Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Kalkulus Lanjut Versi 1

Fungsi $f(x, y) = z = (2x^2 + y^2)$ terdefinisi pada $\mathbb{R}^2$, dengan $(1, 1)$ sebagai titik limitnya. Kita akan tunjukkan bahwa:
$\boxed{\begin{aligned}\forall \epsilon > 0, & \exists \delta > 0 \ni 0 < ||(x, y)- (1, 1)|| \\ & < \delta \Rightarrow |f(x, y)- 3| < \epsilon \end{aligned} }$
atau
$$\boxed{\begin{aligned} \forall \epsilon > 0, & \exists \delta > 0 \ni 0 < \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} < \delta \\ &  \Rightarrow |2x^2 + y^2- 3| < \epsilon \end{aligned}}$$Analisis:
$$\begin{aligned} |2x^2 + y^2- 3| & = |2x^2- 2 + y^2- 1| \\ & = |2(x+1)(x-1) + (y+1)(y-1)| \\ & \leq 2|x+1||x-1| + |y+1||y-1| \end{aligned}$$Untuk ini, kita harus membatasi faktor $|x + 1|$ dan $|y + 1|$ oleh suatu konstanta real.
Misalkan $0 < \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} < \delta \leq 1 \bigstar$, maka berlaku
$$\begin{aligned} & 0 < |x- 1| <  \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} < \delta \leq 1 \\ & 0 < |y- 1| < \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} < \delta \leq 1 \end{aligned}$$Akibatnya,
$\begin{aligned} |x + 1| = |x- 1 + 2|  & \leq |x- 1| + 2 \\ & \leq 1 + 2 = 3 \end{aligned}$
$\begin{aligned} |y + 1| = |y- 1 + 2| & \leq |y- 1| + 2 \\ & \leq 1 + 2 = 3 \end{aligned}$
sehingga dari permisalan tersebut, diperoleh
$$\begin{aligned} & 2|x+1||x-1| + |y+1||y-1| \leq 6|x- 1| + 3|y- 1| \\ & \leq 6\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} + 3\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} \\ & = 9\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} < 9\delta \end{aligned}$$Dengan demikian, (langkah bukti):
Ambil sembarang $\epsilon > 0$, pilih $\delta = \min\left\{1, \dfrac{1}{6}\epsilon\right\}$, akibatnya jika $0 < \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} < \delta$, maka berlaku
$|2x^2 + y^2- 3| < \epsilon$
Jadi, terbukti bahwa $\displaystyle \lim_{(x, y) \to (1, 1)} (2x^2 + y^2) = 3$
Catatan $\bigstar$: Mengapa harus $1$? Untuk mempermudah pembuktian/perhitungan, ambil bilangan bulat positif terkecil, yaitu $1$ sebagai batas konstanta real yang dimaksud.

Klik sini untuk mengetahui representasi geometrik dan penjelasan yang lebih kompleks mengenai Steinmetz Solid (bangun ruang yang diperoleh dari pengirisan/perpotongan dua atau lebih silinder)

Batas integrasi diberikan oleh
$-3 \leq x \leq 3$
$-\sqrt{9- x^2} \leq z \leq \sqrt{9- x^2}$
Jadi, volume bisilinder yang terbentuk ditentukan oleh
$\begin{aligned} V & = \displaystyle \int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9- x^2}}^{\sqrt{9- x^2}} 2\sqrt{9- x^2}~\text{d}y~\text{d}x \bigstar \\ & = \int_{-3}^{3} \left[2\sqrt{9- x^2}y\right]_{-\sqrt{9- x^2}}^{\sqrt{9- x^2}}~\text{d}x \\ & = \int_{-3}^{3} \left(2(9- x^2) + 2(9- x^2)\right)~\text{d}x \\ & = \left[36x- \dfrac{4}{3}x^3\right]_{-3}^{3} \\ & = 144~\text{satuan volume} \end{aligned}$
Jadi, volume dari perpotongan dua silinder tersebut adalah $\boxed{144}$ satuan volume.
Catatan $\bigstar$: Angka $2$ pada integran didapat karena sifat kesimetrian.

Ingat bahwa dalam sistem koordinat tabung, $dV = \text{d}z~r~dr~d\theta$ (posisinya menyesuaikan integralnya)
Kita akan mengubah batas integralnya terlebih dahulu.
Integral ketiga memiliki batas yang tidak perlu diubah (untuk variabel $z$)
Integral kedua memiliki batas $0 < y < \sqrt{9- x^2} \Leftrightarrow 0 < x^2 + y^2 < 9$
Pertidaksamaan itu merupakan pertidaksamaan lingkaran dengan radius $3$, sehingga diperoleh
$0 \leq \theta \leq 2\pi$
$-3 \leq r \leq 3$
Jadi,
$\begin{aligned} \displaystyle & \int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9- x^2}} \int_{0}^{2} \sqrt{x^2 + y^2}~\text{d}z~\text{d}y~\text{d}x \\  & = \int_{-3}^{3} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^2~\text{d}z~d\theta~dr \\ & = \int_{-3}^{3} \int_{0}^{2\pi} 2r^2~d\theta~dr \\ & = \int_{-3}^{3} 4\pi r^2~dr \\ & = 72\pi \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{\displaystyle \int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9- x^2}} \int_{0}^{2} \sqrt{x^2 + y^2}~\text{d}z~\text{d}y~\text{d}x = 72\pi}$

Gunakan integral ganda dua (double integrals) dalam sistem koordinat polar. Persamaan umum bola yang berpusat di titik asal dan berjari-jari $r$ adalah $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$. Jika $z$ dijadikan subjek persamaan, diperoleh $z = \pm \sqrt{r^2- x^2- y^2}$. Dalam koordinat polar, ditulis $z = \pm \sqrt{r^2- R^2}$. Batas integral yang ditentukan oleh variabel $R$ dan $\theta$, yaitu
$0 \leq R \leq r$
$0 \leq \theta \leq 2\pi$
Karena bola bersifat simetris dengan bagian separuhnya, maka kita dapat menentukan volume bola dengan menghitung volume setengah bola dikali 2, yaitu
$\begin{aligned} V & = \displaystyle 2 \int_D \int \sqrt{r^2- R^2}~dA \\ & = 2 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} \sqrt{r^2- R^2}~R~dR~d\theta \\ & = 2 \int_{0}^{2\pi} \left[-\dfrac{1}{3}\left(r^2- R^2\right)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{r}~d\theta \\ & = \dfrac{2}{3} \int_{0}^{2\pi} r^3~d\theta \\ & = \dfrac{2}{3} \left[r^3\theta\right]_{0}^{2\pi} \\ & = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \end{aligned}$
(Terbukti)

Ingat!!
$\boxed{\dfrac{d}{\text{d}x} (\tan^{-1} u) = \dfrac{u’}{1 + u^2}}$
($u$ adalah fungsi terhadap variabel $x$)
Akan dicari turunan parsial pertama dari $f(x, y)$ terhadap variabel $x$ dan $y$.
(Turunan parsial pertama terhadap $x$)
Anggap $x$ sebagai variabel dan $y$ sebagai suatu konstanta.
$\dfrac{\partial}{\partial x}(\tan^{-1} (x^2 + y^2) = \boxed{\dfrac{2x}{1 + (x^2 + y^2)^2}}$
(Turunan parsial pertama terhadap $y$)
Anggap $y$ sebagai variabel dan $x$ sebagai suatu konstanta.
$\dfrac{\partial}{\partial y}(\tan^{-1} (x^2 + y^2) = \boxed{\dfrac{2y}{1 + (x^2 + y^2)^2}}$