Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester (UTS) Persamaan Diferensial Biasa (Versi 1)

[latexpage]Berikut ini merupakan soal & pembahasan UTS Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Tahun Ajaran 2018/2019 yang diujikan oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M.Si kepada mahasiswa program studi pendidikan matematika FKIP Untan semester 4 pada tanggal 2 April 2019.

Soal Nomor 1
Diberikan persamaan diferensial $\dfrac{\text{d}y} {\text{d}x} + P(x)y = 0$
Tunjukkan bahwa jika $f$ dan $g$ merupakan penyelesaian dari PD tersebut, maka $c_1f +c_2g$ juga merupakan penyelesaian PD itu.

Penyelesaian

Karena $f$ dan $g$ merupakan solusi dari persamaan diferensial $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + p(x)y = 0$, maka berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} + p(x)f & = 0 && (\cdots 1) \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + p(x)y & = 0 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dengan menggunakan kedua persamaan di atas, akan dibuktikan bahwa $c_1f + c_2g$ juga merupakan solusi dari persamaan diferensial tersebut. Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & \dfrac{\text{d}(c_1f + c_2g)}{\text{d}x} + p(x)(c_1f+c_2g) \\ & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (c_1f) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (c_2g) + p(x)c_1f + p(x)c_2g \\ & = c_1\left(\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} + p(x)f\right) + c_2\left(\dfrac{\text{d}g}{\text{d}x} + p(x)g\right) \\ & = c_1(0) + c_2(0) = 0 \end{aligned}$
Jadi, pernyataan tersebut telah terbukti. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui persamaan diferensial $(4x+3y^2)~\text{d}x + 2xy~\text{d}y = 0$ 
Tunjukkan bahwa PD tersebut tidak eksak, kemudian carilah faktor integrasi berbentuk $x^n$ dengan $n$ bilangan bulat positif, lalu tentukan penyelesaiannya.

Penyelesaian

Langkah pertama adalah memeriksa apakah persamaan diferensial di atas eksak atau tidak. Misalkan
$M = 4x + 3y^2$
$N = 2xy$
sehingga hasil turunan parsialnya adalah
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = 6y$
$\dfrac{\partial N}{\partial x} = 2y$
Karena $\dfrac{\partial M}{\partial y} \neq \dfrac{\partial N}{\partial x}$, maka PD ini tak eksak.
Agar eksak, kita harus mencari faktor integrasi terlebih dahulu.
Faktor integrasinya berbentuk $\displaystyle e^{\int P(x)~\text{d}x}$
$P(x)$ dapat dicari dengan menggunakan cara berikut.
$P(x) = \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M}{\partial y} – \dfrac{\partial N}{\partial x}\right)$
$P(x) = \dfrac{1}{2xy}\left(6y – 2y\right)$
$P(x) = \dfrac{1}{2xy}(4y)$
$P(x) = \dfrac{2}{x}$
Karena $P(x)$ hanya bergantung terhadap variabel $x$ (sesuai persyaratan metode PD tak eksak), maka kita dapatkan faktor integrasi
$\displaystyle e^{\int \frac{2}{x}~\text{d}x} = e^{2 \ln x} = e^{\ln x^2} = x^2$
Kalikan faktor integrasi ini ke PD semula untuk memperoleh
$\begin{aligned} (4x+3y^2)~\text{d}x + 2xy~\text{d}y & = 0 \\ x^2 (4x+3y^2)~\text{d}x + (x^2)2xy~\text{d}y & = 0 \\ (4x^3 + 3x^2y^2)~\text{d}x + 2x^3y~\text{d}y & = 0 \end{aligned}$
Misalkan
$M = 4x^3 + 3x^2y^2$
$N = 2x^3y$
Jika kita menurunkan secara parsial $M$ terhadap $y$ dan $N$ terhadap $x$, diperoleh
$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x} = 6x^2y$
Karena sama, maka PD ini eksak.
Misalkan $F = C_0$ (fungsi konstan). Telah diberikan
$\dfrac{\partial F}{\partial x} =4x^3 + 3x^2y^2~~\bigstar$
dan juga
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = 2x^3y~~\bigstar \bigstar$
Integrasikan $\bigstar$ secara parsial terhadap $x$, diperoleh
$F = x^4 + x^3y^2 + \phi(y)$
Lanjutkan: turunkan parsial kembali $F$ ini tapi sekarang terhadap $y$, diperoleh
$\dfrac{\partial F}{\partial y} = 2x^3y + \phi'(y)$
Bandingkan dengan $\bigstar \bigstar$, sehingga didapat bahwa
$\phi'(y) = 0 \Rightarrow \phi(y) = C_1$
Berarti, solusinya adalah
$F = x^4 + x^3y^2 + C_1 = C_0$
atau disederhanakan menjadi
$\boxed{x^4 + x^3y^2 = C}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Selesaikan PD $\left(\dfrac{2x-1}{y}\right)~\text{d}x + \left(\dfrac{x-x^2}{y^2}\right)~\text{d}y = 0$

Penyelesaian

Dari PD di atas, kalikan kedua ruas dengan $\dfrac{y} {x – x^2}$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \left(\dfrac{2x-1}{x-x^2}\right)~\text{d}x + \left(\dfrac{y} {y^2}\right)~\text{d}y & = 0 \\ \left(\dfrac{2x-1}{x-x^2}\right)~\text{d}x + \left(\dfrac{1} {y}\right)~\text{d}y & = 0 \\ \text{Integralkan kedua}~&\text{ruas} \\ \displaystyle \int \dfrac{2x-1}{x-x^2}~\text{d}x + \int \dfrac{1} {y}~\text{d}y & = \ln C \\ -\ln (x – x^2) + \ln y & = \ln C \\ \ln (x-x^2)^{-1}y & = \ln C \\ \dfrac{y} {x-x^2} & = C \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian dari PD tersebut adalah $\boxed{\dfrac{y} {x-x^2} = C}$ 
Intermezzo:
Menghitung $\displaystyle \int \dfrac{2x-1}{x-x^2}~\text{d}x$
Dengan metode substitusi, misalkan $u = x – x^2$, sehingga $\text{d}u = (1 – 2x)~\text{d}x = -(2x – 1)~\text{d}x$, yang ekuivalen dengan $-\text{d}u = (2x – 1)~\text{d}x$, sehingga integralnya dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \int \dfrac{-1}{u}~\text{d}u & = -\ln u + C = -\ln (x – x^2) + C$

[collapse]

Soal Nomor 4
Selesaikan PD $(x^2+1)~\dfrac{\text{d}y} {\text{d}x} – 4xy = x$

Penyelesaian

Persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu. Bagi kedua ruas dengan $x^2+1$ untuk mendapatkan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} – \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)y = \dfrac{x}{x^2+1}$
Diketahui
$\begin{aligned} \displaystyle \int p(x)~\text{d}x & = \int \left(-\dfrac{4x}{x^2+1}\right)~\text{d}x \\ & = -2 \ln (x^2+1) \\ & = \ln (x^2+1)^{-2} \end{aligned}$

Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
$e^{\int p(x)~\text{d}x}= e^{\ln (x^2+1)^{-2}} = (x^2+1)^{-2}$
Dengan demikian, persamaan diferensial  $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} – \left(\dfrac{4x}{x^2+1}\right)y = \dfrac{x}{x^2+1}$ dapat langsung kita tuliskan sebagai berikut.
$\begin{aligned} \displaystyle y &= e^{\int -p(x)~\text{d}x} \cdot \int e^{\int p(x)~\text{d}x} \cdot \dfrac{x}{x^2+1}~\text{d}x \\ & = e^{- \ln (x^2+1)^{-2}} \cdot \int (x^2 + 1)^{-2} \cdot \dfrac{x}{x^2+1}~\text{d}x \\ & = (x^2+1)^2 \cdot \displaystyle \int \dfrac{x}{(x^2+1)^3}~\text{d}x \\ & = (x^2+1)^2 \cdot \left( \dfrac{-1}{4}(x^2+1)^{-2} + C\right) = -\dfrac{1}{4} + C(x^2+1)^2 \end{aligned}$

Jadi, penyelesaian PD tersebut adalah $\boxed{y = -\dfrac14 + C(x^2+1)^2}$ 

[collapse]

Soal Nomor 5
Selesaikan PD $\dfrac{\text{d}y} {\text{d}x} – \dfrac{y} {x} = -\dfrac{y^2}{x}$

Penyelesaian

Misalkan $v = \dfrac{y} {x}$, berarti $y = vx$. Dengan demikian, PD di atas selanjutnya dapat ditulis sebagai berikut. 
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y} {\text{d}x} – \dfrac{y} {x} & = -\dfrac{y^2}{x} \\ \dfrac{\text{d}(vx)} {\text{d}x} – v & = -v^2x \\ \dfrac{x~\text{d}v + v~\text{d}x} {\text{d}x} – v & = -v^2x \\x~\dfrac{\text{d}v} {\text{d}x} & = -v^2x \\ \text{Kalikan kedua}~&\text{ruas dengan}~\dfrac{\text{d}x} {v^2x} \\ \dfrac{1}{v^2}~\text{d}v & = -\text{d}x \\ \text{Integralkan kedua}~& \text{ruas} \\ \displaystyle \int \dfrac{1}{v^2}~\text{d}v & = – \int \text{d}x \\ -\dfrac{1}{v} & = -x + C \\ \text{Substitusi balik}~&v = \dfrac{y}{x} \\ -\dfrac{x} {y} + x & = C \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian PD tersebut adalah $\boxed{-\dfrac{x} {y} + x = C}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Selesaikan PD $(2x^2+y)~\text{d}x + (x^2y – x)~\text{d}y = 0$

Penyelesaian

Diberikan PD: $(2x^2+y)~\text{d}x + (x^2y-x)~\text{d}y = 0$
PD di atas berbentuk persamaan diferensial eksak. 
Pertama-tama, akan ditentukan dulu apakah PD tersebut eksak atau tidak. 
Misalkan $M = 2x^2+y$ dan $N = x^2y-x$, sehingga
$\dfrac{\partial M} {\partial y} = 1~~\text{dan}~~\dfrac{\partial N} {\partial x} = 2xy – 1$
Karena $\dfrac{\partial M} {\partial y} \neq \dfrac{\partial N} {\partial x}$, maka PD tersebut tidak eksak. 
Untuk itu, diperlukan faktor integrasi di mana diberikan
$\begin{aligned} \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{\partial M} {\partial y} – \dfrac{\partial N} {\partial x}\right) & = \dfrac{1}{x^2y-x}(1 – (2xy-1)) \\ & = \dfrac{1}{x(xy – 1)} \cdot (-2)(xy – 1) \\ &= -\dfrac{2}{x} \end{aligned}$
Karena hanya bergantung pada variabel $x$, maka dapat kita misalkan $p(x) = -\dfrac{2}{x}$, sehingga faktor integrasinya adalah 
$\begin{aligned} F(x) & = e^{\int p(x)~\text{d}x} \\ & = e^{\int -\frac{2}{x}~\text{d}x} \\ & = e^{-2 \ln x} = e^{\ln x^{-2}} = x^{-2} \end{aligned}$
Kalikan faktor integrasi $x^{-2}$ ke PD semula, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x^{-2}(2x^2+y)~\text{d}x + x^{-2}(x^2y-x)~\text{d}y & = 0 \\ \left(2 + \dfrac{y} {x^2}\right)~\text{d}x + \left(y – \dfrac{1}{x}\right) & = 0 \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $M = 2 + \dfrac{y} {x^2} $ dan $N = y – \dfrac{1}{x}$, sehingga
$\dfrac{\partial M} {\partial y} = \dfrac{1}{x^2}~~\text{dan}~~\dfrac{\partial N} {\partial x} = \dfrac{1}{x^2}$ 
Karena telah memenuhi hubungan $\dfrac{\partial M} {\partial y}= \dfrac{\partial N} {\partial x}$, maka PD tersebut eksak. 
Ambil $\dfrac{\partial u} {\partial x} = M$, sehingga
$\begin{aligned} u & = \displaystyle \int M~\text{d}x + \phi(y) \\ & = \int \left(2 + \dfrac{y} {x^2}\right)~\text{d}x + \phi(y) \\ & = 2x – \dfrac{y}{x} + \phi(y) \end{aligned}$
Turunkan $u$ secara parsial terhadap $y$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{\partial u} {\partial y} & = N \\ -\dfrac{1}{x} + \phi'(y) & = y – \dfrac{1}{x} \\ \phi'(y) & = y \\ \int \phi'(y)~\text{d}y & = \int y~\text{d}y \\ \phi(y) & = \dfrac{1}{2}y^2 + C \end{aligned}$
Substitusikan $\phi(y)$ ke $u$, 
$u = 2x – \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2}y^2 + C$
Kalikan dengan $2x$, sehingga diperoleh $4x^2 – 2y + xy^2 + K = 0$. 
Jadi, penyelesaian PD tersebut adalah $\boxed{4x^2 – 2y + xy^2 + K = 0}$

[collapse]

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *