Soal dan Pembahasan – Persamaan Nilai Mutlak

        Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang memuat variabel di dalam tanda mutlak. Masalah muncul ketika ditanya penyelesaian persamaan nilai mutlak. Penyelesaian yang dimaksud di sini adalah nilai-nilai variabel yang membuat persamaan menjadi benar. Penyelesaian persamaan nilai mutlak dapat dilakukan dengan menerapkan definisi dan sejumlah sifat (teorema) nilai mutlak. Keterampilan aljabar dan logika (konjungtif-disjungtif) harus diasah untuk memahami materi ini dengan baik.

Baca : Soal dan Pembahasan – Perhitungan Nilai Mutlak

Baca : Soal dan Pembahasan – Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Berikut disediakan sejumlah soal & pembahasan terkait persamaan nilai mutlak untuk menambah pemahaman terhadap materi yang bersangkutan.

Quote by Abdurrahman Wahid 

Tidak penting apapun agama dan sukumu. Kalau kamu bisa melakukan sesuatu yang baik kepada semua orang, orang tidak akan pernah menanyakan apa agama dan sukumu itu.

Soal Nomor 1
Nilai $p$ yang memenuhi $|p| = 10$ adalah $\cdots \cdot$
A. $p = -10$
B. $p = -5$
C. $p = 10$
D. $p = 5$ atau $p = -5$
E. $p = 10$ atau $p = -10$

Penyelesaian

Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$|p| = \begin{cases} p,&\text{jika}~p \geq 0 \\ -p,&\text{jika}~p < 0 \end{cases}$
Untuk $p \geq 0$, persamaan $|p| = 10$ dapat ditulis $p = 10$ (memenuhi syarat $p \geq 0$).
Untuk $p < 0$, persamaan $|p| = 10$ dapat ditulis $-p = 10 \Leftrightarrow p = -10$ (memenuhi syarat $p < 0$).
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p = 10$ atau $p=-10$.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $|3k| = 6$, maka nilai $k$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $k = -2$ atau $k=2$
B. $k=-3$ atau $k=3$
C. $k=-6$ atau $k=6$
D. $k=-2$
E. $k=-3$

Penyelesaian

Sederhanakan persamaannya lebih dulu.
$\begin{aligned} |3k| & = 6 \\ 3|k| & = 6 \\ |k| & = 2 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$|k| = \begin{cases} k,&\text{jika}~k \geq 0 \\ -k,&\text{jika}~k < 0 \end{cases}$
Untuk $k \geq 0$, persamaan $|k| = 2$ dapat ditulis $k = 2$ (memenuhi syarat $k \geq 0$).
Untuk $k < 0$, persamaan $|k| = 2$ dapat ditulis $-k = 2 \Leftrightarrow k = -2$ (memenuhi syarat $k < 0$).
Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $k = -2$ atau $k=2$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Penyelesaian persamaan $|z+5| = 5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $z = 0$ atau $z = 10$
B. $z = 0$ atau $z=5$
C. $z=0$ atau $z=1$
D. $z=0$ atau $z=-5$
E. $z=0$ atau $z=-10$

Penyelesaian

Diketahui $|z+5| = 5$.
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh

$\begin{aligned} z+5 & = 5 \\ z & = 0 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} z+5 & = -5 \\ z & = -10 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$

Jadi, nilai $z$ yang memenuhi adalah $z = 0$ atau $z = -10$.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Himpunan penyelesaian dari $|5x-6|-4=10$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{4, 1\dfrac35\right\}$                       D. $\{2\}$
B. $\left\{4, -1\dfrac35\right\}$                      E. $\{4\}$
C. $\left\{-1\dfrac35\right\}$

Penyelesaian

Sederhanakan persamaannya lebih dulu.
$\begin{aligned} |5x-6|-4 & =10 \\ |5x-6| & = 14 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} 5x-6 & = 14 \\ 5x & = 20 \\ x & = 4 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 5x-6 & = -14 \\ 5x & = -8 \\ x & = -\dfrac85 = -1\dfrac35 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak tersebut adalah $\left\{4, -1\dfrac35\right\}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai $q$ yang memenuhi $|-6q-200| = 160$ adalah $\cdots \cdot$
A. $q = -60$ atau $q = -5\dfrac23$
B. $q=-60$ atau $q = -6\dfrac23$
C. $q=-60$ atau $q = 6\dfrac23$
D. $q=60$ atau $q = -6\dfrac23$
E. $q=60$ atau $q = 6\dfrac23$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & |-6q-200| = 160 \\ & \Leftrightarrow |(-1)(6q+200)| = 160 \\ & \Leftrightarrow |6q+200| = 160 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned}  6q+200 & = 160 \\ 6q & = -40 \\ q & = -\dfrac{40}{6} = -\dfrac{20}{3} = -6\dfrac23 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 6q+200 & = -160 \\ 6q & = -360 \\ q & = -60 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$

Jadi, nilai $q$ yang memenuhi persamaan nilai mutlak tersebut adalah $q = -60$ atau $q = -6\dfrac23$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Penyelesaian persamaan $|2x-3| = |-x|$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = \dfrac32$ atau $x=1$
B. $x=\dfrac32$ atau $x=3$
C. $x=-1$ atau $x=1$
D. $x=-1$ atau $x=3$
E. $x=1$ atau $x=3$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa persamaan di atas ekuivalen dengan $|2x-3| = |x|$.
Cara 1: Cara Plus Minus
Dari persamaan $|2x-3| = |x|$, diperoleh
$\begin{aligned} 2x-3 & = x \\ x & = 3 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 2x-3 & = -x \\ 3x & = 3 \\ x & = 1 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Cara 2: Menguadratkan Kedua Ruas
Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh

$$\begin{aligned} |2x-3| & = |x| \\ (2x-3)^2 & = (x)^2 \\ (2x-3)^2-(x)^2 & = 0 \\ (2x-3+x)(2x-3-x) & = 0 && (a^2-b^2 = (a+b)(a-b)) \\ (3x-3)(x-3) & = 0 \end{aligned}$$
Diperoleh $3x-3 = 0 \Leftrightarrow x=1$ atau $x-3 = 0 \Leftrightarrow x=3$.
Jadi, penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $x=1$ atau $x=3$.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Penyelesaian persamaan $|x+7|^2-3|x+7|-4 = 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-11$ atau $x=-4$
B. $x=-11$ atau $x=-3$
C. $x=-4$ atau $x=-3$
D. $x=3$ atau $x=11$
E. $x=3$ atau $x=11$

Penyelesaian

Misalkan $|x+7| = a$. Persamaan nilai mutlak di atas sekarang dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} a^2-3a-4 & = 0 \\ (a-4)(a+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 4$ atau $a = -1$.
Kemungkinan 1:
Karena $a = |x+7|$, maka $|x+7|=4$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak,
$\begin{aligned} x+7 & = 4 \\ x & = -3 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} x+7 & = -4 \\ x & = -11 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$

Kemungkinan 2:
Karena $a = |x+7|$, maka $|x+7|=-1$.
Persamaan itu jelas tidak memiliki penyelesaian karena nilai mutlak dari suatu bilangan tidak mungkin bernilai negatif.
Jadi, penyelesaian persamaan $|x+7|^2-3|x+7|-4 = 0$ adalah $\boxed{x = -11}$ atau $\boxed{x = -3}$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Himpunan penyelesaian $|x-7|-|x-2| = 3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{-6\}$                       D. $\{-6, -3\}$
B. $\{-3\}$                       E. $\{-6, 3\}$
C. $\{3\}$

Penyelesaian

Diketahui $|x-7|-|x-2| = 3$.
Cari nilai $x$ dengan kemungkinan-kemungkinan berikut.
Kemungkinan 1:
Jika $x-7 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 7$, maka $|x-7| = x-7$.
Jika $x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$, maka $|x-2| = x-2$.
Hasil irisannya menjadi $x \geq 7$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} |x-7|-|x-2| & = 3 \\ \Rightarrow (x-7)-(x-2) & = 3 \\ -5 & = 3~~(\text{X}) \end{aligned}$
Tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Kemungkinan 2:
Jika $x-7 < 0 \Leftrightarrow x < 7$, maka $|x-7| = -(x-7) = -x+7$.
Jika $x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$, maka $|x-2| = x-2$.
Hasil irisannya menjadi $2 \leq x < 7$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} |x-7|-|x-2| & = 3 \\ \Rightarrow (-x+7)-(x-2) & = 3 \\ -2x+9 & = 3 \\ -2x & = -6 \\ x & = -3 && (\bigstar) \end{aligned}$
Kemungkinan 3:
Jika $x-7 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 7$, maka $|x-7| = x-7$.
Jika $x-2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$, maka $|x-2| = -(x-2) =-x+2$.
Hasil irisannya menjadi $\emptyset$ (tidak ada bilangan yang lebih besar atau sama dengan $7$, sekaligus kurang dari $2$).
Kemungkinan 4:
Jika $x-7 < 0 \Leftrightarrow x < 7$, maka $|x-7| = -(x-7)=-x+7$.
Jika $x-2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$, maka $|x-2| = -(x-2) =-x+2$.
Hasil irisannya menjadi $x<2$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} |x-7|-|x-2| & = 3 \\ \Rightarrow (-x+7)-(-x+2) & = 3 \\ 5 & = 3~~(\text{X}) \end{aligned}$
Tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian $|x-7|-|x-2| = 3$ adalah $\boxed{\{-3\}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Himpunan penyelesaian mewakili nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{-3, -\dfrac73\right\}$
B. $\left\{-\dfrac73, \dfrac75\right\}$
C. $\left\{-\dfrac73, 3\right\}$
D. $\left\{-\dfrac73, \dfrac13, \dfrac75, 3\right\}$
E. $\left\{-3, -\dfrac73, \dfrac13, \dfrac75\right\}$

Penyelesaian

Diketahui $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |3x-2| & = \begin{cases} 3x-2,&\text{jika}~3x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac23 && (1) \\ -3x+2,&\text{jika}~3x-2<0 \Leftrightarrow x<\dfrac23 && (2) \end{cases} \\ |x-3| & = \begin{cases} x-3,&\text{jika}~x-3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3 && (3) \\ x-3,&\text{jika}~x-3<0 \Leftrightarrow x<3 && (4) \end{cases} \\ |x+2| & = \begin{cases} x+2,&\text{jika}~x+2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 && (5) \\ x+2,&\text{jika}~x+2<0 \Leftrightarrow x<-2 && (6) \end{cases} \end{aligned}$$
Gunakan garis bilangan untuk menentukan $4$ daerah yang berpotensi menjadi himpunan penyelesaian (dibatasi oleh $x = \frac23, x = -2, x = 3$).

Daerah I:

Untuk $x < -2$, gunakan $(2), (4)$, dan $(6)$. Persamaan $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (-3x+2)-(-x+3) & = 4-(-x-2) \\ -2x-1 & = x+6 \\ -3x & = 7 \\ x & = -\dfrac73 \end{aligned}$
Nilai $x = -\dfrac73$ memenuhi syarat $x < -2$ sehingga akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah II:
Untuk $-2 \leq x < \dfrac23$, gunakan $(2), (4)$, dan $(5)$.
Persamaan $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (-3x+2)-(-x+3) & = 4-(x+2) \\ -2x-1 & = -x+2\\ -x & = 3 \\ x & = -3 \end{aligned}$
Nilai $x = -3$ tidak memenuhi syarat $-2 \leq x < \dfrac23$ sehingga tidak akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah III:
Untuk $\dfrac23 \leq x < 3$, gunakan $(1), (4)$, dan $(5)$.
Persamaan $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (3x-2)-(-x+3) & = 4-(x+2) \\ 4x-5 & = -x+2 \\ 5x & = 7 \\ x & = \dfrac75 \end{aligned}$
Nilai $x = \dfrac75$ memenuhi syarat $\dfrac23 \leq x < 3$ sehingga akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah IV:
Untuk $x \geq 3$, gunakan $(1), (3)$, dan $(5)$.
Persamaan $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (3x-2)-(x-3) & = 4-(x+2) \\ 2x+1 & = -x+2 \\ 3x & = 1 \\ x & = \dfrac13 \end{aligned}$
Nilai $x = \dfrac13$ tidak memenuhi syarat $x \geq 3$ sehingga tidak akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalH $\boxed{\left\{-\dfrac73, \dfrac75\right\}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|3x+2|+4x = 6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = \dfrac47$ atau $x = 8$
B. $x = \dfrac47$ atau $x = -8$
C. $x = -\dfrac47$ atau $x = 9$
D. $x = \dfrac47$
E. $x = 8$

Penyelesaian

Diketahui $|3x+2|+4x = 6$.
Jika $3x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac23$, maka $|3x+2| = 3x+2$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |3x+2|+4x & = 6 \\ \Rightarrow (3x+2)+4x & = 6 \\ 7x & = 4 \\ x & = \dfrac47 && (\bigstar) \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x \geq -\frac23$).
Jika $3x + 2 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac23$, maka $|3x+2| = -3x-2$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |3x+2|+4x & = 6 \\ \Rightarrow (-3x-2)+4x & = 6 \\x & = 8 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x < -\frac23$).
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|3x+2|+4x = 6$ adalah $x = \dfrac47$ atau $x=8$.
(Jawaban A)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 11
Tentukan penyelesaian persamaan berikut.
a. $|m+4|-2|-4| = 3$
b. $|8-2n| = \left|\dfrac{3n-5}{-5}\right|$
c. $10 -4|4-5p| = -26$

Penyelesaian

Jawaban a)
Diketahui $|m+4|-2|-4| = 3$.
Persamaan di atas dapat disederhanakan seperti berikut.
$\begin{aligned} |m+4|-2|-4| & = 3 \\ |m+4|-2(4) & = 3 \\ |m+4| & = 11 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$m + 4 = 11 \Leftrightarrow m = 7$
atau
$m + 4 = -11 \Leftrightarrow m = -15$
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah $m=7$ atau $m=-15$.
Jawaban b)
Diketahui $|8-2n| = \left|\dfrac{3n-5}{-5}\right|$.
Persamaan di atas dapat disederhanakan seperti berikut.
$\begin{aligned} |8-2n| & = \left|\dfrac{3n-5}{-5}\right| \\ |8-2n| & = \dfrac{|3n-5|}{5} \\ 5|8-2n| & = |3n-5| \\ |40-10n| & = |3n-5| \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} 40-10n & = 3n-5 \\ -10n-3n & = -5-40 \\ -13n & = -45 \\ n & = \dfrac{45}{13} && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 40-10n & = -(3n-5) \\ 40-10n & = -3n+5 \\ -10n+3n & = 5-40 \\ -7n & = -35 \\ n & = 5 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah $n = \dfrac{45}{13}$ atau $n=5$.
Jawaban c)
Diketahui $10 -4|4-5p| = -26$.
Persamaan di atas dapat disederhanakan seperti berikut.
$\begin{aligned} 10 -4|4-5p| & = -26 \\ -4|4-5p| & = -36 \\ |4-5p| & = 9 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} 4-5p & = 9 \\ -5p & = 5 \\ p & = -1 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 4-5p & = -9 \\ -5p & = -13 \\ p & = \dfrac{13}{5} && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah $p = -1$ atau $p = \dfrac{13}{5}$.

[collapse]

Soal Nomor 12
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan berikut.
a. $|6x-12| = |x+8|$
b. $|3x+8| = |4-2x|$
c. $|5x-8| -|13-2x| = 0$

Penyelesaian

Jawaban a)
Diketahui $|6x-12| = |x+8|$.
Cara 1: Cara Plus Minus
$\begin{aligned} 6x-12 & = x+8 \\ 6x-x & = 8+12 \\ 5x & = 20 \\ x & = 4 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 6x-12 & = -(x+8) \\ 6x-12 & = -x-8 \\ 7x & = 4 \\ x & = \dfrac47 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$

Cara 2: Menguadratkan Kedua Ruas
Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh
$$\begin{aligned} (6x-12)^2 & = (x+8)^2 \\ (6x-12)^2-(x+8)^2 & = 0 \\ (\color{blue}{(6x-12)}+\color{red}{(x+8)})(\color{blue}{(6x-12)}-\color{red}{(x+8)}) & = 0 && (a^2-b^2 = (a+b)(a-b)) \\ (7x-4)(5x-20) & = 0 \end{aligned}$$
Diperoleh $7x-4 = 0 \Leftrightarrow x=\dfrac47$ atau $5x-20= 0 \Leftrightarrow x=4$.
Jadi, penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $x=\dfrac47$ atau $x=4$.
Jawaban b)
Diketahui $|3x+8| = |4-2x|$.
Cara 1: Cara Plus Minus
$\begin{aligned} 3x+8 & = 4-2x \\ 3x+2x & = 4-8 \\ 5x & = -4 \\ x & = -\dfrac45 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 3x+8 & = -(4-2x) \\ 3x+8 & = -4+2x \\ 3x-2x & = -4-8 \\ x & = -12 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Cara 2: Menguadratkan Kedua Ruas

Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh
$$\begin{aligned} (3x+8)^2 & = (4-2x)^2 \\ (3x+8)^2-(4-2x)^2 & = 0 \\ (\color{blue}{(3x+8)}+\color{red}{(4-2x)})(\color{blue}{(3x+8)}-\color{red}{(4-2x)}) & = 0 && (a^2-b^2 = (a+b)(a-b)) \\ (x+12)(5x+4) & = 0 \end{aligned}$$
Diperoleh $x+12= 0 \Leftrightarrow x=-12$ atau $5x+4= 0 \Leftrightarrow x=-\dfrac45$.
Jadi, penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $x=-12$ atau $x=-\dfrac45$.
Jawaban c)
Diketahui $|5x-8| -|13-2x| = 0$. Persamaan ekuivalen dengan $|5x-8| = |13-2x|$.
Cara 1: Cara Plus Minus
$\begin{aligned} 5x-8 & = 13-2x \\ 5x+2x & = 13+8 \\ 7x & = 21 \\ x & = 3  && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 5x-8 & = -(13-2x) \\ 5x-8 & = -13+2x \\ 5x-2x & = -13+8 \\ 3x & = -5 \\ x & = -\dfrac53 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Cara 2: Menguadratkan Kedua Ruas

Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh
$$\begin{aligned} (5x-8)^2 & = (13-2x)^2 \\ (5x-8)^2-(13-2x)^2 & = 0 \\ (\color{blue}{(5x-8)}+\color{red}{(13-2x)})(\color{blue}{(5x-8)}-\color{red}{(13-2x)}) & = 0 && (a^2-b^2 = (a+b)(a-b)) \\ (3x+5)(7x-21) & = 0 \end{aligned}$$
Diperoleh $3x+5= 0 \Leftrightarrow x=-\dfrac53$ atau $7x-21= 0 \Leftrightarrow x= 3$.
Jadi, penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $x=-\dfrac53$ atau $x= 3$. 

[collapse]

Soal Nomor 13
Tentukan penyelesaian persamaan berikut.
a. $|5 -|2-x|-1| = 3$
b. $|4x+1|^2 -5|4x+1|+6 = 0$

Penyelesaian

Jawaban b)
Misalkan $|4x+1| = a$. Persamaan nilai mutlak di atas sekarang dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} a^2-5a+6 & = 0 \\ (a-2)(a-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 2$ atau $a = 3$.
Kemungkinan 1:
Karena $a = |4x+1|$, maka $|4x+1|=2$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak,
$$|4x+1| = \begin{cases} 4x+1, &\text{jika}~4x+1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac14 \\ -(4x+1),&\text{jika}~4x+1 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac14 \end{cases}$$
Untuk $x \geq -\dfrac14$, diperoleh
$\begin{aligned} 4x+1 & = 2 \\ 4x & = 1 \\ x & = \boxed{\dfrac14} \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x \geq -\frac14$)
Untuk $x < \dfrac14$, diperoleh
$\begin{aligned} -(4x+1) & = 2 \\ 4x+1 & = -2 \\ 4x & = -3 \\ x & = \boxed{-\dfrac34} \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x < -\frac14$)
Kemungkinan 2:
Karena $a = |4x+1|$, maka $|4x+1|=3$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak,
$$|4x+1| = \begin{cases} 4x+1, &\text{jika}~4x+1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac14 \\ -(4x+1),&\text{jika}~4x+1 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac14 \end{cases}$$
Untuk $x \geq -\dfrac14$, diperoleh
$\begin{aligned} 4x+1 & = 3 \\ 4x & = 2 \\ x & = \boxed{\dfrac12} \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x \geq -\frac14$)
Untuk $x < \dfrac14$, diperoleh
$\begin{aligned} -(4x+1) & = 3 \\ 4x+1 & = -3 \\ 4x & = -4 \\ x & = \boxed{-1} \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x < -\frac14$)
Jadi, penyelesaian persamaan $|4x+1|^2 -5|4x+1|+6 = 0$ adalah
$\boxed{x = -1, x = -\dfrac34, x = \dfrac14, ~\text{atau}~x = \dfrac12}$.

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut.
a. $|8-2x| + x-5 = 0$
b. $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$

Penyelesaian

Jawaban a)
Diketahui $|8-2x| + x-5 = 0$.
Jika $8-2x \geq 0 \Leftrightarrow -2x \geq -8 \Leftrightarrow x \leq 4$, maka $|8-2x| = 8-2x$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |8-2x| + x-5 & = 0 \\ \Rightarrow (8-2x)+x-5 & = 0 \\ -x & = -3 \\ x & = 3 && (\bigstar) \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x \leq 4$).
Jika $8-2x < 0 \Leftrightarrow -2x < -8 \Leftrightarrow x > 4$, maka $|8-2x| = 2x-8$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |8-2x| + x-5 & = 0 \\ \Rightarrow (2x-8)+x-5 & = 0 \\ 3x & = 13 \\ x & = \dfrac{13}{3} && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x > 4$).
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan $|8-2x| + x-5 = 0$ adalah $\boxed{\left\{\dfrac47, 8\right\}}$.
Jawaban b)
Diketahui $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |3x-5| & = \begin{cases} 3x-5,&\text{jika}~3x-5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac53 && (1) \\ -3x+5,&\text{jika}~3x-5<0 \Leftrightarrow x<\dfrac53 && (2) \end{cases} \\ |10x-2| & = \begin{cases} 10x-2,&\text{jika}~10x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac15 && (3) \\ -10x+2,&\text{jika}~10x-2<0 \Leftrightarrow x<\dfrac15 && (4) \end{cases} \\ |2x-8| & = \begin{cases} 2x-8,&\text{jika}~2x-8 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4 && (5) \\ -2x+8,&\text{jika}~2x-8<0 \Leftrightarrow x<4 && (6) \end{cases} \end{aligned}$$
Gunakan garis bilangan untuk menentukan $4$ daerah yang berpotensi menjadi himpunan penyelesaian (dibatasi oleh $x = \frac15, x = \frac53, x = 4$).
Daerah I:
Untuk $x < \dfrac15$, gunakan $(2), (4)$, dan $(6)$. Persamaan $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (-3x+5)-(-10x+2)+(-2x+8) & = 0 \\ (-3x+10x-2x)+(5-2+8) & = 0 \\ 5x & = -11 \\ x & = -\dfrac{11}{5} \end{aligned}$$
Nilai $x = -\dfrac{11}{5}$ memenuhi syarat $x < \dfrac15$ sehingga akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah II:
Untuk $\dfrac15 \leq x < \dfrac53$, gunakan $(2), (3)$, dan $(6)$.
Persamaan $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (-3x+5)-(10x-2)+(-2x+8) & = 0 \\ (-3x-10x-2x)+(5+2+8) & = 0 \\ -15x & = -15 \\ x & = 1 \end{aligned}$$
Nilai $x = 1$ memenuhi syarat $\dfrac15 \leq x < \dfrac53$ sehingga akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah III:
Untuk $\dfrac53 \leq x < 4$, gunakan $(1), (3)$, dan $(6)$.
Persamaan $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (3x-5)-(10x-2)+(-2x+8) & = 0 \\ (3x-10x-2x)+(-5+2+8) & = 0 \\ -9x & = -5 \\ x & = \dfrac{5}{9} \end{aligned}$
Nilai $x = \dfrac{5}{9}$ tidak memenuhi syarat $\dfrac53 \leq x < 4$ sehingga tidak akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah IV:
Untuk $x \geq 4$, gunakan $(1), (3)$, dan $(5)$.
Persamaan $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (3x-5)-(10x-2)+(2x-8) & = 0 \\ (3x-10x+2x)+(-5+2-8) & = 0 \\ -5x & = 11 \\ x & = -\dfrac{11}{5} \end{aligned}$
Nilai $x = -\dfrac{11}{5}$ tidak memenuhi syarat $x \geq 4$ sehingga tidak akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $\boxed{\left\{-\dfrac{11}{5}, 1 \right\}}$

[collapse]

Soal Nomor 15
Seorang karyawan di suatu perusahaan akan memperoleh kenaikan gaji karena telah berprestasi. Perusahaan menerapkan aturan bahwa penyimpangan gaji karyawan dengan pangkat (jabatan) sama adalah Rp500.000,00. Jika gaji karyawan tersebut mula-mula Rp3.000.000,00, tentukan gaji terendah dan gaji tertinggi karyawan berpangkat sama dengan karyawan yang memperoleh kenaikan gaji.

Penyelesaian

Misalkan $x$ mewakili gaji tertinggi atau gaji terendah (simpangan paling jauh) karyawan perusahaan dalam satuan rupiah. Persamaan nilai mutlak yang mewakili permasalahan di atas adalah $|x-3.000.000| = 500.000$.
Akan diselesaikan persamaan nilai mutlak tersebut.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} x-3.000.000 & = 500.000 \\ x & = 3.500.000 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} x-3.000.000 & = -500.000 \\ x & = 2.500.000 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Jadi, gaji terendah dan gaji tertinggi karyawan perusahaan itu adalah Rp2.500.000,00 dan Rp3.500.000,00.

[collapse]

Soal Nomor 16
Waktu rata-rata yang diperlukan seorang siswa mengerjakan suatu soal adalah $3$ menit. Waktu seorang siswa bisa lebih cepat atau lebih lambat semenit dari waktu rata-rata.
a. Tuliskan persamaan nilai mutlak yang mewakili permasalahan ini.
b. Tentukan waktu tercepat dan waktu terlama seorang siswa mengerjakan soal itu.

Penyelesaian

Jawaban a)
Misalkan $x$ mewakili waktu tercepat atau waktu terlama (simpangan paling jauh) dalam satuan menit. Persamaan nilai mutlak yang mewakili permasalahan di atas adalah
$\boxed{|x-3| = 1}$
Jawaban b)
Akan diselesaikan persamaan $|x-3| = 1$
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$x-3 = 1 \Leftrightarrow x = 4$
atau
$x-3=-1 \Leftrightarrow x = 2$
Jadi, waktu tercepat dan waktu terlama seorang siswa mengerjakan soal itu berturut-turut adalah $2$ menit dan $4$ menit.

[collapse]

Soal Nomor 17
Suatu persegi panjang mempunyai ukuran panjang $|3-5x|$ cm dan lebar $8$ cm. Jika luas persegi panjang tersebut adalah $136$ cm2, tentukan nilai $x$ yang memenuhi.

Penyelesaian

Dengan menggunakan rumus luas persegi panjang, diperoleh persamaan nilai mutlak berikut.
$\begin{aligned} |3x-5| \cdot 8 & = 136 \\ |3x-5| & = 17 \end{aligned}$
Persamaan di atas memberikan
$\begin{aligned} 3x-5 & = 17 \\ 3x & = 22 \\ x & = \dfrac{22}{3} = 7\dfrac13 \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 3x-5 & = -17 \\ 3x & = -12 \\ x & = -4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = -4$ atau $x = 7\dfrac13$.

[collapse]

CategoriesAljabar, Nilai MutlakTags, ,

2 Replies to “Soal dan Pembahasan – Persamaan Nilai Mutlak”

Comments are closed.