Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Kalkulus Diferensial Versi 3 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

     Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Kalkulus Diferensial (Tahun Ajaran 2018/2019) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Asep Nursangaji, M.Pd pada tanggal 10 April 2019.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Kalkulus Diferensial Versi 2 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Soal Nomor 1
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{x^2} < 2$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diketahui bahwa $|x| = \sqrt{x^2}$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}$.
Untuk itu, pertidaksamaan $\sqrt{x^2} < 2$ dapat ditulis menjadi
$|x| < 2 \iff -2 < x < 2$
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{-2<x<2}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Penyelesaian dari $|x+2| < |x+3|$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Karena kedua ruas telah dijamin tidak negatif oleh tanda mutlak, maka menguadratkan kedua ruas dapat dilakukan.
$\begin{aligned} |x+2| & < |x+3| \\ (x+2)^2 & < (x+3)^2 \\ (x+2)^2 – (x+3)^2 & < 0 \\ (x+2+x+3)(x+2-x-3) & < 0 \\ (2x+5)(-1) & < 0 \\ 2x + 5 & < 0 \\ x & < -\dfrac52 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak itu adalah $\boxed{x < -\dfrac52}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Domain alamiah dan range dari fungsi $f$ dengan $f(x) = \sqrt{\dfrac{x-2}{x-1}}$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Dari syarat pecahan, kita peroleh bahwa $x – 1 \neq 0$ atau ditulis $x \neq 1$.
Dari syarat radikan, kita peroleh bahwa $\dfrac{x-2}{x-1} \geq 0$
Pembuat nol pada pembilang: $x = 2$
Pembuat nol pada penyebut: $x = 1$
Buatlah garis bilangan dengan pembatas di $x = 2$ dan $x = 1$, lalu uji kepositivan masing-masing interval.

Uji daerah kepositivan: Misalkan ambil $x = 0$, lalu substitusikan ke $\dfrac{x-2}{x-1}$, sehingga diperoleh hasilnya bernilai positif. Ini berarti, daerah di sebelah kiri 1 positif.
Berdasarkan garis bilangan tersebut, diperoleh domain alamiah dari fungsi $f$, yaitu $D_f = \{x~|~x < 1~\text{atau}~x \geq 2\}$
sedangkan range (daerah hasil) fungsi $f$ adalah
$R_f = \{y~|~y \geq 0\}$
karena bentuk akar tidak mungkin menghasilkan bilangan negatif.

[collapse]

Soal Nomor 4
Salah satu rumus fungsi $g$ dari $A = \{x \in \mathbb{R} : 1 \leq x < 3\}$ ke $B = \{x \in \mathbb{R} : x \geq 2\}$ adalah $g(x) = \cdots$

Penyelesaian

Contoh rumus fungsi $g$ yang sesuai dengan kondisi tersebut adalah
$g(x) = \dfrac32 – \dfrac{1}{x-3}$ 
Grafik fungsi $g$ bila digambarkan dalam sistem koordinat Kartesius dapat dilihat pada gambar berikut.



[collapse]

Soal Nomor 5
Jika fungsi $f(x) = \dfrac{x^2+2x-8}{x-2}$, maka $f(2) = \cdots$ dan $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = \cdots$

Penyelesaian

Diketahui: $f(x) = \dfrac{x^2+2x-8}{x-2}$
Untuk $x = 2$, diperoleh
$f(2) = \dfrac{2^2 + 2(2) – 8}{2-2} = \dfrac{0}{0} =~\text{tak tentu}$
Fungsi $f$ tidak memiliki nilai saat $x=2$, sedangkan
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) & = \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2+2x-8}{x-2} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x+4)\cancel{(x-2)}} {\cancel{x-2}} \\ & = \lim_{x \to 2} (x+4) \\ & = 2+4 = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = 6}$

[collapse]

Quote by Susi Pudjiastuti

Orang yang meraih kesuksesan tidak selalu orang yang pintar, tapi orang yang selalu meraih kesuksesan adalah yang gigih dan pantang menyerah.

Soal Nomor 6
Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = l$ dan $\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = m$, maka $\displaystyle \lim_{x \to c} \dfrac{g(x)}{f(x)} = \cdots$ jika $\cdots$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pembagian limit, diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to c} \dfrac{g(x)}{f(x)} = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} g(x)} {\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)} = \dfrac{m} {l}$
jika $l \neq 0$.

[collapse]

Soal Nomor 7
Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-4x+3}{x-1} = \cdots$

Penyelesaian

Substitusi $x=1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu.
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-4x+3}{x-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-3)\cancel{(x-1)}}{\cancel{x-1}} \\ & = \lim_{x \to 1} (x-3) = 1-3 = -2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-4x+3}{x-1} = -2}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = -1, \displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = 1$, dan $\displaystyle \lim_{x \to c} h(x) = -2$, maka $\displaystyle \lim_{x \to c} \sqrt{\dfrac{h(x) – g(x)}{f(x)}} = \cdots$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to c} \sqrt{\dfrac{h(x) – g(x)}{f(x)}} & = \sqrt{\lim_{x \to c} \dfrac{h(x) – g(x)}{f(x)}} \\ & = \sqrt{\dfrac{\displaystyle \lim_{x \to c} h(x) – \lim_{x \to c} g(x)} {\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)}} \\ & = \sqrt{\dfrac{-2 – 1}{-1}} = \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to c} \sqrt{\dfrac{h(x) – g(x)}{f(x)}} = \sqrt{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui fungsi $f$ dengan $f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & \text{jika}~x < 0 \\ 1, & \text{jika}~x = 0 \\ x + 1, &\text{jika}~x > 0 \end{cases}$.
Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x)$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Limit kiri untuk $x$ mendekati 0 dari fungsi $f$ dinyatakan oleh
$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = \infty$
Jadi, nilai dari $\boxed{\lim_{x \to 0^-} f(x) = \infty}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika fungsi $f$ kontinu di $x = 2$, maka $f(2) = \cdots$

Penyelesaian

Agar suatu fungsi kontinu di titik tertentu, maka nilai fungsi di titik tersebut harus sama dengan nilai limit fungsi ketika mendekati titik tersebut. Dengan demikian, agar fungsi $f$ kontinu di $x=2$, haruslah
$\boxed{f(2) = \displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)} $

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika $f(x) = \dfrac{x^2-x-2}{x-2}$, maka fungsi $f$ tidak kontinu di $x = 2$. Alasan $f$ tidak kontinu di $x = 2$ adalah $\cdots$

Penyelesaian

Suatu fungsi tidak kontinu di titik tertentu apabila nilai fungsi di titik itu tidak terdefinisi (tidak ada).
Perhatikan bahwa jika $f(x) = \dfrac{x^2-x-2}{x-2}$, maka untuk $x=2$, didapat $f(2) = \dfrac{2^2-2-2}{2-2} = \dfrac00$, yang berarti fungsi $f$ tidak memiliki nilai di titik $x=2$ sebab penyebutnya bernilai 0.

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui fungsi $f$ dengan $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2+2x+1}{x+1}, &\text{jika}~x \neq -1 \\ b, &\text{jika}~x=-1 \end{cases}$.
Supaya fungsi $f$ kontinu di $x = -1$, maka $b = \cdots$

Penyelesaian

Supaya fungsi $f$ kontinu di $x = -1$, nilai limit kiri dan nilai limit kanannya harus sama.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -1^-} f(x) & = \lim_{x \to -1^+} f(x) \\ \lim_{x \to -1} \dfrac{x^2+2x+1}{x+1} & = \lim_{x \to -1} b \\ \lim_{x \to -1} \dfrac{(x+1)\cancel{(x+1)} }{\cancel{x+1}} & = b \\ \lim_{x \to -1} (x+1) & = b \\ -1+1 & = b \\ b & = 0 \end{aligned}$
Jadi, supaya fungsi $f$ kontinu di $x = -1$, maka $\boxed{b = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$.
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{3x} = \cdots$

Penyelesaian

Diketahui: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$
Untuk itu,
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{3x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin x \cos x} {3x} \\ & = \dfrac{2}{3} \times \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x} {x} \times \lim_{x \to 0} \cos x \\ & = \dfrac23 \times 1 \times \cos 0 = \dfrac23 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f(x) = \dfrac{-x+1}{x+1}$ dan $g(x) = 2 + 3x$. Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(g(x)) = \cdots$

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} f(x) & = \dfrac{-x+1}{x+1} \\ g(x) & = 2 + 3x \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} f(g(x)) & = \lim_{x \to 1} f(2+3x) \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{-(2+3x) +1}{(2+3x) +1} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{-3x – 1}{3x+3} \\ & = \dfrac{-3(1)-1}{3(1)+3} = -\dfrac{2}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} f(g(x)) = -\dfrac23}$

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika fungsi $g$ dengan $g(x) = \begin{cases} x^2, &\text{jika}~x\leq -1 \\ 1-x, &\text{jika}~-1 < x \leq 1 \\ (1-x)^2, &\text{jika}~x > 1 \end{cases}$,
maka fungsi $g$ diskontinu di $x = \cdots$

Penyelesaian

Agar fungsi kontinu di titik tertentu, nilai limit kiri dan limit kanannya harus bernilai sama.
Periksa kekontinuan di $x = -1$.
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to -1^-} g(x) = \lim_{x \to -1} x^2 = (-1)^2 = 1 \\ & \lim_{x \to -1^+} g(x) = \lim_{x \to -1} (1-x) = 1 – (-1) = 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, $\displaystyle \lim_{x \to -1^-} g(x) \neq \displaystyle \lim_{x \to -1^+} g(x)$, sehingga $g$ diskontinu di $x=-1$
Sekarang, periksa kekontinuan di $x = 1$.
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1} (1-x) = 1-1 = 0 \\ & \lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1} (1-x)^2 = (1-1)^2 = 0 \end{aligned}$
Dengan demikian, $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} g(x) = \displaystyle \lim_{x \to 1^+} g(x)$, sehingga $g$ kontinu di $x=1$
Jadi, fungsi $g$ hanya diskontinu di titik $\boxed{x = -1}$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – UTS Kalkulus Diferensial Versi 1 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesKalkulus Diferensial, UTS Mata KuliahTags, , , , , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *