Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Teori Bilangan

[latexpage]Berikut ini adalah 6 soal UAS Teori Bilangan (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 10 Januari 2018 oleh Dr. Yulis Jamiah, M.Pd (dosen pendidikan matematika FKIP Untan).

Soal Nomor 1
Tentukan dan urutkan pasangan bilangan berikut dari yang memiliki FPB paling kecil dan paling besar.
i) $(247, 299)$
ii) $(299, 4453)$

Penyelesaian

Gunakan algoritma pembagian untuk menentukan FPB dari $(247, 299)$. Perhatikan bahwa,
$299 = 1 \times 247 + 52$
$247 = 4 \times 52 + 39$
$52 = 1 \times 39 + 13$
$39 = 3 \times 13 + 0$
Berarti, $\text{FPB}(247,299) = 13$
Dengan prinsip yang sama,
$4453 = 14 \times 299 + 267$
$299 = 1 \times 267 + 32$
$267 = 8 \times 32 + 11$
$32 = 2 \times 11 + 10$
$11 = 1 \times 10 + 1$
$10 = 10 \times 1 + 0$
Berarti, $\text{FPB}(299,4453) = 1$
Jadi, FPB paling besar adalah FPB dari $(247,299)$, sedangkan FPB paling kecil adalah FPB dari $(299,4543)$

[collapse]

Soal Nomor 2
Di antara pernyataan $91 \equiv 0 (\text{mod}~7)$ dan $-2 \equiv 2  (\text{mod}~8)$, manakah pernyataan yang benar? Jelaskan.

Penyelesaian

$91 \equiv 0 (\text{mod 7})$ merupakan pernyataan yang benar karena akan ditemukan bilangan bulat $k = 13$, sedemikian sehingga $91 – 0 = k \times 7$
Di lain persoalan, $-2 \equiv 2 (\text{mod 8})$ merupakan pernyataan yang salah karena tidak ada bilangan bulat $k$ yang memenuhi persamaan $-2 – 2 = k \times 8$

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui 2 himpunan $P = \{100, -5, 9, 10, 4\}$ dan $Q = \{5, 11, 17, 23, -11\}$. Manakah yang merupakan suatu sistem residu lengkap modulo 5? Jelaskan!

Penyelesaian

Tinjau himpunan $P = \{100, -5, 9, 10, 4\}$
$100 = 0 (\text{mod 5})$
$-5 = 0 (\text{mod 5})$
$9 = 4 (\text{mod 5})$
$10 = 0 (\text{mod 5})$
$4 = 4 (\text{mod 5})$
Tinjau himpuan $Q = \{5, 11, 17, 23, -11\}$
$5 = 0 (\text{mod 5})$
$11 = 1 (\text{mod 5})$
$17 = 2 (\text{mod 5})$
$23 = 3 (\text{mod 5})$
$-11 = 4 (\text{mod 5})$
Dari sini, dapat disimpulkan bahwa $Q$ merupakan sistem residu lengkap modulo 5.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui 
a) Jika $12 | p$, maka $3 | p$
b) Jika $2 | p$, maka $8 | p$
c) Jika $15 | p$, maka $3 | p$
Di antara tiga pernyataan di atas, manakah yang benar? Jelaskan.

Penyelesaian

(Jawaban a) Pernyataan benar karena
$12 | p \equiv 3.4 | p \Leftrightarrow 3 | p \lor 4 | p$
(Jawaban b) Pernyataan salah karena pembagi pada bagian hipotesis lebih kecil dari pembagi pada bagian kesimpulan ($2 < 8$). Pernyataan yang benar: Jika $8 | p$, maka $2 | p$.
(Jawaban c) Pernyataan benar karena
$15 | p \equiv 3.5 | p \Leftrightarrow 3 | p \lor 5 | p$

[collapse]

Soal Nomor 5
Benarkah jika $p.c \equiv q.c (\text{mod}~m)$, maka $p \equiv q (\text{mod}~m)$?
Berikan jawaban selengkap mungkin. Jika ya, berikan buktinya. Jika tidak, berikan contoh penyangkal.

Penyelesaian

Pernyataan tersebut salah. Akan diberikan contoh penyangkal sebagai berikut.
Misal diberikan $16 \times 5 \equiv 8 \times 5 (\text{mod 10})$, merupakan pernyataan yang benar karena ada bilangan bulat $k = 4$ sedemikian sehingga berlaku $16 \times 5 – 8 \times 5 = k \times 10$. Tetapi, $16 \equiv 8 (\text{mod 10})$ merupakan pernyataan yang salah karena tidak ada bilangan bulat $k$ yang memenuhi $16 – 8 = k \times 10$.

[collapse]

Soal Nomor 6
Benarkah pernyataan “Jika $a$ dan $b$ bilangan cacah dengan $b < a$, maka $a + (-b) = a – b$”?
Berikan jawaban selengkap mungkin. Jika ya, berikan buktinya. Jika tidak, berikan contoh penyangkal.

Penyelesaian

Pernyataan tersebut bernilai benar. Buktinya sebagai berikut.
Jika $b < a$, maka ada bilangan asli $k$ sedemikian sehingga $a = b + k$. Menurut definisi pengurangan bilangan cacah, $a = b + k$ jhj $a – b = k$. Jadi, dengan menggunakan sifat komutatif penjumlahan, asosiasitif penjumlahan, identitas, dan invers penjumlahan, diperoleh
$\begin{aligned} a + (-b) & = (b + k) + (-b) \\ & = (k + b) + (-b) \\ & = k + (b + (-b)) \\ & = k + 0 \\ & = k \\ &  = a – b \end{aligned}$
(Terbukti)

[collapse]

CategoriesTeori Bilangan, UAS Mata KuliahTags, , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *