Soal dan Pembahasan – Pertidaksamaan Irasional (Bentuk Akar)

       Setelah mempelajari mengenai penyelesaian persamaan irasional, sekarang saatnya kita beranjak menuju penyelesaian pertidaksamaan irasional. Penyelesaiannya hampir mirip dengan penyelesaian persamaan irasional, namun pada bagian ini, garis bilangan kemungkinan banyak dipakai untuk menentukan irisan dari penyelesaian dan syarat yang muncul karena adanya bentuk akar. Sesuai dengan namanya, tanda $>$ maupun $<$ akan bertebaran di setiap soal berikut.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Ketidaksamaan dan Pertidaksamaan (Bagian Dasar)

Quote by Karl Barth

Berdoa tanpa belajar akan jadi doa yang kosong. Belajar tanpa berdoa akan jadi usaha yang buta.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Irasional (Bentuk Akar)

Soal Nomor 1
Penyelesaian $\sqrt{2x+6} > 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x<3$                              D. $x >-3$
B. $x \leq -3$                           E. $x>6$
C. $x \geq -3$ 

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{2x+6} > 0$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{2x+6})^2 & > (0)^2 \\ 2x+6 & > 0 \\ 2x & > -6 \\ x & > -3 \end{aligned}$
Syarat akar:
$2x + 6 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -3$
Karena semua $x$ yang memenuhi $x > -3$ juga memenuhi syarat akar $x \geq -3$, maka penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{x > -3}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $\sqrt{3x-1}<2$, maka nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $x<\dfrac53$                          D. $\dfrac13 < x < \dfrac53$
B. $x>\dfrac13$                          E. $\dfrac13 < x \leq \dfrac53$
C. $\dfrac13 \leq x < \dfrac53$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{3x-1}<2$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{3x-1})^2 & < (2)^2 \\ 3x-1 & < 4 \\ 3x & < 5 \\ x & < \dfrac53 && (\bigstar) \end{aligned}$
Syarat akar:
$3x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac13$
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $\bigstar$ dan syarat akar di atas merupakan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisan dari $(1)$ dan $(2)$ adalah $\boxed{\dfrac13 \leq x < \dfrac53}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{x^2+4x-5} > 4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-7<x<-5$ atau $1<x \leq 3$
B. $-7<x<-5$ atau $1 \leq x \leq 3$
C. $-7<x \leq -5$ atau $1 \leq x < 3$
D. $x<-7$ atau $x >3$
E. $x<5$ atau $x>3$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{x^2+4x-5} > 4$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2+4x-5})^2 & < (4)^2 \\ x^2+4x-5 & < 16 \\ x^2+4x-21 & < 0 \\ (x+7)(x-3) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -7$ atau $x = 3$.
Penyelesaian $(1)$: $-7 < x < 3$.
Syarat akar:
$\begin{aligned} x^2+4x-5 & \geq 0 \\ (x+5)(x-1) & \geq 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -5$ atau $x = 1$.
Penyelesaian $(2)$: $x \leq -5$ atau $x \geq 1$.
Gunakan garis bilangan.



Irisan dari $(1)$ dan $(2)$ merupakan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisan dari $(1)$ dan $(2)$ adalah $\boxed{-7 < x \leq -5~\text{atau}~1 \leq x < 3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Intermezzo

Gimana sih cara cepet nentuin penyelesaian (solusi) dari pertidaksamaan kuadrat?? Nah, simpel sih, kagak perlu pake garis bilangan dah. Kalau bentuknya seperti $(x+2)(x-3) > 0$ (ada tanda lebih dari), tinggal tentuin pembuat nolnya aja, $x = -2$ atau $x = 3$. Nah, karena tandanya lebih dari, kita pake kata atau (kalau di garis bilangan, nanti mencar garisnya, alias gak berjodoh), terus yang kecil itu pake kurang dari, yang besar pake lebih dari: $x < -2$ atau $x > 3$. Beres! Kalau tandanya kurang dari: $(x+2)(x-3) < 0$, berarti penyelesaiannya tuh $x$-nya dijepit: $-2 < x < 3$ (yang kecil di kiri, yang besar di kanan). Kalau digambarin di garis bilangan,garis dari $-2$ dan $3$-nya bertemu (berjodoh, eaak).

Soal Nomor 4
Jika $\sqrt{3-5x} > \sqrt{x}$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $x \geq 0$                               D. $0 \leq x < \dfrac12$
B. $x < \dfrac12$                         E. $\dfrac12 \leq x < \dfrac35$
C. $x \leq \dfrac35$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{3-5x} > \sqrt{x}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{3-5x})^2 & > (\sqrt{x})^2 \\ 3-5x & > x \\ -6x & > -3 \\ x & < \dfrac12 && (\bigstar) \end{aligned}$
Syarat akar $(1)$:
$3-5x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \dfrac35$
Syarat akar $(2)$: $x \geq 0$.
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $(\bigstar)$ dan kedua syarat akar di atas merupakan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $\boxed{0 \leq x < \dfrac12}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{1-x} < \sqrt{2x+6}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{x~|-3 \leq x \leq 1~\text{atau}~x \geq \dfrac53\right\}$
B. $\left\{x~|-3 \leq x \leq \dfrac53~\text{atau}~x \geq 1\right\}$
C. $\left\{x~|-3 \leq x < \dfrac53 \right\}$
D. $\left\{x~|-\dfrac53 < x \leq -1 \right\}$
E. $\left\{x~|-\dfrac53 < x \leq 1 \right\}$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{1-x} < \sqrt{2x+6}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{1-x})^2 & < (\sqrt{2x+6})^2 \\ 1-x & > 2x+6 \\ -x-2x & > 6-1 \\ -3x & < 5 \\ x & > -\dfrac53 && (\bigstar) \end{aligned}$
Syarat akar $(1)$:
$1-x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 1$
Syarat akar $(2)$:
$2x+6 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -3$
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $\bigstar$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $\boxed{\left\{x~|-\dfrac53 < x \leq 1 \right\}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6
Himpunan penyelesaian $\sqrt{x^2-3x+2} \leq \sqrt{x+7}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x~|~x \geq 5, x \in \mathbb{R}\}$
B. $\{x~|-1 \leq x \leq 5, x \in \mathbb{R}\}$
C. $\{x~|-7 \leq x \leq 7~\text{atau}~2 \leq x \leq 5, x \in \mathbb{R}\}$
D. $\{x~|-1 \leq x \leq 1~\text{atau}~2 \leq x \leq 5, x \in \mathbb{R}\}$
E. $\{x~|-1 \leq x < 0~\text{atau}~2 \leq x \leq 5, x \in \mathbb{R}\}$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{x^2-3x+2} \leq \sqrt{x+7}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2-3x+2})^2 & \leq (\sqrt{x+7})^2 \\ x^2-3x+2 & \leq x+7 \\ x^2-4x-5 & \leq 0 \\ (x+1)(x-5) & \leq 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -1$ atau $x = 5$.
Penyelesaiannya adalah $-1 \leq x \leq 5~~~~(\bigstar)$
Syarat akar $(1)$:
$x^2-3x+2 \geq 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-2) \geq 0$
Pembuat nol: $x = 1$ atau $x=2$.
Penyelesaiannya adalah $x \leq 1~\text{atau}~x \geq 2$.
Syarat akar $(2)$:
$x+7 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -7$
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $\bigstar$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $\boxed{\{x~|-1 \leq x \leq 1~\text{atau}~2 \leq x \leq 5, x \in \mathbb{R}\}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\sqrt{x^2-x-2} < \sqrt{x^2+3x+2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x \geq 2$
B. $x > -1$
C. $-2 \leq x \leq 1$
D. $x \leq -2$ atau $x \geq 2$
E. $-2 \leq x \leq -1$ atau $x \geq 2$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{x^2-x-2} < \sqrt{x^2+3x+2}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2-x-2})^2 & < (\sqrt{x^2+3x+2})^2 \\ \cancel{x^2}-x-2 & < \cancel{x^2}+3x+2 \\ -4x & < 4 \\ x & > -1~~~~(\bigstar) \end{aligned}$
Syarat akar $(1)$:
$x^2-x-2 \geq 0 \Leftrightarrow (x+1)(x-2) \geq 0$
Pembuat nol: $x = -1$ atau $x=2$.
Penyelesaiannya adalah $x \leq -1~\text{atau}~x \geq 2$.
Syarat akar $(2)$:
$x^2+3x+2 \geq 0 \Leftrightarrow (x+1)(x+2) \geq 0$
Pembuat nol: $x = -1$ atau $x=-2$.
Penyelesaiannya adalah $x \leq -2~\text{atau}~x \geq -1$.
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $\bigstar$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $\boxed{x \geq 2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{2x^2+6x-8} < \sqrt{x^2+6x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x~|~0 \leq x < 2\sqrt2\}$
B. $\{x~|~1 \leq x < 2\sqrt2\}$
C. $\{x~|~x > 2\sqrt2\}$
D. $\{x~|~x \geq 1\}$
E. $\{x~|~x \geq 0\}$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{2x^2+6x-8} < \sqrt{x^2+6x}$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (\sqrt{2x^2+6x-8})^2 & < (\sqrt{x^2+6x})^2 \\ 2x^2+\cancel{6x}-8 & < x^2+\cancel{6x} \\ x^2-8 & < 0 \\ (x-2\sqrt2)(x+2\sqrt2) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -2\sqrt2$ atau $x = 2\sqrt2$.
Penyelesaiannya adalah $-2\sqrt2 < x < 2\sqrt2~~~~(\bigstar)$
Syarat akar $(1)$:
$2x^2+6x-8 \geq 0 \Leftrightarrow 2(x+4)(x-1) \geq 0$
Pembuat nol: $x = -4$ atau $x=1$.
Penyelesaiannya adalah $x \leq -4~\text{atau}~x \geq 1$.
Syarat akar $(2)$:
$x^2+6x \geq 0 \Leftrightarrow x(x+6) \geq 0$
Pembuat nol: $x = 0$ atau $x=-6$.
Penyelesaiannya adalah $x \leq -6~\text{atau}~x \geq 0$.
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $\bigstar$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $\boxed{\{x~|~1 \leq x < 2\sqrt2\}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $x>\sqrt{x+12}$, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-12<x<-3$ atau $x>4$                  
B. $x<-3$ atau $x>4$                         
C. $x<-12$
D. $x>0$
E. $x>4$

Pembahasan

Diketahui $x > \sqrt{x+12}$.
Ruas kiri pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai non-negatif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x < 0$ dan $x \geq 0$.
Kasus 1: $x < 0$
Oleh karena $\sqrt{x+12} \geq 0$ dan $x < 0$, maka $x > \sqrt{x+12}$ tidak akan memiliki penyelesaian untuk setiap $x$.
Kasus 2: $x \geq 0$
Oleh karena $x \geq 0$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan tersebut tidak bernilai negatif sehingga boleh dikuadratkan.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan.
$\begin{aligned} (x)^2 & > (\sqrt{x+12})^2 \\ x^2 & > x+12 \\ x^2-x-12 & > 0 \\ (x+3)(x-4) & > 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -3$ atau $x = 4$.
Penyelesaiannya adalah $x < -3~\text{atau}~x > 4~~~~(\bigstar)$
Syarat akar $(1)$: $x \geq 0$
Syarat akar $(2)$:
$x+12 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -12$
Gunakan garis bilangan.

Irisan dari $\bigstar$ dan kedua syarat akar di atas merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan.
Tampak bahwa irisannya adalah $\boxed{x > 4}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{x-3} > 5-x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4<x<7$                             D. $x>4$
B. $4<x<5$                             E. $x \geq 4$
C. $3 \leq x \leq 5$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{x-3} > 5-x$.
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $5-x < 0$ dan $5-x \geq 0$.
Kasus 1: $5-x < 0 \iff x > 5$
Oleh karena $\sqrt{x-3} \geq 0$ dan $x > 5$, maka $\sqrt{x-3} > 5-x$ terpenuhi untuk semua $x$.
Syarat akar: $x-3 \geq 0 \iff x \geq 3$.
Irisan dari $x > 5, x \in \mathbb{R}$, dan $x \geq 3$ direpresentasikan oleh garis bilangan berikut.

Penyelesaiannya adalah $\boxed{x > 5}$.
Kasus 2: $5-x \geq 0 \iff x \leq 5$
Oleh karena $x \geq 5$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{x-3} > 5-x$ bernilai non-negatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x-3})^2 & > (5-x)^2 \\ x-3 & > 25-10x+x^2 \\ x^2-11x+28 & < 0 \\ (x-4)(x-7) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = 4$ atau $x = 7$.
Penyelesaian: $4 < x < 7$.
Syarat akar:
$x-3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3$.
Irisan dari $x \leq 5, 4<x<7$, dan $x \geq 3$ direpresentasikan oleh garis bilangan berikut.

Penyelesaiannya adalah $\boxed{4 < x \leq 5\}$.
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\boxed{\{x~|~x > 4\}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{x-1}-\sqrt{2x-1}+1 \leq 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1 \leq x \leq 5$                       D. $x \geq 1$
B. $x \geq 5$                               E. $x < 2$
C. $x \geq 2$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{x-1}-\sqrt{2x-1}+1 \leq 0$.
Posisikan bentuk akar pada kedua ruasnya, lalu kuadratkan untuk menghilangkan tanda akarnya (sebanyak $2$ kali).
$$\begin{aligned} \sqrt{x-1}-\sqrt{2x-1}+1 & \leq 0 \\ \sqrt{x-1} & \leq -1+\sqrt{2x-1} \\ (\sqrt{x-1})^2 & \leq (-1+\sqrt{2x-1})^2 \\ x-1 & \leq 1-2\sqrt{2x-1}+(2x-1) \\ -x-1 & \leq -2\sqrt{2x-1} \\ x+1 & \geq 2\sqrt{x-1} && (\text{Kali}~-1) \\ (x+1)^2 & \geq (2\sqrt{x-1})^2 \\ x^2+2x+1 & \geq 4(2x-1) \\ x^2-6x+5 & \geq 0 \\ (x-5)(x-1) & \geq 0 \\ x \leq 1~\text{atau}&~x \geq 5 \end{aligned}$$Syarat akar $(1)$:
$x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$.
Syarat akar $(2)$:
$2x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac12$.
Gambarkan irisan dari ketiga interval dalam garis bilangan seperti berikut.

Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{x = 1~\text{atau}~x \geq 5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika pertidaksamaan $\sqrt{3-ax} \leq 2$ dipenuhi oleh interval $a-2 \leq x \leq 3$, maka nilai $a^2-a=\cdots \cdot$
A. $4$           B. $3$            C. $2$           D. $1$           E. $0$

Pembahasan

Diketahui $\sqrt{3-ax} \leq 2$.
Kuadratkan kedua ruas untuk memperoleh $3-ax \leq 4$.
Syarat akar: $3-ax \geq 0$.
Dari sini, kita peroleh
$\begin{aligned} & 0 \leq 3-ax \leq 4 \\ & -3 \leq -ax \leq 1 \\ & -\dfrac{1}{a} \leq x \leq \dfrac{3}{a} \end{aligned}$
Karena diketahui bahwa pertidaksamaan $\sqrt{3-ax} \leq 2$ terpenuhi oleh interval $a-2 \leq x \leq 3$, maka jelas bahwa $a = 1$.
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{a^2-a=(1)^2-1 = 0}$
(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 13
Selesaikan pertidaksamaan berikut
a. $\sqrt{x^2-x} > x$
b. $\sqrt{2x+8} < x$
c. $\sqrt{x} + 2 > x$
d. $4+\sqrt{2x} < x$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $\sqrt{x^2-x} > x$.
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x < 0$ dan $x \geq 0$.
Kasus 1: $x < 0$
Oleh karena $\sqrt{x^2-x} \geq 0$ dan $x < 0$, maka $\sqrt{x^2-x} > x$ terpenuhi untuk semua $x$.
Syarat akar:
$x^2-x \geq 0 \Leftrightarrow x(x-1) \geq 0$
Pembuat nol: $x = 0$ atau $x = 1$
Penyelesaiannya adalah $x \leq 0$ atau $x \geq 1$.
Irisan dari $x < 0, x \in \mathbb{R}$, dan $(x \leq 0~\text{atau}~x \geq 1)$ direpresentasikan oleh garis bilangan berikut.

Penyelesaiannya adalah $\boxed{x < 0}$.
Kasus 2: $\color{red}{x \geq 0}$
Oleh karena $x \geq 0$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{x^2-x} > x$ bernilai non-negatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2-x})^2 & > (x)^2 \\ \cancel{x^2}-x & > \cancel{x^2} \\ -x & > 0 \\ \color{blue}{x} & \color{blue}{< 0} \end{aligned}$
Syarat akar:
$x^2-x \geq 0 \Leftrightarrow x(x-1) \geq 0$
Pembuat nol: $x = 0$ atau $x = 1$
Penyelesaiannya adalah $\color{green}{x \leq 0~\text{atau}~x \geq 1}$.
Irisan dari $\color{red}{x \geq 0}, \color{blue}{x < 0}$, dan $(\color{green}{x \leq 0~\text{atau}~x \geq 1})$ tidak ada, berarti tidak ditemukan penyelesaian untuk kasus ini.
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\boxed{\{x~|~x < 0\}}$
Jawaban b)
Diketahui $\sqrt{2x+8} < x$.
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x < 0$ dan $x \geq 0$.
Kasus 1: $x < 0$
Oleh karena $\sqrt{2x+8} \geq 0$ dan $x < 0$, maka $\sqrt{2x+8} < x$ terpenuhi untuk semua $x$.
Syarat akar:
$2x+8 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -4$
Irisan dari $x < 0, x \in \mathbb{R}$, dan $x \geq -4$ adalah $\boxed{-4 \leq x < 0}$.
Kasus 2: $\color{red}{x \geq 0}$
Oleh karena $x \geq 0$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{2x+8} < x$ bernilai non-negatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{aligned} (\sqrt{2x+8})^2 & < (x)^2 \\ 2x+8 & < x^2 \\ x^2-2x-8 & > 0 \\ (x-4)(x+2) & > 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = 4$ atau $x = -2$.
Penyelesaiannya adalah $x < -2$ atau $x > 4$.
Syarat akar:
$2x+8 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -4$
Irisan dari $\color{red}{x \geq 0}, \color{blue}{x \geq -4}$, dan $(\color{green}{x < -2~\text{atau}~x > 4})$ adalah $\boxed{x > 4}$.
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\boxed{\{x~|-4 \leq x < 0~\text{atau}~x > 4\}}$
Jawaban c)
Diketahui $\sqrt{x}+2 > x$, ekuivalen dengan $\sqrt{x} > x-2$.
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x-2 < 0$ dan $x-2 \geq 0$.
Kasus 1: $x-2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$
Oleh karena $\sqrt{x} \geq 0$ dan $x < 0$, maka $\sqrt{x} > x-2$ terpenuhi untuk semua $x$.
Syarat akar: $x \geq 0$
Irisan dari $x < 2, x \in \mathbb{R}$, dan $x \geq 0$ adalah $\boxed{0 \leq x < 2}$.
Kasus 2: $\color{red}{x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2}$
Oleh karena $x \geq 0$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{x} > x-2$ bernilai non-negatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{aligned} (\sqrt{x})^2 & > (x-2)^2 \\ x & > x^2-4x+4 \\ x^2-5x+4 & < 0 \\ (x-1)(x-4) & < 0 \\ 1 < x & < 4 \end{aligned}$
Syarat akar: $x \geq 0$
Irisan dari $\color{red}{x \geq 0}, \color{blue}{x \geq 2}$, dan $(\color{green}{1 < x < 4})$ adalah $\boxed{2 \leq x < 4}$.
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\boxed{\{x~|~0 \leq x < 4}$.
Jawaban d)
Diketahui $4+\sqrt{2x} < x$, ekuivalen dengan $\sqrt{2x} < x-4$.
Ruas kanan pada pertidaksamaan di atas belum tentu bernilai positif. Oleh karena itu, perlu diuraikan menjadi dua kemungkinan, yaitu $x-4 < 0$ dan $x-4 \geq 0$.
Kasus 1: $x-4 < 0 \Leftrightarrow x < 4$
Oleh karena $\sqrt{2x} \geq 0$ dan $x < 4$, maka $\sqrt{2x} < x-4$ tidak terpenuhi untuk semua $x$.
Kasus 2: $\color{red}{x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4}$
Oleh karena $x \geq 4$, maka kedua ruas pada pertidaksamaan $\sqrt{2x} < x-4$ bernilai non-negatif sehingga dapat dikuadratkan.
$\begin{aligned} (\sqrt{2x})^2 & < (x-4)^2 \\ 2x & < x^2-8x+16 \\ x^2-10x+16 & > 0 \\ (x-2)(x-8) & > 0 \\ x < 2~\text{atau}~&x > 8 \end{aligned}$
Syarat akar: $2x \geq 0 \Leftrightarrow \color{blue}{x \geq 0}$
Irisan dari $\color{red}{x \geq 4}, \color{blue}{x \geq 0}$, dan $(\color{green}{x<2~\text{atau}~x > 8})$ adalah $\boxed{x > 8}$.
Gabungan penyelesaian dari kedua kasus di atas merupakan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, yaitu $\boxed{\{x~|~x > 8}$. 

[collapse]

Soal Nomor 14
Selesaikan pertidaksamaan berikut.
a. $\sqrt{x^2} > 3$
b. $\sqrt{x^2} < 2$
c. $\sqrt{x^4} \geq 10$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $\sqrt{x^2} > 3$.
Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2})^2 & > 3^2 \\ x^2 & > 9 \\ x^2-9 & > 0 \\ (x+3)(x-3) & > 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -3$ atau $x = 3$.
Penyelesaiannya adalah $x < -3$ atau $x > 3$.
Syarat akar: $x^2 \geq 0$.
Bilangan kuadrat tidak mungkin bernilai negatif sehingga syarat ini selalu terpenuhi berapapun nilai $x$.
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{x<-3~\text{atau}~x>3}$
Jawaban b)
Diketahui $\sqrt{x^2} < 2$
Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh
$\begin{aligned} (\sqrt{x^2})^2 & < 2^2 \\ x^2 & < 4 \\ x^2-4 & > 0 \\ (x+2)(x-2) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = -2$ atau $x = 2$.
Penyelesaiannya adalah $-2 < x < 2$.
Bilangan kuadrat tidak mungkin bernilai negatif sehingga syarat ini selalu terpenuhi berapapun nilai $x$.
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{-2<x<2}$.
Jawaban c)
Diketahui $\sqrt{x^4} \geq 10$.

Kuadratkan kedua ruas untuk mendapatkan bentuk
$x^4 \geq 100$
Sekarang, selesaikan pertidaksamaannya.
$\begin{aligned} x^4-100 & \geq 0 \\ (x^2+10)(x^2-10) & \geq 0 \\ (x^2+10)(x+\sqrt{10})(x-\sqrt{10}) & \geq 0 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $x^2+10$ akan selalu bernilai positif untuk setiap $x$ sehingga pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan
$(x+\sqrt{10})(x-\sqrt{10}) \geq 0$
Pembuat nol: $x = -\sqrt{10}$ atau $x = \sqrt{10}$.
Penyelesaian pertidaksamaan di atas adalah $x \leq -\sqrt{10}$ atau $x \geq \sqrt{10}$.
Syarat akar: $x^4 \geq 0$.
Jelas bahwa pertidaksamaan tersebut terpenuhi untuk setiap $x$ (semua bilangan yang dipangkatkan genap tidak akan pernah bernilai negatif).
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{x^4} \geq 10$ adalah $\boxed{x \leq -\sqrt{10}~\text{atau}~x \geq \sqrt{10}}$

[collapse]

Soal Nomor 15
Selesaikan pertidaksamaan irasional berikut.
a. $\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}} \geq 1$
b. $\sqrt{\dfrac{x-3}{x+5}} \leq 2$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}} \geq 1$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan dengan menerapkan konsep pertidaksamaan rasional.
$\begin{aligned} \left(\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}\right)^2 & \geq 1^2 \\ \dfrac{x+2}{x-1} & \geq 1 \\ \dfrac{\cancel{x}+2}{x-1}-\dfrac{\cancel{x}-1}{x-1} & \geq 0 \\ \dfrac{3}{x-1} & \geq 0 \end{aligned}$
Agar pertidaksamaan di atas terpenuhi, maka haruslah $x-1 > 0$ (positif) dengan mempertimbangkan sifat dasar bilangan $\dfrac{+}{+} > +$.
Jadi, penyelesaiannya adalah $x > 1~~(\bigstar)$.
Syarat akar:
$\dfrac{x+2}{x-1} \geq 0$
Pembuat nol pembilang: $x = -2$
Pembuat nol penyebut: $x = 1$
Uji tanda untuk $x = 0$.
$\dfrac{\color{red}{0}+2}{\color{red}{0}-1} = \dfrac{2}{-1} = -2$
Karena bertanda negatif, maka interval $-2 < x < 1$ bernilai negatif.

Perhatikan juga bahwa penyebut pada bentuk pecahan tidak boleh bernilai $0$, berarti $x \neq 1$. Jadi, syarat akarnya adalah $x \leq -2$ atau $x > 1$.

Irisan dari penyelesaian $\bigstar$ dan syarat akar adalah $\boxed{x > 1}$, yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan irasional $\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}} \geq 1$.
Jawaban b)
Diketahui $\sqrt{\dfrac{x-3}{x+5}} \leq 2$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu selesaikan dengan menerapkan konsep pertidaksamaan rasional.
$\begin{aligned} \left(\sqrt{\dfrac{x-3}{x+5}}\right)^2 & \leq 2^2 \\ \dfrac{x-3}{x+5} & \leq 4 \\ \dfrac{x-3}{x+5}-\dfrac{4(x+5)}{x+5} & \leq 0 \\ \dfrac{x-3-4x-20}{x+5} & \leq 0 \\ \dfrac{-5x-23}{x+5} & \leq 0 \end{aligned}$
Pembuat nol pembilang: $x = -\dfrac{23}{3} = -7\dfrac23$
Pembuat nol penyebut: $x = -5$
Uji tanda untuk $x = 0$.
$\dfrac{-5(\color{red}{0})-23}{\color{red}{0}-5} = -\dfrac{23}{5}$
Karena bertanda negatif, maka dapat dibuat garis bilangan dengan interval dan tanda kepositivan berikut.

Perhatikan juga bahwa penyebut pada bentuk pecahan tidak boleh bernilai $0$, berarti $x \neq -5$. Jadi, penyelesaiannya adalah $x \leq -7\dfrac23$ atau $x > -5~~(\bigstar)$

Syarat akar:
$\dfrac{x-3}{x+5} \geq 0$
Pembuat nol pembilang: $x = 3$
Pembuat nol penyebut: $x = -5$
Uji tanda untuk $x = 0$.
$\dfrac{\color{red}{0}-3}{\color{red}+5} = -\dfrac{3}{5}$
Karena bertanda negatif, maka interval $-5 < x < 3$ bernilai negatif.

Perhatikan juga bahwa penyebut pada bentuk pecahan tidak boleh bernilai $0$, berarti $x \neq -5$. Jadi, syarat akarnya adalah $x < -5$ atau $x \geq 3$.

Irisan dari penyelesaian $\bigstar$ dan syarat akar adalah $\boxed{x \geq 3}$, yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan irasional $\sqrt{\dfrac{x-3}{x+5}} \leq 2$.

[collapse]

CategoriesAljabarTags, , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *