Soal dan Pembahasan – Ujian Akhir Semester (UAS) Analisis Real 1 (Versi B) – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

      Berikut ini adalah soal ujian akhir semester beserta pembahasan mata kuliah Analisis Real 1 (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 4 oleh Dr. Dede Suratman, M.Si pada tanggal 5 Juli 2018.

Soal Nomor 1
Carilah himpunan penyelesaian dari $|x -5| < 6 -|x|$

Penyelesaian

Diberikan pertidaksamaan $|x-5| < 6 -|x|$
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, didapat
$|x-5| = \begin{cases} x – 5, &~\text{jika}~x \geq 5 \\ -x + 5, &~\text{jika}~x < 5 \end{cases}$
dan
$|x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}$
Perhatikan bahwa intervalnya terbagi dalam tiga daerah.
Daerah I: $x < 0$
Pada daerah ini, didapat $|x-5| = -x+5$ dan $|x| = -x$, sehingga pertidaksamaannya dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} -x+5 & < 6 -(-x) \\ -2x & < 1 \\ x & > -\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Irisan dari $x < 0$ dan $x > -\dfrac{1}{2}$ adalah $-\dfrac{1}{2} < x < 0$ (penyelesaian pertama).
Daerah II: $0 \leq x < 5$
Pada daerah ini, didapat $|x-5| = -x+5$ dan $|x| = x$, sehingga pertidaksamaannya dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} -x+5 & < 6 -x \\ 5 & < 6 \end{aligned}$
Ketaksamaan di atas bernilai benar, sehingga penyelesaian dari kasus ini diambil dari interval syaratnya, yaitu $0 \leq x < 5$ (penyelesaian kedua).
Daerah III: $x \geq 5$
Pada daerah ini, didapat $|x-5| = x-5$ dan $|x| = x$, sehingga pertidaksamaannya dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} x-5 & < 6 – x\\ 2x & < 11 \\ x & < \dfrac{11}{2} \end{aligned}$
Irisan dari $x \geq 5$ dan $x < \dfrac{11}{2}$ adalah $5 \leq < x < \dfrac{11}{2} $ (penyelesaian ketiga).
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|x-5| < 6 -|x|$ adalah gabungan dari ketiga penyelesaian tersebut, yaitu
$\boxed{\text{HP} = \left\{x \in \mathbb{R} | -\dfrac{1}{2} < x < \dfrac{11}{2}\right\}}$ 

[collapse]

Soal Nomor 2
Sketsalah grafik dari $|y -1| = 5 -|2x|$

Penyelesaian

Pada persamaan $|y-1| = 5 -|2x|$, tinjau dalam 4 kasus berbeda dengan menggunakan definisi nilai mutlak, yaitu
$\begin{aligned} & |y-1| = \begin{cases} y -1, &~\text{jika}~y \geq 1_\\ -y + 1, &~\text{jika}~y < 1 \end{cases} \\& |2x| = \begin{cases} 2x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -2x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases} \end{aligned}$
Kasus pertama:
Untuk $y \geq 1$ dan $x \geq 0$, diperoleh
$\begin{aligned} y-1 & = 5 -2x \\ 2x + y & = 6 \end{aligned}$
Sketsakan grafik dari persamaan garis lurus ini pada sistem koordinat Kartesius hanya pada interval $y \geq 1$ dan $x \geq 0$.
Kasus kedua:
Untuk $y \geq 1$ dan $x < 0$, diperoleh
$\begin{aligned} y-1 & = 5 -(-2x) \\ -2x + y & = 6 \end{aligned}$
Sketsakan grafik dari persamaan garis lurus ini pada sistem koordinat Kartesius hanya pada interval $y \geq 1$ dan $x < 0$.
Kasus ketiga:
Untuk $y < 1$ dan $x \geq 0$, diperoleh
$\begin{aligned} -y+1 & = 5 -2x \\ 2x – y & = 4 \end{aligned}$
Sketsakan grafik dari persamaan garis lurus ini pada sistem koordinat Kartesius hanya pada interval $y < 1$ dan $x \geq 0$.
Kasus keempat:
Untuk $y < 1$ dan $x < 0$, diperoleh
$\begin{aligned} -y+1 & = 5 -(-2x) \\ 2x + y & = -4 \end{aligned}$
Sketsakan grafik dari persamaan garis lurus ini pada sistem koordinat Kartesius hanya pada interval $y < 1$ dan $x < 0$.
Catatan: kita akan menemukan bahwa 4 garis yang digambar itu ternyata memiliki titik ujung di $(0,1)$. Keempat garis tersebut merupakan hasil penggambaran grafik dari $|y-1| = 5-|2x|$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Berikan penjelasan apa yang dimaksud dengan:
a. Batas atas sebuah himpunan
b. Supremum sebuah himpunan
Berikan masing-masing sebuah contoh.

Penyelesaian

Jawaban a)
Batas atas suatu himpunan adalah bilangan yang lebih besar atau sama dengan dari semua elemen di himpunan tersebut. Misalnya, diberikan himpunan $A = \{1,2,3,4,5\}$. Batas atas himpunan $A$ adalah bilangan real $x$ yang memenuhi $x \geq 5$.
Jawaban b)
Supremum suatu himpunan adalah batas atas terkecil pada himpunan tersebut. Pada himpunan $A = \{1,2,3,4,5}$, batas atas himpunan ini adalah bilangan real $x$ yang memenuhi $x \geq 5$. Ini berarti, $5$ merupakan batas atas terkecil (supremum) dari $A$. 

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan himpunan $C = \left\{\dfrac{1-3n}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}$.
a. Apakah $-3,11$ adalah batas bawah $C$? Berikan penjelasan.
b. Tentukan infimum himpunan $C$.

Penyelesaian

Jawaban a)
$-3,11$ adalah batas bawah $C$, karena untuk setiap $n \in \mathbb{N}, \dfrac{1}{n} > 0$, dan akibatnya,
$\dfrac{1-3n}{n} = \dfrac{1}{n} -3 \geq -3,11 \iff \dfrac{1}{n} \geq  -0,11 > 0$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa $\dfrac{1-3k}{k} = \dfrac{1}{k} -3 \in C, k \in \mathbb{N}$.
Dengan menggunakan pendekatan limit,
$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \left(\dfrac{1}{k} -3\right) = 0 -3 = -3$
Jadi, infimum dari $C$ adalah $-3$.
(Anda juga dapat menunjukkan bahwa himpunan $\left\{\dfrac{1}{n} | n \in \mathbb{N}\right\}$ memiliki infimum 0) 

[collapse]

Soal Nomor 5
Perhatikan himpunan berikut.
$S = \left\{\dfrac{2n^2-4n}{n^2-5}: n \in \mathbb{N}\right\}$
a. Tunjukkan bahwa himpunan $S$ terbatas
b. Tentukan supremum himpunan $S$
b. Tentukan infimum himpunan $S$

Penyelesaian

Jawaban a)
Bila $S$ dinyatakan dengan tabulasi (didaftarkan anggotanya), didapat
$S = \left\{\dfrac{1}{2}, 0, \dfrac{3}{2}, \dfrac{16}{11}, \dfrac{3}{2}, \cdots\right\}$
Karena $\dfrac{2n^2-4n} {n^2-5} \geq 0$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$, maka jelas bahwa seluruh bilangan real negatif akan menjadi batas bawah $S$. Jadi, $S$ terbatas di bawah. Selanjutnya, gunakan pendekatan limit,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n^2-4n} {n^2-5} = 2$
Ini berarti, batas atas himpunan $S$ adalah setiap bilangan real $x$ yang memenuhi $x \geq 2$. Jadi, $S$ terbatas di atas.
Dapat disimpulkan bahwa $S$ merupakan himpunan terbatas (bounded set).
Jawaban b) Batas atas terkecil dari himpunan $S$ adalah $2$. Jadi, $\sup(S) = 2$.
Jawaban c) Batas bawah terbesar dari himpunan $S$ adalah $0$. Jadi, $\inf(S) = 0$.

[collapse]

CategoriesAnalisis Real, UAS Mata KuliahTags, , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *