Soal dan Pembahasan – Refleksi Geometri Bidang Datar (Versi Rawuh)

Berikut ini adalah soal bab REFLEKSI yang diambil dari buku berjudul “Geometri Transformasi” oleh Rawuh (dengan sedikit modifikasi dan perbaikan).

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Transformasi Geometri (Tingkat SMA/Sederajat) 

Soal Nomor 1
Diketahui dua titik $A$ dan $B$. Lukislah sebuah garis $g$ sehingga $M_g(A) = B$. Tentukan pula $M_g(B)$.

Pembahasan

$M_g(A) = B$ artinya bayangan dari pencerminan titik $A$ oleh garis $g$ adalah $B$. Garis $g$, titik $A$, dan titik $B$ dapat ditempatkan sedemikian rupa sehingga seperti gambar berikut.

Dengan demikian, jelas bahwa $M_g(B) = A$.

[collapse]

Soal Nomor 2
Apabila pada $V$ ada sistem sumbu ortogonal (sistem koordinat Kartesius) dan $A(1,3)$, sedangkan $B(-2,-1)$, tentukanlah persamaan garis $g$ sehingga $M_g(A) = B$.

Pembahasan




Pertama-tama, carilah persamaan garis yang melalui titik $A(1,3)$ dan $B(-2,-1)$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-3}{-1-3} & = \dfrac{x- 1}{-2-1} \\-3(y-3) & =-4(x-1) \\ 4x- 3y + 5 & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh persamaan garisnya adalah $4x- 3y + 5 = 0$.
Gradien garis ini adalah $m_1 = \dfrac{4}{3}$, sehingga gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah $m =-\dfrac{3}{4}$. Selanjutnya, carilah titik tengah ruas garis $AB$, yaitu
$C = \left(\dfrac{1+(-2)} {2}, \dfrac{3+(-1)} {2}\right) = \left(-\dfrac{1}{2}, 1\right)$
Persamaan garis yang melalui $C$ dan bergradien $-\dfrac{3}{4}$ adalah
$\begin{aligned} & y = m(x- x_1) + y_1 \\ & y  =-\dfrac{3}{4}\left(x + \dfrac{1}{2}\right) + 1 \\ & y  =-\dfrac{3}{4}x- \dfrac{3}{8} + 1 \\ & 6x+ 8y- 5  = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis $g$ yang menjadi sumbu pencerminan bagi titik $A$ dan $B$ adalah $6x + 8y- 5 = 0$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Transformasi Geometri Bidang Datar (Versi Rawuh) 

Soal Nomor 3
Diketahui $g = \{(x, y)~|~x =-3\}$ .

  1. Apabila $A(2,1)$, tentukan $A’ = M_g(A)$.
  2. Tentukan $C$ apabila $M_g(C) = (-1,7)$. 
  3. Apabila $P(x, y)$ sebuah titik sembarang, tentukanlah $M_g(P)$.

Pembahasan

Jawaban a)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g: x =-3$ dan melalui $A(2,1)$ adalah $y = 1$. Titik $B(-3, 1)$ adalah titik tengah $AA’$, di mana $A’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $A$ oleh garis $g$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} (-3, 1) &= \left(\dfrac{x_A + x_{A’}} {2}, \dfrac{y_A + y_{A’}} {2}\right) \\ (-3,1) & = \left(\dfrac{2+x_{A’}} {2}, \dfrac{1+y_{A’}} {2}\right) \\ (-6,2) & = (2 + x_{A’}, 1 + y_{A’}) \\ (x_{A’}, y_{A’}) & = (-8, 1) \end{aligned}$
Jadi, titik $A’$ berada di koordinat $(-8,1)$.
Jawaban b)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g: x =-3$ dan melalui $C’ = M_g(C) = (-1,7)$ adalah $y = 7$.
Titik $D(-3, 7)$ adalah titik tengah $CC’$, di mana $C$ adalah titik prapeta dari pencerminan garis $g$ yang menghasilkan titik $C’$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} (-3, 7) &= \left(\dfrac{x_A + x_{A’}} {2}, \dfrac{y_A + y_{A’}} {2}\right) \\ (-3,7) & = \left(\dfrac{x_C- 1} {2}, \dfrac{y_C + 7} {2}\right) \\ (-6,14) & = (x_C- 1, y_C + 7) \\ (x_C, y_C) & = (-5, 7) \end{aligned}$
Jadi, titik $C$ berada di koordinat $(-5,7)$.
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g: x =-3$ dan melalui $P(x_P, y_P)$ adalah $y = y_P$. Misal $Q(x_Q, y_Q)$ adalah titik tengah $PP’$, di mana $P’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $g$. Perhatikan juga bahwa $x_Q =-3$ dan $y_Q = y_P$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} Q = (-3, y_P) &= \left(\dfrac{x_P + x_{P’}} {2}, \dfrac{y_P + y_{P’}} {2}\right) \\ (-3, y_P) & = \left(\dfrac{2+x_{A’}} {2}, \dfrac{1+y_{A’}} {2}\right) \\ (-6,2y_P) & = (x_P + x_{P’}, y_P + y_{P’}) \\ (x_{P’}, y_{P’}) & = (-6- x_P, y_P) \end{aligned}$
Jadi, apabila $P(x, y)$, maka hasil pencerminannya oleh garis $g: x =-3$ adalah $M_g(P) = P’ = (-6- x, y)$.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $g = \{(x, y)~|~y = 2\}$.

  1. Jika $A = (3, \sqrt{2})$, tentukan $A’ = M_g(A)$.
  2. Jika $D’ =(2,-4)$, tentukan prapeta $D’$ oleh $M_g$. 
  3. Jika $P(x, y)$, tentukan $M_g(P)$.

Pembahasan

Jawaban a)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g: y = 2$ dan melalui $A(3,\sqrt{2})$ adalah $x = 3$. Titik $B(3,2)$ adalah titik tengah $AA’$, di mana $A’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $A$ oleh garis $g$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} (3,2) &= \left(\dfrac{x_A + x_{A’}} {2}, \dfrac{y_A + y_{A’}} {2}\right) \\ (3,2) &  = \left(\dfrac{3+x_{A’}} {2}, \dfrac{\sqrt{2}+y_{A’}} {2}\right) \\ (6,4) & = (3+ x_{A’}, \sqrt{2} + y_{A’}) \\ (x_{A’}, y_{A’}) & = (3, 4-\sqrt{2}) \end{aligned}$
Jadi, titik $A’$ berada di koordinat $(3, 4- \sqrt{2})$.
Jawaban b)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g: y = 2$ dan melalui $D’ = M_g(D) = (2,-4)$ adalah $x = 2$.
Titik $C(2,2)$ adalah titik tengah $DD’$, di mana $D$ adalah titik prapeta dari pencerminan garis $g$ yang menghasilkan titik $D’$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} (2,2) &= \left(\dfrac{x_D + x_{D’}} {2}, \dfrac{y_D + y_{D’}} {2}\right) \\ (2,2) & = \left(\dfrac{x_D + 2} {2}, \dfrac{y_D + (-4)} {2}\right) \\ (4,4) & = (x_D + 2, y_D- 4) \\ (x_D, y_D) & = (2, 8) \end{aligned}$
Jadi, titik $D$ berada di koordinat $(2,8)$.
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g: y = 2$ dan melalui $P(x_P, y_P)$ adalah $x = x_P$. Misal $Q(x_Q, y_Q)$ adalah titik tengah $PP’$, di mana $P’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $g$. Perhatikan juga bahwa $x_Q = x_P$ dan $y_Q = 2$. Dengan demikian,
$$\begin{aligned} Q = (x_Q, y_Q) &= (x_P, 2)= \left(\dfrac{x_P + x_{P’}} {2}, \dfrac{y_P + y_{P’}} {2}\right) \\ (x_P, 2)  & = \left(\dfrac{2+x_{A’}} {2}, \dfrac{1+y_{A’}} {2}\right) \\ (2x_P, 4) & = (x_P + x_{P’}, y_P + y_{P’}) \\ (x_{P’}, y_{P’}) & = (x_P, 4- y_P) \end{aligned}$$Jadi, apabila $P(x, y)$, maka hasil pencerminannya oleh garis $g: x =-3$ adalah $M_g(P) = P’ = (x, 4- y)$.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui garis $h = \{(x, y)~|~y = x\}$.

  1. Jika $A = (2,-3)$, tentukan $M_h(A)$.
  2. Jika $B’=(-3,5)$, tentukan prapeta dari $B’$ oleh $M_h$. 
  3. Apabila $P(x, y)$ sebuah titik sembarang, tentukan $M_h(P) = P’$.

Pembahasan

Jawaban a)
Gradien garis $h: y = x$ adalah $m = 1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1 =-1$.
Persamaan garis yang melalui titik $A(2,-3)$ dan bergradien $-1$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_1(x- x_1)+y_1 \\ y & =-(x- 2)- 3 \\ y &=-x- 1 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $y = x$ dan $y =-x- 1$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} x & =-x- 1 \\ 2x & =-1 \\ x & =-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y =-\dfrac{1}{2}$. Ini berarti titik tengah $\overline{AA’}$ adalah $\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$, di mana $A’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $h$ pada titik $A$, maka berlaku
$\begin{aligned} \left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right) &= \left(\dfrac{x_A +x_{A’}} {2}, \dfrac{y_A+y_{A’}} {2}\right) \\ \left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right) & = \left( \dfrac{2+x_{A’}}{2}, \dfrac{-3 + y_{A’}} {2}\right) \\ (-1,-1) & = (2 + x_{A’},-3 + y_{A’}) \\ (x_{A’}, y_{A’}) & = (-3, 2) \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $A’$ adalah $(-3,2)$.
Jawaban b)
Gradien garis $h: y = x$ adalah $m = 1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1 =-1$.
Persamaan garis yang melalui titik $B'(-3,5)$ dan bergradien $-1$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_1(x- x_1)+y_1 \\ y & =-(x + 3) + 5 \\ y &=-x + 2 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $y = x$ dan $y =-x + 2$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} x & =-x + 2\ 2x & = 2 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y = 1$. Ini berarti titik tengah $\overline{BB’}$ adalah $(1,1)$, di mana $B’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $h$ pada titik $B$, maka berlaku
$\begin{aligned} (1,1) &= \left(\dfrac{x_B +x_{B’}} {2}, \dfrac{y_B+y_{B’}} {2}\right) \\ (1,1) & = \left( \dfrac{x_B+(-3)}{2}, \dfrac{y_B+ 5} {2}\right) \\ (2,2) & = (x_B- 3, y_B + 5) \\ (x_{B}, y_{B}) = (5,-3) \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $B$ adalah $(5,-3)$.
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $h: y = x$ dan melalui $P(x_P, y_P)$ adalah $x = x_P$. Misal $Q(x_Q, y_Q)$ adalah titik tengah $PP’$, di mana $P’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $h$. Perhatikan juga bahwa $x_Q = x_P$ dan $y_Q = 2$. Dengan demikian,
$$\begin{aligned} Q = (x_Q, y_Q) &= (x_P, 2)= \left(\dfrac{x_P + x_{P’}} {2}, \dfrac{y_P + y_{P’}} {2}\right) \\ (x_P,2) & = \left(\dfrac{2+x_{P’}} {2}, \dfrac{1+y_{P’}} {2}\right) \\ (2x_P, 4) & = (x_P + x_{P’}, y_P + y_{P’}) \\ (x_{P’}, y_{P’}) & = (x_P, 4- y_P) \end{aligned}$$Jadi, apabila $P(x, y)$, maka hasil pencerminannya oleh garis $g: x =-3$ adalah $M_h(P) = P’ = (x, 4- y)$.

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui garis $h = \{(x, y)~|~x + y =0\}$.

  1. Jika $A = (2,-3)$, tentukan $M_h(A)$.
  2. Jika $B’=(-3,5)$, tentukan prapeta dari $B’$ oleh $M_h$. 
  3. Apabila $P(x, y)$ sebuah titik sembarang, tentukan $M_h(P) = P’$.

Pembahasan

Jawaban a)
Gradien garis $h: x + y = 0$ adalah $m =-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1 = 1$.
Persamaan garis yang melalui titik $A(2,-3)$ dan bergradien $1$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_1(x- x_1)+y_1 \\ y & = (x- 2)- 3 \\ y &=-x- 5 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $x + y = 0 \Leftrightarrow y =-x$ dan $y = x- 5$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned}-x & = x- 5 \\-2x & =-5 \\ x & = \dfrac{5}{2} \end{aligned}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y =-\dfrac{5}{2}$. Ini berarti titik tengah $\overline{AA’}$ adalah $\left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{5}{2}\right)$, di mana $A’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $h$ pada titik $A$, maka berlaku
$\begin{aligned} \left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{5}{2}\right) &= \left(\dfrac{x_A +x_{A’}} {2}, \dfrac{y_A+y_{A’}} {2}\right) \\ \left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{5}{2}\right) & = \left( \dfrac{2+x_{A’}}{2}, \dfrac{-3 + y_{A’}} {2}\right) \\ (5,-5) & = (2 + x_{A’},-3 + y_{A’}) \\ (x_{A’}, y_{A’}) & = (3,-2) \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $A’$ adalah $(3,-2)$.
Jawaban b)
Gradien garis $h: x + y = 0$ adalah $m =-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1 = 1$.
Persamaan garis yang melalui titik $B'(-3,5)$ dan bergradien $1$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_1(x- x_1)+y_1 \\ y & = (x + 3) + 5 \\ y &= x + 8 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $x + y = 0 \Leftrightarrow y =-x$ dan $y = x + 8$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned}-x & = x +8 \\-2x & = 8 \\ x & =-4 \end{aligned}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y = 4$. Ini berarti titik tengah $\overline{BB’}$ adalah $(-4,4)$, di mana $B’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $h$ pada titik $B$, maka berlaku
$\begin{aligned} (-4,4) &= \left(\dfrac{x_B +x_{B’}} {2}, \dfrac{y_B+y_{B’}} {2}\right) \\ (-4, 4) & = \left( \dfrac{x_B+(-3)}{2}, \dfrac{y_B+ 5} {2}\right) \\ (-8,8) & = (x_B- 3, y_B + 5) \\ (x_{B}, y_{B}) & = (-5, 3) \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $B$ adalah $(-5,3)$.
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $h: x + y = 0$ (gradien $m =1$) dan melalui $P(x_P, y_P)$ adalah
$\begin{aligned} y- y_P & = m(x-x_P) \\ y & = x- x_P + y_P \end{aligned} $.
Misal $Q(x_Q, y_Q)$ adalah titik tengah $PP’$, di mana $P’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $h$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} Q = (x_Q, y_Q) &= \left(\dfrac{x_P + x_{P’}} {2}, \dfrac{y_P + y_{P’}} {2}\right) \\ (2x_Q, 2y_Q) & = (x_P+x_{P’}, y_P+y_{P’}) \\ (x_{P’}, y_{P’}) & = (x_P-2x_Q, y_P-2y_Q) \end{aligned}$
Jadi, apabila $P(x, y)$, maka hasil pencerminannya oleh garis $h: x + y = 0$ adalah $M_h(P) = P’ = (x- 2x_Q, y- 2y_Q)$.

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui garis $g = \{(x, y)~|~x + y = 1\}$.

  1. Tentukan $M_g(0)$.
  2. Tentukan $M_g(A)$ dengan $A(1,2)$. 
  3. Jika $P = (x, x+1)$, tentukan $P$ apabila $M_g(P) = P$.

Pembahasan

Jawaban a)
$M_g(0)$ dalam hal ini artinya hasil pencerminan titik $O(0,0)$ oleh garis $g$.
Gradien garis $g: x + y = 1$ adalah $m =-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1 = 1$.
Persamaan garis yang melalui titik $O(0,0)$ dan bergradien $1$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_1(x- x_1)+y_1 \\ y & = (x- 0) + 0 \\ y &=x \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $y = x$ dan $y = 1-x $ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} x & = 1-x \\ 2x & = 1 \\ x & = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y = \dfrac{1}{2}$. Ini berarti titik tengah $\overline{OO’}$ adalah $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$, di mana $O’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $g$ pada titik $O$, maka berlaku
$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right) &= \left(\dfrac{x_O +x_{O’}} {2}, \dfrac{y_O+y_{O’}} {2}\right) \\ \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right) & = \left( \dfrac{0+x_{O’}}{2}, \dfrac{0 + y_{O’}} {2}\right) \\ (x_{A’}, y_{A’} & = (1, 1) \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $M_g(O) = O’$ adalah $(-3,2)$.
Jawaban b)
Gradien garis $g: x + y = 1$ adalah $m =-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1 = 1$.
Persamaan garis yang melalui titik $A(1,2)$ dan bergradien $1$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_1(x- x_1)+y_1 \\ y & = (x- 1) + 2 \\ y &= x + 1\end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $y = 1-x$ dan $y = x+1$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} 1-x& = x+1 \\-2x & = 0 \\ x & = 0 \end{aligned}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y = 1$. Ini berarti titik tengah $\overline{AA’}$ adalah $(0,1)$, di mana $A’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $g$ pada titik $A$, maka berlaku
$\begin{aligned} (0,1) &= \left(\dfrac{x_A +x_{A’}} {2}, \dfrac{y_A+y_{A’}} {2}\right) \\ (0,1) & = \left( \dfrac{1 +x_{B’}}{2}, \dfrac{2+y_{B’} } {2}\right) \\ (0,2) & = (1+x_{B’} , 2+y_{B’}) \\ (x_{B}, y_{B}) & = (-1,0) \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $A$ adalah $(-1,0)$.
Jawaban c)
Diketahui titik $P(x, x+1)$ dan $g = \{(x, y)~|~x + y = 1\}$.
Perhatikan bahwa $M_g(P) = P$ menunjukkan bahwa hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $g$ adalah titik $P$ itu sendiri. Ini berarti titik $P$ tepat berada di sumbu cermin (garis $g$). Oleh karena itu, ditulis $P \in g$. Koordinat $P$ adalah $(x, x+1)$, sehingga dengan substitusi $y = x+1$ pada persamaan garis $g$, diperoleh
$\begin{aligned} x + y & = 1 \\ x + (x+1) & = 1 \\ x & = 0 \end{aligned}$
dan $y = x + 1 = 0 + 1 = 1$.
Jadi, $M_g(P) = (0,1)$.

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui garis $g = \{(x, y)~|~x- 3y + 1=0\}$
dan sebuah titik $A = (2,k) $. Tentukan $k$ apabila $M_g(A) = A$.

Pembahasan

Diketahui sebuah garis $g \equiv x- 3y + 1 = 0$ dan titik $A(2,k)$. Karena $M_g(A) = A$, maka $A$ haruslah terletak pada sumbu cermin, yaitu terletak pada garis $g$. Untuk mencari nilai $k$, substitusikan nilai $x=2$ dan $y=k$ pada persamaan garis $g$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 2- 3k + 1 &= 0 \\ 3-3k & = 0 \\ 3k & = 3 \\ k & = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $k = 1$.

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui garis $k = \{(x, y)~|~ax- 3y + 1 = 0\}$ dan sebuah titik $B(3,-1)$. Tentukan $a$ apabila $M_k(B) = B$.

Pembahasan

Diketahui sebuah garis $k \equiv ax- 3y + 1 = 0$ dan titik $B(3,-1)$.
Karena $M_k(B) = B$, maka $B$ haruslah terletak pada sumbu cermin, yaitu terletak pada garis $k$. Untuk mencari nilai $a$, substitusikan nilai $x = 3$ dan $y =-1$ pada persamaan garis $k$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} a(3)- 3(-1) + 1 &= 0 \\ 3a & =-4 \\ a & =-\dfrac{4}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $-\dfrac{4}{3}$.

[collapse]

Soal Nomor 10
$T$ adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh $T(P) = (x- 5, y + 3)$ untuk semua titik $P(x, y) \in V$. Selidiki apakah $T$ suatu isometri. Apakah sifat tersebut dapat diperluas secara umum?

Pembahasan

Diketahui sebuah transformasi $T$ dengan $T(P) = (x- 5, y + 3)$ untuk semua titik $P(x, y) \in V$.
Menurut definisi, $T$ disebut isometri jika untuk $P_1,P_2 \in V$, maka $|P_1’P_2’| = |P_1P_2|$ di mana $P_1’$ dan $P_2’$ berturut-turut adalah titik bayangan hasil transformasi dari $P_1$ dan $P_2$. Sekarang, ambil sembarang titik $P_1,P_2 \in V$ dengan $P_1=(x_1,y_1)$ dan $P_2 = (x_2, y_2)$. Dengan demikian,
$T(P_1) = P_1′ = (x_1- 5, y_1 + 3)$
$T(P_2) = P_2′ = (x_2- 5, y_2 + 3)$
Dengan menggunakan rumus jarak, didapat
$|P_1P_2| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
sedangkan untuk bayangannya,
$$\begin{aligned} |P_1’P_2’|& = \sqrt{(x_2′-x_1′)^2 + (y_2′-y_1′)^2} \\ |P_1’P_2’| & = \sqrt{((x_2-5)-(x_1- 5))^2 + ((y_2+3)-(y_1+1))^2} \\ |P_1’P_2’| & = \sqrt{(x_2′-x_1′)^2 + (y_2′-y_1′)^2} \end{aligned}$$Diperoleh $|P_1’P_2’|= |P_1P_2|$
Karena berlaku demikian, maka $T$ dikatakan sebagai suatu isometri.
Syarat tersebut dapat diperluas secara umum. Misalkan
$T(P_1) = P_1′ = (x_1 + a, y_1 + b)$
$T(P_2) = P_2′ = (x_2 + a, y_2 + b)$
sehingga
$|P_1P_2| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
sedangkan
$\begin{aligned} |P_1’P_2’| & = \sqrt{(x_2′-x_1′)^2 + (y_2′-y_1′)^2} \\ |P_1’P_2’| & = \sqrt{((x_2+a)-(x_1+a))^2 + ((y_2+b)-(y_1+b)^2} \\ |P_1’P_2’| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1))^2} \end{aligned}$
Diperoleh $|P_1P_2| = |P_1’P_2’|$.
Dengan demikian, $T$ suatu isometri yang dapat diperumum.

[collapse]

Soal Nomor 11
Sebuah transformasi $T$ didefinisikan untuk semua titik $P(x, y)$ sebagai $T(P) = (2x, y- 1)$. Selidiki apakah $T$ suatu isometri.

Pembahasan

Ambil sembarang titik $P, Q \in V$ dengan $P = (x_p, y_p)$ dan $Q = (x_q, y_q)$
Dengan rumus jarak, diperoleh
$|PQ| = \sqrt{(x_p-x_q)^2 + (y_p-y_q)^2}$
Menurut definisi transformasi $T$,
$T(P) = (2x_p, y_p-1), T(Q) = (2x_q, y_q-1)$
Dengan rumus jarak, diperoleh
$\begin{aligned} & |T(P)T(Q)|  \\ & = \sqrt{(2x_p-2x_q)^2 + ((y_p-1)-(y_q-1))^2} \\ & = \sqrt{4(x_p-x_q)^2 + (y_p- y_q)^2} \end{aligned}$
Diperoleh $|T(P)T(Q)| \neq |PQ|$
Jadi, transformasi $T$ tidak mengawetkan jarak. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa $T$ bukanlah isometri. 

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui garis $g$ dan titik-titik $A, A’, B$, dan $C$ seperti terlihat pada gambar berikut.

  1. Dengan menggunakan hanya sebuah penggaris, tentukan $B’ = M_g(B)$ dan $C’ = M_g(C)$.
  2. Buktikan bahwa gambar yang Anda buat sudah benar.

Pembahasan

Jawaban a)

Jawaban b)

Pada gambar di atas, garis $g$ menjadi garis sumbu dari $\overline{CC’}, \overline{BB’}$, dan $\overline{AA’}$, sehingga $B’ = M_g(B), A’ = M_g(A)$, dan $C’ = M_g(C)$. Jadi, gambar tersebut sudah benar. 

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika $h$ sebuah garis yang melalui titik asal dengan koefisien arah $-1$, tentukan
a. $A$ jika $M_h(A) =(-2,3)$
b. $M_h(P)$ jika $P = (x, y)$

Pembahasan

Jawaban a)
$h$ melewati titik $(0,0)$ dengan $m =-1$. Dengan demikian, persamaan garis $h$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x- x_1) + y_1 \\ y & =-(x- 0) + 0 \\ y & =-x \end{aligned}$
Berdasarkan konsep pencerminan, $\overline{AA’} \perp h$, melalui $A’ = (x’, y’) = (-2,3)$ dan bergradien 1,di mana $A’ = M_h(A)$.
Persamaan garis $\overline{AA’}$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x- x_1) + y_1 \\ y & = (x + 2) + 3 = x + 5 \end{aligned}$
Perpotongan garis $h$ dan $\overline{AA’}$ adalah
$\begin{aligned} y & = y \\-x & = x + 5 \\ x & =-\dfrac{5}{2} \end{aligned}$
Untuk $x$ demikian, diperoleh $y = \dfrac{5}{2}$
Jadi, titik tengah $\overline{AA’}$ adalah $(x_p, y_p) =\left(-\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{2}\right)$
Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip titik tengah, diperoleh
$\begin{aligned} (x_p, y_p) & = \left(\dfrac{x + x’} {2}, \dfrac{y + y’} {2}\right) \\ \left(-\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{2}\right) & = \left(\dfrac{x-2}{3}, \dfrac{y+3}{2}\right) \end{aligned}$
Dari sini, didapat $x =-3$ dan $y = 2$. Jadi, koordinat titik $A$ adalah $(-3,2)$.
Jawaban b)
Garis $\overline{PP’}$ tegak lurus garis $h \equiv y =-x$, sehingga $m = 1$ dan melalui $(a, b)$.
Persamaan garis $\overline{PP’}$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x- x_1) + y_1 \\ y & = 1(x- a) + b \\ y & = x- a + b \end{aligned}$
Selanjutnya, perpotongan garis $h$ dan $\overline{PP’}$ (titik tengah $\overline{PP’}$) adalah
$\begin{aligned} y & = y \\-x & = x- a + b \\ x & = \dfrac{a-b} {2} \end{aligned}$
Untuk $x$ demikian, $y =-\dfrac{a-b} {2}$
Jadi, titik tengah $\overline{PP’}$ adalah $\left(\dfrac{a-b} {2},-\dfrac{a-b} {2}\right)$
Berdasarkan prinsip titik tengah, diperoleh
$\begin{aligned} \left(\dfrac{a-b} {2},-\dfrac{a-b} {2}\right) & = \left(\dfrac{x+x’} {2}, \dfrac{y+y’} {2}\right) \\ \left(\dfrac{a-b} {2},-\dfrac{a-b} {2}\right) & = \left(\dfrac{a+x’} {2}, \dfrac{b+y’} {2}\right) \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $x’ =-b$ dan $y’ =-a$. Dengan demikian, untuk $P = (a, b) = (x, y)$, diperoleh $P’ = (-b,-a) = (-y,-x)$

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui titik-titik $A=(1,-1), B=(4,0), C(-4,1)$, dan $D = (-2,k)$. Apabila $T$ suatu isometri sehingga $T(A)= C$ dan $T(B) = D$, tentukanlah $k$.

Pembahasan

Karena $T$ isometri, maka haruslah $|AB| = |CD|$. Jadi, dengan menggunakan rumus jarak dua titik, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \sqrt{(x_A- x_B)^2 + (y_A- y_B)^2} & = \sqrt{(x_C- x_D)^2 + (y_C- y_D)^2} \\ \sqrt{(1-4)^2 + (-1-0)^2} & = \sqrt{(-4+2)^2+(1-k)^2} \\ \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} & = \sqrt{(-2)^2 + (1-k)^2} \\ 9 + 1 & = 4 + (1-k)^2 \\ 6 & = (1-k)^2 \\ (1-k) & = \pm \sqrt{6} \\ k & = 1 \pm \sqrt{6} \end{aligned}$$Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $k = 1 \pm \sqrt{6}$. 

[collapse]

CategoriesTransformasi Geometri, GeometriTags, , , , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *