Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Geometri Analitik Datar

Berikut ini adalah 6 soal UAS Geometri Analitik Datar (TA 2017/2018) yang diujikan pada bulan Januari 2018 oleh Drs. Dian Ahmad B.S., M.Si.

Soal Nomor 1
Sisi-sisi segitiga dibentuk oleh garis 2x + 3y + 4 = 0, x - y + 3 = 0, dan 5x + 4y = 20. Carilah persamaan garis tinggi pada segitiga tersebut.

Penyelesaian



Ingat konsep garis tinggi pada segitiga: membentuk sudut siku-siku jika ditarik dari satu titik sudut ke sisi di depannya. Ada 3 garis tinggi yang dapat dibentuk pada segitiga.
(Garis tinggi pertama)
Titik potong garis 2x + 3y + 4 = 0 dan x - y + 3 = 0 adalah \left(-\dfrac{13}{5}, \dfrac{2}{5}\right). Persamaan garis tinggi yang melalui titik \left(-\dfrac{13}{5}, \dfrac{2}{5}\right) dan tegak lurus garis 5x + 4y = 20 (gradien garis ini adalah m_1 = -\dfrac{5}{4}, berarti gradien garis tingginya adalah m = \dfrac{4}{5}), yaitu
y = \dfrac{4}{5}\left(x + \dfrac{13}{5}\right) + \dfrac{2}{5} \Rightarrow 25y - 20x = 62
(Silakan cari dua garis tinggi lainnya)

[collapse]

Soal Nomor 2
Carilah persamaan keluarga garis yang perpotongannya dengan dua sumbu koordinat membentuk segitiga yang luasnya 17 satuan luas.



Penyelesaian

Misal titik potong garis terhadap sumbu X adalah (0, b) dan terhadap sumbu Y adalah (a, 0). Karena segitiga yang terbentuk memiliki luas sebesar 17, maka haruslah
\dfrac{ab} {2} = 17 \Rightarrow a = \dfrac{34}{b}
Persamaan garis yang melalui (0,b) dan (a, 0) adalah
\begin{aligned} & bx + ay = ab \\ & bx + \dfrac{34}{b}y= \dfrac{34}{b}b \\ & b^2x + 34y = 34b \end{aligned}
Jadi, persamaan keluarga garis yang dimaksud adalah b^2x + 34y = 34b dengan syarat b \neq 0 (karena bila demikian, maka tidak akan terbentuk segitiga).

[collapse]

Soal Nomor 3
Carilah persamaan lingkaran yang menyinggung garis x + 2y = 3 di titik (-1, 2) dan berpusat pada sumbu Y.

Penyelesaian

Garis x + 2y = 3 menyinggung lingkaran di titik (-1,2), sehingga bila ditarik garis baru yang melewati titik pusat lingkaran dan memotong garis ini, maka akan terbentuk sudut siku-siku.
Gradien garis x + 2y = 3 adalah m_1 = -\dfrac{1}{2}.
Jadi, gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah m = 2
Persamaan garis yang bergradien m = 2 dan melewati titik (-1, 2) adalah
y = 2\left(x + 1\right) + 2 \Rightarrow -2x + y = 4
Karena garis ini melewati titik pusat lingkaran dan pada soal diinformasikan bahwa titik pusat lingkaran berada pada sumbu Y, yang dapat diartikan koordinat titik pusat lingkaran adalah (0, y_1), maka dapat ditulis,
-2(0) + y_1 = 4 \Rightarrow y_1 = 4
Diperoleh titik pusat lingkaran (0,4).
Jarak titik pusat lingkaran ke titik (-1,2) adalah jari-jari lingkaran r, yaitu
r^2 = (0 + 1)^2 + (4 - 2)^2 = 5
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
\boxed{x^2 + (y - 4)^2 = 5}

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah persamaan lingkaran yang menyinggung garis 5x + y = 3 di titik (2, -7) dan berpusat pada garis x - 2y = 19

Penyelesaian

Garis 5x + y = 3 menyinggung lingkaran di titik (2,-7), sehingga bila ditarik garis baru yang melewati titik pusat lingkaran dan memotong garis ini, maka akan terbentuk sudut siku-siku.
Gradien garis 5x + y = 3 adalah m_1 = -5.
Jadi, gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah m = \dfrac{1}{5}
Persamaan garis yang bergradien m = \dfrac{1}{5} dan melewati titik (2,-7) adalah
y = \dfrac{1}{5}\left(x - 2\right) - 7 \Rightarrow -x + 5y = -37
Garis ini dan garis x - 2y = 19 keduanya melewati titik pusat lingkaran, sehingga titik potong kedua garis ini adalah titik pusat lingkaran.
\begin{cases} -x + 5y = -37 \\ x - 2y = 19 \end{cases}
Selesaikan SPL ini, yaitu x = 7 dan y = -6.
Diperoleh titik pusat lingkaran (7,-6)
Jarak titik pusat lingkaran ke titik (2, -7) adalah jari-jari lingkaran r, yaitu
r^2 = (7 - 2)^2 + (-6 + 7)^2 = 26
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
\boxed{(x - 7)^2 + (y + 6)^2 = 26}

[collapse]

Soal Nomor 5
Carilah persamaan lingkaran yang melalui titik-titik (0,3), (2, 4), dan (1, 0)

Penyelesaian

Misalkan persamaan lingkarannya berbentuk x^2 + y^2 + ax + by + c = 0, sehingga dengan menyulihkan nilai x dan y berturut-turut sebagai suatu pasangan berurut (0,3), (2,4), dan (1,0), diperoleh suatu sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
\begin{cases} 0 + 3^2 + 0 + 3b + c = 0 \Rightarrow 3b + c = -9 \\ 2^2 + 4^2 + 2a + 4b + c = 0 \Rightarrow 2a + 4b + c = -16 \\ 1 + 0 + a + 0 + c = 0 \Rightarrow a + c = -1 \end{cases}
Selesaikan SPLTV ini, sehingga nantinya diperoleh
\begin{cases} a = -\dfrac{25}{7} \\ b = -\dfrac{27}{7} \\ c = \dfrac{18}{7} \end{cases}
Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
x^2 + y^2 - \dfrac{25}{7}x - \dfrac{27}{7}y + \dfrac{18}{7} = 0
atau disederhanakan menjadi
\boxed{7x^2 + 7y^2 - 25x - 27y + 18 = 0}

[collapse]

Soal Nomor 6
Carilah persamaan yang baru dari lingkaran x^2 + y^2 - 2x - 6y + 4 = 0 setelah titik asal O(0, 0) dipindahkan ke titik O'(2, 3).

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\begin{aligned} & x^2 + y^2 - 2x - 6y + 4 = 0 \\ & (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 6 \end{aligned} 
merupakan persamaan lingkaran berpusat di (1,3) dan berjari-jari \sqrt{6}.
Karena titik asal dipindahkan dari titik (0,0) ke (2,3), maka titik pusat lingkaran berubah menjadi
(1-2, 3-3) = (-1,0)
dengan jari-jari yang masih sama seperti semula. Jadi, persamaan lingkaran setelah titik asal dipindah adalah
\boxed{(x + 1)^2 + y^2 = 6}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *