Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Struktur Aljabar (Grup dan Ring)


Berikut ini adalah 4 soal UAS Struktur Aljabar (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 8 Januari 2018 oleh Dr. Yulis Jamiah, M.Pd. Materi yang diujikan mengenai homomorfisma grup, klasifikasi ring, subring, dan ideal.

Soal Nomor 1 (bobot skor 30)
Diberikan P suatu ring yang didefinisikan sebagai
P = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\c & d \end{bmatrix} | a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\}
Tunjukkan apakah
i) Q subring dari P,
ii) Q ideal dari P,
jika Q =\left\{ \begin{bmatrix} a & 0 \\c & 0 \end{bmatrix} | a, c \in \mathbb{R} \right\}

Penyelesaian

(Menunjukkan bahwa Q subring dari P)
Gunakan teorema subring yang mengatakan bahwa suatu Q subring dari P jika dan hanya jika untuk setiap a, b \in Q, berlaku (a - b) \in Q dan ab \in Q.
Sekarang, ambil sembarang A, B \in Q, dengan
A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}, a, c \in \mathbb{R}
B = \begin{pmatrix} e & 0 \\ g & 0 \end{pmatrix}, e, g \in \mathbb{R}
Dengan demikian,
A - B =  \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} e & 0 \\ g & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - e & 0 \\ c - g & 0 \end{pmatrix} \in Q
karena memenuhi sifat keanggotaan himpunan matriks Q.
AB = \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} e & 0 \\ g & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae & 0 \\ ce & 0 \end{pmatrix} \in Q
karena memenuhi sifat keanggotaan himpunan matriks Q.
Jadi, dengan menggunakan teorema tersebut, dapat disimpulkan bahwa Q subring dari P
(Menunjukkan bahwa Q bukan ideal dari P)
Berdasarkan definisi ideal, Q ideal dari P jika dan hanya jika memenuhi syarat berikut.
i) (A - B) \in Q
ii) AC \in Q dan CA \in Q
dengan A, B \in Q dan C \in P
Sebelumnya, kita telah menunjukkan syarat pertama pada bagian pembuktian subring. Sekarang, kita hanya perlu memeriksa apakah syarat kedua terpenuhi.
Ambil sembarang A \in Q dan C \in P dengan
A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}, a, c \in \mathbb{R}
C = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}, e, f, g, h \in \mathbb{R}
Perhatikan bahwa,
AC = \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae & af \\ ce & cf \end{pmatrix} \notin Q
karena tidak memenuhi sifat keanggotaannya.
CA = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ea & 0 \\ ga & 0 \end{pmatrix} \in Q
karena memenuhi sifat keanggotaannya. Meskipun demikian, Q disebut ideal dari P jika memenuhi kedua syarat tersebut. Karena kondisi ini tak terpenuhi, maka terbukti bahwa Q bukanlah ideal dari P.

[collapse]

Soal Nomor 2 (bobot skor 10)
Tuliskan secara lengkap definisi dari ring pembagi (division ring).

Penyelesaian

Suatu ring (R, \bigoplus, \bigotimes) disebut ring pembagi (division ring) jika dan hanya jika memenuhi syarat berikut 
i)  (R, \bigoplus) membentuk grup abelian.
ii) (R - \{0\}, \bigotimes) membentuk grup.
iii)Berlakunya sifat distributif \bigotimes terhadap \bigoplus

[collapse]

Soal Nomor 3 (bobot skor 30)
Tentukan kebenaran pernyataan berikut. Jika benar, buktikanlah. Jika salah, berikan contoh penyangkal.
Diberikan (\mathbb{R} ^+, \times) dan (\mathbb{R}, +) adalah suatu grup. Suatu fungsi \phi yang memetakan \mathbb{R} ^+ ke \mathbb{R} didefinisikan sebagai \phi(x) = \log x, \forall x \in \mathbb{R} merupakan isomorfisma.

Penyelesaian

Pernyataan tersebut benar. Berikut pembuktiannya. 
Akan ditunjukkan bahwa \phi homomorfisma terlebih dahulu.
Ambil sembarang x, y \in G, sehingga
\phi(x) = \log x
\phi(y) = \log y
\phi(x \times y) = \log xy = \log x + \log y = \phi(x) + \phi(y)
Jadi, \phi(x \times y) = \phi(x) + \phi(y)
Berarti \phi homomorfisma.
Sekarang, akan ditunjukkan bahwa \phi injektif (monomorfisma).
Ambil sembarang x, y \in G
Jika \phi(x) = \phi(y), maka \log x = \log y \Leftrightarrow x = y
Jadi, \phi(x) = \phi(y) \Rightarrow x = y
Berarti, \phi injektif.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa \phi surjektif (epimorfisma).
Ambil sembarang x' \in G'. pilih x \in G sehingga \phi(x) = x'. Ambil x = 10^{x'}, maka \phi(x) = ^{10}\log 10^{x'} = x'
Jadi, \forall x' \in G', \exists x \in G, x = 10^{x'} \ni \phi(x) = x'
Ini berarti, \phi surjektif.
Dapat disimpulkan bahwa \phi merupakan isomorfisma (hormomorfisma yang bijektif).

[collapse]

Soal Nomor 4 (bobot skor 30)
Tentukan kebenaran masing-masing pernyataan berikut. Jika benar, buktikan. Jika salah, berikan contoh penyangkal.
a) Sembarang lapangan selalu merupakan daerah integral.
b) Sembarang daerah integral selalu merupakan lapangan.

Penyelesaian

Sembarang lapangan selalu merupakan daerah integral merupakan pernyataan yang benar. Berikut adalah pembuktiannya.
Misalkan R adalah sembarang lapangan, yang berarti R tanpa 0 terhadap operasi keduanya membentuk grup abelian. Ambil a,b \in R - \{0\}. Andaikan ab = 0, maka jelas syarat grup abelian pada operasi kedua di R tidak terpenuhi, sebab tidak memenuhi sifat tertutup. Dengan demikian, tidak ada a \neq 0, b \neq 0, sehingga berlaku ab = 0. Jadi, R merupakan ring tanpa pembagi nol atau disebut sebagai daerah integral. (Terbukti)
Sembarang daerah integral pasti merupakan lapangan merupakan pernyataan yang salah. Berikut ini akan diuraikan contoh penyangkalnya.
Ambil (R, +, \times) dengan R = \{0\} yang merupakan suatu ring dan juga merupakan daerah integral karena tidak ditemukan anggota R yang bukan nol, yang bila dioperasikan dengan operasi perkalian menghasilkan 0. Struktur ini sendiri bukanlah suatu lapangan sebab tidak memenuhi syarat kedua, yaitu (R - \{0\}, \times) membentuk grup. Padahal, R - \{0\} sendiri adalah himpunan kosong sehingga tidak memenuhi definisi grup. Jadi, (R, +, \times) adalah daerah integral yang bukan lapangan.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *