Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Mata Kuliah Trigonometri Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan

Berikut ini adalah soal ujian tengah semester beserta pembahasannya mata kuliah Trigonometri (Tahun Ajaran 2017/2018) yang diujikan kepada mahasiswa pendidikan matematika FKIP Untan semester 2 oleh Drs. Romal Idjuddin, M.Pd pada tanggal 2 Mei 2018.

Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari
a) \sin 225^{\circ}
b) \cos 300^{\circ}

Penyelesaian

Jawaban a) 
\begin{aligned} \sin 225^{\circ} & = \sin (180 + 45)^{\circ} \\ & = -\sin 45^{\circ} \\ & = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}
Jawaban b) 
\begin{aligned} \cos 300^{\circ} & = \cos (270 + 30)^{\circ} \\ & = \sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari
a) \tan 495^{\circ}
b \csc (-570^{\circ})

Penyelesaian

Jawaban a) 
\begin{aligned} \tan 495^{\circ} & = \tan (360 + 135)^{\circ} \\ & =\tan 135^{\circ} \\ & = \tan (90 + 45)^{\circ} \\ & = -\tan 45^{\circ} = -1 \end{aligned}
Jawaban b) 
\begin{aligned} \csc (-570^{\circ}) & = -\csc (210^{\circ}) \\ & = -\dfrac{1}{\sin 210^{\circ}} \\ & = -\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}} = 2 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa
\dfrac{\tan^2 x - \sin^2 x} {1 - \sin^2 x} = \tan^4 x

Penyelesaian

Pembuktian dari ruas kiri sebagai berikut. 
\begin{aligned} \dfrac{\tan^2 x - \sin^2 x} {1 - \sin^2 x} & = \dfrac{\tan^2 x - \sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x} {\cos^2 x} - \tan^2 x \\ & = \dfrac{\tan^2 x - \tan^2 x \times \cos^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x(1 - \cos^2 x)} {\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\tan^2 x \times \sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \tan^2 \times \tan^2 x \\ & = \tan^4 x \end{aligned}
(Terbukti) \blacksquare

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui \sin \theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}, 0 < \theta < \dfrac{\pi} {2}
Tentukan:
a) \sin 2\theta
b) \cos 2\theta
c) \tan 2\theta

Penyelesaian

Karena \theta berada dalam kuadran pertama, maka nilai perbandingan trigonometrinya adalah positif untuk setiap sudut \theta yang dimaksud. Perhatikan gambar berikut yang datanya diambil dari perbandingan trigonometri 
\sin \theta = \dfrac{2}{\sqrt{5}}

Ingat bahwa sinus adalah perbandingan panjang sisi depan sudut dan panjang hipotenusa dalam segitiga siku-siku. Dengan Teorema Pythagoras, didapat 
AB = \sqrt{5 - 4} = 1
Oleh karenanya, kita peroleh
\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}}
Jawaban a) 
\begin{aligned} \sin 2\theta & = 2 \sin \theta \cos \theta \\ & = 2\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) \\ & = \dfrac{4}{5} \end{aligned}
Jawaban b) 
\begin{aligned} \cos 2\theta & = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ & = \left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 - \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 \\ & = -\dfrac{3}{5} \end{aligned}
Jawaban c) 
\begin{aligned} \tan 2\theta & = \dfrac{\sin 2\theta} {\cos 2\theta} \\ & = \dfrac{\dfrac{4}{5}} {-\dfrac{3}{5}} \\ & = -\dfrac{4}{3} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 5
Tunjukkan bahwa
\dfrac{1-\sin x}{\cos x} = \dfrac{1}{\sec x + \tan x}

Penyelesaian

Pembuktian dari ruas kiri sebagai berikut. 
\begin{aligned} \dfrac{1-\sin x} {\cos x} & = \dfrac{1}{\cos x} - \dfrac{\sin x} {\cos x} \\ & = \sec x - \tan x \\ & = \sec x - \tan x \times \dfrac{\sec x + \tan x} {\sec x + \tan x} \\ & = \dfrac{\sec^2 x - \tan^2 x}{\sec x + \tan x} \end{aligned}
Dengan menggunakan teorema trigonometri
\boxed{\sec^2 x = 1 + \tan^2 x}
didapat
\dfrac{\sec^2 x - \tan^2 x} {\sec x + \tan x} = \dfrac{1}{\sec x + \tan x}
(Terbukti) \blacksquare

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Satu Balasan untuk “Soal dan Pembahasan – Ulangan Tengah Semester (UTS) Mata Kuliah Trigonometri Prodi Pendidikan Matematika FKIP Untan”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *