Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Struktur Aljabar (Teori Grup dan Ring)

Berikut ini adalah 4 soal UAS Struktur Aljabar (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 8 Januari 2018 oleh Dr. Yulis Jamiah, M.Pd. Materi yang diujikan mengenai homomorfisma grup, klasifikasi ring, subring, dan ideal.

Soal Nomor 1 (bobot skor 30)
Diberikan $P$ suatu ring yang didefinisikan sebagai
$P = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\c & d \end{bmatrix} | a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\} $
Tunjukkan apakah
i) $Q$ subring dari $P$,
ii) $Q$ ideal dari $P$,
jika $Q =\left\{ \begin{bmatrix} a & 0 \\c & 0 \end{bmatrix} | a, c \in \mathbb{R} \right\} $

Penyelesaian

(Menunjukkan bahwa $Q$ subring dari $P$)
Gunakan teorema subring yang mengatakan bahwa suatu $Q$ subring dari $P$ jika dan hanya jika untuk setiap $a, b \in Q$, berlaku $(a – b) \in Q$ dan $ab \in Q$.
Sekarang, ambil sembarang $A, B \in Q$, dengan
$A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}, a, c \in \mathbb{R}$
$B = \begin{pmatrix} e & 0 \\ g & 0 \end{pmatrix}, e, g \in \mathbb{R}$
Dengan demikian,
$A – B =  \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} e & 0 \\ g & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a – e & 0 \\ c – g & 0 \end{pmatrix} \in Q$
karena memenuhi sifat keanggotaan himpunan matriks $Q$.
$AB = \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} e & 0 \\ g & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae & 0 \\ ce & 0 \end{pmatrix} \in Q$
karena memenuhi sifat keanggotaan himpunan matriks $Q$.
Jadi, dengan menggunakan teorema tersebut, dapat disimpulkan bahwa $Q$ subring dari $P$
(Menunjukkan bahwa $Q$ bukan ideal dari $P$)
Berdasarkan definisi ideal, $Q$ ideal dari $P$ jika dan hanya jika memenuhi syarat berikut.
i) $(A – B) \in Q$
ii) $AC \in Q$ dan $CA \in Q$
dengan $A, B \in Q$ dan $C \in P$
Sebelumnya, kita telah menunjukkan syarat pertama pada bagian pembuktian subring. Sekarang, kita hanya perlu memeriksa apakah syarat kedua terpenuhi.
Ambil sembarang $A \in Q$ dan $C \in P$ dengan
$A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}, a, c \in \mathbb{R} $
$C = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}, e, f, g, h \in \mathbb{R}$
Perhatikan bahwa,
$AC = \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae & af \\ ce & cf \end{pmatrix} \notin Q$
karena tidak memenuhi sifat keanggotaannya.
$CA = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ea & 0 \\ ga & 0 \end{pmatrix} \in Q$
karena memenuhi sifat keanggotaannya. Meskipun demikian, $Q$ disebut ideal dari $P$ jika memenuhi kedua syarat tersebut. Karena kondisi ini tak terpenuhi, maka terbukti bahwa $Q$ bukanlah ideal dari $P$.

[collapse]

Soal Nomor 2 (bobot skor 10)
Tuliskan secara lengkap definisi dari ring pembagi (division ring).

Penyelesaian

Suatu ring $(R, \bigoplus, \bigotimes)$ disebut ring pembagi (division ring) jika dan hanya jika memenuhi syarat berikut 
i)  $(R, \bigoplus)$ membentuk grup abelian.
ii) $(R – \{0\}, \bigotimes)$ membentuk grup.
iii)Berlakunya sifat distributif $\bigotimes$ terhadap $\bigoplus$

[collapse]

Soal Nomor 3 (bobot skor 30)
Tentukan kebenaran pernyataan berikut. Jika benar, buktikanlah. Jika salah, berikan contoh penyangkal.
Diberikan $(\mathbb{R} ^+, \times) $ dan $(\mathbb{R}, +) $ adalah suatu grup. Suatu fungsi $\phi$ yang memetakan $\mathbb{R} ^+$ ke $\mathbb{R} $ didefinisikan sebagai $\phi(x) = \log x, \forall x \in \mathbb{R}$ merupakan isomorfisma.

Penyelesaian

Pernyataan tersebut benar. Berikut pembuktiannya. 
Akan ditunjukkan bahwa $\phi$ homomorfisma terlebih dahulu.
Ambil sembarang $x, y \in G$, sehingga
$\phi(x) = \log x$
$\phi(y) = \log y$
$\phi(x \times y) = \log xy = \log x + \log y = \phi(x) + \phi(y)$
Jadi, $\phi(x \times y) = \phi(x) + \phi(y)$
Berarti $\phi$ homomorfisma.
Sekarang, akan ditunjukkan bahwa $\phi$ injektif (monomorfisma).
Ambil sembarang $x, y \in G$
Jika $\phi(x) = \phi(y)$, maka $\log x = \log y \Leftrightarrow x = y$
Jadi, $\phi(x) = \phi(y) \Rightarrow x = y$
Berarti, $\phi$ injektif.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $\phi$ surjektif (epimorfisma).
Ambil sembarang $x’ \in G’$. pilih $x \in G$ sehingga $\phi(x) = x’$. Ambil $x = 10^{x’}$, maka $\phi(x) = ^{10}\log 10^{x’} = x’$
Jadi, $\forall x’ \in G’, \exists x \in G, x = 10^{x’} \ni \phi(x) = x’$
Ini berarti, $\phi$ surjektif.
Dapat disimpulkan bahwa $\phi$ merupakan isomorfisma (hormomorfisma yang bijektif).

[collapse]

Soal Nomor 4 (bobot skor 30)
Tentukan kebenaran masing-masing pernyataan berikut. Jika benar, buktikan. Jika salah, berikan contoh penyangkal.
a) Sembarang lapangan selalu merupakan daerah integral.
b) Sembarang daerah integral selalu merupakan lapangan.

Penyelesaian

Sembarang lapangan selalu merupakan daerah integral merupakan pernyataan yang benar. Berikut adalah pembuktiannya.
Misalkan $R$ adalah sembarang lapangan, yang berarti $R$ tanpa $0$ terhadap operasi keduanya membentuk grup abelian. Ambil $a,b \in R – \{0\}$. Andaikan $ab = 0$, maka jelas syarat grup abelian pada operasi kedua di $R$ tidak terpenuhi, sebab tidak memenuhi sifat tertutup. Dengan demikian, tidak ada $a \neq 0, b \neq 0$, sehingga berlaku $ab = 0$. Jadi, $R$ merupakan ring tanpa pembagi nol atau disebut sebagai daerah integral. (Terbukti)
Sembarang daerah integral pasti merupakan lapangan merupakan pernyataan yang salah. Berikut ini akan diuraikan contoh penyangkalnya.
Ambil $(R, +, \times)$ dengan $R = \{0\}$ yang merupakan suatu ring dan juga merupakan daerah integral karena tidak ditemukan anggota $R$ yang bukan nol, yang bila dioperasikan dengan operasi perkalian menghasilkan $0$. Struktur ini sendiri bukanlah suatu lapangan sebab tidak memenuhi syarat kedua, yaitu $(R – \{0\}, \times)$ membentuk grup. Padahal, $R – \{0\}$ sendiri adalah himpunan kosong sehingga tidak memenuhi definisi grup. Jadi, $(R, +, \times)$ adalah daerah integral yang bukan lapangan.

[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *