Soal dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

           Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) merupakan salah satu materi matematika (wajib / peminatan) yang dipelajari saat tingkat SMA, tepatnya di kelas X. Materi ini sebenarnya merupakan lanjutan dari materi SPLDV yang sudah dipelajari saat tingkat SMP. Oleh karenanya, pembaca disarankan sudah menguasai metode penyelesaian SPLDV terlebih dahulu.
       Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTVdiartikan sebagai kumpulan persamaan linear yang memuat tiga variabel dengan bentuk umum
$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{cases}$
            Untuk memantapkan pemahaman tentang materi SPLTV ini, berikut disajikan sejumlah soal beserta pembahasannya dengan tipe berupa soal ingatan dan pemahaman (soal noncerita).

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Quote by Ki Hajar Dewantara

Jadikan setiap tempat sebagai sekolah dan jadikan setiap orang sebagai guru.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Perhatikan beberapa sistem persamaan linear berikut.
$1$. $\begin{cases} 4x+y+z & = y-2 \\ 3x+2z & = 2y \\ 3y+z & = 0 \end{cases}$
$2$. $\begin{cases} x-y+4 & = 4 \\ 10x-2y+2 & = z+2 \\ 6x-y & = 2y \end{cases}$
$3$. $\begin{cases} 5y+3z+2 & = x+2 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z+100 & = 100 \end{cases}$
$4$. $\begin{cases} 10-x+z & = 5y+10 \\ 5x+3y & = 2z+5 \\ 7x+y+11z & = 0 \end{cases}$
Sistem persamaan linear homogen ditunjukkan oleh nomor $\cdots \cdot$
A. $1, 2$, dan $3$
B. $1, 2$, dan $4$
C. $1$ dan $3$
D. $2$ dan $3$
E. $2$ dan $4$

Penyelesaian

Sistem persamaan linear homogen adalah sistem persamaan linear yang masing-masing persamaannya berkonstanta $0$. Bentuk umumnya adalah
$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = 0 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = 0 \end{cases}$
Analisis SPL nomor $1$:
$\begin{cases} 4x+y+z & = y-2 \\ 3x+2z & = 2y \\ 3y+z & = 0 \end{cases}$
Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya.
$\begin{cases} 4x+z& = -2 && (\cdots 1) \\ 3x-2y+2z & = 0 && (\cdots 2) \\ 3y+z & = 0 && (\cdots 3) \end{cases}$
Tampak bahwa persamaan $(1)$ memuat konstanta $-2$, sehingga SPL tersebut tidak homogen.
Analisis SPL nomor $2$:
$\begin{cases} x-y+4 & = 4 \\ 10x-2y+2 & = z+2 \\ 6x-y & = 2y \end{cases}$
Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya.
$\begin{cases} x-y & = 0 \\ 10x-2y-z & = 0 \\ 6x-3y& = 0 \end{cases}$
SPL di atas homogen karena seluruh persamaannya berkonstanta $0$.
Analisis SPL nomor $3$:
$\begin{cases} 5y+3z+2 & = x+2 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z+100 & = 100 \end{cases}$
Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya.
$\begin{cases} -x+5y+3z & = 0 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z& =0 \end{cases}$
SPL di atas homogen karena seluruh persamaannya berkonstanta $0$.
Analisis SPL nomor $4$:
$\begin{cases} 10-x+z & = 5y+10 \\ 5x+3y & = 2z+5 \\ 7x+y+11z & = 0 \end{cases}$
Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya.
$\begin{cases} -x-5y+z & = 0 && (\cdots 1) \\ 5x+3y-2z & = 5 && (\cdots 2) \\ 7x+y+11z & = 0 && (\cdots 3) \end{cases}$
Tampak bahwa persamaan $(2)$ memuat konstanta $5$, sehingga SPL tersebut tidak homogen.
Jadi, sistem persamaan linear homogen ditunjukkan oleh nomor $2$ dan $3$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Sistem persamaan linear tiga variabel yang tidak mempunyai penyelesaian ditunjukkan oleh $\cdots \cdot$
A. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$
B. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =45 \\ 6x-3y+12z & = 60 \end{cases}$
C. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x+3y+12z & = 45 \end{cases}$
D. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$
E. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 2x+y-4z & = 15 \end{cases}$

Penyelesaian

Analisis SPLTV pada pilihan A:
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$
dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && (\cdots 1) \\ 2x-y+2z& =15 && (\cdots 2) \\ 2x-y+4z & = 15 && (\cdots 3) \end{cases}$
Perhatikan bahwa persamaan $(1)$ dan $(3)$ sebenarnya ekuivalen, sehingga SPLTV tersebut hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian.
Analisis SPLTV pada pilihan B:
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =45 \\ 6x-3y+12z & = 60 \end{cases}$
dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && (\cdots 1) \\ 2x-y+2z& =22,5 && (\cdots 2) \\ 2x-y+4z & = 20 && (\cdots 3) \end{cases}$
Perhatikan bahwa persamaan $(1)$ dan $(3)$ tidak akan mungkin terpenuhi (perhatikan perbedaan konstantanya), sehingga SPLTV tersebut tidak memiliki penyelesaian.
Analisis SPLTV pada pilihan C:
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x+3y+12z & = 45 \end{cases}$
dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && (\cdots 1) \\ 2x-y+4z& =15 && (\cdots 2) \\ 2x+y+4z & = 15 && (\cdots 3) \end{cases}$
Perhatikan bahwa persamaan $(1)$ dan $(2)$ ekuivalen, sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian.
Analisis SPLTV pada pilihan D:
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$
dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && (\cdots 1) \\ 2x-y+4z& =15 && (\cdots 2) \\ 2x-y+4z & = 15 && (\cdots 3) \end{cases}$
Perhatikan bahwa persamaan $(1), (2)$, dan $(3)$ ekuivalen, sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $1$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian.
Analisis SPLTV pada pilihan E:
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 2x+y-4z & = 15 \end{cases}$
dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && (\cdots 1) \\ 2x-y+4z& =15 && (\cdots 2) \\ 2x+y-4z & = 15 && (\cdots 3) \end{cases}$
Perhatikan bahwa persamaan $(1)$ dan $(2)$ ekuivalen, sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui sistem persamaan linear
$\begin{cases} x+y-z & =-3 \\ x+2y+z & =7 \\ 2x+y+z & = 4 \end{cases}$
Nilai dari $x+y+z= \cdots \cdot$
A. $3$           B. $4$           C. $5$           D. $6$           E. $8$

Penyelesaian

Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu.
$\begin{cases} x+y-z & =-3 && (\cdots 1) \\ x+2y+z & =7 && (\cdots 2) \\ 2x+y+z & = 4 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $z$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$,
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y-z & = -3 \\ x+2y+z& = 7 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned}~\color{blue}{2x+3y = 4~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $z$ dari persamaan $(2)$ dan $(3)$,
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+2y+z & = 7 \\ 2x+y+z & = 4 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-x+y = 3~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$
Selanjutnya, eliminasi $x$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$ untuk mendapatkan nilai $y$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 4 \\ -x+y & = 3 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x+3y& = 4 \\ -2x+2y & = 6 \end{aligned} \\ & \rule{2.7 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 5y & = 10 \\ y & = 2 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = 2$ pada persamaan $(5)$ untuk memperoleh
$-x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = -1$
Terakhir, substitusi $x=-1$ dan $y=2$ pada persamaan $(1): x+y-z=-3$ untuk mendapatkan
$-1+2-z=-3 \Leftrightarrow z = 4$
Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=-1+2+4=5}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $\{(x_0, y_0, z_0)\}$ memenuhi sistem persamaan
$\begin{cases} 3x-2y-3z & =5 \\ x+y-2z & =3 \\ x-y+z & =-4 \end{cases}$,
maka nilai $z_0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                      C. $-1$                     E. $5$
B. $-2$                      D. $4$

Penyelesaian

Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu.
$\begin{cases} 3x-2y-3z & =5 && (\cdots 1) \\ x+y-2z & =3 && (\cdots 2) \\ x-y+z & =-4 && (\cdots 3) \end{cases}$
Persamaan $(3)$ dapat ditulis menjadi 
$x = -4+y-z$
Substitusikan pada persamaan $(1)$ terlebih dahulu.
$\begin{aligned} 3\color{red}{x}-2y-3z & = 5 \\ 3\color{red}{(-4+y-z)}-2y-3z & = 5 \\ -12+3y-3z-2y-3z & = 5 \\ y-6z & = 17 && (\cdots 4) \end{aligned}$
Selanjutnya, substitusikan pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} \color{red}{x}+y-2z & = 3 \\ \color{red}{(-4+y-z)}+y-2z & = 3 \\ 2y-3z & = 7 && (\cdots 5) \end{aligned}$

Eliminasi $y$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$ untuk menentukan nilai $z$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} y-6z & = 17 \\ 2y-3z & = 7 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2y-12z& = 34 \\ 2y-3z & = 7 \end{aligned} \\ & \rule{2.7 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -9z & = 27 \\ z & = -3 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{z_0 = -3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diberikan sistem persamaan berikut.
$\begin{cases} x+y+z & =1 \\ 2x-y-z & = -5 \\ 2x-2y-z & = 7 \end{cases}$
Nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-2$                                  D. $\dfrac23$
B. $-\dfrac43$                                E. $\dfrac43$
C. $-\dfrac23$

Penyelesaian

Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu.
$\begin{cases} x+y+z & =1 && (\cdots 1) \\ 2x-y-z & = -5 && (\cdots 2) \\ 2x-2y-z & = 7 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dan $z$ pada persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y+z & = 1 \\ 2x-y-z & = -5 \end{aligned} \\ \rule{3.1 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 3x & = -4 \\ x & = -\dfrac43 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{x = -\dfrac43}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
$\begin{cases} x+4y-z & =1 \\ -x+2y+z & =2 \\ 2x+6y+z & =-8 \end{cases}$
adalah $\{(x,y,z)\}$. Hasil kali $x, y, z$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-9$                   C. $-3$                   E. $9$
B. $-6$                   D. $6$

Penyelesaian

Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu.
$\begin{cases} x+4y-z & =1 && (\cdots 1) \\ -x+2y+z & =2 && (\cdots 2) \\ 2x+6y+z & =-8 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dan $z$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+4y-z & = 1 \\ -x+2y+z & = 2 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 6y & = 3 \\ y & = \dfrac36 = \dfrac12\end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = \dfrac12$ pada persamaan $(1): x+4y-z=1$.
$\begin{aligned} x+4\left(\dfrac12\right)-z & = 1 \\ x+2-z&=1 \\ x-z&=-1 && (\cdots 4) \end{aligned}$
Substitusi $y = \dfrac12$ pada persamaan $(3): 2x+6y+z=-8$.
$\begin{aligned} 2x+6\left(\dfrac12\right)+z & = -8 \\ 2x+3+z &=-8 \\ 2x+z&=-11 && (\cdots 5) \end{aligned}$
Eliminasi $z$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-z & = -1 \\ 2x+z & = -11 \end{aligned} \\ \rule{2.8 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 3x & = -12 \\ x & = \dfrac{-12}{3} = -4 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = -4$ pada persamaan $(4): x-z = -1$ sehingga diperoleh
$-4-z = -1 \Leftrightarrow z = -3$
Jadi, hasil kali dari $x,y,z$ adalah $\boxed{xyz = (-4)\left(\dfrac12\right)(-3) = 6}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $\begin{cases} 2x-5y+3z & =-10 \\ 3x+4y+7z & =-11 \\ 5x+3y+7z & =-8 \end{cases}$ mempunyai penyelesaian $(x, y, z)$. Hasil kali $x,y,z$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-10$                 C. $-2$                     E. $6$
B. $-6$                   D. $2$

Penyelesaian

Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu.
$\begin{cases} 2x-5y+3z=-10 & (\cdots 1) \\ 3x+4y+7z=-11 & (\cdots 2) \\ 5x+3y+7z=-8 & (\cdots 3) \end{cases}$
Perhatikan bahwa persamaan $(2)$ dan $(3)$ memuat ekspresi $7z$, sehingga variabel $z$ sebaiknya dieliminasi lebih dulu.
Eliminasi $z$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-5y+3z& = -10 \\ 3x+4y+7z &=-11 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~14x-35y+21z& = -70\\ 9x+12y+21z & = -33 \end{aligned} \\ & \rule{4.5 cm}{0.8pt} – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{5x-47y= -37~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$$
Selanjutnya, eliminasi $z$ dari persamaan $(2)$ dan $(3)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+4y+7z & = -11 \\ 5x+3y+7z & = -8 \end{aligned} \\ \rule{3.8 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-2x+y = -3~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x-47y & = -37 \\ -2x+y &=-3 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 5 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~10x-94y& = -74 \\ -10x+5y & = -15 \end{aligned} \\ & \rule{3.7 cm}{0.8pt} + \\ & \! \begin{aligned} -89y & = -89 \\ y & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$$
Substitusi $y = 1$ pada persamaan $(5): -2x+y=-3$.
$-2x+1 = -3 \Leftrightarrow x = 2$
Substitusikan $x = 2$ dan $y = 1$ pada persamaan $(1): 2x-5y+3z=-10$.
$\begin{aligned} 2(2)-5(1)+3z & = -10 \\ 4-5+3z & = -10 \\ 3z & = -9 \\ z & = -3 \end{aligned}$
Jadi, hasil kali dari $x,y,z$ adalah $\boxed{xyz = (2)(1)(-3) = -6}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Penyelesaian dari sistem persamaan
$\begin{cases} 3x+7y+2z & =8 \\ 4x+2y-5z & =-19 \\ 6y-4z & =14 \end{cases}$
adalah $\cdots \cdot$
A. $x = 5, y = 3$, dan $z = 1$
B. $x = 4, y = -5$, dan $z = 1$
C. $x = -3, y = 4$, dan $z = 1$
D. $x = -5, y = 3$, dan $z = 2$
E. $x = -5, y = 3$, dan $z = 1$

Penyelesaian

Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu, lalu sederhanakan persamaan ketiga.
$\begin{cases} 3x+7y+2z & =8 && (\cdots 1) \\ 4x+2y-5z & =-19 && (\cdots 2) \\ 3y-2z & =7 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $2$ dan persamaan $(3)$,
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+7y+2z & = 8\\ 4x+2y-5z &=-19 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~12x+28y+8z& = 32 \\ 12x+6y-15z & = -57 \end{aligned} \\ & \rule{4.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{22y + 23z = 89~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$$
Selanjutnya, eliminasi $z$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$,
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3y-2z & = 7 \\ 22y+23z & = 89 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 23 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~69y-46z & = 161 \\ 44y+46z & = 178 \end{aligned} \\ & \rule{3.2 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 113y & = 339 \\ y & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = 3$ pada persamaan $(3): 3y-2z=7$.
$\begin{aligned} 3(3)-2z & = 7 \\ 9-2z & = 7 \\ -2z & = -2 \\ z & = 1 \end{aligned}$
Terakhir, substitusi $y=3$ dan $z = 1$ pada persamaan $(1): 3x+7y+2z=8$.
$\begin{aligned} 3x+7(3)+2(1) & = 8 \\ 3x + 23 & = 8 \\ 3x & = -15 \\ x & = -5 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah $x = -5, y = 3$, dan $z = 1$.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9
Perhatikan SPLTV berikut.
$\begin{cases} x+2z & = 3y+2 && (\cdots 1) \\ y-z & = -4x-7 && (\cdots 2) \\ 3z-2 & = -2(x+y-10) && (\cdots 3) \end{cases}$
Penyelesaian SPLTV tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $x = 3, y = 3$, dan $z=6$
B. $x = 1, y = 3$, dan $z=-6$
C. $x = 1, y = -3$, dan $z=6$
D. $x = -1, y = 3$, dan $z=6$
E. $x = -1, y = -3$, dan $z=-6$

Penyelesaian

Ubah bentuk setiap persamaan dari sistem tersebut menjadi bentuk umum.
$\begin{cases} x-3y+2z & = 2 && (\cdots 1) \\ 4x+y-z & = -7 && (\cdots 2) \\ 2x+2y+3z& = 22 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $z$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-3y+2z & = 2 \\ 4x+y-z & = -7 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~x-3y+2z& = 2 \\~8x+2y-2z & = -14 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{9x-y = -12~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$$
Eliminasi $z$ dari persamaan $(2)$ dan $(3)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4x+y-z & = -7 \\ 2x+2y+3z & = 22 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~12x+3y-3z & = -21 \\ 2x+2y+3z & = 22 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{14x+5y = 1~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$$
Eliminasi $y$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 9x-y & = -12 \\ 14x+5y & = 1 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 5 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~45x-5y & = -60 \\ 14x+5y & = 1 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 59x & = -59 \\ x & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = -1$ pada persamaan $(4)$.
$\begin{aligned} 9x-y & = -12 \\ \Rightarrow 9(-1)-y & = -12 \\ -y & = -3 \\ y & = 3 \end{aligned}$
Substitusi $x = -1$ dan $y=3$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} x-3y+2z & = 2 \\ \Rightarrow (-1)-3(3)+2z & = 2 \\ -10+2z & = 2 \\ 2z & = 12 \\ z & = 6 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian dari sistem tersebut adalah $\boxed{x = -1, y = 3, z = 6}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui sistem persamaan linear
$\begin{cases} x+2y+z & =6 \\ x+3y+2z & =9 \\ 2x+y+2z & =12 \end{cases}$
Nilai dari $x+y+z = \cdots \cdot$
A. $3$           B. $4$           C. $6$           D. $8$           E. $9$

Penyelesaian

Tanpa perlu mencari nilai $x, y, z$ masing-masing, kita dapat menentukan nilai dari $x+y+z$.
Diberikan SPLTV berikut.
$\begin{cases} x+2y+z & =6 && (\cdots 1) \\ x+3y+2z & =9 && (\cdots 2) \\ 2x+y+2z & =12 && (\cdots 3) \end{cases}$
Jumlahkan ekspresi pada persamaan $(1)$ dan $(3)$,
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+2y+z & = 6 \\ 2x+y+2z & = 12 \end{aligned} \\ \rule{3.8 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 3x+3y+3z & = 18 \\ x+y+z & = 6\end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=6}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Perhatikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
$\begin{cases} x+5y+2z & = -a-b-c && (\cdots 1) \\ 3x-y+4z&=5a+b && (\cdots 2) \\ 2x+y+5z & = 6a+1 && (\cdots 3) \end{cases}$
Jika himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{(-2, -3, 4)\}$, maka nilai $2a+b+3c = \cdots \cdot$
A. $9$                        C. $17$                     E. $24$
B. $15$                      D. $19$

Penyelesaian

Diketahui $(x, y, z) = (-2, -3, 4)$ merupakan penyelesaian SPLTV tersebut. Substitusi nilai-nilai $x, y, z$ ini pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} 2x+y+5z & = 6a + 1 \\ 2(-2) + (-3) + 5(4) & = 6a+1 \\ -4+(-3)+20 & = 6a+1 \\ 12 & = 6a \\ a & = 2 \end{aligned}$
Substitusi nilai $(x, y, z) = (-2, -3, 4)$ dan $a = 2$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 3x-y+4z&=5a+b \\ 3(-2)-(-3)+4(4) & = 5(2)+b \\ -6+3+16 & = 10+b \\ b & = 3 \end{aligned}$
Substitusikan nilai $(x, y, z) = (-2, -3, 4)$, $a = 2$, dan $b = 3$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} x+5y+2z & = -a-b-c \\ (-2)+5(-3)+2(4) & = -2-3-c \\ -2-15+8 & = -5-c \\ -9 & = -5-c \\ c & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{2a+b+3c = 2(2)+3+3(4) = 19}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Perhatikan SPLTV berikut.
$\begin{cases} 2x+5y+3z & = 9 && (\cdots 1) \\ 4x+10y+6z & = d_2 && (\cdots 2) \\ 6x+15y+9z & = d_3 && (\cdots 3) \end{cases}$
Agar SPLTV tersebut mempunyai banyak penyelesaian, nilai $d_2$ dan $d_3$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$
A. $18$ dan $20$                   D. $27$ dan $36$
B. $18$ dan $24$                   E. $27$ dan $45$
C. $18$ dan $27$

Penyelesaian

Jika diketahui SPLTV
$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{cases}$
memiliki banyak penyelesaian, maka $\dfrac{a_i}{a_j} = \dfrac{b_i}{b_j} = \dfrac{c_i}{c_j} = \dfrac{d_i}{d_j}$, dengan
$i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3$
Dengan meninjau persamaan $(2)$ dan $(3)$, diperoleh

$\begin{aligned} \dfrac46 & = \dfrac{10}{15} = \dfrac69 = \dfrac{d_2}{d_3} \\ \dfrac{d_2}{d_3} & = \dfrac23 = \dfrac23 \times \dfrac99 = \dfrac{18}{27} \end{aligned}$
Ini berarti, nilai $d_2 = 18$ dan $d_3 = 27$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Perhatikan sistem persamaan linear berikut.
$\begin{cases} ax+y+2z & = 5 && (\cdots 1) \\ bx-y+3z & = 3 && (\cdots 2) \\ cx-y+z & = -1 && (\cdots 3) \end{cases}$
Jika $a+b=7$ dan $a+c=5$, maka nilai $12x+8z=\cdots \cdot$
A. $8$                      C. $12$                   E. $18$
B. $10$                    D. $16$

Penyelesaian

Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} ax+y+2z & = 5 \\ bx-y+3z & = 3 \end{aligned} \\ \rule{3.8 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} (a+b)x+5z & = 8 \end{aligned} \end{aligned}$
Karena diketahui $a + b = 7$, maka diperoleh persamaan $(4): 7x+5z=8$.
Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(3)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} ax+y+2z & = 5 \\ cx-y+z & = -1 \end{aligned} \\ \rule{3.8 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} (a+c)x+3z & = 4 \end{aligned} \end{aligned}$
Karena diketahui $a + c = 5$, maka diperoleh persamaan $(5): 5x+3z=4$.
Selanjutnya, jumlahkan ekspresi pada persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x +5z & = 8 \\ 5x+3z & = 4 \end{aligned} \\ \rule{3.3 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 12x+8z & = 12 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{12x+8z=12}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui sistem persamaan
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} & = 2 \\ \dfrac{2}{y} -\dfrac{1}{z} & = -3 \\ \dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{z} & = 2 \end{cases}$
Nilai $x+y+z=\cdots \cdot$
A. $3$                     C. $1$                         E. $\dfrac13$
B. $2$                     D. $\dfrac12$

Penyelesaian

Misalkan $a = \dfrac{1}{x}, b = \dfrac{1}{y}$, dan $c = \dfrac{1}{z}$, sehingga terbentuk sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
$\begin{cases} a + b & = 2 && (\cdots 1) \\ 2b-c & = -3 && (\cdots 2) \\ a-c & = 2 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $a$ dari persamaan $(1)$ dan $(3)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + b & = 2 \\ a-c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{2.4 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{b+c = 0~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $c$ dari persamaan $(2)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2b-c & = -3 \\ b+c & = 0 \end{aligned} \\ \rule{2.5 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned}3b & = -3 \\ b & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan $b=-1$ pada persamaan $(4): b+c = 0$ untuk memperoleh
$-1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1$
Substitusikan $b=-1$ pada persamaan $(1): a+b=2$ untuk memperoleh
$a+(-1)=2 \Leftrightarrow a = 3$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} x + y + z & = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\ & = \dfrac13 + \cancel{\dfrac{1}{-1} + \dfrac{1}{1}} \\ & = \dfrac13 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=\dfrac13}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui sistem persamaan tiga variabel berikut.
$\begin{cases} \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{2}{y-3} + \dfrac{3}{z+2} & = 2 && (\cdots 1) \\ \dfrac{-4}{x+1} + \dfrac{1}{y-3} + \dfrac{6}{z+2} & = 5 && (\cdots 2) \\ \dfrac{4}{x+1} + \dfrac{3}{y-3} + \dfrac{3}{z+2} & = 2 && (\cdots 3) \end{cases}$
Himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\{(-3, 4, 1)\}$
B. $\{(-3, 1,2)\}$
C. $\{(-2,1,1)\}$
D. $\left\{\left(-\dfrac12, 1, 3\right)\right\}$
E. $\left\{\left(-\dfrac12, 2, 1\right)\right\}$

Penyelesaian

Misalkan $a = \dfrac{1}{x+1}$, $b = \dfrac{1}{y-3}$, dan $c = \dfrac{1}{z+2}$, sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel.
$\begin{cases} 2a + 2b + 3c & = 2 && (\cdots 1) \\ -4a + b + 6c & = 5 && (\cdots 2) \\ 4a + 3b + 3c & = 2 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $c$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a+2b+3c & = 2 \\ -4a+b+6c & = 5 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4a+4b+6c& = 4 \\ -4a+b+6c & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{8a + 3b = -1~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$$
Eliminasi $c$ dari persamaan $(3)$ dan $(1)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4a+3b+3c & = 2 \\ 2a+2b+3c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{2a+b = 0~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$

Eliminasi $y$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 8a+3b & = -1 \\ 2a+b & = 0 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~8a+3b& = -1 \\ 6a+3b & = 0 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 2a & = -1 \\ a & = -\dfrac12 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $a = -\dfrac12$ pada persamaan $(5)$.
$\begin{aligned} 2a+b & = 0 \\ \Rightarrow 2\left(-\dfrac12\right) + b & = 0 \\ -1 + b & = 0 \\ b & = 1 \end{aligned}$
Substitusi $a = -\dfrac12$ dan $b=1$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2a + 2b + 3c & = 2 \\ \Rightarrow 2\left(-\dfrac12\right) + 2(1) + 3c & = 2 \\ -1 + 2 + 3c & = 2 \\ 3c & = 1 \\ c & = \dfrac13 \end{aligned}$
Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat.
$$\begin{aligned} a & = \dfrac{1}{x+1} \Rightarrow -\dfrac12 = \dfrac{1}{x+1} \Leftrightarrow -2 = x + 1 \Leftrightarrow x = -3 \\ b & = \dfrac{1}{y-3} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{y-3} \Leftrightarrow 1 = y-3 \Leftrightarrow y = 4 \\ c & = \dfrac{1}{z+2} \Rightarrow \dfrac13 = \dfrac{1}{z+2} \Leftrightarrow 3 = z+2 \Leftrightarrow z = 1 \end{aligned}$$
Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{(-3, 4, 1)\}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Diketahui $x : y = 5 : 3$, sedangkan $y : z = 4 : 5$. Jika $2(x+y+z)=94$, maka nilai $3y = \cdots \cdot$
A. $12$                   C. $20$                E. $45$
B. $15$                   D. $36$

Penyelesaian

Karena $x : y = 5 : 3 = 20 : 12$ dan $y : z = 4 : 5 = 12 : 15$, maka $x : y : z = 20 : 12 : 15$.
Diketahui $2(x+y+z)=94 \Leftrightarrow x+y+z=47$
Dengan demikian
$\begin{aligned} y & = \dfrac{12}{20+12+15} \times 47 \\ & =  \dfrac{12}{\cancel{47}} \times \cancel{47} = 12 \end{aligned}$
Untuk itu, nilai dari $\boxed{3y = 3(12) = 36}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Jika $x : y : z = 2 : 1 : 3$ dan $x+y-2z=-6$, maka nilai $x-y+z=\cdots \cdot$
A. $8$           B. $7$          C. $6$          D. $5$           E. $4$

Penyelesaian

Dari perbandingan $x : y : z = 2 : 1 : 3$, diketahui bahwa $x = 2y$ dan $z = 3y$.
Substitusikan pada persamaan $x+y-2z=-6$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} (2y)+y-2(3y) & = -6 \\ 2y+y-6y & = -6 \\ -3y & = -6 \\ y & = 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, $x = 2y = 2(2) = 4$ dan $z = 3y = 3(2) = 6$. Jadi, nilai dari $\boxed{x-y+z=4-2+6=8}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui sistem persamaan berikut.
$\begin{cases} x^2+y^2+z^2 & = 6 && (\cdots 1) \\ x^2-y^2+2z^2 & = 2 && (\cdots 2) \\ 2x^2+y^2-z^2 & = 3 \end{cases}$
Salah satu penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-1, y = \sqrt2, z = \sqrt3$
B. $x=-1, y = \sqrt3, z = \sqrt2$
C. $x=1, y = \sqrt2, z = \sqrt3$
D. $x=\sqrt2, y = \sqrt3, z = \sqrt2$
E. $x=\sqrt2, y = 1, z = \sqrt3$

Penyelesaian

Misalkan $a = x^2$, $b = y^2$, dan $c = z^2$, sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel.
$\begin{cases} a+b+c & = 6 && (\cdots 1) \\ a-b+2c & = 2 && (\cdots 2) \\ 2a+b-c & = 3 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $b$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+b+c & = 6 \\ a-b+2c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{2a+3c = 8~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $b$ dari persamaan $(2)$ dan $(3)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-b+2c & = 2 \\ 2a+b-c & = 3 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{3a+c = 5~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $c$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a+3c & = 8 \\ 3a+c & = 5 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2a+3c& = 8 \\ 9a+3c & = 15 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -7a & = -7 \\ a & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $a=1$ pada persamaan $(5): 3a + c = 5$.
$\begin{aligned} 3(1) + c & = 5 \\ c & = 2 \end{aligned}$
Substitusi $a = 1$ dan $c = 2$ pada persamaan $(1): a+b+c = 6$
$\begin{aligned} 1+b+2 & = 6 \\ b & = 3 \end{aligned}$
Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat.
$\begin{aligned} a & = x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \\ b & = y^2 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt3 \\ c & = z^2 \Rightarrow z^2 = 2 \Rightarrow z = \pm \sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, salah satu himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{(-1, \sqrt3, \sqrt2)\}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Diberikan sistem persamaan linear berikut.
$\begin{cases} x+2y-3z & =4 \\ 3x-y+5z & =2 \\ 4x+y+(a^2-14)z & = a+2 \end{cases}$
Sistem di atas tidak memiliki solusi untuk $a = \cdots \cdot$
A. $-4$ atau $4$                  D. $-1$ atau $1$
B. $-3$ atau $3$                  E. $0$
C. $-2$ atau $2$

Penyelesaian

Matriks koefisien dari SPLTV tersebut adalah
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & a^2-14 \end{pmatrix}$
Sistem di atas tidak akan memiliki solusi jika dan hanya jika determinan matriks koefisiennya bernilai $0$. Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & a^2-14 \end{pmatrix} & = 0 \\ \text{Gunakan Aturan_Sarrus} & \\ -(a^2-14)+40-9-(12+5+6a^2-84) & = 0 \\ -7a^2 + 112 & = 0 \\ a^2 -16 & = 0 \\ (a+4)(a-4) & = 0 \end{aligned}$$
Diperoleh $a = -4$ atau $a = 4$.
(Jawaban A)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 20
Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
$\begin{cases} \dfrac{2x-y}{5} & = z+1 && (\cdots 1) \\ 3x+2 & = y+2z && (\cdots 2) \\ \dfrac{5x+2z}{3} & = -\dfrac{y+9}{4} && (\cdots 3) \end{cases}$

Penyelesaian

Ubah setiap persamaan dalam sistem menjadi bentuk umum persamaan linear dan hindari bentuk pecahan guna mempermudah perhitungan.
Pada persamaan $(1)$,
$\begin{aligned} \dfrac{2x-y}{5} & = z+1 \\ 2x-y & = 5z + 5 \\ 2x-y-5z & = 5 \end{aligned}$
Pada persamaan $(2)$,
$\begin{aligned} 3x+2 & = y+2z \\ 3x-y-2z & = -2 \end{aligned}$
Pada persamaan $(3)$,
$\begin{aligned} \dfrac{5x+2z}{3} & = -\dfrac{y+9}{4} \\ 4(5x+2z) & = -3(y+9) \\ 20x+8z & = -3y-27 \\ 20x+3y+8z & = -27 \end{aligned}$
Sekarang, dapat kita tuliskan SPLTV berikut.
$\begin{cases} 2x-y-5z & = 5 && (\cdots 1) \\ 3x-y-2z & = -2 && (\cdots 2) \\ 20x+3y+8z & = -27 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $y$ pada persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-y-5z & = 5 \\ 3x-y-2z & = -2 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-x-3z = 7~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $y$ pada persamaan $(2)$ dan $(3)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x-y-2z & = -2 \\ 20x+3y+8z & = -27 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~9x-3y-6z& = -6 \\~20x+3y+8z & = -27 \end{aligned} \\ & \rule{4.2 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{29x+2z = -33~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$$
Eliminasi $z$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -x-3z & = 7 \\ 29x+2z & = -33 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} -2x-6x & = 14 \\ 87x+6z & = -99 \end{aligned} \\ & \rule{3.2 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 85x & = -85 \\ x & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan $x = -1$ pada persamaan $(4)$.
$\begin{aligned} -x-3z & = 7 \\ \Rightarrow -(-1)-3z & = 7 \\ -3z & = 6 \\ z & = -2 \end{aligned}$
Substitusikan $x = -1$ dan $z = -2$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2x-y-5z & = 5 \\ \Rightarrow 2(-1)-y-5(-2) & = 5 \\ -2-y+10 & = 5 \\ -y & = -3 \\ y & = 3 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian sistem tersebut adalah $\boxed{(x,y,z) = (-1, 3, -2)}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Diketahui sistem persamaan tiga variabel berikut.
$$\begin{cases} -\dfrac{4}{x+2} + \dfrac{4}{y+1} + \dfrac{9}{z-1} & = -6 && (\cdots 1) \\ \dfrac{8}{x+2}- \dfrac{6}{y+1} + \dfrac{3}{z-1} & = 4 && (\cdots 2) \\ \dfrac{4}{x+2} + \dfrac{2}{y+1}- \dfrac{6}{z-1} & = 2 && (\cdots 3) \end{cases}$$
a. Tentukan HP SPLTV tersebut.
b. Tentukan nilai $5x-y-2z$.

Penyelesaian

Jawaban a)
Misalkan $a = \dfrac{1}{x+2}$, $b = \dfrac{1}{y+1}$, dan $c = \dfrac{1}{z-1}$, sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel.
$\begin{cases} -4a+4b+9c & = -6 && (\cdots 1) \\ 8a-6b+3c& = 4 && (\cdots 2) \\ 4a+2b-6c & = 2 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $a$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -4a+4b+9c & = -6 \\ 8a-6b+3c & = 4 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} -8a+8b+18c & = -12 \\ 8a-6b+3c & = 4 \end{aligned} \\ & \rule{4.2 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{2b+21c = -8~~~(\cdots 4)}\end{aligned} \end{aligned}$$
Eliminasi $a$ dari persamaan $(1)$ dan $(3)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -4a+4b+9c & = -6 \\ 4a+2b-6c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{6b+3c = -4~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $b$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2b+21c & = -8 \\ 6b+3c & = -4 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6b+63c& = -24 \\ 6b+3c & = -4 \end{aligned} \\ & \rule{3.1 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 60c & = -20 \\ c & = -\dfrac13 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $c = -\dfrac13$ pada persamaan $(5)$.
$\begin{aligned} 6b + 3c & = -4 \\ \Rightarrow 6b + 3\left(-\dfrac13\right) & = -4 \\ 6b-1& = -4 \\ 6b & = -3 \\ b & = -\dfrac12 \end{aligned}$
Substitusi $b = -\dfrac12$ dan $c = -\dfrac13$ pada persamaan $(1)$.
$$\begin{aligned} 4a+2b-6c & = 2 \\ 2a + b-3c & = 1 && (\text{Bagi}~2) \\ \Rightarrow 2a+\left(-\dfrac12\right)-3\left(-\dfrac13\right) & = 1 \\ 2a-\dfrac12+1 & = 1 \\ 2a & = \dfrac12 \\ a & = 1 \end{aligned}$$
Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat.
$$\begin{aligned} a &= \dfrac{1}{x+2} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{x+2} \Leftrightarrow 1 = x + 2 \Leftrightarrow x = -1 \\ b &= \dfrac{1}{y+1} \Rightarrow -\dfrac12 = \dfrac{1}{y+1} \Leftrightarrow -2 = y+1 \Leftrightarrow y = -3 \\ c & = \dfrac{1}{z-1} \Rightarrow -\dfrac13 = \dfrac{1}{z-1} \Leftrightarrow -3 = z-1 \Leftrightarrow z = -2 \end{aligned}$$
Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{(-1, -3, -2)\}$
Jawaban b)
Substitusi $(x, y, z) = (-1, -3, -2)$ pada ekspresi $5x-y-2z$ untuk memperoleh
$\boxed{5(-1)-(-3)-2(-2) = -5+3+4 = 2}$

[collapse]

Soal Nomor 22
Diketahui segitiga $KLM$ dengan panjang sisi yang membentuk SPLTV berikut.
$\begin{cases} 2KL-LM & = 17~\text{cm} && (\cdots 1) \\ LM+2KM & = 73~\text{cm} && (\cdots 2) \\ KL+\dfrac{KM}{5} & = 25~\text{cm} && (\cdots 3) \end{cases}$
Tentukan:
a. panjang $KM$;
b. panjang $KL$;
c. keliling segitiga $KLM$.

Penyelesaian

Pertama-tama, kalikan $5$ di kedua ruas pada persamaan $(3)$ untuk menghindari bentuk pecahan.
$\begin{cases} 2KL-LM & = 17~\text{cm} && (\cdots 1) \\ LM+2KM & = 73~\text{cm} && (\cdots 2) \\ 5KL+KM & = 125~\text{cm} && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $LM$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2KL-LM & = 17 \\ LM+2KM & = 73 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2KL+2KM & = 90 \\ KL + KM & = 45~~~~(\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $KM$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5KL+KM & = 125 \\ KL+KM & = 45 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} 4KL & = 80 \\ KL & = 20~\text{cm} \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $KL = 20~\text{cm}$ pada persamaan $(4)$.
$\begin{aligned} KL + KM & = 45 \\ 20 + KM & = 45 \\ KM & = 25~\text{cm} \end{aligned}$
Substitusi $KL = 20~\text{cm}$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2KL-LM & = 17 \\ 2(20)-LM & = 17 \\ LM & = 23~\text{cm} \end{aligned}$
Jawaban a)
Panjang sisi $KM$ adalah $\boxed{25~\text{cm}}$
Jawaban b)
Panjang sisi $KL$ adalah $\boxed{20~\text{cm}}$
Jawaban c)
Keliling segitiga $KLM$ dapat ditentukan dengan menjumlahkan semua paniang sisinya, yaitu
$\begin{aligned} k & = KL + KM + LM \\ & = 20+25+23 = 68~\text{cm} \end{aligned}$

[collapse]

CategoriesSPLTVTags, , , , , , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *