Soal dan Pembahasan – Teorema Binomial dan Perluasannya

       Ekspresi dua suku (dua variabel atau satu variabel dan satu bilangan) seperti $(x+y)$, $(a-2x)$, atau $(3x-10)$ disebut binomial. Bentuk $\displaystyle \binom{n}{k}$ (baca: $n$ pilih $k$, dalam bahasa Inggris, $n$ choose $k$) disebut koefisien binomial karena koefisien-koefisien tersebut memenuhi teorema binomial berikut ini. Teorema binomial ini seharusnya sudah dipakai oleh siswa SMA ketika membahas materi yang berkenaan dengan aljabar.

Teorema Binomial

Misalkan $x$ dan $y$ adalah variabel serta $n$ merupakan suatu bilangan bulat nonnegatif.
$$\begin{aligned} (x+y)^n & =  \displaystyle \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} x^{n-j}y^j \\ & = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \cdots + \binom{n}{n-1}xy^{n-1} + \binom{n}{n}y^n \end{aligned}$$ 
Bukti

Kita akan menggunakan pembuktian kombinatorial. Jika dijabarkan, suku-suku hasil perkaliannya berbentuk $x^{n-j}y^j$ untuk $j = 0, 1, 2, \cdots, n.$ Untuk menghitung banyaknya suku berbentuk $x^{n-j}y^j$, perhatikan bahwa kita perlu memilih $(n-j)$ variabel $x$ dari penjumlahan $n$ suku tersebut sehingga kita juga secara otomatis memilih $j$ variabel $y.$ Oleh karena itu, koefisien dari $x^{n-j}y^{j}$ adalah $\displaystyle \binom{n}{n-j}$ yang senilai dengan $\displaystyle \binom{n}{j}.$ Dengan demikian, teorema binomial tersebut terbukti benar. $\blacksquare$ 

[collapse]

Ketika kita mengambil $n = 2, 3, 4$, kita memperoleh rumus binomial yang sangat sering dimunculkan di sekolah menengah, yaitu
$$\begin{aligned} (x+y)^2 & = x^2+2xy + y^2 \\ (x+y)^3 & = x^3+3x^2y + 3xy^2 + y^3 \\ (x+y)^4 & = x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4. \end{aligned}$$Jika diperhatikan secara saksama, koefisien dari setiap suku sama dengan bilangan yang ada pada baris-baris Segitiga Pascal. Dari sini dapat ditunjukkan bahwa proses pembentukan bilangan dari Segitiga Pascal dengan menjumlahkan dua bilangan di atasnya adalah benar.

Beberapa poin penting yang perlu diketahui dari submateri kombinatorika ini adalah sebagai berikut.

  1. Penjabaran binomial $(x+y)^n$ memiliki $(n+1)$ suku.
  2. Suku ke-$a$ adalah $\displaystyle \binom{n}{a-1}x^{n-a+1} \cdot y^{a-1}.$
  3. Koefisien suku ke-$a$ adalah $\displaystyle \binom{n}{a-1}.$
  4. Jumlah semua koefisien penjabaran $(ax+by)^n$ adalah $(a+b)^n$, dengan $x = y = 1.$

      Penjelasan singkat di atas merupakan ringkasan penting mengenai teorema binomial. Pembaca sebelumnya diharapkan sudah memahami teori yang lebih rinci di buku teks. Pada pos ini, kita akan membahas beberapa soal terkait teorema binomial. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF, 160 KB).

Poem by Shane Dizzy Sukardy

Begitulah takdir persahabatan.
Ketika habis kelak ucapan dan obrolan,
sesegera mulut mewanti-wanti seonggok alasan,
agar dapat melanggar garis pertemuan.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Misalkan $S = (x-1)^4 + 4(x-1)^3$ $+ 6(x-1)^2 + 4(x-1) + 1.$ Jika disederhanakan, maka $S = \cdots \cdot$
A. $(x-2)^4$                     D. $(x+1)^4$
B. $(x-1)^4$                     E. $x^4+1$
C. $x^4$

Pembahasan

Berdasarkan teorema binomial, diketahui bahwa $(a+b)^4$ dapat dijabarkan menjadi $a^4+4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4.$
Bentuk $S$ akan sama dengan penjabaran tersebut jika kita mengambil nilai $a = x-1$ dan $b = 1.$
Oleh karena itu, dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} S & = (x-1)^4 + 4(x-1)^3 + 6(x-1)^2 + 4(x-1) + 1 \\ & = ((x-1) + 1)^4 \\ & = x^4. \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $S$ adalah $\boxed{x^4}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2

Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka suku keenam setelah $\left(2x^{1/2}-\dfrac14x^{1/4}\right)^9$ diekspansi adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac{63}{32}x^{13/4}$                 D. $\dfrac{31}{16}x^{9/4}$
B. $\dfrac{63}{32}x^{13/4}$                     E. $-\dfrac{15}{8}x^{5/4}$
C. $-\dfrac{31}{16}x^{9/4}$

Pembahasan

Suku keenam dari hasil ekspansi binomial tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \text{U}_6 & = C_5^9(2x^{1/2})^{9-5}\left(-\dfrac14x^{1/4}\right)^5 \\ & = \dfrac{9!}{5! \cdot 4!}(2x^{1/2})^4\left(-\dfrac14x^{1/4}\right)^5 \\ & = \dfrac{9 \cdot \cancelto{2}{8} \cdot 7 \cdot \bcancel{6} \cdot \bcancel{5!}}{\bcancel{5!} \cdot \cancel{4} \cdot \bcancel{3 \cdot 2}}(2)^4(x^{1/2})^4 \left(-\dfrac14\right)^5(x^{1/4})^5 \\ & = -(\color{blue}{9} \cdot 2 \cdot \color{blue}{7})(2)^4(2)^{-10}x^2(x^{5/4}) \\ & = -\color{blue}{63}(2^{1+4-10})x^{2 + 5/4} \\ & = -\dfrac{63}{32}x^{13/4}. \end{aligned}$$Jadi, suku keenam dari hasil ekspansi binomial tersebut adalah $\boxed{-\dfrac{63}{32}x^{13/4}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Faktorial

Soal Nomor 3

Banyaknya suku yang mengandung ekspresi $x^7$ dari ekspansi $(3x^2-2y^3)^8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $2$                   E. $4$
B. $1$                    D. $3$

Pembahasan

Perhatikan bahwa suku $3x^2$ akan selalu berpangkat genap pada variabel $x$ bila dipangkatkan bilangan bulat dari $0$ sampai $8$. Ini menunjukkan bahwa tidak ada satu pun kombinasi perkalian dua suku yang menghasilkan ekspresi $x^7$ karena pangkatnya ganjil.
Jadi, tidak ada suku yang mengandung ekspresi $x^7$ dari ekspansi binomial tersebut sehingga koefisien $x^7$ sama dengan $\boxed{0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4

Koefisien suku yang mengandung $x^{14}$ dari ekspansi $(x+2x^3)^{10}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $40$                   C. $120$                 E. $360$
B. $90$                   D. $180$

Pembahasan

Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk $x^{14}$ adalah $(x)^p(x^3)^q = x^{14}$ dengan $\color{red}{p + q = 10}$. Persamaan eksponen $(x)^p(x^3)^q = x^{14}$ mengimplikasikan bahwa $\color{red}{p + 3q = 14}.$
Selesaikan dan kita akan memperoleh $p = 8$ dan $q = 2.$
Karena $q = 2,$ suku yang dimaksud merupakan suku ke-$2+1 = 3.$
Dalam hal ini, kita memilih $q$ (dan bukan $p)$ karena $q$ merupakan eksponen $b$ dari bentuk $(a+b)^n$ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat.
$$\begin{aligned} \text{Suku ke-}3 & = C_2^{10} x^8(2x^3)^2 \\ & = \dfrac{10!}{8! \cdot 2!} x^8(4x^6) \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot \cancel{8!}}{\cancel{8!} \cdot 2} (4x^{14}) \\ & = 45(4x^{14}) = 180x^{14} \end{aligned}$$Jadi, koefisien suku yang mengandung $x^{14}$ adalah $\boxed{180}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5

Koefisien suku yang mengandung $x^{4}$ dari ekspansi $\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{x^2}{4}\right)^{14}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{3003}{2}$                       D. $\dfrac{3003}{16}$
B. $\dfrac{3003}{4}$                       E. $\dfrac{1551}{16}$
C. $\dfrac{3003}{8}$

Pembahasan

Ekspresi $x^4$ terbentuk dari kombinasi perkalian suku $\dfrac{1}{x}=x^{-1}$ dan $x^2$.
Kombinasi yang mungkin untuk menghasilkan $x^4$ adalah $(x^{-1})^p(x^2)^q = x^4$ dengan $\color{red}{p + q = 14}.$
Perhatikan bahwa $(x^{-1})^p(x^2)^q = x^4$, yang artinya $\color{red}{-p + 2q = 4}$.
Selesaikan dan kita akan memperoleh $p = 8$ dan $q = 6.$
Karena $q = 6$, kita akan mencari suku ke-$6+1=7.$
$$\begin{aligned} \text{Suku ke-}7 & = C_6^{14} \left(\dfrac{2}{x}\right)^8\left(\dfrac{x^2}{4}\right)^6 \\ & = \dfrac{14!}{8! \cdot 6!} (2)^8(x^{-1})^8(x^2)^6(4^{-1})^6 \\ & = \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot \cancel{8!}}{\cancel{8!} \cdot 6!}(2^8)(x^{-8})(x^{12})(2^{-12}) \\ & = \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{6!}(2^{-4})x^4 \\ & = \dfrac{3003}{16}x^4 \end{aligned}$$Jadi, koefisien suku yang mengandung $x^4$ adalah $\boxed{\dfrac{3003}{16}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6

Konstanta dari hasil penjabaran $\left(3x^3-\dfrac{2}{x}\right)^8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $14.328$                     D. $16.128$
B. $15.552$                     E. $16.136$
C. $16.112$

Pembahasan

Mencari konstanta sama artinya dengan mencari koefisien dari $x^0.$
Ekspresi $x^0$ terbentuk dari kombinasi perkalian suku $x^3$ dan $\dfrac{1}{x} = x^{-1}.$
Kombinasi yang mungkin untuk menghasilkan $x^0$ adalah $(x^3)^p(x^{-1})^q = x^0$, dan dari sini kita peroleh SPLDV berikut.
$$\begin{cases} p + q & = 8 && (\text{jumlah pangkat dari binomial}) \\ 3p-q & = 0 && (\text{kesamaan pangkat}) \end{cases}$$Selesaikan dan kita peroleh $p = 2$ dan $q = 6.$
Karena $q = 6$, kita akan mencari koefisien suku ke-$6+1 = 7.$
$$\begin{aligned} \text{Suku ke-7} & = C_6^8 (3x^3)^2\left(-\dfrac{2}{x}\right)^6 \\ & = \dfrac{8!}{6! \cdot 2!}(9\cancel{x^6})\left(\dfrac{64}{\cancel{x^6}}\right) \\ & = \dfrac{8 \times 7}{2} \cdot 9 \cdot 64 = 16.128 \end{aligned}$$Jadi, konstanta dari hasil penjabaran $\left(3x^3-\dfrac{2}{x}\right)^8$ adalah $\boxed{16.128}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 7

Koefisien $a^2b^3c^6$ dalam ekspansi $(a+b+c)^{11}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3.520$                      D. $4.620$
B. $3.880$                      E. $5.080$
C. $4.520$

Pembahasan

Diberikan trinomial $(a+b+c)^{11}$.
Pilih $a$ dari $2$ faktor di antara $11$ faktor yang bisa dilakukan dalam $C_2^{11}$ cara.
Pilih $b$ dari $3$ faktor di antara $11-2=9$ faktor yang bisa dilakukan dalam $C_3^{9}$ cara.
Pilih $c$ dari $6$ faktor di antara $6$ faktor tersisa yang bisa dilakukan dalam $C_6^{6}$ cara.
Dengan demikian, koefisien $a^2b^3c^6$ sama dengan
$$\begin{aligned} & C_2^{11} \cdot C_3^9 \cdot C_6^6 \\ & = \dfrac{11!}{9! \cdot 2!} \cdot \dfrac{9!}{6! \cdot 3!} \cdot \dfrac{6!}{0! \cdot 6!} \\ & = \dfrac{11 \cdot 10}{2} \cdot \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3!} \cdot 1 \\ & = 4.620. \end{aligned}$$Jadi, koefisien $a^2b^3c^6$ dalam ekspansi $(a+b+c)^{11}$ adalah $\boxed{4.620}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8

Koefisien suku $x^{23}$ dari ekspansi $\left(1+\dfrac{1}{99}x^5+\dfrac{1}{10}x^9\right)^{100}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $35$                   C. $49$                 E. $192$
B. $42$                   D. $98$

Pembahasan

Kombinasi yang mungkin untuk menghasilkan $x^{23}$ adalah
$$(1)^p \left(\dfrac{1}{99}x^5\right)^q \left(\dfrac{1}{10}x^9\right)^r = kx^{23}$$dengan $p + q + r = 100.$
Dalam kasus ini, nilai $p$ dapat ditentukan paling akhir karena $1^p = 1$ dengan $0 \leq p \leq 100.$
Dengan menyamakan pangkatnya, kita peroleh persamaan $5q + 9r = 23$ dengan $q + r \leq 100.$
Persamaan tersebut bisa diselesaikan dengan menggunakan konsep persamaan Diophantine (karena $q, r$ bilangan bulat), tetapi memakan waktu yang lama.
Gunakan saja cara coba-coba (try and error) untuk menentukan nilai $q$ dan $r$ yang memenuhi persamaan tersebut.
Kita akan memperoleh $q = 1$ dan $r = 2$ sehingga $p = 97$.
Suku yang mengandung $x^{23}$ adalah
$$\begin{aligned} & C_1^{100} \cdot C_2^{99} \cdot C_{97}^{97} \left(\dfrac{1}{99}x^5\right)^1\left(\dfrac{1}{10}x^9\right)^2 \cdot 1^{97} \\ & = \dfrac{100!}{99! \cdot 1!} \cdot \dfrac{99!}{97! \cdot 2!} \cdot 1 \left(\dfrac{1}{99}\right)\left(\dfrac{1}{100}\right)x^5 \cdot x^{18} \\ & = \cancel{100} \cdot \dfrac{\bcancel{99} \cdot 98}{2} \cdot \dfrac{1}{\bcancel{99}} \cdot \dfrac{1}{\cancel{100}} x^{23} = 49x^{23}. \end{aligned}$$Jadi, koefisien $x^{23}$ dari ekspansi trinomial tersebut adalah $\boxed{49}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Pembuktian Kombinatorial 

Soal Nomor 9

Nilai dari $C_0^{2.020} + C_1^{2.020} + C_2^{2.020} +$ $\cdots + C_{2.020}^{2.020}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2.020$                     D. $2^{2.020}$
B. $2^{1.010}$                     E. $10^{2.020}$
C. $2^{2.019}$

Pembahasan

Berdasarkan teorema binomial, kita tahu bahwa
$(a+b)^n = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b +$ $C_2^n a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n.$
Misalkan $a = b = 1.$ Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} (1+1)^n & = C_0^n 1^n + C_1^n 1^{n-1} \cdot 1 + C_2^n 1^{n-2} \cdot 1^2 + \cdots + C_n^n 1^n \\ 2^n & = C_0^n + C_1^n + C_2^n + \cdots + C_n^n. \end{aligned}$$Untuk $n = 2.020,$ didapat
$2^{2020} = C_0^{2.020} + C_1^{2.020} + C_2^{2.020} +$ $\cdots + C_{2.020}^{2.020}.$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10

Jika $A$ menyatakan banyak suku dari ekspansi $(a+b+c+d)^6$ dan $B$ menyatakan banyak suku dari ekspansi $(a+b+c+d+e)^7$, maka selisih $A$ dan $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $12$                    C. $15$                   E. $20$
B. $14$                    D. $16$

Pembahasan

Banyaknya suku dari ekspansi multinomial $(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_u)^n$ adalah $C_{u-1}^{n+u-1}$ dengan $n$ adalah pangkat dan $u$ adalah banyak sukunya.
Untuk itu, multinomial $(a+b+c+d)^6$ memiliki nilai $n = 6$ dan $u = 4$ sehingga
$A = C_{4-1}^{6+4-1} = C_3^9 = \dfrac{9!}{6! \cdot 3!} = 84.$
Multinomial $(a+b+c+d+e)^4$ memiliki nilai $n=4$ dan $u=5$ sehingga
$B = C_{5-1}^{4+5-1} = C_4^8 = \dfrac{8!}{4! \cdot 4!} = 70.$
Dengan demikian, $A-B = 84-70=14.$
Jadi, selisih nilai $A$ dan $B$ adalah $\boxed{14}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11

Diketahui suku kedua dan suku ketiga dari penjabaran $\left(1+\dfrac14\right)^n$ nilainya sama. Nilai $n$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                      C. $8$                     E. $11$
B. $6$                      D. $9$

Pembahasan

Pada penjabaran $\left(1+\dfrac14\right)^n$ dengan $n > 0$, diperoleh
$\begin{aligned} \text{Suku kedua} & = \displaystyle \binom{n}{1}(1)^{n-1} \cdot \left(\dfrac14\right)^1 \\ & = n(1)\left(\dfrac14\right) = \dfrac{n}{4} \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \text{Suku ketiga} & = \displaystyle \binom{n}{2}(1)^{n-2} \cdot \left(\dfrac14\right)^2 \\ & = \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}(1) \cdot \dfrac{1}{16} \\ & = \dfrac{n(n-1)}{32}. \end{aligned}$
Karena suku kedua sama dengan suku ketiga, kita dapatkan
$\begin{aligned} \dfrac{\bcancel{n}}{\cancel{4}} & = \dfrac{\bcancel{n}(n-1)}{\cancelto{8}{32}} \\ 1 & = \dfrac{n-1}{8} \\ n-1 & = 8 \\ n & = 9. \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{9}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12

Jumlah koefisien dari $(8x-7y)^{100} + (5x-6y)^{100}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                    C. $1$                    E. $3$
B. $0$                       D. $2$

Pembahasan

Substitusi $x = y = 1$ pada penjumlahan dua binomial $(8x-7y)^{100} + (5x-6y)^{100}$ akan menghasilkan jumlah koefisien tiap suku-suku penjabarannya.
$$\begin{aligned} \text{S} & = (8(1)-7(1))^{100} + (5(1)-6(1))^{100} \\ & = 1^{100} + (-1)^{100} \\ & = 1+1=2 \end{aligned}$$Jadi, jumlah koefisien dari $(8x-7y)^{100} + (5x-6y)^{100}$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13

Nilai dari $\displaystyle \sum_{k=1}^{2.007} \binom{2.008}{k}2.008^k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2.008^{2.008}-2.007^{2.008}-1$
B. $2.008^{2.008}-2.008^{2.008}-1$
C. $2.009^{2.008}-2.008^{2.008}-1$
D. $2.009^{2.007}-2.008^{2.007}-1$
E. $2.009^{2.009}-2.008^{2.008}-1$

Pembahasan

Perhatikan bahwa dengan menggunakan teorema binomial, kita peroleh
$$\begin{aligned} (2.008+1)^{2.008} & = \displaystyle \sum_{k = 0}^{2.008} \binom{2.008}{k}2.008^k(1)^{2.008-k} \\ 2.009^{2.008}& = \sum_{k=0}^{2.008} \binom{2.008}{k} 2.008^k \\ & = \binom{2.008}{0} 2.008^0 + \sum_{k=1}^{2.007} 2.008^k + \binom{2.008}{2.008} 2.008^{2.008} \\ & = 1 + \sum_{k=1}^{2.007} 2.008^k + 2.008^{2.008}. \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir di atas, diperoleh
$\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^{2.007} 2.008^k = 2.009^{2.008}-2.008^{2.008}-1}$
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Ekspansikan (jabarkan) ekspresi aljabar berikut.
a. $(a+b)^6$
b. $(3x+y)^9$ 
c. $(x-2y)^5$

Pembahasan

Gunakan teorema binomial.
Jawaban a)
$$\begin{aligned} (a+b)^6 & = C_0^6 a^6 + C_1^6 a^5b + C_2^6 a^4b^2 + C_3^6 a^3b^3 + C_4^6 a^2b^4 + C_5^6 ab^5 + C_6^6 b^6 \\ & = \dfrac{6!}{6! \cdot 0!} a^6 + \dfrac{6!}{5! \cdot 1!} a^5b + \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} a^4b^2 + \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} a^3b^3 + \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} a^2b^4 + \dfrac{6!}{1! \cdot 5!} ab^5 + \dfrac{6!}{0! \cdot 6!} b^6 \\ & = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6 \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} (3x+y)^9 & = C_0^9 (3x)^9 + C_1^9 (3x)^8y + C_2^9 (3x)^7y^2 + C_3^9 (3x)^6y^3 + C_4^9 (3x)^5y^4 + C_5^9 (3x)^4y^5 + C_6^9 (3x)^3y^6 + C_7^9 (3x)^2y^7 + C_8^9 (3x)y^8 + C_9^9 y^9 \\ & = \dfrac{9!}{9! \cdot 0!} 19683x^9 + \dfrac{9!}{8! \cdot 1!} 6561x^8y + \dfrac{9!}{7! \cdot 2!} 2187x^7y^2 + \dfrac{9!}{6! \cdot 3!} 729x^6y^3 + \dfrac{9!}{5! \cdot 4!} 243x^5y^4 + \dfrac{9!}{4! \cdot 5!} 81x^4y^5 + \dfrac{9!}{3! \cdot 6!} 27x^3y^6 + \dfrac{9!}{2! \cdot 7!} 9x^2y^7 + \dfrac{9!}{1! \cdot 8!} 3xy^8 + \dfrac{9!}{0! \cdot 9!} y^9 \\ & = (1)19.683x^9 + (9)6.561x^8y + (36)2.187x^7y^2 + (84) 729x^6y^3 + (126)243x^5y^4 + (126)81x^4y^5 + (84) 27x^3y^6 + (36)9x^2y^7 + (9)3xy^8 + (1)y^9 \\ & = 19.683x^9 + 59.049x^8y + 78.732x^7y^2 + 61.236x^6y^3 + 30.618x^5y^4 + 10.206x^4y^5 + 2.268x^3y^6 + 324x^2y^7 + 27xy^8 + y^9 \end{aligned}$$Jawaban c)
$$\begin{aligned} (x-2y)^5 & = C_0^5 x^5 + C_1^5 x^4(-2y) + C_2^5 x^3(-2y)^2 + C_3^5 x^2(-2y)^3 + C_4^5 x(-2y)^4 + C_5^5 (-2y)^5 \\ & = \dfrac{5!}{0! \cdot 5!} x^5 + \dfrac{5!}{1! \cdot 4!} (-2x^4y) + \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} (4x^3y^2) + \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} (-8x^2y^3) + \dfrac{5!}{4! \cdot 1!} (16xy^4) + \dfrac{5!}{5! \cdot 0!} (-32y^5) \\ & = 1x^5 + 5(-2x^4y) + 10(4x^3y^2) + 10(-8x^2y^3) + 5(16xy^4) + 1(-32y^5) \\ & = x^5-10x^4y+40x^3y^2-80x^2y^3 +80xy^4-32y^5 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 2

Hitunglah:
a. $(\sqrt3+1)^5-(\sqrt3-1)^5$
b. $(2+\sqrt5)^5+(2-\sqrt5)^5$

Pembahasan

Jawaban a)
Jabarkan $(\sqrt3+1)^5$ menggunakan teorema binomial.
$$\begin{aligned} (\sqrt3+1)^5 & = C_0^5 (\sqrt3)^5 + C_1^5 (\sqrt3)^4(1) + C_2^5 (\sqrt3)^3(1)^2 + C_3^5 (\sqrt3)^2(1)^3 + C_4^5 (\sqrt3)(1)^4 + C_5^5 (1)^5 \\ & = 9\sqrt3 + 5(9)(1) + 10(3\sqrt3)(1) + 10(3)(1) + 5(\sqrt3)(1) + 1 \\ & = 9\sqrt3 + 45 + 30\sqrt3 + 30 + 5\sqrt3 + 1 \\ & = 44\sqrt3 + 76 \end{aligned}$$Dengan cara yang serupa, kita peroleh
$$\begin{aligned} (\sqrt3-1)^5 & = 9\sqrt3 -5(9)(1) + 10(3\sqrt3)(1)- 10(3)(1) + 5(\sqrt3)(1)-1 \\ & = 9\sqrt3 -45 + 30\sqrt3- 30 + 5\sqrt3 -1 \\ & = 44\sqrt3-76. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} & (\sqrt3+1)^5-(\sqrt3-1)^5 \\ & = (44\sqrt3+76)-(44\sqrt3-76) \\ & = 76+76 = 152. \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $(\sqrt3+1)^5-(\sqrt3-1)^5$ adalah $\boxed{152}$
Jawaban b)
Jabarkan $(2+\sqrt5)^5+(2-\sqrt5)^5$ menggunakan teorema binomial.
$$\begin{aligned} (2+\sqrt5)^5 & = C_0^5 (2)^5 + C_1^5 (2)^4(\sqrt5) + C_2^5 (2)^3(\sqrt5)^2 + C_3^5 (2)^2(\sqrt5)^3 + C_4^5 (2)(\sqrt5)^4 + C_5^5 (\sqrt5)^5 \\ & = 1(32) + 5(16)(\sqrt5) + 10(8)(5) + 10(4)(5\sqrt5) + 5(2)(25) + 1(25\sqrt5) \\ & = 32 + 80\sqrt5 + 400 + 200\sqrt5 + 250 + 25\sqrt5 \\ & = 305\sqrt5 + 682 \end{aligned}$$Dengan cara yang serupa, kita peroleh
$$\begin{aligned} (2-\sqrt5)^5 & = 1(32) -5(16)(\sqrt5) + 10(8)(5)- 10(4)(5\sqrt5) + 5(2)(25)- 1(25\sqrt5) \\ & = 32 -80\sqrt5 + 400 -200\sqrt5 + 250 -25\sqrt5 \\ & = -305\sqrt5 + 682. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} & (2+\sqrt5)^5+(2-\sqrt5)^5 \\ & = (305\sqrt5+682)+(-305\sqrt5+682) \\ & = 682+682 = 1.364. \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $(2+\sqrt5)^5+(2-\sqrt5)^5$ adalah $\boxed{1.364}$

[collapse]

Soal Nomor 3

Pada penjabaran $(2x-y)^{11}$, tentukan:
a. suku ketujuh;
b. koefisien suku kelima;
c. jumlah semua koefisien penjabarannya.

Pembahasan

Jawaban a)
Koefisien suku ke-$a$ dari binomial $(x + y)^n$ adalah $\displaystyle \binom{n}{a-1} x^{n-a+1} \cdot y^{a-1}.$
Diketahui $(2x-y)^{11}$ yang berarti $n = 11$ dan kita akan mencari suku ketujuh $(a = 7)$.
$$\begin{aligned} \text{Suku ketujuh} & = \displaystyle \binom{n}{a-1} (2x)^{n-a+1} \cdot (-y)^{a-1} \\ & = \binom{11}{7-1} (2x)^{11-7+1}(-y)^{7-1} \\ & = \binom{11}{6} (2x)^5(-y)^6 \\ & = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{6! \cdot \cancel{5!}} (32x^5)(y^6) \\ & = 462(32x^5)(y^6) = 14.784x^5y^6 \end{aligned}$$Jadi, suku ketujuhnya adalah $\boxed{14.784x^5y^6}$
Jawaban b)
Koefisien suku ke-$k$ dari penjabaran binomial $(ax+by)^n$ ditentukan oleh $\displaystyle \binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k-1}$.
Untuk itu, koefisien suku ke-$5$ dari penjabaran binomial $(ax+by)^n$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \text{U}_5 & = \displaystyle \binom{11}{5-1}(2)^{11-5+1}(-1)^{5-1} \\ & = \binom{11}{4}(2)^7(-1)^4 \\ & = \dfrac{11!}{4! \cdot 7!}(2)^7 \\ & = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cancel{7!}}{4! \cdot \cancel{7!}}(2)^7 \\ & = 42.240 \end{aligned}$$Jadi, koefisien suku kelima adalah $\boxed{42.240}$
Jawaban c)
Jumlah semua koefisien penjabarannya adalah $(2x-y)^{11}$ ketika $x=y=1$. Kita peroleh, $(2(1)-1)^{11} = 1^{11} = 1$.

[collapse]

Soal Nomor 4

Diketahui binomial $(5+2x)^n$ dengan $n$ merupakan bilangan asli. Tentukan nilai $n$ agar koefisien $x^2$ sama dengan dua kali koefisien $x$.

Pembahasan

Diketahui binomial $(5+2x)^n.$
Suku yang memuat ekspresi $x^2$ dinyatakan oleh $C_q^n (5)^p(2x)^q = kx^2$
untuk suatu bilangan real $k.$
Persamaan di atas menunjukkan bahwa $q = 2$ sehingga $p = n-2$.
Koefisien $x^2$ adalah $C_2^n (5)^{n-2}(2)^2$.
Suku yang memuat ekspresi $x$ dinyatakan oleh $C_q^n (5)^p(2x)^q = kx$ untuk suatu bilangan real $k.$
Persamaan di atas menunjukkan bahwa $q = 1$ sehingga $p = n-1.$
Koefisien $x$ adalah $C_1^n (5)^{n-1}(2).$
Koefisien $x^2$ harus sama dengan dua kali koefisien $x$ sehingga
$$\begin{aligned} C_2^n (5)^{n-2}(2)^2 & = 2\left(C_1^n (5)^{n-1}(2)\right) \\ \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!} (5)^{n-2} (\cancel{4}) & = \cancel{2} \cdot \dfrac{n!}{(n-1)! \cdot 1!} (5)^{n-1} (\cancel{2}) \\ \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2} \cdot \dfrac{(n-1)!}{(n)!} & = \dfrac{5^{n-1}}{5^{n-2}} \\ \dfrac{n-1}{2} & = 5 \\ n-1 & = 10 \\ n & = 11. \end{aligned}$$Jadi, nilai $n$ agar $\boxed{11}$

[collapse]

Soal Nomor 5

Jika $n>0$ merupakan koefisien $x$ pada bentuk binomial $(nx-y)^6$ dan diketahui bahwa rasio koefisien suku ketiga dan kelima setelah binomialnya dijabarkan adalah $4 : 1$, tentukan nilai $n.$

Pembahasan

Diketahui binomial $(nx-y)^6.$
Suku ketiga hasil ekspansi binomial tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{U}_3 & = C_2^6 (nx)^4(-y)^2 \\ & = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} (n^4x^4)(y^2) \\ & = 15n^4x^4y^2. \end{aligned}$
Koefisien suku ketiga adalah $15n^4.$
Suku kelima hasil ekspansi binomial tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{U}_5 & = C_4^6 (nx)^2(-y)^4 \\ & = \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} (n^2x^2)(y^4) \\ & = 15n^2x^2y^4. \end{aligned}$
Koefisien suku kelima adalah $15n^2.$
Karena rasio (perbandingan) koefisien suku ketiga dan kelima setelah binomialnya dijabarkan adalah $4 : 1$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{15n^4}{15n^2} & = \dfrac41 \\ n^2 & = 4 \\ n & = \pm 2. \end{aligned}$
Karena diketahui $n > 0$, nilai $n$ yang dimaksud adalah $\boxed{n=2}$

[collapse]

Soal Nomor 6

Tunjukkan bahwa rasio koefisien $x^{10}$ pada penjabaran $(1-x^2)^{10}$ dan koefisien $x^0$ pada penjabaran $\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^{10}$ adalah $1 : 32.$

Pembahasan

Suku yang mengandung ekspresi $x^{10}$ pada penjabaran $(1-x^2)^{10}$ adalah $C_q^{10} (1)^p(-x^2)^q = kx^{10}$ dengan $p + q = 10$. Persamaan di atas mengimplikasikan bahwa $2q = 10$ sehingga $q = 5$, dan akibatnya $p = 5.$
Dengan demikian, suku yang mengandung ekspresi $x^{10}$ pada penjabaran $(1-x^2)^{10}$ adalah
$$\begin{aligned} C_5^{10} (1)^5(-x^2)^5 & = \dfrac{10!}{5! \cdot 5!} (1)(-x^{10}) \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!} \cdot 5!} (-x^{10}) \\ & = -36x^{10}. \end{aligned}$$Suku yang mengandung ekspresi $x^{0}$ pada penjabaran $\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^{10}$ adalah $C_q^{10} (x)^p\left(-\dfrac{2}{x}\right)^q = kx^{0}$ atau ditulis menjadi $C_q^{10} (-2x^{p-q}) = kx^0$ dengan $p+q 10$. Persamaan di atas mengimplikasikan bahwa $p-q = 0.$ Dengan menyelesaikan kedua persamaan tersebut, kita peroleh $p = q = 5.$
Dengan demikian, suku yang mengandung ekspresi $x^{0}$ pada penjabaran $\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^{10}$ adalah
$$\begin{aligned} C_5^{10} (x)^5\left(-\dfrac{2}{x}\right)^5 & = \dfrac{10!}{5! \cdot 5!} (x^5)\left(-\dfrac{32}{x^5}\right) \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!} \cdot 5!} (-32)x^0 \\ & = -36(32)x^{0}. \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan koefisien $x^{10}$ dan $x^0$ adalah $\boxed{-36 : (-36)(32) = 1 : 32}$
(Terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 7

Carilah koefisien $x^5$ pada penjabaran $\left(\dfrac{x}{4}-4\right)^7(2+x)$.

Pembahasan

Kita akan mencari koefisien $x^4$ dan $x^5$ pada penjabaran $\left(\dfrac{x}{4}-4\right)^7.$
$\begin{aligned} \text{Koef}\text{isien}~x^4 & = C_3^7 \left(\dfrac{1}{4}\right)^4(-4)^3 \\ & = \dfrac{7!}{4! \cdot 3!} \left(-\dfrac14\right) \\ & = \dfrac{7 \cdot \bcancel{6} \cdot 5 \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot \bcancel{6}}\left(-\dfrac14\right) \\ & = -\dfrac{35}{4} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{Koef}\text{isien}~x^5 & = C_2^7 \left(\dfrac{1}{4}\right)^5(-4)^2 \\ & = \dfrac{7!}{5! \cdot 2!} \left(\dfrac14\right)^3 \\ & = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!} \cdot 2}\left(\dfrac{1}{64}\right) \\ & = \dfrac{21}{64} \end{aligned}$
Koefisien $x^5$ pada penjabaran $\left(\dfrac{x}{4}-4\right)^7(2+x)$ adalah
$$\begin{aligned} & (\text{koefi}\text{sien}~x^5)(2) + (\text{koefi}\text{sien}~x^4)(1) \\ & = \dfrac{22}{64} \cdot 2 + \left(-\dfrac{35}{4}\right)(1) \\ & = \dfrac{21}{32}-\dfrac{35 \cdot 8}{32} = -\dfrac{259}{32}. \end{aligned}$$Jadi, koefisien $x^5$ pada penjabaran $\left(\dfrac{x}{4}-4\right)^7(2+x)$ adalah $\boxed{-\dfrac{259}{32}}$

[collapse]

Baca Juga: Masalah Kombinatorika: Mencari Banyak Rute

Soal Nomor 8

Tentukan hubungan $a$ dan $b$ agar koefisien $x^7$ dari penjabaran $\left(ax^2+\dfrac{1}{bx}\right)^{11}$ sama dengan koefisien $x^{-7}$ dari penjabaran $\left(ax-\dfrac{1}{bx^2}\right)^{11}.$

Pembahasan

Persamaan dari penjabaran binomial $\left(ax^2+\dfrac{1}{bx}\right)^{11}$ yang menghasilkan $x^7$ adalah
$\begin{aligned} C_q^{11} (ax^2)^p \left(\dfrac{1}{bx}\right)^q & = kx^7 \\ C_q^{11} \left(a^p \cdot \dfrac{1}{b^q}\right) (x^{2p-q}) & = kx^7 \end{aligned}$
untuk suatu bilangan real $k$ dan $p + q = 11$. Persamaan di atas juga mengimplikasikan bahwa $2p-q = 7.$
Dengan demikian, kita peroleh $p = 6$ dan $q = 5.$
Koefisien $x^7$ dari penjabaran binomial tersebut adalah
$\boxed{\text{Koef.}~x^7 = C_{5}^{11} \left(a^6 \cdot \dfrac{1}{b^5}\right)}$
Persamaan dari penjabaran binomial $\left(ax-\dfrac{1}{bx^2}\right)^{11}$ yang menghasilkan $x^{-7}$ adalah
$\begin{aligned} C_q^{11} (ax)^p \left(-\dfrac{1}{bx^2}\right)^q & = kx^{-7} \\ C_q^{11} (a^p)\left(-\dfrac{1}{b}\right)^q (x^{p-2q}) & = kx^{-7} \end{aligned}$
untuk suatu bilangan real $k$ dan $p + q = 11.$ Persamaan di atas juga mengimplikasikan bahwa $p-2q = -7.$
Dengan demikian, kita peroleh $q = 6$ dan $p = 5.$
Koefisien $x^{-7}$ dari penjabaran binomial tersebut adalah
$\boxed{\text{Koef.}~x^{-7}= C_{6}^{11} (a^5)\left(-\dfrac{1}{b}\right)^6}$
Samakan koefisien $x^7$ dan koefisien $x^{-7}$ tersebut.
$\begin{aligned} C_{5}^{11} \left(a^6 \cdot \dfrac{1}{b^5}\right) & = C_{6}^{11} (a^5)\left(-\dfrac{1}{b}\right)^6 \\ \bcancel{\dfrac{11!}{6! \cdot 5!}} \cdot a^6 \cdot \dfrac{1}{b^5} & = \bcancel{\dfrac{11!}{5! \cdot 6!}} \cdot a^5 \cdot \dfrac{1}{b^6} \\ a & = \dfrac{1}{b} \\ ab & = 1 \end{aligned}$
Jadi, hubungan $a$ dan $b$ diberikan oleh $\boxed{ab=1}$

[collapse]

Soal Nomor 9

Jika tiga suku pertama penjabaran $(1+ax)^n$ adalah $1+16x+112x^2$, maka tentukan nilai $a$ dan $n$.

Pembahasan

Berdasarkan teorema binomial, tiga suku pertama hasil ekspansi (penjabaran) dari $(1+ax)^n$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} C_0^n 1^n + C_1^n 1^{n-1}(ax) + C_2^n 1^{n-2}(ax)^2 & = 1 + 16x + 112x^2 \\ (1)(1) + \dfrac{n!}{(n-1)! \cdot 1!} (1)(ax) + \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!} (1)(a^2x^2) & = 1+16x+112x^2 \\ 1 + \dfrac{n \cdot \cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}} (ax) + \dfrac{n(n-1) \cdot \cancel{(n-2)!}}{\cancel{(n-2)!} \cdot 2} (a^2x^2) & = 1+16x+112x^2 \\ 1 + (an)x + \dfrac{a^2n(n-1)}{2}x^2 & = 1+16x+112x^2 \end{aligned}$$Dengan menyamakan koefisien dari setiap suku yang bersesuaian, kita peroleh $an = 16$ sehingga
$$\begin{aligned} \dfrac{a^2n(n-1)}{2} & = 112 \\ a^2n^2-a^2n & = 224 \\ (an)^2-a(an) & = 224 \\ 16^2-a(16) & = 224 \\ 256-16a & = 224 \\ -16a & = -32 \\ a & = 2. \end{aligned}$$Karena $\boxed{a = 2}$ dan $an = 16$, haruslah $\boxed{n = 8}$

[collapse]

Soal Nomor 10

Uraikan dengan menggunakan perluasan teorema binomial.
a. $(1-x+x^2)^3$
b. $(1+x+x^2)^5$

Pembahasan

Jawaban a)
$(1-x+x^2)$ merupakan trinomial (karena memuat $3$ suku), tetapi bisa dianggap sebagai binomial $((1-x)+x^2).$
Selanjutnya, kita gunakan teorema binomial.
$$\begin{aligned} ((1-x)+x^2)^3 & = C_0^3 (1-x)^3 + C_1^3 (1-x)^2(x^2) + C_2^3 (1-x)(x^2)^2 + C_3^3 (x^2)^3 \\ & = 1(1-3x+3x^2-x^3) + 3(1-2x+x^2)(x^2)+3(1-x)(x^4) + 1(x^6) \\ & = (1-3x+3x^2-x^3)+(3x^2-6x^3+3x^4) + (3x^4-3x^5) + x^6 \\ & = x^6-3x^5+6x^4-7x^3+6x^2-3x+1 \end{aligned}$$Jawaban b)
$(1+x+x^2)$ merupakan trinomial (karena memuat $3$ suku), tetapi bisa dianggap sebagai binomial $((1+x)+x^2)^5.$
Selanjutnya, kita gunakan teorema binomial.
$$\begin{aligned} ((1+x)+x^2)^5 & = C_0^5 (1+x)^5 + C_1^5 (1+x)^4(x^2) + C_2^5 (1+x)^3(x^2)^2 + C_3^5 (1+x)^2(x^2)^3 + C_4^5 (1+x)(x^2)^4 + C_5^5 (x^2)^5 \\ & = 1(1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5)+5(1+4x+6x^2+4x^3+x^4)(x^2) + \\ & 10(1+3x+3x^2+x^3)(x^4) + 10(1+2x+x^2)(x^6) + 5(1+x)(x^8) + 1(x^{10}) \\ & = (1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5) + (5x^2 + 20x^3 + 30x^4 + 20x^5 + 5x^6) + \\ & (10x^4 + 30x^5 + 30x^6 + 10x^7) + (10x^6 + 20x^7 + 10x^8) + (5x^8 + 5x^9) + x^{10} \\ & = x^{10} + 5x^9 + 15x^8 + 30x^7 + 45x^6 + 51x^5 + 45x^4 + 30x^3 + 15x^2 + 5x + 1 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 11

Carilah nilai pendekatan dari $\sqrt[4]{15}.$

Pembahasan

Misal $\sqrt[4]{15} = (16-1)^{\frac14}.$
Berdasarkan penjabaran binomial, kita tahu bahwa
$$\boxed{(x+y)^n = x^n + \dfrac{n}{1} x^{n-1}y + \dfrac{n(n-1)}{1 \cdot 2}x^{n-2} \cdot y^2 + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3}x^{n-3}y^3 + \cdots}$$Ini berarti $x = 16$, $y = -1,$ dan $n = \dfrac14.$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} (16-1)^{\frac14} & \approx 16^{\frac14} + \dfrac14 (16)^{-\frac34}(-1) + \dfrac{\frac14 \cdot \left(-\frac34\right)}{1 \cdot 2}(16)^{-\frac74}(-1)^2 + \cdots \\ & \approx 2-\dfrac14 \cdot \dfrac18 -\dfrac{3}{32} \cdot \dfrac{1}{128}-\cdots \\ & \approx 2-0,031-0,001-\cdots \\ & \approx 1,968 \approx 1,97. \end{aligned}$$Jadi, nilai pendekatan dari $\sqrt[4]{15}$ adalah $\boxed{1,97}$ (dua angka di belakang koma).

[collapse]

Soal Nomor 12

Jika $(x+1)^n$ dijabarkan (pangkat $x$ semakin menurun) dengan $n$ bilangan bulat positif, maka diperoleh ada tiga suku berurutan yang memiliki perbandingan koefisien $2 : 15 : 70.$ Tentukan nilai $n$.

Pembahasan

Dengan menggunakan teorema binomial, kita tahu bahwa
$$\begin{aligned} (x + 1)^n & = \displaystyle \binom{n}{0} x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}(1) + \cdots + \binom{n}{n-1}(x)1^{n-1} + \binom{n}{n} (1)^n \\ & = \binom{n}{0} x^n + \binom{n}{1}x^{n-1} + \cdots + \binom{n}{n-1}(x)+ \binom{n}{n}. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa setiap koefisien pada masing-masing suku hanya dipengaruhi oleh koefisien binomialnya.
Misalkan tiga suku yang berurutan memiliki koefisien binomial $\displaystyle \binom{n}{a},$ $\displaystyle \binom{n}{a+1},$ dan $\displaystyle \binom{n}{a+1}$ untuk suatu bilangan cacah $a$ sehingga berlaku
$$\displaystyle \binom{n}{a} : \binom{n}{a+1} : \binom{n}{a+2} = 2 : 15 : 70.$$Karena $\displaystyle \binom{n}{a} : \binom{n}{a+1} = 2 : 15,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{n!}{(n-a)! \cdot a!} : \dfrac{n!}{(n-a-1)! \cdot (a+1)!} & = 2 : 15 \\ \dfrac{1}{n-a} : \dfrac{1}{a+1} & = 2 : 15 \\ \dfrac{a+1}{n-a} & = \dfrac{2}{15} \\ 15a+15 & = 2n-2a \\ 17a & = 2n-15. && (\cdots 1) \end{aligned}$$Karena $$\displaystyle \binom{n}{a+1} : \binom{n}{a+2} = 15 : 70 = 3 : 14,$$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{n!}{(n-a-1)! \cdot (a+1)!} : \dfrac{n!}{(n-a-2)! \cdot (a+2)!} & = 3 : 14 \\ \dfrac{1}{n-a-1} : \dfrac{1}{a+2} & = 3 : 14 \\ \dfrac{a+2}{n-a-1} & = \dfrac{3}{14} \\ 14a+28 & = 3n-3a-3 \\ 17a & = 3n-31. && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh bahwa $n = 16$ dan $a = 1.$ Jika kita periksa,
$\begin{aligned} \displaystyle \binom{16}{1} & = \dfrac{16!}{15! \cdot 1!} = 16 \\ \binom{16}{2} & = \dfrac{16!}{14! \cdot 2!} = 8 \times 15 \\ \binom{16}{3} & = \dfrac{16!}{13! \cdot 3!} = 16 \times 35 \end{aligned}$
dengan perbandingan
$$\begin{aligned} \displaystyle \binom{n}{1} : \binom{n}{2} : \binom{n}{3} & = 16 : 8 \times 15 : 16 \times 35 \\ &  = 2 : 15 : 70 \end{aligned}$$dan ternyata sesuai.
Jadi, nilai $\boxed{n = 16}$

[collapse]

Soal Nomor 13

Untuk bilangan cacah $k$, dengan $0 \leq k \leq 14$, didefinisikan $a_k$ adalah koefisien dari suku $x^k$ pada polinomial $x^2(x+1)^3(x+2)^4(x+3)^5.$ Tentukan nilai dari $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{14}.$

Pembahasan

Ingat bahwa jumlah semua koefisien dari penjabaran $(ax+by)^n$ adalah $(a+b)^n$, yakni ketika $x = y = 1.$
Pada polinomial $P(x) = x^2(x+1)^3(x+2)^4(x+3)^5,$ variabel $x$ memiliki pangkat tertinggi $2+3+4+5=14.$
Koefisien $a_2 + a_4 + \cdots + a_{14}$ merupakan koefisien pada suku-suku genap.
Jika kita substitusi $x = 1$ pada $P(x)$, kita peroleh
$\begin{aligned} & 1^2(1+1)^3(1+2)^4(1+3)^5 \\ & = 1(2^3)(3^4)(4^5) \\ & = 2^{13} \cdot 3^4. \end{aligned}$
Bilangan ini mewakili jumlah semua koefisien dari setiap suku hasil penjabaran $P(x)$.
Jika kita substitusi $x = -1$ pada $P(x),$ kita peroleh
$$(-1)^2(-1+1)^3(-1+2)^4(-1+3)^5 = 0.$$Bilangan ini mewakili jumlah koefisien suku genap dikurang jumlah koefisien suku ganjil pada penjabaran $P(x).$
Karena bernilai $0$, itu artinya jumlah koefisien pada suku genap maupun ganjil adalah sama sehingga
$$\boxed{a_2+a_4+\cdots+a_{14} = \dfrac{2^{13} \cdot 3^4}{2} = 2^{12} \cdot 3^4}$$

[collapse]

Soal Nomor 14

Tentukan banyak suku-suku berbeda pada penjabaran:
a. $(x+2y+z)^{10}$
b. $(a+b+c+d+e+f)^{20}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui multinomial $(x+2y+z)^{10}.$
Dari sini, diketahui $n = 10$ dan $r = 3$ (banyak variabelnya).
Banyak suku-suku berbeda dari penjabaran binomial tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S} & = \displaystyle \binom{n+r-1}{r-1} \\ & = \binom{10 + 3-1}{3-1} \\ & = \binom{12}{2} \\ & = \dfrac{12!}{10! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{12 \cdot 11 \cancel{10!}}{\cancel{10!} \cdot 2} \\ & = 66. \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{66}$ suku-suku berbeda dari penjabaran $(x+2y+z)^{10}.$
Jawaban b)
Diketahui multinomial $(a+b+c+d+e+f)^{20}.$
Dari sini, diketahui $n = 20$ dan $r = 6$ (banyak variabelnya).
Banyak suku-suku berbeda dari penjabaran binomial tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S} & = \displaystyle \binom{n+r-1}{r-1} \\ & = \binom{20 + 6-1}{6-1} \\ & = \binom{25}{5} \\ & = \dfrac{25!}{20! \cdot 5!} \\ & = \dfrac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot \cancel{20!}}{\cancel{20!} \cdot 5!} \\ & = 53.130. \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{53.130}$ suku-suku berbeda dari penjabaran $(a+b+c+d+e+f)^{20}.$

[collapse]

Soal Nomor 15

Carilah koefisien:
a. $x^2y^3z^3$ dari penjabaran $(x+2y+z)^8$;

b. $x^2y^3z^5$ dari penjabaran $(x+y-z)^{10}$.

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $(x+2y+z)^8.$
$$\begin{aligned} \text{Koef.}~x^2y^2z^3 & = \displaystyle \binom{8}{2, 3, 3} \cdot 1^2 \cdot 2^3 \cdot 1^3 \\ & = \dfrac{8!}{2! \cdot 3! \cdot 3!} \cdot 1 \cdot 8 \cdot 1 \\ & = 4.480 \end{aligned}$$Jadi, koefisien $x^2y^3z^3$ dari penjabaran trinomial tersebut adalah $\boxed{4.480}$
Jawaban b)
Diketahui $(x+y-z)^{10}$.
$$\begin{aligned} \text{Koef.}~x^2y^3z^5 & = \displaystyle \binom{10}{2, 3, 5} \cdot 1^2 \cdot 1^3 \cdot (-1)^5 \\ & = \dfrac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 5!} \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-1) \\ & = -2.520 \end{aligned}$$Jadi, koefisien $x^2y^3z^5$ dari penjabaran trinomial tersebut adalah $\boxed{-2.520}$

[collapse]

0 0 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini jika ada kesalahan pengetikan sekecil apa pun, seperti kesalahan pengetikan, kode LaTeX yang tidak berjalan, atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest

5 Comments
Newest
Oldest Most Voted
Inline Feedbacks
View all comments
Herdin

Terima kasih banyak pak atas sharing ilmunya, mudah2an selalu diberi kesehatan dan kesabaran agar tetap berkarya.

Ida

Terimakasih banyak pak, sangat membantu 🙂

Mukaddas

jazakallaah khaeran katsiiran dengan postingannya, bolehkah di download dan bagaimana caranya

5
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x