Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Kalkulus Integral

[latexpage]Berikut ini adalah 5 soal UAS Kalkulus Integral (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 15 Januari 2018 oleh Drs. Ade Mirza, M.Pd. Materi yang diujikan mengenai perhitungan volume benda dengan integral, fungsi transenden dan turunannya, serta teknik integrasi tingkat lanjut.

Soal Nomor 1
Susunlah integral yang sesuai untuk menentukan volume benda yang terbentuk dengan menunjukkan sketsa jalur potongan dan hampirannya dari daerah $R$ yang dibatasi oleh $y = x^{-3}, x = 1, x = 3$, dan $y = 0$ apabila diputar mengelilingi:
a) Sumbu $Y$
b) Garis $y =-1$

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah volume daerah yang terbentuk dan perlihatkan cara menentukannya pada daerah $R$ yang dibatasi oleh kurva $y = x^2, y = 2$, dan $x = 0$ dan diputar mengelilingi $y = 2$ 

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 3
Buktikan bahwa $\sec(\tan^{-1} x) = \sqrt{1 + x^2}$
(Gunakan hubungan $\sec^2\beta = 1 + \tan^2 \beta$)

Penyelesaian

Berangkat dari identitas trigonometri berikut.
$\sec^2 \beta = 1 + \tan^2 \beta$
Substitusi $\beta = \tan^{-1} x$, diperoleh
$\sec^2 (\tan^{-1} x) = 1 + \tan^2 (\tan^{-1} x)$
Gunakan fakta bahwa $\tan(\tan^{-1} x) = x$ untuk mendapatkan
$\sec^2 (\tan^{-1} x) = 1 + x^2$
$\sec(\tan^{-1} x) = \sqrt{1+x^2}$
(Terbukti)

[collapse]



Soal Nomor 4
Tentukan $\dfrac{dy}{dx}$ dari $y =7 \cos^{-1}\sqrt{2x}$

Penyelesaian

Ingat!!
$\boxed{\dfrac{d}{dx} (\cos^{-1} u) = -\dfrac{u’}{\sqrt{1-u^2}}}$
($u$ adalah fungsi dalam $x$)
Dalam kasus ini,
$u =\sqrt{2x} \Rightarrow u’ = \dfrac{1}{\sqrt{2x}}$
Jadi, untuk $y = 7 \cos^{-1}\sqrt{2x}$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-7}{\sqrt{2x}\sqrt{1-2x}} = \boxed{-\dfrac{7}{\sqrt{2x -4x^2}}} $

[collapse]

Soal Nomor 5
Selesaikan integral berikut.
a) $\displaystyle \int \dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+9}}$
b) $\displaystyle \int \sqrt{x} \ln x~dx$
c) $\displaystyle \int \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} ~dx$

Penyelesaian

(Jawaban a) Substitusi
$u = \sqrt{x^2+9} \Leftrightarrow x^2 = u^2-9$
sehingga diperoleh
$du = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}~dx$ atau ditulis
$dx = \dfrac{\sqrt{x^2+9}} {x}$
Jadi, integralnya dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+9}} \times \dfrac{\sqrt{x^2+9}} {x} ~du & = \int \dfrac{1}{u^2-9}~du \\ & = \int \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} ~du \end{aligned} $
Selanjutnya, gunakan teknik dekomposisi pecahan parsial. Tinjau integrannya.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} & = \dfrac{A}{u+3} + \dfrac{B} {u-3} \\ & = \dfrac{(A+B)u + (-3A+3B)}{(u+3)(u-3)} \end{aligned} $
Diperoleh SPLDV
$\begin{cases} A+B=0 \\ -3A+3B=1 \end{cases} $
Selesaikan sehingga diperoleh $A = – \dfrac{1}{6}$ dan $B=\dfrac{1}{6}$
Kembalikan pada integralnya.
$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{1}{(u+3)(u-3)} ~du & = \int \left(-\dfrac{1}{6(u+3)} + \dfrac{1}{6(u-3)}\right)~du \\ & = \dfrac{1}{6}(\ln (u-3) – \ln (u+3)) + C \\ & = \dfrac{1}{6} \times \ln \left(\dfrac{u-3}{u+3}\right) + C\end{aligned} $
Substitusikan kembali $u = \sqrt{x^2+9}$, sehingga diperoleh
$\boxed{\dfrac{\ln \left(\dfrac{\sqrt{x^2+9} – 3}{\sqrt{x^2+9} + 3}\right)}{6} + C} $

(Jawaban b)
Gunakan teknik integrasi parsial
$\boxed{\int uv’ = uv – \int u’v}$
Misal $u = \ln x$ dan $v’ = \sqrt{x}$, berarti $u’ = \dfrac{1}{x} $ dan $v = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$
Jadi, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} – \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \times \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} ~dx & = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} – \dfrac{2}{3} \displaystyle \int \sqrt{x}~dx \\ & = \dfrac{2x^{\frac{3}{2}} \ln x}{3} – \dfrac{4}{9}x^{\frac{3}{2}} + C \\ & = \boxed{\dfrac{2x^{\frac{3}{2}} (3 \ln x – 2)} {9} + C} \end{aligned}}$



(Jawaban c) Gunakan metode dekomposisi pecahan parsial karena penyebutnya dapat difaktorkan. Tinjau integrannya.
$\begin{aligned} \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} & = \dfrac{2x^2+x-4}{x(x-2)(x+1)} \\& = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-2} + \dfrac{C}{x+1} \\ & = \dfrac{A(x-2)(x+1) +Bx(x+1) + C(x)(x-2)}{x(x-2)(x+1)} \\ & = \dfrac{(A+B+C)x^2 + (-A+B-2C)x – 2A}{x(x-2)(x+1)} \end{aligned} $
Bandingkan pembilangnya untuk memperoleh SPLTV berikut.
$\begin{cases} A+B+C=2 \\ -A+B-2C = 1 \\-2A = -4 \end{cases}$
Selesaikan sehingga diperoleh $A = 2, B = 1$, dan $C = -1$
Jadi, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{2x^2+x-4}{x^3-x^2-2x} ~dx & = \int \left(\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x-2} -\dfrac{1}{x+1}\right) ~dx \\ & = 2 \ln x + \ln (x – 2) -\ln (x +1) \\ &= \boxed{\ln \left(\dfrac{x^3-2x^2} {x+1}\right)} \end{aligned} $

[collapse]

CategoriesKalkulus Integral, UAS Mata KuliahTags, , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *