Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester (UTS) Kalkulus Diferensial Versi 1 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

[latexpage]Berikut ini adalah soal ujian tengah semester (soal B) beserta pembahasannya mata kuliah Kalkulus Diferensial (Tahun Ajaran 2016/2017) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Edy Yusmin, M. Pd pada tanggal 19 April 2017.
Naskah soal asli dapat dilihat di sini: BERKAS

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Kalkulus Diferensial Versi 3 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Soal Nomor 1
Tentukan HP dari pertidaksamaan berikut. 
a) $\dfrac{x+1}{2-x} < \dfrac{x} {3+x}$
b) $2|x| – |x – 3| \geq 3$

Penyelesaian

Jawaban a) 
$\begin{aligned} & \dfrac{x+1}{2-x} < \dfrac{x} {3+x} \\ & \dfrac{x+1}{2-x} – \dfrac{x}{3+x} < 0 \\ & \dfrac{(x+1)(3+x) – x(2-x)} {(2-x) (3+x)} < 0 \\ & \dfrac{2x^2 + 2x + 3}{(2-x)(3+x)} < 0 \end{aligned}$
Pembilang pada pertidaksamaan terakhir definit positif, sehingga agar bernilai negatif, haruslah
$(2-x) (3+x) < 0$
dengan pembuat nol $x = 2$ atau $x = -3$. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 
$HP = \{x | -3 < x < 2\}$ 
Jawaban b) 
Gunakan definisi harga mutlak
$|x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}$
dan
$|x – 3| = \begin{cases} x – 3, &~\text{jika}~x \geq 3 \\ -x + 3, &~\text{jika}~x < 3 \end{cases}$
Untuk $x < 0$, pertidaksamaan yang diberikan menjadi
$\begin{aligned}& 2(-x) -(-x + 3) \geq 3 \\ & -x – 3 \geq 3 \\ & x \leq -6 \end{aligned}$
Diperoleh $HP_1 = \{x | x < 0 \land x \leq -6\} = \{x| x \leq -6\}$
Untuk $0 \leq x < 3$, pertidaksamaan menjadi
$\begin{aligned} & 2x – (-x + 3) \geq 3 \\ & 3x \geq 6 \\ & x \geq 2 \end{aligned}$
Diperoleh $HP_2 = \{x | 0 \leq x < 3 \land x \geq 2\} = \{x | 2 \leq x < 3\}$
Untuk $x \geq 3$, pertidaksamaan menjadi
$\begin{aligned} 2x – (x – 3) \geq 3 \\ x \geq 0 \end{aligned}$
Diperoleh $HP_3 = \{x | x \geq 3 \land x \geq 0\} = \{x | x \geq 3\}$
Hasil gabungan dari tiga himpunan penyelesaian tersebut adalah HP dari pertidaksamaan yang dimaksud, yaitu
$HP = \{x | x \leq 6 \lor x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan daerah asal (domain) dan daerah nilai dari fungsi $f(x) = \sqrt{\dfrac{x-4}{3x-6}}$

Penyelesaian

Syarat radikan tidak boleh negatif, jadi haruslah
$\dfrac{x – 4}{3x – 6} \geq 0$
Pembuat nol masing-masing bagian adalah $x = 4$ dan $x = 2$. Ambil titik uji, misalkan $x = 0$, lalu substitusikan ke pertidaksamaan itu, sehingga didapat $\dfrac{-4}{-6} = \dfrac{2}{3}$ (positif), sehingga dari formasi garis bilangan yang dibuat, diperoleh penyelesaiannya adalah 
$\{x~|~x \leq 2 \lor x \geq 4\}$
Selain itu, penyebut juga tidak boleh bernilai nol, ditulis
$\begin{aligned} & 3x – 6 \neq 0 \\ & x \neq 2\end{aligned}$
Jadi, daerah asal (domain) fungsi $f$ adalah $\{x~|~ x < 2 \lor x \geq 4\}$
Selanjutnya, daerah hasil (range) suatu bentuk akar kuadrat termasuk dalam kasus ini adalah $\{y ~| ~y \geq 0\}$ (akar kuadrat dari suatu bilangan tidak mungkin menghasilkan bilangan negatif)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan fungsi $f(x) = 2 + x^2$ dan $g(x) = \sqrt{2-x^2}$
a) Tunjukkan apakah fungsi $f \circ g$ terdefinisi. 
b) Tentukan persamaan fungsi komposisi $f \circ g$ jika ada. 
c) Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari fungsi komposisi $f \circ g$

Penyelesaian

Jawaban a) 
Fungsi komposisi tersebut akan terdefinisi jika hasil irisan antara domain fungsi $f$ dan range fungsi $g$ bukan himpunan kosong
Perhatikan bahwa daerah asal (domain) fungsi $f$ adalah $\mathbb{R}$, sedangkan daerah hasil (range) fungsi $g$ terbatas dengan syarat $2 – x^2 \geq 0$ atau diselesaikan sebagai berikut. 
$\begin{aligned} & x^2 \leq 2 \\ & -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \end{aligned} $ 
Jelaslah bahwa irisan keduanya tidak kosong, sehingga fungsi komposisi $f \circ g$ terdefinisi. 
Jawaban b) 
$\begin{aligned}(f \circ g)(x) & = f(g(x)) = f(\sqrt{2-x^2}) \\ & = 2 + \left(\sqrt{2-x^2}\right)^2 \\ & = 2 + (2 – x^2) = 4 – x^2 \end{aligned}$
Jawaban c) 
Daerah definisi (daerah asal/domain) fungsi $f \circ g$ adalah $\mathbb{R}$ (berapun nilai $x$ yang dimasukkan, tidak membuat fungsi menjadi tak terdefinisi), sedangkan daerah hasilnya adalah $\{y~|~ y \leq 4, y \in \mathbb{R}\}$, karena jika kita perhatikan bentuk $4 – x^2$, kita dapat mengetahui bahwa nilai maksimum fungsinya adalah $4$, dan jika $x$ menjauh dari $0$, maka nilai fungsinya justru semakin kecil.

[collapse]

Soal Nomor 4
Anda bermaksud membuat kolam ikan yang akan dipagari dengan kawat pagar siap jadi. Kolam tersebut dibagi menjadi dua bidang kolam berbentuk persegi panjang berdampingan yang identik, dengan luas masing-masing kolam adalah $300~m^2$. Jika panjang masing-masing kolam dinyatakan dalam $x$ dan lebarnya dinyatakan dalam $y$, nyatakan keliling pagar sebagai fungsi dari $x$.

Penyelesaian

Buatlah sketsa gambar seperti berikut. 

Dengan menggunakan konsep luas persegi panjang, diperoleh
$xy = 300 \Rightarrow y = \dfrac{300}{x}$
Selanjutnya, keliling pagar dinyatakan sebagai fungsi dari $x$ adalah
$\begin{aligned} f(x) & = x + x + x + x + y + y + y \\ & = 4x + 3y = 4x + 3\left(\dfrac{300}{x}\right) = \left(4x + \dfrac{900}{x}\right)~m \end{aligned}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Kalkulus Diferensial Versi 2 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

CategoriesKalkulus Diferensial, UTS Mata KuliahTags, , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *