Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Kalkulus Diferensial Versi 3 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

     Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Kalkulus Diferensial (Tahun Ajaran 2018/2019) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Asep Nursangaji, M.Pd pada tanggal 10 April 2019.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Kalkulus Diferensial Versi 2 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Soal Nomor 1
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{x^2} < 2$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diketahui bahwa $|x| = \sqrt{x^2}$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}$.
Untuk itu, pertidaksamaan $\sqrt{x^2} < 2$ dapat ditulis menjadi
$|x| < 2 \iff -2 < x < 2$
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{-2<x<2}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Penyelesaian dari $|x+2| < |x+3|$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Karena kedua ruas telah dijamin tidak negatif oleh tanda mutlak, maka menguadratkan kedua ruas dapat dilakukan.
$\begin{aligned} |x+2| & < |x+3| \\ (x+2)^2 & < (x+3)^2 \\ (x+2)^2 – (x+3)^2 & < 0 \\ (x+2+x+3)(x+2-x-3) & < 0 \\ (2x+5)(-1) & < 0 \\ 2x + 5 & < 0 \\ x & < -\dfrac52 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak itu adalah $\boxed{x < -\dfrac52}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Domain alamiah dan range dari fungsi $f$ dengan $f(x) = \sqrt{\dfrac{x-2}{x-1}}$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Dari syarat pecahan, kita peroleh bahwa $x -1 \neq 0$ atau ditulis $x \neq 1$.
Dari syarat radikan, kita peroleh bahwa $\dfrac{x-2}{x-1} \geq 0$
Pembuat nol pada pembilang: $x = 2$
Pembuat nol pada penyebut: $x = 1$
Buatlah garis bilangan dengan pembatas di $x = 2$ dan $x = 1$, lalu uji kepositivan masing-masing interval.

Uji daerah kepositivan: Misalkan ambil $x = 0$, lalu substitusikan ke $\dfrac{x-2}{x-1}$, sehingga diperoleh hasilnya bernilai positif. Ini berarti, daerah di sebelah kiri 1 positif.
Berdasarkan garis bilangan tersebut, diperoleh domain alamiah dari fungsi $f$, yaitu $D_f = \{x~|~x < 1~\text{atau}~x \geq 2\}$
sedangkan range (daerah hasil) fungsi $f$ adalah
$R_f = \{y~|~y \geq 0\}$
karena bentuk akar tidak mungkin menghasilkan bilangan negatif.

[collapse]

Soal Nomor 4
Salah satu rumus fungsi $g$ dari $A = \{x \in \mathbb{R} : 1 \leq x < 3\}$ ke $B = \{x \in \mathbb{R} : x \geq 2\}$ adalah $g(x) = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Contoh rumus fungsi $g$ yang sesuai dengan kondisi tersebut adalah
$g(x) = \dfrac32 -\dfrac{1}{x-3}$ 
Grafik fungsi $g$ bila digambarkan dalam sistem koordinat Kartesius dapat dilihat pada gambar berikut.



[collapse]

Soal Nomor 5
Jika fungsi $f(x) = \dfrac{x^2+2x-8}{x-2}$, maka $f(2) = \cdots$ dan $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui: $f(x) = \dfrac{x^2+2x-8}{x-2}$
Untuk $x = 2$, diperoleh
$f(2) = \dfrac{2^2 + 2(2) -8}{2-2} = \dfrac{0}{0} =~\text{tak tentu}$
Fungsi $f$ tidak memiliki nilai saat $x=2$, sedangkan
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) & = \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+2x-8}{x-2} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x+4)\cancel{(x-2)}} {\cancel{x-2}} \\ & = \lim_{x \to 2} (x+4) \\ & = 2+4 = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = 6}$

[collapse]

Quote by Susi Pudjiastuti

Orang yang meraih kesuksesan tidak selalu orang yang pintar, tapi orang yang selalu meraih kesuksesan adalah yang gigih dan pantang menyerah.

Soal Nomor 6
Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = l$ dan $\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = m$, maka $\displaystyle \lim_{x \to c} \dfrac{g(x)}{f(x)} = \cdots$ jika $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pembagian limit, diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to c} \dfrac{g(x)}{f(x)} = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} g(x)} {\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)} = \dfrac{m} {l}$
jika $l \neq 0$.

[collapse]

Soal Nomor 7
Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-4x+3}{x-1} = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Substitusi $x=1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu.
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-4x+3}{x-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-3)\cancel{(x-1)}}{\cancel{x-1}} \\ & = \lim_{x \to 1} (x-3) = 1-3 = -2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-4x+3}{x-1} = -2}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = -1, \displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = 1$, dan $\displaystyle \lim_{x \to c} h(x) = -2$, maka $\displaystyle \lim_{x \to c} \sqrt{\dfrac{h(x) -g(x)}{f(x)}} = \cdots \cdot$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to c} \sqrt{\dfrac{h(x) -g(x)}{f(x)}} & = \sqrt{\lim_{x \to c} \dfrac{h(x) -g(x)}{f(x)}} \\ & = \sqrt{\dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} h(x)- \lim_{x \to c} g(x)} {\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)}} \\ & = \sqrt{\dfrac{-2 -1}{-1}} = \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to c} \sqrt{\dfrac{h(x) -g(x)}{f(x)}} = \sqrt{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui fungsi $f$ dengan $f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & \text{jika}~x < 0 \\ 1, & \text{jika}~x = 0 \\ x + 1, &\text{jika}~x > 0 \end{cases}$.
Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x)$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Limit kiri untuk $x$ mendekati 0 dari fungsi $f$ dinyatakan oleh
$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = \infty$
Jadi, nilai dari $\boxed{\lim_{x \to 0^-} f(x) = \infty}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika fungsi $f$ kontinu di $x = 2$, maka $f(2) = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Agar suatu fungsi kontinu di titik tertentu, maka nilai fungsi di titik tersebut harus sama dengan nilai limit fungsi ketika mendekati titik tersebut. Dengan demikian, agar fungsi $f$ kontinu di $x=2$, haruslah
$\boxed{f(2) = \displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)} $

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika $f(x) = \dfrac{x^2-x-2}{x-2}$, maka fungsi $f$ tidak kontinu di $x = 2$. Alasan $f$ tidak kontinu di $x = 2$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Suatu fungsi tidak kontinu di titik tertentu apabila nilai fungsi di titik itu tidak terdefinisi (tidak ada).
Perhatikan bahwa jika $f(x) = \dfrac{x^2-x-2}{x-2}$, maka untuk $x=2$, didapat $f(2) = \dfrac{2^2-2-2}{2-2} = \dfrac00$, yang berarti fungsi $f$ tidak memiliki nilai di titik $x=2$ sebab penyebutnya bernilai $0$.

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui fungsi $f$ dengan $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2+2x+1}{x+1}, &\text{jika}~x \neq -1 \\ b, &\text{jika}~x=-1 \end{cases}$.
Supaya fungsi $f$ kontinu di $x = -1$, maka $b = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Supaya fungsi $f$ kontinu di $x = -1$, nilai limit kiri dan nilai limit kanannya harus sama.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -1^-} f(x) & = \lim_{x \to -1^+} f(x) \\ \lim_{x \to -1} \dfrac{x^2+2x+1}{x+1} & = \lim_{x \to -1} b \\ \lim_{x \to -1} \dfrac{(x+1)\cancel{(x+1)} }{\cancel{x+1}} & = b \\ \lim_{x \to -1} (x+1) & = b \\ -1+1 & = b \\ b & = 0 \end{aligned}$
Jadi, supaya fungsi $f$ kontinu di $x = -1$, maka $\boxed{b = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$.
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{3x} = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$
Untuk itu,
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{3x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin x \cos x} {3x} \\ & = \dfrac{2}{3} \times \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x} {x} \times \lim_{x \to 0} \cos x \\ & = \dfrac23 \times 1 \times \cos 0 = \dfrac23 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f(x) = \dfrac{-x+1}{x+1}$ dan $g(x) = 2 + 3x$. Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(g(x)) = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} f(x) & = \dfrac{-x+1}{x+1} \\ g(x) & = 2 + 3x \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} f(g(x)) & = \lim_{x \to 1} f(2+3x) \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{-(2+3x) +1}{(2+3x) +1} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{-3x – 1}{3x+3} \\ & = \dfrac{-3(1)-1}{3(1)+3} = -\dfrac{2}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} f(g(x)) = -\dfrac23}$

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika fungsi $g$ dengan $g(x) = \begin{cases} x^2, &\text{jika}~x\leq -1 \\ 1-x, &\text{jika}~-1 < x \leq 1 \\ (1-x)^2, &\text{jika}~x > 1 \end{cases}$,
maka fungsi $g$ diskontinu di $x = \cdots \cdot$

Penyelesaian

Agar fungsi kontinu di titik tertentu, nilai limit kiri dan limit kanannya harus bernilai sama.
Periksa kekontinuan di $x = -1$.
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to -1^-} g(x) = \lim_{x \to -1} x^2 = (-1)^2 = 1 \\ & \lim_{x \to -1^+} g(x) = \lim_{x \to -1} (1-x) = 1 -(-1) = 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, $\displaystyle \lim_{x \to -1^-} g(x) \neq \displaystyle \lim_{x \to -1^+} g(x)$, sehingga $g$ diskontinu di $x=-1$
Sekarang, periksa kekontinuan di $x = 1$.
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1} (1-x) = 1-1 = 0 \\ & \lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1} (1-x)^2 = (1-1)^2 = 0 \end{aligned}$
Dengan demikian, $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} g(x) = \displaystyle \lim_{x \to 1^+} g(x)$, sehingga $g$ kontinu di $x=1$
Jadi, fungsi $g$ hanya diskontinu di titik $\boxed{x = -1}$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Kalkulus Diferensial Versi 1 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

CategoriesKalkulus Diferensial, UTS Mata KuliahTags, , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *