Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Kalkulus Diferensial – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

[latexpage]      Berikut ini adalah soal ujian akhir semester beserta pembahasan mata kuliah Kalkulus Diferensial (Differential Calculus) (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semesteroleh Drs. Dian Ahmad B.S, M.Si pada tanggal 9 Juli 2018.

Soal Nomor 1
Hitunglah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^3+x-30}{x-3}$

Penyelesaian

Alternatif I: Menggunakan Metode Pemfaktoran
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^3+x-30}{x-3} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\cancel{(x-3)}(x^2+3x+10)}{\cancel{x – 3}} \\ & = \lim_{x \to 3} (x^2 + 3x + 10) \\ & = 3^2 + 3(3) + 10 = 28 \end{aligned}$
Alternatif II: Menggunakan Dalil L'Hospital
Karena substitusi titik limit $x = 3$ menghasilkan bentuk tak tentu (nol per nol), maka dalil L’Hospital berlaku.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^3+x-30}{x-3} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{3x^2+1}{1} \\ & = 3(3)^2 + 1 = 28 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\dfrac{2}{3} – \dfrac{2}{x}} {x-3}$.

Penyelesaian

Alternatif I: Menggunakan Metode Pemfaktoran
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\dfrac{2}{3} – \dfrac{2}{x}} {x-3} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{\dfrac{2x – 6}{3x}}{x-3} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2\cancel{(x-3)}}{3x\cancel{(x-3)}} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2}{3x} = \dfrac{2}{9} \end{aligned}$
Alternatif II: Menggunakan Dalil L’Hospital
Substitusi titik limitnya (ambil $x = 3$) menghasilkan bentuk tak tentu (nol per nol), sehingga berlaku dalil L’Hospital
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{\dfrac{2}{3} – \dfrac{2}{x}} {x-3} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{0 + \dfrac{2}{x^2}}{1 -0} \\ & = \dfrac{2}{3^2} = \dfrac{2}{9} \end{aligned}$
Jadi, nilai limitnya adalah $\dfrac{2}{9}$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah nilai dari $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{(4+h)^2+2(4+h) -24}{h}$

Penyelesaian

Alternatif I: Menggunakan Metode Pemfaktoran
Misalkan $x = 4 + h  \iff h = x – 4$, sehingga bentuk limitnya sekarang dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2+2x-24}{x-4} & = \lim_{x \to 4} \dfrac{\cancel{(x-4)}(x+6)}{\cancel{x-4}} \\ & = \lim_{x \to 4} (x + 6) \\ & = 4 + 6 = 10 \end{aligned}$
Alternatif II: Menggunakan Dalil L’Hospital
Substitusi titik limitnya (ambil $h = 0$) menghasilkan bentuk tak tentu (nol per nol), sehingga berlaku dalil L’Hospital

$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{(4+h)^2+2(4+h) -24}{h} & = \lim_{h \to 0} \dfrac{2(4+h)+2-0}{1} \\ & = 2(4+0)+2 = 10 \end{aligned}$
Jadi, nilai limitnya adalah $10$.

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 5x}{\sin 6x}$

Penyelesaian

Alternatif I: Menggunakan Teorema Limit Trigonometri
Gunakan teorema limit trigonometri berikut. 
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b}}$
sehingga
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 5x}{\sin 6x} = 2 \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{3}$
Alternatif II: Menggunakan Dalil L’Hospital
Substitusi titik limitnya (ambil $x = 0$) menghasilkan bentuk tak tentu (nol per nol), sehingga berlaku dalil L’Hospital
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 5x}{\sin 6x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{10 \cos 5x} {6 \cos 6x} \\ & = \dfrac{10 \cos 0}{6 \cos 0} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai limitnya adalah $\dfrac{5}{3}$. 
Catatan: Ingat bahwa jika $f(x) = \sin ax$, maka turunan pertamanya adalah $f'(x) = a \cos ax$.

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika $f(x) = 3x^2-4x$, carilah $f'(x)$ dengan memakai definisi.

Penyelesaian

Diberikan $f(x) = 3x^2-4x$ dan ini berarti $f(x+h) = 3(x+h)^2-4(x+h)$. 
Berdasarkan definisi turunan, kita kemudian dapatkan
$\begin{aligned} f'(x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) -f(x)} {h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{3(x+h)^2-4(x+h) – (3x^2-4x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{3x^2} + 6hx + 3h^2 \bcancel{- 4x} – 4h \cancel{ – 3x^2}+\bcancel{4x}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{6hx + 3h^2 – 4h} {h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(6x + 3h + 4)} {\cancel{h}} \\ & = 6x + 3(0) + 4 \\ & = 6x + 4 \end{aligned}$
Jadi, $f'(x) = 6x + 4$.

[collapse]

Soal Nomor 6
Gambarkan grafik fungsi $f$ dengan $f(x) = \begin{cases} 8 – x,~\text{jika}~x \geq 3 \\ 2x – 1, ~\text{jika}~x < 3 \end{cases}$
Tentukan nilai-nilai di bawah ini:
i)  $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$
ii) $f(1)$
iii) $f(3)$
iv) $\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x)$
v) Apakah $f$ kontinu di $3$? Jelaskan.

Penyelesaian


Jawaban i) 
Karena $\dfrac{1}{2} < 3$, maka rumus fungsi yang digunakan adalah $f(x) = 2x – 1$, yaitu $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2\left(\dfrac{1}{2}\right) – 1 = 0$
Jawaban ii) 
Karena $1 < 3$, maka rumus fungsi yang digunakan adalah $f(x) = 2x – 1$, yaitu $f\left(1\right) = 2\left(1 \right) – 1 = 1$
Jawaban iii) 
Karena $3 \geq 3$, maka rumus fungsi yang digunakan adalah $f(x) = 8-x$, yaitu $f\left(3 \right) = 2\left(3 \right) – 1 = 5$
Jawaban iv) 
$\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3} (2x – 1) = 2(3) – 1 = 5$
Jawaban v) 
Agar $f$ kontinu di $3$, haruslah $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$.
Perhatikan bahwa, $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (8 – x) = 8 -3 = 5$, sedangkan $f(3) = 8 – 3 = 5$, sehingga $f$ kontinu di titik tersebut.
Secara geometris, grafik tidak terputus di $x = 3$ (lihat gambar).

[collapse]

Soal Nomor 7
Carilah titik potong sumbu $X$ dengan garis yang menyinggung kurva $y = (x^2+1)^{-2}$ di titik $\left(1,\dfrac{1}{4}\right)$.

Penyelesaian

Gradien garis yang menyinggung $y$ sama dengan nilai $f'(1)$ (turunan pertama $y = f(x)$ saat $x = 1$). 
Untuk itu, akan dicari terlebih dahulu $f'(1)$ sebagai berikut dengan $f(x) = (x^2+1)^{-2}$. 
Dengan menggunakan Aturan Rantai, diperoleh
$f'(x) = -2(x^2+1)^{-3}(2x) = -4x(x^2+1)^{-3}$
sehingga
$m = f'(1) = -4(1)(1+1)^{-3} = -4(2)^{-3} = -\dfrac{4}{8} = -\dfrac{1}{2}$
Ordinat titik singgung garis terhadap kurva $y$ adalah $\dfrac{1}{4}$. 
Ini berarti, persamaan garis yang kita peroleh melalui titik $\left(1,\dfrac{1}{4}\right)$ dan bergradien $-\dfrac{1}{2}$, yang dinyatakan oleh
$\begin{aligned} & y = m(x – x_1) + y_1 = -\dfrac{1}{2}(x-1) + \dfrac{1}{4} \\ & 4y = -2(x-1) + 1 = -2x + 3 \end{aligned}$
Garis $4y = -2x + 3$ akan memiliki titik potong di sumbu $X$ di $x = \dfrac{3}{2}$. Ini dapat diketahui dengan mensubstitusikan $y = 0$ pada persamaan garis tersebut. Perhatikan gambar berikut sebagai representasi geometrisnya.




[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $y = \left(\dfrac{3x^2-2}{x+3}\right)^3$, carilah $\dfrac{\text{d}y}{\text{d} x}$.

Penyelesaian

Gunakan Aturan Rantai, kemudian Aturan Hasil Bagi dalam turunan. 
Perhatikan bahwa jika diberikan $f(x) = \left(\dfrac{u} {v}\right)^n$, maka 
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = f'(x) = n\left(\dfrac{u} {v}\right)^{n-1} \times \dfrac{u’v-uv’} {v^2}$
Misalkan $u = 3x^2-2$ dan $v = x + 3$, sehingga $u’ = 6x$ dan $v’ = 1$. 
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned}\dfrac{\text{d}y}{\text{d} x} & = f'(x) \\ & = 3\left(\dfrac{3x^2-2}{x+3}\right)^2 \times \dfrac{6x(x+3)-(3x^2-2)(1)} {(x+3)^2} \\ & = \dfrac{3(3x^2-2)^2}{(x+3)^2} \times \dfrac{3x^2+18x+2}{(x+3)^2} \\ & = \dfrac{3(x^2-2)^2(3x^2+18x+2)} {(x+3)^4} \end{aligned}$ 
Catatan: Notasi dengan bentuk seperti $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ dikenal sebagai notasi Leibniz, diambil dari nama Gottfried Wilhelm Leibniz. Sedangkan notasi $f'(x)$ dikenal sebagai notasi aksen, diperkenalkan oleh Joseph-Louis Lagrange. Kedua notasi ini memiliki makna yang sama.

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika $f(x) = \left(\dfrac{3x+1} {x^2+2} \right)^3$, hitunglah turunan fungsi $f$ pada $x = 3$ (pada arsip soal asli, terdapat kesalahan pengetikan).

Penyelesaian

Akan dicari nilai dari $f'(3)$, sehingga sebelumnya harus ditentukan terlebih dahulu turunan pertama $f$, yaitu $f'(x)$. 
Gunakan Aturan Rantai, kemudian Aturan Hasil Bagi dalam turunan. 
Perhatikan bahwa jika diberikan $f(x) = \left(\dfrac{u} {v}\right)^n$, maka 
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = f'(x) = n\left(\dfrac{u} {v}\right)^{n-1} \times \dfrac{u’v-uv’} {v^2}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} f'(x) & = 3\left(\dfrac{3x+1} {x^2+2} \right)^2 \times \dfrac{3(x^2+2)-(3x+1)(2x)} {(x^2+2)^2} \\ & = \dfrac{3(3x+1)^2(-3x^2-2x+6)}{(x^2+2)^4} \end{aligned}$
Untuk $x = 3$, kita dapatkan
$\begin{aligned} f'(3) & = \dfrac{3(3(3)+1)^2(-3(3)^2-2(3)+6)} {(3^2+2)^4} \\ & = \dfrac{3(100)(-27)} {14641} \\ & =-\dfrac{8100}{14641} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari turunan pertama $f$ di $x =3$ adalah $-\dfrac{8100}{14641}$.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesKalkulus Diferensial, UAS Mata KuliahTags, , , , , , , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *