Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Teori Bilangan

Berikut ini adalah 6 soal Ujian Akhir Semester mata kuliah Teori Bilangan (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 10 Januari 2018 oleh Dr. Yulis Jamiah, M.Pd, salah satu dosen pendidikan matematika FKIP Universitas Tanjungpura.

Soal Nomor 1
Tentukan dan urutkan pasangan bilangan berikut dari yang memiliki FPB paling kecil dan paling besar.
a. $(247, 299)$
b. $(299, 4453)$

Pembahasan

Jawaban a)
Gunakan Algoritma Euclid untuk menentukan FPB dari $(247, 299)$. Perhatikan bahwa,

$$\begin{aligned} 299 & = 1 \times 247 + 52 \\ 247 & = 4 \times 52 + 39 \\ 52 & = 1 \times 39 + \color{blue}{13} \\ 39 & = 3 \times 13 + 0 \end{aligned}$$Jadi, $\text{FPB}(247,299) = 13$.
Jawaban b)
Dengan cara yang sama, kita peroleh

$$\begin{aligned} 4453 & = 14 \times 299 + 267 \\ 299 & = 1 \times 267 + 32 \\267 & = 8 \times 32 + 11 \\ 32 & = 2 \times 11 + 10 \\ 11 & = 1 \times 10 + 1 \\ 10 & = 10 \times 1 + 0 \end{aligned}$$Jadi,$\text{FPB}(299,4453) = 1$.
Dengan demikian, FPB paling besar adalah FPB dari $(247,299)$, sedangkan FPB paling kecil adalah FPB dari $(299,4543)$.

[collapse]

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Algoritma Euclid

Soal Nomor 2
Di antara pernyataan $91 \equiv 0~(\text{mod}~7)$ dan $-2 \equiv 2~(\text{mod}~8)$, manakah pernyataan yang benar? Jelaskan.

Pembahasan

Bentuk kongruensi $a \equiv b~(\text{mod}~c)$ memiliki makna bahwa terdapat bilangan bulat $k$ sehingga $ck + b = a$.
$91 \equiv 0~(\text{mod}~7)$ merupakan pernyataan yang benar karena akan ditemukan bilangan bulat $k = 13$, sedemikian sehingga $7k + 0 =91$.

Di lain persoalan, $-2 \equiv 2~(\text{mod}~8)$ merupakan pernyataan yang salah karena tidak ada bilangan bulat $k$ yang memenuhi persamaan $8k+2=-2$.

[collapse]

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Kongruensi Modulo

Soal Nomor 3
Diketahui 2 himpunan $P = \{100,-5, 9, 10, 4\}$ dan $Q = \{5, 11, 17, 23,-11\}$. Manakah yang merupakan suatu sistem residu lengkap modulo $5$? Jelaskan!

Pembahasan

Tinjau himpunan $P = \{100,-5, 9, 10, 4\}$.
$$\begin{aligned} 100 & \equiv 0~(\text{mod}~5) \\ -5 & \equiv 0~(\text{mod}~5) \\ 9 & \equiv 4~(\text{mod}~5) \\ 10 & \equiv 0~(\text{mod}~5) \\ 4 & \equiv 4~(\text{mod}~5) \end{aligned}$$Tinjau himpunan $Q = \{5, 11, 17, 23,-11\}$.
$$\begin{aligned} 5 & \equiv 0~(\text{mod}~5) \\ 11 & \equiv 1~(\text{mod}~5) \\ 17 & \equiv 2~(\text{mod}~5) \\ 23 & \equiv 3~(\text{mod}~5) \\ -11 & \equiv 4~(\text{mod}~5) \end{aligned}$$Dari sini, dapat disimpulkan bahwa $Q$ merupakan sistem residu lengkap modulo $5$.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui tiga pernyataan berikut.
a. Jika $12~|~p$, maka $3~|~p$.
b. Jika $2~|~p$, maka $8~|~p$.
c. Jika $15~|~p$, maka $3~|~p$.
Di antara tiga pernyataan di atas, manakah yang benar? Jelaskan.

Pembahasan

Jawaban a)
Pernyataan benar karena
$12~|~p \equiv 3 \cdot 4 | p \Leftrightarrow 3~|~p \lor 4~|~p$.
Jawaban b)
Pernyataan salah karena pembagi pada bagian hipotesis lebih kecil dari pembagi pada bagian kesimpulan ($2 < 8$). Pernyataan yang benar: Jika $8~|~p$, maka $2~|~p$.
Jawaban c)
Pernyataan benar karena
$15~|~p \equiv 3 \cdot 5~|~p \Leftrightarrow 3~|~p \lor 5~|~p$.

[collapse]

Soal Nomor 5
Benarkah jika $p \cdot c \equiv q \cdot c~(\text{mod}~m)$, maka $p \equiv q~ (\text{mod}~m)$?
Berikan jawaban selengkap mungkin. Jika ya, berikan buktinya. Jika tidak, berikan contoh penyangkal.

Pembahasan

Pernyataan tersebut salah. Akan diberikan contoh penyangkal sebagai berikut.
Misal diberikan $16 \times 5 \equiv 8 \times 5 (\text{mod 10})$, merupakan pernyataan yang benar karena ada bilangan bulat $k = 4$ sedemikian sehingga berlaku $16 \times 5- 8 \times 5 = k \times 10$. Di lain sisi, $16 \equiv 8 (\text{mod 10})$ merupakan pernyataan yang salah karena tidak ada bilangan bulat $k$ yang memenuhi $16- 8 = k \times 10$.

[collapse]

Soal Nomor 6
Benarkah pernyataan bahwa jika $a$ dan $b$ bilangan cacah dengan $b < a$, maka $a + (-b) = a- b$?
Berikan jawaban selengkap mungkin. Jika ya, berikan buktinya. Jika tidak, berikan contoh penyangkal.

Pembahasan

Pernyataan tersebut bernilai benar dan akan dibuktikan sebagai berikut.
Jika $b < a$, maka ada bilangan asli $k$ sedemikian sehingga $a = b + k$. Menurut definisi pengurangan bilangan cacah, $a = b + k$ jhj $a- b = k$. Jadi, dengan menggunakan sifat komutatif penjumlahan, asosiasitif penjumlahan, identitas, dan invers penjumlahan, diperoleh
$\begin{aligned} a + (-b) & = (b + k) + (-b) \\ & = (k + b) + (-b) \\ & = k + (b + (-b)) \\ & = k + 0 \\ & = k \\ &  = a- b \end{aligned}$
(Terbukti)

[collapse]

KategoriUAS Mata Kuliah, Teori BilanganTag, , , , ,

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *