Soal dan Pembahasan – TIMO 2017 Heat Round Primary 4 (Kelas 4)

Berikut ini merupakan soal (beserta pembahasannya dalam Bahasa Indonesia) Thailand International Mathematical Olympiad Tahun 2017 Primary 4 (Kelas 4). Terdapat 25 soal dalam 5 bidang lomba: logical thinking, arithmetic, number theory, geometry, dan combinatorics.

Logical Thinking

Question Number 1
What is the value of the number to represent “?” in the following sequence?
Berapakah bilangan yang diwakili oleh “?” dalam barisan berikut?
\Large{1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, ?, 81, 149, \cdots}

Solution

Pola bilangannya mirip dengan pola bilangan Fibonacci, tetapi untuk pola ini, bilangannya didapat dari jumlah 3 bilangan sebelumnya, yaitu
\begin{aligned} 4 & = 1 + 1 + 2 \\ 7 & = 1 + 2 + 4 \\ 13 & = 2 + 4 + 7 \\ 24 & = 4 + 7 + 13 \\ 44 & = 7 + 13 + 24 \\ 81 & = 13 + 24 + 44 \\ 149 & = 24 + 44 + 81 \end{aligned}



Jadi, bilangan yang diwakili oleh “?” itu adalah \boxed{44}.

[collapse]

Question Number 2
According to the pattern shown below, how many circle(s) is / are there from the 1st to the 200th symbol counting from the left?
Berdasarkan pola di bawah ini, berapa banyak lingkaran yang ada dari simbol pertama sampai simbol ke-200 dihitung dari kiri?

Solution

3 simbol pertama terdapat 1 lingkaran.
9 simbol pertama terdapat 1 + 2 lingkaran.
18 simbol pertama terdapat 1+2+3 lingkaran.
Lanjutkan pola ini dan temukan barisan bilangannya seperti berikut:
3, 9, 18, 30, 45, 63, 84, 108, 135, 165, 198
Perhatikan bahwa simbol ke-199 dan 200 merupakan lingkaran, sehingga secara keseluruhan terdapat
1 + 2 + 3 + \cdots + 11 + 2 = (12 \times 5 + 6) + 2 = 68 lingkaran.

[collapse]

Question Number 3
A stationery store had a batch of ball pens. One half but 2 few pens were sold on the first day. One half of the remaining part but 3 few pens were sold on the second day. Finally 11 ball pens are left. How many ball pen(s) did the stationery store have originally?
Sebuah toko alat tulis memiliki sejumlah pena. Setengah, dikurang 2 pena, terjual pada hari pertama. Setengah dari sisanya, dikurang 3 pena, terjual pada hari kedua. Akhirnya tersisa 11 pena. Berapa pena yang dimiliki toko alat tulis tersebut mula-mula?

Solution

Misalkan x menyatakan banyaknya pena yang dimiliki toko alat tulis itu mula-mula. Berarti,
\begin{aligned} x - \left(\dfrac{x}{2} - 2\right) - \left(\dfrac{\dfrac{x}{2} + 2}{2} - 3\right) & = 11 \\ \dfrac{x}{2} - \dfrac{\dfrac{x}{2} + 2}{2} & = 6 \\ \dfrac{x}{2} - 2 & = 12 \\ \dfrac{x}{2} & = 14 \\ x & = 28 \end{aligned}
Jadi, mula-mula terdapat 28 pena di toko alat tulis itu.
Cara kilat: [(11 - 3) \times 2 - 2] \times 2 = 28

[collapse]

Question Number 4
John wrote a 3-digit number on a piece of paper and asked Peter to guess it.
Peter asked: “Is the number 723?”
John replied: “One of the digits is correct. The position of that digit is also correct.”
Peter asked again: “Is the number 745?”
John replied: “One of the digits is correct. The position of that digit is wrong.”
Peter asked again: “Is the number 842?”
John said: “One of the digits is correct. The position of that digit is also correct.”
Given all the digits in that 3-digit number are all different. What is the number written by John?
John menuliskan bilangan 3-angka pada selembar kertas dan meminta Peter untuk menerkanya.
Peter bertanya: “Apakah bilangannya 723?”
John menjawab: “Salah satu angkanya benar, posisi angka tersebut juga benar.”
Peter bertanya lagi: “Apakah bilangannya 745?”
John menjawab: “Salah satu angkanya benar, namun posisi angkanya salah.”
Peter bertanya lagi: “Apakah bilangannya 842?”
John berkata: “Salah satu angkanya benar, posisi angkanya juga benar.”
Diketahui bahwa ketiga angka dalam bilangan tersebut berbeda-beda.
Berapakah bilangan yang ditulis oleh John?

Solution

Petunjuk (1) dan (2) menandakan bahwa 7 bukan angka penyusun bilangannya.
Petunjuk (1) dan (3) menandakan bahwa 2 bukan angka penyusun bilangannya.
Petunjuk (2) dan (3) menandakan bahwa 4 bukan angka penyusun bilangannya.
Petunjuk (2) menandakan bahwa 5 adalah salah satu angkaya, tetapi bukan di posisi satuan.
Petunjuk (1) menandakan bahwa 3 adalah salah satu angkanya dan menempati posisi satuan.
Petunjuk (3) menandakan bahwa 8 adalah salah satu digitnya dan menempati posisi ratusan.
Untuk itu, 5 adalah angka yang lain dan menempati posisi puluhan.
Jadi, bilangannya adalah 853.

[collapse]

Question Number 5
There are a total of 40 tigers and cranes in a zoo The animals have a total of 104 legs. How many tiger(s) is / are there?
Secara keseluruhan terdapat 40 harimau dan burung bangau di dalam kebun binatang. Semua binatangnya secara keseluruhan memiliki 104 kaki. Berapa banyak harimau di sana?

Solution

Cara kilat:
(104 - 40 \times 2) \div (4 - 2) = 12
Selain itu, soal di atas dapat juga diselesaikan dengan menggunakan aljabar.
Misalkan x, y berturut-turut menyatakan banyaknya harimau dan burung bangau, maka diperoleh 2 persamaan berikut.
(Harimau memiliki 4 kaki dan burung bangau memiliki 2 kaki)
\begin{aligned} \! \begin{aligned} x + y & = 40 \\ 4x + 2y & = 104 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 2x+2y & = 80 \\ 4x+2y & = 104 \end{aligned} \\ & \noindent\rule{2 cm}{0.6pt} - \\ & \! \begin{aligned} 2x & = 24 \\ x & = 12 \end{aligned} \end{aligned}
Jadi, banyak harimaunya ada 12 ekor.

[collapse]

Arithmetic

Question Number 6
Find the value of 2052\div 19+2052 \div 3-2052 \div 9
Carilah nilai dari 2052\div 19+2052 \div 3-2052 \div 9

Solution

Ubahlah bentuk a \div b menjadi a \times \dfrac{1}{b}, kemudian gunakan sifat distributif untuk mempermudah perhitungan.
\begin{aligned} & 2052\div 19+2052 \div 3-2052 \div 9 \\ & = 2052 \times \dfrac{1}{19} + 2052 \times \dfrac{1}{3} - 2052 \times \dfrac{1}{9} \\ & = 2052 \times \left(\dfrac{1}{19}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}\right) \\ & = 2052 \times \dfrac{9+57-19}{171} \\ & = 19 \times 47 \\ & = 893 \end{aligned}
Jadi, nilai dari 2052\div 19+2052 \div 3-2052 \div 9 adalah \boxed{893}

[collapse]

Question Number 7
Find the value of 13,131,313+8,080,808\times 4+11,111,111\times 5
Carilah nilai dari 13.131.313+8.080.808\times 4+11.111.111\times 5

Solution

Gunakan sifat distributif untuk mempermudah perhitungan.
\begin{aligned} & 13.131.313+8.080.808\times 4+11.111.111\times 5 \\ & = 13 \times 1.010.101 + 8 \times 1.010.101 \times 4 + 11 \\ & \times 1.010.101 \times 5 \\ & = 1.010.101 \times (13 + 32 + 55) \\ & = 1.010.101 \times 100 = 101.010.100 \end{aligned}

[collapse]

Question Number 8
Find the value of 1+2+3+\cdots+49+50+49+\cdots+3+2+1
Carilah nilai dari 1+2+3+\cdots+49+50+49+\cdots+3+2+1

Solution

Dengan menggunakan Metode Gauss, diperoleh
\begin{aligned} & 1+2+3+\cdots+49+50+49+\cdots+3+2+1 \\ & = 2 \times ((1+49) + (2+48) + \cdots + (24+26)+25) + 50 \\ & = 2 \times (\underbrace{50 + 50 + \cdots + 50}_{\text{ada}~24} + 25) + 50 \\ & = 2 \times (24 \times 50+25)+50 \\ & = 2 \times (1225) + 50 = 2500 \end{aligned}

[collapse]

Question Number 9
Find the value of
\begin{aligned} 10\times 10-9\times 9+ & 8\times 8-7\times 7+6\times 6-5\times 5+\\ & 4\times 4-3\times 3+2\times 2-1\times 1 \end{aligned}

Carilah nilai dari
\begin{aligned} 10\times 10-9\times 9+ & 8\times 8-7\times 7+6\times 6-5\times 5+\\ & 4\times 4-3\times 3+2\times 2-1\times 1 \end{aligned}

Solution

Gunakan rumus: a \times a - b \times b = (a + b) \times (a - b) untuk mempermudah perhitungan, sehingga bentuk soal dapat ditulis kembali menjadi berikut.
\begin{aligned} & (10 + 9) \times (10 - 9) + (8 + 7) \times (8 - 7) + (6 + 5) \times \\ & (6 - 5) + (4 + 3) \times (4 - 3) + (2 + 1) \times (2 - 1) \\ & = 19 + 15 + 11 + 7 + 3 = 55 \end{aligned}

[collapse]

Question Number 10
Find the value of 12,345,654,321\div 12,321
Carilah nilai dari 12.345.654.321\div 12.321

Solution

Perhitungan akan lebih mudah apabila mengetahui pola perkalian bilangan yang digit-digitnya 1.
\begin{aligned} & 12.345.654.321 \div 12.321 \\ & = 111.111 \times 111.111 \div (111 \times 111) \\ & = 1.001 \times \cancel{111} \times 1.001 \times \cancel{111} \div (\bcancel{111} \times \bcancel{111}) \\ & = 1.001 \times 1.001 = 1.002.001 \end{aligned}

[collapse]

Number Theory

Question Number 11
If 9-digit number \overline{20171221A} is divisible by 9, find the value of A.
Jika bilangan 9-angka \overline{20171221A} habis dibagi 9, carilah nilai dari A.

Solution

Bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit-digitnya juga habis dibagi 9. Perhatikan bahwa,
2 + 0 + 1 + 7 + 1 + 2 + 2 + 1 + A = 16 + A.
Ini berarti, nilai A = 2, karena 16 + 2 = 18 habis dibagi 9.

[collapse]

Question Number 12
Find the unit digit of A if:
A =⏟\underbrace{5\times 5\times 5 \cdots \times 5}_{2017's} \times \underbrace{6\times 6\times 6 \cdots \times 6}_{2017's}
Carilah angka satuan dari A jika:
A =⏟\underbrace{5\times 5\times 5 \cdots \times 5}_{\text{ada}~2017} \times \underbrace{6\times 6\times 6 \cdots \times 6}_{\text{ada}~2017}

Solution

Kelompokkan perkalian bilangannya seperti berikut.
(5 \times 6) \times (5 \times 6) \times \cdots \times (5 \times 6) sebanyak 2.017. Perhatikan bahwa 5 \times 6 = 30. Angka satuannya 0. Ini berarti, angka satuan A juga 0.

[collapse]

Question Number 13
Define the operation symbol a \otimes b= b\times b-a\times a. Find the value of (121 \otimes 131)
Didefinisikan simbol operasi a \otimes b= b\times b-a\times a. Carilah nilai dari (121 \otimes 131)

Solution

Gunakan rumus: b \times b - a \times a = (b + a) \times (b - a) untuk mempermudah perhitungan.
\begin{aligned} 121 \otimes 131 & = (121 + 131) \times (121 - 131) \\ & = 252 \times (-10) = -2.520 \end{aligned}
Jadi, hasil dari 121 \otimes 131 adalah \boxed{-2.520}

[collapse]

Question Number 14
The product of positive numbers A and B is 392. A is larger than B by 1 time. Find the value of A.
Hasil kali bilangan positif A dan B adalah 392. A lebih besar dari B satu kalinya. Carilah nilai A.

Solution

Diketahui A \times B = 392. Kalimat “A lebih besar dari B satu kalinya” berarti ditulis A = 2 \times B. Ini berarti,
\begin{aligned} A \times B & = 392 \\ 2 \times B \times B & = 392 \\ B^2 & = \dfrac{392}{2} = 196 \\ B & =\sqrt{196} = 14 \end{aligned}
Untuk B = 14, diperoleh A = 2 \times 14 = 28.
Jadi, nilai A adalah \boxed{28}.

[collapse]

Question Number 15
What is the greatest 3-digit number that can be divisible by 3 and 5?
Bilangan 3-digit terbesar apa yang habis dibagi 3 dan 5?

Solution

Bilangan habis dibagi 3 dan 5 berarti bilangan itu habis dibagi 3 \times 5 = 15. Bilangan 3-angka terbesar yang merupakan kelipatan 15 adalah 990. Jadi, bilangan yang dimaksud adalah \boxed{990}.

[collapse]

Geometry

Question Number 16
How many rectangle(s) is / are there in the figure below?
Berapa banyak persegi panjang yang terdapat pada gambar di bawah?

Solution

Gunakan tabel berikut untuk membantu menghitung banyaknya persegi panjang.
\begin{array}{|c|c|} \hline \rowcolor{green} \text{Banyak Susunan} & \text{Jumlah} \\ \hline 1 & 20 \\ 2 & 30 \\ 3 & 20 \\ 4 & 22 \\ 5 & 8 \\ 6 & 19 \\ 7 & 2 \\ 8 & 7 \\ 9 & 4 \\ 10 & 5 \\ 12 & 3 \\ 14 & 1 \\ 15 & 2 \\ 16 & 3 \\ 18 & 1 \\ \hline \rowcolor{green} \text{Total} & 147 \\ \hline \end{array}
atau dengan menggunakan cara kilat:
\begin{aligned} (1 + 2 + 3) &  \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) \\ & - 3 \times 7 =147 \end{aligned}
Jadi, ada 147 persegi panjang dalam gambar tersebut.

[collapse]

Question Number 17
Find the perimeter of the figure shown below in cm.
Tentukan keliling dari gambar di bawah dalam satuan cm.

Solution

Perhatikan gambar berikut.

Kelilingnya dapat dihitung sama seperti menghitung keliling persegi panjang dengan panjang 13 cm dan lebar 7 cm, ditambah 6 cm.
k = 2 \times (13 + 7) + 6 = 46~\text{cm}
Jadi, kelilingnya 46 cm.

[collapse]

Question Number 18
Find the area of the figure shown below in \text{cm}^2.
Tentukan luas dari gambar di bawah dalam satuan \text{cm}^2.

Solution

Perhatikan gambar berikut!

Luas daerah I = Luas daerah III = 2 \times 8 = 16~\text{cm}^2
Luas daerah II = 4 \times 2 = 8~\text{cm}^2
Jadi, luas totalnya adalah 16 + 16 + 8 = 40~\text{cm}^2

[collapse]

Question Number 19
A big square is formed by 36 small squares with side length 5 cm. What is the perimeter of the big square in cm?
Sebuah persegi besar dibentuk dari 36 persegi kecil dengan panjang sisi 5 cm. Berapakah keliling persegi besar dalam satuan cm?

Solution

Persegi besar itu tersusun dari 6 \times 6 persegi kecil yang panjang sisinya 5 cm.
Panjangnya sama dengan lebarnya, yaitu 6 \times 5 = 30~\text{cm}.
Jadi, kelilingnya adalah k = 4 \times s = 4 \times 30 = 120~\text{cm}

[collapse]

Question Number 20
How many right-angled triangle is / are there in the figure below?
Berapa banyak segitiga siku-siku yang terdapat dalam gambar di bawah?

Solution

Perhatikan gambar berikut!


Secara keseluruhan, ada 8 + 4 +  2 + 2 = 16 segitiga siku-siku pada gambar tersebut.

[collapse]

Combinatorics

Question Number 21
A flight of stairs has 7 steps. David can go up for 1 step or 2 steps each time. How many way(s) is / are there for David to go up the stairs?
Sebuah tangga mempunyai 7 anak tangga. David dapat naik 1 atau 2 anak tangga setiap kalinya. Berapa banyak cara untuk David menaiki tangga itu?

Solution

Perhatikan polanya.
1 anak tangga: (1)
2 anak tangga: (1, 1), (2)
3 anak tangga: (1, 1, 1), (1, 2), (2, 1)
4 anak tangga:
(1,1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1), (2,2)
Kita peroleh untuk 1, 2, 3, 4 anak tangga berturut-turut terdapat
1, 2, 3, 5 cara, yang membentuk barisan bilangan Fibonacci. Bila
dilanjutkan, diperoleh barisan bilangan:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
Bilangan ke-7 adalah 21.
Jadi, banyak cara yang dapat dilakukan David untuk menaiki tangga itu adalah 21 cara.

[collapse]

Question Number 22
Two boys Bobby, Benny and three girls Grace, Gloria, Gaile are to be seated in a row according to the rule that a boy will not sit next to another boy and a girl will not sit next to another girl. Find the number of the combination(s) satisfying the above condition.
Dua anak laki-laki, Bobby dan Benny, dan tiga anak perempuan, Grace, Gloria, dan Gaile, akan diberi tempat duduk dalam sebuah baris menurut aturan bahwa anak laki-laki tidak boleh duduk berdampingan dengan sesama anak laki-laki dan anak perempuan tidak boleh duduk berdampingan dengan sesama anak perempuan. Carilah jumlah kombinasi yang memenuhi syarat di atas.

Solution

Salah satu posisi yang sesuai dengan syarat yang diberikan adalah:
GRACE, BOBBY, GLORIA, BENNY, GAILE
berturut-turut menyatakan posisi pertama, kedua, dan seterusnya, sampai posisi kelima.
Grace, Gloria, Gaile dapat bertukar di posisinya masing-masing (ada 3 posisi), sehingga banyak kombinasi seluruhnya adalah 3 \times 2 \times 1 = 6.
Begitu juga Bobby dan Benny. Banyak kombinasinya ada 2 \times 1 = 2.
Total kombinasi = 6 + 2 = 8.

[collapse]

Question Number 23
Choose 2 digits, without repetition, from 1, 2, 4, 6, 7 to form 2-digit numbers. How many number(s) can be divisible by 3?
Pilihlah 2 angka, tanpa pengulangan, dari 1, 2, 4, 6, 7 untuk membentuk bilangan 2-angka. Berapa banyak bilangan yang habis dibagi 3?

Solution

Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit-digitnya juga habis dibagi 3.
Misalkan bilangan 2-angka itu ditulis dalam bentuk \overline{ab},
sehingga a + b habis dibagi 3.
Nilai yang mungkin untuk (a, b) adalah (1, 2), (2, 4), (2, 7) dan kebalikannya, yaitu (2, 1), (4, 2), (7, 2).
Jadi, ada 6 bilangan yang habis dibagi 3.

[collapse]

Question Number 24
How many 2-digit number(s) is / are there such that the number contains digit “6” and no digits are repeated?
Berapa banyak bilangan 2-angka yang mengandung angka “6” dan tidak ada angka yang berulang?

Solution

Bilangan 2-digit yang satuannya 6 adalah:
16, 26, 36, 46, 56, 76, 86, 96
Ada 8 bilangan. Ingat bahwa 66 tak termasuk karena angkanya berulang.
Bilangan 2-digit yang puluhannya 6 adalah:
60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69
Ada 9 bilangan.
Jadi, totalnya ada 17 bilangan.

[collapse]

Question Number 25
If Andy goes from point A to point B, each step can only move up or move right, how many way(s) is / are there?
Jika Andy bergerak dari titik A ke titik B, setiap langkah hanya dapat bergerak ke atas atau ke kanan, berapa banyak cara yang dapat ditempuh?

Solution

Gunakan sketsa berikut untuk menentukan banyak caranya.

Jadi, ada 20 cara untuk bergerak dari titik A ke titik B.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
KategoriSOAL OLIMPIADE, TIMOTag, , , , , , ,

15 Balasan untuk “Soal dan Pembahasan – TIMO 2017 Heat Round Primary 4 (Kelas 4)”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *