Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri

Diketahui:
$\sin x = \dfrac{1}{2}\sqrt{3} = \sin 60^{\circ}.$
Kemungkinan 1:
$x = 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = 60^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 420^{\circ}~~(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} x & = (180-60)^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \end{aligned}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = 120^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 480^{\circ}~~(\text{X})$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpunan adalah $\boxed{\{60^{\circ}, 120^{\circ}\}}.$ 
(Jawaban A)

Diketahui:
$\cos x = \dfrac{1}{2}= \cos 60^{\circ}.$
Kemungkinan 1:
$x = 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = 60^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 420^{\circ}~~(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$x = -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = -60^{\circ}~~(\text{X})$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 300^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=2$, diperoleh $x = 660^{\circ}~~(\text{X})$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpunan adalah $\boxed{\{60^{\circ}, 300^{\circ}\}}.$ 
(Jawaban E)

Perhatikan bahwa persamaan $\sqrt{2} \sin 3x = 1$ ekuivalen dengan persamaan 
$\sin 3x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} = \sin 45^{\circ}.$
Untuk itu, didapat 2 kemungkinan berikut. 
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} 3x & = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ & \text{Bagi kedua ruas dengan}~3 \\ x& = 15^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \end{aligned}$
Jika $k = 0$, diperoleh $x = 15^{\circ}~~(\checkmark)$
Jika $k = 1$, diperoleh $x = 135^{\circ}~~(\checkmark)$
Jika $k = 2$, diperoleh $x = 255^{\circ}~~(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} 3x & = (180-45)^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 3x & = 135^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ & \text{Bagi kedua ruas dengan}~3 \\ x & = 45 ^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \end{aligned}$
Jika $k = 0$, diperoleh $x = 45 ^{\circ}~~(\checkmark)$
Jika $k = 1$, diperoleh $x = 165^{\circ}~~(\checkmark)$
Jika $k = 2$, diperoleh $x = 285^{\circ}~~(\text{X})$
Jadi, HP persamaan tersebut adalah
$\boxed{\{15^{\circ}, 45^{\circ}, 135^{\circ}, 165^{\circ}\}}.$
(Jawaban D)

Diketahui:
$\begin{aligned} 2 \cos \left(x -\dfrac{\pi}{3}\right) & = \sqrt{3} \\ \cos \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) & = \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos \left(x -\dfrac{\pi}{3}\right) & = \cos \dfrac{\pi} {6} \end{aligned}$
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} x -\dfrac{\pi} {3} & = \dfrac{\pi} {6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \dfrac{\pi} {6} + \dfrac{\pi} {3} + k \cdot 2\pi \\ x & = \dfrac{\pi} {2} + k \cdot 2\pi \end{aligned}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = \dfrac{\pi} {2}~~(\checkmark)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 2\dfrac{1}{2}\pi~~(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} x -\dfrac{\pi} {3} & = -\dfrac{\pi} {6} + k \cdot 2\pi \\ x & = – \dfrac{\pi} {6} + \dfrac{\pi} {3} + k \cdot 2\pi \\ x & = \dfrac{\pi} {6} + k \cdot 2\pi \end{aligned}$ 
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = \dfrac{\pi} {6}~~(\checkmark)$ 
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 2\dfrac{1}{6}\pi~~(\text{X})$
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah $\boxed{\left\{\dfrac{\pi} {6}, \dfrac{\pi} {2}\right\}}.$ 
(Jawaban A)

Diketahui:
$\tan 2x = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} = \tan 30^{\circ}.$
Dengan demikian, ditulis
$\begin{aligned} 2x & = 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \end{aligned}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = 15^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 105^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=2$, diperoleh $x = 195^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=3$, diperoleh $x = 285^{\circ}~~(\text{X})$ 
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpunan adalah $\boxed{\{15^{\circ}, 105^{\circ}, 195^{\circ}\}}.$ 
(Jawaban A)

Gunakan identitas berikut. 
$\boxed{\cos^2 x = 1 -\sin^2 x}$
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} 2 \cos^2 x + 5 \sin x -4 & = 0 \\ 2(1 -\sin^2 x) + 5 \sin x -4 & = 0 \\ -2 \sin^2 x + 5 \sin x -2 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&-1 \\ 2 \sin^2 x -5 \sin x + 2 & = 0 \\  \text{Misalkan}~\sin x & = y \\ 2y^2 -5y + 2 & = 0 \\ (2y-1)(y-2) & = 0 \end{aligned}$
Dari sini, diperoleh
$2y-1=0 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}$
atau
$y-2=0 \Leftrightarrow y = 2.$
Substitusi kembali $y = \sin x$ sehingga diperoleh kemungkinan:
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} \sin x & = \dfrac{1}{2} = \sin 30^{\circ} \\ x & = 30^{\circ} + k(360^{\circ}) \\ x & = (180-30)^{\circ} + k(360^{\circ}) \end{aligned}$
Untuk $k = 0$, selanjutnya diperoleh
$x = 30^{\circ}$ atau $x = 150^{\circ}$
Kemungkinan 2: $\sin x = 2$
Karena nilai maksimum sinus adalah $1$, maka $\sin x = 2$ tidak akan memiliki solusi. 
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah $\{30^{\circ}, 150^{\circ}\}.$
(Jawaban A)

Gunakan identitas berikut. 
$\boxed{\cos 2x = 1 -2 \sin^2 x}$
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} \cos 2x -\sin x & = 0 \\ (1-2 \sin^2 x) – \sin x & = 0 \\ -2 \sin^2 x -\sin x + 1 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&-1 \\ 2 \sin^2 x + \sin x- 1 & = 0 \\ (2 \sin x -1)(\sin x + 1) & = 0 \end{aligned}$
Pembuat nol:
$2 \sin x -1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}$
atau
$\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = -1.$
Kemungkinan 1:
$$\begin{aligned} \sin x & = \dfrac{1}{2} = \sin 30^{\circ} \\ x & = 30^{\circ} + k(360^{\circ}) \lor x = (180-30)^{\circ} + k(360^{\circ}) \end{aligned}$$Untuk $k = 0$, selanjutnya diperoleh $x = 30^{\circ}$ atau $x = 150^{\circ}$
Kemungkinan 2: $\sin x = -1$
Satu-satunya $x$ yang memenuhi $\sin x = -1$ adalah $x = 270^{\circ}$, tetapi karena di luar batas interval $x$, maka bukan termasuk penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah $\{30^{\circ}, 150^{\circ}\}.$
(Jawaban A)

Gunakan rumus jumlah fungsi sinus. 
$$\boxed{\sin A + \sin B = 2 \sin \dfrac{1}{2}(A+B) \cos \dfrac{1}{2}(A-B)}$$Untuk itu, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \sin (2x + 110)^{\circ} + \sin (2x-10)^{\circ} & = \dfrac{1}{2} \\ 2 \sin \dfrac{1}{2}(2x+110+2x-10)^{\circ} \\ \cos \dfrac{1}{2}(2x+110-2x+10)^{\circ} & = \dfrac{1}{2} \\ 2 \sin (2x + 50)^{\circ} \color{blue}{\cos 60^{\circ}} & = \dfrac{1}{2} \\ \cancel{2} \sin(2x+50)^{\circ} \cdot \color{blue}{\dfrac{1}{\cancel{2}}} & = \dfrac{1}{2} \\ \sin(2x+50)^{\circ} & = \dfrac{1}{2} \\ \sin(2x+50)^{\circ} & = \sin 30^{\circ} \end{aligned}$$Gunakan persamaan bentuk sinus: $\sin px = \sin \theta$, dengan penyelesaiannya, yakni
$\boxed{\begin{aligned} px & = \theta + k \cdot 360^{\circ} \\ px & = (180^{\circ} -\theta) + k \cdot 360^{\circ}. \end{aligned}}$
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} (2x + 50)^{\circ}& = 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x^{\circ} & = -20^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x^{\circ} & = -10^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{aligned}$
Pilih $k = 1$ atau $k =2$ sehingga diperoleh $x = 170^{\circ}$ atau $x = 350^{\circ}.$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} (2x + 50)^{\circ}& = (180-30)^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x^{\circ} & = 100^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x^{\circ} & = 50^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{aligned}$
Pilih $k = 0$ atau $k =1$ sehingga diperoleh $x = 50^{\circ}$ atau $x = 230^{\circ}.$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah $\{50^{\circ}, 170^{\circ}, 230^{\circ}, 350^{\circ}\}.$
(Jawaban C)

Gunakan identitas sudut ganda. 
$\boxed{\cos 2x = 1 -2 \sin^2 x}$ 
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} \cos 2x + \sin x -1 & = 0 \\ (1 -2 \sin^2 x) + \sin x -1 & = 0 \\ -2 \sin^2 x + \sin x & = 0 \\ \sin x(-2 \sin x + 1) & = 0. \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$\sin x = 0 \implies x = 180^{\circ} \lor 360^{\circ}.$
Perhatikan bahwa $x \neq 0^{\circ}$, meskipun $\sin 0^{\circ} = 0$ karena di luar batas nilai interval $x.$
$\begin{aligned}-2 \sin x + 1  &= 0 \\ \sin x & = \dfrac{1}{2} \\ x & = 30^{\circ} \lor x = 150^{\circ} \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut dalam bentuk himpunan adalah $\boxed{\{30^{\circ}, 150^{\circ}, 180^{\circ}, 360^{\circ}\}}$
(Jawaban A)

Dengan menggunakan bentuk umum rumus sudut ganda sinus, yaitu
$\boxed{\sin 2ax = 2 \sin ax \cos ax}$
diperoleh
$\begin{aligned} \sin 4x -\cos 2x & = 0 \\ (2 \sin 2x \cos 2x) -\cos 2x & = 0 \\ \cos 2x(2 \sin 2x -1) & = 0. \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$\cos 2x = 0 \implies x = 45^{\circ} \lor 135^{\circ}$
atau
$\begin{aligned} 2 \sin 2x -1 & = 0 \\ \sin 2x & = \dfrac{1}{2} \\ x & = 15^{\circ} \lor x = 75^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, HP persamaan trigonometri tersebut adalah $\boxed{\{15^{\circ}, 45^{\circ}, 75^{\circ}, 135^{\circ}\}}.$
(Jawaban C)

Gunakan identitas:
$\boxed{\cos 2x = 2 \cos^2 x -1}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \cos 2x -5 \cos x – 2 & = 0 \\ (2 \cos^2 x -1) -5 \cos x -2 & = 0 \\ 2 \cos^2 x -5 \cos x -3 & = 0 \\ (2 \cos x + 1)(\cos x -3) & = 0. \end{aligned}$
Diperoleh $2 \cos x + 1 = 0$ (yang ekuivalen dengan $\cos x = -\dfrac{1}{2}$) atau $\cos x -3 = 0$ (yang ekuivalen dengan $\cos x = 3$, tetapi tidak memiliki penyelesaian karena nilai maksimum kosinus adalah $1$). 
Tinjau persamaan $\cos x = -\dfrac{1}{2}$, yang dapat ditulis menjadi
$\cos x = \cos 120^{\circ}.$
Kemungkinan 1:
$x = 120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
Untuk $k=0$, diperoleh $x = 120^{\circ} < \pi~~(\text{X})$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 480^{\circ}~~(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$x = -120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
Untuk $k=0$, diperoleh $x = -120^{\circ} < \pi~~(\text{X})$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = 240^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k=2$, diperoleh $x = 600^{\circ}~~(\text{X})$
Jadi, satu-satunya nilai $x$ yang menjadi penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah $x = 240^{\circ}$ sehingga $\boxed{\tan x = \tan 240^{\circ} = \sqrt{3}}.$
(Jawaban A)

Gunakan identitas:
$\boxed{\cos 4x = 2 \cos^2 2x -1}$
Lakukan penyederhanaan, lalu ubah bentuk variabelnya dalam $\cos 2x$. 
$$\begin{aligned} \sqrt{3-3 \cos^2 2x} -\cos 4x & = 2 \\ \sqrt{3-3 \cos^2 2x} & = 2 + \cos 4x \\ \sqrt{3-3 \cos^2 2x} & = 2 + (2 \cos^2 2x – 1) \\ \sqrt{3-3 \cos^2 2x} & = 1 + 2 \cos^2 2x \\ \text{Kuadratkan kedua}~&\text{ruas} \\ 3-3 \cos^2 2x & = (1 + 2 \cos^2 2x)^2 \\ \text{Misalkan}~a & = \cos^2 2x \\ 3 -3a & = (1+2a)^2 \\ 3-3a & = 1+4a+4a^2 \\ 4a^2+7a-2 & = 0 \\ (4a-1) (a+2) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = \dfrac{1}{4}$ atau $a = -2.$
Syarat akar:
$$\begin{aligned} 3-3 \cos^2 2x \geq 0 \\ -3 \cos^2 2x \geq -3 \\ \cos^2 2x \leq 1 \end{aligned}$$Substitusi kembali $a = \cos^2 2x$. Jadi, dapat ditulis
$\cos^2 2x = \dfrac{1}{4}$ atau $\cos^2 2x = -2.$
Persamaan kedua tidak memiliki solusi karena bentuk kuadrat tidak mungkin menghasilkan bilangan negatif. 
Sekarang, tinjau persamaan $\cos^2 2x = \dfrac{1}{4}$ (memenuhi syarat akar) yang ekuivalen dengan $\cos 2x = \pm \dfrac{1}{2}.$ 
Untuk $\cos 2x = \dfrac{1}{2} = \cos 60^{\circ}$ akan ada 2 kemungkinan.
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} 2x & = 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{aligned}$
Substitusi $k = 0$ dan $k=1$ untuk memperoleh $x = 30^{\circ}$ dan $x = 210^{\circ}$. 
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} 2x & = -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = -30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{aligned}$
Substitusi $k = 1$ dan $k=2$ untuk memperoleh $x = 150^{\circ}$ dan $x = 330^{\circ}$.
Untuk $\cos 2x = -\dfrac{1}{2} = \cos 120^{\circ}$ akan ada 2 kemungkinan.
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} 2x & = 120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = 60^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{aligned}$
Substitusi $k = 0$ dan $k=1$ untuk memperoleh $x = 60^{\circ}$ dan $x = 240^{\circ}$.
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} 2x & = -120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = -60^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \end{aligned}$
Substitusi $k = 1$ dan $k=2$ untuk memperoleh $x = 120^{\circ}$ dan $x = 300^{\circ}$. 
Jadi, HP persamaan tersebut adalah $$\boxed{\{30^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}, 120^{\circ}, 150^{\circ},  210^{\circ}, 240^{\circ}, 300^{\circ}, 330^{\circ} \}}$$Jadi, yang bukan termasuk anggota HP persamaan trigonometri tersebut adalah $\boxed{180^{\circ}}.$
(Jawaban D)

Hubungan sinus dan kosinus pada kuadran I dinyatakan oleh:
$\sin (90-x)^{\circ} = \cos x^{\circ}$
Oleh karena itu, persamaan $\sin (-x+5)^{\circ} = \cos (25-3x)^{\circ}$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \cos (90-(-x+5))^{\circ} &= \cos (25-3x)^{\circ} \\ \cos (x+85)^{\circ} & = \cos (25-3x)^{\circ} \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan konsep persamaan dasar trigonometri untuk kosinus, kita peroleh dua kemungkinan untuk mencari penyelesaian persamaan tersebut.
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} (x+85)^{\circ} & = (25-3x)^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 4x^{\circ} & = -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x^{\circ} & = -15^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \end{aligned}$
Untuk nilai $k$ tertentu, kita peroleh nilai $x$.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai}~k & \text{Nilai}~x & \text{Keterangan} \\ \hline 0 & -15 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 1 & 75 & \text{Memenuhi} \\ 2 & 165 & \text{Tidak Memenuhi} \\ \hline \end{array}$$Catatan: Nilai $x$ yang diperoleh dianggap memenuhi bila dalam interval $0^{\circ} \leq x^{\circ} \leq 90^{\circ}$.
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} (x+85)^{\circ} & = -(25-3x)^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ -2x^{\circ} & = -110^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x^{\circ} & = 55^{\circ} -k \cdot 180^{\circ} \end{aligned}$
Untuk nilai $k$ tertentu, kita peroleh nilai $x$.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai}~k & \text{Nilai}~x & \text{Keterangan} \\ \hline 0 & 55 & \text{Memenuhi} \\ 1 & 125 & \text{Tidak Memenuhi} \\ \hline \end{array}$$Jadi, himpunan penyelesaian untuk nilai $x$ adalah $\{55, 75\}.$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa sekan merupakan bentuk kebalikan dari kosinus sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} \sec x -2 -15 \cos x & = 0 \\ \dfrac{1}{\cos x} -2 -15 \cos x & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&\cos x \\ 1 -2 \cos x -15 \cos^2 x & = 0. \end{aligned}$
Kita peroleh bentuk persamaan kuadrat apabila permisalan $a = \cos x$ diberlakukan sehingga menjadi $-15a^2 -2a + 1 = 0.$
Karena $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar (solusi) persamaan tersebut, maka hasil kali kedua akarnya adalah
$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\text{Konstan}} {\text{Koef.}~a^2} = -\dfrac{1}{15}.$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{1}{\cos x_1 \cdot \cos x_2} = -15}.$
(Jawaban B)

Gunakan identitas/rumus trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \dfrac{\sin ax} {\cos ax} = \tan ax \\ & \dfrac{\cos ax} {\sin ax} = \cot ax \\ & \cot 2x = \dfrac{1- \tan^2 x} {2 \tan x} \\ & \tan (A + B) = \dfrac{\tan A + \tan B} {1 -\tan A \tan B} \end{aligned}}$ 
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \dfrac{2 \sin x \cos 2x} {\cos x \sin 2x} -5 \tan x + 5 & = 0 \\ 2 \cdot \dfrac{\sin x} {\cos x} \cdot \dfrac{\cos 2x} {\sin 2x} -5 \tan x + 5 & = 0 \\ 2 \tan x \cot 2x -5 \tan x + 5 & = 0 \\ \cancel{2 \tan x} \cdot \dfrac{1- \tan^2 x} {\cancel{2 \tan x}} -5 \tan x + 5 & = 0 \\ 1 -\tan^2 x -5 \tan x + 5 & = 0 \\ \tan^2 x + 5 \tan x -6 & = 0 \\ (\tan x + 6)(\tan x -1) & = 0 \end{aligned}$$Selanjutnya diperoleh $\tan x_1 = -6$ atau $\tan x_2 = 1.$ 
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} \tan (x_1 + x_2) & = \dfrac{\tan x_1 + \tan x_2} {1 -\tan x_1 \tan x_2} \\ & = \dfrac{-6 + 1}{1 -(-6)(1)} \\ & = -\dfrac{5}{7}. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\tan (x_1 + x_2) = – \dfrac{5}{7}}.$ 
(Jawaban A)

Gunakan identitas/rumus trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \dfrac{\sin ax} {\cos ax} = \tan ax \\ & \sec ax = \dfrac{1}{\cos ax} \end{aligned}}$ 
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned}  -2 \tan x \sec x -2 \tan x + 5 \sin x & = 0 \\ -2 \tan x(\sec x + 1) + 5 \sin x & = 0 \\ 5 \sin x & = 2 \tan x (\sec x + 1) \\ 5~\cancel{\sin x} & = \dfrac{2~\cancel{\sin x}} {\cos x} \left(\dfrac{1}{\cos x} + 1\right) \\  5 & = \dfrac{2}{\cos^2 x} + \dfrac{2}{\cos x} \\  \text{Kalikan kedua}~&\text{ruas dengan}~\cos^2 x \\ 5 \cos^2 x & = 2 + 2 \cos x \\ 5 \cos^2 x -2 \cos x -2 & = 0. \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus ABC (rumus kuadrat), diperoleh akar-akar penyelesaian
$$\begin{aligned} \cos x & = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(5)(-2)}}{2(5)} \\ & = \dfrac{2 \pm \sqrt{44}} {10} \end{aligned}$$Selanjutnya, akan diperiksa apakah kedua solusi tersebut terpenuhi di interval $0 < x < \pi$. 
Untuk $0 < x < \pi$, kita peroleh interval nilai $\cos x$ yang mungkin adalah $-1 < \cos x < 1$ (perhatikan kembali grafik fungsi kosinus). Bentuk $-1 < \cos x < 1$ ekuivalen dengan $|\cos x| < 1$
Selanjutnya, perhatikan bahwa
$$|\cos x| = \left|\dfrac{2 + \sqrt{44}} {10}\right| < \left|\dfrac{2 + \sqrt{49}} {10}\right| = \dfrac{9}{10} < 1$$(Terpenuhi) 
$$|\cos x| = \left|\dfrac{2 – \sqrt{44}} {10}\right| < \left|\dfrac{2 – \sqrt{49}} {10}\right| = \dfrac{5}{10} < 1$$(Terpenuhi) 
Jadi, ada $\boxed{2}$ solusi yang memenuhi persamaan trigonometri di atas (Jawaban C) 

Gunakan identitas/rumus trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \dfrac{\sin ax} {\cos ax} = \tan ax \\ & \sec ax = \dfrac{1}{\cos ax} \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} 2 \sin x + \sec x -2 \tan x -1 & = 0 \\ 2 \sin x + \dfrac{1}{\cos x} – \dfrac{2 \sin x} {\cos x} -1 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~& \cos x \\ 2 \sin x \cos x + 1 -2 \sin x -\cos x & = 0 \\ 2 \sin x(\cos x -1) -(\cos x -1) & = 0 \\ (2 \sin x -1)(\cos x -1) & = 0. \end{aligned}$$Kita peroleh $\sin x = \dfrac{1}{2}$ atau $\cos x = 1.$
Untuk $\sin x_1 = \dfrac{1}{2}$ dan $\cos x_2 = 1$, didapat
$\boxed{\sin x_1 + \cos x_2 = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}}.$
(Jawaban D)

Gunakan identitas trigonometri:
$\boxed{\cot 2x =\dfrac{\cot^2 x -1}{2 \cot x}}$
Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} 2(\cot 2x) (\cot x) + \cot x & = 1 \\ \bcancel{2} \left(\dfrac{\cot^2 x -1}{\bcancel{2} \cancel{\cot x}}\right) (\cancel{\cot x}) + \cot x -1 & = 0 \\ \cot^2 x + \cot x -2 & = 0 \\ (\cot x + 2)(\cot x -1) & = 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$\cot x = -2$ atau $\cot x = 1.$
Oleh karena itu, $\boxed{(\cot x_1)(\cot x_2) = (-2)(1) = -2}.$
(Jawaban A)

Gunakan identitas/rumus trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \cot x = \dfrac{\cos x} {\sin x} \\ & \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \\ & \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{aligned}}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} 2 \sin x + 3 \cot x -3 \csc x & = 0 \\ 2 \sin x +3 \cdot \dfrac{\cos x} {\sin x} -\dfrac{3}{\sin x} & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}~&\sin x \\ 2 \sin^2 x + 3 \cos x -3 & = 0 \\ 2(1 -\cos^2 x) + 3 \cos x -3 & = 0 \\ -2 \cos^2 x + 3 \cos x -1 & = 0 \\ (2 \cos x -1)(\cos x -1) & = 0. \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\cos x = \dfrac{1}{2}$ atau $\cos x = 1.$ 
Perhatikan bahwa untuk $0 < x < \dfrac{\pi} {2}$, $\cos x$ tidak memiliki solusi. Dengan demikian, tinjau hanya pada $\cos x = \dfrac{1}{2}$. 
Ingat bahwa kosinus merupakan perbandingan $\dfrac{\text{samping}} {\text{miring}}$ sehingga panjang sisi depannya adalah $\sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}.$
Ini berarti, $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}} {2}.$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin x \cdot \cos x = \dfrac{\sqrt{3}} {2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\sqrt{3}}.$
(Jawaban D)

Gunakan identitas/rumus trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} & \sec \theta = \dfrac{1}{\cos \theta} \\ & \tan \theta = \dfrac{\sin \theta} {\cos \theta} \end{aligned}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \sec \theta \left(\sec \theta \sin^2 \theta + \dfrac23\sqrt3 \sin \theta \right) & = 1 \\ \sec^2 \theta \sin^2 \theta + \dfrac23\sqrt3 \sec \theta \sin \theta & = 1 \\ \dfrac{1}{\cos^2 \theta} \cdot \sin^2 \theta + \dfrac23\sqrt3 \dfrac{1}{\cos \theta} \cdot \sin \theta & = 1 \\ \tan^2 \theta + \dfrac23\sqrt3 \tan \theta-1 & = 0 \\ \color{red}{3} \tan^2 \theta+2\sqrt3 \tan \theta\color{blue}{-3} & = 0. \end{aligned}$$Persamaan terakhir dapat diasumsikan sebagai persamaan kuadrat dengan variabel $\tan \theta.$ Misalkan akar-akarnya adalah $\tan \theta_1$ dan $\tan \theta_2,$ maka kita peroleh hasil kali akarnya adalah
$$\begin{aligned} \tan \theta_1 \cdot \tan \theta_2 & = \dfrac{c}{a} \\ & = \dfrac{\color{blue}{-3}}{\color{red}{3}} = -1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\tan \theta_1 \cdot \tan \theta_2 = -1}.$
(Jawaban A)

Faktorkan bentuk pada ruas kiri persamaan tersebut. 
$\begin{aligned} \csc^2 x + 3 \csc x -10 & = 0 \\ (\csc x + 5)(\csc x -2) & = 0 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\csc x = -5$ atau $\csc x = 2.$
Karena kosekan merupakan kebalikan dari sinus, diperoleh
$\sin x = -\dfrac{1}{5}$ atau $\sin x = \dfrac{1}{2}.$
Untuk $\sin x_1 = -\dfrac{1}{5}$ dan $\sin x_2 = \dfrac{1}{2}$, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 \cdot \sin x_2} & = \dfrac{-\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{2}} {-\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{-\dfrac{3}{\cancel{10}}} {\dfrac{1}{\cancel{10}}} = -3. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 \cdot \sin x_2} = -3}.$ 
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa persamaaan $\cot^2 x -6 \cot x = 1$ ekuivalen dengan persamaan $\cot^2 x -6 \cot x -1 = 0$
Karena persamaan tersebut dapat diasumsikan sebagai persamaan kuadrat dengan variabel $\cot x$, maka akar penyelesaiannya dapat ditentukan dengan rumus ABC, yaitu
$$\begin{aligned} \cot x & = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{6 \pm \sqrt{40}} {2} \\ &  = 3 \pm \sqrt{10}. \end{aligned}$$Kotangen adalah perbandingan panjang sisi samping dengan sisi depan (cot = sa/mi) sehingga untuk menentukan nilai sinusnya dapat menggunakan pendekatan gambar segitiga siku-siku.
Kita peroleh panjang hipotenusanya adalah
$\begin{aligned} h_1 & = \sqrt{1^2 + (3 + \sqrt{10})^2} \\ & = \sqrt{1 + (9 + 6\sqrt{10} + 10)} \\ & = \sqrt{20 + 6\sqrt{10}} \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} h_2 & = \sqrt{1^2 + (3 -\sqrt{10})^2} \\ & = \sqrt{1 + (9- 6\sqrt{10} + 10)} \\ & = \sqrt{20 -6\sqrt{10}}. \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\sin x = \dfrac{1}{\sqrt{20 -6\sqrt{10}}}$ atau $\sin x = \sqrt{20 + 6\sqrt{10}}.$
Untuk $\sin x_1 = \dfrac{1}{\sqrt{20 -6\sqrt{10}}}$ dan $\sin x_2 = \sqrt{20 + 6\sqrt{10}}$, diperoleh
$$\begin{aligned} |\sin x_1 \cdot \sin x_2| & = \left|\dfrac{1}{\sqrt{20 +6\sqrt{10}}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{20 -6\sqrt{10}}}\right| \\ & = \left|\dfrac{1}{400 – (36 \cdot 10)}\right| \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{40}} = \dfrac{1}{2\sqrt{10}}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{|\sin x_1 \cdot \sin x_2| = \dfrac{1}{2\sqrt{10}}}.$
(Jawaban B)

Gunakan identitas/rumus trigonometri berikut. 
$$\boxed{\begin{aligned} & \tan x = \dfrac{\sin x} {\cos x} \\ & \cot x = \dfrac{\cos x} {\sin x} \\ & \sin 2x = 2 \sin x \cos x \\ & \cos 2x = \cos^2 x -\sin^2 x = 1 -2 \sin^2 x \\ & \sin^2 ax + \cos^2 ax = 1 \end{aligned}}$$Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} 2 \cot x -2 \tan x -4 \sin x \cos x & = 0 \\ 2 \cdot \dfrac{\cos x} {\sin x} -2 \cdot \dfrac{\sin x} {\cos x} & = 4 \sin x \cos x \\ \dfrac{2 \cos^2 x -2 \sin^2 x} {\sin x \cos x} & = 4 \sin x \cos x \\ 2(\cos^2 x – \sin^2 x) & = 4 \sin^2 x \cos^2 x \\ 2 \cos 2x & = \sin^2 2x \\ 2 \cos 2x & = 1 -\cos^2 2x \\ \cos^2 2x + 2 \cos 2x -1 & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir dapat diasumsikan sebagai persamaan kuadrat dengan variabel $\cos 2x$. Dengan menggunakan rumus jumlah akar dan identitas trigonometri, kita peroleh
$$\begin{aligned} \cos 2x_1 + \cos 2x_2 & = -2 \\ (1 -2 \sin^2 x_1) + (1 -2 \sin^2 x_2) & = -2 \\ 2 \sin^2 x_1 + 2 \sin^2 x_2 & = 4 \\ \sin^2 x_1 + \sin^2 x_2 & = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\sin^2 x_1 + \sin^2 x_2 = 2}.$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \tan x + \cot x & = \dfrac{\sin x}{\cos x} + \dfrac{\cos x}{\sin x} \\ & = \dfrac{\color{red}{\sin^2 x + \cos^2 x}}{\sin x \cos x} \\ & = \dfrac{\color{red}{1}}{\sin x  \cos x} \\ & = \dfrac{2}{\color{blue}{2 \sin x \cos x}} \\ & = \dfrac{2}{\color{blue}{\sin 2x}} \end{aligned}$
Untuk itu, persamaan $\sin x + \cos x + \tan x + \cot x = \dfrac{2}{\sin 2x}$ ekuivalen dengan
$\begin{aligned} \sin x + \cos x + \cancel{\dfrac{2}{\sin 2x}} & = \cancel{\dfrac{2}{\sin 2x}} \\ \sin x + \cos x & = 0 \\ \text{Bagi dengan}~& \cos x \\ \tan x + 1 & = 0 \\ \tan x & = -1 \\ \tan x & = \tan 135^{\circ}. \end{aligned}$
Diperoleh $x = 135^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}$ untuk $k$ anggota bilangan bulat atau secara matematis ditulis $k \in \mathbb{Z}.$
(Jawaban D)

Dengan menggunakan identitas jumlah sudut fungsi trigonometri, diperoleh
$$\begin{aligned} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) & = \sqrt{3} \sin x \\ \sin (x + 30^{\circ}) & = \sqrt{3} \sin x \\ \sin x \cos 30^{\circ} + \cos x \sin 30^{\circ} & = \sqrt{3} \sin x \\ \sin x \left(\dfrac12\sqrt3\right) + \cos x\left(\dfrac12\right) & = \sqrt{3} \sin x \\ \cancel{\dfrac12} \cos x & = \cancel{\dfrac12}\sqrt{3} \sin x \\ 1 & = \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x} \\ \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac13\sqrt3 & = \tan x \end{aligned}$$Dengan demikian, dapat ditentukan bahwa nilai $x$ yang memenuhi persamaan terakhir di atas adalah $\boxed{\dfrac{\pi}{6}}$ dan $\boxed{\dfrac{7\pi}{6}}.$ 
(Jawaban C)

Identitas trigonometri berikut dipakai untuk menjawab soal di atas.
$$\boxed{\begin{aligned} \cot x & = \dfrac{1}{\tan x} \\ \tan 2x & = \dfrac{2 \tan x}{1- \tan^2 x} \\\sin^2 x + \cos^2 x & = 1 \\ \tan x & = \dfrac{\sin x}{\cos x} \\ \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} \\ 1+\tan^2 x & = \sec^2 x \\ \sin 2x & = 2 \sin x \cos x \end{aligned}}$$Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{4 \sin^2 x}{\tan x + \cot x} + \dfrac{2 \cos^2 x}{\cot x-\cot 2x} & = \dfrac{\cot x+\tan x}{\cot x-\tan x} \\ \dfrac{4 \sin^2 x}{\tan x + \dfrac{1}{\tan x}} + \dfrac{2 \cos^2 x}{\dfrac{1}{\tan x}-\dfrac{1}{\tan 2x}} & = \dfrac{\dfrac{1}{\tan x}+\tan x}{\dfrac{1}{\tan x}-\tan x} \\ \dfrac{4 \sin^2 x \tan x}{\tan^2 x + 1} + \dfrac{2 \cos^2 x}{\dfrac{1}{\tan x}-\dfrac{1-\tan^2 x}{2 \tan x}} & = \dfrac{1+\tan^2 x}{1-\tan^2 x} \\ \dfrac{4 \sin^2 x \tan x + (2 \cos^2 x)(2 \tan x)}{1+\tan^2 x} & = \dfrac{1+\tan^2 x}{1-\tan^2 x} \\ \dfrac{4 \tan x(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sec^2 x} & = \dfrac{\sec^2 x}{1-\tan^2 x} \\ \dfrac{4 \tan x(1)}{\dfrac{1}{\cos^2 x}} & = \dfrac{\dfrac{1}{\cos^2 x}}{1-\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} \\ 4 \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x & = \dfrac{1}{\cos 2x} \\ 4 \sin x \cos x & = \dfrac{1}{\cos 2x} \\ 2 \sin 2x & = \dfrac{1}{\cos 2x} \\ 2 \sin 2x \cos 2x & = 1 \\ \sin 4x & = 1 \\ \sin 4x & = \sin \dfrac{\pi}{2} \\ 4x & = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi \\ x & = \dfrac{\pi}{8} + k \cdot \dfrac{\pi}{2}. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah $\boxed{x = \dfrac{\pi}{8} + k \cdot \dfrac{\pi}{2}}.$
(Jawaban E)

Diketahui $\cos x = \cos \dfrac{2\pi} {5}$. Dengan demikian, kita peroleh beberapa kemungkinan berikut.
Kemungkinan 1:
$x = \dfrac{2\pi} {5} + k \cdot 2\pi$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = \dfrac{2\pi} {5}~~(\checkmark)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x > 2\pi~~(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$x = -\dfrac{2\pi} {5} + k \cdot 2\pi$
Untuk $k = 0$, diperoleh $x = – \dfrac{2\pi} {5}~~(\text{X})$
Untuk $k=1$, diperoleh $x = -\dfrac{2\pi} {5} + 2\pi = \dfrac{8\pi} {5}~~(\checkmark)$
Untuk $k=2$, diperoleh $x > 2\pi~~(\text{X})$
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah $\left\{\dfrac{2\pi} {5}, \dfrac{8\pi} {5}\right\}.$

Uraikan bentuk $(a+1)^2$, kemudian sederhanakan persamaan tersebut. 
$\begin{aligned} 1 + a \cos x & = (a + 1)^2 \\ \cancel{1} + a \cos x & = a^2 + 2a + \cancel{1} \\ \cancel{a} \cos x & = \cancel{a} (a + 2) \\ \cos x & = a + 2 \end{aligned}$
Interval nilai kosinus $x$ adalah $-1 \leq \cos x \leq 1$, dengan nilai bulat $\{-1, 0, 1\}.$
Untuk $\cos x = -1$, berarti $a = -3$. 
Untuk $\cos x = 0$, berarti $a = -2$. 
Untuk $\cos x = 1$, berarti $a = -1$. 
Jadi, nilai $a$ yang bulat sehingga persamaan tersebut memiliki penyelesaian adalah $\boxed{\{-3, -2, -1\}}.$

Diketahui $81^{\sin^2 \theta} + 81^{\cos^2 \theta} = 30.$
Misalkan $81^{\sin^2 \theta} = a$ dan $81^{\cos^2 \theta} = b$, maka diperoleh $a + b = 30$ dan
$$\begin{aligned} ^{81} \log a + \! ^{81} \log b & = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \\ ^{81} \log ab & = 1 \\ ab & = 81. \end{aligned}$$Pasangan nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi adalah $(a, b) = (27, 3)$ atau $(a, b) = (3, 27).$
Kasus Pertama:
Untuk $a = 27$, diperoleh
$$\begin{aligned} 81^{\sin^2 \theta} & = 27 \\ 3^{4 \sin^2 \theta} & = 3^3 \\ 4 \sin^2 \theta & = 3 \\ \sin^2 \theta & = \dfrac34 \\ \sin \theta & = \pm \dfrac12\sqrt3 \\ \theta & = 60^\circ, 120^\circ. \end{aligned}$$Untuk $b = 3$, diperoleh
$$\begin{aligned} 81^{\cos^2 \theta} & = 3 \\ 3^{4 \cos^2 \theta} & = 3^1 \\ 4 \cos^2 \theta & = 1 \\ \cos^2 \theta & = \dfrac14 \\ \cos \theta & = \pm \dfrac12 \\ \theta & = 60^\circ, 120^\circ. \end{aligned}$$Jadi, diperoleh nilai $\theta$ yang memenuhi keduanya adalah $60^\circ$ dan $120^\circ$.
Kasus Kedua:
Untuk $a = 3$, diperoleh
$$\begin{aligned} 81^{\sin^2 \theta} & = 3 \\ 3^{4 \sin^2 \theta} & = 3^1 \\ 4 \sin^2 \theta & = 1 \\ \sin^2 \theta & = \dfrac14 \\ \sin \theta & = \pm \dfrac12 \\ \theta & = 30^\circ, 150^\circ. \end{aligned}$$Untuk $b = 27$, diperoleh
$$\begin{aligned} 81^{\cos^2 \theta} & = 27 \\ 3^{4 \cos^2 \theta} & = 3^3 \\ 4 \cos^2 \theta & = 3 \\ \cos^2 \theta & = \dfrac34 \\ \cos \theta & = \pm \dfrac12\sqrt3 \\ \theta & = 30^\circ, 150^\circ. \end{aligned}$$Jadi, diperoleh nilai $\theta$ yang memenuhi keduanya adalah $30^\circ$ dan $150^\circ.$
Jadi, nilai $\theta$ yang memenuhi persamaan $81^{\sin^2 \theta} + 81^{\cos^2 \theta} = 30$ pada interval $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ adalah $\boxed{30^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 150^\circ}.$

Langkah pertama adalah mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan $(1 -\cos \alpha)$ sehingga menjadi
$$\begin{aligned} \color{red}{(1-\cos \alpha)} (1 + \cos \alpha) (1+ \cos 2\alpha)  (1 + \cos 4\alpha) & = \dfrac{1}{8} \color{red} {(1- \cos \alpha)} \\ \color{red}{ (1 -\cos^2 \alpha)} (1+ \cos 2\alpha) (1 + \cos 4\alpha) & = \dfrac{1}{8}(1- \cos \alpha) \end{aligned}$$Identitas $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha -1$ dapat diubah menjadi $1 -\cos^2 \alpha = \dfrac{1 -\cos 2\alpha} {2}$ sehingga persamaan di atas menjadi$$\begin{aligned} \color{red}{\left(\dfrac{1-\cos 2\alpha} {\cancel{2}}\right)}  (1+ \cos 2\alpha) (1 + \cos 4\alpha) & = \dfrac{1}{\cancelto{4}{8}}(1-\cos \alpha) \\  \color{red} {(1 -\cos^2 2\alpha)}  (1+ \cos 4\alpha) & = \dfrac{1}{4}(1- \cos \alpha) \\  \color{red}{\left(\dfrac{1-\cos 4\alpha} {\cancel{2}}\right)} (1+ \cos 4\alpha) & = \dfrac{1}{\cancelto{2}{4}}(1- \cos \alpha) \\  \color{red}{(1 -\cos^2 4\alpha)}  & = \dfrac{1}{2}(1 -\cos \alpha) \\  \color{red}{\left(\dfrac{1-\cos 8\alpha} {\cancel{2}}\right)} & = \dfrac{1}{\cancel{2}}(1- \cos \alpha) \\ \cos 8\alpha & = \cos \alpha \end{aligned}$$Kita peroleh persamaan dasar trigonometri bentuk kosinus. 
Penyelesaian: $8\alpha = \pm \alpha + k \cdot 360^{\circ}$ dengan $0^{\circ} < a < 90^{\circ}$. 
Kemungkinan 1:
$\begin{aligned} 8\alpha & = \alpha + k \cdot 360^{\circ} \\ 7\alpha & = k \cdot 360^{\circ} \\ \alpha & = \dfrac{k \cdot 360^{\circ}} {7} \end{aligned}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $\alpha = 0^{\circ}~~(\text{X}) $
Untuk $k = 1$, diperoleh $\alpha = \dfrac{1 \times 360^{\circ}} {7}~~(\checkmark)$
Untuk $k = 2$, diperoleh $\alpha = \dfrac{2 \times 360^{\circ}} {7} > 90^{\circ}~~(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$\begin{aligned} 8\alpha & = -\alpha + k \cdot 360^{\circ} \\ 9\alpha & = k \cdot 360^{\circ} \\ \alpha & = \dfrac{k \cdot 360^{\circ}} {9} = k \cdot 40^{\circ} \end{aligned}$
Untuk $k = 0$, diperoleh $\alpha = 0^{\circ}~~(\text{X}) $
Untuk $k = 1$, diperoleh $\alpha = 40^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k = 2$, diperoleh $\alpha = 80^{\circ}~~(\checkmark)$
Untuk $k = 3$, diperoleh $\alpha = 120^{\circ} > 90^{\circ}~~(\text{X})$
Jadi, banyak nilai $\alpha$ yang memenuhi persamaan itu ada $\boxed{3}$ (lihat banyak tanda centang).