Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri

    Persamaan trigonometri didefinisikan sebagai persamaan yang melibatkan perbandingan trigonometri, seperti sinus, cosinus, tangen, dan sebagainya. Contoh persamaan trigonometri adalah
$\boxed{\sin x + \cos x= 1}$
Penyelesaian persamaan trigonometri dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu cara geometri dan cara aljabar. Cara geometri yang dimaksud di sini adalah dengan menggambar grafik bila persamaan tersebut dinyatakan dalam bentuk fungsi. Hanya saja, menggambar fungsi trigonometri tidak semudah menggambar fungsi polinomial. Selain berduet dengan angka-angka yang tidak bulat dan berakar, menggambar grafiknya juga membutuhkan ketelitian yang tinggi sehingga titik potong yang terjadi dapat ditentukan koordinatnya karena itulah yang merupakan penyelesaiannya. 

Mengatasi kelemahan tersebut, cara yang ditawarkan adalah menggunakan aljabar. Persamaan dasar trigonometri yang melibatkan sinus, cosinus, dan tangen dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} \sin px = \sin A & \Leftrightarrow px = A + k \cdot 360^{\circ} \\ & \lor px = (180-A) + k \cdot 360^{\circ} \\ \cos px = \cos A & \Leftrightarrow px = A + k \cdot 360^{\circ} \\ & \lor px = -A + k \cdot 360^{\circ} \\ \tan px  = \tan A & \Leftrightarrow px = A + k \cdot 180^{\circ} \end{aligned}}$
Keterangan:
Satuan derajat dan radian bisa digunakan sesuai permintaan pada soal. Perhatikan bahwa, 
$180^{\circ} = \pi~\text{rad}$ dan $360^{\circ} = 2\pi~\text{rad}$
$k$ menyatakan bilangan bulat, yakni $k = \{\cdots, -2,-1,0,1,2,\cdots\}$

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Dasar

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Konversi Derajat – Radian

Konversi derajat ke radian:
$\boxed{ a ^{\circ} = \dfrac{a} {180} \times \pi~\text{rad}}$
Konversi radian ke derajat:
$\boxed{a~\text{rad} = \dfrac{180}{a} \times \pi~^{\circ}}$

Untuk membantu pembaca dalam menentukan nilai sudut dalam satuan derajat dan radian, perhatikan tabel berikut. 
$$\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  \text{Derajat} & \text{Rad} & \text{Derajat} & \text{Rad} \\ \hline 0^{\circ} & 0~\text{rad} & – & – \\ \hline 30^{\circ} & \dfrac{\pi} {6}~\text{rad} & 210 ^{\circ} & \dfrac{7\pi} {6}~\text{rad} \\ \hline 45^{\circ} & \dfrac{\pi} {4}~\text{rad} & 225 ^{\circ} & \dfrac{5\pi} {4}~\text{rad} \\ \hline 60^{\circ} & \dfrac{\pi} {3}~\text{rad} & 240^{\circ} & \dfrac{4\pi} {3}~\text{rad} \\ \hline 90^{\circ} & \dfrac{\pi} {2}~\text{rad} & 270^{\circ} & \dfrac{3\pi} {2}~\text{rad} \\ \hline 120^{\circ} & \dfrac{2\pi} {3}~\text{rad} & 300 ^{\circ} & \dfrac{5\pi} {3}~\text{rad} \\ \hline 135^{\circ} & \dfrac{3\pi} {4}~\text{rad} & 315 ^{\circ} & \dfrac{7\pi} {4}~\text{rad} \\ \hline 150^{\circ} & \dfrac{5\pi} {6}~\text{rad} & 330 ^{\circ} & \dfrac{11\pi} {6}~\text{rad} \\ \hline 180 ^{\circ} & \pi ~\text{rad} & 360^{\circ} & 2\pi ~\text{rad} \\ \hline \end{array}$$

Today Quote

Happinest is a state of mind. It’s just according to the way you look at things.

Soal Nomor 1
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\sin x = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ untuk $0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{60^{\circ}, 120^{\circ}\}$
B. $\{30^{\circ}, 120^{\circ}\}$ 
C. $\{30^{\circ}, 150^{\circ}\}$
D. $\{45^{\circ}, 135^{\circ}\}$
E. $\{60^{\circ}, 120^{\circ}, 240^{\circ}\}$

Penyelesaian

Diketahui:
$\sin x = \dfrac{1}{2}\sqrt{3} = \sin 60^{\circ}$
Kemungkinan 1:
$x = 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = 60^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 420^{\circ}~~(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} x & = (180-60)^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \end{aligned}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = 120^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 480^{\circ}~~(\text{X})$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpunan adalah $\boxed{\{60^{\circ}, 120^{\circ}\}} $ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\cos x = \dfrac{1}{2}$ untuk $0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{60^{\circ}, 120^{\circ}\}$
B. $\{30^{\circ}, 300^{\circ}\}$ 
C. $\{30^{\circ}, 330^{\circ}\}$
D. $\{45^{\circ}, 315^{\circ}\}$
E. $\{60^{\circ}, 300^{\circ}\}$

Penyelesaian

Diketahui:
$\cos x = \dfrac{1}{2}= \cos 60^{\circ}$
Kemungkinan 1:
$x = 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = 60^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 420^{\circ}~~(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$x = -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = -60^{\circ}~~(\text{X})$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 300^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=2$, diperoleh $x = 660^{\circ}~~(\text{X})$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpunan adalah $\boxed{\{60^{\circ}, 300^{\circ}\}}$ 
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 3
Himpunan penyelesaian persamaan $\sqrt{2} \sin 3x = 1$ untuk $0^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{15^{\circ}, 45^{\circ}, 135^{\circ}\}$
B. $\{15^{\circ}, 45^{\circ}, 165^{\circ}\}$ 
C. $\{35^{\circ}, 45^{\circ}, 145^{\circ}\}$ 
D. $\{15^{\circ}, 45^{\circ}, 135^{\circ}, 165^{\circ} \}$
E. $\{15^{\circ}, 45^{\circ}, 135^{\circ}, 175^{\circ}\}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa persamaan $\sqrt{2} \sin 3x = 1$ ekuivalen dengan persamaan 
$\sin 3x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} = \sin 45^{\circ}$
Untuk itu, didapat 2 kemungkinan berikut. 
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} 3x & = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ & \text{Bagi kedua ruas dengan}~3 \\ x& = 15^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \end{aligned}$
Jika $k = 0$, diperoleh $x = 15^{\circ}~~(\checkmark)$
Jika $k = 1$, diperoleh $x = 135^{\circ}~~(\checkmark)$
Jika $k = 2$, diperoleh $x = 255^{\circ}~~(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} 3x & = (180-45)^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 3x & = 135^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ & \text{Bagi kedua ruas dengan}~3 \\ x & = 45 ^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \end{aligned}$
Jika $k = 0$, diperoleh $x = 45 ^{\circ}~~(\checkmark)$
Jika $k = 1$, diperoleh $x = 165^{\circ}~~(\checkmark)$
Jika $k = 2$, diperoleh $x = 285^{\circ}~~(\text{X})$
Jadi, HP persamaan tersebut adalah
$\boxed{\{15^{\circ}, 45^{\circ}, 135^{\circ}, 165^{\circ}\}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Himpunan penyelesaian persamaan $2 \cos \left(x -\dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$ untuk $0^{\circ} \leq x \leq 2\pi$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{\dfrac{\pi} {6}, \dfrac{\pi} {2}\right\}$                      D. $\left\{\dfrac{\pi} {6}, \dfrac{3\pi} {2}\right\}$
B. $\left\{\dfrac{\pi} {6}, \dfrac{\pi} {3}\right\}$                      E. $\left\{\dfrac{\pi} {3}, \dfrac{3\pi} {2}\right\}$
C. $\left\{\dfrac{\pi} {3}, \dfrac{\pi} {2}\right\}$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} 2 \cos \left(x -\dfrac{\pi}{3}\right) & = \sqrt{3} \\ \cos \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) & = \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos \left(x -\dfrac{\pi}{3}\right) & = \cos \dfrac{\pi} {6} \end{aligned}$
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} x -\dfrac{\pi} {3} & = \dfrac{\pi} {6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \dfrac{\pi} {6} + \dfrac{\pi} {3} + k \cdot 2\pi \\ x & = \dfrac{\pi} {2} + k \cdot 2\pi \end{aligned}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = \dfrac{\pi} {2}~~(\checkmark)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 2\dfrac{1}{2}\pi~~(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} x – \dfrac{\pi} {3} & = -\dfrac{\pi} {6} + k \cdot 2\pi \\ x & = – \dfrac{\pi} {6} + \dfrac{\pi} {3} + k \cdot 2\pi \\ x & = \dfrac{\pi} {6} + k \cdot 2\pi \end{aligned}$ 
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = \dfrac{\pi} {6}~~(\checkmark)$ 
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 2\dfrac{1}{6}\pi~~(\text{X})$
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah $\boxed{\left\{\dfrac{\pi} {6}, \dfrac{\pi} {2}\right\}}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\tan 2x = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$ untuk $0^{\circ} \leq x \leq 270^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{15^{\circ}, 105^{\circ}, 195^{\circ}\}$
B. $\{15^{\circ}, 75^{\circ}, 105^{\circ}\}$
C. $\{15^{\circ}, 45^{\circ}, 75^{\circ}\}$
D. $\{45^{\circ}, 315^{\circ}\}$
E. $\{60^{\circ}, 300^{\circ}\}$

Penyelesaian

Diketahui:
$\tan 2x = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} = \tan 30^{\circ}$
Dengan demikian, ditulis
$\begin{aligned} 2x & = 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \end{aligned}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = 15^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 105^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=2$, diperoleh $x = 195^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=3$, diperoleh $x = 285^{\circ}~~(\text{X})$ 
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpunan adalah $\boxed{\{15^{\circ}, 105^{\circ}, 195^{\circ}\}}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Dalam selang $[0, 2\pi]$, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $\cos x = \cos \dfrac{2\pi} {5}$.

Penyelesaian

Diketahui $\cos x = \cos \dfrac{2\pi} {5}$. Dengan demikian, 
Kemungkinan 1:
$x = \dfrac{2\pi} {5} + k \cdot 2\pi$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = \dfrac{2\pi} {5}~~(\checkmark)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x > 2\pi~~(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$x = -\dfrac{2\pi} {5} + k \cdot 2\pi$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = – \dfrac{2\pi} {5}~~(\text{X})$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = -\dfrac{2\pi} {5} + 2\pi = \dfrac{8\pi} {5}~~(\checkmark)$
Untuk $k=2$, diperoleh $x > 2\pi~~(\text{X})$
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah $\left\{\dfrac{2\pi} {5}, \dfrac{8\pi} {5}\right\}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Himpunan penyelesaian dari persamaan $2 \cos^2 x + 5 \sin x -4 = 0$ untuk $0 ^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{30^{\circ}, 150^{\circ}\}$
B. $\{30^{\circ}, 300^{\circ}\}$ 
C. $\{60^{\circ}, 150^{\circ}\}$
D. $\{60^{\circ}, 300^{\circ}\}$
E. $\{150^{\circ}, 300^{\circ}\}$

Penyelesaian

Gunakan identitas berikut. 
$\boxed{\cos^2 x = 1 -\sin^2 x}$
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} 2 \cos^2 x + 5 \sin x -4 & = 0 \\ 2(1 -\sin^2 x) + 5 \sin x -4 & = 0 \\ -2 \sin^2 x + 5 \sin x -2 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&-1 \\ 2 \sin^2 x -5 \sin x + 2 & = 0 \\  \text{Misalkan}~\sin x & = y \\ 2y^2 -5y + 2 & = 0 \\ (2y-1)(y-2) & = 0 \end{aligned}$
Dari sini, diperoleh
$2y-1=0 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}$
atau
$y-2=0 \Leftrightarrow y = 2$
Substitusi kembali $y = \sin x$ sehingga diperoleh kemungkinan:
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} \sin x & = \dfrac{1}{2} = \sin 30^{\circ} \\ x & = 30^{\circ} + k(360^{\circ}) \\ x & = (180-30)^{\circ} + k(360^{\circ}) \end{aligned}$
Untuk $k = 0$, selanjutnya diperoleh
$x = 30^{\circ}$ atau $x = 150^{\circ}$
Kemungkinan 2: $\sin x = 2$
Karena nilai maksimum sinus adalah $1$, maka $\sin x = 2$ tidak akan memiliki solusi. 
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah $\{30^{\circ}, 150^{\circ}\}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos 2x -\sin x = 0$ untuk $0 ^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{30^{\circ}, 150^{\circ}\}$
B. $\{60^{\circ}, 120^{\circ}\}$ 
C. $\{30^{\circ}, 60^{\circ}, 150^{\circ}\}$
D. $\{60^{\circ}, 90^{\circ}, 120^{\circ} \}$
E. $\{60^{\circ}, 120^{\circ}, 150^{\circ}\}$

Penyelesaian

Gunakan identitas berikut. 
$\boxed{\cos 2x = 1 -2 \sin^2 x}$
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} \cos 2x -\sin x & = 0 \\ (1-2 \sin^2 x) – \sin x & = 0 \\ -2 \sin^2 x -\sin x + 1 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&-1 \\ 2 \sin^2 x + \sin x- 1 & = 0 \\ (2 \sin x -1)(\sin x + 1) & = 0 \end{aligned}$
Pembuat nol:
$2 \sin x -1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}$
atau
$\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = -1$
Kemungkinan 1:
$$\begin{aligned} \sin x & = \dfrac{1}{2} = \sin 30^{\circ} \\ x & = 30^{\circ} + k(360^{\circ}) \lor x = (180-30)^{\circ} + k(360^{\circ}) \end{aligned}$$Untuk $k = 0$, selanjutnya diperoleh $x = 30^{\circ}$ atau $x = 150^{\circ}$
Kemungkinan 2: $\sin x = -1$
Satu-satunya $x$ yang memenuhi $\sin x = -1$ adalah $x = 270^{\circ}$, tetapi karena di luar batas interval $x$, maka bukan termasuk penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah $\{30^{\circ}, 150^{\circ}\}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Himpunan penyelesaian dari persamaan $\sin (2x + 110)^{\circ} + \sin (2x-10)^{\circ}= \dfrac{1}{2}$ untuk $0 ^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{10^{\circ}, 50^{\circ}, 170^{\circ}, 230^{\circ}\}$
B. $\{50^{\circ}, 70^{\circ}, 230^{\circ}\}$ 
C. $\{50^{\circ}, 170^{\circ}, 230^{\circ}, 350^{\circ}\}$
D. $\{20^{\circ}, 80^{\circ}, 100^{\circ} \}$
E. $\{0^{\circ}, 50^{\circ}, 170^{\circ}, 230^{\circ}, 350^{\circ}\}$

Penyelesaian

Gunakan rumus jumlah fungsi sinus
$$\boxed{\sin A + \sin B = 2 \sin \dfrac{1}{2}(A+B) \cos \dfrac{1}{2}(A-B)}$$Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} \sin (2x + 110)^{\circ} + \sin (2x-10)^{\circ} & = \dfrac{1}{2} \\ 2 \sin \dfrac{1}{2}(2x+110+2x-10)^{\circ} \\ \cos \dfrac{1}{2}(2x+110-2x+10)^{\circ} & = \dfrac{1}{2} \\ 2 \sin (2x + 50)^{\circ} \color{blue}{\cos 60^{\circ}} & = \dfrac{1}{2} \\ \cancel{2} \sin(2x+50)^{\circ} \cdot \color{blue}{\dfrac{1}{\cancel{2}}} & = \dfrac{1}{2} \\ \sin(2x+50)^{\circ} & = \dfrac{1}{2} \\ \sin(2x+50)^{\circ} & = \sin 30^{\circ} \end{aligned}$
Gunakan persamaan bentuk sinus: $\sin px = \sin \theta$, dengan penyelesaiannya, yakni
$\boxed{\begin{aligned} px & = \theta + k \cdot 360^{\circ} \\ px & = (180^{\circ} -\theta) + k \cdot 360^{\circ} \end{aligned}}$
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} (2x + 50)^{\circ}& = 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x^{\circ} & = -20^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x^{\circ} & = -10^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{aligned}$
Pilih $k = 1$ atau $k =2$, sehingga diperoleh $x = 170^{\circ}$ atau $x = 350^{\circ}$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} (2x + 50)^{\circ}& = (180-30)^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x^{\circ} & = 100^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x^{\circ} & = 50^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{aligned}$
Pilih $k = 0$ atau $k =1$, sehingga diperoleh $x = 50^{\circ}$ atau $x = 230^{\circ}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah $\{50^{\circ}, 170^{\circ}, 230^{\circ}, 350^{\circ}\}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\cos 2x + \sin x -1 = 0$ untuk $0 \leq x \leq 360^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{30^{\circ}, 150^{\circ}, 180^{\circ}, 360^{\circ}\}$
B. $\{60^{\circ}, 120^{\circ}, 150^{\circ}, 270^{\circ}\}$ 
C. $\{30^{\circ}, 150^{\circ}, 180^{\circ} 270^{\circ}\}$
D. $\{30^{\circ}, 90^{\circ}, 150^{\circ}, 270^{\circ} \}$
E. $\{45^{\circ}, 135^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}\}$

Penyelesaian

Gunakan identitas sudut ganda. 
$\boxed{\cos 2x = 1 -2 \sin^2 x}$ 
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} \cos 2x + \sin x -1 & = 0 \\ (1 -2 \sin^2 x) + \sin x -1 & = 0 \\ -2 \sin^2 x + \sin x & = 0 \\ \sin x(-2 \sin x + 1) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$\sin x = 0 \implies x = 180^{\circ} \lor 360^{\circ}$
(Perhatikan bahwa $x \neq 0^{\circ}$, padahal $\sin 0^{\circ} = 0$ karena di luar batas nilai interval $x$) 
$\begin{aligned}-2 \sin x + 1  &= 0 \\ \sin x & = \dfrac{1}{2} \\ x & = 30^{\circ} \lor x = 150^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut dalam bentuk himpunan adalah $\boxed{\{30^{\circ}, 150^{\circ}, 180^{\circ}, 360^{\circ}\}}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Himpunan penyelesaian persamaan $\sin 4x -\cos 2x = 0$ dengan $0^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{15^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}\}$
B. $\{15^{\circ}, 30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}\}$ 
C. $\{15^{\circ}, 45^{\circ}, 75^{\circ}, 135^{\circ}\}$ 
D. $\{30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}, 150^{\circ} \}$
E. $\{45^{\circ}, 75^{\circ}, 105^{\circ}, 135^{\circ}\}$

Penyelesaian

Dengan menggunakan bentuk umum rumus sudut ganda sinus, yaitu
$\boxed{\sin 2ax = 2 \sin ax \cos ax}$
diperoleh
$\begin{aligned} \sin 4x -\cos 2x & = 0 \\ (2 \sin 2x \cos 2x) -\cos 2x & = 0 \\ \cos 2x(2 \sin 2x -1) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$\cos 2x = 0 \implies x = 45^{\circ} \lor 135^{\circ}$
atau
$\begin{aligned} 2 \sin 2x -1 & = 0 \\ \sin 2x & = \dfrac{1}{2} \\ x & = 15^{\circ} \lor x = 75^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, HP persamaan trigonometri tersebut adalah $\boxed{\{15^{\circ}, 45^{\circ}, 75^{\circ}, 135^{\circ}\}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Nilai $\tan x$ yang memenuhi persamaan $\cos 2x -5 \cos x -2 = 0$ di mana $\pi < x < \dfrac{3}{2}\pi$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{3}$                                D. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{3}{4}$                                   E. $\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
C. $\dfrac{1}{3}\sqrt{3}$ 

Penyelesaian

Gunakan identitas:
$\boxed{\cos 2x = 2 \cos^2 x -1}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \cos 2x -5 \cos x – 2 & = 0 \\ (2 \cos^2 x -1) -5 \cos x -2 & = 0 \\ 2 \cos^2 x -5 \cos x -3 & = 0 \\ (2 \cos x + 1)(\cos x -3) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $2 \cos x + 1 = 0$ (yang ekuivalen dengan $\cos x = -\dfrac{1}{2}$) atau $\cos x -3 = 0$ (yang ekuivalen dengan $\cos x = 3$, tetapi tidak memiliki penyelesaian karena nilai mkasimum cosinus adalah $1$). 
Tinjau persamaan $\cos x = -\dfrac{1}{2}$, yang dapat ditulis menjadi
$\cos x = \cos 120^{\circ}$
Kemungkinan 1:
$x = 120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
Untuk $k=0$, diperoleh $x = 120^{\circ} < \pi~~(\text{X})$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 480^{\circ}~~(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$x = -120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
Untuk $k=0$, diperoleh $x = -120^{\circ} < \pi~~(\text{X})$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 240^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=2$, diperoleh $x = 600^{\circ}~~(\text{X})$
Jadi, satu-satunya nilai $x$ yang menjadi penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah $x = 240^{\circ}$, sehingga
$\boxed{\tan x = \tan 240^{\circ} = \sqrt{3}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Himpunan penyelesaian persamaan $\sqrt{3-3 \cos^2 2x} -\cos 4x = 2$ untuk $0 < x < 2\pi$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}, 240^{\circ}\}$
B. $\{30^{\circ}, 60^{\circ}, 210^{\circ}, 240^{\circ}\}$ 
C. $\{30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}, 210^{\circ}\}$
D. $\{30^{\circ}, 90^{\circ}, 210^{\circ}, 240^{\circ}\}$
E. $\{30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}, 150^{\circ}\}$

Penyelesaian

Gunakan identitas:
$\boxed{\cos 4x = 2 \cos^2 2x -1}$
Lakukan penyederhanaan, lalu ubah bentuk variabelnya dalam $\cos 2x$. 
$$\begin{aligned} \sqrt{3-3 \cos^2 2x} -\cos 4x & = 2 \\ \sqrt{3-3 \cos^2 2x} & = 2 + \cos 4x \\ \sqrt{3-3 \cos^2 2x} & = 2 + (2 \cos^2 2x – 1) \\ \sqrt{3-3 \cos^2 2x} & = 1 + 2 \cos^2 2x \\ \text{Kuadratkan kedua}~&\text{ruas} \\ 3-3 \cos^2 2x & = (1 + 2 \cos^2 2x)^2 \\ \text{Misalkan}~a & = \cos^2 2x \\ 3 -3a & = (1+2a)^2 \\ 3-3a & = 1+4a+4a^2 \\ 4a^2+7a-2 & = 0 \\ (4a-1) (a+2) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = \dfrac{1}{4}$ atau $a = -2$
Substitusi kembali $a = \cos^2 2x$. Jadi, dapat ditulis
$\cos^2 2x = \dfrac{1}{4}$ atau $\cos^2 2x = -2$
Persamaan kedua tidak memiliki solusi karena bentuk kuadrat tidak mungkin menghasilkan bilangan negatif. 
Sekarang, tinjau persamaan $\cos^2 2x = \dfrac{1}{4}$ yang ekuivalen dengan $\cos 2x = \pm \dfrac{1}{2}$. 
Sekarang, untuk $\cos 2x = \dfrac{1}{2} = \cos 60^{\circ}$ akan ada 2 kemungkinan
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} 2x & = 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{aligned}$
Substitusi $k = 0$ dan $k=1$ untuk memperoleh $x = 30^{\circ}$ dan $x = 210^{\circ}$. 
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} 2x & = (180-60)^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 60^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{aligned}$
Substitusi $k = 0$ dan $k=1$ untuk memperoleh $x = 60^{\circ}$ dan $x = 240^{\circ}$. 
Jadi, HP persamaan tersebut adalah $\boxed{\{30^{\circ}, 90^{\circ}, 210^{\circ}, 240^{\circ}\}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek) 
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah solusi dari $\sec x -2 -15 \cos x = 0$ dengan $0 \leq x \leq \pi$ dengan $x \neq \dfrac{\pi} {2}$, maka $\dfrac{1}{\cos x_1 \cdot \cos x_2} = \cdots \cdot$
A. $-20$                    C. $-10$                   E. $0$
B. $-15$                    D. $-5$      

Penyelesaian

Perhatikan bahwa secan merupakan bentuk kebalikan dari cosinus, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} \sec x -2 -15 \cos x & = 0 \\ \dfrac{1}{\cos x} -2 -15 \cos x & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&\cos x \\ 1 -2 \cos x -15 \cos^2 x & = 0 \end{aligned}$
Kita peroleh bentuk persamaan kuadrat apabila pemisalan $a = \cos x$ diberlakukan, sehingga menjadi
$-15a^2 -2a + 1 = 0$
Karena $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar (solusi) persamaan tersebut, maka hasil kali kedua akarnya adalah
$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\text{Konstan}} {\text{Koef.}~a^2} = -\dfrac{1}{15}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{1}{\cos x_1 \cdot \cos x_2} = -15}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek) 
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah solusi dari persamaan $\dfrac{2 \sin x \cos 2x} {\cos x \sin 2x} -5 \tan x + 5 = 0$, maka $\tan (x_1 + x_2) = \cdots \cdot$
A. $-\dfrac{5}{7}$                C. $\dfrac{\sqrt{5}} {7}$              E. $\dfrac{5}{3}$
B. $-\dfrac{5}{3}$                D. $\dfrac{\sqrt{5}} {3}$     

Penyelesaian

Gunakan identitas/rumus trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \dfrac{\sin ax} {\cos ax} = \tan ax \\ & \dfrac{\cos ax} {\sin ax} = \cot ax \\ & \cot 2x = \dfrac{1- \tan^2 x} {2 \tan x} \\ & \tan (A + B) = \dfrac{\tan A + \tan B} {1 -\tan A \tan B} \end{aligned}}$ 
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{2 \sin x \cos 2x} {\cos x \sin 2x} -5 \tan x + 5 & = 0 \\ 2 \cdot \dfrac{\sin x} {\cos x} \cdot \dfrac{\cos 2x} {\sin 2x} -5 \tan x + 5 & = 0 \\ 2 \tan x \cot 2x -5 \tan x + 5 & = 0 \\ \cancel{2 \tan x} \cdot \dfrac{1- \tan^2 x} {\cancel{2 \tan x}} -5 \tan x + 5 & = 0 \\ 1 -\tan^2 x -5 \tan x + 5 & = 0 \\ \tan^2 x + 5 \tan x -6 & = 0 \\ (\tan x + 6)(\tan x -1) & = 0 \end{aligned}$
Selanjutnya diperoleh $\tan x_1 = -6$ atau $\tan x_2 = 1$ 
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \tan (x_1 + x_2) & = \dfrac{\tan x_1 + \tan x_2} {1 -\tan x_1 \tan x_2} \\ & = \dfrac{-6 + 1}{1 -(-6)(1)} \\ & = -\dfrac{5}{7} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\tan (x_1 + x_2) = – \dfrac{5}{7}}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek) 
Banyaknya solusi yang memenuhi $-2 \tan x \sec x -2 \tan x + 5 \sin x = 0$ dengan $0 < x < \pi$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$         B. $1$          C. $2$          D. $3$           E. $4$

Penyelesaian

Gunakan identitas/rumus trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \dfrac{\sin ax} {\cos ax} = \tan ax \\ & \sec ax = \dfrac{1}{\cos ax} \end{aligned}}$ 
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & -2 \tan x \sec x -2 \tan x + 5 \sin x = 0 \\ & -2 \tan x(\sec x + 1) + 5 \sin x = 0 \\ & 5 \sin x = 2 \tan x (\sec x + 1) \\ & 5~\cancel{\sin x} = \dfrac{2~\cancel{\sin x}} {\cos x} \left(\dfrac{1}{\cos x} + 1\right) \\ & 5 = \dfrac{2}{\cos^2 x} + \dfrac{2}{\cos x} \\ & \text{Kalikan kedua ruas dengan}~\cos^2 x \\ & 5 \cos^2 x = 2 + 2 \cos x \\ & 5 \cos^2 x -2 \cos x -2 = 0 \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus ABC (rumus kuadrat), diperoleh akar-akar penyelesaian
$\begin{aligned} \cos x & = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(5)(-2)}}{2(5)} \\ & = \dfrac{2 \pm \sqrt{44}} {10} \end{aligned}$
Selanjutnya, akan diperiksa apakah kedua solusi tersebut terpenuhi di interval $0 < x < \pi$. 
Untuk $0 < x < \pi$, kita peroleh interval nilai $\cos x$ yang mungkin adalah $-1 < \cos x < 1$ (perhatikan kembali grafik fungsi cosinus). Bentuk $-1 < \cos x < 1$ ekuivalen dengan $|\cos x| < 1$
Selanjutnya, perhatikan bahwa
$$|\cos x| = \left|\dfrac{2 + \sqrt{44}} {10}\right| < \left|\dfrac{2 + \sqrt{49}} {10}\right| = \dfrac{9}{10} < 1$$(Terpenuhi) 
$$|\cos x| = \left|\dfrac{2 – \sqrt{44}} {10}\right| < \left|\dfrac{2 – \sqrt{49}} {10}\right| = \dfrac{5}{10} < 1$$(Terpenuhi) 
Jadi, ada $\boxed{2}$ solusi yang memenuhi persamaan trigonometri di atas (Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 17
Jika $x_1$ dan $x_2$ memenuhi persamaan $2 \sin x + \sec x -2 \tan x -1 = 0$, maka nilai $\sin x_1 + \cos x_2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{4}{5}$           B. $\dfrac{3}{4}$          C. $\dfrac{4}{3}$         D. $\dfrac{3}{2}$          E. $2$

Penyelesaian

Gunakan identitas/rumus trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \dfrac{\sin ax} {\cos ax} = \tan ax \\ & \sec ax = \dfrac{1}{\cos ax} \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} 2 \sin x + \sec x -2 \tan x -1 & = 0 \\ 2 \sin x + \dfrac{1}{\cos x} – \dfrac{2 \sin x} {\cos x} -1 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~& \cos x \\ 2 \sin x \cos x + 1 -2 \sin x -\cos x & = 0 \\ 2 \sin x(\cos x -1) -(\cos x -1) & = 0 \\ (2 \sin x -1)(\cos x -1) & = 0 \end{aligned}$
Kita peroleh $\sin x = \dfrac{1}{2}$ atau $\cos x = 1$. 
Untuk $\sin x_1 = \dfrac{1}{2}$ dan $\cos x_2 = 1$, didapat
$\boxed{\sin x_1 + \cos x_2 = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek) 
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah solusi dari $2(\cot 2x) (\cot x) + \cot x = 1$, maka $(\cot x_1)(\cot x_2) = \cdots \cdot$
A. $-2$                        C. $1$                     E. $3$
B. $-1$                        D. $2$         

Penyelesaian

Gunakan identitas trigonometri:
$\boxed{\cot 2x =\dfrac{\cot^2 x -1}{2 \cot x}}$
Untuk itu, kita peroleh
$\begin{aligned} 2(\cot 2x) (\cot x) + \cot x & = 1 \\ \bcancel{2} \left(\dfrac{\cot^2 x -1}{\bcancel{2} \cancel{\cot x}}\right) (\cancel{\cot x}) + \cot x -1 & = 0 \\ \cot^2 x + \cot x -2 & = 0 \\ (\cot x + 2)(\cot x -1) & = 0 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\cot x = -2$ atau $\cot x = 1$
Oleh karenanya, 
$\boxed{(\cot x_1)(\cot x_2) = (-2)(1) = -2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek) 
Jika $2 \sin x + 3 \cot x -3 \csc x = 0$ dengan $0 < x < \dfrac{\pi} {2}$, maka $\sin x \cdot \cos x = \cdots \cdot$
A. $\sqrt{3}$                             D. $\dfrac{1}{4}\sqrt{3}$
B. $\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$                           E. $\dfrac{1}{5}\sqrt{3}$
C. $\dfrac{1}{3}\sqrt{3}$ 

Penyelesaian

Gunakan identitas/rumus trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \cot x = \dfrac{\cos x} {\sin x} \\ & \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \\ & \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{aligned}}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} 2 \sin x + 3 \cot x -3 \csc x & = 0 \\ 2 \sin x +3 \cdot \dfrac{\cos x} {\sin x} -\dfrac{3}{\sin x} & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&\sin x \\ 2 \sin^2 x + 3 \cos x -3 & = 0 \\ 2(1 -\cos^2 x) + 3 \cos x -3 & = 0 \\ -2 \cos^2 x + 3 \cos x -1 & = 0 \\ (2 \cos x -1)(\cos x -1) & = 0 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\cos x = \dfrac{1}{2}$ atau $\cos x = 1$ 
Perhatikan bahwa untuk $0 < x < \dfrac{\pi} {2}$, $\cos x$ tidak memiliki solusi. Dengan demikian, tinjau hanya pada $\cos x = \dfrac{1}{2}$. 
Ingat bahwa cosinus merupakan perbandingan $\dfrac{\text{samping}} {\text{miring}}$, sehingga panjang sisi depannya adalah $\sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}$
Ini berarti, $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}} {2}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin x \cdot \cos x = \dfrac{\sqrt{3}} {2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\sqrt{3}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 20 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek) 
Diketahui persamaan $\sec \theta \left(\sec \theta (\sin \theta)^2 + \dfrac{2}{3}\sqrt{3} \sin \theta\right) = 1$. Jika $\theta_1$ dan $\theta_2$ merupakan solusi persamaan tersebut, maka nilai $\tan \theta_1 \cdot \tan \theta_2 = \cdots \cdot$
A. $-1$                       C. $0$                     E. $1$
B. $-0,5$                   D. $0,5$         

Penyelesaian

Gunakan identitas/rumus trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \sec \theta = \dfrac{1}{\cos \theta} \\ & \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \\ & \cos 2\theta = \cos^2 \theta -\sin^2 \theta \\ & \tan a\theta = \dfrac{\sin a\theta} {\cos a\theta} \\ & \tan 2\theta = \dfrac{2 \tan \theta} {1 -\tan^2 \theta} \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \sec \theta \left(\sec \theta (\sin \theta)^2 + \dfrac{2}{3}\sqrt{3} \sin \theta\right) = 1 \\ & \dfrac{1}{\cos \theta} \cdot \sin^2 \theta + \dfrac{2}{3}\sqrt{3} \sin \theta = \dfrac{1}{\sec \theta} \\ & \dfrac{1}{\cos \theta} \cdot \sin^2 \theta + \dfrac{2}{3}\sqrt{3} \sin \theta = \cos \theta \\ & \text{Kalikan kedua ruas dengan}~\cos \theta \\ & \sin^2 \theta + \dfrac{3}{\sqrt{3}} (2 \sin \theta \cos \theta) = \cos^2 \theta \\ & \dfrac{3}{\sqrt{3}} (\sin 2\theta) = \cos^2 \theta -\sin^2 \theta \\ & \dfrac{3}{\sqrt{3}} (\sin 2\theta) = \cos 2\theta \\ & \dfrac{\sin 2\theta} {\cos 2\theta} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ & \tan 2\theta = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \end{aligned}$
Dengan menggunakan identitas sudut ganda untuk tangen, diperoleh
$$\begin{aligned} \tan 2\theta & = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ \dfrac{2 \tan \theta} {1 -\tan^2 \theta} & = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ 6 \tan \theta & = \sqrt{3} -\sqrt{3} \tan^2 \theta \\ \sqrt{3} \tan^2 \theta + 6 \tan \theta -\sqrt{3} & = 0 \\ (\sqrt{3} \tan \theta -1)(\tan \theta + \sqrt{3}) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $\tan \theta = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$ atau $\tan \theta = -\sqrt{3}$
Untuk $\tan \theta_1 = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$ dan $\tan \theta_2 = -\sqrt{3}$, kita dapatkan
$\boxed{\tan \theta_1 \cdot \tan \theta_2 = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -1}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek) 
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah solusi dari persamaan $\csc^2 x + 3 \csc x -10 = 0$ dengan $-\dfrac{\pi} {2} < x < \dfrac{\pi} {2}$ serta $x \neq 0$, maka $\dfrac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 \cdot \sin x_2} = \cdots \cdot$
A. $-1$                       C. $-3$                     E. $-5$
B. $-2$                       D. $-4$        

Penyelesaian

Faktorkan bentuk pada ruas kiri persamaan tersebut. 
$\begin{aligned} \csc^2 x + 3 \csc x -10 & = 0 \\ (\csc x + 5)(\csc x -2) & = 0 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\csc x = -5$ atau $\csc x = 2$
Karena cosecan merupakan kebalikan dari sinus, maka kita peroleh
$\sin x = -\dfrac{1}{5}$ atau $\sin x = \dfrac{1}{2}$
Untuk $\sin x_1 = -\dfrac{1}{5}$ dan $\sin x_2 = \dfrac{1}{2}$, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 \cdot \sin x_2} & = \dfrac{-\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{2}} {-\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{-\dfrac{3}{\cancel{10}}} {\dfrac{1}{\cancel{10}}} = -3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 \cdot \sin x_2} = -3}$ 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek) 
Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan solusi dari $\cot^2 x -6 \cot x = 1$ dengan $\cot x \neq 0$, maka nilai $|\sin x_1 \cdot \sin x_2| = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$                          D. $\dfrac{1}{4\sqrt{10}}$
B. $\dfrac{1}{2\sqrt{10}}$                        E. $\dfrac{1}{5\sqrt{10}}$
C. $\dfrac{1}{3\sqrt{10}}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa persamaaan $\cot^2 x -6 \cot x = 1$ ekuivalen dengan persamaan $\cot^2 x -6 \cot x -1 = 0$
Karena persamaan tersebut dapat diasumsikan sebagai persamaan kuadrat dengan variabel $\cot x$, maka akar penyelesaiannya dapat ditentukan dengan rumus ABC, yaitu
$\begin{aligned} \cot x & = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{6 \pm \sqrt{40}} {2} \\ &  = 3 \pm \sqrt{10} \end{aligned}$
Cotangen adalah perbandingan panjang sisi samping dengan sisi depan (cot = sa/mi), sehingga untuk menentukan nilai sinusnya dapat menggunakan pendekatan gambar segitiga siku-siku.

Kita peroleh panjang hipotenusanya adalah
$\begin{aligned} h_1 & = \sqrt{1^2 + (3 + \sqrt{10})^2} \\ & = \sqrt{1 + (9 + 6\sqrt{10} + 10)} \\ & = \sqrt{20 + 6\sqrt{10}} \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} h_2 & = \sqrt{1^2 + (3 -\sqrt{10})^2} \\ & = \sqrt{1 + (9- 6\sqrt{10} + 10)} \\ & = \sqrt{20 – 6\sqrt{10}} \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\sin x = \dfrac{1}{\sqrt{20 -6\sqrt{10}}}$ atau $\sin x = \sqrt{20 + 6\sqrt{10}}$
Untuk $\sin x_1 = \dfrac{1}{\sqrt{20 -6\sqrt{10}}}$ dan $\sin x_2 = \sqrt{20 + 6\sqrt{10}}$, diperoleh
$$\begin{aligned} |\sin x_1 \cdot \sin x_2| & = \left|\dfrac{1}{\sqrt{20 +6\sqrt{10}}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{20 -6\sqrt{10}}}\right| \\ & = \left|\dfrac{1}{400 – (36 \cdot 10)}\right| \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{40}} = \dfrac{1}{2\sqrt{10}} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{|\sin x_1 \cdot \sin x_2| = \dfrac{1}{2\sqrt{10}}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek) 
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah solusi dari $2 \cot x -2 \tan x -4 \sin x \cos x = 0$ untuk $0 < x < \dfrac{\pi} {2}$, maka $\sin^2 x_1 + \sin^2 x_2 = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{2}$           B. $1$             C. $\dfrac{3}{2}$          D. $2$           E. $\dfrac{5}{2}$

Penyelesaian

Gunakan identitas/rumus trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \tan x = \dfrac{\sin x} {\cos x} \\ & \cot x = \dfrac{\cos x} {\sin x} \\ & \sin 2x = 2 \sin x \cos x \\ & \cos 2x = \cos^2 x -\sin^2 x = 1 -2 \sin^2 x \\ & \sin^2 ax + \cos^2 ax = 1 \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis$$\begin{aligned} 2 \cot x -2 \tan x -4 \sin x \cos x & = 0 \\ 2 \cdot \dfrac{\cos x} {\sin x} -2 \cdot \dfrac{\sin x} {\cos x} & = 4 \sin x \cos x \\ \dfrac{2 \cos^2 x -2 \sin^2 x} {\sin x \cos x} & = 4 \sin x \cos x \\ 2(\cos^2 x – \sin^2 x) & = 4 \sin^2 x \cos^2 x \\ 2 \cos 2x & = \sin^2 2x \\ 2 \cos 2x & = 1 -\cos^2 2x \\ \cos^2 2x + 2 \cos 2x -1 & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir dapat diasumsikan sebagai persamaan kuadrat dengan variabel $\cos 2x$. Dengan menggunakan rumus jumlah akar dan identitas trigonometri, kita peroleh
$\begin{aligned} \cos 2x_1 + \cos 2x_2 & = -2 \\ (1 -2 \sin^2 x_1) + (1 -2 \sin^2 x_2) & = -2 \\ 2 \sin^2 x_1 + 2 \sin^2 x_2 & = 4 \\ \sin^2 x_1 + \sin^2 x_2 & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin^2 x_1 + \sin^2 x_2 = 2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 24
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\sin x + \cos x + \tan x + \cot x = \dfrac{2}{\sin 2x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x = 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}, k \in \mathbb{Z}$
B. $x = 60^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}, k \in \mathbb{Z}$
C. $x = 120^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}, k \in \mathbb{Z}$
D. $x = 135^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}, k \in \mathbb{Z}$
E. $x = 150^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}, k \in \mathbb{Z}$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \tan x + \cot x & = \dfrac{\sin x}{\cos x} + \dfrac{\cos x}{\sin x} \\ & = \dfrac{\color{red}{\sin^2 x + \cos^2 x}}{\sin x \cos x} \\ & = \dfrac{\color{red}{1}}{\sin x + \cos x} \\ & = \dfrac{2}{\color{blue}{2 \sin x \cos x}} \\ & = \dfrac{2}{\color{blue}{\sin 2x}} \end{aligned}$
Untuk itu, persamaan $\sin x + \cos x + \tan x + \cot x = \dfrac{2}{\sin 2x}$ ekuivalen dengan
$\begin{aligned} \sin x + \cos x + \cancel{\dfrac{2}{\sin 2x}} & = \cancel{\dfrac{2}{\sin 2x}} \\ \sin x + \cos x & = 0 \\ \text{Bagi dengan}~& \cos x \\ \tan x + 1 & = 0 \\ \tan x & = -1 \\ \tan x & = \tan 135^{\circ} \end{aligned}$
Diperoleh $x = 135^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}$ untuk $k$ anggota bilangan bulat atau secara matematis ditulis $k \in \mathbb{Z}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 25
Diberikan persamaan dalam $x$, yaitu $1 + a \cos x = (a + 1)^2$. Tentukan nilai $a$ yang bulat $(a \neq 0)$ sehingga persamaan tersebut memiliki penyelesaian.

Penyelesaian

Uraikan bentuk $(a+1)^2$, kemudian sederhanakan persamaan tersebut. 
$\begin{aligned} 1 + a \cos x & = (a + 1)^2 \\ \cancel{1} + a \cos x & = a^2 + 2a + \cancel{1} \\ \cancel{a} \cos x & = \cancel{a} (a + 2) \\ \cos x & = a + 2 \end{aligned}$
Interval nilai cosinus $x$ adalah $-1 \leq \cos x \leq 1$, dengan nilai bulat $\{-1, 0, 1\}$
Untuk $\cos x = -1$, berarti $a = -3$. 
Untuk $\cos x = 0$, berarti $a = -2$. 
Untuk $\cos x = 1$, berarti $a = -1$. 
Jadi, nilai $a$ yang bulat sehingga persamaan tersebut memiliki penyelesaian adalah $\boxed{\{-3, -2, -1\}}$

[collapse]

Soal Nomor 26
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\sin \left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \sin x$ untuk $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{\pi}{6}$ dan $\dfrac{2\pi}{3}$                        D. $\dfrac{\pi}{3}$ dan $\dfrac{2\pi}{3}$ 
B. $\dfrac{\pi}{6}$ dan $\dfrac{5\pi}{6}$                        E. $\dfrac{\pi}{3}$ dan $\dfrac{5\pi}{6}$
C. $\dfrac{\pi}{6}$ dan $\dfrac{7\pi}{6}$

Penyelesaian

Dengan menggunakan identitas jumlah sudut fungsi trigonometri, diperoleh
$\begin{aligned} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) & = \sqrt{3} \sin x \\ \sin (x + 30^{\circ}) & = \sqrt{3} \sin x \\ \sin x \cos 30^{\circ} + \cos x \sin 30^{\circ} & = \sqrt{3} \sin x \\ \sin x \left(\dfrac12\sqrt3\right) + \cos x\left(\dfrac12\right) & = \sqrt{3} \sin x \\ \cancel{\dfrac12} \cos x & = \cancel{\dfrac12}\sqrt{3} \sin x \\ 1 & = \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x} \\ \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac13\sqrt3 & = \tan x \end{aligned}$
Dengan demikian, dapat ditentukan bahwa nilai $x$ yang memenuhi persamaan terakhir di atas adalah $\boxed{\dfrac{\pi}{6}}$ dan $\boxed{\dfrac{7\pi}{6}}$ 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 27 (Soal OSK Tingkat SMA/Sederajat Tahun 2013)
Banyaknya nilai $\alpha$ dengan $0 < \alpha < 90^{\circ}$ yang memenuhi persamaan $(1 + \cos \alpha) (1+ \cos 2\alpha) (1 + \cos 4\alpha) = \dfrac{1}{8}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Langkah pertama adalah mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan $(1 -\cos \alpha)$, sehingga menjadi
$$\begin{aligned} \color{red}{(1-\cos \alpha)} (1 + \cos \alpha) (1+ \cos 2\alpha)  (1 + \cos 4\alpha) & = \dfrac{1}{8} \color{red} {(1- \cos \alpha)} \\ \color{red}{ (1 -\cos^2 \alpha)} (1+ \cos 2\alpha) (1 + \cos 4\alpha) & = \dfrac{1}{8}(1- \cos \alpha) \end{aligned}$$Identitas $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha -1$ dapat diubah menjadi $1 -\cos^2 \alpha = \dfrac{1 -\cos 2\alpha} {2}$, sehingga persamaan di atas menjadi$$\begin{aligned} \color{red}{\left(\dfrac{1-\cos 2\alpha} {\cancel{2}}\right)}  (1+ \cos 2\alpha) (1 + \cos 4\alpha) & = \dfrac{1}{\cancelto{4}{8}}(1-\cos \alpha) \\  \color{red} {(1 -\cos^2 2\alpha)}  (1+ \cos 4\alpha) & = \dfrac{1}{4}(1- \cos \alpha) \\  \color{red}{\left(\dfrac{1-\cos 4\alpha} {\cancel{2}}\right)} (1+ \cos 4\alpha) & = \dfrac{1}{\cancelto{2}{4}}(1- \cos \alpha) \\  \color{red}{(1 -\cos^2 4\alpha)}  & = \dfrac{1}{2}(1 -\cos \alpha) \\  \color{red}{\left(\dfrac{1-\cos 8\alpha} {\cancel{2}}\right)} & = \dfrac{1}{\cancel{2}}(1- \cos \alpha) \\ \cos 8\alpha & = \cos \alpha \end{aligned}$$Kita peroleh persamaan dasar trigonometri bentuk cosinus
Penyelesaian: $8\alpha = \pm \alpha + k \cdot 360^{\circ}$ dengan $0^{\circ} < a < 90^{\circ}$. 
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} 8\alpha & = \alpha + k \cdot 360^{\circ} \\ 7\alpha & = k \cdot 360^{\circ} \\ \alpha & = \dfrac{k \cdot 360^{\circ}} {7} \end{aligned}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $\alpha = 0^{\circ}~~(\text{X}) $
Untuk $k = 1$, diperoleh $\alpha = \dfrac{1 \times 360^{\circ}} {7}~~(\checkmark)$
Untuk $k = 2$, diperoleh $\alpha = \dfrac{2 \times 360^{\circ}} {7} > 90^{\circ}~~(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} 8\alpha & = -\alpha + k \cdot 360^{\circ} \\ 9\alpha & = k \cdot 360^{\circ} \\ \alpha & = \dfrac{k \cdot 360^{\circ}} {9} = k \cdot 40^{\circ} \end{aligned}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $\alpha = 0^{\circ}~~(\text{X}) $
Untuk $k = 1$, diperoleh $\alpha = 40^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k = 2$, diperoleh $\alpha = 80^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k = 3$, diperoleh $\alpha = 120^{\circ} > 90^{\circ}~~(\text{X})$
Jadi, banyak nilai $\alpha$ yang memenuhi persamaan itu ada $\boxed{3}$ (lihat banyak tanda centang). 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Penerapan Identitas Trigonometri

CategoriesTrigonometriTags, , , , , , , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *