Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Geometri Analitik Datar

[latexpage]Berikut ini adalah 6 soal UAS Geometri Analitik Datar (TA 2017/2018) yang diujikan pada bulan Januari 2018 oleh Drs. Dian Ahmad B.S., M.Si.

Soal Nomor 1
Sisi-sisi segitiga dibentuk oleh garis $2x + 3y + 4 = 0, x – y + 3 = 0$, dan $5x + 4y = 20$. Carilah persamaan garis tinggi pada segitiga tersebut.

Penyelesaian



Ingat konsep garis tinggi pada segitiga: membentuk sudut siku-siku jika ditarik dari satu titik sudut ke sisi di depannya. Ada 3 garis tinggi yang dapat dibentuk pada segitiga.
(Garis tinggi pertama)
Titik potong garis $2x + 3y + 4 = 0$ dan $x – y + 3 = 0$ adalah $\left(-\dfrac{13}{5}, \dfrac{2}{5}\right)$. Persamaan garis tinggi yang melalui titik $\left(-\dfrac{13}{5}, \dfrac{2}{5}\right)$ dan tegak lurus garis $5x + 4y = 20$ (gradien garis ini adalah $m_1 = -\dfrac{5}{4}$, berarti gradien garis tingginya adalah $m = \dfrac{4}{5}$), yaitu
$y = \dfrac{4}{5}\left(x + \dfrac{13}{5}\right) + \dfrac{2}{5} \Rightarrow 25y – 20x = 62$
(Silakan cari dua garis tinggi lainnya)

[collapse]

Soal Nomor 2
Carilah persamaan keluarga garis yang perpotongannya dengan dua sumbu koordinat membentuk segitiga yang luasnya 17 satuan luas.



Penyelesaian

Misal titik potong garis terhadap sumbu $X$ adalah $(0, b)$ dan terhadap sumbu $Y$ adalah $(a, 0)$. Karena segitiga yang terbentuk memiliki luas sebesar 17, maka haruslah
$\dfrac{ab} {2} = 17 \Rightarrow a = \dfrac{34}{b}$
Persamaan garis yang melalui $(0,b)$ dan $(a, 0)$ adalah
$\begin{aligned} & bx + ay = ab \\ & bx + \dfrac{34}{b}y= \dfrac{34}{b}b \\ & b^2x + 34y = 34b \end{aligned}$
Jadi, persamaan keluarga garis yang dimaksud adalah $b^2x + 34y = 34b$ dengan syarat $b \neq 0$ (karena bila demikian, maka tidak akan terbentuk segitiga).

[collapse]

Soal Nomor 3
Carilah persamaan lingkaran yang menyinggung garis $x + 2y = 3$ di titik $(-1, 2)$ dan berpusat pada sumbu $Y$.

Penyelesaian

Garis $x + 2y = 3$ menyinggung lingkaran di titik $(-1,2)$, sehingga bila ditarik garis baru yang melewati titik pusat lingkaran dan memotong garis ini, maka akan terbentuk sudut siku-siku.
Gradien garis $x + 2y = 3$ adalah $m_1 = -\dfrac{1}{2}$.
Jadi, gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah $m = 2$
Persamaan garis yang bergradien $m = 2$ dan melewati titik $(-1, 2)$ adalah
$y = 2\left(x + 1\right) + 2 \Rightarrow -2x + y = 4$
Karena garis ini melewati titik pusat lingkaran dan pada soal diinformasikan bahwa titik pusat lingkaran berada pada sumbu $Y$, yang dapat diartikan koordinat titik pusat lingkaran adalah $(0, y_1)$, maka dapat ditulis,
$-2(0) + y_1 = 4 \Rightarrow y_1 = 4$
Diperoleh titik pusat lingkaran $(0,4)$.
Jarak titik pusat lingkaran ke titik $(-1,2)$ adalah jari-jari lingkaran $r$, yaitu
$r^2 = (0 + 1)^2 + (4 – 2)^2 = 5$
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
$\boxed{x^2 + (y – 4)^2 = 5}$



[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah persamaan lingkaran yang menyinggung garis $5x + y = 3$ di titik $(2, -7)$ dan berpusat pada garis $x – 2y = 19$

Penyelesaian

Garis $5x + y = 3$ menyinggung lingkaran di titik $(2,-7)$, sehingga bila ditarik garis baru yang melewati titik pusat lingkaran dan memotong garis ini, maka akan terbentuk sudut siku-siku.
Gradien garis $5x + y = 3$ adalah $m_1 = -5$.
Jadi, gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah $m = \dfrac{1}{5}$
Persamaan garis yang bergradien $m = \dfrac{1}{5}$ dan melewati titik $(2,-7)$ adalah
$y = \dfrac{1}{5}\left(x – 2\right) – 7 \Rightarrow -x + 5y = -37$
Garis ini dan garis $x – 2y = 19$ keduanya melewati titik pusat lingkaran, sehingga titik potong kedua garis ini adalah titik pusat lingkaran.
$\begin{cases} -x + 5y = -37 \\ x – 2y = 19 \end{cases}$
Selesaikan SPL ini, yaitu $x = 7$ dan $y = -6$.
Diperoleh titik pusat lingkaran $(7,-6)$
Jarak titik pusat lingkaran ke titik $(2, -7)$ adalah jari-jari lingkaran $r$, yaitu
$r^2 = (7 – 2)^2 + (-6 + 7)^2 = 26$
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
$\boxed{(x – 7)^2 + (y + 6)^2 = 26}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Carilah persamaan lingkaran yang melalui titik-titik $(0,3), (2, 4)$, dan $(1, 0)$

Penyelesaian

Misalkan persamaan lingkarannya berbentuk $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$, sehingga dengan menyulihkan nilai $x$ dan $y$ berturut-turut sebagai suatu pasangan berurut $(0,3), (2,4)$, dan $(1,0)$, diperoleh suatu sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
$\begin{cases} 0 + 3^2 + 0 + 3b + c = 0 \Rightarrow 3b + c = -9 \\ 2^2 + 4^2 + 2a + 4b + c = 0 \Rightarrow 2a + 4b + c = -16 \\ 1 + 0 + a + 0 + c = 0 \Rightarrow a + c = -1 \end{cases}$
Selesaikan SPLTV ini, sehingga nantinya diperoleh
$\begin{cases} a = -\dfrac{25}{7} \\ b = -\dfrac{27}{7} \\ c = \dfrac{18}{7} \end{cases}$
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
$x^2 + y^2 – \dfrac{25}{7}x – \dfrac{27}{7}y + \dfrac{18}{7} = 0$
atau disederhanakan menjadi
$\boxed{7x^2 + 7y^2 – 25x – 27y + 18 = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Carilah persamaan yang baru dari lingkaran $x^2 + y^2 – 2x – 6y + 4 = 0$ setelah titik asal $O(0, 0)$ dipindahkan ke titik $O'(2, 3)$.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & x^2 + y^2 – 2x – 6y + 4 = 0 \\ & (x – 1)^2 + (y – 3)^2 = 6 \end{aligned}$ 
merupakan persamaan lingkaran berpusat di $(1,3)$ dan berjari-jari $\sqrt{6}$.
Karena titik asal dipindahkan dari titik $(0,0)$ ke $(2,3)$, maka titik pusat lingkaran berubah menjadi
$(1-2, 3-3) = (-1,0)$
dengan jari-jari yang masih sama seperti semula. Jadi, persamaan lingkaran setelah titik asal dipindah adalah
$\boxed{(x + 1)^2 + y^2 = 6}$

[collapse]

CategoriesGeometri Analitik Datar, UAS Mata KuliahTags, , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *