Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

       Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan salah satu materi matematika yang dipelajari saat tingkat SMP. Untuk memantapkan pemahaman tentang materi ini, berikut disajikan sejumlah soal beserta pembahasannya yang super lengkap dengan tipe berupa soal pemahaman dan soal cerita (aplikasi). Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – SPLTV

Quote by Ahmad Fuadi

Orang tua itu ibarat tonggak negeri. Kalau orang tua itu sendiri yang lemah dan goyah, apa yang mau diharapkan? 

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Persamaan berikut tergolong persamaan linear dua variabel, kecuali $\cdots \cdot$
A. $7x+15=4y$
B. $6x-\dfrac{2y}{3} = 4$
C. $4x-12=3xy$
D. $\dfrac{5x}{2}+\dfrac{3y}{4}=10$

Pembahasan

Persamaan $4x-12=3\color{red}{xy}$ tidak tergolong sebagai persamaan linear dua variabel karena memuat suku yang merupakan perkalian antara dua variabel berbeda (ditandai dengan warna merah).
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Himpunan penyelesaian dari persamaan $2x+4y=8$ untuk $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ dan $y \in$ bilangan bulat adalah $\cdots \cdot$
A. $\{(0, 8), (1, 6), (2, 4), (3, 2), (4, 0), (5, -2)\}$
B. $\{(0, 2), (2, 3), (4, 4)\}$
C. $\{(0, -2), (2, -1), (4, 0)\}$
D. $\{(0, 2), (2, 1), (4, 0)\}$

Pembahasan

Diketahui $2x + 4y = 8$.
Persamaan ini dapat disederhanakan dan diubah bentuknya seperti berikut.
$\begin{aligned} 2x + 4y & = 8 \\ \text{Bagi kedua ruas}&~\text{dengan}~2 \\ x + 2y & = 4 \\ 2y & = 4-x \\ y & = \dfrac{4-x}{2} \end{aligned}$
Jika $x = 0$, maka $y = \dfrac{4-0}{2} = 2$.
Jika $x = 1$, maka $y = \dfrac{4-1}{2} = \dfrac32$.
Jika $x = 2$, maka $y = \dfrac{4-2}{2} = 1$.
Jika $x = 3$, maka $y = \dfrac{4-3}{2} = \dfrac12$.
Jika $x = 4$, maka $y = \dfrac{4-4}{2} = 0$.
Jika $x = 5$, maka $y = \dfrac{4-5}{2} = -\dfrac12$.
Karena $y \in$ bilangan bulat, maka himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\{(0, 2), (2, 1), (4, 0)\}$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Penyelesaian dari sistem persamaan $2x-3y=-13$ dan $x+2y=4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-2$ dan $y=-3$
B. $x=-2$ dan $y=3$
C. $x=2$ dan $y=-3$
D. $x=2$ dan $y=3$

Pembahasan

Diketahui SPLDV: $\begin{cases} 2x-3y & = -13 && (\cdots 1) \\ x+2y & = 4 && (\cdots 2) \end{cases}$.
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-3y & = 13 \\ x + 2y & = 4 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x-3y & = -13 \\ 2x+4y & = 8 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -7y & = -21 \\ y & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = 3$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} x+2\color{red}{y} & = 4 \\ x+2(3) & = 4 \\ x+6 & = 4 \\ x & = -2 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $x=-2$ dan $y=3$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $x$ dan $y$ merupakan penyelesaian sistem persamaan $2x-y=7$ dan $x+3y=14$, maka nilai $x+2y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$                        C. $11$
B. $9$                        D. $13$         

Pembahasan

Diketahui SPLDV
$\begin{cases} 2x-7 & = 7 && (\cdots 1) \\ x+3y& = 14 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.

$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x -y & = 7 \\ x + 3y & = 14 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6x -3y & = 21 \\ x+3y & = 14 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 7x & = 35 \\ x & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = 5$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2\color{red}{x} -y & = 7 \\ 2(5) -y & = 7   \\  10 -y & = 7 \\ y & = 3  \end{aligned}$
Diperoleh nilai $y = 3$, sehingga $\boxed{x+2y=5+2(3)=11}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika $x$ dan $y$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan $2x+3y=3$ dan $3x-y=10$, maka nilai $2x-y = \cdots \cdot$
A. $3$                         C. $5$
B. $4$                         D. $7$

Pembahasan

Diberikan SPLDV
$\begin{cases} 2x+3y & = 3 && (\cdots 1) \\ 3x-y & = 10 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + 3y & = 3 \\ 3x -y & = 10 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x+3y & = 3 \\~9x-3y & = 30 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 11x & = 33 \\ x & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$

Substitusi $x = 3$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2\color{red}{x} + 3y & = 3 \\ 2(3) + 3y & = 3 \\ 6 + 3y & = 3 \\ 3y & = -3 \\ y & = -1 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $y = -1$, sehingga $\boxed{2x-y = 2(3)-(-1) = 7}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel $\begin{cases} 7x+3y=-5 \\ 5x+2y=1 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{(13,-32)\}$                  C. $\{(32,-13)\}$       
B. $\{(-13,-32)\}$              D. $\{(-32,-13)\}$     

Pembahasan

Diketahui SPLDV
$\begin{cases} 7x+3y & =-5 && (\cdots 1) \\ 5x+2y & =1 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.

$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x+3y & = -5 \\ 5x+2y & = 1 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~14x+6y & = -10 \\~15x+6y & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{3.2 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -x & = -13 \\ x & = 13 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = 13$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 7\color{red}{x}+3y & = -5 \\ 7(13) + 3y & = -5 \\ 3y & = -96 \\ y & = -32 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\{(13, -32)\}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
$\begin{cases} x- y & = 5 \\ 3x -5y & = 5 \end{cases}$
adalah $\cdots \cdot$
A. $\{(-2,9)\}$                   C. $\{(-5, 10)\}$
B. $\{(10,5)\}$                    D. $\{(5, 10)\}$

Pembahasan

Diketahui SPLDV
$\begin{cases} x- y & = 5 && (\cdots 1) \\ 3x -5y & = 5 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.

$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-y & = 5 \\ 3x -5y & = 5 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x-3y & = 15 \\~3x-5y & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{2.7 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 2y & = 10 \\ y & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = 5$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} x-\color{red}{y} & = 5 \\ x-5 & = 5 \\ x & = 10 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\{(10, 5)\}$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Penyelesaian dari sistem persamaan $\dfrac{p}{2}+\dfrac{q}{4} = 1\dfrac34$ dan $\dfrac{p}{4}+\dfrac{q}{3} = \dfrac14$ adalah $\cdots \cdot$
A. $p=5$ dan $q=3$
B. $p=5$ dan $q=-3$
C. $p=-5$ dan $q=3$
D. $p=-5$ dan $q=-3$

Pembahasan

Diketahui SPLDV: $\begin{cases} \dfrac{p}{2}+\dfrac{q}{4} & = \dfrac74 && (\cdots 1) \\ \dfrac{p}{4}+\dfrac{q}{3} & = \dfrac14 && (\cdots 2) \end{cases}$.
Kedua ruas dikalikan $4$ pada persamaan pertama, sedangkan kedua ruas dikalikan $12$ pada persamaan kedua sehingga kita peroleh
$\begin{cases} 2p + q & = 7 && (\cdots 1) \\ 3p+4q & = 3 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2p+q & = 7 \\ 3p+4q & = 3 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~8p+4q & = 28 \\ 3p+4q & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 5p & = 25 \\ p & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $p=5$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2\color{red}{p}+q & = 7 \\ 2(5)+q & = 7 \\ 10+q & = 7 \\ q & = -3 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $p=5$ dan $q=-3$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Akar dari sistem persamaan
$\begin{cases} \dfrac{x+3}{4}-\dfrac{y-2}{3} & = 3\dfrac{1}{12} \\ \dfrac{x-3}{2}-\dfrac{y+4}{3} & = -\dfrac16 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-2$ dan $y=4$
B. $x=2$ dan $y=4$
C. $x=4$ dan $y=-2$
D. $x=4$ dan $y=2$

Pembahasan

Diketahui SPLDV: $\begin{cases} \dfrac{x+3}{4}-\dfrac{y-2}{3} & = \dfrac{37}{12} && (\cdots 2) \\ \dfrac{x-3}{2}-\dfrac{y+4}{3} & = -\dfrac16 && (\cdots 2) \end{cases}$.
Pada persamaan $(1)$, kalikan $12$ pada kedua ruasnya untuk memperoleh
$\begin{aligned} 3(x+3)-4(y-2) & = 37 \\ 3x+9-4y+8 & = 37 \\ 3x-4y+17 & = 37 \\ 3x-4y & = 20 \end{aligned}$
Pada persamaan $(2)$, kalikan $6$ pada kedua ruasnya untuk memperoleh
$\begin{aligned} 3(x-3)-2(y+4) & = -1 \\ 3x-9-2y-8 & = -1 \\ 3x-2y-17 & = -1 \\ 3x-2y & = 16 \end{aligned}$
Kita peroleh SPLDV yang lebih sederhana.
$\begin{cases} 3x-4y & = 20 && (\cdots 1) \\ 3x-2y & = 16 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $x$ pada kedua persamaan di atas sehingga kita dapatkan
$\begin{aligned} -4y-(-2y) & = 20-16 \\ -2y & = 4 \\ y & = -2 \end{aligned}$
Substitusi $y=-2$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 3x-2\color{red}{y} & = 16 \\ 3x-2(-2) & = 16 \\ 3x+4 & = 16 \\ 3x & = 12 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, akar (penyelesaian) sistem persamaan tersebut adalah $x = 4$ dan $y = -2$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $p$ dan $q$ adalah akar dari sistem persamaan $2p+3q=2$ dan $4p-q=18$, maka $5p-2q^2 = \cdots \cdot$
A. $4$                         C. $28$
B. $12$                       D. $36$

Pembahasan

Diketahui SPLDV: $\begin{cases} 2p+3q & = 2 && (\cdots 1) \\ 4p-q & = 18 && (\cdots 2) \end{cases}$.
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2p+3q & = 2 \\ 4p-q & = 18 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4p+6q & = 4 \\ 4p-q & = 18 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 7q & = -14 \\ q & = -2 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $q = -2$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 4p-\color{red}{q} & = 18 \\4p-(-2) & = 18 \\ 4p & = 16 \\ p & = 4 \end{aligned}$
Jadi, akar (penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $p=4$ dan $q=-2$.
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{5p-2q^2=5(4)-2(-2)^2=20-8=12}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika $x$ dan $y$ adalah akar dari sistem persamaan $x^2-2y^2=-2$ dan $3x^2+y^2=57$, maka nilai $2x^2-3y^2=\cdots \cdot$
A. $-30$                      C. $5$
B. $-5$                        D. $30$

Pembahasan

Sistem persamaan di atas memang bukan termasuk SPLDV, tetapi dapat dibuat sebagai SPLDV dengan memisalkan $x^2 = a$ dan $y^2 = b$, sehingga diperoleh
$\begin{cases} a-2b &= -2 && (\cdots 1) \\ 3a+b & = 57 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-2b & = -2 \\ 3a+b & = 57 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~a-2b & = -2 \\~6a+2b & = 114 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 7a & = 112 \\ a & = 16 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $a = 16$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 3\color{red}{a}+b & = 57 \\ 3(16) + b & = 57 \\ b & = 9 \end{aligned}$
Untuk itu, nilai dari $\boxed{\begin{aligned} 2x^2-3y^2 & = 2a-3b \\ & = 2(16)-3(9) \\ &= 32-27=5 \end{aligned}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 0
Diketahui $a$ dan $b$ memenuhi sistem persamaan berikut.
$\begin{cases} \dfrac{7}{a+b}+\dfrac{6}{a-b} & = 3 \\ \dfrac{7}{a+b}-\dfrac{3}{a-b} & = 0 \end{cases}$
Nilai dari $a^2-b^2=\cdots \cdot$
A. $-29$                      C. $21$
B. $-21$                      D. $29$

Pembahasan

Misalkan $x = \dfrac{1}{a+b}$ dan $y = \dfrac{1}{a-b}$, sehingga kita peroleh SPLDV
$\begin{cases} 7x+6y & = 3 && (\cdots 1) \\ 7x-3y & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$
Kita akan mencari nilai dari $a^2-b^2=(a+b)(a-b) = \dfrac{1}{xy}$, yang mengharuskan kita untuk mencari masing-masing nilai $x$ dan $y$ terlebih dahulu.
Dari SPLDV di atas, kita dapat langsung mengeliminasi $x$ dengan mengurangkan kedua persamaan.
$\begin{aligned} (7x+6y)-(7x-3y) & = 3-0 \\ 9y & = 3 \\ y & = \dfrac13 \end{aligned}$
Substitusi $y = \dfrac13$ pada salah satu persamaan, misalnya pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 7x-3\color{red}{y} & = 0 \\ 7x-3\left(\dfrac13\right) & = 0 \\ 7x-1 & = 0 \\ x & = \dfrac17 \end{aligned}$
Dengan demikian, kita akan peroleh $\dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{\frac17 \cdot \frac13} = 21$. Jadi, nilai dari $\boxed{a^2-b^2=21}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Perhatikan grafik berikut.
Titik $(1, 2)$ merupakan titik potong dua garis. Dengan kata lain, titik tersebut akan menjadi penyelesaian dari sistem persamaan $\cdots \cdot$
A. $x+2y=-3$ dan $2x-y=-4$
B. $x-2y=-3$ dan $2x-y=-4$
C. $x+2y=-3$ dan $2x+y=4$
D. $x-2y=-3$ dan $2x+y=4$

Pembahasan

Kita akan menentukan dua persamaan garis yang ada pada gambar di atas.
Garis pertama melalui titik $(2, 0)$ dan $(0, 4)$. Karena kita tahu koordinat titik potong terhadap sumbu koordinat, maka kita akan lebih mudah menentukan persamaan garisnya, yaitu seperti skema berikut.



Persamaan garis pertama adalah $2x + y = 4$.
Garis kedua melalui titik $(-3, 0)$ dan $(1, 2)$. Untuk mencari persamaan garisnya, bisa menggunakan cara kece berikut.

Persamaan garis kedua adalah $x-2y=-3$.
Jadi, titik $(1, 2)$ merupakan penyelesaian sistem persamaan $x-2y=-3$ dan $2x+y=4$.
(Jawaban D)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Soal Nomor 13
Jumlah dua bilangan cacah adalah $27$ dan selisih kedua bilangan itu adalah $3$. Hasil kali kedua bilangan itu adalah $\cdots \cdot$
A. $81$                         C. $180$
B. $176$                       D. $182$

Pembahasan

Misalkan bilangan cacah itu adalah $a$ dan $b$, dengan $a > b$, sehingga diperoleh SPLDV
$\begin{cases} a+b & = 27 && (\cdots 1) \\ a-b & = 3 && (\cdots 2) \end{cases}$
Jumlahkan keduanya dan kita peroleh $2a = 30$, berarti $a = 15$, dan $b = 12$.
Hasil kali $a$ dan $b$ adalah $ab = 15(12) = 180$.
Jadi, hasil kali dua bilangan tersebut adalah $\boxed{180}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Harga $5$ pensil dan $2$ buku adalah Rp26.000,00, sedangkan harga $3$ pensil dan $4$ buku Rp38.000,00. Jika harga $1$ pensil dinyatakan dengan $a$ dan harga $1$ buku dinyatakan dengan $b$, maka sistem persamaan linear dua variabel yang tepat sesuai masalah di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $5a+2b=26.000$ dan $4a+3b=38.000$
B. $5a+2b=26.000$ dan $3a+4b=38.000$
C. $2a+5b=26.000$ dan $3a+4b=38.000$
D. $2a+5b=26.000$ dan $4a+3b=38.000$

Pembahasan

Harga $5$ pensil dan $2$ buku adalah Rp26.000,00, kita tulis $5a + 2b = 26.000$
Harga $3$ pensil dan $4$ buku adalah Rp38.000,00, kita tulis $3a + 4b = 38.000$
Jadi, SPLDV yang sesuai adalah
$\begin{cases} 5a+2b=26.000 \\ 3a+4b=38.000 \end{cases}$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15
Andi membeli $2$ buku tulis dan $3$ pensil seharga Rp8.500,00, sedangkan Didit membeli $3$ buku tulis dan $2$ pensil seharga Rp9.000,00. Jika Anita membeli $1$ buku dan $1$ pensil, maka ia harus membayar sebesar $\cdots \cdot$
A. Rp5.000,00                   C. Rp4.000,00
B. Rp4.500,00                   D. Rp3.500,00

Pembahasan

Misalkan $x$ = harga $1$ buku tulis dan $y$ = harga $1$ pensil, sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 2x + 3y & = 8.500 && (\cdots 1) \\ 3x + 2y & = 9.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Jumlahkan persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 8.500 \\ 3x+2y & = 9.000 \end{aligned} \\ \rule{3.4 cm}{0.6pt} + \\  \! \begin{aligned} 5x + 5y& = 17.500 \\ x + y & = 3.500 \end{aligned} \end{aligned}$
Dengan demikian, Anita harus membayar Rp3.500,00 untuk membeli $1$ buku tulis dan $1$ pensil.
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 16
Umur Amar $\dfrac23$ kali umur Bondan. Enam tahun mendatang, jumlah umur mereka $42$ tahun. Selisih umur Amar dan Bondan adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ tahun                       C. $4$ tahun
B. $3$ tahun                       D. $6$ tahun

Pembahasan

Misalkan umur Amar = $A$ dan umur Bondan = $B$.
Kita peroleh SPLDV berikut.
$\begin{cases} A & = \dfrac23B && (\cdots 1) \\ (A+6)+(B+6) & = 42 && (\cdots 2) \end{cases}$
Substitusi persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} (\color{red}{A}+6)+(B+6) & = 42 \\ \dfrac23B+6+B+6 & = 42 \\ \dfrac53B & = 30 \\ B & = 30 \times \dfrac35 = 18 \end{aligned}$
Umur Bondan saat ini $18$ tahun, berarti umur Amar sekarang adalah $\dfrac23(18) = 12$ tahun.
Selisih umur mereka berdua adalah $\boxed{18-12=6~\text{tahun}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Harga $5$ kg gula pasir dan $30$ kg beras adalah Rp410.000,00, sedangkan harga $2$ kg gula pasir dan $60$ kg beras adalah Rp740.000,00. Harga $2$ kg gula pasir dan $5$ kg beras adalah $\cdots \cdot$
A. Rp154.000,00                             
B. Rp80.000,00
C. Rp74.000,00
D. Rp32.000,00                           

Pembahasan

Misalkan $x$ = harga gula pasir per kg dan $y$ = harga beras per kg, sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 5x + 30y & = 410.000 && (\cdots 1) \\ 2x + 60y & = 740.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x+30y & = 410.000 \\ 2x+60y & = 740.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 10x+60y & = 820.000 \\ 2x+60y & = 740.000 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 8x & = 80.000 \\ x & = 10.000 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $x = 10.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 5\color{red}{x} +30y & = 410.000 \\ 5(10.000) + 30y & = 410.000 \\ 50.000 + 30y & = 410.000 \\ 30y & = 36.000 \\ y & = 12.000 \end{aligned}$
Jadi, harga $1$ kg gula pasir adalah Rp10.000,00 dan harga $1$ kg beras adalah Rp12.000,00.
Dengan demikian, harga $2$ kg gula pasir dan $5$ kg beras adalah
$2 \times 10.000 + 5 \times 12.000 = \boxed{\text{Rp}80.000,00}$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 18
Harga $2$ kg gula pasir dan $3$ kg beras adalah Rp27.000,00, sedangkan harga $3$ kg gula pasir dan $3$ kg beras adalah Rp33.000,00. Harga $1$ kg gula pasir dan $1$ kg beras (masing-masing) adalah $\cdots \cdot$
A. Rp6.000,00 dan Rp5.000,00
B. Rp5.000,00 dan Rp6.000,00
C. Rp5.000,00 dan Rp7.000,00
D. Rp7.000,00 dan Rp5.000,00

Pembahasan

Misalkan $x$ = harga gula pasir per kg dan $y$ = harga beras per kg, sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 2x + 3y & = 27.000 && (\cdots 1) \\ 3x + 3y & = 33.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 27.000 \\ 3x+3y & = 33.000 \end{aligned} \\  \rule{3.3 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} -x & = -6.000 \\ x & = 6.000 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = 6.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2\color{red}{x} +3y & = 27.000 \\ 2(6.000) + 3y & = 27.000 \\ 12.000 + 3y & = 27.000 \\ 3y & = 15.000 \\ y & = 5.000 \end{aligned}$
Jadi, harga $1$ kg gula pasir adalah Rp6.000,00 dan harga $1$ kg beras adalah Rp5.000,00.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Keliling lapangan yang berbentuk persegi panjang adalah $58$ meter. Jika selisih panjang dan lebarnya $9$ meter, maka luas lapangan tersebut adalah $\cdots~\text{m}^2$.
A. $95$                         C. $261$
B. $190$                       D. $380$

Pembahasan

Diketahui keliling persegi panjang 58 meter, berarti ditulis
$2(p + l) = 58 \Leftrightarrow p + l = 29$
Diketahui juga bahwa selisih panjang dan lebar 9 meter, berarti ditulis
$p -l = 9$
Dengan demikian, diperoleh SPLDV
$\begin{cases} p + l  &= 29 && (\cdots 1) \\ p -l & = 9 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $l$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} p + l & = 29 \\ p -l& = 9 \end{aligned} \\ \rule{2.3 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2p & = 38 \\ p & = 19 \end{aligned} \end{aligned}$
Untuk $p=19$, diperoleh $19-l = 9$, yang berarti $l = 10$. 
Jadi, luasnya adalah $\boxed{L = pl = 19(10) = 190~\text{m}^2}$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Sukardi membeli kue untuk merayakan acara ulang tahun pacarnya. Kue yang dibeli ada $2$ jenis, yaitu kue nastar dan kue keju. Harga $1$ kaleng kue nastar sama dengan dua kali harga $1$ kaleng kue keju. Jika harga $3$ kaleng kue nastar dan $2$ kaleng kue keju adalah Rp480.000,00, maka uang yang harus dibayar Sukardi apabila ia memutuskan untuk membeli $2$ kaleng kue nastar dan $3$ kaleng kue keju adalah $\cdots \cdot$
A. Rp480.000,00                      
B. Rp420.000,00
C. Rp360.000,00
D. Rp180.000,00                    

Pembahasan

Misalkan $x =$ harga satu kaleng kue nastar dan $y =$ harga satu kaleng kue keju. Dengan demikian, diperoleh SPLDV
$\begin{cases} x & = 2y \\ 3x + 2y & = 480.000 \end{cases}$ 
Substitusi $2y = x$ pada persamaan $2$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} 3x + \color{red}{x} & = 480.000 \\ 4x & = 480.000 \\ x & = 120.000 \end{aligned}$
Ini berarti, $y = \dfrac{1}{2} \cdot 120.000 = 60.000$ 
Harga $2$ kaleng kue nastar dan $3$ kaleng kue keju adalah
$\begin{aligned} 2x + 3y & = 2(120.000) + 3(60.000) \\ & = 240.000 + 180.000 = 420.000 \end{aligned}$
Jadi, uang yang harus dibayar Sukardi adalah Rp420.000,00.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Budi dan Joko membeli buku tulis dan pulpen di toko Pak Umar. Budi membeli $10$ buku tulis dan $4$ pulpen dengan harga Rp36.000,00. Joko membeli $5$ buku tulis dan $8$ pulpen dengan harga Rp27.000,00. Harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen masing-masing adalah $\cdots \cdot$               
A. Rp2.000,00 dan Rp2.000,00              
B. Rp2.500,00 dan Rp2.750,00
C. Rp3.000,00 dan Rp1.750,00
D. Rp3.000,00 dan Rp1.500,00

Pembahasan

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen, sehingga terbentuk SPLDV
$\begin{cases} 10x + 4y & = 36.000 && (\cdots 1) \\ 5x + 8y & = 27.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 10x + 4y & = 36.000 \\ 5x + 8y & = 27.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \div 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~5x+2y & = 18.000 \\~5x+8y & = 27.000 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 6y & = 9.000 \\ y & = 1.500 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 1.500$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
$\begin{aligned} 5x + 2\color{red}{y} & = 18.000 \\ 5x + 2(1.500) & = 18.000 \\ 5x + 3.000 & = 18.000 \\ 5x & = 15.000 \\ x & = 3.000 \end{aligned}$
Jadi, harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen berturut-turut adalah Rp3.000,00 dan Rp1.500,00.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Perhatikan gambar berikut!

Gambar a dan b masing-masing menunjukkan potongan struk belanjaan Lucky dan Claresta di Indo April Alun-alun Pacitan. Jika pada hari yang sama, Audrey memiliki uang Rp165.000,00 dan ingin membeli buku tulis 10’s dan pensil 2B dengan kuantitas terbanyak, maka barang yang dapat dibeli olehnya adalah $\cdots \cdot$

  1. empat buku tulis 10’s dan enam pensil 2B
  2. enam buku tulis 10’s dan empat pensil 2B
  3. sepuluh buku tulis 10’s dan enam pensil 2B
  4. enam buku tulis 10’s dan delapan pensil 2B

Pembahasan

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga 1 buku tulis 10’s dan 1 pensil, sehingga terbentuk SPLDV
$\begin{cases} 2x + 3y & = 80.000 && (\cdots 1) \\ x + y & = 35.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + 3y & = 80.000 \\ x + y & = 35.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x + 3y & = 80.000 \\~2x + 2y & = 70.000 \end{aligned} \\ & \rule{3.6 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} y & = 10.000  \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = 10.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} x + \color{red}{y} & = 35.000 \\ x + 10.000 & = 35.000 \\ x & = 25.000  \end{aligned}$
Ini berarti, harga $1$ buku tulis 10’s dan $1$ pensil berturut-turut adalah Rp25.000,00 dan Rp10.000,00.
Cek alternatif jawaban:



  1. empat buku tulis 10’s dan enam pensil 2B
    $\begin{aligned} 4x + 6y & = 4(25.000) + 6(10.000) \\ & = 160.000 \end{aligned}$
  2. enam buku tulis 10’s dan empat pensil 2B
    $\begin{aligned} 6x + 4y & = 6(25.000) + 4(10.000) \\ & = 190.000 \end{aligned}$
    (kelebihan)
  3. sepuluh buku tulis 10’s dan enam pensil 2B
    $\begin{aligned} 10x + 6y & = 10(25.000) + 6(10.000) \\ & = 310.000 \end{aligned}$
    (kelebihan)
  4. enam buku tulis 10’s dan delapan pensil 2B
    $\begin{aligned} 6x + 8y & = 6(25.000) + 8(10.000) \\ & = 230.000 \end{aligned}$
    (kelebihan)
    (Jawaban A)  

    [collapse]

Soal Nomor 23
Claresta dan Lucky membeli buku tulis dan pulpen di toko yang sama dengan bukti pembayaran sebagai berikut.

Jika Roy membeli $5$ buku tulis dan $7$ pulpen yang berjenis sama di Toko Alang-Alang “Asyiapp Hore-Hore”, maka ia harus membayar sebesar $\cdots \cdot$
A. Rp65.000,00                  C. Rp70.000,00
B. Rp67.000,00                  D. Rp77.000,00

Pembahasan

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen, sehingga terbentuk SPLDV
$\begin{cases} 3x + 5y & = 43.000 && (\cdots 1) \\ 4x + 2y & = 34.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x + 5y & = 43.000 \\ 4x + 2y & = 34.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 5 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 6x + 10y & = 86.000 \\~20x + 10y & = 170.000 \end{aligned} \\ & \rule{4.4 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 14x & = 84.000 \\ x & = 6.000 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $x = 6.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 3\color{red}{x} + 5y & = 43.000 \\ 3(6.000) + 5y & = 43.000 \\ 18.000 + 5y & = 43.000 \\ 5y & = 25.000 \\ y & = 5.000 \end{aligned}$
Ini berarti, harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen berturut-turut adalah Rp6.000,00 dan Rp5.000,00
Karena Roy membeli $5$ buku tulis dan $7$ pulpen, maka
$\begin{aligned} 5x + 7y & = 5(6.000) + 7(5.000) \\ & = 30.000 + 35.000 = 65.000 \end{aligned}$
Jadi, uang yang harus dibayar Roy sebesar Rp65.000,00.
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 24
Selisih uang adik dan kakak Rp10.000,00. Dua kali uang kakak ditambah uang adik hasilnya Rp40.000,00. Jumlah uang mereka berdua adalah $\cdots \cdot$
A. Rp35.000,00                  C. Rp20.000,00
B. Rp30.000,00                  D. Rp10.000,00

Pembahasan

Misalkan banyaknya uang adik disimbolkan $x$ dan banyaknya uang kakak disimbolkan $y$, sehingga diperoleh SPLDV
$\begin{cases} x -y & = 10.000 && (\cdots 1) \\ x + 2y & = 40.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x + 2y & = 40.000 \\ x -y & = 10.000 \end{aligned} \\ \rule{3.2 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} 3y & = 30.000 \\ y & = 10.000 \end{aligned} \end{aligned}$ 
Untuk $y=10.000$, diperoleh $x = 10.000 = 10.000$, yang berarti $x = 20.000$
Jumlah uang mereka berdua kita tulis
$\boxed{x+y=10.000+20.000=30.000}$
Jadi, jumlah uang mereka berdua adalah Rp30.000,00.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 25
Banyaknya penyelesaian (solusi) dari sistem persamaan linear
$\begin{cases} 6x+2y & =12 \\ 3x+y & =6 \end{cases}$
adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                        C. $2$
B. $1$                        D. $\infty$ (tak hingga)

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 6x+2y & = 12 \\ 3x+y & = 6 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times \frac12 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x+y & = 6 \\ 3x+y & = 6 \end{aligned} \end{aligned}$
Sistem tersebut memiliki dua persamaan yang sebenarnya ekuivalen (sama). Ini berarti, sistem tersebut mengandung dua variabel dalam persamaan tunggal, sehingga ada $\infty$ (tak hingga) banyaknya penyelesaian.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 26
Jika sistem persamaan linear
$\begin{cases} ax-by & =6 \\ 2ax + 3by & =2 \end{cases}$
mempunyai penyelesaian $x = 2$ dan $y=1$, maka nilai dari $a^2+b^2 = \cdots \cdot$
A. $2$                           C. $5$                 
B. $4$                           D. $8$

Pembahasan

Karena $x=2$ dan $y=1$ merupakan penyelesajan dari SPLDV di atas, maka substitusi menghasilkan
$\begin{cases} 2a-b = 6 \\ 4a+3b=2 \end{cases}$
Akan ditentukan nilai $b$ dengan menggunakan metode eliminasi.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a-b & = 6 \\ 4a+3b & = 2 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4a-2b & = 12 \\ 4a+3b & = 2 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.8pt} – \\ & \! \begin{aligned} -5b & = 10 \\ b & = -2 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $b=-2$ pada salah satu persamaan, misalnya pada persamaan $2a-b=6$, sehingga diperoleh
$2a-(-2)=6 \Leftrightarrow 2a=4 \Leftrightarrow a = 2$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{a^2+b^2=(2)^2+(-2)^2=4+4=8}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) SPLTV

Tingkat Lanjut

Soal Nomor 27
Semua siswa di suatu kelas pada sekolah ABC akan menggunakan komputer. Jika setiap komputer digunakan oleh 2 siswa, maka akan ada 3 siswa yang tidak menggunakan komputer, sedangkan jika setiap komputer digunakan oleh 3 siswa, maka akan ada 4 komputer yang tidak digunakan. Banyak komputer yang dimiliki sekolah itu adalah $\cdots$ unit.
A. $11$                   C. $15$                  E. $35$
B. $13$                   D. $33$

Pembahasan

Misalkan:
$\begin{aligned} x & = \text{banyak siswa} \\ y & = \text{banyak komputer} \end{aligned}$
Berdasarkan kalimat kedua soal, kita dapat membentuk model matematika berupa SPLDV.
$\begin{cases} x & = 2y + 3 && (\cdots 1) \\ x & = 3(y -4) = 3y -12 && (\cdots 2)\end{cases}$
Substitusi nilai $x$ dari salah satu persamaan ke persamaan yang lain, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 2y + 3 & = 3y-12 \\ 3y-2y & = 12+3 \\ y & = 15 \end{aligned}$
Jadi, banyak komputer di sekolah ABC adalah $\boxed{15~\text{unit}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 28
Suatu sekolah memiliki gedung asrama yang terdiri dari beberapa kamar. Jika setiap kamar diisi oleh dua siswa, maka akan ada $12$ siswa yang tidak menempati kamar. Jika setiap kamar diisi oleh tiga siswa, maka akan ada $2$ kamar yang kosong. Berapa banyak kamar yang tersedia di asrama sekolah itu?
A. $16$                   C. $20$                 E. $24$
B. $18$                   D. $22$

Pembahasan

Misalkan $S, K$ masing-masing mewakili banyak siswa dan banyak kamar yang ada di asrama. Berdasarkan informasi yang diberikan, diperoleh SPLDV berikut.
$\begin{cases} S & = 2K + 12 && (\cdots 1) \\ S & = 3(K-2) = 3K-6 && (\cdots 2) \end{cases}$
Substitusi nilai $S$ dari salah satu persamaan ke persamaan yang lain, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 2K+12 & = 3K-6 \\ 3K-2K & = 6+12 \\ K & = 18 \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{18}$ kamar di asrama sekolah tersebut.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 29
Sebuah sekolah mempunyai beberapa ruang kelas. Jika jumlah kursi dalam setiap kelas adalah $36$ buah, maka akan tersisa $96$ kursi. Namun jika jumlah kursi di setiap kelas ditambah sebanyak $6$ buah, maka akan kekurangan $48$ kursi. Berapa jumlah ruang kelas dalam sekolah tersebut?
A. $30$                    C. $20$                    E. $12$
B. $24$                    D. $15$

Pembahasan

Misalkan $x, y$ masing-masing mewakili banyak kursi dan banyak ruang kelas. Dari informasi yang diberikan, kita dapat membuat model matematika berupa SPLDV berikut.
$\begin{cases} x & = 36y + 96 && (\cdots 1) \\ x & = 42y-48 && (\cdots 2) \end{cases}$
Kurangi kedua persamaan tersebut dan diperoleh
$\begin{aligned} 6y-144 & = 0 \\ 6y & = 144 \\ y & = \dfrac{144}{6} = 24 \end{aligned}$
Jadi, banyak ruang kelas di sekolah tersebut adalah $\boxed{24}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 30
Pada rangkaian listrik tertutup, dengan menerapkan Hukum Kirchhoff diperoleh sistem persamaan
$\begin{cases} 2R_1+3R_2 & = 8 \\ R_1-3R_2& = 1 \end{cases}$
Nilai dari $R_1$ dan $R_2$ dalam satuan $\Omega$ (baca: ohm) berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $3$ dan $\dfrac13$                      D. $\dfrac13$ dan $2$
B. $3$ dan $\dfrac23$                      E. $3$ dan $1$
C. $\dfrac23$ dan $2$

Pembahasan

Diketahui SPLDV
$\begin{cases} 2R_1+3R_2 & = 8 && (\cdots 1) \\ R_1-3R_2& = 1 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $R_2$ dari kedua persamaan di atas.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2R_1+3R_2 & = 8 \\ R_1-3R_2 & = 1 \end{aligned} \\ \rule{3.1 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 3R_1 & = 9 \\ R_1 & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $R_1 = 3~\Omega$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} \color{red}{R_1}-3R_2 & = 1 \\ 3-3R_2 & = 1 \\ -3R_2 & = -2 \\ R_2 & = \dfrac23 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $R_1$ dan $R_2$ berturut-turut adalah $3~\Omega$ dan $\dfrac23 ~\Omega$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 31
Jika sistem persamaan
$\begin{cases} mx+3y & = 21 \\ 4x-3y & = 0 \end{cases}$
memiliki penyelesaian bilangan bulat positif $x$ dan $y$, maka nilai $m+x+y$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$
A. $9$ atau $45$                        D. $12$ atau $46$
B. $10$ atau $45$                       E. $15$ atau $52$
C. $10$ atau $46$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{cases} mx+3y & = 21 && (\cdots 1) \\ 4x-3y & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$
Pada persamaan $(2)$, diperoleh
$-3y = -4x \Leftrightarrow y = \dfrac43x$
Agar $y$ bulat, maka $x$ harus habis dibagi $3$.
Substitusi $y = \dfrac43x$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} mx+3\color{red}{y} & = 21 \\ mx + \cancel{3}\left(\dfrac{4}{\cancel{3}}x\right) & = 21 \\ mx + 4x & = 21 \\ (m+4)x & = 21 \end{aligned}$
Bentuk $(m+4)x$ dapat dianggap sebagai perkalian dua bilangan bulat yang menghasilkan $21$. Faktor dari $21$ adalah $1, 3, 7$, dan $21$ (hanya $3$ dan $21$ yang mungkin untuk menjadi nilai $x$ karena keduanya habis dibagi $3$).
Misal diambil $x = 3$.
Akibatnya, $m = 3$ dan $y = 4$, sehingga
$\boxed{m+x+y = 3+3+4 = 10}$
Misal diambil $x = 21$.
Akibatnya, $m = -3$ dan $y = 28$, sehingga
$\boxed{m+x+y = -3+21+28 = 46}$.
Jadi, nilai $m+x+y$ yang mungkin adalah $10$ atau $46$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 32
Jika solusi dari SPLDV
$\begin{cases} (a+3)x + y & = 0 \\ x + (a+3)y & = 0 \end{cases}$
tidak hanya $(x, y) = (0,0)$ saja, maka nilai $a^2+6a+17 = \cdots \cdot$
A. $0$                      C. $4$                  E. $16$
B. $1$                      D. $9$            

Pembahasan

Diketahui
$\begin{cases} (a+3)x + y & = 0 && (\cdots 1) \\ x + (a+3)y & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dua ruas pada persamaan $(2)$ dikali dengan $(a+3)$ menghasilkan
$(a+3)x + (a+3)^2y = 0~~~~~(\cdots 3)$.
Kurangi $(1)$ dan $(3)$, lalu selesaikan untuk mencari nilai $a$.
$\begin{aligned} y-(a+3)^2y & = 0 \\ y(1-(a+3)^2) & = 0 \\ 1-(a+3)^2 & = 0 && (\text{Bagi}~y) \\ 1-(a^2+6a+9) & = 0 \\ a^2+6a+8 & = 0 \\ (a+4)(a+2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $a=-4$ atau $a=-2$.
Substitusi $a=-4$ pada bentuk $a^2+6a+17$.
$\boxed{(-4)^2+6(-4)+17 = 16-24+17=9}$
Substitusi $a=-2$ pada bentuk $a^2+6a+17$.
$\boxed{(-2)^2+6(-2)+17 = 4-12+17=9}$
Jadi, nilau dari $\boxed{a^2+6a+17 = 9}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 33
Pak Dede bekerja selama $6$ hari dengan $4$ hari di antaranya lembur dan ia mendapat upah Rp74.000,00. Pak Asep bekerja selama $5$ hari dengan $2$ hari di antaranya lembur dan ia mendapat upah Rp55.000,00. Pak Dian bekerja $4$ hari dan seluruhnya lembur. Mereka bertiga mendapat sistem upah yang sama. Upah yang diperoleh Pak Dian adalah $\cdots \cdot$
A. Rp36.000,00                    D. Rp60.000,00
B. Rp46.000,00                    E. Rp70.000,00
C. Rp56.000,00

Pembahasan

Misalkan $L, N$ berturut-turut menyatakan upah saat hari lembur dan upah saat hari normal.
Pak Dede bekerja selama $6$ hari dengan $4$ hari di antaranya lembur ($2$ hari sisanya normal) dan ia mendapat upah Rp74.000,00. Secara matematis, ditulis
$\boxed{4L + 2N = 74.000}$
Pak Asep bekerja selama $5$ hari dengan $2$ hari di antaranya lembur ($3$ hari sisanya normal) dan ia mendapat upah Rp55.000,00. Secara matematis, ditulis
$\boxed{2L + 3N = 55.000}$
Dengan demikian, diperoleh SPLDV
$\begin{cases} 4L + 2N & = 74.000 && (\cdots 1) \\ 2L+3N & = 55.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Persamaan $(1)$ dapat disederhanakan menjadi $2L + N = 37.000$.
Akan dicari nilai dari $L$ dengan mengeliminasi $N$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2L + N & = 37.000 \\ 2L+3N & = 55.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6L + 3N & = 111.000 \\~2L + 3N & = 55.000 \end{aligned} \\ & \rule{4.2 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 4L & = 56.000 \\ L & = 14.000 \end{aligned} \end{aligned}$$Jadi, upah untuk satu hari lembur adalah Rp14.000,00.
Diketahui bahwa Pak Dian bekerja selama $4$ hari dan seluruhnya lembur. Upah yang diterimanya adalah
$\boxed{4L = 4(14.000) = \text{Rp}56.000,00}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 34
Suatu larutan mempunyai kadar asam $25\%$ dan larutan lainnya mengandung $65\%$ asam. Berapa liter larutan masing-masing yang dibutuhkan agar diperoleh $8$ liter larutan baru dengan kadar asam $40\%$?

  1. Larutan pertama $5$ liter dan larutan kedua $3$ liter
  2. Larutan pertama $3$ liter dan larutan kedua $5$ liter
  3. Larutan pertama $3$ liter dan larutan kedua $3$ liter
  4. Larutan pertama $5$ liter dan larutan kedua $5$ liter
  5. Larutan pertama $7$ liter dan larutan kedua $3$ liter

Pembahasan

Misalkan larutan pertama dibutuhkan sebanyak $A$ liter dan larutan kedua dibutuhkan sebanyak $B$ liter.
Jumlah larutan secara keseluruhan adalah $8$ liter. Secara matematis, ditulis
$\boxed{A+B = 8}$
Larutan pertama mempunyai kadar asam $25\%$ dan larutan kedua mengandung $65\%$ asam. Campuran keduanya menghasilkan $8$ liter larutan baru dengan kadar asam $40\%$. Secara matematis, ditulis
$25\%A + 65\%B = 40\% \cdot 8$
Sederhanakan menjadi
$\boxed{5A + 13B = 64}$
Dengan demikian, diperoleh SPLDV
$\begin{cases} A+B & = 8 && (\cdots 1) \\ 5A +13B & = 64 && (\cdots 2) \end{cases}$
Persamaan $(1)$ ekuivalen dengan $A=8-B$.
Substitusi $A=8-B$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 5\color{red}{A} +13B &= 64 \\ \Rightarrow 5(8-B)+13B & = 64 \\ 40-5B+13B & = 64 \\ 8B & = 24 \\ B & = 3 \end{aligned}$
Substitusi $B = 3$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} A+\color{red}{B} & =8 \\ A+3 & = 8 \\ A & = 5 \end{aligned}$
Jadi, dibutuhkan larutan pertama sebanyak $5$ liter dan larutan kedua sebanyak $3$ liter.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 35
Elvand memerlukan waktu $2$ jam untuk mendayung $9$ km dengan mengikuti arus dan $6$ jam jika melawan arus. Kecepatan Elvand mendayung air dalam kondisi normal adalah $\cdots \cdot$
A. $1$ km/jam                       D. $3$ km/jam
B. $1,5$ km/jam                    E. $4,5$ km/jam
C. $2$ km/jam

Pembahasan

Misalkan $A, B$ berturut-turut menyatakan kecepatan Elvand saat mendayung dan kecepatan arus sungai dalam satuan km/jam.
Dengan demikian, dapat dibuat SPLDV
$\begin{cases} 2A+2B & = 9 && (\cdots 1) \\ 6A-6B & = 9 && (\cdots 2) \end{cases}$
Persamaan $(2)$ dapat disederhanakan menjadi $2A-2B = 3$.
Eliminasi $A$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2A+2B & = 9 \\ 2A-2B & = 3 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 4A & = 12 \\ A & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, kecepatan Elvand mendayung adalah $3$ km/jam.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 36
Sistem persamaan linear
$\begin{cases} (p+1)x+(3p-2)y & = p \\ (3p-1)x + (4p+2)y & = 2p \end{cases}$
memiliki solusi yang tak terhingga banyaknya untuk nilai $p = \cdots \cdot$
A. $-1$ atau $0$                   D. $0$ atau $3$
B. $0$ atau $1$                       E. $-1$ atau $-3$
C. $1$ atau $3$

Pembahasan

SPLDV $\begin{cases} a_1x + b_1y & = c_1 \\ a_2x+b_2y & = c_2 \end{cases}$ memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian, apabila
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$
Pemenuhan Persamaan Pertama:
$\begin{aligned} \dfrac{a_1}{a_2} & = \dfrac{b_1}{b_2} \\ \dfrac{p+1}{3p-1} & = \dfrac{3p-2}{4p+2} \\ (p+1)(4p+2) & = (3p-1)(3p-2) \\ 4p^2+6p+2 & = 9p^2-9p+2 \\ 5p^2-15p & = 0 \\ 5p(p-3) & = 0 \\ p = 0 &~\text{atau}~p=3 \end{aligned}$
Pemenuhan Persamaan Kedua:
$\begin{aligned} \dfrac{a_1}{a_2} & = \dfrac{c_1}{c_2} \\ \dfrac{p+1}{3p-1} & = \dfrac{\cancel{p}}{2\cancel{p}} \\ (p+1)(2) & = 3p-1 \\ 2p+2 & = 3p-1 \\ p & = 3 \end{aligned}$
Jelas bahwa $p=3$ akan mengakibatkan SPLDV di atas memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian. Sekarang, uji $p = 0$.
$\begin{cases} (0+1)x+(3(0)-2)y & = 0 \\ (3(0)-1)x + (4(0)+2)y & = 2(0) \end{cases}$
Sederhanakan menjadi
$\begin{cases} x-2y & = 0 && (1) \\ -x+2y & = 0 && (2) \end{cases}$
Tampak bahwa persamaan $(1)$ dan $(2)$ ekuivalen sehingga akan ada tak hingga banyaknya penyelesaian untuknya.
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=0$ atau $p=3$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 37
Agar sistem persamaan $\begin{cases} 3x+2y & = 12 \\ 2x-y & = 1 \\ kx + 2y & = 16 \end{cases}$ mempunyai penyelesaian, maka nilai $k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                   C. $-1$                 E. $5$
B. $-3$                   D. $3$

Pembahasan

Diberikan sistem persamaan linear
$\begin{cases} 3x+2y & = 12 && (\cdots 1) \\ 2x-y & = 1 && (\cdots 2) \\ kx + 2y & = 16 && (\cdots 3) \end{cases}$
Selesaikan persamaan $1$ dan $2$, artinya mencari nilai $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan tersebut.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+2y & = 12 \\ 2x-y & = 1 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x+2y & = 12 \\~4x-2y & = 2 \end{aligned} \\ & \rule{3.2 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 7x & = 14\\ x & = 2 \end{aligned} \end{aligned}$
Untuk $x = 2$, kita substitusikan pada persamaan $2$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} 2(\color{red}{2})-y & = 1 \\ 4-y & = 1 \\ y & = 3 \end{aligned}$
Kita peroleh $(x, y) = (2, 3)$ merupakan penyelesaian untuk persamaan $1$ dan $2$, artinya agar sistem persamaan tersebut memiliki penyelesaian, maka persamaan $3$ juga harus memiliki penyelesaian serupa, yakni $(2, 3)$.
$\begin{aligned} kx+2y & = 16 \\ \Rightarrow k(2) + 2(3) & = 16 \\ 2k + 6 & = 16 \\ 2k & = 10 \\ k & = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ sama dengan $\boxed{5}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Cramer

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.
a. $\begin{cases} \dfrac13(x-5)+\dfrac34(y+2) &=-2\dfrac12 \\ \dfrac12(2x+3)-\dfrac23(2y+1) & = 8\dfrac16 \end{cases}$
b. $\begin{cases} \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y} & = 1\dfrac15 \\ \dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{y} & = -\dfrac{1}{10} \end{cases}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} \dfrac13(x-5)+\dfrac34(y+2) &=-2\dfrac12&& (\cdots 1) \\ \dfrac12(2x+3)-\dfrac23(2y+1) & = 8\dfrac16 && (\cdots 2) \end{cases}$$Sederhanakan persamaan $(1)$ terlebih dahulu dengan mengalikan kedua ruas dengan $12$.
$\begin{aligned} \dfrac13(x-5)+\dfrac34(y+2) &=-2\dfrac12 && (\times 12) \\ 4(x-5)+9(y+2) & = -30 \\ 4x-20+9y+18 & = -30 \\ 4x+9y-2 & = -30 \\ 4x+9y & = -28 && (\cdots 3) \end{aligned}$
Sederhanakan juga persamaan $(2)$ dengan mengalikan kedua ruas dengan $6$.
$\begin{aligned} \dfrac12(2x+3)-\dfrac23(2y+1) & = 8\dfrac16 && (\times 6) \\ 3(2x+3)-4(2y+1) & = 49 \\ 6x+9-8y-4 & = 49 \\ 6x-8y+5 & = 49 \\ 6x-8y & = 44 \\ 3x-4y & = 22 && (\cdots 4) \end{aligned}$
Sekarang, dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4x+9y & = -28 \\ 3x-4y & = 22 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 4 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~12x+27y & = -84 \\ 12x-16y & = 88 \end{aligned} \\ & \rule{3.4cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 43y & = -172 \\ y & = -4 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = -4$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(4)$.
$\begin{aligned} 3x-4\color{red}{y}& = 22 \\ 3x-4(-4) & = 22 \\ 3x+16 & = 22 \\ 3x & = 6 \\ x & = 2 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\boxed{(2, -4)}$.
Jawaban b)
Diketahui
$\begin{cases} \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y} & = 1\dfrac15 \\ \dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{y} & = -\dfrac{1}{10} \end{cases}$
Misalkan $a = \dfrac{1}{x}$ dan $b = \dfrac{1}{y}$, sehingga kita peroleh SPLDV berikut.
$\begin{aligned} 2a + b & = \dfrac65 && (\cdots 1) \\ a-3b & = -\dfrac{1}{10} && (\cdots 2) \end{aligned}$
Sekarang, dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a+b & = \frac65 \\ a-3b & = -\frac{1}{10} \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2a+b & = \frac65 \\ 2a-6b & = -\frac15 \end{aligned} \\ & \rule{3.2cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 7b & = \frac75 \\ b & = \frac15 \end{aligned} \end{aligned}$
Karena $b = \dfrac{1}{y}$, maka itu berarti $y = 5$.
Substitusi $y = 5$ pada salah satu persamaan $\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac65$.
$\begin{aligned} \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{5} & = \dfrac65 \\ \dfrac{2}{x} & = 1 \\ x & = 2 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\boxed{(2, 5)}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Setengah uang Ali ditambah uang Hadi adalah Rp60.000,00. Diketahui juga $\dfrac23$ uang Ali dikurangi $\dfrac13$ uang Hadi sama dengan Rp20.000,00.

  1. Buatlah sistem persamaan (model matematika) terkait masalah di atas dan selesaikan.
  2. Tentukan jumlah uang mereka berdua.

Pembahasan

Jawaban a)
Misalkan uang Ali = $A$ dan uang Hadi = $H$. Kita peroleh SPLDV berikut.
$\begin{cases} \dfrac12A + H & = 60.000 && (\cdots 1) \\ \dfrac23A-\dfrac13H & = 20.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} \frac12A+H & = 60.000 \\ \frac23A-\frac13H & = 20.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~\frac12A+H & = 60.000 \\ 2A-H & = 60.000 \end{aligned} \\ & \rule{3.8 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} \dfrac52A & = 120.000 \\ A & = 48.000 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $A = 48.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} \dfrac12\color{red}{A} + H & = 60.000 \\ \dfrac12(48.000)+H & = 60.000 \\ 24.000+H & = 60.000 \\ H & = 36.000 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian SPLDV tersebut adalah $A = 48.000$ dan $H = 36.000$.
Jawaban b)
Uang Ali dan uang Hadi masing-masing adalah Rp48.000,00 dan Rp36.000,00, sehingga jumlah uang mereka berdua adalah Rp84.000,00.

[collapse]

Soal Nomor 3
Perhatikan gambar persegi panjang berikut.

Tentukan nilai $x$ dan $y$ berdasarkan gambar di atas.

Pembahasan

Pada persegi panjang, kedua sisi yang berhadapan memiliki panjang yang sama, sehingga kita peroleh SPLDV berikut.
$\begin{cases} x + 3y & = 7 && (\cdots 1) \\ 2x+y & = 9 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+3y & = 7 \\ 2x+y & = 9 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x+6y & = 14 \\ 2x+y & = 9 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 5y & = 5 \\ y & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = 1$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} x+3\color{red}{y} & = 7 \\ x+3(1) & = 7 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x = 4$ dan $y = 1$.

[collapse]

Soal Nomor 4
Pak guru akan membagikan sekantong kepada siswanya. Bila tiap siswa mendapat $2$ permen, maka akan tersisa $4$ permen, tetapi bila tiap siswa mendapat $3$ permen, maka akan ada $2$ siswa yang tidak mendapat permen sama sekali dan $1$ siswa lainnya hanya mendapat $2$ permen. Jika banyak permen adalah $p$ dan banyak siswa adalah $s$, maka tentukan sistem persamaan linear dari masalah di atas.

Pembahasan

Misalkan banyak permen = $p$ dan banyak siswa = $s$.
Bila tiap siswa mendapat $2$ permen, maka akan tersisa $4$ permen, kita tuliskan
$p = 2s + 4$.
Bila tiap siswa mendapat $3$ permen, maka akan ada $2$ siswa yang tidak mendapat permen sama sekali dan $1$ siswa lainnya hanya mendapat $2$ permen. Ini artinya, jumlah permennya sama dengan $3$ kali dari jumlah siswa, namun dikurangi dengan $6$ (karena $2$ siswa tadi harusnya mendapat total $6$ permen), lalu dikurangi lagi dengan $1$ (karena $1$ siswa lainnya kekurangan $1$ permen). Kita tulis, $p = 3s-6-1 = 3s-7$.
Jadi, sistem persamaan linear dari masalah di atas adalah
$\boxed{\begin{cases} p & = 2s + 4 \\ p & = 3s-7 \end{cases}}$

[collapse]

KategoriSPLDVTag, , , ,

3 Balasan untuk “Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)”

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *