Soal dan Pembahasan – Persamaan Nilai Mutlak

Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$|p| = \begin{cases} p,&\text{jika}~p \geq 0 \\ -p,&\text{jika}~p < 0 \end{cases}$
Untuk $p \geq 0$, persamaan $|p| = 10$ dapat ditulis $p = 10$ (memenuhi syarat $p \geq 0$).
Untuk $p < 0$, persamaan $|p| = 10$ dapat ditulis $-p = 10 \Leftrightarrow p = -10$ (memenuhi syarat $p < 0$).
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p = 10$ atau $p=-10$.
(Jawaban E)

Sederhanakan persamaannya lebih dulu.
$\begin{aligned} |3k| & = 6 \\ 3|k| & = 6 \\ |k| & = 2 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$|k| = \begin{cases} k,&\text{jika}~k \geq 0 \\ -k,&\text{jika}~k < 0 \end{cases}$
Untuk $k \geq 0$, persamaan $|k| = 2$ dapat ditulis $k = 2$ (memenuhi syarat $k \geq 0$).
Untuk $k < 0$, persamaan $|k| = 2$ dapat ditulis $-k = 2 \Leftrightarrow k = -2$ (memenuhi syarat $k < 0$).
Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $k = -2$ atau $k=2$.
(Jawaban A)

Diketahui $|z+5| = 5$.
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} z+5 & = 5 \\ z & = 0 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} z+5 & = -5 \\ z & = -10 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Jadi, nilai $z$ yang memenuhi adalah $z = 0$ atau $z = -10$.
(Jawaban E)

Sederhanakan persamaannya lebih dulu.
$\begin{aligned} |5x-6|-4 & =10 \\ |5x-6| & = 14 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} 5x-6 & = 14 \\ 5x & = 20 \\ x & = 4 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 5x-6 & = -14 \\ 5x & = -8 \\ x & = -\dfrac85 = -1\dfrac35 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak tersebut adalah $\left\{4, -1\dfrac35\right\}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & |-6q-200| = 160 \\ & \Leftrightarrow |(-1)(6q+200)| = 160 \\ & \Leftrightarrow |6q+200| = 160 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned}  6q+200 & = 160 \\ 6q & = -40 \\ q & = -\dfrac{40}{6} = -\dfrac{20}{3} = -6\dfrac23 && (\bigstar) \end{aligned}$$atau
$\begin{aligned} 6q+200 & = -160 \\ 6q & = -360 \\ q & = -60 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Jadi, nilai $q$ yang memenuhi persamaan nilai mutlak tersebut adalah $q = -60$ atau $q = -6\dfrac23.$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa persamaan di atas ekuivalen dengan $|2x-3| = |x|$.
Cara 1: Cara Plus Minus
Dari persamaan $|2x-3| = |x|$, diperoleh
$\begin{aligned} 2x-3 & = x \\ x & = 3 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 2x-3 & = -x \\ 3x & = 3 \\ x & = 1 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Cara 2: Menguadratkan Kedua Ruas
Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh
$$\begin{aligned} |2x-3| & = |x| \\ (2x-3)^2 & = (x)^2 \\ (2x-3)^2-(x)^2 & = 0 \\ (2x-3+x)(2x-3-x) & = 0 && (a^2-b^2 = (a+b)(a-b)) \\ (3x-3)(x-3) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $3x-3 = 0 \Leftrightarrow x=1$ atau $x-3 = 0 \Leftrightarrow x=3$.
Jadi, penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $x=1$ atau $x=3$.
(Jawaban E)

Misalkan $|x+7| = a$. Persamaan nilai mutlak di atas sekarang dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} a^2-3a-4 & = 0 \\ (a-4)(a+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 4$ atau $a = -1$.
Kemungkinan 1:
Karena $a = |x+7|$, maka $|x+7|=4$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak,
$\begin{aligned} x+7 & = 4 \\ x & = -3 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} x+7 & = -4 \\ x & = -11 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Kemungkinan 2:
Karena $a = |x+7|$, maka $|x+7|=-1$.
Persamaan itu jelas tidak memiliki penyelesaian karena nilai mutlak dari suatu bilangan tidak mungkin bernilai negatif.
Jadi, penyelesaian persamaan $|x+7|^2-3|x+7|-4 = 0$ adalah $\boxed{x = -11}$ atau $\boxed{x = -3}$
(Jawaban B)

Diketahui $|x-7|-|x-2| = 3$.
Cari nilai $x$ dengan kemungkinan-kemungkinan berikut.
Kemungkinan 1:
Jika $x-7 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 7$, maka $|x-7| = x-7$.
Jika $x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$, maka $|x-2| = x-2$.
Hasil irisannya menjadi $x \geq 7$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} |x-7|-|x-2| & = 3 \\ \Rightarrow (x-7)-(x-2) & = 3 \\ -5 & = 3~~(\text{X}) \end{aligned}$
Tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Kemungkinan 2:
Jika $x-7 < 0 \Leftrightarrow x < 7$, maka $|x-7| = -(x-7) = -x+7$.
Jika $x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$, maka $|x-2| = x-2$.
Hasil irisannya menjadi $2 \leq x < 7$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} |x-7|-|x-2| & = 3 \\ \Rightarrow (-x+7)-(x-2) & = 3 \\ -2x+9 & = 3 \\ -2x & = -6 \\ x & = 3 && (\bigstar) \end{aligned}$
Kemungkinan 3:
Jika $x-7 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 7$, maka $|x-7| = x-7$.
Jika $x-2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$, maka $|x-2| = -(x-2) =-x+2$.
Hasil irisannya menjadi $\emptyset$ (tidak ada bilangan yang lebih besar atau sama dengan $7$, sekaligus kurang dari $2$).
Kemungkinan 4:
Jika $x-7 < 0 \Leftrightarrow x < 7$, maka $|x-7| = -(x-7)=-x+7$.
Jika $x-2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$, maka $|x-2| = -(x-2) =-x+2$.
Hasil irisannya menjadi $x<2$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} |x-7|-|x-2| & = 3 \\ \Rightarrow (-x+7)-(-x+2) & = 3 \\ 5 & = 3~~(\text{X}) \end{aligned}$
Tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian $|x-7|-|x-2| = 3$ adalah $\boxed{\{3\}}$
(Jawaban C)

Diketahui $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|.$
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |3x-2| & = \begin{cases} 3x-2,&\text{jika}~3x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac23 && (1) \\ -3x+2,&\text{jika}~3x-2<0 \Leftrightarrow x<\dfrac23 && (2) \end{cases} \\ |x-3| & = \begin{cases} x-3,&\text{jika}~x-3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3 && (3) \\ x-3,&\text{jika}~x-3<0 \Leftrightarrow x<3 && (4) \end{cases} \\ |x+2| & = \begin{cases} x+2,&\text{jika}~x+2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 && (5) \\ x+2,&\text{jika}~x+2<0 \Leftrightarrow x<-2 && (6) \end{cases} \end{aligned}$$Gunakan garis bilangan untuk menentukan $4$ daerah yang berpotensi menjadi himpunan penyelesaian (dibatasi oleh $x = \frac23, x = -2, x = 3$).

Daerah I:
Untuk $x < -2$, gunakan $(2), (4)$, dan $(6)$. Persamaan $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (-3x+2)-(-x+3) & = 4-(-x-2) \\ -2x-1 & = x+6 \\ -3x & = 7 \\ x & = -\dfrac73. \end{aligned}$$Nilai $x = -\dfrac73$ memenuhi syarat $x < -2$ sehingga akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah II:
Untuk $-2 \leq x < \dfrac23$, gunakan $(2), (4),$ dan $(5)$.
Persamaan $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (-3x+2)-(-x+3) & = 4-(x+2) \\ -2x-1 & = -x+2\\ -x & = 3 \\ x & = -3. \end{aligned}$
Nilai $x = -3$ tidak memenuhi syarat $-2 \leq x < \dfrac23$ sehingga tidak akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah III:
Untuk $\dfrac23 \leq x < 3$, gunakan $(1), (4),$ dan $(5)$.
Persamaan $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (3x-2)-(-x+3) & = 4-(x+2) \\ 4x-5 & = -x+2 \\ 5x & = 7 \\ x & = \dfrac75. \end{aligned}$
Nilai $x = \dfrac75$ memenuhi syarat $\dfrac23 \leq x < 3$ sehingga akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah IV:
Untuk $x \geq 3$, gunakan $(1), (3)$, dan $(5)$.
Persamaan $|3x-2|-|x-3|=4-|x+2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (3x-2)-(x-3) & = 4-(x+2) \\ 2x+1 & = -x+2 \\ 3x & = 1 \\ x & = \dfrac13. \end{aligned}$
Nilai $x = \dfrac13$ tidak memenuhi syarat $x \geq 3$ sehingga tidak akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak tersebut adalah $\boxed{\left\{-\dfrac73, \dfrac75\right\}}$
(Jawaban B)

Diketahui $|3x+2|+4x = 6$.
Jika $3x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac23$, maka $|3x+2| = 3x+2$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |3x+2|+4x & = 6 \\ \Rightarrow (3x+2)+4x & = 6 \\ 7x & = 4 \\ x & = \dfrac47 && (\bigstar) \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x \geq -\frac23$).
Jika $3x + 2 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac23$, maka $|3x+2| = -3x-2$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |3x+2|+4x & = 6 \\ \Rightarrow (-3x-2)+4x & = 6 \\ x & = 8 && (\text{X}) \end{aligned}$
(Tidak memenuhi syarat $x < -\frac23$).
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|3x+2|+4x = 6$ adalah $x = \dfrac47$.
(Jawaban D)

Diketahui $|x^2-4| = x+|x-2|$.
Persamaan ini ekuivalen dengan
$|x-2| \cdot |x+2| = x+|x-2|$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} |x-2| & = \begin{cases} x-2, &~\text{jika}~x \geq 2 \\ -x+2, &~\text{jika}~x < 2 \end{cases} \\ |x+2| & = \begin{cases} x+2, &~\text{jika}~x \geq -2 \\ -x-2, &~\text{jika}~x < -2 \end{cases} \end{aligned}$
Kasus 1:
Misalkan $x < -2$, maka persamaan $|x-2| \cdot |x+2| = x+|x-2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (-x+2) \cdot (-x-2) & = x + (-x + 2) \\ x^2+2x-2x-4 & = 2 \\ x^2 & = 6 \\ x & = \pm \sqrt6 \end{aligned}$
Pilih $\color{red}{x = -\sqrt6}$ karena memenuhi syarat $x < -2$.
Kasus 2:
Misalkan $-2 \leq x < 2$, maka persamaan $|x-2| \cdot |x+2| = x+|x-2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (-x+2) \cdot (x+2) & = x + (-x + 2) \\ -x^2-2x+2x+4 & = 2 \\ x^2 & = 2 \\ x & = \pm \sqrt2 \end{aligned}$
Pilih $\color{red}{x = \pm \sqrt2}$ karena keduanya memenuhi syarat $-2 \leq x < 2$.
Kasus 3:
Misalkan $x \geq 2$, maka persamaan $|x-2| \cdot |x+2| = x+|x-2|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} (x-2) \cdot (x+2) & = x + (x-2) \\ x^2+2x-2x-4 & = 2x-2 \\ x^2-2x-2 & = 0 \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus ABC), diperoleh
$\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{2 \pm \sqrt{4-4(1)(-2)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ & = 1 \pm \sqrt3 \end{aligned}$
Pilih $\color{red}{x = 1+\sqrt3}$ karena memenuhi syarat $x \geq 2$.
Jadi, ada $4$ bilangan real yang memenuhi persamaan nilai mutlak tersebut.
(Jawaban E)

Tinjau bentuk mutlak yang paling “dalam”, yaitu $|35-3x|$ yang memiliki arti
$$|35-3x| = \begin{cases} 35-3x, &~\text{jika}~x \leq \dfrac{35}{3} \\ -35+3x, &~\text{jika}~x > \dfrac{35}{3} \end{cases}$$Misal $x \leq \dfrac{35}{3}$, maka kita peroleh dari persamaan nilai mutlak:
$\begin{aligned} x & = |3x-(35-3x)| \\ x & = |6x-35| \\ x & =6x-35~\text{atau}~x= -6x+35 \\ x & = \color{red}{7}~\text{atau}~x = \color{red}{5} \end{aligned}$
Kedua nilai $x$ ini memenuhi syarat $x \leq \dfrac{35}{3}$.
Misal, $x > \dfrac{35}{3}$, maka kita peroleh dari persamaan nilai mutlak:
$\begin{aligned} x & =|3x-(-35+3x)| \\ x & = |35| = \color{red}{35} \end{aligned}$
Nilai $x$ ini juga memenuhi syarat $x > \dfrac{35}{3}$.
Dengan demikian, jumlah semua kemungkinan penyelesaian persamaan nilai mutlak itu adalah $\boxed{\color{red}{7+5+35}=47}$
(Jawaban E)

Jawaban a)
Diketahui $|m+4|-2|-4| = 3$.
Persamaan di atas dapat disederhanakan seperti berikut.
$\begin{aligned} |m+4|-2|-4| & = 3 \\ |m+4|-2(4) & = 3 \\ |m+4| & = 11 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$m + 4 = 11 \Leftrightarrow m = 7$
atau
$m + 4 = -11 \Leftrightarrow m = -15.$
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah $m=7$ atau $m=-15$.
Jawaban b)
Diketahui $|8-2n| = \left|\dfrac{3n-5}{-5}\right|$.
Persamaan di atas dapat disederhanakan seperti berikut.
$\begin{aligned} |8-2n| & = \left|\dfrac{3n-5}{-5}\right| \\ |8-2n| & = \dfrac{|3n-5|}{5} \\ 5|8-2n| & = |3n-5| \\ |40-10n| & = |3n-5| \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} 40-10n & = 3n-5 \\ -10n-3n & = -5-40 \\ -13n & = -45 \\ n & = \dfrac{45}{13} && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 40-10n & = -(3n-5) \\ 40-10n & = -3n+5 \\ -10n+3n & = 5-40 \\ -7n & = -35 \\ n & = 5 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah $n = \dfrac{45}{13}$ atau $n=5$.
Jawaban c)
Diketahui $10 -4|4-5p| = -26$.
Persamaan di atas dapat disederhanakan seperti berikut.
$\begin{aligned} 10 -4|4-5p| & = -26 \\ -4|4-5p| & = -36 \\ |4-5p| & = 9 \end{aligned}$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} 4-5p & = 9 \\ -5p & = 5 \\ p & = -1 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 4-5p & = -9 \\ -5p & = -13 \\ p & = \dfrac{13}{5} && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah $p = -1$ atau $p = \dfrac{13}{5}$.

Jawaban a)
Diketahui $|6x-12| = |x+8|$.
Cara 1: Cara Plus Minus
$\begin{aligned} 6x-12 & = x+8 \\ 6x-x & = 8+12 \\ 5x & = 20 \\ x & = 4 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 6x-12 & = -(x+8) \\ 6x-12 & = -x-8 \\ 7x & = 4 \\ x & = \dfrac47 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Cara 2: Menguadratkan Kedua Ruas
Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh
$$\begin{aligned} (6x-12)^2 & = (x+8)^2 \\ (6x-12)^2-(x+8)^2 & = 0 \\ (\color{blue}{(6x-12)}+\color{red}{(x+8)})(\color{blue}{(6x-12)}-\color{red}{(x+8)}) & = 0 && (a^2-b^2 = (a+b)(a-b)) \\ (7x-4)(5x-20) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $7x-4 = 0 \Leftrightarrow x=\dfrac47$ atau $5x-20= 0 \Leftrightarrow x=4$.
Jadi, penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $x=\dfrac47$ atau $x=4$.
Jawaban b)
Diketahui $|3x+8| = |4-2x|$.
Cara 1: Cara Plus Minus
$\begin{aligned} 3x+8 & = 4-2x \\ 3x+2x & = 4-8 \\ 5x & = -4 \\ x & = -\dfrac45 && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 3x+8 & = -(4-2x) \\ 3x+8 & = -4+2x \\ 3x-2x & = -4-8 \\ x & = -12 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Cara 2: Menguadratkan Kedua Ruas
Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh
$$\begin{aligned} (3x+8)^2 & = (4-2x)^2 \\ (3x+8)^2-(4-2x)^2 & = 0 \\ (\color{blue}{(3x+8)}+\color{red}{(4-2x)})(\color{blue}{(3x+8)}-\color{red}{(4-2x)}) & = 0 && (a^2-b^2 = (a+b)(a-b)) \\ (x+12)(5x+4) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $x+12= 0 \Leftrightarrow x=-12$ atau $5x+4= 0 \Leftrightarrow x=-\dfrac45$.
Jadi, penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $x=-12$ atau $x=-\dfrac45$.
Jawaban c)
Diketahui $|5x-8| -|13-2x| = 0$. Persamaan ekuivalen dengan $|5x-8| = |13-2x|$.
Cara 1: Cara Plus Minus
$\begin{aligned} 5x-8 & = 13-2x \\ 5x+2x & = 13+8 \\ 7x & = 21 \\ x & = 3  && (\bigstar) \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 5x-8 & = -(13-2x) \\ 5x-8 & = -13+2x \\ 5x-2x & = -13+8 \\ 3x & = -5 \\ x & = -\dfrac53 && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
Cara 2: Menguadratkan Kedua Ruas
Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh
$$\begin{aligned} (5x-8)^2 & = (13-2x)^2 \\ (5x-8)^2-(13-2x)^2 & = 0 \\ (\color{blue}{(5x-8)}+\color{red}{(13-2x)})(\color{blue}{(5x-8)}-\color{red}{(13-2x)}) & = 0 && (a^2-b^2 = (a+b)(a-b)) \\ (3x+5)(7x-21) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $3x+5= 0 \Leftrightarrow x=-\dfrac53$ atau $7x-21= 0 \Leftrightarrow x= 3$.
Jadi, penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $x=-\dfrac53$ atau $x= 3$. 

Jawaban b)
Misalkan $|4x+1| = a$. Persamaan nilai mutlak di atas sekarang dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} a^2-5a+6 & = 0 \\ (a-2)(a-3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a = 2$ atau $a = 3$.
Kemungkinan 1:
Karena $a = |4x+1|$, maka $|4x+1|=2$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak,
$$|4x+1| = \begin{cases} 4x+1, &\text{jika}~4x+1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac14 \\ -(4x+1),&\text{jika}~4x+1 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac14 \end{cases}$$Untuk $x \geq -\dfrac14$, diperoleh
$\begin{aligned} 4x+1 & = 2 \\ 4x & = 1 \\ x & = \boxed{\dfrac14} \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x \geq -\frac14$)
Untuk $x < \dfrac14$, diperoleh
$\begin{aligned} -(4x+1) & = 2 \\ 4x+1 & = -2 \\ 4x & = -3 \\ x & = \boxed{-\dfrac34} \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x < -\frac14$)
Kemungkinan 2:
Karena $a = |4x+1|$, maka $|4x+1|=3$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak,
$$|4x+1| = \begin{cases} 4x+1, &\text{jika}~4x+1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac14 \\ -(4x+1),&\text{jika}~4x+1 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac14 \end{cases}$$Untuk $x \geq -\dfrac14$, diperoleh
$\begin{aligned} 4x+1 & = 3 \\ 4x & = 2 \\ x & = \boxed{\dfrac12} \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x \geq -\frac14$)
Untuk $x < \dfrac14$, diperoleh
$\begin{aligned} -(4x+1) & = 3 \\ 4x+1 & = -3 \\ 4x & = -4 \\ x & = \boxed{-1} \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x < -\frac14$)
Jadi, penyelesaian persamaan $|4x+1|^2 -5|4x+1|+6 = 0$ adalah
$$\boxed{x = -1, x = -\dfrac34, x = \dfrac14, ~\text{atau}~x = \dfrac12}$$

Jawaban a)
Diketahui $|8-2x| + x-5 = 0$.
Jika $8-2x \geq 0 \Leftrightarrow -2x \geq -8 \Leftrightarrow x \leq 4$, maka $|8-2x| = 8-2x$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |8-2x| + x-5 & = 0 \\ \Rightarrow (8-2x)+x-5 & = 0 \\ -x & = -3 \\ x & = 3 && (\bigstar) \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x \leq 4$).
Jika $8-2x < 0 \Leftrightarrow -2x < -8 \Leftrightarrow x > 4$, maka $|8-2x| = 2x-8$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} |8-2x| + x-5 & = 0 \\ \Rightarrow (2x-8)+x-5 & = 0 \\ 3x & = 13 \\ x & = \dfrac{13}{3} && (\bigstar \bigstar) \end{aligned}$
(Memenuhi syarat $x > 4$).
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan $|8-2x| + x-5 = 0$ adalah $\boxed{\left\{\dfrac47, 8\right\}}$
Jawaban b)
Diketahui $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{aligned} |3x-5| & = \begin{cases} 3x-5,&\text{jika}~3x-5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac53 && (1) \\ -3x+5,&\text{jika}~3x-5<0 \Leftrightarrow x<\dfrac53 && (2) \end{cases} \\ |10x-2| & = \begin{cases} 10x-2,&\text{jika}~10x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac15 && (3) \\ -10x+2,&\text{jika}~10x-2<0 \Leftrightarrow x<\dfrac15 && (4) \end{cases} \\ |2x-8| & = \begin{cases} 2x-8,&\text{jika}~2x-8 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4 && (5) \\ -2x+8,&\text{jika}~2x-8<0 \Leftrightarrow x<4 && (6) \end{cases} \end{aligned}$$Gunakan garis bilangan untuk menentukan $4$ daerah yang berpotensi menjadi himpunan penyelesaian (dibatasi oleh $x = \frac15, x = \frac53, x = 4$).
Daerah I:
Untuk $x < \dfrac15$, gunakan $(2), (4)$, dan $(6)$. Persamaan $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (-3x+5)-(-10x+2)+(-2x+8) & = 0 \\ (-3x+10x-2x)+(5-2+8) & = 0 \\ 5x & = -11 \\ x & = -\dfrac{11}{5} \end{aligned}$$Nilai $x = -\dfrac{11}{5}$ memenuhi syarat $x < \dfrac15$ sehingga akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah II:
Untuk $\dfrac15 \leq x < \dfrac53$, gunakan $(2), (3)$, dan $(6)$.
Persamaan $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (-3x+5)-(10x-2)+(-2x+8) & = 0 \\ (-3x-10x-2x)+(5+2+8) & = 0 \\ -15x & = -15 \\ x & = 1 \end{aligned}$$Nilai $x = 1$ memenuhi syarat $\dfrac15 \leq x < \dfrac53$ sehingga akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah III:
Untuk $\dfrac53 \leq x < 4$, gunakan $(1), (3)$, dan $(6)$.
Persamaan $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (3x-5)-(10x-2)+(-2x+8) & = 0 \\ (3x-10x-2x)+(-5+2+8) & = 0 \\ -9x & = -5 \\ x & = \dfrac{5}{9} \end{aligned}$$Nilai $x = \dfrac{5}{9}$ tidak memenuhi syarat $\dfrac53 \leq x < 4$ sehingga tidak akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Daerah IV:
Untuk $x \geq 4$, gunakan $(1), (3)$, dan $(5)$.
Persamaan $|3x-5|-|10x-2|+|2x-8| = 0$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} (3x-5)-(10x-2)+(2x-8) & = 0 \\ (3x-10x+2x)+(-5+2-8) & = 0 \\ -5x & = 11 \\ x & = -\dfrac{11}{5} \end{aligned}$$Nilai $x = -\dfrac{11}{5}$ tidak memenuhi syarat $x \geq 4$ sehingga tidak akan menjadi salah satu anggota himpunan penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak tersebut adalah $\boxed{\left\{-\dfrac{11}{5}, 1 \right\}}$

Dengan menggunakan rumus luas persegi panjang, diperoleh persamaan nilai mutlak berikut.
$\begin{aligned} |3x-5| \cdot 8 & = 136 \\ |3x-5| & = 17 \end{aligned}$
Persamaan di atas memberikan
$\begin{aligned} 3x-5 & = 17 \\ 3x & = 22 \\ x & = \dfrac{22}{3} = 7\dfrac13 \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 3x-5 & = -17 \\ 3x & = -12 \\ x & = -4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = -4$ atau $x = 7\dfrac13$.

Pernyataan tersebut kadang-kadang benar.
Persamaan nilai mutlak $|a+b| = |a| + |b|$ berlaku hanya ketika $a$ dan $b$ keduanya bertanda sama (sama-sama negatif atau sama-sama positif). Bila salah satu bernilai negatif, sedangkan yang lain bernilai positif, maka persamaan bernilai salah.
Sebagai contoh, ambil $a = -3$ dan $b = 2$. Dengan demikian,
$(|-3 + 2| = |-1| = 1)$ $\neq (|-3| + |2| = 3 + 2 = 5)$

Diketahui
$\begin{cases} |x|+x+y & =10 && (\cdots 1) \\ x+|y|-y&=12 && (\cdots 2) \end{cases}$
Uji nilai $x$ dan $y$ pada setiap kuadran.
Kuadran I
Diketahui $|x|=x$ dan $|y|=y$.
Diperoleh
$x+x+y = 10 \Leftrightarrow 2x+y=10$
$x+y-y=12 \Leftrightarrow x = 12$
Substitusi $x=12$ pada $2x+y=10$ untuk memperoleh $y = -14$.
Nilai $x$ dan $y$ tidak memenuhi kuadran I karena $y$ bernilai negatif.
Kuadran II
Diketahui $|x|=-x$ dan $|y|=y$.
Diperoleh
$-x+x+y = 10 \Leftrightarrow y=10$
$x+y-y=12 \Leftrightarrow x=12$
Nilai $x$ dan $y$ tidak memenuhi kuadran II karena $x$ bernilai positif.
Kuadran III
Diketahui $|x|=-x$ dan $|y|=-y$.
Diperoleh
$-x+x+y = 10 \Leftrightarrow y=10$
$x-y-y=12 \Leftrightarrow x-2y=12$
Substitusi $y=10$ pada $x-2y=12$ untuk memperoleh $x=32$.
Nilai $x$ dan $y$ tidak memenuhi kuadran III karena $x, y$ bernilai positif.
Kuadran IV
Diketahui $|x|=x$ dan $|y|=-y$.
Diperoleh
$x+x+y = 10 \Leftrightarrow 2x+y=10$
$x-y-y=12 \Leftrightarrow x-2y=12$
Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) $\begin{cases} 2x+y=10 \\ x-2y=12 \end{cases}$ memiliki penyelesaian $x = \dfrac{32}{5}$ dan $y=-\dfrac{14}{5}$.
Nilai $x$ dan $y$ memenuhi kuadran IV.
Jadi, nilai dari $x+y$ adalah
$\boxed{x + y = \dfrac{32}{5} + \left(-\dfrac{14}{5}\right) = \dfrac{18}{5}}$