Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Landasan Matematika/Mathematics Foundation

Soal UAS Landasan Matematika ini diambil dari Prodi Matematika FKIP Untan yang diujikan untuk mahasiswa semester 1.

Soal Nomor 1
Kalimat terbuka 2x + y = 11 mendefinisikan suatu relasi R pada W = \{1, 2, \cdots, 8\}. Tentukan
a) Domain R
b) Range R
c) Range R^{-1}

Penyelesaian

Domain R sama dengan himpunan W yaitu \{0, 1, \cdots, 8\}. Dengan menganggap y sebagai variabel terikat dan x sebagai variabel bebas pada persamaan 2x + y = 11, diperoleh bahwa untuk
x = 1 \Rightarrow y = 9 \notin W
x = 2 \Rightarrow y = 7 \in W
x = 3 \Rightarrow y = 5 \in W
x = 4 \Rightarrow y = 3 \in W
x = 5 \Rightarrow y = 1 \in W
x = 6 \Rightarrow y = -1 \notin W
x = 7 \Rightarrow y = -3 \notin W
x = 8 \Rightarrow y = -5\notin W
Dari sini, diperoleh range R adalah \{1, 3, 5, 7\}, sedangkan range R^{-1} (invers R) adalah \{2,3,4,5\}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tuliskan definisi fungsi bijektif dan injektif.

Penyelesaian

Definisi fungsi injektif:
Fungsi A \mapsto B dikatakan fungsi injektif jika dan hanya jika \forall x \in f(A), f^{-1}(x) merupakan himpunan tunggal (himpunan yang memuat satu anggota). Secara simbolik, ditulis
f : A \mapsto B_{\text{injektif}} \Leftrightarrow \forall x, y \in A, x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)
atau dengan kontraposisinya,
f : A \mapsto B_{\text{injektif}} \Leftrightarrow \forall x, y \in A, f(x) = f(y) \Rightarrow x = y
Definisi fungsi bijektif:
Suatu fungsi disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi tersebut adalah fungsi injektif sekaligus fungsi surjektif (dua-duanya harus terpenuhi).
(Sebagai tambahan):
Definisi fungsi surjektif:
Suatu fungsi f : A \mapsto B dikatakan fungsi surjektif jika dan hanya jika daerah hasil (range) sama dengan daerah kawan (kodomain). Secara simbolik, ditulis
f : A \mapsto B_{\text{surjektif}} \Leftrightarrow \forall y \in B, \exists x \in A \ni f(x) = y

[collapse]

Soal Nomor 3
Apakah invers fungsi merupakan suatu fungsi? Jika iya, buktikan.

Penyelesaian

Invers dari suatu fungsi belum tentu merupakan suatu fungsi kecuali fungsi itu bijektif. Misalkan diberikan fungsi f : A \mapsto B merupakan fungsi bijektif, maka untuk setiap b \in B, f^{-1}(b) akan terdiri dari unsur tunggal dalam A (memiliki pasangan tepat satu ke A yang merupakan kodomainnya) sehingga memenuhi definisi fungsi. Jika tidak bijektif, maka akan ada anggota B yang memiliki pasangan tidak tunggal.

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika R merupakan relasi ekuivalen, apakah R^{-1} juga merupakan relasi ekuivalen? Buktikan!

Penyelesaian

Karena R merupakan relasi ekuivalen, berlaku
R merupakan relasi refleksif, yaitu \forall a \in A, maka (a, a) \in R
R merupakan relasi simetri, yaitu \forall a,b \in A, jika (a, b) \in R, maka (b, a) \in R
R merupakan relasi transitif, yaitu \forall a, b, c \in A, jika (a, b) \in R dan (b, c) \in R, maka (a, c) \in R.
Untuk menunjukkan bahwa R^{-1} relasi yang ekuivalen, maka harus dibuktikan bahwa R^{-1} merupakan relasi refleksif, simetri, dan transitif (tiga-tiganya harus terpenuhi).
(Menunjukkan bahwa R^{-1} relasi refleksif) Diketahui bahwa untuk setiap a \in A berlaku (a, a) \in R. Berdasarkan definisi relasi invers, (a, a) \in R^{-1}, berarti R^{-1} merupakan relasi refleksif.
(Menunjukkan bahwa R^{-1} relasi simetri) Ambil sembarang a, b \in A dengan (a, b) \in R^{-1}. Akan ditunjukkan bahwa (b, a) \in R^{-1}. Perhatikan bahwa (a, b) \in R^{-1} ekuivalen dengan (b, a) \in R. Karena R simetri, maka berlaku (a, b) \in R, yang berarti (b, a) \in R^{-1}. Terbukti bahwa R^{-1} simetri.
(Menunjukkan bahwa R^{-1} relasi transitif) Ambil sembarang a, b, c \in A dengan (a, b) \in R^{-1} dan (b, c) \in R^{-1}. Akan ditunjukkan bahwa (a, c) \in R^{-1}
(a, b) \in R^{-1}, artinya (b, a) \in R
(b, c) \in R^{-1}, artinya (c, b) \in R
R transitif sehingga jika (c, b) \in R dan (b, a) \in R, maka berlaku (c, a) \in R. Berdasarkan definisi relasi invers, (c, a) \in R berarti (a, c) \in R^{-1}. Terbukti bahwa R^{-1} relasi transitif.
Karena R^{-1} merupakan relasi refleksif, simetri, dan transitif, maka R^{-1} merupakan relasi ekuivalen.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui fungsi f(x) = x^2. Apakah fungsi itu merupakan fungsi satu-satu (injektif)? Buktikan!

Penyelesaian

Suatu fungsi dikatakan fungsi injektif jika memenuhi
f(x) = f(y) \Rightarrow x = y, \forall x, y \in D_f
Perhatikan bahwa
f(x) = f(y) \Rightarrow x^2 = y^2 \Leftrightarrow x = \pm y
Karena tidak memenuhi definisi, maka fungsi f(x) = x^2 bukan fungsi injektif.

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika logika matematika atau teori himpunan merupakan mata kuliah penting, maka mahasiswa mempelajarinya.
Logika matematika dan kalkulus merupakan mata kuliah penting.
Oleh karena itu, mahasiswa mempelajarinya.
a) Tentukan bentuk simbolik dari pernyataan di atas.
b) Buat tabel kebenaran dan tentukan nilai kebenarannya.
c) Apakah pernyataan itu valid atau tidak? Buktikan.

Penyelesaian Belum Tersedia

Misalkan 
p = Logika matematika merupakan mata kuliah penting.
q = Teori himpunan merupakan mata kuliah penting.
r = Kalkulus merupakan mata kuliah penting.
s = Mahasiswa mempelajarinya.
Berarti, bentuk simbolik dari pernyataan-pernyataan di atas adalah
{[(p \lor q) \Rightarrow s] \land (p \land r)} \Rightarrow s</span>

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini
KategoriFungsi, Himpunan, UAS Mata KuliahTag, ,

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *