Soal dan Pembahasan – Persamaan Nilai Mutlak

        Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang memuat variabel di dalam tanda mutlak. Masalah muncul ketika ditanya penyelesaian persamaan nilai mutlak. Penyelesaian yang dimaksud di sini adalah nilai-nilai variabel yang membuat persamaan menjadi benar. Penyelesaian persamaan nilai mutlak dapat dilakukan dengan menerapkan definisi dan sejumlah sifat (teorema) nilai mutlak. Keterampilan aljabar dan logika (konjungtif-disjungtif) harus diasah untuk memahami materi ini dengan baik.

Baca : Soal dan Pembahasan – Perhitungan Nilai Mutlak

Baca : Soal dan Pembahasan – Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Berikut disediakan sejumlah soal & pembahasan terkait persamaan nilai mutlak untuk menambah pemahaman terhadap materi yang bersangkutan.

Quote by Abdurrahman Wahid 

Tidak penting apapun agama dan sukumu. Kalau kamu bisa melakukan sesuatu yang baik kepada semua orang, orang tidak akan pernah menanyakan apa agama dan sukumu itu.

Soal Nomor 1
Nilai $p$ yang memenuhi $|p| = 10$ adalah $\cdots \cdot$
A. $p = -10$
B. $p = -5$
C. $p = 10$
D. $p = 5$ atau $p = -5$
E. $p = 10$ atau $p = -10$

Pembahasan

Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$|p| = \begin{cases} p,&\text{jika}~p \geq 0 \\ -p,&\text{jika}~p < 0 \end{cases}$
Untuk $p \geq 0$, persamaan $|p| = 10$ dapat ditulis $p = 10$ (memenuhi syarat $p \geq 0$).
Untuk $p < 0$, persamaan $|p| = 10$ dapat ditulis $-p = 10 \Leftrightarrow p = -10$ (memenuhi syarat $p < 0$).
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p = 10$ atau $p=-10$.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $|3k| = 6$, maka nilai $k$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $k = -2$ atau $k=2$
B. $k=-3$ atau $k=3$
C. $k=-6$ atau $k=6$
D. $k=-2$
E. $k=-3$

Pembahasan

Sederhanakan persamaannya lebih dulu.
$\begin{aligned} |3k| & = 6 \\ 3|k| & = 6 \\ |k| & = 2 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$|k| = \begin{cases} k,&\text{jika}~k \geq 0 \\ -k,&\text{jika}~k < 0 \end{cases}$
Untuk $k \geq 0$, persamaan $|k| = 2$ dapat ditulis $k = 2$ (memenuhi syarat $k \geq 0$).
Untuk $k < 0$, persamaan $|k| = 2$ dapat ditulis $-k = 2 \Leftrightarrow k = -2$ (memenuhi syarat $k < 0$).
Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $k = -2$ atau $k=2$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Penyelesaian persamaan $|z+5| = 5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $z = 0$ atau $z = 10$
B. $z = 0$ atau $z=5$
C. $z=0$ atau $z=1$
D. $z=0$ atau $z=-5$
E. $z=0$ atau $z=-10$

Pembahasan

Diketahui $|z+5| = 5$.
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh

$\begin{aligned} z+5 & = 5 \\ z & = 0 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} z+5 & = -5 \\ z & = -10 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$

Jadi, nilai $z$ yang memenuhi adalah $z = 0$ atau $z = -10$.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Himpunan penyelesaian dari $|5x-6|-4=10$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{4, 1\dfrac35\right\}$                       D. $\{2\}$
B. $\left\{4, -1\dfrac35\right\}$                      E. $\{4\}$
C. $\left\{-1\dfrac35\right\}$

Pembahasan

Sederhanakan persamaannya lebih dulu.
$\begin{aligned} |5x-6|-4 & =10 \\ |5x-6| & = 14 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} 5x-6 & = 14 \\ 5x & = 20 \\ x & = 4 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 5x-6 & = -14 \\ 5x & = -8 \\ x & = -\dfrac85 = -1\dfrac35 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak tersebut adalah $\left\{4, -1\dfrac35\right\}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai $q$ yang memenuhi $|-6q-200| = 160$ adalah $\cdots \cdot$
A. $q = -60$ atau $q = -5\dfrac23$
B. $q=-60$ atau $q = -6\dfrac23$
C. $q=-60$ atau $q = 6\dfrac23$
D. $q=60$ atau $q = -6\dfrac23$
E. $q=60$ atau $q = 6\dfrac23$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & |-6q-200| = 160 \\ & \Leftrightarrow |(-1)(6q+200)| = 160 \\ & \Leftrightarrow |6q+200| = 160 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned}  6q+200 & = 160 \\ 6q & = -40 \\ q & = -\dfrac{40}{6} = -\dfrac{20}{3} = -6\dfrac23 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 6q+200 & = -160 \\ 6q & = -360 \\ q & = -60 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$

Jadi, nilai $q$ yang memenuhi persamaan nilai mutlak tersebut adalah $q = -60$ atau $q = -6\dfrac23$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Penyelesaian persamaan $|2x-3| = |-x|$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = \dfrac32$ atau $x=1$
B. $x=\dfrac32$ atau $x=3$
C. $x=-1$ atau $x=1$
D. $x=-1$ atau $x=3$
E. $x=1$ atau $x=3$

Pembahasan

Perhatikan bahwa persamaan di atas ekuivalen dengan $|2x-3| = |x|$.
Cara 1: Cara Plus Minus
Dari persamaan $|2x-3| = |x|$, diperoleh
$\begin{aligned} 2x-3 & = x \\ x & = 3 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 2x-3 & = -x \\ 3x & = 3 \\ x & = 1 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Cara 2: Menguadratkan Kedua Ruas
Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh

$$\begin{aligned} |2x-3| & = |x| \\ (2x-3)^2 & = (x)^2 \\ (2x-3)^2-(x)^2 & = 0 \\ (2x-3+x)(2x-3-x) & = 0 && (a^2-b^2 = (a+b)(a-b)) \\ (3x-3)(x-3) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $3x-3 = 0 \Leftrightarrow x=1$ atau $x-3 = 0 \Leftrightarrow x=3$.
Jadi, penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $x=1$ atau $x=3$.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Penyelesaian persamaan $|x+7|^2-3|x+7|-4 = 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-11$ atau $x=-4$
B. $x=-11$ atau $x=-3$
C. $x=-4$ atau $x=-3$
D. $x=3$ atau $x=11$
E. $x=3$ atau $x=11$

Pembahasan

Misalkan $|x+7| = a$. Persamaan nilai mutlak di atas sekarang dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} a^2-3a-4 & = 0 \\ (a-4)(a+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 4$ atau $a = -1$.
Kemungkinan 1:
Karena $a = |x+7|$, maka $|x+7|=4$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak,
$\begin{aligned} x+7 & = 4 \\ x & = -3 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} x+7 & = -4 \\ x & = -11 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$

Kemungkinan 2:
Karena $a = |x+7|$, maka $|x+7|=-1$.
Persamaan itu jelas tidak memiliki penyelesaian karena nilai mutlak dari suatu bilangan tidak mungkin bernilai negatif.
Jadi, penyelesaian persamaan $|x+7|^2-3|x+7|-4 = 0$ adalah $\boxed{x = -11}$ atau $\boxed{x = -3}$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Himpunan penyelesaian $|x-7|-|x-2| = 3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{-6\}$                       D. $\{-6, -3\}$
B. $\{-3\}$                       E. $\{-6, 3\}$
C. $\{3\}$

Pembahasan

Diketahui $|x-7|-|x-2| = 3$.
Cari nilai $x$ dengan kemungkinan-kemungkinan berikut.
Kemungkinan 1:
Jika $x-7 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 7$, maka $|x-7| = x-7$.
Jika $x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$, maka $|x-2| = x-2$.
Hasil irisannya menjadi $x \geq 7$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} |x-7|-|x-2| & = 3 \\ \Rightarrow (x-7)-(x-2) & = 3 \\ -5 & = 3~~(\text{X}) \end{aligned}$
Tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Kemungkinan 2:
Jika $x-7 < 0 \Leftrightarrow x < 7$, maka $|x-7| = -(x-7) = -x+7$.
Jika $x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$, maka $|x-2| = x-2$.
Hasil irisannya menjadi $2 \leq x < 7$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} |x-7|-|x-2| & = 3 \\ \Rightarrow (-x+7)-(x-2) & = 3 \\ -2x+9 & = 3 \\ -2x & = -6 \\ x & = -3 && (\bigstar) \end{aligned}$
Kemungkinan 3:
Jika $x-7 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 7$, maka $|x-7| = x-7$.
Jika $x-2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$, maka $|x-2| = -(x-2) =-x+2$.
Hasil irisannya menjadi $\emptyset$ (tidak ada bilangan yang lebih besar atau sama dengan $7$, sekaligus kurang dari $2$).
Kemungkinan 4:
Jika $x-7 < 0 \Leftrightarrow x < 7$, maka $|x-7| = -(x-7)=-x+7$.
Jika $x-2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$, maka $|x-2| = -(x-2) =-x+2$.
Hasil irisannya menjadi $x<2$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} |x-7|-|x-2| & = 3 \\ \Rightarrow (-x+7)-(-x+2) & = 3 \\ 5 & = 3~~(\text{X}) \end{aligned}$
Tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian $|x-7|-|x-2| = 3$ adalah $\boxed{\{-3\}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Himpunan penyelesaian mewakili nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{-3, -\dfrac73\right\}$
B. $\left\{-\dfrac73, \dfrac75\right\}$
C. $\left\{-\dfrac73, 3\right\}$
D. $\left\{-\dfrac73, \dfrac13, \dfrac75, 3\right\}$
E. $\left\{-3, -\dfrac73, \dfrac13, \dfrac75\right\}$

Pembahasan

Diketahui $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |3x-2| & = \begin{cases} 3x-2,&\text{jika}~3x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac23 && (1) \\ -3x+2,&\text{jika}~3x-2<0 \Leftrightarrow x<\dfrac23 && (2) \end{cases} \\ |x-3| & = \begin{cases} x-3,&\text{jika}~x-3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3 && (3) \\ x-3,&\text{jika}~x-3<0 \Leftrightarrow x<3 && (4) \end{cases} \\ |x+2| & = \begin{cases} x+2,&\text{jika}~x+2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 && (5) \\ x+2,&\text{jika}~x+2<0 \Leftrightarrow x<-2 && (6) \end{cases} \end{aligned}$$Gunakan garis bilangan untuk menentukan $4$ daerah yang berpotensi menjadi himpunan penyelesaian (dibatasi oleh $x = \frac23, x = -2, x = 3$).

Daerah I:

Untuk $x < -2$, gunakan $(2), (4)$, dan $(6)$. Persamaan $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (-3x+2)-(-x+3) & = 4-(-x-2) \\ -2x-1 & = x+6 \\ -3x & = 7 \\ x & = -\dfrac73 \end{aligned}$
Nilai $x = -\dfrac73$ memenuhi syarat $x < -2$ sehingga akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah II:
Untuk $-2 \leq x < \dfrac23$, gunakan $(2), (4)$, dan $(5)$.
Persamaan $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (-3x+2)-(-x+3) & = 4-(x+2) \\ -2x-1 & = -x+2\\ -x & = 3 \\ x & = -3 \end{aligned}$
Nilai $x = -3$ tidak memenuhi syarat $-2 \leq x < \dfrac23$ sehingga tidak akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah III:
Untuk $\dfrac23 \leq x < 3$, gunakan $(1), (4)$, dan $(5)$.
Persamaan $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (3x-2)-(-x+3) & = 4-(x+2) \\ 4x-5 & = -x+2 \\ 5x & = 7 \\ x & = \dfrac75 \end{aligned}$
Nilai $x = \dfrac75$ memenuhi syarat $\dfrac23 \leq x < 3$ sehingga akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah IV:
Untuk $x \geq 3$, gunakan $(1), (3)$, dan $(5)$.
Persamaan $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (3x-2)-(x-3) & = 4-(x+2) \\ 2x+1 & = -x+2 \\ 3x & = 1 \\ x & = \dfrac13 \end{aligned}$
Nilai $x = \dfrac13$ tidak memenuhi syarat $x \geq 3$ sehingga tidak akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalH $\boxed{\left\{-\dfrac73, \dfrac75\right\}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|3x+2|+4x = 6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = \dfrac47$ atau $x = 8$
B. $x = \dfrac47$ atau $x = -8$
C. $x = -\dfrac47$ atau $x = 9$
D. $x = \dfrac47$
E. $x = 8$

Pembahasan

Diketahui $|3x+2|+4x = 6$.
Jika $3x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac23$, maka $|3x+2| = 3x+2$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |3x+2|+4x & = 6 \\ \Rightarrow (3x+2)+4x & = 6 \\ 7x & = 4 \\ x & = \dfrac47 && (\bigstar) \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x \geq -\frac23$).
Jika $3x + 2 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac23$, maka $|3x+2| = -3x-2$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |3x+2|+4x & = 6 \\ \Rightarrow (-3x-2)+4x & = 6 \\x & = 8 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x < -\frac23$).
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|3x+2|+4x = 6$ adalah $x = \dfrac47$ atau $x=8$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $|x^2-4| = x + |x-2|$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$         B. $1$         C. $2$          D. $3$          E. $4$

Pembahasan

Diketahui $|x^2-4| = x+|x-2|$.
Persamaan ini ekuivalen dengan
$|x-2| \cdot |x+2| = x+|x-2|$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} |x-2| & = \begin{cases} x-2, &~\text{jika}~x \geq 2 \\ -x+2, &~\text{jika}~x < 2 \end{cases} \\ |x+2| & = \begin{cases} x+2, &~\text{jika}~x \geq -2 \\ -x-2, &~\text{jika}~x < -2 \end{cases} \end{aligned}$
Kasus 1:
Misalkan $x < -2$, maka persamaan $|x-2| \cdot |x+2| = x+|x-2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (-x+2) \cdot (-x-2) & = x + (-x + 2) \\ x^2+2x-2x-4 & = 2 \\ x^2 & = 6 \\ x & = \pm \sqrt6 \end{aligned}$
Pilih $\color{red}{x = -\sqrt6}$ karena memenuhi syarat $x < -2$.
Kasus 2:
Misalkan $-2 \leq x < 2$, maka persamaan $|x-2| \cdot |x+2| = x+|x-2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (-x+2) \cdot (x+2) & = x + (-x + 2) \\ -x^2-2x+2x+4 & = 2 \\ x^2 & = 2 \\ x & = \pm \sqrt2 \end{aligned}$
Pilih $\color{red}{x = \pm \sqrt2}$ karena keduanya memenuhi syarat $-2 \leq x < 2$.
Kasus 3:
Misalkan $x \geq 2$, maka persamaan $|x-2| \cdot |x+2| = x+|x-2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (x-2) \cdot (x+2) & = x + (x-2) \\ x^2+2x-2x-4 & = 2x-2 \\ x^2-2x-2 & = 0 \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus ABC), diperoleh
$\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{2 \pm \sqrt{4-4(1)(-2)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ & = 1 \pm \sqrt3 \end{aligned}$
Pilih $\color{red}{x = 1+\sqrt3}$ karena memenuhi syarat $x \geq 2$.
Jadi, ada $4$ bilangan real yang memenuhi persamaan nilai mutlak tersebut.
(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 12
Tentukan penyelesaian persamaan berikut.
a. $|m+4|-2|-4| = 3$
b. $|8-2n| = \left|\dfrac{3n-5}{-5}\right|$
c. $10 -4|4-5p| = -26$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $|m+4|-2|-4| = 3$.
Persamaan di atas dapat disederhanakan seperti berikut.
$\begin{aligned} |m+4|-2|-4| & = 3 \\ |m+4|-2(4) & = 3 \\ |m+4| & = 11 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$m + 4 = 11 \Leftrightarrow m = 7$
atau
$m + 4 = -11 \Leftrightarrow m = -15$
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah $m=7$ atau $m=-15$.
Jawaban b)
Diketahui $|8-2n| = \left|\dfrac{3n-5}{-5}\right|$.
Persamaan di atas dapat disederhanakan seperti berikut.
$\begin{aligned} |8-2n| & = \left|\dfrac{3n-5}{-5}\right| \\ |8-2n| & = \dfrac{|3n-5|}{5} \\ 5|8-2n| & = |3n-5| \\ |40-10n| & = |3n-5| \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} 40-10n & = 3n-5 \\ -10n-3n & = -5-40 \\ -13n & = -45 \\ n & = \dfrac{45}{13} && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 40-10n & = -(3n-5) \\ 40-10n & = -3n+5 \\ -10n+3n & = 5-40 \\ -7n & = -35 \\ n & = 5 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah $n = \dfrac{45}{13}$ atau $n=5$.
Jawaban c)
Diketahui $10 -4|4-5p| = -26$.
Persamaan di atas dapat disederhanakan seperti berikut.
$\begin{aligned} 10 -4|4-5p| & = -26 \\ -4|4-5p| & = -36 \\ |4-5p| & = 9 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} 4-5p & = 9 \\ -5p & = 5 \\ p & = -1 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 4-5p & = -9 \\ -5p & = -13 \\ p & = \dfrac{13}{5} && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah $p = -1$ atau $p = \dfrac{13}{5}$.

[collapse]

Soal Nomor 13
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan berikut.
a. $|6x-12| = |x+8|$
b. $|3x+8| = |4-2x|$
c. $|5x-8| -|13-2x| = 0$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $|6x-12| = |x+8|$.
Cara 1: Cara Plus Minus
$\begin{aligned} 6x-12 & = x+8 \\ 6x-x & = 8+12 \\ 5x & = 20 \\ x & = 4 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 6x-12 & = -(x+8) \\ 6x-12 & = -x-8 \\ 7x & = 4 \\ x & = \dfrac47 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$

Cara 2: Menguadratkan Kedua Ruas
Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh
$$\begin{aligned} (6x-12)^2 & = (x+8)^2 \\ (6x-12)^2-(x+8)^2 & = 0 \\ (\color{blue}{(6x-12)}+\color{red}{(x+8)})(\color{blue}{(6x-12)}-\color{red}{(x+8)}) & = 0 && (a^2-b^2 = (a+b)(a-b)) \\ (7x-4)(5x-20) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $7x-4 = 0 \Leftrightarrow x=\dfrac47$ atau $5x-20= 0 \Leftrightarrow x=4$.
Jadi, penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $x=\dfrac47$ atau $x=4$.
Jawaban b)
Diketahui $|3x+8| = |4-2x|$.
Cara 1: Cara Plus Minus
$\begin{aligned} 3x+8 & = 4-2x \\ 3x+2x & = 4-8 \\ 5x & = -4 \\ x & = -\dfrac45 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 3x+8 & = -(4-2x) \\ 3x+8 & = -4+2x \\ 3x-2x & = -4-8 \\ x & = -12 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Cara 2: Menguadratkan Kedua Ruas

Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh
$$\begin{aligned} (3x+8)^2 & = (4-2x)^2 \\ (3x+8)^2-(4-2x)^2 & = 0 \\ (\color{blue}{(3x+8)}+\color{red}{(4-2x)})(\color{blue}{(3x+8)}-\color{red}{(4-2x)}) & = 0 && (a^2-b^2 = (a+b)(a-b)) \\ (x+12)(5x+4) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $x+12= 0 \Leftrightarrow x=-12$ atau $5x+4= 0 \Leftrightarrow x=-\dfrac45$.
Jadi, penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $x=-12$ atau $x=-\dfrac45$.
Jawaban c)
Diketahui $|5x-8| -|13-2x| = 0$. Persamaan ekuivalen dengan $|5x-8| = |13-2x|$.
Cara 1: Cara Plus Minus
$\begin{aligned} 5x-8 & = 13-2x \\ 5x+2x & = 13+8 \\ 7x & = 21 \\ x & = 3  && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 5x-8 & = -(13-2x) \\ 5x-8 & = -13+2x \\ 5x-2x & = -13+8 \\ 3x & = -5 \\ x & = -\dfrac53 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Cara 2: Menguadratkan Kedua Ruas

Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh
$$\begin{aligned} (5x-8)^2 & = (13-2x)^2 \\ (5x-8)^2-(13-2x)^2 & = 0 \\ (\color{blue}{(5x-8)}+\color{red}{(13-2x)})(\color{blue}{(5x-8)}-\color{red}{(13-2x)}) & = 0 && (a^2-b^2 = (a+b)(a-b)) \\ (3x+5)(7x-21) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $3x+5= 0 \Leftrightarrow x=-\dfrac53$ atau $7x-21= 0 \Leftrightarrow x= 3$.
Jadi, penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $x=-\dfrac53$ atau $x= 3$. 

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan penyelesaian persamaan berikut.
a. $|5 -|2-x|-1| = 3$
b. $|4x+1|^2 -5|4x+1|+6 = 0$

Pembahasan

Jawaban b)
Misalkan $|4x+1| = a$. Persamaan nilai mutlak di atas sekarang dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} a^2-5a+6 & = 0 \\ (a-2)(a-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 2$ atau $a = 3$.
Kemungkinan 1:
Karena $a = |4x+1|$, maka $|4x+1|=2$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak,
$$|4x+1| = \begin{cases} 4x+1, &\text{jika}~4x+1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac14 \\ -(4x+1),&\text{jika}~4x+1 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac14 \end{cases}$$Untuk $x \geq -\dfrac14$, diperoleh
$\begin{aligned} 4x+1 & = 2 \\ 4x & = 1 \\ x & = \boxed{\dfrac14} \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x \geq -\frac14$)
Untuk $x < \dfrac14$, diperoleh
$\begin{aligned} -(4x+1) & = 2 \\ 4x+1 & = -2 \\ 4x & = -3 \\ x & = \boxed{-\dfrac34} \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x < -\frac14$)
Kemungkinan 2:
Karena $a = |4x+1|$, maka $|4x+1|=3$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak,
$$|4x+1| = \begin{cases} 4x+1, &\text{jika}~4x+1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac14 \\ -(4x+1),&\text{jika}~4x+1 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac14 \end{cases}$$Untuk $x \geq -\dfrac14$, diperoleh
$\begin{aligned} 4x+1 & = 3 \\ 4x & = 2 \\ x & = \boxed{\dfrac12} \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x \geq -\frac14$)
Untuk $x < \dfrac14$, diperoleh
$\begin{aligned} -(4x+1) & = 3 \\ 4x+1 & = -3 \\ 4x & = -4 \\ x & = \boxed{-1} \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x < -\frac14$)
Jadi, penyelesaian persamaan $|4x+1|^2 -5|4x+1|+6 = 0$ adalah
$\boxed{x = -1, x = -\dfrac34, x = \dfrac14, ~\text{atau}~x = \dfrac12}$.

[collapse]

Soal Nomor 15
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut.
a. $|8-2x| + x-5 = 0$
b. $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $|8-2x| + x-5 = 0$.
Jika $8-2x \geq 0 \Leftrightarrow -2x \geq -8 \Leftrightarrow x \leq 4$, maka $|8-2x| = 8-2x$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |8-2x| + x-5 & = 0 \\ \Rightarrow (8-2x)+x-5 & = 0 \\ -x & = -3 \\ x & = 3 && (\bigstar) \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x \leq 4$).
Jika $8-2x < 0 \Leftrightarrow -2x < -8 \Leftrightarrow x > 4$, maka $|8-2x| = 2x-8$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |8-2x| + x-5 & = 0 \\ \Rightarrow (2x-8)+x-5 & = 0 \\ 3x & = 13 \\ x & = \dfrac{13}{3} && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x > 4$).
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan $|8-2x| + x-5 = 0$ adalah $\boxed{\left\{\dfrac47, 8\right\}}$.
Jawaban b)
Diketahui $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |3x-5| & = \begin{cases} 3x-5,&\text{jika}~3x-5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac53 && (1) \\ -3x+5,&\text{jika}~3x-5<0 \Leftrightarrow x<\dfrac53 && (2) \end{cases} \\ |10x-2| & = \begin{cases} 10x-2,&\text{jika}~10x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac15 && (3) \\ -10x+2,&\text{jika}~10x-2<0 \Leftrightarrow x<\dfrac15 && (4) \end{cases} \\ |2x-8| & = \begin{cases} 2x-8,&\text{jika}~2x-8 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4 && (5) \\ -2x+8,&\text{jika}~2x-8<0 \Leftrightarrow x<4 && (6) \end{cases} \end{aligned}$$Gunakan garis bilangan untuk menentukan $4$ daerah yang berpotensi menjadi himpunan penyelesaian (dibatasi oleh $x = \frac15, x = \frac53, x = 4$).
Daerah I:
Untuk $x < \dfrac15$, gunakan $(2), (4)$, dan $(6)$. Persamaan $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (-3x+5)-(-10x+2)+(-2x+8) & = 0 \\ (-3x+10x-2x)+(5-2+8) & = 0 \\ 5x & = -11 \\ x & = -\dfrac{11}{5} \end{aligned}$$Nilai $x = -\dfrac{11}{5}$ memenuhi syarat $x < \dfrac15$ sehingga akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah II:
Untuk $\dfrac15 \leq x < \dfrac53$, gunakan $(2), (3)$, dan $(6)$.
Persamaan $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (-3x+5)-(10x-2)+(-2x+8) & = 0 \\ (-3x-10x-2x)+(5+2+8) & = 0 \\ -15x & = -15 \\ x & = 1 \end{aligned}$$Nilai $x = 1$ memenuhi syarat $\dfrac15 \leq x < \dfrac53$ sehingga akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah III:
Untuk $\dfrac53 \leq x < 4$, gunakan $(1), (3)$, dan $(6)$.
Persamaan $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (3x-5)-(10x-2)+(-2x+8) & = 0 \\ (3x-10x-2x)+(-5+2+8) & = 0 \\ -9x & = -5 \\ x & = \dfrac{5}{9} \end{aligned}$
Nilai $x = \dfrac{5}{9}$ tidak memenuhi syarat $\dfrac53 \leq x < 4$ sehingga tidak akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah IV:
Untuk $x \geq 4$, gunakan $(1), (3)$, dan $(5)$.
Persamaan $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (3x-5)-(10x-2)+(2x-8) & = 0 \\ (3x-10x+2x)+(-5+2-8) & = 0 \\ -5x & = 11 \\ x & = -\dfrac{11}{5} \end{aligned}$
Nilai $x = -\dfrac{11}{5}$ tidak memenuhi syarat $x \geq 4$ sehingga tidak akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $\boxed{\left\{-\dfrac{11}{5}, 1 \right\}}$

[collapse]

Soal Nomor 16
Suatu persegi panjang mempunyai ukuran panjang $|3-5x|$ cm dan lebar $8$ cm. Jika luas persegi panjang tersebut adalah $136$ cm2, tentukan nilai $x$ yang memenuhi.

Pembahasan

Dengan menggunakan rumus luas persegi panjang, diperoleh persamaan nilai mutlak berikut.
$\begin{aligned} |3x-5| \cdot 8 & = 136 \\ |3x-5| & = 17 \end{aligned}$
Persamaan di atas memberikan
$\begin{aligned} 3x-5 & = 17 \\ 3x & = 22 \\ x & = \dfrac{22}{3} = 7\dfrac13 \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 3x-5 & = -17 \\ 3x & = -12 \\ x & = -4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = -4$ atau $x = 7\dfrac13$.

[collapse]

Soal Nomor 17
Jika $|a|$ dan $|b|$ adalah bilangan real, maka $|a + b| = |a| + |b|$.
Apakah pernyataan di atas selalu benar, kadang-kadang benar, atau tidak pernah benar? Berilah alasan atas jawaban Anda.

Pembahasan

Pernyataan tersebut kadang-kadang benar.
Persamaan nilai mutlak $|a+b| = |a| + |b|$ berlaku hanya ketika $a$ dan $b$ keduanya bertanda sama (sama-sama negatif atau sama-sama positif). Bila salah satu bernilai negatif, sedangkan yang lain bernilai positif, maka persamaan bernilai salah.
Sebagai contoh, ambil $a = -3$ dan $b = 2$. Dengan demikian,
$(|-3 + 2| = |-1| = 1)$ $\neq (|-3| + |2| = 3 + 2 = 5)$

[collapse]

Soal Nomor 18 ($\bigstar$)
Jika $|x|+x+y=10$ dan $x+|y|-y=12$, maka $x + y = \cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{cases} |x|+x+y & =10 && (\cdots 1) \\ x+|y|-y&=12 && (\cdots 2) \end{cases}$
Uji nilai $x$ dan $y$ pada setiap kuadran.
Kuadran I
Diketahui $|x|=x$ dan $|y|=y$.
Diperoleh
$x+x+y = 10 \Leftrightarrow 2x+y=10$
$x+y-y=12 \Leftrightarrow x = 12$
Substitusi $x=12$ pada $2x+y=10$ untuk memperoleh $y = -14$.
Nilai $x$ dan $y$ tidak memenuhi kuadran I karena $y$ bernilai negatif.
Kuadran II
Diketahui $|x|=-x$ dan $|y|=y$.
Diperoleh
$-x+x+y = 10 \Leftrightarrow y=10$
$x+y-y=12 \Leftrightarrow x=12$
Nilai $x$ dan $y$ tidak memenuhi kuadran II karena $x$ bernilai positif.
Kuadran III
Diketahui $|x|=-x$ dan $|y|=-y$.
Diperoleh
$-x+x+y = 10 \Leftrightarrow y=10$
$x-y-y=12 \Leftrightarrow x-2y=12$
Substitusi $y=10$ pada $x-2y=12$ untuk memperoleh $x=32$.
Nilai $x$ dan $y$ tidak memenuhi kuadran III karena $x, y$ bernilai positif.
Kuadran IV
Diketahui $|x|=x$ dan $|y|=-y$.
Diperoleh
$x+x+y = 10 \Leftrightarrow 2x+y=10$
$x-y-y=12 \Leftrightarrow x-2y=12$
Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) $\begin{cases} 2x+y=10 \\ x-2y=12 \end{cases}$ memiliki penyelesaian $x = \dfrac{32}{5}$ dan $y=-\dfrac{14}{5}$.
Nilai $x$ dan $y$ memenuhi kuadran IV.
Jadi, nilai dari $x+y$ adalah
$\boxed{x + y = \dfrac{32}{5} + \left(-\dfrac{14}{5}\right) = \dfrac{18}{5}}$

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Nilai Mutlak

CategoriesAljabar, Nilai MutlakTags, ,