Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester (UTS) Kalkulus Diferensial Versi 2 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Kalkulus Diferensial (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M.Si pada tanggal 23 April 2018.
Naskah soal asli dapat dilihat di sini: BERKAS

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Kalkulus Diferensial Versi 1 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Today Quote

Pintar-pintarlah menjaga perasaanmu sendiri, sebab orang lain tak punya tanggung jawab untuk selalu menjaga perasaan itu.

Soal Nomor 1
Carilah titik-titik potong fungsi $f(x) = 21x^2 + 22x-8$ dengan sumbu X dan sumbu Y.

Penyelesaian

Titik potong fungsi pada sumbu-$X$ terjadi saat $f(x) = y = 0$, yaitu
$0 = 21x^2 + 22x-8 = (3x + 4)(7x – 2)$
Dengan demikian, titik potongnya adalah $\left(-\dfrac{4}{3}, 0\right)$ dan $\left(\dfrac{2}{7}, 0\right)$
Titik potong fungsi pada sumbu-$Y$ terjadi saat $x = 0$, yaitu
$f(x) = y = 21(0)^2 + 22(0) – 8 = -8$
Jadi, titik potongnya adalah $(0,-8)$.

[collapse]

Soal Nomor 2
Selesaikanlah dengan dua cara (aljabar dan garis bilangan)
i) $\dfrac{2}{3x} < 4$
ii) $\dfrac{-3}{2x} < \dfrac{1}{4}$

Penyelesaian

Jawaban i)
Cara aljabar
$\begin{aligned} & \dfrac{2}{3x} < 4 \\ & \dfrac{2}{3x} – 4 < 0 \\ & \dfrac{2-12x} {3x} < 0 \end{aligned} $
Dua kemungkinan agar pertidaksamaan di atas bernilai benar adalah
1) $2 – 12x > 0$ dan $3x < 0$ atau
2) $2- 12x < 0$ dan $3x > 0$

Kemungkinan 1) menghasilkan $x < \dfrac{1}{6}$ dan $x < 0$. Hasil irisannya adalah $x < 0$.
Kemungkinan 2) menghasilkan $x > \dfrac{1}{6}$ dan $x > 0$. Hasil irisannya adalah $x > \dfrac{1}{6}$

Gabungan dari kedua himpunan penyelesaian masing-masing kemungkinan tersebut adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan sebelumnya, yaitu $\left\{x| x < 0 \lor x > \dfrac{1}{6}, x \in \mathbb{R}\right\}$
Cara garis bilangan
Perhatikan bahwa $\dfrac{2}{3x} < 4$ ekuivalen dengan $\dfrac{2-12x} {3x} < 0$. Pembuat nol pada pembilang adalah $x = \dfrac{1}{6}$, sedangkan pada penyebut adalah $x = 0$.
Ujilah dengan titik-titik lain, misal diambil $x = 1$, diperoleh $\dfrac{-10}{3}$ (bernilai negatif), sehingga dapat dibuat garis bilangan yang telah dilengkapi tanda kepositivan dan daerah penyelesaiannya sebagai berikut.

Jawaban ii)
Cara aljabar
$\begin{aligned} & \dfrac{-3}{2x} < \dfrac{1}{4} \\ & \dfrac{-6 – x}{4x} < 0 \end{aligned}$
Dua kemungkinan agar pertidaksamaan di atas bernilai benar adalah
1) $-6 – x > 0$ dan $4x < 0$ atau
2) $-6 – x < 0$ dan $4x > 0$

Kemungkinan 1) menghasilkan $x < -6$ dan $x < 0$. Hasil irisannya adalah $x < -6$.
Kemungkinan 2) menghasilkan $x > -6 $ dan $x > 0$. Hasil irisannya adalah $x > 0$.
Gabungan dari kedua himpunan penyelesaian masing-masing kemungkinan tersebut adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan sebelumnya, yaitu $\{x| x < -6 \lor x > 0, x \in \mathbb{R}\}$

Cara garis bilangan
Perhatikan bahwa $\dfrac{-3}{2x} < \dfrac{1}{4}$ ekuivalen dengan $\dfrac{-6 – x} {4x} < 0$
Pembuat nol pada pembilang adalah $x = -6$, sedangkan pada penyebut adalah $x = 0$
Ujilah dengan titik-titik lain, misal diambil $x = 1$, diperoleh $\dfrac{-7}{4}$ (bernilai negatif), sehingga dapat dibuat garis bilangan yang telah dilengkapi tanda kepositivan dan daerah penyelesaiannya sebagai berikut.






[collapse]

Soal Nomor 3
Gambarkan grafik fungsi $f$ dengan $f(x) = \begin{cases} 5-x, &~ \text{jika}~x \geq 3 \\ (x-2)^2, &~\text{jika}~1 < x < 3 \\ \dfrac{1}{3}(x+2), &~\text{jika}~x \leq 1 \end{cases}$

Tentukanlah nilai-nilai di bawah ini:
i) $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$
ii) $f(1)$
iii) $f(3)$
iv) $\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} f(x)$
v) $\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} f(x)$
vi) $\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x)$
vii) $\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}} f(x)$

Penyelesaian


Jawaban i) Karena $x = \dfrac{1}{2} \leq 1$, maka $f(x) = \dfrac{1}{3}(x+2)$, sehingga $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} + 2\right) = \dfrac{5}{6}$
Jawaban ii) Karena $x = 1 \leq 1$, maka $f(x) = \dfrac{1}{3}(x+2)$, sehingga $f(1) = \dfrac{1}{3}(1+2) = 1$
Jawaban iii) Karena $x = 3 \geq 3$, maka $f(x) = 5 – x$, sehingga $f(3) = 5 – 3 = 2$
Jawaban iv) $\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{3}(x+2) = 1$
Jawaban v) $\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1} (x-2)^2 = 1$
Jawaban vi) $\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3} (x – 2)^2 = 1$
Jawaban vii) $\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3} (5 – x) = 2$
Catatan: Pada gambar, terlihat jelas bahwa grafik fungsi tidak kontinu di $x = 3$

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{8-x^3}{x-2}$

Penyelesaian

Substitusi $x = 2$ pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Tetapi, dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{8-x^3}{x-2} & = \lim_{x \to 2} \dfrac{-(x – 2)(x^2 + 2x + 4)}{x – 2} \\ & = \lim_{x \to 2} -(x^2 + 2x + 4) \\ & = -(2^2 + 2(2) + 4) = -12 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{8-x^3}{x-2}$ adalah -12.

[collapse]

Soal Nomor 5
Hitunglah $\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2 – \dfrac{6}{x}}{x^2 – 9}$

Penyelesaian

Substitusi $x = 3$ pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Tetapi, dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh $\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{2 – \dfrac{6}{x}}{x^2 – 9} & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2\cancel{\left(1 – \dfrac{3}{x}\right)}}{x\cancel{\left(1 – \dfrac{3}{x}\right)}\left(x+3\right)} \\ & = \lim_{x \to 3} \dfrac{2}{x(x+3)} \\ & = \dfrac{2}{3(3+3)} = \dfrac{1}{9} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Hitunglah $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{\sin 7x}$

Penyelesaian

Substitusi $x = 0$ pada fungsinya menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. Dengan menggunakan teorema:
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax} {\sin bx} = \dfrac{a} {b}$
diperoleh bahwa
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{\sin 7x} = \dfrac{6}{7}$
Alternatif lain untuk menyelesaikan soal ini (termasuk soal nomor 4 dan 5) adalah dengan menggunakan Dalil L’Hospital/turunan (dengan syarat substitusi titik limit menghasilkan bentuk tak tentu). Jadi, $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6x}{\sin 7x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{6 \cos 6x} {7 \cos 7x} = \dfrac{6}{7}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Kalkulus Diferensial Versi 3 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

CategoriesKalkulus Diferensial, UTS Mata KuliahTags, , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *