Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Analisis Real 2 (Deret dan Uji Konvergensinya)

Berikut ini adalah 4 soal UAS Analisis Real II (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 9 Januari 2018 oleh Dr. Dede Suratman, M.Si. Materi yang diujikan mengenai deret dan uji konvergensinya. 
Download Soal (Docx/PDF)

Soal Nomor 1
Diketahui barisan $X = (x_n) $ dengan
$\x_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k$
Selidiki apakah barisan di atas konvergen? Tunjukkan.

Penyelesaian

Beberapa suku pertama dari barisan $X$ adalah sebagai berikut.
$\displaystyle x_1 = \sum_{k=1}^{1} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k = \dfrac{2}{3}$
$\displaystyle x_2 = \sum_{k=1}^{2} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9}$
$\displaystyle x_3 = \sum_{k=1}^{3} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{27}$
$\cdots$
Konvergensi barisan $X$ ditentukan oleh
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k= \sum_{k = 1}^{\infty} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k$
Gunakan rumus jumlah parsial deret geometri tak hingga
$S_{\infty} = \dfrac{a} {1 – r} $
Jadi, diperoleh
$2\left(\dfrac{\frac{1}{3}} {1 – \frac{1}{3}}\right)= 1$
Berarti, barisan $X$ konvergen ke 1.

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah!
a. $2 + 6 + 12 + 20 + \cdots + 2550$
b. $\displaystyle \sum_{n=1}^{2018} \dfrac{2018}{n(n+1)} $
c. $\displaystyle \sum_{n=1}^{50} (n-1)(n+1)$

Penyelesaian

Ingat!
$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{n=1}^{k} n = \dfrac{k(k+1)}{2} \\ &  \displaystyle \sum_{n=1}^{k} n^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} \end{aligned}}$
(Jawaban a)
$2 + 6 + 12 + 20 + \cdots + 2550 = 2(1 + 3 + 6 + 10 + \cdots + 1275)$
Ekspresi dalam kurung merupakan deret yang terbentuk dari barisan segitiga dengan rumus $u_n = \dfrac{1}{2}(n)(n+1)$, sehingga dapat ditulis

$\begin{aligned} 2(1 + 3 + 6 + 10 + \cdots + 1275) & = 2 \displaystyle \sum_{n=1}^{50} \dfrac{1}{2}(n)(n-1)} \\ & =  \sum_{n=1}^{50} (n^2 – n) \\ & =  \sum_{n=1}^{50} n^2 –  \sum_{n=1}^{50}  n \\ & = \dfrac{(50)(51)(101)}{6} – \dfrac{(50)(51)}{2} \\ & = 43.925 – 1.275 = 42650 \end{aligned}$
(Jawaban b)
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{2018} \dfrac{2018}{n(n+1)} & = 2018 \sum_{n=1}^{2018} \left(\dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{n} \right) \\ & = 2018\left(1 – \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} – \cdots – \dfrac{1}{2019}\right) \\ & = 2018\left(\dfrac{2018}{2019}\right) \end{aligned}$

(Jawaban c)
$ \begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{50} (n-1)(n+1) & = \displaystyle \sum_{n=1}^{50} (n^2 – 1) \\ & = \displaystyle \sum_{n=1}^{50} n^2 – \sum_{n=1}^{50} 1 \\ & = \dfrac{(50)(51)(101)}{6} – 50 = 42.875 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Misalkan didefinisikan $S = 1 + r + \dfrac{1}{2}r^2 + \dfrac{1}{3}r^3 + \dfrac{1}{4}r^4 + \cdots$

a) Ubah S menjadi bentuk notasi sigma.
b) Kapan S konvergen? Tentukan nilai limit $S$ jika ada.

Penyelesaian

(Jawaban a) $S = 1 + \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}r^n$
(Jawaban b) Dengan menggunakan uji banding (ratio test), yang redaksinya:
“misalkan $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = L$. Deret akan konvergen apabila $L < 1$ atau divergen apabila $L > 1$”. Sekarang, misalkan $u_n = \dfrac{1}{n}r^n$, sedangkan $u_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}r^{n+1}$, sehingga
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}  = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n+1}r^{n+1}}{\dfrac{1}{n}r^n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{nr}{n+1} = r$. Jadi, agar konvergen, maka $L = r < 1$.  Menentukan limitnya sebagai berikut
Ingat bahwa $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}$, dan perhatikan bahwa
$\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n}\right) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}$
Jadi,
$1 + \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n} = 1 + \displaystyle \int \dfrac{dx}{1-x} = 1 – \log (1 – x)$
Jadi, $S$ memiliki limit $\boxed{1 – \log (1 – x)}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Selidiki apakah deret berikut konvergen.
a. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{n^2 + n + 1}$
b. $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!}$ 

Penyelesaian

(Jawaban a) Kita akan menggunakan uji banding.
Misalkan $x_n =  \dfrac{3}{n^2 + n + 1}$ dan barisan lain yang konvergen yaitu $y_n  = \dfrac{3}{n^2}$. Karena pertidaksamaan
$0 \leq \dfrac{3}{n^2 + n + 1} \leq \dfrac{3}{n^2}$
berlaku untuk semua $n \in \mathbb{N}$ dan juga $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{n^2}$ konvergen, maka dengan menggunakan uji banding,  $\dfrac{3}{n^2 + n + 1}$ konvergen.
(Jawaban b) Kita akan menggunakan uji rasio.
Misalkan $x_n = \dfrac{2^n}{n!}$ dan $x_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}$
Berarti,
$\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^n}{n!}}$
$ = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} \times \dfrac{n!}{(n+1)!} = \dfrac{2}{n+1}$
Jelas bahwa
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{n+1} = 0 = L$
Karena $L < 1$, maka menurut Teorema Uji Rasio, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!}$ konvergen.

[collapse]

CategoriesAnalisis Real, UAS Mata KuliahTags, , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *