Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Analisis Real 2 (Deret dan Uji Konvergensinya)

Berikut ini adalah 4 soal UAS Analisis Real II (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 9 Januari 2018 oleh Dr. Dede Suratman, M.Si. Materi yang diujikan mengenai deret dan uji konvergensinya. 
Download Soal (Docx/PDF)

Soal Nomor 1
Diketahui barisan $X = (x_n) $ dengan
$$x_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k$$Apakah barisan di atas konvergen? Tunjukkan.

Pembahasan

Beberapa suku pertama dari barisan $X$ adalah sebagai berikut.
$\displaystyle x_1 = \sum_{k=1}^{1} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k = \dfrac{2}{3}$
$\displaystyle x_2 = \sum_{k=1}^{2} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9}$
$\displaystyle x_3 = \sum_{k=1}^{3} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{27}$
$\cdots$
Konvergensi barisan $X$ ditentukan oleh
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k= \sum_{k = 1}^{\infty} 2\left(\dfrac{1}{3}\right) ^k$
Gunakan rumus jumlah parsial deret geometri tak hingga $S_{\infty} = \dfrac{a} {1- r}$, sehingga kita peroleh $S_\infty = 2\left(\dfrac{\frac{1}{3}} {1- \frac{1}{3}}\right)= 1$. Berarti, barisan $X$ konvergen ke $1$.

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah hasil dari deret berikut.
a. $2 + 6 + 12 + 20 + \cdots + 2550$
b. $\displaystyle \sum_{n=1}^{2018} \dfrac{2018}{n(n+1)} $
c. $\displaystyle \sum_{n=1}^{50} (n-1)(n+1)$

Pembahasan

Ingat beberapa rumus notasi sigma berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{n=1}^{k} n = \dfrac{k(k+1)}{2} \\ &  \displaystyle \sum_{n=1}^{k} n^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} \end{aligned}}$$Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$2 + 6 + 12 + 20 + \cdots + 2550$ $= 2(1 + 3 + 6 + 10 + \cdots + 1275)$
Ekspresi dalam kurung merupakan deret yang terbentuk dari barisan segitiga dengan rumus $u_n = \dfrac{1}{2}(n)(n+1)$, sehingga dapat ditulis

$$\begin{aligned} 2(1 + 3 + 6 + 10 + \cdots + 1275) & = 2 \displaystyle \sum_{n=1}^{50} \dfrac{1}{2}(n)(n-1) \\ & =  \sum_{n=1}^{50} (n^2- n) \\ & =  \sum_{n=1}^{50} n^2-  \sum_{n=1}^{50}  n \\ & = \dfrac{(50)(51)(101)}{6}- \dfrac{(50)(51)}{2} \\ & = 43.925- 1.275 = 42650 \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{2018} \dfrac{2018}{n(n+1)} & = 2018 \sum_{n=1}^{2018} \left(\dfrac{1}{n}- \dfrac{1}{n} \right) \\ & = 2018\left(1- \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}- \cdots- \dfrac{1}{2019}\right) \\ & = 2018\left(\dfrac{2018}{2019}\right) \end{aligned}$$Jawaban c)
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{50} (n-1)(n+1) & = \displaystyle \sum_{n=1}^{50} (n^2- 1) \\ & = \displaystyle \sum_{n=1}^{50} n^2- \sum_{n=1}^{50} 1 \\ & = \dfrac{(50)(51)(101)}{6}- 50 \\ & = 42.875 \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 3
Misalkan didefinisikan $$\text{S} = 1 + r + \dfrac{1}{2}r^2 + \dfrac{1}{3}r^3 + \dfrac{1}{4}r^4 + \cdots$$a. Ubah $\text{S}$ menjadi bentuk notasi sigma.
b. Kapan $\text{S}$ konvergen?

Pembahasan

Jawaban a) $\text{S} = 1 + \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}r^n$.
Jawaban b) Gunakan teorema uji rasio, yang redaksinya:
Misalkan $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = L$. Deret akan konvergen apabila $L < 1$ atau divergen apabila $L > 1$.
Sekarang, misalkan $u_n = \dfrac{1}{n}r^n$, sedangkan $u_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}r^{n+1}$, sehingga

$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n+1}r^{n+1}}{\dfrac{1}{n}r^n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{nr}{n+1} \\ & = r \end{aligned}$$Jadi, agar konvergen, maka $L = r < 1$.
Untuk menentukan limitnya, pertama kali perlu diperhatikan bahwa $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}$ dan
$$\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n}\right) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}$$Jadi,
$$\begin{aligned} 1 + \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n} & = 1 + \displaystyle \int \dfrac{\text{d}x}{1-x} \\ & = 1- \log (1- x) \end{aligned}$$Jadi, $S$ memiliki limit $\boxed{1-\log (1- x)}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Selidiki apakah deret berikut konvergen.
a. $ \dfrac{3}{n^2 + n + 1}$
b. $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!}$ 

Pembahasan

Jawaban a)
Kita akan menggunakan uji banding.

Misalkan $x_n =  \dfrac{3}{n^2 + n + 1}$ dan barisan lain yang konvergen yaitu $y_n  = \dfrac{3}{n^2}$. Karena pertidaksamaan $0 \leq \dfrac{3}{n^2 + n + 1} \leq \dfrac{3}{n^2}$ berlaku untuk semua $n \in \mathbb{N}$ dan juga $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{n^2}$ konvergen, maka dengan menggunakan uji banding,  $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{n^2 + n + 1}$ konvergen.
Jawaban b)
Kita akan menggunakan uji rasio.

Misalkan $x_n = \dfrac{2^n}{n!}$ dan $x_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}$
Berarti,
$$\begin{aligned} \dfrac{x_{n+1}}{x_n} & = \dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^n}{n!}} \\ & = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} \times \dfrac{n!}{(n+1)!} \\ & = \dfrac{2}{n+1} \end{aligned}$$Jelas bahwa
$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{n+1} = 0 = L$$Karena $L < 1$, maka menurut Teorema Uji Rasio, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!}$ konvergen.

[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *