Soal dan Pembahasan – Teorema Binomial dan Perluasannya

Ekspresi dua suku (dua variabel atau satu variabel dan satu bilangan) seperti $(x+y)$, $(a-2x)$, atau $(3x-10)$ disebut binomialBentuk $\displaystyle \binom{n}{k}$ disebut koefisien binomial karena koefisien-koefisien tersebut memenuhi teorema binomial berikut ini. Teorema binomial ini seharusnya sudah diketahui oleh siswa SMA mengingat rumus dasar ini sering dibahas pada materi yang menyangkut aljabar.

Teorema Binomial

Misalkan $n$ adalah suatu bilangan bulat positif. Untuk setiap nilai $x$ dan $y$, berlaku
$$\begin{aligned} (x+y)^n & = y^n + \displaystyle \binom{n}{1}xy^{n-1} + \binom{n}{2}x^2y^{n-2}+ \cdots + \binom{n}{n-1}x^{n-1}y + x^n \\ & = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k} \end{aligned}$$

Bukti teorema di atas akan dijelaskan pada postingan terpisah.
Ketika kita mengambil $n = 2, 3, 4$, kita memperoleh rumus binomial yang sangat sering dimunculkan di sekolah menengah, yaitu
$\begin{aligned} (x+y)^2 & = x^2+2xy + y^2 \\ (x+y)^3 & = x^3+3x^2y + 3xy^2 + y^3 \\ (x+y)^4 & = x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4 \end{aligned}$
Jika diperhatikan secara saksama, koefisien dari setiap suku sama dengan bilangan yang ada pada baris-baris Segitiga Pascal. Dari sini dapat ditunjukkan bahwa proses pembentukan bilangan dari Segitiga Pascal dengan menjumlahkan dua bilangan di atasnya adalah benar.

Beberapa poin penting yang perlu diketahui dari submateri kombinatorika ini adalah sebagai berikut.

  1. Penjabaran binomial $(x+y)^n$ memiliki $(n+1)$ suku.
  2. Suku ke-$a$ adalah $\displaystyle \binom{n}{a-1}x^{n-a+1} \cdot y^{a-1}$.
  3. Koefisien suku ke-$a$ adalah $\displaystyle \binom{n}{a-1}$.
  4. Jumlah semua koefisien penjabaran $(ax+by)^n$ adalah $(a+b)^n$, dengan $x = y = 1$.

Penjelasan singkat di atas merupakan ringkasan penting mengenai teorema binomial. Pembaca sebelumnya diharapkan sudah memahami teori yang lebih rinci di buku teks. Di postingan ini, kita akan membahas beberapa soal terkait teorema binomial. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF, 160 KB).

Poem by Shane Dizzy Sukardy

Begitulah takdir persahabatan.
Ketika habis kelak ucapan dan obrolan,
sesegera mulut mewanti-wanti seonggok alasan,
agar dapat melanggar garis pertemuan.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Misalkan $S = (x-1)^4 + 4(x-1)^3$ $+ 6(x-1)^2 + 4(x-1) + 1$. Jika disederhanakan, maka $S = \cdots \cdot$
A. $(x-2)^4$                     D. $(x+1)^4$
B. $(x-1)^4$                     E. $x^4+1$
C. $x^4$

Pembahasan

Berdasarkan Teorema Binomial, diketahui bahwa $(a+b)^4$ dijabarkan menjadi $a^4+4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.
Bentuk $S$ mirip dengan penjabaran tersebut jika kita ambil $a = x-1$ dan $b = 1$.
Oleh karena itu, dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} S & = (x-1)^4 + 4(x-1)^3 + 6(x-1)^2 + 4(x-1) + 1 \\ & = ((x-1) + 1)^4 \\ & = x^4 \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $S$ adalah $\boxed{x^4}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Bila disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, suku keenam dari ekspansi $\left(2x^{1/2}-\dfrac14x^{1/4}\right)^9$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac{63}{32}x^{13/4}$                 D. $\dfrac{31}{16}x^{9/4}$
B. $\dfrac{63}{32}x^{13/4}$                     E. $-\dfrac{15}{8}x^{5/4}$
C. $-\dfrac{31}{16}x^{9/4}$

Pembahasan

Suku keenam dari ekspansi binomial tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \text{U}_6 & = C_5^9(2x^{1/2})^{9-5}\left(-\dfrac14x^{1/4}\right)^5 \\ & = \dfrac{9!}{5! \cdot 4!}(2x^{1/2})^4\left(-\dfrac14x^{1/4}\right)^5 \\ & = \dfrac{9 \cdot \cancelto{2}{8} \cdot 7 \cdot \bcancel{6} \cdot \bcancel{5!}}{\bcancel{5!} \cdot \cancel{4} \cdot \bcancel{3 \cdot 2}}(2)^4(x^{1/2})^4 \left(-\dfrac14\right)^5(x^{1/4})^5 \\ & = -(\color{blue}{9} \cdot 2 \cdot \color{blue}{7})(2)^4(2)^{-10}x^2(x^{5/4}) \\ & = -\color{blue}{63}(2^{1+4-10})x^{2 + 5/4} \\ & = -\dfrac{63}{32}x^{13/4} \end{aligned}$$Jadi, suku keenam dari ekspansi binomial tersebut adalah $\boxed{-\dfrac{63}{32}x^{13/4}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Faktorial

Soal Nomor 3
Banyaknya suku yang mengandung ekspresi $x^7$ dari ekspansi $(3x^2-2y^3)^8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $2$                   E. $4$
B. $1$                    D. $3$

Pembahasan

Perhatikan bahwa suku $3x^2$ akan selalu berpangkat genap pada variabel $x$ bila dipangkatkan bilangan bulat dari $0$ sampai $8$. Ini menunjukkan bahwa tidak ada satupun kombinasi perkalian dua suku yang menghasilkan ekspresi $x^7$ (pangkatnya ganjil).
Jadi, tidak ada suku yang mengandung ekspresi $x^7$ dari ekspansi binomial tersebut.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Koefisien suku yang mengandung $x^{14}$ dari ekspansi $(x+2x^3)^{10}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $40$                   C. $120$                 E. $360$
B. $90$                   D. $180$

Pembahasan

Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk $x^{14}$ adalah $(x)^p(x^3)^q = x^{14}$ dengan $\color{red}{p + q = 10}$. Persamaan eksponen $(x)^p(x^3)^q = x^{14}$ mengimplikasikan bahwa $\color{red}{p + 3q = 14}$.
Selesaikan dan kita akan memperoleh $p = 8$ dan $q = 2$.
Karena $q = 2$, maka suku yang dimaksud merupakan suku ke-$2+1 = 3$.
Dalam hal ini, kita memilih $q$ (dan bukan $p$) karena $q$ merupakan eksponen $b$ dari bentuk $(a+b)^n$ yang langsung menunjukkan ke suku mana penjabaran itu didapat.
$\begin{aligned} \text{Suku ke-}3 & = C_2^{10} x^8(2x^3)^2 \\ & = \dfrac{10!}{8! \cdot 2!} x^8(4x^6) \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot \cancel{8!}}{\cancel{8!} \cdot 2} (4x^{14}) \\ & = 45(4x^{14}) = 180x^{14} \end{aligned}$
Jadi, koefisien suku yang mengandung $x^{14}$ adalah $\boxed{180}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Koefisien suku yang mengandung $x^{4}$ dari ekspansi $\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{x^2}{4}\right)^{14}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{3003}{2}$                 D. $\dfrac{3003}{16}$
B. $\dfrac{3003}{4}$                 E. $\dfrac{1551}{16}$
C. $\dfrac{3003}{8}$

Pembahasan

Ekspresi $x^4$ terbentuk dari kombinasi perkalian suku $\dfrac{1}{x}=x^{-1}$ dan $x^2$.
Kombinasi yang mungkin untuk menghasilkan $x^4$ adalah $(x^{-1})^p(x^2)^q = x^4$ dengan $\color{red}{p + q = 14}$.
Perhatikan bahwa $(x^{-1})^p(x^2)^q = x^4$, yang artinya $\color{red}{-p + 2q = 4}$.
Selesaikan dan kita akan memperoleh $p = 8$ dan $q = 6$.
Karena $q = 6$, maka kita akan mencari suku ke-$6+1=7$.
$$\begin{aligned} \text{Suku ke-}7 & = C_6^{14} \left(\dfrac{2}{x}\right)^8\left(\dfrac{x^2}{4}\right)^6 \\ & = \dfrac{14!}{8! \cdot 6!} (2)^8(x^{-1})^8(x^2)^6(4^{-1})^6 \\ & = \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot \cancel{8!}}{\cancel{8!} \cdot 6!}(2^8)(x^{-8})(x^{12})(2^{-12}) \\ & = \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{6!}(2^{-4})x^4 \\ & = \dfrac{3003}{16}x^4 \end{aligned}$$Jadi, koefisien suku yang mengandung $x^4$ adalah $\boxed{\dfrac{3003}{16}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Konstanta dari hasil penjabaran $\left(3x^3-\dfrac{2}{x}\right)^8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $14.328$                     D. $16.128$
B. $15.552$                     E. $16.136$
C. $16.112$

Pembahasan

Mencari konstanta sama artinya dengan koefisien dari $x^0$.
Ekspresi $x^0$ terbentuk dari kombinasi perkalian suku $x^3$ dan $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$.
Kombinasi yang mungkin untuk menghasilkan $x^0$ adalah $(x^3)^p(x^{-1})^q = x^0$, dan dari sini kita peroleh SPLDV
$$\begin{aligned} p + q & = 8 && (\text{jumlah pangkat dari binomial}) \\ 3p-q & = 0 && (\text{kesamaan pangkat}) \end{aligned}$$Selesaikan dan kita peroleh $p = 2$ dan $q = 6$.
Karena $q = 6$, maka kita akan mencari koefisien suku ke-$6+1 = 7$.
$$\begin{aligned} \text{Suku ke-7} & = C_6^8 (3x^3)^2\left(-\dfrac{2}{x}\right)^6 \\ & = \dfrac{8!}{6! \cdot 2!}(9\cancel{x^6})\left(\dfrac{64}{\cancel{x^6}}\right) \\ & = \dfrac{8 \times 7}{2} \cdot 9 \cdot 64 = 16.128 \end{aligned}$$Jadi, konstanta dari hasil penjabaran $\left(3x^3-\dfrac{2}{x}\right)^8$ adalah $\boxed{16.128}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7
Koefisien $a^2b^3c^6$ dalam ekspansi $(a+b+c)^{11}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3520$                      D. $4620$
B. $3880$                      E. $5080$
C. $4520$

Pembahasan

Diberikan trinomial $(a+b+c)^{11}$.
Pilih $a$ dari $2$ faktor di antara $11$ faktor yang bisa dilakukan dalam $C_2^{11}$ cara.
Pilih $b$ dari $3$ faktor di antara $11-2=9$ faktor yang bisa dilakukan dalam $C_3^{9}$ cara.
Pilih $c$ dari $6$ faktor di antara $6$ faktor tersisa yang bisa dilakukan dalam $C_6^{6}$ cara.
Dengan demikian, koefisien $a^2b^3c^6$ sama dengan
$\begin{aligned} & C_2^{11} \cdot C_3^9 \cdot C_6^6 \\ & = \dfrac{11!}{9! \cdot 2!} \cdot \dfrac{9!}{6! \cdot 3!} \cdot \dfrac{6!}{0! \cdot 6!} \\ & = \dfrac{11 \cdot 10}{2} \cdot \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3!} \cdot 1 \\ & = 4620 \end{aligned}$
Jadi, koefisien $a^2b^3c^6$ dalam ekspansi $(a+b+c)^{11}$ adalah $\boxed{4620}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Koefisien suku $x^{23}$ dari ekspansi $\left(1+\dfrac{1}{99}x^5+\dfrac{1}{10}x^9\right)^{100}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $35$                   C. $49$                 E. $192$
B. $42$                   D. $98$

Pembahasan

Kombinasi yang mungkin untuk menghasilkan $x^{23}$ adalah
$(1)^p \left(\dfrac{1}{99}x^5\right)^q \left(\dfrac{1}{10}x^9\right)^r = kx^{23}$,
dengan $p + q + r = 100$.
Dalam kasus ini, nilai $p$ dapat ditentukan paling akhir, karena $1^p = 1$ dengan $0 \leq p \leq 100$.
Dengan menyamakan pangkatnya, kita peroleh persamaan $5q + 9r = 23$ dengan $q + r \leq 100$.
Persamaan tersebut bisa diselesaikan dengan menggunakan konsep Persamaan Diophantine (karena $q, r$ bilangan bulat), tetapi cukup memakan waktu yang lama.
Gunakan saja cara coba-coba (try and error) untuk menentukan nilai $q$ dan $r$ yang memenuhi persamaan tersebut.
Kita akan memperoleh $q = 1$ dan $r = 2$, sehingga $p = 97$.
Suku yang mengandung $x^{23}$ adalah
$$\begin{aligned} & C_1^{100} \cdot C_2^{99} \cdot C_{97}^{97} \left(\dfrac{1}{99}x^5\right)^1\left(\dfrac{1}{10}x^9\right)^2 \cdot 1^{97} \\ & = \dfrac{100!}{99! \cdot 1!} \cdot \dfrac{99!}{97! \cdot 2!} \cdot 1 \left(\dfrac{1}{99}\right)\left(\dfrac{1}{100}\right)x^5 \cdot x^{18} \\ & = \cancel{100} \cdot \dfrac{\bcancel{99} \cdot 98}{2} \cdot \dfrac{1}{\bcancel{99}} \cdot \dfrac{1}{\cancel{100}} x^{23} = 49x^{23} \end{aligned}$$Jadi, koefisien $x^{23}$ dari ekspansi trinomial tersebut adalah $\boxed{49}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Nilai dari $C_0^{2020} + C_1^{2020} + C_2^{2020} +$ $\cdots + C_{2020}^{2020}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2020$                     D. $2^{2020}$
B. $2^{1010}$                     E. $10^{2020}$
C. $2^{2019}$

Pembahasan

Berdasarkan Teorema Binomial,
$(a+b)^n = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b +$ $C_2^n a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n$
Misalkan $a = b = 1$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} (1+1)^n & = C_0^n 1^n + C_1^n 1^{n-1} \cdot 1 + C_2^n 1^{n-2} \cdot 1^2 + \cdots + C_n^n 1^n \\ 2^n & = C_0^n + C_1^n + C_2^n + \cdots + C_n^n \end{aligned}$$Sekarang untuk $n = 2020$, diperoleh
$2^{2020} = C_0^{2020} + C_1^{2020} + C_2^{2020} + \cdots + C_{2020}^{2020}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $A$ menyatakan banyak suku dari ekspansi $(a+b+c+d)^6$ dan $B$ menyatakan banyak suku dari ekspansi $(a+b+c+d+e)^7$, maka selisih $A$ dan $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $12$                    C. $15$                   E. $20$
B. $14$                    D. $16$

Pembahasan

Banyaknya suku dari ekspansi multinomial $(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_u)^n$ adalah $C_{u-1}^{n+u-1}$
dengan $n$ adalah pangkat dan $u$ adalah banyak sukunya.
Untuk itu, multinomial $(a+b+c+d)^6$ memiliki nilai $n = 6$ dan $u = 4$, sehingga
$A = C_{4-1}^{6+4-1} = C_3^9 = \dfrac{9!}{6! \cdot 3!} = 84$
Multinomial $(a+b+c+d+e)^4$ memiliki nilai $n=4$ dan $u=5$, sehingga
$B = C_{5-1}^{4+5-1} = C_4^8 = \dfrac{8!}{4! \cdot 4!} = 70$
Dengan demikian, $A-B = 84-70=14$.
Jadi, selisih nilai $A$ dan $B$ adalah $\boxed{14}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui suku kedua dan suku ketiga dari penjabaran $\left(1+\dfrac14\right)^n$ nilainya sama. Nilai $n$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                      C. $8$                     E. $11$
B. $6$                      D. $9$

Pembahasan

Pada penjabaran $\left(1+\dfrac14\right)^n$ dengan $n > 0$, diperoleh
$\begin{aligned} \text{Suku kedua} & = \displaystyle \binom{n}{1}(1)^{n-1} \cdot \left(\dfrac14\right)^1 \\ & = n(1)\left(\dfrac14\right) = \dfrac{n}{4} \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \text{Suku ketiga} & = \displaystyle \binom{n}{2}(1)^{n-2} \cdot \left(\dfrac14\right)^2 \\ & = \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}(1) \cdot \dfrac{1}{16} \\ & = \dfrac{n(n-1)}{32} \end{aligned}$
Karena suku kedua sama dengan suku ketiga, kita dapatkan
$\begin{aligned} \dfrac{\bcancel{n}}{\cancel{4}} & = \dfrac{\bcancel{n}(n-1)}{\cancelto{8}{32}} \\ 1 & = \dfrac{n-1}{8} \\ n-1 & = 8 \\ n & = 9 \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{9}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jumlah koefisien dari $(8x-7y)^{100} + (5x-6y)^{100}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                 C. $1$                 E. $3$
B. $0$                    D. $2$

Pembahasan

Substitusi $x = y = 1$ pada masing-masing binomial $(8x-7y)^{100} + (5x-6y)^{100}$ akan menghasilkan jumlah koefisien tiap suku-suku penjabarannya.
$\begin{aligned} \text{S} & = (8(1)-7(1))^{100} + (5(1)-6(1))^{100} \\ & = 1^{100} + (-1)^{100} \\ & = 1+1=2 \end{aligned}$
Jadi, jumlah koefisien dari $(8x-7y)^{100} + (5x-6y)^{100}$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Nilai dari $\displaystyle \sum_{k=1}^{2007} \binom{2008}{k}2008^k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2008^{2008}-2007^{2008}-1$
B. $2008^{2008}-2008^{2008}-1$
C. $2009^{2008}-2008^{2008}-1$
D. $2009^{2007}-2008^{2007}-1$
E. $2009^{2009}-2008^{2008}-1$

Pembahasan

Perhatikan bahwa dengan menggunakan Teorema Binomial, kita peroleh
$$\begin{aligned} (2008+1)^{2008} & = \displaystyle \sum_{k = 0}^{2008} \binom{2008}{k}2008^k(1)^{2008-k} \\ 2009^{2008}& = \sum_{k=0}^{2008} \binom{2008}{k} 2008^k \\ & = \binom{2008}{0} 2008^0 + \sum_{k=1}^{2007} 2008^k + \binom{2008}{2008} 2008^{2008} \\ & = 1 + \sum_{k=1}^{2007} 2008^k + 2008^{2008} \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir di atas, diperoleh
$\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^{2007} 2008^k = 2009^{2008}-2008^{2008}-1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Ekspansikan (jabarkan) ekspresi aljabar berikut.
a. $(a+b)^6$
b. $(3x+y)^9$ 
c. $(x-2y)^5$

Pembahasan

Gunakan Teorema Binomial.
Jawaban a)
$$\begin{aligned} (a+b)^6 & = C_0^6 a^6 + C_1^6 a^5b + C_2^6 a^4b^2 + C_3^6 a^3b^3 + C_4^6 a^2b^4 + C_5^6 ab^5 + C_6^6 b^6 \\ & = \dfrac{6!}{6! \cdot 0!} a^6 + \dfrac{6!}{5! \cdot 1!} a^5b + \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} a^4b^2 + \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} a^3b^3 + \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} a^2b^4 + \dfrac{6!}{1! \cdot 5!} ab^5 + \dfrac{6!}{0! \cdot 6!} b^6 \\ & = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6 \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} (3x+y)^9 & = C_0^9 (3x)^9 + C_1^9 (3x)^8y + C_2^9 (3x)^7y^2 + C_3^9 (3x)^6y^3 + C_4^9 (3x)^5y^4 + C_5^9 (3x)^4y^5 + C_6^9 (3x)^3y^6 + C_7^9 (3x)^2y^7 + C_8^9 (3x)y^8 + C_9^9 y^9 \\ & = \dfrac{9!}{9! \cdot 0!} 19683x^9 + \dfrac{9!}{8! \cdot 1!} 6561x^8y + \dfrac{9!}{7! \cdot 2!} 2187x^7y^2 + \dfrac{9!}{6! \cdot 3!} 729x^6y^3 + \dfrac{9!}{5! \cdot 4!} 243x^5y^4 + \dfrac{9!}{4! \cdot 5!} 81x^4y^5 + \dfrac{9!}{3! \cdot 6!} 27x^3y^6 + \dfrac{9!}{2! \cdot 7!} 9x^2y^7 + \dfrac{9!}{1! \cdot 8!} 3xy^8 + \dfrac{9!}{0! \cdot 9!} y^9 \\ & = (1)19683x^9 + (9)6561x^8y + (36)2187x^7y^2 + (84) 729x^6y^3 + (126)243x^5y^4 + (126)81x^4y^5 + (84) 27x^3y^6 + (36)9x^2y^7 + (9)3xy^8 + (1)y^9 \\ & = 19683x^9 + 59049x^8y + 78732x^7y^2 + 61236x^6y^3 + 30618x^5y^4 + 10206x^4y^5 + 2268x^3y^6 + 324x^2y^7 + 27xy^8 + y^9 \end{aligned}$$Jawaban c)
$$\begin{aligned} (x-2y)^5 & = C_0^5 x^5 + C_1^5 x^4(-2y) + C_2^5 x^3(-2y)^2 + C_3^5 x^2(-2y)^3 + C_4^5 x(-2y)^4 + C_5^5 (-2y)^5 \\ & = \dfrac{5!}{0! \cdot 5!} x^5 + \dfrac{5!}{1! \cdot 4!} (-2x^4y) + \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} (4x^3y^2) + \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} (-8x^2y^3) + \dfrac{5!}{4! \cdot 1!} (16xy^4) + \dfrac{5!}{5! \cdot 0!} (-32y^5) \\ & = 1x^5 + 5(-2x^4y) + 10(4x^3y^2) + 10(-8x^2y^3) + 5(16xy^4) + 1(-32y^5) \\ & = x^5-10x^4y+40x^3y^2-80x^2y^3 +80xy^4-32y^5 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah:
a. $(\sqrt3+1)^5-(\sqrt3-1)^5$
b. $(2+\sqrt5)^5+(2-\sqrt5)^5$

Pembahasan

Jawaban a)
Jabarkan $(\sqrt3+1)^5$ menggunakan teorema binomial.
$$\begin{aligned} (\sqrt3+1)^5 & = C_0^5 (\sqrt3)^5 + C_1^5 (\sqrt3)^4(1) + C_2^5 (\sqrt3)^3(1)^2 + C_3^5 (\sqrt3)^2(1)^3 + C_4^5 (\sqrt3)(1)^4 + C_5^5 (1)^5 \\ & = 9\sqrt3 + 5(9)(1) + 10(3\sqrt3)(1) + 10(3)(1) + 5(\sqrt3)(1) + 1 \\ & = 9\sqrt3 + 45 + 30\sqrt3 + 30 + 5\sqrt3 + 1 \\ & = 44\sqrt3 + 76 \end{aligned}$$Dengan cara yang serupa, kita peroleh
$$\begin{aligned} (\sqrt3-1)^5 & = 9\sqrt3 -5(9)(1) + 10(3\sqrt3)(1)- 10(3)(1) + 5(\sqrt3)(1)-1 \\ & = 9\sqrt3 -45 + 30\sqrt3- 30 + 5\sqrt3 -1 \\ & = 44\sqrt3-76 \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} & (\sqrt3+1)^5-(\sqrt3-1)^5 \\ & = (44\sqrt3+76)-(44\sqrt3-76) \\ & = 76+76 = 152 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $(\sqrt3+1)^5-(\sqrt3-1)^5$ adalah $\boxed{152}$
Jawaban b)
Jabarkan $(2+\sqrt5)^5+(2-\sqrt5)^5$ menggunakan teorema binomial.
$$\begin{aligned} (2+\sqrt5)^5 & = C_0^5 (2)^5 + C_1^5 (2)^4(\sqrt5) + C_2^5 (2)^3(\sqrt5)^2 + C_3^5 (2)^2(\sqrt5)^3 + C_4^5 (2)(\sqrt5)^4 + C_5^5 (\sqrt5)^5 \\ & = 1(32) + 5(16)(\sqrt5) + 10(8)(5) + 10(4)(5\sqrt5) + 5(2)(25) + 1(25\sqrt5) \\ & = 32 + 80\sqrt5 + 400 + 200\sqrt5 + 250 + 25\sqrt5 \\ & = 305\sqrt5 + 682 \end{aligned}$$Dengan cara yang serupa, kita peroleh
$$\begin{aligned} (2-\sqrt5)^5 & = 1(32) -5(16)(\sqrt5) + 10(8)(5)- 10(4)(5\sqrt5) + 5(2)(25)- 1(25\sqrt5) \\ & = 32 -80\sqrt5 + 400 -200\sqrt5 + 250 -25\sqrt5 \\ & = -305\sqrt5 + 682 \end{aligned}$ \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} & (2+\sqrt5)^5+(2-\sqrt5)^5 \\ & = (305\sqrt5+682)+(-305\sqrt5+682) \\ & = 682+682 = 1364 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $(2+\sqrt5)^5+(2-\sqrt5)^5$ adalah $\boxed{1364}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Pada penjabaran $(2x-y)^{11}$, tentukan:
a. suku ketujuh;
b. koefisien suku kelima;
c. jumlah semua koefisien penjabarannya.

Pembahasan

Jawaban a)
Koefisien suku ke-$a$ dari binomial $(x + y)^n$ adalah $\displaystyle \binom{n}{a-1} x^{n-a+1} \cdot y^{a-1}$.
Diketahui $(2x-y)^{11}$ yang berarti $n = 11$ dan kita akan mencari suku ketujuh $(a = 7)$.
$$\begin{aligned} \text{Suku ketujuh} & = \displaystyle \binom{n}{a-1} (2x)^{n-a+1} \cdot (-y)^{a-1} \\ & = \binom{11}{7-1} (2x)^{11-7+1}(-y)^{7-1} \\ & = \binom{11}{6} (2x)^5(-y)^6 \\ & = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{6! \cdot \cancel{5!}} (32x^5)(y^6) \\ & = 462(32x^5)(y^6) = 14784x^5y^6 \end{aligned}$$Jadi, suku ketujuhnya adalah $\boxed{14784x^5y^6}$
Jawaban b)
Koefisien suku ke-$k$ dari penjabaran binomial $(ax+by)^n$ ditentukan oleh $\displaystyle \binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k-1}$.
Untuk itu, koefisien suku ke-$5$ dari penjabaran binomial $(ax+by)^n$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{U}_5 & = \displaystyle \binom{11}{5-1}(2)^{11-5+1}(-1)^{5-1} \\ & = \binom{11}{4}(2)^7(-1)^4 \\ & = \dfrac{11!}{4! \cdot 7!}(2)^7 \\ & = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cancel{7!}}{4! \cdot \cancel{7!}}(2)^7 \\ & = 42.240 \end{aligned}$
Jadi, koefisien suku kelima adalah $\boxed{42.240}$
Jawaban c)
Jumlah semua koefisien penjabarannya adalah $(2x-y)^{11}$ ketika $x=y=1$. Kita peroleh, $(2(1)-1)^{11} = 1^{11} = 1$.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui binomial $(5+2x)^n$ dengan $n$ bilangan asli. Tentukan nilai $n$ agar koefisien $x^2$ sama dengan dua kali koefisien $x$.

Pembahasan

Diketahui binomial $(5+2x)^n$.
Suku yang memuat ekspresi $x^2$ dinyatakan oleh $C_q^n (5)^p(2x)^q = kx^2$
untuk suatu $k$ bilangan real.
Persamaan di atas menunjukkan bahwa $q = 2$ sehingga $p = n-2$.
Koefisien $x^2$ adalah $C_2^n (5)^{n-2}(2)^2$.
Suku yang memuat ekspresi $x$ dinyatakan oleh
$C_q^n (5)^p(2x)^q = kx$
untuk suatu $k$ bilangan real.
Persamaan di atas menunjukkan bahwa $q = 1$ sehingga $p = n-1$.
Koefisien $x$ adalah $C_1^n (5)^{n-1}(2)$.
Koefisien $x^2$ harus sama dengan dua kali koefisien $x$, sehingga
$$\begin{aligned} C_2^n (5)^{n-2}(2)^2 & = C_1^n (5)^{n-1}(2) \\ \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!} (5)^{n-2} (\cancel{4}) & = \cancel{2} \cdot \dfrac{n!}{(n-1)! \cdot 1!} (5)^{n-1} (\cancel{2}) \\ \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2} \cdot \dfrac{(n-1)!}{(n)!} & = \dfrac{5^{n-1}}{5^{n-2}} \\ \dfrac{n-1}{2} & = 5 \\ n-1 & = 10 \\ n & = 11 \end{aligned}$$Jadi, nilai $n$ agar $\boxed{11}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika $n>0$ merupakan koefisien $x$ pada bentuk binomial $(nx-y)^6$ dan diketahui bahwa rasio koefisien suku ketiga dan kelima setelah binomialnya dijabarkan adalah $4 : 1$, maka tentukan nilai $n$.

Pembahasan

Diketahui binomial $(nx-y)^6$.
Suku ketiga hasil ekspansi binomial tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{U}_3 & = C_2^6 (nx)^4(-y)^2 \\ & = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} (n^4x^4)(y^2) \\ & = 15n^4x^4y^2 \end{aligned}$
Koefisien suku ketiga adalah $15n^4$.
Suku kelima hasil ekspansi binomial tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{U}_5 & = C_4^6 (nx)^2(-y)^4 \\ & = \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} (n^2x^2)(y^4) \\ & = 15n^2x^2y^4 \end{aligned}$
Koefisien suku kelima adalah $15n^2$.
Karena rasio (perbandingan) koefisien suku ketiga dan kelima setelah binomialnya dijabarkan adalah $4 : 1$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{15n^4}{15n^2} & = \dfrac41 \\ n^2 & = 4 \\ n & = \pm 2 \end{aligned}$
Karena diketahui $n > 0$, maka nilai $n$ yang dimaksud adalah $\boxed{n=2}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tunjukkan bahwa rasio koefisien $x^{10}$ pada penjabaran $(1-x^2)^{10}$ dan koefisien $x^0$ pada penjabaran $\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^{10}$ adalah $1 : 32$.

Pembahasan

Suku yang mengandung ekspresi $x^{10}$ pada penjabaran $(1-x^2)^{10}$ adalah $C_q^{10} (1)^p(-x^2)^q = kx^{10}$ dengan $p + q = 10$. Persamaan di atas mengimplikasikan bahwa $2q = 10$, sehingga $q = 5$, dan akibatnya $p = 5$.
Dengan demikian, suku yang mengandung ekspresi $x^{10}$ pada penjabaran $(1-x^2)^{10}$ adalah
$$\begin{aligned} C_5^{10} (1)^5(-x^2)^5 & = \dfrac{10!}{5! \cdot 5!} (1)(-x^{10}) \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!} \cdot 5!} (-x^{10}) \\ & = -36x^{10} \end{aligned}$$Suku yang mengandung ekspresi $x^{0}$ pada penjabaran $\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^{10}$ adalah $C_q^{10} (x)^p\left(-\dfrac{2}{x}\right)^q = kx^{0}$ atau ditulis menjadi $C_q^{10} (-2x^{p-q}) = kx^0$ dengan $p+q 10$. Persamaan di atas mengimplikasikan bahwa $p-q = 0$. Dengan menyelesaikan kedua persamaan tersebut, kita peroleh $p = q = 5$.
Dengan demikian, suku yang mengandung ekspresi $x^{0}$ pada penjabaran $\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^{10}$ adalah
$$\begin{aligned} C_5^{10} (x)^5\left(-\dfrac{2}{x}\right)^5 & = \dfrac{10!}{5! \cdot 5!} (x^5)\left(-\dfrac{32}{x^5}\right) \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!} \cdot 5!} (-32)x^0 \\ & = -36(32)x^{0} \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan koefisien $x^{10}$ dan $x^0$ adalah $\boxed{-36 : (-36)(32) = 1 : 32}$
(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 7
Carilah koefisien $x^5$ pada penjabaran $\left(\dfrac{x}{4}-4\right)^7(2+x)$.

Pembahasan

Kita akan mencari koefisien $x^4$ dan $x^5$ pada penjabaran $\left(\dfrac{x}{4}-4\right)^7$.
$\begin{aligned} \text{Koef}\text{isien}~x^4 & = C_3^7 \left(\dfrac{1}{4}\right)^4(-4)^3 \\ & = \dfrac{7!}{4! \cdot 3!} \left(-\dfrac14\right) \\ & = \dfrac{7 \cdot \bcancel{6} \cdot 5 \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot \bcancel{6}}\left(-\dfrac14\right) \\ & = -\dfrac{35}{4} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{Koef}\text{isien}~x^5 & = C_2^7 \left(\dfrac{1}{4}\right)^5(-4)^2 \\ & = \dfrac{7!}{5! \cdot 2!} \left(\dfrac14\right)^3 \\ & = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!} \cdot 2}\left(\dfrac{1}{64}\right) \\ & = \dfrac{21}{64} \end{aligned}$
Koefisien $x^5$ pada penjabaran $\left(\dfrac{x}{4}-4\right)^7(2+x)$ adalah
$\begin{aligned} & (\text{koefi}\text{sien}~x^5)(2) + (\text{koefi}\text{sien}~x^4)(1) \\ & = \dfrac{22}{64} \cdot 2 + \left(-\dfrac{35}{4}\right)(1) \\ & = \dfrac{21}{32}-\dfrac{35 \cdot 8}{32} = -\dfrac{259}{32} \end{aligned}$
Jadi, koefisien $x^5$ pada penjabaran $\left(\dfrac{x}{4}-4\right)^7(2+x)$ adalah $\boxed{-\dfrac{259}{32}}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan hubungan $a$ dan $b$ agar koefisien $x^7$ dari penjabaran $\left(ax^2+\dfrac{1}{bx}\right)^{11}$ sama dengan koefisien $x^{-7}$ dari penjabaran $\left(ax-\dfrac{1}{bx^2}\right)^{11}$.

Pembahasan

Persamaan dari penjabaran binomial $\left(ax^2+\dfrac{1}{bx}\right)^{11}$ yang menghasilkan $x^7$ adalah
$\begin{aligned} C_q^{11} (ax^2)^p \left(\dfrac{1}{bx}\right)^q & = kx^7 \\ C_q^{11} \left(a^p \cdot \dfrac{1}{b^q}\right) (x^{2p-q}) & = kx^7 \end{aligned}$
untuk suatu $k$ bilangan real dan $p + q = 11$. Persamaan di atas juga mengimplikasikan bahwa $2p-q = 7$.
Dengan demikian, kita peroleh $p = 6$ dan $q = 5$.
Koefisien $x^7$ dari penjabaran binomial tersebut adalah
$\boxed{\text{Koef.}~x^7 = C_{5}^{11} \left(a^6 \cdot \dfrac{1}{b^5}\right)}$
Persamaan dari penjabaran binomial $\left(ax-\dfrac{1}{bx^2}\right)^{11}$ yang menghasilkan $x^{-7}$ adalah
$\begin{aligned} C_q^{11} (ax)^p \left(-\dfrac{1}{bx^2}\right)^q & = kx^{-7} \\ C_q^{11} (a^p)\left(-\dfrac{1}{b}\right)^q (x^{p-2q}) & = kx^{-7} \end{aligned}$
untuk suatu $k$ bilangan real dan $p + q = 11$. Persamaan di atas juga mengimplikasikan bahwa $p-2q = -7$.
Dengan demikian, kita peroleh $q = 6$ dan $p = 5$.
Koefisien $x^{-7}$ dari penjabaran binomial tersebut adalah
$\boxed{\text{Koef.}~x^{-7}= C_{6}^{11} (a^5)\left(-\dfrac{1}{b}\right)^6}$
Samakan koefisien $x^7$ dan koefisien $x^{-7}$ tersebut.
$\begin{aligned} C_{5}^{11} \left(a^6 \cdot \dfrac{1}{b^5}\right) & = C_{6}^{11} (a^5)\left(-\dfrac{1}{b}\right)^6 \\ \bcancel{\dfrac{11!}{6! \cdot 5!}} \cdot a^6 \cdot \dfrac{1}{b^5} & = \bcancel{\dfrac{11!}{5! \cdot 6!}} \cdot a^5 \cdot \dfrac{1}{b^6} \\ a & = \dfrac{1}{b} \\ ab & = 1 \end{aligned}$
Jadi, hubungan $a$ dan $b$ diberikan oleh $\boxed{ab=1}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika tiga suku pertama penjabaran $(1+ax)^n$ adalah $1+16x+112x^2$, maka tentukan nilai $a$ dan $n$.

Pembahasan

Berdasarkan teorema binomial, tiga suku pertama hasil ekspansi (penjabaran) dari $(1+ax)^n$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} C_0^n 1^n + C_1^n 1^{n-1}(ax) + C_2^n 1^{n-2}(ax)^2 & = 1 + 16x + 112x^2 \\ (1)(1) + \dfrac{n!}{(n-1)! \cdot 1!} (1)(ax) + \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!} (1)(a^2x^2) & = 1+16x+112x^2 \\ 1 + \dfrac{n \cdot \cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}} (ax) + \dfrac{n(n-1) \cdot \cancel{(n-2)!}}{\cancel{(n-2)!} \cdot 2} (a^2x^2) & = 1+16x+112x^2 \\ 1 + (an)x + \dfrac{a^2n(n-1)}{2}x^2 & = 1+16x+112x^2 \end{aligned}$$Dengan menyamakan koefisien dari setiap suku yang bersesuaian, kita peroleh $an = 16$ dan
$\begin{aligned} \dfrac{a^2n(n-1)}{2} & = 112 \\ a^2n^2-a^2n & = 224 \\ (an)^2-a(an) & = 224 \\ 16^2-a(16) & = 224 \\ 256-16a & = 224 \\ -16a & = -32 \\ a & = 2 \end{aligned}$
Karena $\boxed{a = 2}$ dan $an = 16$, maka haruslah $\boxed{n = 8}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Uraikan dengan menggunakan perluasan teorema binomial.
a. $(1-x+x^2)^3$
b. $(1+x+x^2)^5$

Pembahasan

Jawaban a)
$(1-x+x^2)$ merupakan trinomial (karena memuat $3$ suku), tetapi bisa dianggap sebagai binomial $((1-x)+x^2)$.
Selanjutnya, kita gunakan teorema binomial.
$$\begin{aligned} ((1-x)+x^2)^3 & = C_0^3 (1-x)^3 + C_1^3 (1-x)^2(x^2) + C_2^3 (1-x)(x^2)^2 + C_3^3 (x^2)^3 \\ & = 1(1-3x+3x^2-x^3) + 3(1-2x+x^2)(x^2)+3(1-x)(x^4) + 1(x^6) \\ & = (1-3x+3x^2-x^3)+(3x^2-6x^3+3x^4) + (3x^4-3x^5) + x^6 \\ & = x^6-3x^5+6x^4-7x^3+6x^2-3x+1 \end{aligned}$$Jawaban b)
$(1+x+x^2)$ merupakan trinomial (karena memuat $3$ suku), tetapi bisa dianggap sebagai binomial $((1+x)+x^2)^5$.
Selanjutnya, kita gunakan teorema binomial.
$$\begin{aligned} ((1+x)+x^2)^5 & = C_0^5 (1+x)^5 + C_1^5 (1+x)^4(x^2) + C_2^5 (1+x)^3(x^2)^2 + C_3^5 (1+x)^2(x^2)^3 + C_4^5 (1+x)(x^2)^4 + C_5^5 (x^2)^5 \\ & = 1(1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5)+5(1+4x+6x^2+4x^3+x^4)(x^2) + \\ & 10(1+3x+3x^2+x^3)(x^4) + 10(1+2x+x^2)(x^6) + 5(1+x)(x^8) + 1(x^{10}) \\ & = (1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5) + (5x^2 + 20x^3 + 30x^4 + 20x^5 + 5x^6) + \\ & (10x^4 + 30x^5 + 30x^6 + 10x^7) + (10x^6 + 20x^7 + 10x^8) + (5x^8 + 5x^9) + x^{10} \\ & = x^{10} + 5x^9 + 15x^8 + 30x^7 + 45x^6 + 51x^5 + 45x^4 + 30x^3 + 15x^2 + 5x + 1 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 11
Carilah nilai pendekatan dari $\sqrt[4]{15}$.

Pembahasan

Misal $\sqrt[4]{15} = (16-1)^{\frac14}$.
Berdasarkan penjabaran binomial
$$\boxed{(x+y)^n = x^n + \dfrac{n}{1} x^{n-1}y + \dfrac{n(n-1)}{1 \cdot 2}x^{n-2} \cdot y^2 + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3}x^{n-3}y^3 + \cdots}$$Ini berarti, $x = 16$, $y = -1$ dan $n = \dfrac14$.
Dengan demikian, kita memperoleh
$$\begin{aligned} (16-1)^{\frac14} & \approx 16^{\frac14} + \dfrac14 (16)^{-\frac34}(-1) + \dfrac{\frac14 \cdot \left(-\frac34\right)}{1 \cdot 2}(16)^{-\frac74}(-1)^2 + \cdots \\ & \approx 2-\dfrac14 \cdot \dfrac18 -\dfrac{3}{32} \cdot \dfrac{1}{128}-\cdots \\ & \approx 2-0,031-0,001-\cdots \\ & \approx 1,968 \approx 1,97 \end{aligned}$$Jadi, nilai pendekatan dari $\sqrt[4]{15}$ adalah $\boxed{1,97}$ (dua angka di belakang koma).

[collapse]

Soal Nomor 12
Bila $(x+1)^n$ dijabarkan (pangkat $x$ semakin menurun) dengan $n$ bilangan bulat positif, maka diperoleh ada tiga suku berurutan yang memiliki perbandingan koefisien $2 : 15 : 70$. Tentukan nilai $n$.

Pembahasan

Dengan menggunakan teorema binomial,
$$\begin{aligned} (x + 1)^n & = \displaystyle \binom{n}{0} x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}(1) + \cdots + \binom{n}{n-1}(x)1^{n-1} + \binom{n}{n} (1)^n \\ & = \binom{n}{0} x^n + \binom{n}{1}x^{n-1} + \cdots + \binom{n}{n-1}(x)+ \binom{n}{n} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa setiap koefisien pada masing-masing suku hanya dipengaruhi oleh koefisien binomialnya.
Misalkan tiga suku yang berurutan memiliki koefisien binomial $\displaystyle \binom{n}{a}$, $\displaystyle \binom{n}{a+1}$, dan $\displaystyle \binom{n}{a+1}$ untuk suatu $a$ bilangan cacah, sehingga berlaku
$\displaystyle \binom{n}{a} : \binom{n}{a+1} : \binom{n}{a+2} = 2 : 15 : 70$
Karena $\displaystyle \binom{n}{a} : \binom{n}{a+1} = 2 : 15$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{n!}{(n-a)! \cdot a!} : \dfrac{n!}{(n-a-1)! \cdot (a+1)!} & = 2 : 15 \\ \dfrac{1}{n-a} : \dfrac{1}{a+1} & = 2 : 15 \\ \dfrac{a+1}{n-a} & = \dfrac{2}{15} \\ 15a+15 & = 2n-2a \\ 17a & = 2n-15 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Karena $\displaystyle \binom{n}{a+1} : \binom{n}{a+2} = 15 : 70 = 3 : 14$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{n!}{(n-a-1)! \cdot (a+1)!} : \dfrac{n!}{(n-a-2)! \cdot (a+2)!} & = 3 : 14 \\ \dfrac{1}{n-a-1} : \dfrac{1}{a+2} & = 3 : 14 \\ \dfrac{a+2}{n-a-1} & = \dfrac{3}{14} \\ 14a+28 & = 3n-3a-3 \\ 17a & = 3n-31 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh bahwa $n = 16$ dan $a = 1$. Bila kita periksa,
$\begin{aligned} \displaystyle \binom{16}{1} & = \dfrac{16!}{15! \cdot 1!} = 16 \\ \binom{16}{2} & = \dfrac{16!}{14! \cdot 2!} = 8 \times 15 \\ \binom{16}{3} & = \dfrac{16!}{13! \cdot 3!} = 16 \times 35 \end{aligned}$
dengan perbandingan
$$\begin{aligned} \displaystyle \binom{n}{1} : \binom{n}{2} : \binom{n}{3} & = 16 : 8 \times 15 : 16 \times 35 \\ &  = 2 : 15 : 70 \end{aligned}$$(sesuai)
Jadi, nilai $\boxed{n = 16}$

[collapse]

Soal Nomor 13
Untuk bilangan cacah $k$, dengan $0 \leq k \leq 14$, didefinisikan $a_k$ adalah koefisien dari suku $x^k$ pada polinomial $x^2(x+1)^3(x+2)^4(x+3)^5$. Tentukan nilai dari $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{14}$.

Pembahasan

Ingat bahwa jumlah semua koefisien dari penjabaran $(ax+by)^n$ adalah $(a+b)^n$, yakni ketika $x = y = 1$.
Pada polinomial $P(x) = x^2(x+1)^3(x+2)^4(x+3)^5$, variabel $x$ memiliki pangkat tertinggi $2+3+4+5=14$.
Koefisien $a_2 + a_4 + \cdots + a_{14}$ merupakan koefisien pada suku-suku genap.
Jika kita substitusi $x = 1$ pada $P(x)$, kita peroleh
$\begin{aligned} & 1^2(1+1)^3(1+2)^4(1+3)^5 \\ & = 1(2^3)(3^4)(4^5) \\ & = 2^{13} \cdot 3^4 \end{aligned}$
Bilangan ini mewakili jumlah semua koefisien dari setiap suku hasil penjabaran $P(x)$.
Jika kita substitusi $x = -1$ pada $P(x)$, kita peroleh
$(-1)^2(-1+1)^3(-1+2)^4(-1+3)^5 = 0$
Bilangan ini mewakili jumlah koefisien suku genap dikurang jumlah koefisien suku ganjil pada penjabaran $P(x)$.
Karena bernilai $0$, maka itu artinya jumlah koefisien pada suku genap maupun ganjil adalah sama, sehingga
$\boxed{a_2+a_4+\cdots+a_{14} = \dfrac{2^{13} \cdot 3^4}{2} = 2^{12} \cdot 3^4}$

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan banyak suku-suku berbeda pada penjabaran:
a. $(x+2y+z)^{10}$
b. $(a+b+c+d+e+f)^{20}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui multinomial $(x+2y+z)^{10}$.
Dari sini, diketahui $n = 10$ dan $r = 3$ (banyak variabelnya).
Banyak suku-suku berbeda dari penjabaran binomial tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S} & = \displaystyle \binom{n+r-1}{r-1} \\ & = \binom{10 + 3-1}{3-1} \\ & = \binom{12}{2} \\ & = \dfrac{12!}{10! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{12 \cdot 11 \cancel{10!}}{\cancel{10!} \cdot 2} \\ & = 66 \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{66}$ suku-suku berbeda dari penjabaran $(x+2y+z)^{10}$.
Jawaban b)
Diketahui multinomial $(a+b+c+d+e+f)^{20}$.
Dari sini, diketahui $n = 20$ dan $r = 6$ (banyak variabelnya).
Banyak suku-suku berbeda dari penjabaran binomial tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S} & = \displaystyle \binom{n+r-1}{r-1} \\ & = \binom{20 + 6-1}{6-1} \\ & = \binom{25}{5} \\ & = \dfrac{25!}{20! \cdot 5!} \\ & = \dfrac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot \cancel{20!}}{\cancel{20!} \cdot 5!} \\ & = 53.130 \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{53.130}$ suku-suku berbeda dari penjabaran $(a+b+c+d+e+f)^{20}$.

[collapse]

Soal Nomor 15
Carilah koefisien:
a. $x^2y^3z^3$ dari penjabaran $(x+2y+z)^8$;

b. $x^2y^3z^5$ dari penjabaran $(x+y-z)^{10}$.

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $(x+2y+z)^8$.
$\begin{aligned} \text{Koef.}~x^2y^2z^3 & = \displaystyle \binom{8}{2, 3, 3} \cdot 1^2 \cdot 2^3 \cdot 1^3 \\ & = \dfrac{8!}{2! \cdot 3! \cdot 3!} \cdot 1 \cdot 8 \cdot 1 \\ & = 4.480 \end{aligned}$
Jadi, koefisien $x^2y^3z^3$ dari penjabaran trinomial tersebut adalah $\boxed{4.480}$
Jawaban b)
Diketahui $(x+y-z)^{10}$.
$\begin{aligned} \text{Koef.}~x^2y^3z^5 & = \displaystyle \binom{10}{2, 3, 5} \cdot 1^2 \cdot 1^3 \cdot (-1)^5 \\ & = \dfrac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 5!} \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-1) \\ & = -2.520 \end{aligned}$
Jadi, koefisien $x^2y^3z^5$ dari penjabaran trinomial tersebut adalah $\boxed{-2.520}$

[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *