Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester (UTS) Mata Kuliah Trigonometri – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

[latexpage]Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Trigonometri (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Romal Idjuddin, M.Pd pada tanggal 2 Mei 2018.

Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari
a) $\sin 225\degree$
b) $\cos 300\degree$

Penyelesaian

Jawaban a) 
$\begin{aligned} \sin 225\degree & = \sin (180 + 45)\degree \\ & = -\sin 45\degree \\ & = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}$
Jawaban b) 
$\begin{aligned} \cos 300\degree & = \cos (270 + 30)\degree \\ & = \sin 30\degree = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari
a) $\tan 495\degree$
b $\csc (-570\degree)$

Penyelesaian

Jawaban a) 
$\begin{aligned} \tan 495\degree & = \tan (360 + 135)\degree \\ & =\tan 135\degree \\ & = \tan (90 + 45)\degree \\ & = -\tan 45\degree = -1 \end{aligned}$
Jawaban b) 
$\begin{aligned} \csc (-570\degree) & = -\csc (210\degree) \\ & = -\dfrac{1}{\sin 210\degree} \\ & = -\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}} = 2 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa
$\dfrac{\tan^2 x – \sin^2 x} {1 – \sin^2 x} = \tan^4 x$

Penyelesaian

Pembuktian dari ruas kiri sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \dfrac{\tan^2 x – \sin^2 x} {1 – \sin^2 x} & = \dfrac{\tan^2 x – \sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x} {\cos^2 x} – \tan^2 x \\ & = \dfrac{\tan^2 x – \tan^2 x \times \cos^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x(1 – \cos^2 x)} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x \times \sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \tan^2 \times \tan^2 x \\ & = \tan^4 x \end{aligned}$
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pembuktian Identitas Trigonometri

 Soal Nomor 4
Diketahui $\sin \theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}, 0 < \theta < \dfrac{\pi} {2}$
Tentukan:
a) $\sin 2\theta$
b) $\cos 2\theta$
c) $\tan 2\theta$

Penyelesaian

Karena $\theta$ berada dalam kuadran pertama, maka nilai perbandingan trigonometrinya adalah positif untuk setiap sudut $\theta$ yang dimaksud. Perhatikan gambar berikut yang datanya diambil dari perbandingan trigonometri 
$\sin \theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

Ingat bahwa sinus adalah perbandingan panjang sisi depan sudut dan panjang hipotenusa dalam segitiga siku-siku. Dengan Teorema Pythagoras, didapat 
$AB = \sqrt{5 – 4} = 1$
Oleh karenanya, kita peroleh
$\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$
Jawaban a) 
$\begin{aligned} \sin 2\theta & = 2 \sin \theta \cos \theta \\ & = 2\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) \\ & = \dfrac{4}{5} \end{aligned}$
Jawaban b) 
$\begin{aligned} \cos 2\theta & = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta \\ & = \left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 – \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 \\ & = -\dfrac{3}{5} \end{aligned}$
Jawaban c) 
$\begin{aligned} \tan 2\theta & = \dfrac{\sin 2\theta} {\cos 2\theta} \\ & = \dfrac{\dfrac{4}{5}} {-\dfrac{3}{5}} \\ & = -\dfrac{4}{3} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tunjukkan bahwa
$\dfrac{1-\sin x}{\cos x} = \dfrac{1}{\sec x + \tan x}$

Penyelesaian

Pembuktian dari ruas kiri sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \dfrac{1-\sin x} {\cos x} & = \dfrac{1}{\cos x} – \dfrac{\sin x} {\cos x} \\ & = \sec x – \tan x \\ & = \sec x – \tan x \times \dfrac{\sec x + \tan x} {\sec x + \tan x} \\ & = \dfrac{\sec^2 x – \tan^2 x}{\sec x + \tan x} \end{aligned}$
Dengan menggunakan identitas trigonometri
$\boxed{\sec^2 x = 1 + \tan^2 x}$, 
didapat
$\dfrac{\sec^2 x – \tan^2 x} {\sec x + \tan x} = \dfrac{1}{\sec x + \tan x}$
(Terbukti) $\blacksquare$

[collapse]

CategoriesTrigonometri, UTS Mata KuliahTags, , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *