Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Mata Kuliah Trigonometri – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

[latexpage]       Berikut ini adalah soal ujian akhir semester beserta pembahasannya mata kuliah Trigonometri (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Romal Idjuddin, M.Pd pada tanggal 2 Juli 2018.

Soal Nomor 1a
Buktikan bahwa $\dfrac{1-\sin x} {\cos x} = \dfrac{1}{\sec x + \tan x}$

Penyelesaian

Pembuktian dari ruas kiri sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \dfrac{1-\sin x} {\cos x} & = \dfrac{1}{\cos x} – \dfrac{\sin x} {\cos x} \\ & = \sec x – \tan x \\ & = \sec x – \tan x \times \dfrac{\sec x + \tan x} {\sec x + \tan x} \\ & = \dfrac{\sec^2 x – \tan^2 x}{\sec x + \tan x} \end{aligned}$
Dengan menggunakan teorema trigonometri
$\boxed{\sec^2 x = 1 + \tan^2 x}$, 
didapat
$\dfrac{\sec^2 x – \tan^2 x} {\sec x + \tan x} = \dfrac{1}{\sec x + \tan x}$
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pembuktian Identitas Trigonometri

 Soal Nomor 1b 
Buktikan bahwa $\dfrac{\sin^3 x+\cos^3 x} {1-\sin x \cos x} = \sin x + \cos x$

Penyelesaian

Dengan mengamati kedua ruas pada persamaan tersebut, dapat diketahui bahwa $\sin^3 x + \cos^3 x$ harus difaktorkan menjadi $(1-\sin x \cos x) (\sin x + \cos x)$, dan akibatnya persamaan itu terbukti. 
Jika kita memeriksanya seperti berikut:
$\begin{aligned} & (1-\sin x \cos x) (\sin x + \cos x) \\ & = \sin x + \cos x – \sin^2 x \cos x – \sin x \cos^2 x \\ & = \sin x(1 – \cos^2 x) + \cos x(1 – \sin^2 x) \\ & = \sin x(\sin^2 x) + \cos x(\cos^2 x) \\ & = \sin^3 x + \cos^3 x \end{aligned}$
maka dugaan kita memang benar. 
Jadi, dapat ditulis
$[+preamble] \usepackage{cancel} [/preamble] \begin{aligned} \dfrac{\sin^3 x+ \cos^3 x} {1- \sin x \cos x} & = \dfrac{\cancel{(1-\sin x \cos x)}(\sin x + \cos x)} {\cancel{1-\sin x \cos x}} \\ & = \sin x + \cos x \end{aligned}$
Catatan: Pembuktian seperti ini kadang terasa sulit pada bagian penentuan langkah awalnya. Salah satu cara untuk meminimalisir hal ini adalah mengamati hubungan dan bentuk ekspresi trigonometri kedua ruas itu. Misalnya, pada contoh di atas, ekspresi pangkat 3 pada fungsi sinus dan cosinus sangat “mencurigakan” untuk difaktorkan agar dapat memperoleh bentuk di ruas kanannya.

[collapse]

Soal Nomor 2a
Tentukan nilai dari $\cos 165\degree$

Penyelesaian

$ \begin{aligned}  \cos 165\degree & = \cos (120 + 45)\degree \\ & = \cos 120\degree \cos 45\degree – \sin 120\degree \sin 45\degree \\ & = -\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}\sqrt{2} – \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = -\dfrac{1}{4}\sqrt{2}-\dfrac{1}{4}\sqrt{6}\\ & = -\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right) \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 2b
Tentukan nilai dari $\sec 165\degree$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \sec 165\degree & = \dfrac{1}{\cos 165\degree} \\ & = \dfrac{1}{-\dfrac{1}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{6})} \bigstar \\ & = \dfrac{4}{-\sqrt{2} – \sqrt{6}} \\ & = \dfrac{4}{-\sqrt{2} – \sqrt{6}} \times \dfrac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}} {-\sqrt{2}+\sqrt{6}} \\ & = \dfrac{4(-\sqrt{2}+\sqrt{6})} {2 – 6} \\ & = \sqrt{2} – \sqrt{6} \end{aligned}$
Catatan: $\bigstar$ Gunakan jawaban soal nomor 2a sebelumnya.

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan segitiga sembarang $ABC$ di dalam lingkaran dan sisi-sisinya tepat menyinggung lingkaran itu, dengan $b = 5~\text{satuan}, \alpha = 60\degree$, dan jari-jari lingkaran luarnya sebesar $5$ satuan. Tentukan nilai dari sudut dan sisi lain yang belum diketahui pada segitiga tersebut.

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.



Hubungan jari-jari lingkaran, sisi, dan sudut segitiga dinyatakan oleh
$2R = \dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c} {\sin \gamma}$
Diketahui: $R = b = 5, \alpha = 60\degree$
Dengan menggunakan hubungan tersebut, akan dicari nilai dari $a, c, \beta$, dan $\gamma$ sebagai berikut. 
Mencari nilai $a$:
$\begin{aligned} \dfrac{a} {\sin \alpha} & = 2R \\ \dfrac{a}{\sin 60\degree} & = 2(5) = 10 \\ a & = 10 \times \sin 60\degree \\ a & = 10 \times \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ a & = 5\sqrt{3} \end{aligned}$
Mencari nilai $\beta$:
$\begin{aligned} \dfrac{b}{\sin \beta} & = 2R \\ \dfrac{5}{\sin \beta} & = 2(5)=10 \\ \sin \beta & = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} \\ \beta & = 30\degree \end{aligned}$
($\beta$ tidak mungkin bernilai $150\degree$) 
Mencari nilai $\gamma$:
Dengan menggunakan konsep bahwa jumlah semua sudut dari suatu segitiga adalah $180\degree$, maka
$\begin{aligned} \gamma & = 180\degree – \alpha – \beta \\ & = (180-60-30)\degree = 90\degree \end{aligned}$
Mencari nilai $c$:
$\begin{aligned} \dfrac{c}{\sin c} & = 2R \\ \dfrac{c} {\sin 90\degree} & = 2(5) = 10 \\ c & = 10 \times \sin 90\degree = 10 \times 1 = 10\end{aligned}$
Catatan:
$\alpha, \beta, \gamma$ merupakan simbol huruf Yunani yang berturut-turut dibaca: alfa, beta, dan gamma.

[collapse]

CategoriesTrigonometri, UAS Mata KuliahTags,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *