Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester (UTS) Kalkulus Diferensial Versi 2 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Titik potong fungsi pada sumbu-$X$ terjadi saat $f(x) = y = 0$, yaitu
$0 = 21x^2 + 22x-8 = (3x + 4)(7x – 2)$
Dengan demikian, titik potongnya adalah $\left(-\dfrac{4}{3}, 0\right)$ dan $\left(\dfrac{2}{7}, 0\right)$
Titik potong fungsi pada sumbu-$Y$ terjadi saat $x = 0$, yaitu
$f(x) = y = 21(0)^2 + 22(0) – 8 = -8$
Jadi, titik potongnya adalah $(0,-8)$.

Jawaban i)
Cara aljabar
$\begin{aligned} & \dfrac{2}{3x} < 4 \\ & \dfrac{2}{3x} – 4 < 0 \\ & \dfrac{2-12x} {3x} < 0 \end{aligned} $
Dua kemungkinan agar pertidaksamaan di atas bernilai benar adalah
1) $2 – 12x > 0$ dan $3x < 0$ atau
2) $2- 12x < 0$ dan $3x > 0$
Kemungkinan 1) menghasilkan $x < \dfrac{1}{6}$ dan $x < 0$. Hasil irisannya adalah $x < 0$.
Kemungkinan 2) menghasilkan $x > \dfrac{1}{6}$ dan $x > 0$. Hasil irisannya adalah $x > \dfrac{1}{6}$
Gabungan dari kedua himpunan penyelesaian masing-masing kemungkinan tersebut adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan sebelumnya, yaitu $\left\{x| x < 0 \lor x > \dfrac{1}{6}, x \in \mathbb{R}\right\}$
Cara garis bilangan
Perhatikan bahwa $\dfrac{2}{3x} < 4$ ekuivalen dengan $\dfrac{2-12x} {3x} < 0$. Pembuat nol pada pembilang adalah $x = \dfrac{1}{6}$, sedangkan pada penyebut adalah $x = 0$.
Ujilah dengan titik-titik lain, misal diambil $x = 1$, diperoleh $\dfrac{-10}{3}$ (bernilai negatif), sehingga dapat dibuat garis bilangan yang telah dilengkapi tanda kepositivan dan daerah penyelesaiannya sebagai berikut.

Jawaban ii)
Cara aljabar
$\begin{aligned} & \dfrac{-3}{2x} < \dfrac{1}{4} \\ & \dfrac{-6 – x}{4x} < 0 \end{aligned}$
Dua kemungkinan agar pertidaksamaan di atas bernilai benar adalah
1) $-6 – x > 0$ dan $4x < 0$ atau
2) $-6 – x < 0$ dan $4x > 0$
Kemungkinan 1) menghasilkan $x < -6$ dan $x < 0$. Hasil irisannya adalah $x < -6$.
Kemungkinan 2) menghasilkan $x > -6 $ dan $x > 0$. Hasil irisannya adalah $x > 0$.
Gabungan dari kedua himpunan penyelesaian masing-masing kemungkinan tersebut adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan sebelumnya, yaitu $\{x| x < -6 \lor x > 0, x \in \mathbb{R}\}$
Cara garis bilangan
Perhatikan bahwa $\dfrac{-3}{2x} < \dfrac{1}{4}$ ekuivalen dengan $\dfrac{-6 – x} {4x} < 0$
Pembuat nol pada pembilang adalah $x = -6$, sedangkan pada penyebut adalah $x = 0$
Ujilah dengan titik-titik lain, misal diambil $x = 1$, diperoleh $\dfrac{-7}{4}$ (bernilai negatif), sehingga dapat dibuat garis bilangan yang telah dilengkapi tanda kepositivan dan daerah penyelesaiannya sebagai berikut.

Jawaban i) Karena $x = \dfrac{1}{2} \leq 1$, maka $f(x) = \dfrac{1}{3}(x+2)$, sehingga $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} + 2\right) = \dfrac{5}{6}$
Jawaban ii) Karena $x = 1 \leq 1$, maka $f(x) = \dfrac{1}{3}(x+2)$, sehingga $f(1) = \dfrac{1}{3}(1+2) = 1$
Jawaban iii) Karena $x = 3 \geq 3$, maka $f(x) = 5 – x$, sehingga $f(3) = 5 – 3 = 2$
Jawaban iv) $\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{3}(x+2) = 1$
Jawaban v) $\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1} (x-2)^2 = 1$
Jawaban vi) $\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3} (x – 2)^2 = 1$
Jawaban vii) $\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3} (5 – x) = 2$
Catatan: Pada gambar, terlihat jelas bahwa grafik fungsi tidak kontinu di $x = 3$

Substitusi $x = 2$ pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Tetapi, dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{8-x^3}{x-2} & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-(x – 2)(x^2 + 2x + 4)}{x – 2} \\ & = \lim_{x \to 2} -(x^2 + 2x + 4) \\ & = -(2^2 + 2(2) + 4) = -12 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{8-x^3}{x-2}$ adalah -12.

Substitusi $x = 3$ pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Tetapi, dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2 – \dfrac{6}{x}}{x^2 – 9} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2\cancel{\left(1 – \dfrac{3}{x}\right)}}{x\cancel{\left(1 – \dfrac{3}{x}\right)}\left(x+3\right)} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2}{x(x+3)} \\ & = \dfrac{2}{3(3+3)} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}$

Substitusi $x = 0$ pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan teorema:
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b}$
diperoleh bahwa
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{\sin 7x} = \dfrac{6}{7}$
Alternatif lain untuk menyelesaikan soal ini (termasuk soal nomor 4 dan 5) adalah dengan menggunakan Dalil L’Hospital/turunan (dengan syarat substitusi titik limit menghasilkan bentuk tak tentu). Jadi, $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{\sin 7x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{6 \cos 6x} {7 \cos 7x} = \dfrac{6}{7}$