Soal dan Pembahasan – Ulangan Umum Matematika Kelas X Semester Genap TA 2018/2019 SMKN 3 Pontianak

     Berikut ini merupakan soal (disertai pembahasannya) ulangan umum matematika kelas X semester genap tahun ajaran 2018/2019 SMKN 3 Pontianak yang penulis arsipkan sebagai bahan referensi untuk belajar. Semoga membantu dan bermanfaat! Materi yang diujikan adalah: Konsep Bunga (Matematika Ekonomi), Matriks, dan TrigonometriPaket soal ulangan ini memuat 25 butir soal pilihan ganda dan 5 butir soal esai (uraian).
Unduh Soal: PDF

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Siti meminjam uang di koperasi sebesar Rp500.000,00. Jika koperasi memperhitungkan suku bunga tunggal sebesar $2\dfrac12\%$ setiap bulan dan ia harus mengembalikan pinjamannya sebesar Rp550.000,00, maka lama pinjaman adalah $\cdots \cdot$
A. 3 bulan                       D. 6 bulan
B. 4 bulan                       E. 8 bulan
C. 5 bulan

Penyelesaian

Diketahui:
$B$ = Bunga yang dikenakan = 
Rp550.000,00 – Rp500.000,00 = Rp50.000,00
$M$ = Besar pinjaman = Rp500.000,00
$i$ = suku bunga tunggal = $2\dfrac12\% = \dfrac52\%$
Ditanya: $t =$ lama pinjaman
Dari informasi yang diketahui, diperoleh
$\begin{aligned} B & = M \times i \times t \\ t & = \dfrac{B} {M \times i} \\ & = \dfrac{\cancel{50.000}}{\cancelto{10}{500.000} \times \dfrac52\%} \\ & = \dfrac{1}{10 \times \dfrac52 \times \dfrac{1}{100}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac14} = 4 \end{aligned}$
Jadi, lama Siti meminjam adalah $\boxed{4}$ bulan.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Modal sebesar Rp5.000.000,00 disimpan di bank dengan suku bunga majemuk $10\%$ per tahun. Besar modal tersebut pada akhir tahun ke-3 adalah $\cdots \cdot$
A. Rp5.500.000,00
B. Rp6.050.000,00
C. Rp6.500.000,00
D. Rp6.655.000,00
E. Rp7.320.500,00

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} M_0 & = 5.000.000 \\ i & = 10\% = 0,1 \\ n & = 3 \end{aligned}$
Ditanya: $M = \cdots$
$\begin{aligned} M & = M_0(1+i)^n \\ & = 5.000.000(1+0,1)^3 \\ & = 5.000.000(1,331) \\ & = 6.655.000 \end{aligned}$
Jadi, besar modal tersebut pada akhir tahun ke-3 adalah Rp6.655.000,00.
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Matematika Ekonomi

Soal Nomor 3
Suatu modal ditabung dengan bunga majemuk $30\%$ per tahun. Pada akhir tahun ke-3, modal tersebut menjadi Rp2.197.000,00. Nilai tunai modal tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. Rp100.000,00
B. Rp549.250,00
C. Rp659.100,00
D. Rp1.000.000,00
E. Rp2.133.009,71

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} i & = 30\% = 0,3 \\ n & = 3 \\ M & = 2.197.000 \end{aligned}$
Ditanya: $M_0 = \cdots$
$\begin{aligned} M & = M_0(1+i)^n \\ 2.197.000 & = M_0(1+0,3)^3 \\ 2.197.000 & = M_0(2,197) \\ M_0 & = \dfrac{2.197.000}{2,197} = 1.000.000\end{aligned}$
Jadi, nilai tunai modal tersebut adalah Rp1.000.000,00.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Sebuah rumah dibeli dengan harga Rp300.000.000,00. Setiap tahun mengalami penyusutan sekitar $5\%$ dari harga beli awal. Nilai rumah setelah $8$ tahun adalah $\cdots \cdot$
A. Rp15.000.000,00
B. Rp40.000.000,00
C. Rp120.000.000,00
D. Rp180.000.000,00
E. Rp285.000.000,00

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} M_0 & = 300.000.000 \\ i & = 5\% = \dfrac{1}{20} \\ n & = 8 \end{aligned}$
Ditanya: $M = \cdots$
$\begin{aligned} M & = M_0 -M_0 \times i \times n \\ & = 300.000.000- 300.000.000 \times \dfrac{1}{20} \times 8 \\ & = 300.000.000 -120.000.000 \\ & = 180.000.000\end{aligned}$
Jadi, nilai rumah setelah 8 tahun adalah Rp180.000.000,00
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Berikut ini adalah tabel rencana pelunasan dengan menggunakan anuitas.

Berdasarkan data di atas, besar anuitas adalah $\cdots \cdot$
A. Rp457.182,98               D. Rp577.183,00
B. Rp484.613,96               E. Rp669.752,00
C. Rp549.752,00

Penyelesaian

Misalkan 
$\begin{aligned} b_1 & = \text{Bunga pada bulan pertama} \\ M & = \text{Pinjaman awal} \\ S_1 & = \text{Pinjaman akhir bulan pertama} \\ a_1 & = \text{Angsuran bulan pertama} \\ i & = \text{persentase bunga} \end{aligned}$
Dari tabel, diketahui bahwa
$\begin{aligned} M & = 2.000.000 \\ S_1 & = 1.542.817 \end{aligned}$
Nilai $a_1$ dapat ditentukan sbb.
$\begin{aligned} M & = a_1 + S_1 \\ a_1 & = M -S_1 \\ a_1 & = 2.000.000 -1.542.817 = 457.183 \end{aligned}$
Didapat angsuran bulan pertama sebesar Rp457.183,00.
Selanjutnya,
$\begin{aligned} b_1 & = M \times i \\ & = 2.000.000 \times 0,06 \\ & = 120.000 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \text{Anuitas} & = a_1 + b_1 \\ & = 457.183+120.000 \\ & = 577.183 \end{aligned}$
Jadi, besar anuitasnya adalah Rp577.183,00.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui matriks $P = \begin{pmatrix} 6 & 8 & 0 \\ 1 & 4 & -5 \end{pmatrix}$. Ordo matriks $P$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2 \times 2$                       D. $3 \times 3$
B. $2 \times 3$                       E. $3 \times 4$
C. $3 \times 2$

Penyelesaian

Pada matriks $P$, ada 2 entri ke bawah dan 3 entri ke samping. Ini berarti, $P$ merupakan matriks berordo $2 \times 3$ (baris kali kolom). 
Catatan: Entri adalah bilangan yang terdapat dalam baris dan kolom tertentu pada suatu matriks
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 4 & 3x-y \\ 8 & 6 \end{pmatrix}$ dan matriks $B = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ x + y & 6 \end{pmatrix}$. Jika $A = B$, maka nilai $x = \cdots \cdot$
A. $3$           B. $4$           C. $6$          D. $9$            E. $10$

Penyelesaian

Karena $A=B$, maka
$ \begin{pmatrix} 4 & 3x-y \\ 8 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ x + y & 6 \end{pmatrix}$
Berdasarkan konsep kesamaan matriks, pada baris ke-1 kolom ke-2, diperoleh
$3x – y = 4~~~~~(\cdots 1)$
Pada baris ke-2 kolom ke-1, diperoleh
$x + y = 8~~~~(\cdots 2)$
Dengan menggunakan metode eliminasi pada SPLDV di atas, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x-y & = 4 \\ x+y& = 8 \end{aligned} \\ \rule{2 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 4x & = 12 \\ x & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{x=3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

 Soal Nomor 8
Diketahui $$\begin{pmatrix} 2x+6y & 5 \\ 3 & 3x-z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2z & z+y \\ 4y & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 8 \\ 11 & 4 \end{pmatrix}$$, maka $x+y+z=\cdots \cdot$
A. $-4$        B. $-2$         C. $2$           D. $4$          E. $8$

Penyelesaian

Diketahui bahwa
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2x+6y & 5 \\ 3 & 3x-z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2z & z+y \\ 4y & 2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 16 & 8 \\ 11 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2x+6y+2z & y + z + 5 \\ 4y + 3 & 3x – z + 2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 16 & 8 \\ 11 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dari baris ke-2 kolom ke-1, didapat
$\begin{aligned} 4y + 3 & = 11 \\ 4y & = 8 \\ y & = 2 \end{aligned}$
Dari baris ke-1 kolom ke-2, didapat
$\begin{aligned} y + z + 5 & = 8 \\ \text{Substitusikan}~&y = 2 \\ 2 + z + 5 & = 8 \\ z & = 8-7 = 1 \end{aligned}$
Dari baris ke-2 kolom ke-2, didapat
$\begin{aligned} 3x -z + 2 & = 4 \\ \text{Substitusikan}~&z = 1 \\ 3x -1 + 2 & = 4 \\ 3x+1 & = 4 \\ 3x&=3 \\ x&=1 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{x+y+z=1+2+1=4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$. Nilai $2A + B -C^T$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$                D. $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$                E. $\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

Karena $C = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$, maka transposnya dinyatakan oleh
$C^T = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
Untuk itu, 
$$\begin{aligned} 2A + B -C^T & = 2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4+4-5 & 2+3-4 \\ 6+2-1 & 4+3-2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{2A+B-C^T = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui matriks $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ dan $Q = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$. Matriks $P \times Q$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & -16 \end{pmatrix}$            D. $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & -16 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & -19 \end{pmatrix}$             E. $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 19 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -19 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

Dengan menggunakan Aturan Perkalian Matriks, diperoleh
$$\begin{aligned} PQ & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2(2) + 1(0) & 2(-1) + 1(4) \\ 3(2) + (-4)(0) & 3(-1) + (-4)(4) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & -19 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $PQ$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & -19 \end{pmatrix} }$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Invers dari matriks $A= \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{pmatrix} -4 & -3 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$           D. $\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}$               E. $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -5 & -4 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

Diketahui $A = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}$
Determinan matriks ini adalah
$\det(A) = -4(4) – 3(-5) = -16 + 15 = -1$
Perhatikan bahwa jika diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka inversnya adalah
$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
Dengan demikian, dapat dituliskan
$A^{-1} = \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -(-5) & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}$
Jadi, invers dari matriks $A$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Determinan matriks $Q = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 7 \end{pmatrix}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $14$                   C. $2$                     E. $-8$
B. $8$                     D. $-2$           

Penyelesaian

Determinan matriks berordo $3 \times 3$ dapat ditentukan secara khusus dengan menggunakan Aturan Sarrus sebagai berikut.



$$\begin{aligned} \det(Q) & = (2)(2)(7) + 3(3)(1) + (4)(1)(5) \\ & -((1)(2)(4) + (5)(3)(2) + (7)(1)(3)) \\ & = 28 + 9 + 20 -(8 + 30 + 21) \\ & = 57 -59 = -2 \end{aligned}$$Jadi, determinan matriks $Q$ adalah $\boxed{\det(Q) = -2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Sudut $A=140^{\circ}$ bila dinyatakan dalam radian adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac29 \pi$               D. $\dfrac49 \pi$
B. $\dfrac{7}{18}\pi$             E. $\dfrac78 \pi$
C. $\dfrac79 \pi$

Penyelesaian

Konversi derajat ke radian:
$\boxed{a^{\circ} = a \times \dfrac{\pi} {180}} $
Untuk itu, 
$140^{\circ} = \cancelto{7}{140} \times \dfrac{\pi} {\cancelto{9}{180}} = \dfrac79\pi$
Jadi, $A = 140^{\circ}$ setara dengan $\boxed{\dfrac79\pi~\text{rad}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri (Dasar)

Soal Nomor 14
Diketahui koordinat titik $A(-2\sqrt2,-2\sqrt2)$. Koordinat kutub dari titik $A$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(4,210^{\circ})$           D. $(5,240^{\circ})$ 
B. $(2,240^{\circ})$           E. $(4,225^{\circ})$
C. $(2,225^{\circ})$

Penyelesaian

Diketahui: $x = y = -2\sqrt2$
Koordinat kutubnya berbentuk $(r, \theta)$, dengan
$\begin{aligned} r & = \sqrt{x^2+y^2} \\ & = \sqrt{(-2\sqrt2)^2+(-2\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{8+8} = 4 \end{aligned} $
dan
$\begin{aligned} & \tan \theta = \dfrac{y} {x} = \dfrac{-2\sqrt2}{-2\sqrt2} = 1 \\ & \Rightarrow \theta = 45^{\circ} \lor 225^{\circ} \end{aligned}$
Karena titik $A$ berada di kuadran 3 (nilai $x$ dan $y$ negatif), maka $\theta = 225^{\circ}$. 
Jadi, koordinat kutub dari $A(-2\sqrt2,-2\sqrt2)$ adalah $\boxed{(4, 225^{\circ})}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 15
Perhatikan gambar berikut!

Nilai $\cos \alpha$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                        C. $\dfrac12\sqrt3$                    E. $\dfrac13\sqrt3$
B. $\sqrt3$                     D. $\dfrac12$       

Penyelesaian

Dengan Teorema Pythagoras, panjang $c = AB$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt3)^2+1^2} = \sqrt4=2$
Cosinus sudut  adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\boxed{\cos \alpha = \dfrac{b}{c} = \dfrac{1}{2}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika $\tan \alpha = \dfrac34$ dengan $180^{\circ} \leq \alpha \leq 270^{\circ}$, nilai $\sin \alpha = \cdots$
A. $-\dfrac34$                        D. $\dfrac35$
B. $-\dfrac45$                        E. $\dfrac34$
C. $-\dfrac35$             

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $\alpha$ berada di kuadran 3, sehingga tangen sudutnya bernilai positif, sedangkan sinus sudutnya bernilai negatif.

Karena $\tan \alpha = \dfrac34$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $3$, sedangkan panjang sisi samping sudutnya $4$ (tan = de/sa) seperti gambar berikut.

Dengan demikian, 
$\text{mi} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25}=5$
Untuk itu, 
$\sin \alpha = -\dfrac{\text{de}} {\text{mi}} = -\dfrac{3}{5}$
(Sinus sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran 3)
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin \alpha =-\dfrac35}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

 Soal Nomor 17
Perbandingan trigonometri yang senilai dengan $\cos (180^{\circ} + \alpha)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\cos \alpha$           D. $-\cos \alpha$
B. $\tan \alpha$           E. $-\sin \alpha$
C. $\sin \alpha$

Penyelesaian

Untuk kuadran 3, berlaku hubungan relasi sudut:
$\begin{aligned} \sin (180^{\circ} + \alpha) & =-\sin \alpha \\ \cos (180^{\circ} + \alpha) & = -\cos \alpha \\ \tan (180^{\circ} + \alpha) & = \tan \alpha \end{aligned}$
Jadi, perbandingan trigonometri yang senilai dengan $\cos (180^{\circ} + \alpha)$ adalah $\boxed{-\cos \alpha}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Nilai dari $\dfrac{\sin 60^{\circ}}{1 + \cos 60^{\circ}} = \cdots \cdot$ 
A. $\tan 60^{\circ}$                 D. $\csc 60^{\circ}$ 
B. $\tan 30^{\circ}$                 E. $\sin 60^{\circ}$
C. $\sec 60^{\circ}$ 

Penyelesaian

Dengan memasukkan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewanya, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\sin 60^{\circ}}{1 + \cos 60^{\circ}} & = \dfrac{\frac12\sqrt3}{1 + \frac12} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\cancel{2}} \sqrt3}{\frac{3}{\cancel{2}}} \\ & = \dfrac{1}{3}\sqrt3 \end{aligned}$
Bentuk yang nilainya setara dengan $\dfrac13\sqrt3$ adalah $\boxed{\tan 30^{\circ}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Sebuah tangga dengan panjang $3,2$ m bersandar pada tembok dengan bentuk sudut $60^{\circ}$ terhadap lantai. Jarak antara ujung tangga pada lantai dengan tembok adalah $\cdots$ m. 
A. $1,6\sqrt3$                     D. $3,2\sqrt3$
B. $1,6$                            E. $1,6\sqrt2$
C. $1,5$

Penyelesaian

Perhatikan gambar.

Dengan menggunakan perbandingan cosinus, diperoleh
$\begin{aligned} \cos 60^{\circ} & = \dfrac{AB} {AC} \\ \dfrac12 & = \dfrac{AB} {3,2} \\ AB & = \dfrac12 \times 3,2 = 1,6 \end{aligned}$
Jadi, jarak ujung tangga pada lantai dengan tembok adalah $\boxed{1,6~\text{meter}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Nilai maksimum dan minimum dari grafik $y=2 \cos⁡x+1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$ dan $-3$             D. $2$ dan $-1$
B. $3$ dan $-2$             E. $2$ dan $0$
C. $3$ dan $-1$

Penyelesaian

Karena nilai maksimum dari $\cos x$ adalah $1$, maka nilai maksimum dari $y = 2 \cos x + 1$ tercapai saat $\cos x = 1$, yaitu $y_{\text{maks}} = 2(1)+1=3$. 
Karena nilai minimum dari $\cos x$ adalah $-1$, maka nilai minimum dari $y = 2 \cos x + 1$ tercapai saat $\cos x = -1$, yaitu $y_{\text{min}} = 2(-1)+1=-1$. 
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Trigonometri dan Grafiknya

 Soal Nomor 21
Jika $\tan A = \dfrac12$ dengan $180^{\circ} \leq A \leq 270^{\circ}$, nilai $\sin A \cos A = \cdots \cdot$
A. $\dfrac52$                          D. $-\dfrac25$
B. $\dfrac35$                          E. $-\dfrac52⁡$
C. $\dfrac25$                  

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $A$ berada di kuadran III, sehingga sinus sudutnya bernilai negatif, cosinus sudut bernilai negatif, dan tangen sudut bernilai positif.

Karena $\tan A= \dfrac12$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $1$, sedangkan panjang sisi samping sudutnya $2$ (tan = de/sa) seperti gambar berikut.

Dengan demikian, 
$\text{mi} = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$
Untuk itu, 
$\begin{aligned} \sin A \cos A & = -\dfrac{\text{de}} {\text{mi}} \times \left(-\dfrac{\text{sa}} {\text{mi}}\right) \\ & = -\dfrac{1}{\sqrt5} \times \left(-\dfrac{2}{\sqrt5}\right) \\ & = \dfrac25 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin A \cos A =\dfrac25}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Nilai dari $\sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\sqrt{3}$                   D. $1$
B. $-1$                       E. $\sqrt3$
C. $0$                          

Penyelesaian

Konversi radian ke derajat:
$\boxed{a~\text{rad} = a \times \dfrac{180^{\circ}} {\pi}}$
Untuk itu, 
$\begin{aligned} & \dfrac23\pi = \dfrac23\pi \times \dfrac{180^{\circ}} {\pi} = 120^{\circ} \\ & \dfrac73\pi = \dfrac73\pi \times \dfrac{180^{\circ}} {\pi} = 420^{\circ} \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} & \sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi \\ & = \sin 120^{\circ} + \sin 420^{\circ} \\ & = \sin (180-60)^{\circ} + \sin (360+60)^{\circ} \\ & = \sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ} \\ & = \dfrac12\sqrt3 +\dfrac12\sqrt3 = \sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi = \sqrt3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Ulum Matematika Kelas X Semester Ganjil TA 2018/2019 SMKN 3 Pontianak

 Soal Nomor 23
Jika diketahui segitiga $PQR$ dengan $p=4,q=6$, dan $r=7$, maka besar $\cos ⁡Q$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{28}{56}$                  C. $\dfrac{30}{56}$                 E. $\dfrac{32}{56}$
B. $\dfrac{29}{56}$                  D. $\dfrac{31}{56}$      

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh
$\begin{aligned} \cos Q & = \dfrac{p^2 + r^2 -q^2}{2pr} \\ & = \dfrac{4^2+7^2-6^2}{2(4)(7)} \\ & = \dfrac{16+49-36}{56} = \dfrac{29}{56} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\cos Q = \dfrac{29}{56}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri

Soal Nomor 24
Diketahui segitiga $ABC$ dengan $AC=5$ cm, $AB=7$ cm, dan $\angle BCA=120^{\circ}$. Keliling segitiga $ABC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $14$ cm                    D. $17$ cm
B. $15$ cm                    E. $18$ cm
C. $16$ cm

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Keliling segitiga didapat dengan menjumlahkan seluruh panjang sisi segitiga. Karena $BC$ tidak diketahui panjangnya, maka harus ditentukan lebih dulu dengan menggunakan Aturan Cosinus.
$$\begin{aligned} AB^2 & = AC^2 + BC^2 -2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos 120^{\circ} \\ 7^2 & = 5^2 + BC^2 -2 \cdot 5 \cdot BC \cdot \left(-\dfrac12\right) \\ 49 & = 25 + BC^2 + 5BC \\ 0 & = BC^2 + 5BC -24 \\ 0 & = (BC + 8)(BC -3) \end{aligned}$$Diperoleh $BC = -8$ (tidak memenuhi) atau $BC = 3$.
Dengan demikian, keliling segitiga $ABC$ adalah
$\boxed{AB+AC+BC = 7 + 5 + 3 = 15~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 25
Dari segitiga $ABC$ dengan $BC=36$ cm, $\angle A=120^{\circ}$, dan $\angle B=30^{\circ}$, luas segitiga $ABC = \cdots~\text{cm}^2$.
A. $432$                          D. $216$
B. $324$                          E. $108\sqrt{3}$
C. $216\sqrt{3}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

$\begin{aligned} \angle C & = 180^{\circ} -(\angle A + \angle B) \\ &= 180^{\circ} -(120^{\circ} + 30^{\circ}) = 30^{\circ} \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus luas segitiga menurut aturan trigonometri (3 sudut dan 1 sisi), diperoleh
$\begin{aligned} L & = \dfrac{BC^2 \sin B \sin C}{2 \sin A} \\ & = \dfrac{36^2 \sin 30^{\circ} \sin 30^{\circ}}{2 \sin 120^{\circ}} \\ & = \dfrac{\cancelto{18}{36} \times \cancelto{18}{36} \times \frac{1}{\cancel2} \times \frac{1}{\cancel2}}{2 \times \frac12\sqrt3} \\ & = \dfrac{18 \times 18}{\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{324}{\sqrt3} \times \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3} \\ & = \dfrac{324}{3}\sqrt3 = 108\sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga $ABC = 108\sqrt3~\text{cm}^2$.
(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Esai

Soal Nomor 1
Modal Rp250.000,00 ditabung dengan bunga majemuk $30\%$ per tahun. Hitunglah modal tersebut setelah tahun ke-3!

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} M_0 & = 250.000 \\ i & = 30\% = 0,3 \\ n & = 3 \end{aligned}$
Ditanya: $M = \cdots$
$\begin{aligned} M & = M_0(1+i)^n \\ & = 250.000(1+0,3)^3 \\ & = 250.000(2,197) \\ & = 549.250 \end{aligned}$
Jadi, besar modal tersebut pada akhir tahun ke-3 adalah Rp549.250,00.

[collapse]

Soal Nomor 2
Suatu utang akan dilunasi dengan cara anuitas bulan dengan suku bunga majemuk $3\%$ per bulan. Jika bunga dan angsuran pada bulan pertama masing-masing Rp22.500,00 dan Rp127.500,00, hitung bunga pada bulan kedua!

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} i & = 3\% = 0,03 \\ b_1 & = 22.500 \\ a_1 & = 127.500 \\ n & = 2 \end{aligned}$
Ditanya: $b_2 = \cdots$
Besarnya angsuran pada bulan ke-2 dinyatakan oleh
$\begin{aligned} a_n & = a_1(1+i)^{n-1} \\ a_2 & = 127.500(1+0,03)^{2-1} \\ & = 127.500(1,03) = 131.325 \end{aligned}$
Dengan menerapkan kesamaan nilai anuitas untuk setiap periode, diperoleh
$\begin{aligned} a_1+b_1 & = a_2+b_2 \\ 127.500 + 22.500 & = 131.325 + b_2 \\ 150.000 & = 131.325 + b_2 \\ 18.675 & = b_2 \end{aligned}$
Jadi, bunga pada bulan ke-2 sebesar Rp18.675,00.

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}$, tentukan $A+B^T$!

Penyelesaian

$\begin{aligned} A+B^T & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1+1 & 2+3 & 3+5 \\ 4+2 & 5+4 & 6+5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 8 \\ 6 & 9 & 11 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{A+B^T = \begin{pmatrix} 2 &5&8 \\ 6&9&11 \end{pmatrix}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika diketahui matriks $P=\begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ dan $Q = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, tentukan $PQ$!

Penyelesaian

Dengan menggunakan Aturan Perkalian Matriks, diperoleh
$$\begin{aligned} PQ & = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0(2) + (-3)(1) & 0(3) + (-3)(0) \\ 2(2) + 4(1) & 2(3) + 4(0) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $PQ$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} }$

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika diketahui $\sin \alpha = 0,6$ dengan $90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$, tentukan nilai $\tan \alpha$!

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $\alpha$ berada di kuadran $2$, sehingga sinus sudutnya bernilai positif, sedangkan tangen sudutnya bernilai negatif.

Karena $\sin \alpha = 0,6 = \dfrac35$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $3$, sedangkan panjang hipotenusa (sisi miring) adalah $5$ (sin = de/mi) seperti gambar berikut.

Dengan demikian, 
$\text{sa} = \sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{16}=4$
Untuk itu, 
$\tan \alpha = -\dfrac{\text{de}} {\text{sa}} = -\dfrac{3}{4}$
(Tangen sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran 2)
Jadi, nilai dari $\boxed{\tan \alpha =-\dfrac34}$

[collapse]

CategoriesMatematika Ekonomi, Matriks, Trigonometri, Ulangan UmumTags, , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *