Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Statistika Matematika TA 2017/2018 – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Berikut ini adalah soal ujian akhir semester beserta pembahasan mata kuliah Statistika Matematika (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 6 oleh Dr. Ahmad Yani T, M.Pd pada tanggal 4 Juli 2018.

Quote by H. Jackson Brown Jr.

The best preparation for tomorrow is doing your best today.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Statistika Matematika TA 2017/2018 Prodi Pend. Matematika FKIP Untan

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Statistika Matematika TA 2018/2019 Prodi Pend. Matematika FKIP Untan

Bagian Pertama

Soal Nomor 1
Diberikan definisi berikut.
Sebuah variabel acak dengan distribusi $t$ didefinisikan sebagai rasio dari variabel acak $Z \sim N(0,1)$ dibagi dengan akar dari hasil pembagian variabel acak $V \sim \chi^2(n-1)$ oleh derajat kebebasan $r = n-1$.
Secara matematis, dituliskan sebagai
$T = \dfrac{z}{\sqrt{\dfrac{v} {r}}} = \dfrac{z} {\sqrt{\dfrac{v}{n-1}}}$
Buktikan bahwa $T = \dfrac{\overline{x}- \mu}{\dfrac{S} {\sqrt{n}}} \sim t(n-1)$

Pembahasan

Dengan menggunakan teorema bahwa
1. $z = \dfrac{\overline{x}- \mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$
2. $v = \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
3. $z$ dan $v$ saling bebas (independen), 
maka diperoleh
$\begin{aligned} T & = \dfrac{z}{\sqrt{\dfrac{v}{n-1}}} = \dfrac{\dfrac{\overline{x}- \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{\dfrac{\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}{n-1}}} \\ & = \dfrac{\dfrac{\overline{x}- \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\sqrt{\dfrac{S^2}{\sigma^2}}} = \dfrac{\dfrac{\overline{x}- \mu}{\sigma / \sqrt{n}}}{\dfrac{S}{\sigma}} \\ &= \dfrac{\dfrac{\overline{x}- \mu}{\sqrt{n}}}{S}  = \dfrac{\overline{x}- \mu}{S/\sqrt{n}} \end{aligned}$

dengan
$\begin{aligned} \overline{x} & =~\text{mea}\text{n}~\text{sam}\text{pel} \\  \mu & =~\text{mea}\text{n}~\text{pop}\text{ulasi} \\ S & = \sqrt{\dfrac{1}{n-1} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i- \overline{x})^2} \\ & = \text{standar}~\text{deviasi} \end{aligned}$
dan dengan derajat kebebasan $r = n-1$.

[collapse]

Bagian Kedua

Soal Nomor 1
Terdapat $50$ bola dalam suatu kotak, $5$ bola di antaranya rusak. Apabila diambil $4$ bola, tentukan peluang dua di antaranya rusak.

Pembahasan

Gunakan pendekatan distribusi hipergeometrik dengan diketahui
$$\begin{aligned} & N = \text{Jumlah bola seluruhnya} = 50 \\ & n = \text{Jumlah bola yang diambil} = 4 \\ & k = \text{Jumlah bola yang rusak} = 5 \\ & x = \text{Jumlah bola rusak yang diinginkan} = 2 \end{aligned}$$Peluang dua bola di antaranya rusak dinyatakan oleh $P(X = 2)$, yaitu
$\begin{aligned} \displaystyle P(X = 2) & = \dfrac{\displaystyle \binom{5}{2} \binom{45}{2}} {\displaystyle \binom{50}{4}} \\ & = \dfrac{99}{2303} \approx 0,42987 \end{aligned}$
Jadi, peluang terambilnya $4$ bola di mana $2$ bola di antaranya rusak sebesar $0,42987$.
Catatan: Fungsi kepadatan peluang dari distribusi hipergeometrik dinyatakan oleh
$\displaystyle h(x; N, n, k) = \dfrac{\displaystyle \binom{k} {x} \binom{N- k} {n- x}} {\displaystyle \binom{N} {n}}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui variabel acak $X$ berdistribusi normal dengan $\mu = 6$ dan $\sigma = 3$. Tentukan fungsi densitasnya.

Pembahasan

Fungsi densitas/kepadatan peluang dari variabel acak $X$ yang distribusi normal diberikan oleh
$f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$
Untuk $\mu = 6$ dan $\sigma = 3$, didapat fungsi densitasnya, yaitu
$\boxed{f(x) = \dfrac{1}{3\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-6}{3}\right)^2}}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui variabel acak $Y$ berdistribusi eksponensial dengan parameter $\beta = 2$. Tentukan peluang bahwa $Y$ bernilai lebih dari $2$.

Pembahasan

Fungsi densitas dari $Y$ yang berdistribusi eksponensial dengan parameter $\beta = 2$ diberikan oleh
$f(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}e^{-\frac{y} {2}}, &~\text{jika}~y > 0 \\ 0, &~\text{jika}~y \leq 0 \end{cases}$
Selanjutnya akan dihitung $P(Y > 2)$ sebagai berikut (ingat bahwa fungsi densitas dari distribusi eksponensial menyebar secara kontinu, sehingga perhitungannya melibatkan integral).
$\begin{aligned} P(Y > 2) & = 1- P(Y \leq 2) \\ & = 1- \displaystyle \int_0^2 \dfrac{1}{2}e^{-\frac{y} {2}}~\text{d}y \\ & = 1- \dfrac{1}{2} \times (-2) \left[e^{-\frac{y} {2}}\right]_0^2 \\& = 1 + (e^{-1}- 1) \\ & = e^{-1} \approx 0,369 \end{aligned}$
Jadi, peluang bahwa $Y$ bernilai lebih dari 2 adalah $0,369$.
Catatan: $ \bigstar$ Fungsi densitas/kepadatan peluang dari distribusi eksponensial dengan parameter $\beta$ adalah $f(y) = \dfrac{1}{\beta}e^{-\frac{y} {\beta}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Apa arti dari $X \sim \chi^2(6)$? Tuliskan fungsi densitasnya.

Pembahasan

Arti dari $X \sim \chi^2(6)$ adalah variabel acak $X$ berdistribusi chi kuadrat dengan derajat kebebasan $6$. Fungsi kepadatan/densitas peluang dari distribusi chi kuadrat dengan derajat kebebasan $r$ dinyatakan oleh
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2^{\frac{r} {2}}\Gamma\left(\dfrac{r} {2}\right)}x^{\frac{r} {2}-1}e^{-\frac{x}{2}},  &~\text{jika}~x> 0 \\ 0, &~\text{jika}~x \leq 0 \end{cases}$
Untuk kasus ini, derajat kebebasan diketahui, yaitu $r = 6$, sehingga fungsi kepadatan peluangnya adalah
$$\begin{aligned} f(x) & = \begin{cases} \dfrac{1}{2^{\frac{6} {2}}\Gamma\left(\dfrac{6} {2}\right)}x^{\frac{6} {2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, &~\text{jika}~x > 0 \\ 0,&~\text{jika}~x \leq 0 \end{cases} \\ & = \begin{cases} \dfrac{1}{8.2!} x^2e^{-\frac{x}{2}}, &~\text{jika}~x > 0 \\ 0,&~\text{jika}~x \leq 0 \end{cases} \\ & = \begin{cases} \dfrac{1}{16}x^2e^{-\frac{x}{2}} &~\text{jika}~x > 0 \\ 0,&~\text{jika}~x \leq 0 \end{cases} \end{aligned}$$Catatan: Ingat salah satu sifat fungsi gamma berikut. $\Gamma(r) = (r-1)!$
Notasi $\Gamma$ dibaca: gamma.

[collapse]

Soal Nomor 5
Terdapat $1000$ mahasiswa yang memiliki tinggi rata-rata $174,5$ berdistribusi normal dengan simpangan baku $6,9$. Tentukan banyaknya mahasiswa yang diharapkan memiliki tinggi:
a) kurang dari $160$ cm
b) di antara $171,5$ cm dan $182$ cm
c) lebih dari atau sama dengan $188$ cm.

Pembahasan

Gunakan formula $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
Jawaban a)
Diberikan $x = 160$, berarti
$\begin{aligned} P(X < 160) & = P\left(Z < \dfrac{160-174,5}{6,9}\right) \\ & = P(Z <-2,1) \\ & = 0,5- P(Z < 2,1) \\ &= 0,5- 0,4821 = 0,0179 \end{aligned}$
Jadi, banyak mahasiswa yang diharapkan memiliki tinggi badan kurang dari $160$ cm adalah $1000 \times 0,0179 \approx 18$ orang.
Jawaban b)
Diberikan $x = 171,5$ dan $x = 182$, berarti
$$\begin{aligned} & P(171,5 < X < 182) \\ & = P\left(\dfrac{171,5-174,5}{6,9} < Z < \dfrac{182-174,5}{6,9}\right) \\ & = P(-0,43 < Z < 1,09) \\ & = P(Z < 0,43) + P(Z < 1,09) \\ & = 0,1664 + 0,3621 = 0,5285 \end{aligned}$$Jadi, banyak mahasiswa yang diharapkan memiliki tinggi badan di antara $171,5$ cm dan $182$ cm adalah $1000 \times 0,5285 \approx 529$ orang.
Jawaban c)
Diberikan $x = 188$, berarti
$\begin{aligned} P(X \geq 188) & = P\left(Z \geq \dfrac{188-174,5}{6,9}\right) \\ & = P(Z \geq 1,96) \\ &= 0,5- P(Z < 1,96) \\ & = 0,5- 0,475 = 0,025 \end{aligned}$
Jadi, banyak mahasiswa yang diharapkan memiliki tinggi badan lebih dari atau sama dengan $188$ cm adalah $1000 \times 0,025 \approx 25$ orang.
Catatan:
$\bigstar$ Karena distribusi normal merupakan salah satu tipe distribusi kontinu, maka tanda ketaksamaan $<$ dan $\leq$ (atau sebaliknya) dianggap sama (tidak memiliki pengaruh, tetapi untuk kasus distribusi diskrit, kedua tanda ini dibedakan).
$\bigstar \bigstar$ Tabel-z dapat dilihat pada bagian bawah postingan ini. 

[collapse]

Soal Nomor 6
Sebuah sampel acak berukuran $64$ yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan rataan $51,4$ dan simpangan baku $6,8$. Hitunglah peluang bahwa rataan sampel bernilai lebih dari $52,9$.

Pembahasan

Diberikan:
$\overline{x} = 51,4; S = 6,8; \mu = 51,4; n = 64$
Dari informasi tersebut, nilai $z$ hitung adalah
$\begin{aligned} Z & = \dfrac{\overline{x}- \mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}} = \dfrac{52,9-51,4}{\dfrac{6,8}{\sqrt{64}}} \\ &  = \dfrac{1,5}{0,85} = 1,76 \end{aligned}$
Dengan menggunakan pendekatan uji z, didapat peluang yang dimaksud sebagai berikut.
$$\begin{aligned} P(\overline{X} > 52,9) & = P(Z > 1,76) \\ & = 0,5- P(0 \leq Z \leq 1,76) \\ & = 0,5- 0,4608 && (\text{Lihat ta}\text{bel z}) \\ & = 0,0392 \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa rataan sampelnya akan bernilai lebih dari $52,9$ adalah $0,0392$.

[collapse]

Lampiran Tabel-z:

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *