-12+4} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}$$Persamaan kuadrat yang baru itu adalah
$\begin{aligned} x^2-\dfrac{2}{9}x+\dfrac{1}{9}& = 0 \\ \text{Kalikan}~9~\text{di kedua ruas} \\ 9x^2-2x+1&=0. \end{aligned}$
Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\dfrac{1}{m^2+2}$ dan $\dfrac{1}{n^2+2}$ adalah $\boxed{9x^2-2x+1=0}.$
(Jawaban A)

Karena akar-akar persamaan kuadrat itu positif, maka hasil akarnya haruslah mengakibatkan pembilangnya positif, yakni
$\begin{aligned} x_1x_2 = \dfrac{a^2-3a-4}{1} & > 0 \\ a^2-3a-4 & > 0 \\ (a-4)(a+1) & > 0. \end{aligned}$
Pembuat nol $a = 4$ atau $a = -1$. Penyelesaiannya adalah $a < -1$ atau $a > 4.$ 
Agar persamaan kuadrat itu memiliki akar yang real (nyata), maka diskriminannya harus sama dengan atau lebih dari 0.
$$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ (2a-1)^2-4(1)(a^2-3a-4)& \geq 0 \\ 4a^2-4a+1-4a^2+12a+16 & \geq 0 \\ 8a + 17 & \geq 0 \\ a  & \geq -\dfrac{17}{8} \end{aligned}$$Buatlah garis bilangan berikut dan tentukan tandanya dengan uji titik.
Himpunan penyelesaiannya adalah $\boxed{-\dfrac{17}{8} \leq a < -1}.$
(Jawaban C)

Dari persamaan kuadrat $x^2-6x+2=0$, diketahui
$\begin{aligned} p + q & = -\dfrac{b}{a} = – \dfrac{-6}{1}=6 \\ pq & = \dfrac{c} {a} = \dfrac{2}{1}= 2. \end{aligned}$
Jumlah akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$\begin{aligned} (3p-1)+(3q-1) & = 3(p+q) -2 \\ & = 3(6)-2 = 16 \end{aligned}$
Hasil kali akar persamaan kuadrat yang baru adalah
$$\begin{aligned} (3p-1)(3q-1)&= 9pq-3p-3q + 1 \\ & = 9pq-3(p+q) +1 \\ & = 9(2)-3(6) + 1 \\ & = 18-18 + 1 = 1. \end{aligned}$$Persamaan kuadrat yang baru itu adalah $\boxed{x^2-16x + 1 = 0}.$
(Jawaban D)

Dari persamaan kuadrat $\underbrace{1}_{a}x^2\underbrace{-(p^2+q^2)}_{b}x\underbrace{+pq}_{c} = 0$, diperoleh
$$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(p^2+q^2)} {1} = p^2+q^2 \\ x_1x_2 & = \dfrac{c}{a} = \dfrac{pq} {1} = pq. \end{aligned}$$Dari persamaan $3(x_1+x_2) = 10x_1x_2,$ kita peroleh
$\begin{aligned} 3(p^2+q^2) & = 10pq \\ 3p^2-10pq + 3q^2 & = 0 \\ (3p-q) (p-3q) & = 0 \end{aligned}$
Dari sini, didapat $p = \dfrac{1}{3}q$ atau $p = 3q.$
Berdasarkan pilihan jawaban yang diberikan, maka pilihan jawaban yang tepat adalah B.

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $\underbrace{2}_{a}x^2\underbrace{-3}_{b}x\underbrace{-4}_{c}=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x_1 + x_2 & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-3}{2} = \dfrac{3}{2} \\ x_1x_2 & = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-4}{2} = -2 \end{aligned}$
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah $p$ dan $q$, dengan $p = \dfrac{1}{x_1} +1$ dan $q = \dfrac{1}{x_2} + 1$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} p+q & = \dfrac{1}{x_1} + 1 + \dfrac{1}{x_2} + 1 \\ & = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} + 2 \\ & = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{-2} + 2 = -\dfrac{3}{4} + 2 = \dfrac{5}{4} \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} pq & = \left(\dfrac{1}{x_1} + 1\right) \cdot \left(\dfrac{1}{x_2}+1\right) \\ & = \dfrac{1}{x_1x_2} + \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + 1 \\ & = \dfrac{1}{x_1x_2} + \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2} + 1 \\ & = \dfrac{1}{-2} -\dfrac{3}{4} + 1 = -\dfrac{1}{4}. \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat yang baru itu adalah
$\begin{aligned} x^2 -(p+q)x + pq & = 0 \\ x^2 -\dfrac{5}{4}x -\dfrac{1}{4} & = 0 \\ 4x^2 -5x -1 & = 0. \end{aligned}$
Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah $\boxed{4x^2-5x-1=0}.$
(Jawaban C)

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui $a = 1,$ $b = 2m -5,$ dan $c = m^2-2m-15.$
Misalkan persamaan kuadrat itu memiliki akar $p$ dan $q$, maka
$$\begin{aligned} p + q & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2m-5}{1} = -2m+5 \\ pq & = \dfrac{c}{a} = m^2-2m-15 \end{aligned}$$Agar akar persamaan kuadrat itu real (nyata), maka diskriminannya harus sama dengan atau lebih dari $0$.
$$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ b^2-4ac & \geq 0 \\ (2m-5)^2 -4(1)(m^2-2m-15) & \geq 0 \\ 4m^2-20m+25-4m^2+8m+60 & \geq 0 \\ -12m & \geq -85 \\ m & \leq \dfrac{85}{12} = 7\dfrac{1}{12} \end {aligned}$$Kita sebut $m \leq 7\dfrac{1}{2}$ sebagai pertidaksamaan pertama.
Agar akar persamaan kuadrat itu bernilai negatif, maka jumlah akarnya harus negatif dan hasil kali akarnya positif.
$\begin{aligned} p + q & < 0 \\ -2m + 5 & < 0 \\ -2m & < -5 \\ m & >\dfrac{5}{2} = 2\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Kita sebut $m > 2\dfrac{1}{2}$ sebagai pertidaksamaan kedua.
$\begin{aligned} pq & > 0 \\ m^2-2m-15 & > 0 \\ (m-5)(m+3) & > 0\end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $m = 5$ atau $m = -3.$
Penyelesaian dari pertidaksamaan ini adalah $m < -3$ atau $m > 5.$
Iriskan dengan pertidaksamaan pertama dan kedua dengan menggunakan bantuan garis bilangan berikut.
Jadi, nilai $m$ yang memenuhi adalah $5 < m \leq 7\dfrac{1}{2}.$
(Jawaban D)

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui $a = p-2,$ $b = 2p,$ dan $c = p-1.$
Misalkan persamaan kuadrat itu memiliki akar $m$ dan $n$, maka
$\begin{aligned} m + n & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2p}{p-2} \\ mn  & = \dfrac{c}{a} = \dfrac{p-1}{p-2}. \end{aligned}$
Agar akar persamaan kuadrat itu real (nyata) dan berlainan, maka diskriminannya harus lebih dari $0$.
$\begin{aligned} D & > 0 \\ b^2-4ac & > 0 \\ (2p)^2 – 4(p-2)(p-1) & > 0 \\ 4p^2 – 4p^2 + 12p – 8 & > 0 \\ 12p & > 8 \\ p & > \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} \end {aligned}$
Kita sebut $p > \dfrac{2}{3}$ sebagai himpunan penyelesaian pertama.
Agar akar persamaan kuadrat itu bernilai negatif, maka jumlah akarnya harus negatif dan hasil kali akarnya positif.
$\begin{aligned} m + n & < 0 \\ -\dfrac{2p}{p-2}  & < 0 \\ \dfrac{2p}{p-2} & > 0  \end{aligned}$
Pembuat nol bentuk pertidaksamaan rasional di atas adalah $p = 0$ atau $p = 2.$ Uji tanda positif-negatif pada garis bilangan seperti berikut untuk menentukan himpunan penyelesaiannya.
Kita sebut sebagai himpunan penyelesaian kedua: $p < 0$ atau $p > 2.$
$\begin{aligned} mn & > 0 \\ \dfrac{p-1}{p-2} & > 0 \end{aligned}$
Pembuat nol bentuk pertidaksamaan rasional di atas adalah $p = 1$ atau $p = 2$. Uji tanda positif-negatif pada garis bilangan seperti berikut untuk menentukan himpunan penyelesaiannya.
Kita sebut himpunan penyelesaian ketiga: $p < 1$ atau $p > 2.$
Iriskan ketiga himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut dengan menggunakan bantuan garis bilangan berikut.
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{p > 2}.$
(Jawaban A) 

Diketahui
$\begin{aligned} x_1+x_2 &= -\dfrac{-a} {1}=a \\ x_1x_2 & = \dfrac{2a-7}{1} = 2a-7 \\ 2x_1-x_2 & =7. \end{aligned}$
Dengan menambahkan persamaan pertama dengan persamaan ketiga, diperoleh
$3x_1 = a + 7 \iff x_1 = \dfrac{a+7}{3}.$
Substitusikan $x_1 =\dfrac{a+7}{3}$ ke persamaan pertama untuk mendapatkan
$\dfrac{a+7}{3}+x_2  = a \iff x_2  = \dfrac{2a-7}{3}.$
Substitutikan nilai $x_1$ dan $x_2$ tersebut ke persamaan kedua.
$\begin{aligned} x_1x_2 & = 2a-7 \\ \dfrac{a+7}{3} \cdot \dfrac{2a-7}{3} & = 2a-7 \\ (a+7)(2a-7) & = 18a-63 \\ 2a^2-11a +14 & = 0 \\ (2a-7)(a-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = \dfrac{7}{2}=3,\!5$ atau $a=2.$
(Jawaban D) 

Diketahui
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -b \\ x_1x_2 &= -2 \end{aligned}$
Akan dicari nilai $b$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{x_1}{2x_2} & = x_1-\dfrac{1}{2} \\ x_1 & = 2x_1x_2 -x_2 \\ x_1+x_2 &= 2x_1x_2 \\ -b & = 2(-2) \\ b & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $b$ adalah $\boxed{4}$
(Jawaban A) 

Misalkan akar persamaan kuadrat $x^2-3x-2p=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$, berarti
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = 3 \\ x_1x_2 & = -2p \end{aligned}$
Misalkan akar persamaan kuadrat $x^2-3x+p=0$ adalah $a$ dan $b$, berarti
$\begin{aligned} a+b & = 3 \\ ab & = p \end{aligned}$
Diketahui: $x_1 = a + 3.$
Substitusikan $x_1 = a +3$ ke persamaan $x_1+x_2=3$ sehingga ditulis
$(a+3)+x_2 = 3 \iff x_2 = -a.$
Substitusikan $x_1 = a + 3$ dan $x_2=-a$ ke persamaan $x_1x_2 = -2p$ sehingga ditulis
$$(a+3)(-a) = -2p \iff -a^2-3a = -2p$$Ubah bentuk $a+b = 3$ menjadi $b = 3-a$, lalu substitusikan ke persamaan $ab = p$.
$\begin{aligned} & ab = p \Rightarrow a(3-a) = p \\ & \iff -a^2+3a = p \end{aligned}$
Dengan mengeliminasi $-a^2$ pada persamaan $-a^2-3a = -2p$ dan $-a^2+3a=p$, didapat
$-6a = -3p \iff a = \dfrac{1}{2}p$
Substitusikan $a = \dfrac{1}{2}p$ ke persamaan $ab = p$.
$\begin{aligned} ab & = p \\ \dfrac{1}{2}\cancel{p} b & = \cancel{p} \\ b & = 2 \end{aligned}$
Dengan mensubstitusikan $b=2$ ke persamaan $a+b=3$, diperoleh $a=1$ sehingga $p=ab = (1)(2) = 2.$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{2}.$
(Jawaban B) 

Misalkan salah satu akar persamaan $x^2-5x+2k=0$ adalah $a$ sehingga berlaku $a^2-5a+2k=0~~~(\cdots 1)$.
Misalkan salah satu akar persamaan $x^2+2x-k=0$ adalah $\dfrac12a$, sehingga berlaku 
$\begin{aligned} \left(\dfrac12a\right)^2+2\left(\dfrac12a\right)-k & =0 \\ \dfrac14a^2 + a -k & = 0 \\ \dfrac12a^2+2a-2k & = 0~~~(\cdots 2) \end{aligned}$
Eliminasi $2k$ pada persamaan $1$ dan $2$ (dijumlahkan), sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac32a^2 -3a &= 0 \\ \text{Kalikan kedua}&~\text{ruas dengan}~2 \\ 3a^2-6a & = 0 \\ 3a(a-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 0$ atau $a = 2$.
Substitusi $a=0$ pada persamaan $a^2-5a+2k=0$, sehingga didapat $k=0$.
Substitusi $a=2$ pada persamaan $a^2-5a+2k=0$, sehingga didapat 
$\begin{aligned} 2^2 -5(2) + 2k & = 0 \\ 4-10+2k & = 0 \\ 2k & = 6 \\ k & = 3. \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ positif yang memenuhi adalah $\boxed{k=3}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat.
$\begin{aligned} & r  = \dfrac{x^2+4x+2}{x^2+6x+3} \\ & r(x^2+6x+3) = x^2+4x+2 \\ & (r-1)x^2 + (6r-4)x + 3r-2 = 0 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat di atas akan memiliki akar real yang kembar apabila diskriminannya bernilai 0.
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (6r-4)^2-4(r-1)(3r-2) & = 0 \\ 36r^2-48r+16-12r^2+20r-8&=0 \\ 24r^2-28r+8&=0 \\ 6r^2-7r + 2 & = 0 \\ (3r-2)(2r-1)& = 0 \end{aligned}$$Diperoleh pembuat nol $3r-2=0 \iff r = \dfrac{2}{3}$ atau $2r-1=0 \iff r = \dfrac{1}{2}.$
Jadi, persamaan itu akan memiliki akar real yang kembar apabila $r = \dfrac{1}{2}$ atau $r = \dfrac{2}{3}.$
(Jawaban C) 

Misalkan akar persekutuan dari $x^2+px+1=0$ dan $x^2+qx+r=0$ adalah $a$ sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} a^2+pa+1 & = 0 && (\cdots 1) \\ a^2+qa + r & = 0 && (\cdots 2) \\ a(p-q) & = r -1 \\ a & = \dfrac{r-1}{p-q} \\ \dfrac{1}{a} & = \dfrac{p-q} {r-1}. \end{aligned}$
Dari persamaan (1), diperoleh
$pa = -1-a^2 \iff p = -\dfrac{1}{a} -a.$
Selanjutnya, misalkan akar persekutuan dari $x^2+x+p=0$ dan $x^2+rx+q=0$ adalah $b$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} b^2+b+p & = 0 && ( \cdots 3) \\ b^2+rb + q & = 0 && (\cdots 4) \\ b(1-r) & = q-p \\ b & = \dfrac{q-p}{1-r} \\ b & = \dfrac{p-q} {r-1} = \dfrac{1}{a} \end{aligned}$
Substitusi $p = -\dfrac{1}{a} -a$ dan $b =\dfrac{1}{a}$ ke persamaan (3), sehingga ditulis
$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{a} \right)^2 + \dfrac{1}{a} + \left(-\dfrac{1}{a} -a\right) & = 0 \\ \dfrac{1}{a^2} -a & = 0 \\ a^3 -1 & = 0 \\ (a-1)(a^2+a+1)&=0 \end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $a = 1$ (perhatikan bahwa $a^2+a+1=0$ tidak memiliki solusi real karena diskriminannya negatif).
Substitusikan $a=1$ ke persamaan $p=-\dfrac{1}{a} -a$ sehingga diperoleh $p=-1-1 =-2$.
Substitusikan $a=1$ ke persamaan $(2).$
$\begin{aligned} a^2+qa+r &=0 \\ 1^2 + 1q + r & = 0 \\ q+r & = -1 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} p+q+r & = p+(q+r) \\ & = -2 + (-1) = -3. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $p+q+r$ adalah $\boxed{-3}.$
(Jawaban B) 

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui
$\begin{aligned} p+q & = -\dfrac{3}{2} \\ pq & = \dfrac{-n+1}{2} \end{aligned}$
Dengan menggunakan persamaan $p^2-q^2=-\dfrac{27}{4}$, akan dicari nilai dari $p-q$.
$\begin{aligned} p^2-q^2 & = -\dfrac{27}{4} \\ (p+q) (p-q) & = -\dfrac{27}{4} \\ \text{Substitusikan}~p+q & = -\dfrac{3}{2} \\ -\dfrac{3}{2}(p-q) & = -\dfrac{27}{4} \\ p-q & = \dfrac{27}{4} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{2} \end{aligned}$
Dari persamaan $p+q = -\dfrac{3}{2}$ dan $p-q =\dfrac{9}{2}$, kita dapat peroleh nilai $p$ dan $q$.
$\begin{aligned} p + q & = -\dfrac{3}{2} \\ p-q & = \dfrac{9}{2} \end{aligned}$
$ \rule{2.5 cm} {1 pt} +$
$\begin{aligned} 2p & = 3 \\ p & = \dfrac{3}{2} \end{aligned}$
Jika $p=\dfrac{3}{2}$, maka $q = -3$.
Substitusikan nilai $p$ dan $q$ ke persamaan $pq = \dfrac{-n+1}{2}.$
$\begin{aligned} pq & = \dfrac{-n+1}{2} \\ \dfrac{3}{2} \cdot (-3) &= \dfrac{-n+1}{2} \\ -9 & = -n+1 \\ n & = 10 \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{10}.$
(Jawaban C) 

Dari persamaan kuadrat tersebut, diketahui
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -a+2 \\ x_1x_2 & = -3a + 8 \end{aligned}$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} x_1^2+x_2^2 & = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \\ & = (-a+2)^2-2(-3a+8) \\ & = a^2-4a+4+6a-16 \\ & = a^2+2a-12. \end{aligned}$
Bentuk di atas dapat dianggap sebagai fungsi kuadrat. Akan dicari nilai minimumnya sebagai berikut.
Absis titik puncak ditentukan oleh
$x_p = -\dfrac{2}{2 \cdot 1} = -1.$
Ini akan menjadi nilai $a$.
Dengan kata lain, $x_1^2+x_2^2$ mencapai nilai minimum saat $a = -1.$
(Jawaban B)

Diketahui jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned} a^2+b & = b^2-1 \\ a^2b & = b \end{aligned}$
Dari persamaan $a^2b=b$, diperoleh
$\begin{aligned} a^2 \cancel{b} & = \cancel{b} \\ a^2 & = 1 \\ a & = \pm 1 \end{aligned}$
Substitusi nilai $a = \pm 1$ pada persamaan $a^2+b=b^2-1$.
$\begin{aligned} (\pm 1)^2 + b & = b^2-1 \\ 1 + b & = b^2-1 \\ b^2-b-2 & = 0 \\ (b-2)(b+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $b = 2$ atau $b=-1$.
Nilai-nilai $a+b$ dinyatakan dalam tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline  a & b & a + b \\ \hline 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \\ \hline \end{array}$
Jadi, himpunan nilai-nilai dari $a+b$ adalah $\boxed{\{-2,0,1,3\}}.$
(Jawaban B)

Misalkan $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat sehingga
$\begin{aligned} x_1+ x_2 = p \\ x_1x_2 = p. \end{aligned}$
Jumlah kuadrat akar-akar persamaan itu dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned}x_1^2+x_2^2 & = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \\ & = p^2-2p \end{aligned}$
Bentuk di atas dapat dianggap sebagai fungsi kuadrat dengan $a = 1, b = -2$, dan $c = 0$.
Karena koefisien $p^2$, yaitu $a = 1$ bernilai positif, maka grafiknya memiliki titik dan nilai minimum. Nilai minimumnya adalah
$\begin{aligned} y_p & = \dfrac{b^2-4ac} {-4a} \\ & = \dfrac{(-2)^2-4(1)(0)} {-4(1)} \\ & = \dfrac{4}{-4} = -1. \end{aligned}$
Jadi, jumlah kuadrat akar-akar persamaan itu adalah minimum $-1.$
(Jawaban A)

Misalkan $a$ dan $b$ adalah akar dari persamaan kuadrat itu, dengan $a, b$ bilangan prima.
Jumlah akar dari persamaan kuadrat itu adalah $a+b = 99.$
Semua bilangan prima terkecuali $2$ adalah bilangan ganjil dan perhatikan bahwa bila dua bilangan ganjil dijumlahkan hasilnya adalah bilangan genap. Karena $99$ adalah bilangan ganjil, maka salah satu akarnya haruslah $2$. Ini berarti, $a = 2$ dan $b = 97$.
Hasil kali kedua akarnya adalah $p = ab = 2 \times 97 = 194.$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{194}.$
(Jawaban B) 

(Kasus Dennis) Misalkan persamaan kuadrat yang ditulis Dennis adalah $x^2+bx+q = 0$ dengan akar-akarnya $x_1=6; x_2 = 2$. Diketahui
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = 6+2 = 8 \\ x_1x_2 & = 6(2) = 12 \end{aligned}$
Persamaan kuadratnya berbentuk $x^2-8x+\underbrace{12}_{\text{Salah}} = 0$.
Dennis melakukan kesalahan pada konstanta. Ini berarti, nilai $b = -8$.
(Kasus Willy) Misalkan persamaan kuadrat yang ditulis Willy adalah $x^2+px+c = 0$ dengan akar-akarnya $x_1=-7$ dan $x_2=-1$. Diketahui
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = -7+(-1)= – 8 \\ x_1x_2 & = -7(-1) = 7 \end{aligned}$
Persamaan kuadratnya berbentuk $x^2+\underbrace{8}_{\text{Salah}}x+7 = 0.$
Willy melakukan kesalahan pada koefisien $x$. Ini berarti, nilai $c= 7$.
Jadi, persamaan kuadrat yang sebenarnya berbentuk $\boxed{x^2-8x+7=0}.$
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat seperti berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{x^2-bx} {ax-c} & =\dfrac{m-1}{m+1} \\ (x^2-bx) (m+1) & = (ax-c) (m-1) \\ mx^2+x^2-bmx-bx  & = amx-ax-cm+c \\ (m+1)x^2-(bm+b+am-a)x + cm -c & = 0 \end{aligned}$$Misalkan akar persamaan kuadrat itu adalah $x_1$ dan $x_2$. Diketahui: $x_1 = -x_2$. Dengan kata lain, $x_1+x_2 = 0.$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} x_1+x_2 & = 0 \\ \dfrac{bm+b+am-a} {m+1} & = 0 \\ bm+am & = a-b \\ (a+b)m & = a-b \\ m & = \dfrac{a-b} {a+b}. \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{m = \dfrac{a-b} {a+b}}.$
(Jawaban C) 

Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki akar yang rasional, diskriminannya haruslah berupa bilangan kuadrat dan juga positif. Ini dilihat dari rumus ABC:
$\boxed{x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}}$
di mana $D$ (diskriminan) yang menentukan rasional atau tidaknya akar-akar persamaan kuadrat. 
$\begin{aligned} D & = (-2)^2-4(1)(a-8) \\ & = 4 -4a + 32 \\ & = 36 -4a \end{aligned}$
Gunakan tabel berikut untuk mengorelasikan nilai $a$ dan $D$. 
$\begin{array} {|c|c|} \hline a & D = 36-4a \\ \hline 0 & 36 \\ 1 & 32 \\ 2 & 28 \\ 3 & 24 \\ 4 & 20 \\ 5 & 16 \\ 6 & 12 \\ 7 & 8 \\ 8 & 4 \\ 9 & 0 \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, tampak bahwa nilai $a$ yang membuat $D$ bilangan kuadrat adalah $0, 5, 8$, dan $9$. Jadi, himpunan nilai $a$ yang dimaksud adalah $\{0,5,8,9\}.$
(Jawaban E)

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} & = \dfrac{7}{10} \\ \dfrac{a+b} {ab} & = \dfrac{7}{10} \end{aligned}$
Dari persamaan di atas, diperoleh kesimpulan bahwa jumlah akarnya adalah $a+b = 7k$ dan hasil kali kedua akarnya adalah $ab = 10k$ untuk $k \in \mathbb{R}$.
Persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
$\begin{aligned} & x^2-(a+b)x+ab = 0 \\ & \Rightarrow x^2-7kx + 10k = 0 \end{aligned}$
Misalkan diambil $k = 1$, berarti diperoleh $\boxed{x^2-7x+10=0}$ yang merupakan salah satu persamaan kuadrat yang memenuhi syarat tersebut.
(Jawaban D)

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $\underbrace{1}_{a}x^2\underbrace{-6}_{b}x\underbrace{+q}_{c}=0$ adalah $m$ dan $n$, dengan $m, n \in \mathbb{Z}^+$, sehingga
$\begin{aligned} m + n & = -\dfrac{b}{a} = 6 \\ mn & = \dfrac{c}{a} =  q. \end{aligned}$
Pasangan $(m, n)$ yang memenuhi $m + n = 6$ adalah $(1, 5), (2, 4)$, dan $(3, 3)$ tanpa perlu memperhatikan urutannya (karena akan disubstitusikan dalam persamaan $mn = q$ dan perlu diperhatikan bahwa perkalian bersifat komutatif).
Nilai $q$ yang mungkin didaftar pada tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline m & n & mn = q \\ \hline 1 & 5 & 5 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 3 & 9 \\ \hline \end{array}$
Jumlah nilai $q$ adalah $\boxed{5 + 8 + 9 = 22}.$
(Jawaban E)

Dari syarat $x_1 < 1$ dan $x_2 > 1$, dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat $f(x) = x^2 + ax + (a-1)$ yang terbuka ke atas ini akan berada di bawah sumbu $Y$ (nilai fungsinya negatif) saat $x = 1$. Untuk itu,
$1^2 + a(1) + (a-1) < 0 \Leftrightarrow a < 0.$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a < 0}.$
(Jawaban D)

Kalikan kedua ruas persamaan itu dengan $4$ sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} 4(\dfrac{1}{4}x^2 + bx + a) & = 4(0) \\ x^2 + 4bx + 4a & = 0. \end{aligned}$
Karena $2$ merupakan satu-satunya persamaan kuadrat itu, maka dapat ditulis $(x-2)^2 = 0$, atau $x^2-4x + 4 = 0.$
Dengan membandingkannya pada persamaan $x^2 + 4bx + 4a = 0$, diperoleh $4b = -4 \Rightarrow b = -1$ dan $4a = 4 \Rightarrow a = 1$.
Jadi, nilai $\boxed{a + b = 1 + (-1) = 0}.$
(Jawaban C)

Pada persamaan $x^2-px+20=0$, konstanta $20$ diperoleh dengan mengalikan dua bilangan. Dengan try & error (coba-coba), kita misalkan bilangan itu adalah $-1$ dan $-20$ sehingga bentuk pemfaktorannya adalah $(x+1)(x+20) = 0.$ dan akibatnya $x1+x2 = -1 + (-20) = -21 = p.$
Substitusi $p = -21$ ke persamaan $x^2-20x+p=0$ sehingga diperoleh $x^2-20x-21 = (x-21)(x+1) = 0.$ Pilih $x = -1$ sebagai nilai $x$ yang memenuhi kedua persamaan kuadrat tersebut. Jadi, nilai $\boxed{x+p = -1+(-21) = -22}.$
(Jawaban D)

Diketahui $x^2+ax+(a-1)=0$. Misalkan akar-akarnya adalah $m$ dan $n$ sehingga
$\begin{aligned} m+n & =-a \\ mn & = a-1 \end{aligned}$
Jumlah lawan dari kebalikan akar-akarnya selanjutnya dinyatakan sebagai berikut.
$-\dfrac{1}{m} -\dfrac{1}{n} = \dfrac45$
Ubah bentuk yang ada seperti berikut.
$\begin{aligned} -\dfrac{m+n}{mn} & = \dfrac45 \\ -\dfrac{-a}{a-1} & = \dfrac45 \\ 5a & = 4a-4 \\ a & =-4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-4}.$
(Jawaban B)

Persamaan kuadrat haruslah berbentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan $a, b, c \in \mathbb{R}$ dan $a \neq 0$.
Jawaban a)
Persamaan kuadrat dengan $b = 0$ (variabel $x$ tidak ada).
Jawaban b)
Bukan persamaan kuadrat, karena terdapat variabel berpangkat $3$.
Jawaban c)
Bukan persamaan kuadrat, karena tidak terdapat variabel berpangkat $2$. Dengan kata lain, $a = 0$.
Jawaban d) Persamaan kuadrat.
Jawaban e)
Bukan persamaan kuadrat, karena terdapat variabel di bawah tanda akar.
Jawaban f)
Bukan persamaan kuadrat, karena terdapat bentuk $\dfrac{1}{x}$.

Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ ditentukan oleh $D = b^2-4ac$.
Jawaban a) Diketahui $a = 1, b = 8$, dan $c=7$.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= 8^2-4(1)(7) \\ & = 64-28 = 36 \end{aligned}$
Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{36}.$
Jawaban b) Diketahui $a = 1, b = -5$, dan $c=6$.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= (-5)^2-4(1)(6) \\ & = 25-24 = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{1}.$
Jawaban c) Diketahui $a = 1, b = 0$, dan $c=-9$.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= 0^2-4(1)(-9) \\ & = 0+36 = 36 \end{aligned}$
Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{36}.$
Jawaban d) Diketahui $a = 2, b = -7$, dan $c=0$.
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= (-7)^2-4(2)(0) \\ & = 49-0=49 \end{aligned}$
Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{49}.$
Jawaban e) Ubah menjadi bentuk umum persamaan kuadrat: $3x^2+\sqrt{3}x-12=0$
Diketahui $a = 3, b = \sqrt{3}$, dan $c=-12$
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ &= (\sqrt{3})^2-4(3)(-12) \\ & = 3+144 = 147 \end{aligned}$
Jadi, nilai diskriminannya adalah $\boxed{147}.$

Diketahui $x^2+x-3=0$.
Jumlah akar, hasil kali akar, dan selisih akar dari persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned}  \alpha + \beta & = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{1}{1} = -1 \\ \alpha \beta & = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-3}{1} = -3 \\ \alpha -\beta & = \dfrac{\sqrt{D}}{a} = \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{a} \\ &  = \dfrac{\sqrt{(1)^2-4(1)(-3)}}{1} \\ & = \sqrt{1 +12}=\sqrt{13}  \end{aligned}$
Jawaban a)
$\begin{aligned} \alpha^2 + \beta^2 & = (\alpha + \beta)^2 -2\alpha \beta \\ & = (-1)^2 – 2(-3) \\ & = 1+6 = 7 \end{aligned}$
Jawaban b)
$\begin{aligned} \alpha^2 \beta^2 & = (\alpha \beta)^2 \\ & = (-3)^2 = 9 \end{aligned}$
Jawaban c)
$\begin{aligned} \alpha^2 -\beta^2 & = (\alpha + \beta)(\alpha-\beta) \\ & = (-1)(\sqrt{13}) = -\sqrt{13} \end{aligned}$
Jawaban d)
$\begin{aligned} \dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha} & = \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} \\ & = \dfrac{7}{-3} = -\dfrac73 \end{aligned}$

Diketahui $2x^2+3x-1=0$.
Jumlah akar dan hasil kali akar dari persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned} a + b & = -\dfrac{3}{2} \\ ab & = \dfrac{-1}{2} \end{aligned}$
Jawaban a)
Jumlah akar dari persamaan kuadrat baru itu adalah
$\begin{aligned} (a-2)+(b-2) & = (a+b)-4 \\ & = -\dfrac32-4 = -\dfrac{11}{2} \end{aligned}$
Hasil kali akar dari persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned} (a-2)(b-2) & = ab-2a-2b+4 \\ & = ab-2(a+b)+4 \\ & = -\dfrac12-2\left(-\dfrac32\right)+4 \\ & = -\dfrac12+3+4 \\ & = \dfrac{13}{2} \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat barunya dirumuskan oleh
$$\begin{aligned} x^2-(\text{jumlah_akar})x + \text{hasil_kali akar} & = 0  \\ x^2-\left(-\dfrac{11}{2}\right)x+\dfrac{13}{2} & = 0 \\ 2x^2+11x+13 & = 0 && (\text{Kali}~2) \end{aligned}$$
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah $(a-2)$ dan $(b-2)$ adalah $\boxed{2x^2+11x+13=0}.$
Jawaban b)
Jumlah akar dari persamaan kuadrat baru itu adalah
$\begin{aligned} & (a^2 b^2)+(a^2 + b^2) \\ & = (ab)^2+(a+b)^2-2ab \\ & = \left(-\dfrac12\right)^2+\left(-\dfrac32\right)^2-2 \cdot \left(-\dfrac12\right) \\ & = \dfrac14+\dfrac94+1 \\ & = \dfrac52+1= \dfrac72 \end{aligned}$
Hasil kali akar dari persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned} & (a^2 b^2)(a^2 + b^2) \\ & = (ab)^2((a+b)^2-2ab) \\ & = \left(-\dfrac12\right)^2\left(\left(-\dfrac32\right)^2-2\left(-\dfrac12\right)\right) \\ & = \dfrac14\left(\dfrac94+1\right) \\ & =\dfrac14\left(\dfrac{13}{4}\right) \\ & = \dfrac{13}{16}. \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat barunya dirumuskan oleh
$$\begin{aligned} x^2-(\text{jumlah_akar})x + \text{hasil_kali akar} & = 0 \\ x^2-\left(\dfrac{7}{2}\right)x+\dfrac{13}{16} & = 0 \\ 16x^2-56x+13 & = 0. && (\text{Kali}~16) \end{aligned}$$
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah $(a^2b^2)$ dan $(a^2+b^2)$ adalah $\boxed{16x^2-56x+13 = 0}.$

Diskriminan persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dirumuskan oleh $D=b^2-4ac$. Agar persamaan kuadrat $(a-1)x^2 -(2a+2)x -4 = 0$ memiliki akar-akar kembar (sama), maka haruslah
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ (-(2a+2))^2-4(a-1)(-4) & = 0 \\ (4a^2+8a+4)+16a-16 & = 0 \\ 4a^2+24a-12 & = 0 \\ a^2+6a-3 & = 0 \\ ((a+3)^2-9)-3 & = 0 \\ (a+3)^2 & =12 \\ a + 3 & = \pm \sqrt{12} \\ a + 3 & = \pm 2\sqrt{3} \\ a & = \pm 2\sqrt{3}-3 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang dimaksud adalah $\boxed{a=2\sqrt{3}-3}$ atau $\boxed{a=-2\sqrt{3}-3}.$