Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Kalkulus Integral

Berikut ini adalah 5 soal UAS Kalkulus Integral (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 15 Januari 2018 oleh Drs. Ade Mirza, M.Pd. Materi yang diujikan mengenai perhitungan volume benda dengan integral, fungsi transenden dan turunannya, serta teknik integrasi tingkat lanjut.

Soal Nomor 1
Susunlah integral yang sesuai untuk menentukan volume benda yang terbentuk dengan menunjukkan sketsa jalur potongan dan hampirannya dari daerah R yang dibatasi oleh y = x^{-3}, x = 1, x = 3, dan y = 0 apabila diputar mengelilingi:
a) Sumbu Y
b) Garis y =-1

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah volume daerah yang terbentuk dan perlihatkan cara menentukannya pada daerah R yang dibatasi oleh kurva y = x^2, y = 2, dan x = 0 dan diputar mengelilingi y = 2 

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Buktikan bahwa \sec(\tan^{-1} x) = \sqrt{1 + x^2}
(Gunakan hubungan \sec^2\beta = 1 + \tan^2 \beta)

Penyelesaian

Berangkat dari identitas trigonometri berikut.
\sec^2 \beta = 1 + \tan^2 \beta
Substitusi \beta = \tan^{-1} x, diperoleh
\sec^2 (\tan^{-1} x) = 1 + \tan^2 (\tan^{-1} x)
Gunakan fakta bahwa \tan(\tan^{-1} x) = x untuk mendapatkan
\sec^2 (\tan^{-1} x) = 1 + x^2
\sec(\tan^{-1} x) = \sqrt{1+x^2}
(Terbukti)

[collapse]



Soal Nomor 4
Tentukan \dfrac{dy}{dx} dari y =7 \cos^{-1}\sqrt{2x}

Penyelesaian

Ingat!!
\boxed{\dfrac{d}{dx} (\cos^{-1} u) = -\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}}
(u adalah fungsi dalam x)
Dalam kasus ini,
u =\sqrt{2x} \Rightarrow u' = \dfrac{1}{\sqrt{2x}}
Jadi, untuk y = 7 \cos^{-1}\sqrt{2x}
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-7}{\sqrt{2x}\sqrt{1-2x}} = \boxed{-\dfrac{7}{\sqrt{2x -4x^2}}}

[collapse]

Soal Nomor 5
Selesaikan integral berikut.
a) \displaystyle \int \dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+9}}
b) \displaystyle \int \sqrt{x} \ln x~dx
c) \displaystyle \int \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} ~dx

Penyelesaian

(Jawaban a) Substitusi
u = \sqrt{x^2+9} \Leftrightarrow x^2 = u^2-9
sehingga diperoleh
du = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}~dx atau ditulis
dx = \dfrac{\sqrt{x^2+9}} {x}
Jadi, integralnya dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+9}} \times \dfrac{\sqrt{x^2+9}} {x} ~du & = \int \dfrac{1}{u^2-9}~du \\ & = \int \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} ~du \end{aligned}
Selanjutnya, gunakan teknik dekomposisi pecahan parsial. Tinjau integrannya.
\begin{aligned} \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} & = \dfrac{A}{u+3} + \dfrac{B} {u-3} \\ & = \dfrac{(A+B)u + (-3A+3B)}{(u+3)(u-3)} \end{aligned}
Diperoleh SPLDV
\begin{cases} A+B=0 \\ -3A+3B=1 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh A = - \dfrac{1}{6} dan B=\dfrac{1}{6}
Kembalikan pada integralnya.
\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} ~du & = \int \left(-\dfrac{1}{6(u+3)} + \dfrac{1}{6(u-3)}\right)~du \\ & = \dfrac{1}{6}(\ln (u-3) - \ln (u+3)) + C \\ & = \dfrac{1}{6} \times \ln \left(\dfrac{u-3}{u+3}\right) + C\end{aligned}
Substitusikan kembali u = \sqrt{x^2+9}, sehingga diperoleh
\boxed{\dfrac{\ln \left(\dfrac{\sqrt{x^2+9} - 3}{\sqrt{x^2+9} + 3}\right)}{6} + C}

(Jawaban b)
Gunakan teknik integrasi parsial
\boxed{\int uv' = uv - \int u'v}
Misal u = \ln x dan v' = \sqrt{x}, berarti u' = \dfrac{1}{x} dan v = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}
Jadi, diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} - \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \times \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} ~dx & = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} - \dfrac{2}{3} \displaystyle \int \sqrt{x}~dx \\ & = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} - \dfrac{4}{9}x^{\frac{3}{2}} + C \\ & = \boxed{\dfrac{2x^{\frac{3}{2}} (3 \ln x - 2)} {9} + C} \end{aligned}}

(Jawaban c) Gunakan metode dekomposisi pecahan parsial karena penyebutnya dapat difaktorkan. Tinjau integrannya.
\begin{aligned} \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} & = \dfrac{2x^2+x-4}{x(x-2)(x+1)} \\& = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-2} + \dfrac{C}{x+1} \\ & = \dfrac{A(x-2)(x+1) +Bx(x+1) + C(x)(x-2)}{x(x-2)(x+1)} \\ & = \dfrac{(A+B+C)x^2 + (-A+B-2C)x - 2A}{x(x-2)(x+1)} \end{aligned}
Bandingkan pembilangnya untuk memperoleh SPLTV berikut.
\begin{cases} A+B+C=2 \\ -A+B-2C = 1 \\-2A = -4 \end{cases}
Selesaikan sehingga diperoleh A = 2, B = 1, dan C = -1
Jadi, dapat ditulis
\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} ~dx & = \int \left(\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x-2} -\dfrac{1}{x+1}\right) ~dx \\ & = 2 \ln x + \ln (x - 2) -\ln (x +1) \\ &= \boxed{\ln \left(\dfrac{x^3-2x^2} {x+1}\right)} \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *