Soal dan Pembahasan – Refleksi (Geometri)

Berikut ini adalah soal bab REFLEKSI yang diambil dari buku berjudul “Geometri Transformasi” oleh Rawuh (dengan sedikit modifikasi dan perbaikan).

Soal Nomor 1
Diketahui dua titik A dan B. Lukislah sebuah garis g sehingga M_g(A) = B. Tentukan pula M_g(B).

Penyelesaian

M_g(A) = B artinya bayangan dari pencerminan titik A oleh garis g adalah B. Garis g, titik A, dan titik B dapat ditempatkan sedemikian rupa sehingga seperti gambar berikut.

Dengan demikian, jelas bahwa M_g(B) = A.

[collapse]

Soal Nomor 2
Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A(1,3) sedangkan B(-2,-1). Tentukanlah persamaan sebuah garis g sehingga M_g(A) = B.

Penyelesaian


Sistem sumbu ortogonal (tegak lurus) yang dimaksudkan di sini adalah sistem koordinat Kartesius. Pertama-tama, carilah persamaan garis yang melalui titik A(1,3) dan B(-2,-1) sebagai berikut.
\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-3}{-1-3} & = \dfrac{x - 1}{-2-1} \\ -3(y-3) & =-4(x-1) \\ 4x - 3y + 5 & = 0 \end{aligned}
Diperoleh persamaan garisnya adalah 4x - 3y + 5 = 0.
Gradien garis ini adalah m_1 = \dfrac{4}{3}, sehingga gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah m = -\dfrac{3}{4}. Selanjutnya, carilah titik tengah ruas garis AB, yaitu
C = \left(\dfrac{1+(-2)} {2}, \dfrac{3+(-1)} {2}\right) = \left(-\dfrac{1}{2}, 1\right)
Persamaan garis yang melalui C dan bergradien -\dfrac{3}{4} adalah
\begin{aligned} & y = m(x - x_1) + y_1 \\ & y  = -\dfrac{3}{4}\left(x + \dfrac{1}{2}\right) + 1 \\ & y  = -\dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{8} + 1 \\ & 6x+ 8y - 5  = 0 \end{aligned}
Jadi, persamaan garis g yang menjadi sumbu pencerminan bagi titik A dan B adalah 6x + 8y - 5 = 0.

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui g = \{(x, y)~|~x = -3\}
a) Apabila A(2,1), tentukan A' = M_g(A)
b) Tentukan C apabila M_g(C) = (-1,7)
c) Apabila P(x, y) sebuah titik sembarang, tentukanlah M_g(P)

Penyelesaian

Jawaban a)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis g: x = -3 dan melalui A(2,1) adalah y = 1. Titik B(-3, 1) adalah titik tengah AA', di mana A' adalah titik bayangan hasil pencerminan titik A oleh garis g. Dengan demikian,
\begin{aligned} (-3, 1) &= \left(\dfrac{x_A + x_{A'}} {2}, \dfrac{y_A + y_{A'}} {2}\right) \\ (-3,1) & = \left(\dfrac{2+x_{A'}} {2}, \dfrac{1+y_{A'}} {2}\right) \\ (-6,2) & = (2 + x_{A'}, 1 + y_{A'}) \\ (x_{A'}, y_{A'}) & = (-8, 1) \end{aligned}
Jadi, titik A' berada di koordinat (-8,1).
Jawaban b)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis g: x = -3 dan melalui C' = M_g(C) = (-1,7) adalah y = 7.
Titik D(-3, 7) adalah titik tengah CC', di mana C adalah titik prapeta dari pencerminan garis g yang menghasilkan titik C'. Dengan demikian,
\begin{aligned} (-3, 7) &= \left(\dfrac{x_A + x_{A'}} {2}, \dfrac{y_A + y_{A'}} {2}\right) \\ (-3,7) & = \left(\dfrac{x_C - 1} {2}, \dfrac{y_C + 7} {2}\right) \\ (-6,14) & = (x_C - 1, y_C + 7) \\ (x_C, y_C) & = (-5, 7) \end{aligned}
Jadi, titik C berada di koordinat (-5,7).
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis g: x = -3 dan melalui P(x_P, y_P) adalah y = y_P. Misal Q(x_Q, y_Q) adalah titik tengah PP', di mana P' adalah titik bayangan hasil pencerminan titik P oleh garis g. Perhatikan juga bahwa x_Q = -3 dan y_Q = y_P. Dengan demikian,
\begin{aligned} Q = (-3, y_P) &= \left(\dfrac{x_P + x_{P'}} {2}, \dfrac{y_P + y_{P'}} {2}\right) \\ (-3, y_P) & = \left(\dfrac{2+x_{A'}} {2}, \dfrac{1+y_{A'}} {2}\right) \\ (-6,2y_P) & = (x_P + x_{P'}, y_P + y_{P'}) \\ (x_{P'}, y_{P'}) & = (-6 - x_P, y_P) \end{aligned}
Jadi, apabila P(x, y), maka hasil pencerminannya oleh garis g: x = -3 adalah M_g(P) = P' = (-6 - x, y).

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui g = \{(x, y)~|~y = 2\}
a) Jika A = (3, \sqrt{2}), tentukan A' = M_g(A)
b) Jika D' =(2,-4), tentukan prapeta D' oleh M_g.
c) Jika P(x, y), tentukan M_g(P)

Penyelesaian

Jawaban a)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis g: y = 2 dan melalui A(3,\sqrt{2}) adalah x = 3. Titik B(3,2) adalah titik tengah AA', di mana A' adalah titik bayangan hasil pencerminan titik A oleh garis g. Dengan demikian,
\begin{aligned} (3,2) &= \left(\dfrac{x_A + x_{A'}} {2}, \dfrac{y_A + y_{A'}} {2}\right) \\ (3,2) &  = \left(\dfrac{3+x_{A'}} {2}, \dfrac{\sqrt{2}+y_{A'}} {2}\right) \\ (6,4) & = (3+ x_{A'}, \sqrt{2} + y_{A'}) \\ (x_{A'}, y_{A'}) & = (3, 4-\sqrt{2}) \end{aligned}
Jadi, titik A' berada di koordinat (3, 4 - \sqrt{2})
Jawaban b)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis g: y = 2 dan melalui D' = M_g(D) = (2,-4) adalah x = 2.
Titik C(2,2) adalah titik tengah DD', di mana D adalah titik prapeta dari pencerminan garis g yang menghasilkan titik D'. Dengan demikian,
\begin{aligned} (2,2) &= \left(\dfrac{x_D + x_{D'}} {2}, \dfrac{y_D + y_{D'}} {2}\right) \\ (2,2) & = \left(\dfrac{x_D + 2} {2}, \dfrac{y_D + (-4)} {2}\right) \\ (4,4) & = (x_D + 2, y_D - 4) \\ (x_D, y_D) & = (2, 8) \end{aligned}
Jadi, titik D berada di koordinat (2,8).
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis g: y = 2 dan melalui P(x_P, y_P) adalah x = x_P. Misal Q(x_Q, y_Q) adalah titik tengah PP', di mana P' adalah titik bayangan hasil pencerminan titik P oleh garis g. Perhatikan juga bahwa x_Q = x_P dan y_Q = 2. Dengan demikian,
\begin{aligned} Q = (x_Q, y_Q) &= (x_P, 2)= \left(\dfrac{x_P + x_{P'}} {2}, \dfrac{y_P + y_{P'}} {2}\right) \\ (x_P, 2)  & = \left(\dfrac{2+x_{A'}} {2}, \dfrac{1+y_{A'}} {2}\right) \\ (2x_P, 4) & = (x_P + x_{P'}, y_P + y_{P'}) \\ (x_{P'}, y_{P'}) & = (x_P, 4 - y_P) \end{aligned}
Jadi, apabila P(x, y), maka hasil pencerminannya oleh garis g: x = -3 adalah M_g(P) = P' = (x, 4 - y).

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui garis h = \{(x, y)~|~y = x\}
a) Jika A = (2,-3), tentukan M_h(A)
b) Jika B'=(-3,5), tentukan prapeta dari B' oleh M_h
c) Apabila P(x, y) sebuah titik sembarang, tentukan M_h(P) = P'

Penyelesaian

Jawaban a)
Gradien garis h: y = x adalah m = 1, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien m_1 = -1.
Persamaan garis yang melalui titik A(2,-3) dan bergradien -1 adalah
\begin{aligned} y & = m_1(x - x_1)+y_1 \\ y & = -(x - 2) - 3 \\ y &= -x - 1 \end{aligned}
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis y = x dan y = -x - 1 dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} x & = -x - 1 \\ 2x & = -1 \\ x & = -\dfrac{1}{2} \end{aligned}
Jika x demikian, maka haruslah y = -\dfrac{1}{2}. Ini berarti titik tengah \overline{AA'} adalah \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}\right), di mana A' adalah titik bayangan hasil pencerminan garis h pada titik A, maka berlaku
\begin{aligned} \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) &= \left(\dfrac{x_A +x_{A'}} {2}, \dfrac{y_A+y_{A'}} {2}\right)\\ \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) & = \left( \dfrac{2+x_{A'}}{2}, \dfrac{-3 + y_{A'}} {2} \\ (-1, -1) & = (2 + x_{A'}, -3 + y_{A'}) \\ (x_{A'}, y_{A'}) & = (-3, 2) \end{aligned}
Jadi, koordinat titik A' adalah (-3,2).
Jawaban b)
Gradien garis h: y = x adalah m = 1, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien m_1 = -1.
Persamaan garis yang melalui titik B'(-3,5) dan bergradien -1 adalah
\begin{aligned} y & = m_1(x - x_1)+y_1 \\ y & = -(x + 3) + 5 \\ y &= -x + 2 \end{aligned}
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis y = x dan y = -x + 2 dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} x & = -x + 2\ 2x & = 2 \\ x & = 1 \end{aligned}
Jika x demikian, maka haruslah y = 1. Ini berarti titik tengah \overline{BB'} adalah (1,1), di mana B' adalah titik bayangan hasil pencerminan garis h pada titik B, maka berlaku
\begin{aligned} (1,1) &= \left(\dfrac{x_B +x_{B'}} {2}, \dfrac{y_B+y_{B'}} {2}\right) \\ (1,1) & = \left( \dfrac{x_B+(-3)}{2}, \dfrac{y_B+ 5} {2} \\ (2,2) & = (x_B - 3, y_B + 5) \\ (x_{B}, y_{B}) = (5, -3) \end{aligned}
Jadi, koordinat titik B adalah (5,-3).
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis h: y = x dan melalui P(x_P, y_P) adalah x = x_P. Misal Q(x_Q, y_Q) adalah titik tengah PP', di mana P' adalah titik bayangan hasil pencerminan titik P oleh garis h. Perhatikan juga bahwa x_Q = x_P dan y_Q = 2. Dengan demikian,
\begin{aligned} Q = (x_Q, y_Q) &= (x_P, 2)= \left(\dfrac{x_P + x_{P'}} {2}, \dfrac{y_P + y_{P'}} {2}\right) \\ (x_P,2) & = \left(\dfrac{2+x_{P'}} {2}, \dfrac{1+y_{P'}} {2}\right) \\ (2x_P, 4) & = (x_P + x_{P'}, y_P + y_{P'}) \\ (x_{P'}, y_{P'}) & = (x_P, 4 - y_P) \end{aligned}
Jadi, apabila P(x, y), maka hasil pencerminannya oleh garis g: x = -3 adalah M_h(P) = P' = (x, 4 - y).

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui garis h = \{(x, y)~|~x + y =0\}
a) Jika A = (2,-3), tentukan M_h(A)
b) Jika B'=(-3,5), tentukan prapeta dari B' oleh M_h
c) Apabila P(x, y) sebuah titik sembarang, tentukan M_h(P) = P'

Penyelesaian

Jawaban a)
Gradien garis h: x + y = 0 adalah m = -1, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien m_1 = 1.
Persamaan garis yang melalui titik A(2,-3) dan bergradien 1 adalah
\begin{aligned} y & = m_1(x - x_1)+y_1 \\ y & = (x - 2) - 3 \\ y &= -x - 5 \end{aligned}
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis x + y = 0 \Leftrightarrow y = -x dan y = x - 5 dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} -x & = x - 5 \\ -2x & = -5 \\ x & = \dfrac{5}{2} \end{aligned}
Jika x demikian, maka haruslah y = -\dfrac{5}{2}. Ini berarti titik tengah \overline{AA'} adalah \left(\dfrac{5}{2}, -\dfrac{5}{2}\right), di mana A' adalah titik bayangan hasil pencerminan garis h pada titik A, maka berlaku
\begin{aligned} \left(\dfrac{5}{2}, -\dfrac{5}{2}\right) &= \left(\dfrac{x_A +x_{A'}} {2}, \dfrac{y_A+y_{A'}} {2}\right) \\ \left(\dfrac{5}{2}, -\dfrac{5}{2}\right) & = \left( \dfrac{2+x_{A'}}{2}, \dfrac{-3 + y_{A'}} {2}\right) \\ (5, -5) & = (2 + x_{A'}, -3 + y_{A'}) \\ (x_{A'}, y_{A'}) & = (3, -2) \end{aligned}
Jadi, koordinat titik A' adalah (3,-2).
Jawaban b)
Gradien garis h: x + y = 0 adalah m = -1, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien m_1 = 1.
Persamaan garis yang melalui titik B'(-3,5) dan bergradien 1 adalah
\begin{aligned} y & = m_1(x - x_1)+y_1 \\ y & = (x + 3) + 5 \\ y &= x + 8 \end{aligned}
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis x + y = 0 \Leftrightarrow y = -x dan y = x + 8 dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} -x & = x +8 \\ -2x & = 8 \\ x & = -4 \end{aligned}
Jika x demikian, maka haruslah y = 4. Ini berarti titik tengah \overline{BB'} adalah (-4,4), di mana B' adalah titik bayangan hasil pencerminan garis h pada titik B, maka berlaku
\begin{aligned} (-4,4) &= \left(\dfrac{x_B +x_{B'}} {2}, \dfrac{y_B+y_{B'}} {2}\right) \\ (-4, 4) & = \left( \dfrac{x_B+(-3)}{2}, \dfrac{y_B+ 5} {2}\right) \\ (-8,8) & = (x_B - 3, y_B + 5) \\ (x_{B}, y_{B}) & = (-5, 3) \end{aligned}
Jadi, koordinat titik B adalah (-5,3).
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis h: x + y = 0 (gradien m =1) dan melalui P(x_P, y_P) adalah
\begin{aligned} y - y_P & = m(x-x_P) \\ y & = x - x_P + y_P \end{aligned}.
Misal Q(x_Q, y_Q) adalah titik tengah PP', di mana P' adalah titik bayangan hasil pencerminan titik P oleh garis h.
Dengan demikian,
\begin{aligned} Q = (x_Q, y_Q) &= \left(\dfrac{x_P + x_{P'}} {2}, \dfrac{y_P + y_{P'}} {2}\right) \\ (2x_Q, 2y_Q) & = (x_P+x_{P'}, y_P+y_{P'}) \\ (x_{P'}, y_{P'}) & = (x_P-2x_Q, y_P-2y_Q) \end{aligned}
Jadi, apabila P(x, y), maka hasil pencerminannya oleh garis h: x + y = 0 adalah M_h(P) = P' = (x - 2x_Q, y - 2y_Q).

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui garis g = \{(x, y)~|~x + y = 1\}
a) Tentukan M_g(0)
b) Tentukan M_g(A) dengan A(1,2)
c) Jika P = (x, x+1), tentukan P apabila M_g(P) = P

Penyelesaian

Jawaban a)
M_g(0) dalam hal ini artinya hasil pencerminan titik O(0,0) oleh garis g.
Gradien garis g: x + y = 1 adalah m = -1, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien m_1 = 1.
Persamaan garis yang melalui titik O(0,0) dan bergradien 1 adalah
\begin{aligned} y & = m_1(x - x_1)+y_1 \\ y & = (x - 0) + 0 \\ y &=x \end{aligned}
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis y = x dan y = 1-x dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} x & = 1-x \\ 2x & = 1 \\ x & = \dfrac{1}{2} \end{aligned}
Jika x demikian, maka haruslah y = \dfrac{1}{2}. Ini berarti titik tengah \overline{OO'} adalah \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right), di mana O' adalah titik bayangan hasil pencerminan garis g pada titik O, maka berlaku
\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right) &= \left(\dfrac{x_O +x_{O'}} {2}, \dfrac{y_O+y_{O'}} {2}\right) \\ \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right) & = \left( \dfrac{0+x_{O'}}{2}, \dfrac{0 + y_{O'}} {2}\right) \\ (x_{A'}, y_{A'} & = (1, 1) \end{aligned}
Jadi, koordinat titik M_g(O) = O' adalah (-3,2).
Jawaban b)
Gradien garis g: x + y = 1 adalah m = -1, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien m_1 = 1.
Persamaan garis yang melalui titik A(1,2) dan bergradien 1 adalah
\begin{aligned} y & = m_1(x - x_1)+y_1 \\ y & = (x - 1) + 2 \\ y &= x + 1\end{aligned}
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis y = 1-x dan y = x+1 dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
\begin{aligned} 1-x& = x+1 \\ -2x & = 0 \\ x & = 0 \end{aligned}
Jika x demikian, maka haruslah y = 1. Ini berarti titik tengah \overline{AA'} adalah (0,1), di mana A' adalah titik bayangan hasil pencerminan garis g pada titik A, maka berlaku
\begin{aligned} (0,1) &= \left(\dfrac{x_A +x_{A'}} {2}, \dfrac{y_A+y_{A'}} {2}\right) \\ (0,1) & = \left( \dfrac{1 +x_{B'}}{2}, \dfrac{2+y_{B'} } {2}\right) \\ (0,2) & = (1+x_{B'} , 2+y_{B'}) \\ (x_{B}, y_{B}) & = (-1,0) \end{aligned}
Jadi, koordinat titik A adalah (-1,0).
Jawaban c)
Diketahui titik P(x, x+1) dan g = \{(x, y)~|~x + y = 1\}.
Perhatikan bahwa M_g(P) = P menunjukkan bahwa hasil pencerminan titik P oleh garis g adalah titik P itu sendiri. Ini berarti titik P tepat berada di sumbu cermin (garis g). Oleh karena itu, ditulis P \in g. Koordinat P adalah (x, x+1), sehingga dengan substitusi y = x+1 pada persamaan garis g, diperoleh
\begin{aligned} x + y & = 1 \\ x + (x+1) & = 1 \\ x & = 0 \end{aligned}
dan y = x + 1 = 0 + 1 = 1.
Jadi, M_g(P) = (0,1).

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui garis g = \{(x, y)~|~x - 3y + 1=0\} dan sebuah titik A = (2,k). Tentukan k apabila M_g(A) = A.

Penyelesaian

Diketahui sebuah garis g \equiv x - 3y + 1 = 0 dan titik A(2,k). Karena M_g(A) = A, maka A haruslah terletak pada sumbu cermin, yaitu terletak pada garis g. Untuk mencari nilai k, substitusikan nilai x=2 dan y=k pada persamaan garis g sehingga diperoleh
\begin{aligned} 2 - 3k + 1 &= 0 \\ k & = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k = 1.

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui garis k = \{(x, y)~|~ax - 3y + 1 = 0\} dan sebuah titik B(3,-1). Tentukan a apabila M_k(B) = B.

Penyelesaian

Diketahui sebuah garis k \equiv ax - 3y + 1 = 0 dan titik B(3,-1).
Karena M_k(B) = B, maka B haruslah terletak pada sumbu cermin, yaitu terletak pada garis k. Untuk mencari nilai a, substitusikan nilai x = 3 dan y = -1 pada persamaan garis k sehingga diperoleh
\begin{aligned} a(3) - 3(-1) + 1 &= 0 \\ 3a & = -4 \\ a & = -\dfrac{4}{3} \end{aligned}
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah -\dfrac{4}{3}

[collapse]

Soal Nomor 10
T adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh T(P) = (x - 5, y + 3) untuk semua titik P(x, y) \in V. Selidiki apakah T suatu isometri. Apakah sifat tersebut dapat diperluas secara umum?

Penyelesaian

Diketahui sebuah transformasi T dengan T(P) = (x - 5, y + 3) untuk semua titik P(x, y) \in V.
Menurut definisi, T disebut isometri jika untuk P_1,P_2 \in V, maka |P_1'P_2'| = |P_1P_2| di mana P_1' dan P_2' berturut-turut adalah titik bayangan hasil transformasi dari P_1 dan P_2. Sekarang, ambil sembarang titik P_1,P_2 \in V dengan P_1=(x_1,y_1) dan P_2 = (x_2, y_2). Dengan demikian,
T(P_1) = P_1' = (x_1 - 5, y_1 + 3)
T(P_2) = P_2' = (x_2 - 5, y_2 + 3)
Dengan menggunakan rumus jarak, didapat
|P_1P_2| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
sedangkan untuk bayangannya,
\begin{aligned} |P_1'P_2'|& = \sqrt{(x_2'-x_1')^2 + (y_2'-y_1')^2} \\ |P_1'P_2'| & = \sqrt{((x_2-5)-(x_1 - 5))^2 + ((y_2+3)-(y_1+1))^2} \\ |P_1'P_2'| & = \sqrt{(x_2'-x_1')^2 + (y_2'-y_1')^2} \end{aligned}
Diperoleh |P_1'P_2'|= |P_1P_2|
Karena berlaku demikian, maka T dikatakan sebagai suatu isometri.
Syarat tersebut dapat diperluas secara umum. Misalkan
T(P_1) = P_1' = (x_1 + a, y_1 + b)
T(P_2) = P_2' = (x_2 + a, y_2 + b)
sehingga
|P_1P_2| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
sedangkan
\begin{aligned} |P_1'P_2'| & = \sqrt{(x_2'-x_1')^2 + (y_2'-y_1')^2 \\ |P_1'P_2'| & = \sqrt{((x_2+a)-(x_1+a))^2 + ((y_2+b) -(y_1+b)^2} \\ |P_1'P_2'| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1))^2} \end{aligned}
Diperoleh |P_1P_2| = |P_1'P_2'|
Dengan demikian, T suatu isometri yang dapat diperumum.

[collapse]

Soal Nomor 11
Sebuah transformasi T didefinisikan untuk semua titik P(x, y) sebagai T(P) = (2x, y - 1). Selidiki apakah T suatu isometri.

Penyelesaian

Ambil sembarang titik P, Q \in V dengan P = (x_p, y_p) dan Q = (x_q, y_q)
Dengan rumus jarak, diperoleh
|PQ| = \sqrt{(x_p-x_q)^2 + (y_p-y_q)^2}
Menurut definisi transformasi T,
T(P) = (2x_p, y_p-1), T(Q) = (2x_q, y_q-1)
Dengan rumus jarak, diperoleh
\begin{aligned} & |T(P)T(Q)|  \\ & = \sqrt{(2x_p-2x_q)^2 + ((y_p-1)-(y_q-1))^2} \\ & = \sqrt{4(x_p-x_q)^2 + (y_p - y_q)^2} \end{aligned}
Diperoleh |T(P)T(Q)| \neq |PQ|
Jadi, transformasi T tidak mengawetkan jarak. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa T bukanlah isometri. 

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui garis g dan titik-titik A, A', B, dan C seperti terlihat pada gambar berikut.
a) Dengan menggunakan hanya sebuah penggaris, tentukan B' = M_g(B) dan C' = M_g(C)
b) Buktikan bahwa gambar yang Anda buat sudah benar.

Penyelesaian

Jawaban a)

Jawaban b)

Pada gambar di atas, garis g menjadi garis sumbu dari \overline{CC'}, \overline{BB'}, dan \overline{AA'}, sehingga B' = M_g(B), A' = M_g(A), dan C' = M_g(C). Jadi, gambar tersebut sudah benar. 

[collapse]

Soal Nomor 13
Ada sebuah garis g = \{(x, y)~|~y = x\}.
Andaikan T sebuah transformasi yang didefinisikan untuk semua P(x, y) pada bidang V sebagai berikut: T(P) = P' = (y, x). Buktikan bahwa T adalah sebuah refleksi garis pada g dengan menunjukkan:
a) T(P) = P, apabila P(x, y) \in g
b) g adalah sumbu ruas garis \overline{PP'}, apabila P(x, y) \in g

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika h sebuah garis yang melalui titik asal dengan koefisien arah -1, tentukan
a) A jika M_h(A) =(-2,3)
b) M_h(P) jika P = (x, y)

Penyelesaian

Jawaban a)
h melewati titik (0,0) dengan m = -1. Dengan demikian, persamaan garis h adalah
\begin{aligned} y & = m(x - x_1) + y_1 \\ y & = -(x - 0) + 0 \\ y & = -x \end{aligned}
Berdasarkan konsep pencerminan, \overline{AA'} \perp h, melalui A' = (x', y') = (-2,3) dan bergradien 1,di mana A' = M_h(A).
Persamaan garis \overline{AA'} adalah
\begin{aligned} y & = m(x - x_1) + y_1 \\ y & = (x + 2) + 3 = x + 5 \end{aligned}
Perpotongan garis h dan \overline{AA'} adalah
\begin{aligned} y & = y \\ -x & = x + 5 \\ x & = -\dfrac{5}{2} \end{aligned}
Untuk x demikian, diperoleh y = \dfrac{5}{2}
Jadi, titik tengah \overline{AA'} adalah (x_p, y_p) =\left(-\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{2}\right)
Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip titik tengah, diperoleh
\begin{aligned} (x_p, y_p) & = \left(\dfrac{x + x'} {2}, \dfrac{y + y'} {2}\right) \\ \left(-\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{2}\right) & = \left(\dfrac{x-2}{3}, \dfrac{y+3}{2}\right) \end{aligned}
Dari sini, didapat x = -3 dan y = 2. Jadi, koordinat titik A adalah (-3,2).
Jawaban b)
Garis \overline{PP'} tegak lurus garis h \equiv y = -x, sehingga m = 1 dan melalui (a, b).
Persamaan garis \overline{PP'} adalah
\begin{aligned} y & = m(x - x_1) + y_1 \\ y & = 1(x - a) + b \\ y & = x - a + b \end{aligned}
Selanjutnya, perpotongan garis h dan \overline{PP'} (titik tengah \overline{PP'}) adalah
\begin{aligned} y & = y \\ -x & = x - a + b \\ x & = \dfrac{a-b} {2} \end{aligned}
Untuk x demikian, y = -\dfrac{a-b} {2}
Jadi, titik tengah \overline{PP'} adalah \left(\dfrac{a-b} {2}, -\dfrac{a-b} {2}\right)
Berdasarkan prinsip titik tengah, diperoleh
\begin{aligned} \left(\dfrac{a-b} {2}, -\dfrac{a-b} {2}\right) & = \left(\dfrac{x+x'} {2}, \dfrac{y+y'} {2}\right) \\ \left(\dfrac{a-b} {2}, -\dfrac{a-b} {2}\right) & = \left(\dfrac{a+x'} {2}, \dfrac{b+y'} {2}\right) \end{aligned}
Jadi, diperoleh x' = -b dan y' = -a. Dengan demikian, untuk P = (a, b) = (x, y), diperoleh P' = (-b, -a) = (-y, -x)

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui sebuah garis g. T sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap titik P pada bidang V sebagai berikut:
Jika P \in g, maka T(P) = P
Jika P \notin g, maka T(P) = P' sehingga P' adalah titik tengah ruas garis ortogonal dari P ke g.
a) Apakah T suatu transformasi?
b) Apakah T suatu isometri?
c) Apabila ada dua titik A dan B sehingga A'B' = AB dengan A' = T(A), B'=T(B), apa yang dapat dikatakan tentang A dan B?

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 16
Diketahui titik-titik A=(1,-1), B=(4,0), C(-4,1), dan D = (-2,k). Apabila T suatu isometri sehingga T(A)= C dan T(B) = D, tentukanlah k.

Penyelesaian

Karena T isometri, maka haruslah |AB| = |CD|. Jadi, dengan menggunakan rumus jarak dua titik, dapat ditulis
\begin{aligned} \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} & = \sqrt{(x_C - x_D)^2 + (y_C - y_D)^2} \\ \sqrt{(1-4)^2 + (-1-0)^2} & = \sqrt{(-4+2)^2+(1-k)^2} \\ \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} & = \sqrt{(-2)^2 + (1-k)^2} \\ 9 + 1 & = 4 + (1-k)^2 \\ 6 & = (1-k)^2 \\ (1-k) & = \pm \sqrt{6} \\ k & = 1 \pm \sqrt{6} \end{aligned}
Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k = 1 \pm \sqrt{6}

[collapse]

Soal Nomor 17
Diketahui g sebuah garis dan O sebuah lingkaran. Buktikan bahwa M_g(O) = O' dengan O' juga sebuah lingkaran.

Penyelesaian
[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini
KategoriGeometri, Transformasi GeometriTag, , , , , , , , , ,

3 Balasan untuk “Soal dan Pembahasan – Refleksi (Geometri)”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *