Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Kalkulus Diferensial (Versi A) – Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester (soal B) beserta pembahasannya mata kuliah Kalkulus Diferensial (Tahun Ajaran 2016/2017) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Edy Yusmin, M. Pd pada tanggal 19 April 2017.

Soal Nomor 1
Tentukan HP dari pertidaksamaan berikut. 
a) \dfrac{x+1}{2-x} < \dfrac{x} {3+x}
b) 2|x| - |x - 3| \geq 3

Penyelesaian

Jawaban a) 
\begin{aligned} & \dfrac{x+1}{2-x} < \dfrac{x} {3+x} \\ & \dfrac{x+1}{2-x} - \dfrac{x}{3+x} < 0 \\ & \dfrac{(x+1)(3+x) - x(2-x)} {(2-x) (3+x)} < 0 \\ & \dfrac{2x^2 + 2x + 3}{(2-x)(3+x)} < 0 \end{aligned}
Pembilang pada pertidaksamaan terakhir definit positif, sehingga agar bernilai negatif, haruslah
(2-x) (3+x) < 0
dengan pembuat nol x = 2 atau x = -3. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 
HP = \{x | -3 < x < 2\} 
Jawaban b) 
Gunakan definisi harga mutlak
|x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}
dan
|x - 3| = \begin{cases} x - 3, &~\text{jika}~x \geq 3 \\ -x + 3, &~\text{jika}~x < 3 \end{cases}
Untuk x < 0, pertidaksamaan yang diberikan menjadi
\begin{aligned}& 2(-x) -(-x + 3) \geq 3 \\ & -x - 3 \geq 3 \\ & x \leq -6 \end{aligned}
Diperoleh HP_1 = \{x | x < 0 \land x \leq -6\} = \{x| x \leq -6\}
Untuk 0 \leq x < 3, pertidaksamaan menjadi
\begin{aligned} & 2x - (-x + 3) \geq 3 \\ & 3x \geq 6 \\ & x \geq 2 \end{aligned}
Diperoleh HP_2 = \{x | 0 \leq x < 3 \land x \geq 2\} = \{x | 2 \leq x < 3\}
Untuk x \geq 3, pertidaksamaan menjadi
\begin{aligned} 2x - (x - 3) \geq 3 \\ x \geq 0 \end{aligned}
Diperoleh HP_3 = \{x | x \geq 3 \land x \geq 0\} = \{x | x \geq 3\}
Hasil gabungan dari tiga himpunan penyelesaian tersebut adalah HP dari pertidaksamaan yang dimaksud, yaitu
HP = \{x | x \leq 6 \lor x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan daerah asal (domain) dan daerah nilai dari fungsi f(x) = \sqrt{\dfrac{x-4}{3x-6}}

Penyelesaian

Syarat radikan tidak boleh negatif, jadi haruslah
\dfrac{x - 4}{3x - 6} \geq 0
Pembuat nol masing-masing bagian adalah x = 4 dan x = 2. Ambil titik uji, misalkan x = 0, lalu substitusikan ke pertidaksamaan itu, sehingga didapat \dfrac{-4}{-6} = \dfrac{2}{3} (positif), sehingga dari formasi garis bilangan yang dibuat, diperoleh penyelesaiannya adalah 
\{x~|~x \leq 2 \lor x \geq 4\}
Selain itu, penyebut juga tidak boleh bernilai nol, ditulis
\begin{aligned} & 3x - 6 \neq 0 \\ & x \neq 2\end{aligned}
Jadi, daerah asal (domain) fungsi f adalah \{x~|~ x < 2 \lor x \geq 4\}
Selanjutnya, daerah hasil (range) suatu bentuk akar kuadrat termasuk dalam kasus ini adalah \{y ~| ~y \geq 0\} (akar kuadrat dari suatu bilangan tidak mungkin menghasilkan bilangan negatif)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan fungsi f(x) = 2 + x^2 dan g(x) = \sqrt{2-x^2}
a) Tunjukkan apakah fungsi f \circ g terdefinisi. 
b) Tentukan persamaan fungsi komposisi f \circ g jika ada. 
c) Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari fungsi komposisi f \circ g

Penyelesaian

Jawaban a) 
Fungsi komposisi tersebut akan terdefinisi jika hasil irisan antara domain fungsi f dan range fungsi g bukan himpunan kosong
Perhatikan bahwa daerah asal (domain) fungsi f adalah \mathbb{R}, sedangkan daerah hasil (range) fungsi g terbatas dengan syarat 2 - x^2 \geq 0 atau diselesaikan sebagai berikut. 
\begin{aligned} & x^2 \leq 2 \\ & -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \end{aligned} 
Jelaslah bahwa irisan keduanya tidak kosong, sehingga fungsi komposisi f \circ g terdefinisi. 
Jawaban b) 
\begin{aligned}(f \circ g)(x) & = f(g(x)) = f(\sqrt{2-x^2}) \\ & = 2 + \left(\sqrt{2-x^2}\right)^2 \\ & = 2 + (2 - x^2) = 4 - x^2 \end{aligned}
Jawaban c) 
Daerah definisi (daerah asal/domain) fungsi f \circ g adalah \mathbb{R} (berapun nilai x yang dimasukkan, tidak membuat fungsi menjadi tak terdefinisi), sedangkan daerah hasilnya adalah \{y~|~ y \leq 4, y \in \mathbb{R}\}, karena jika kita perhatikan bentuk 4 - x^2, kita dapat mengetahui bahwa nilai maksimum fungsinya adalah 4, dan jika x menjauh dari 0, maka nilai fungsinya justru semakin kecil.

[collapse]

Soal Nomor 4
Anda bermaksud membuat kolam ikan yang akan dipagari dengan kawat pagar siap jadi. Kolam tersebut dibagi menjadi dua bidang kolam berbentuk persegi panjang berdampingan yang identik, dengan luas masing-masing kolam adalah 300~m^2. Jika panjang masing-masing kolam dinyatakan dalam x dan lebarnya dinyatakan dalam y, nyatakan keliling pagar sebagai fungsi dari x.

Penyelesaian

Buatlah sketsa gambar seperti berikut. 

Dengan menggunakan konsep luas persegi panjang, diperoleh
xy = 300 \Rightarrow y = \dfrac{300}{x}
Selanjutnya, keliling pagar dinyatakan sebagai fungsi dari x adalah
\begin{aligned} f(x) & = x + x + x + x + y + y + y \\ & = 4x + 3y = 4x + 3\left(\dfrac{300}{x}\right) = \left(4x + \dfrac{900}{x}\right)~m \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *