Soal dan Pembahasan – Ulangan Umum Matematika Kelas X Semester Genap TA 2018/2019 SMKN 3 Pontianak

Berikut ini merupakan soal (disertai pembahasannya) ulangan umum matematika kelas X semester genap tahun ajaran 2018/2019 SMKN 3 Pontianak yang penulis arsipkan sebagai bahan referensi untuk belajar. Semoga membantu dan bermanfaat! Materi yang diujikan adalah: Konsep Bunga (Matematika Ekonomi), Matriks, dan Trigonometri. Paket soal ulangan ini memuat 25 butir soal pilihan ganda dan 5 butir soal esai (uraian).
Unduh Soal: PDF

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Siti meminjam uang di koperasi sebesar Rp500.000,00. Jika koperasi memperhitungkan suku bunga tunggal sebesar $2\dfrac12\%$ setiap bulan dan ia harus mengembalikan pinjamannya sebesar Rp550.000,00, maka lama pinjaman adalah $\cdots$

A. 3 bulan D. 6 bulan
B. 4 bulan E. 8 bulan
C. 5 bulan

Penyelesaian

Diketahui:
$B$ = Bunga yang dikenakan =
Rp550.000,00 – Rp500.000,00 = Rp50.000,00
$M$ = Besar pinjaman = Rp500.000,00
$i$ = suku bunga tunggal = $2\dfrac12\% = \dfrac52\%$
Ditanya: $t =$ lama pinjaman
Dari informasi yang diketahui, diperoleh
$\begin{aligned} B & = M \times i \times t \\ t & = \dfrac{B} {M \times i} \\ & = \dfrac{\cancel{50.000}}{\cancelto{10}{500.000} \times \dfrac52\%} \\ & = \dfrac{1}{10 \times \dfrac52 \times \dfrac{1}{100}} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac14} = 4 \end{aligned}$
Jadi, lama Siti meminjam adalah $\boxed{4~\text{bulan}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Modal sebesar Rp5.000.000,00 disimpan di bank dengan suku bunga majemuk 10% per tahun. Besar modal tersebut pada akhir tahun ke-3 adalah …
A. Rp5.500.000,00
B. Rp6.050.000,00
C. Rp6.500.000,00
D. Rp6.655.000,00
E. Rp7.320.500,00

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} M_0 & = 5.000.000 \\ i & = 10\% = 0,1 \\ n & = 3 \end{aligned}$
Ditanya: $M = \cdots$
$\begin{aligned} M & = M_0(1+i)^n \\ & = 5.000.000(1+0,1)^3 \\ & = 5.000.000(1,331) \\ & = 6.655.000 \end{aligned}$
Jadi, besar modal tersebut pada akhir tahun ke-3 adalah Rp6.655.000,00
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Suatu modal ditabung dengan bunga majemuk 30% per tahun. Pada akhir tahun ke-3, modal tersebut menjadi Rp2.197.000,00. Nilai tunai modal tersebut adalah …
A. Rp100.000,00
B. Rp549.250,00
C. Rp659.100,00
D. Rp1.000.000,00
E. Rp2.133.009,71

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} i & = 30\% = 0,3 \\ n & = 3 \\ M & = 2.197.000 \end{aligned}$
Ditanya: $M_0 = \cdots$
$\begin{aligned} M & = M_0(1+i)^n \\ 2.197.000 & = M_0(1+0,3)^3 \\ 2.197.000 & = M_0(2,197) \\ M_0 & = \dfrac{2.197.000}{2,197} = 1.000.000\end{aligned}$
Jadi, nilai tunai modal tersebut adalah Rp1.000.000,00
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Sebuah rumah dibeli dengan harga Rp300.000.000,00. Setiap tahun mengalami penyusutan sekitar 5% dari harga beli awal. Nilai rumah setelah 8 tahun adalah …
A. Rp15.000.000,00
B. Rp40.000.000,00
C. Rp120.000.000,00
D. Rp180.000.000,00
E. Rp285.000.000,00

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} M_0 & = 300.000.000 \\ i & = 5\% = \dfrac{1}{20} \\ n & = 8 \end{aligned}$
Ditanya: $M = \cdots$
$\begin{aligned} M & = M_0 - M_0 \times i \times n \\ & = 300.000.000 - 300.000.000 \times \dfrac{1}{20} \times 8 \\ & = 300.000.000 - 120.000.000 \\ & = 180.000.000\end{aligned}$
Jadi, nilai rumah setelah 8 tahun adalah Rp180.000.000,00
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Berikut ini adalah tabel rencana pelunasan dengan menggunakan anuitas.

Berdasarkan data di atas, besar anuitas adalah …
A. Rp457.182,98 D. Rp577.183,00
B. Rp484.613,96 E. Rp669.752,00
C. Rp549.752,00

Penyelesaian

Misalkan
$\begin{aligned} b_1 & = \text{Bunga pada bulan pertama} \\ M & = \text{Pinjaman awal} \\ S_1 & = \text{Pinjaman akhir bulan pertama} \\ a_1 & = \text{Angsuran bulan pertama} \\ i & = \text{persentase bunga} \end{aligned}$
Dari tabel, diketahui bahwa
$\begin{aligned} M & = 2.000.000 \\ S_1 & = 1.542.817 \end{aligned}$
Nilai $a_1$ dapat ditentukan sbb.
$\begin{aligned} M & = a_1 + S_1 \\ a_1 & = M - S_1 \\ a_1 & = 2.000.000 - 1.542.817 = 457.183 \end{aligned}$
Didapat angsuran bulan pertama sebesar Rp457.183,00.
Selanjutnya,
$\begin{aligned} b_1 & = M \times i \\ & = 2.000.000 \times 0,06 \\ & = 120.000 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \text{Anuitas} & = a_1 + b_1 \\ & = 457.183+120.000 \\ & = 577.183 \end{aligned}$
Jadi, besar anuitasnya adalah Rp577.183,00.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui matriks $P = \begin{pmatrix} 6 & 8 & 0 \\ 1 & 4 & -5 \end{pmatrix}$ . Ordo matriks $P$ adalah $\cdots$
A. $2 \times 2$ D. $3 \times 3$
B. $2 \times 3$ E. $3 \times 4$
C. $3 \times 2$

Penyelesaian

Pada matriks $P$ , ada 2 entri ke bawah dan 3 entri ke samping. Ini berarti, $P$ merupakan matriks berordo $2 \times 3$ (baris kali kolom).
Catatan: Entri adalah bilangan yang terdapat dalam baris dan kolom tertentu pada suatu matriks.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 4 & 3x-y \\ 8 & 6 \end{pmatrix}$ dan matriks $B = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ x + y & 6 \end{pmatrix}$ . Jika $A = B$ , maka nilai $x = \cdots$
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 E. 10

Penyelesaian

Karena $A=B$ , maka
$\begin{pmatrix} 4 & 3x-y \\ 8 & 6 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ x + y & 6 \end{pmatrix}$
Berdasarkan konsep kesamaan matriks, pada baris ke-1 kolom ke-2, diperoleh
$3x - y = 4~~~~~(\cdots 1)$
Pada baris ke-2 kolom ke-1, diperoleh
$x + y = 8~~~~(\cdots 2)$
Dengan menggunakan metode eliminasi pada SPLDV di atas, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x-y & = 4 \\ x+y& = 8 \end{aligned} \\ \noindent\rule{2 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 4x & = 12 \\ x & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{x=3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui $\begin{pmatrix} 2x+6y & 5 \\ 3 & 3x-z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2z & z+y \\ 4y & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 8 \\ 11 & 4 \end{pmatrix}$ , maka $x+y+z=\cdots$
A. $-4$ B. $-2$ C. 2 D. 4 E. 1

Penyelesaian

Diketahui bahwa
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2x+6y & 5 \\ 3 & 3x-z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2z & z+y \\ 4y & 2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 16 & 8 \\ 11 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2x+6y+2z & y + z + 5 \\ 4y + 3 & 3x - z + 2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 16 & 8 \\ 11 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Dari baris ke-2 kolom ke-1, didapat
$\begin{aligned} 4y + 3 & = 11 \\ 4y & = 8 \\ y & = 2 \end{aligned}$
Dari baris ke-1 kolom ke-2, didapat
$\begin{aligned} y + z + 5 & = 8 \\ \text{Substitusikan}~&y = 2 \\ 2 + z + 5 & = 8 \\ z & = 8-7 = 1 \end{aligned}$
Dari baris ke-2 kolom ke-2, didapat
$\begin{aligned} 3x - z + 2 & = 4 \\ \text{Substitusikan}~&z = 1 \\ 3x - 1 + 2 & = 4 \\ 3x+1 & = 4 \\ 3x&=3 \\ x&=1 \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{x+y+z=1+2+1=4}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ , dan $C = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ . Nilai $2A + B - C^T$ adalah $\cdots$
A. $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ D. $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ E. $\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

Karena $C = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ , maka transposnya dinyatakan oleh
$C^T = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} 2A + B - C^T & = 2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4+4-5 & 2+3-4 \\ 6+2-1 & 4+3-2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{2A+B-C^T = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui matriks $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ dan $Q = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ . Matriks $P \times Q$ adalah $\cdots$
A. $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & -16 \end{pmatrix}$ D. $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & -16 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & -19 \end{pmatrix}$ E. $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 19 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -19 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

Dengan menggunakan Aturan Perkalian Matriks, diperoleh
$\begin{aligned} PQ & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2(2) + 1(0) & 2(-1) + 1(4) \\ 3(2) + (-4)(0) & 3(-1) + (-4)(4) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & -19 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $PQ$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & -19 \end{pmatrix} }$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Invers dari matriks $A= \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}$ adalah …
A. $\begin{pmatrix} -4 & -3 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ D. $\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}$ E. $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -5 & -4 \end{pmatrix}$

Penyelesaian

Diketahui $A = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}$
Determinan matriks ini adalah
$\det(A) = -4(4) - 3(-5) = -16 + 15 = -1$
Perhatikan bahwa jika diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , maka inversnya adalah
$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
Dengan demikian, dapat dituliskan
$A^{-1} = \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -(-5) & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}$
Jadi, invers dari matriks $A$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Determinan matriks $Q = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 7 \end{pmatrix}$ adalah …
A. 14 B. 8 C. 2 D. $-2$ E. $-8$

Penyelesaian

Determinan matriks berordo $3 \times 3$ dapat ditentukan secara khusus dengan menggunakan Aturan Sarrus sebagai berikut.

$\begin{aligned} \det(Q) & = (2)(2)(7) + 3(3)(1) + (4)(1)(5) \\ & -((1)(2)(4) + (5)(3)(2) + (7)(1)(3)) \\ & = 28 + 9 + 20 - (8 + 30 + 21) \\ & = 57 - 59 = -2 \end{aligned}$
Jadi, determinan matriks $Q$ adalah $\boxed{\det(Q) = -2}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Sudut $A=140\degree$ bila dinyatakan dalam radian adalah …
A. $\frac29 \pi$ D. $\frac49 \pi$
B. $\frac{7}{18}\pi$ E. $\frac78 \pi$
C. $\frac79 \pi$

Penyelesaian

Konversi derajat ke radian:
$\boxed{a\degree = a \times \dfrac{\pi} {180}}$
Untuk itu,
$140\degree = \cancelto{7}{140} \times \dfrac{\pi} {\cancelto{9}{180}} = \dfrac79\pi$
Jadi, $A = 140\degree$ setara dengan $\boxed{\dfrac79\pi~\text{radian}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui koordinat titik $A(-2\sqrt2,-2\sqrt2)$ . Koordinat kutub dari titik $A$ adalah …
A. $(4,210\degree)$ D. $(5,240\degree)$
B. $(2,240\degree)$ E. $(4,225\degree)$
C. $(2,225\degree)$

Penyelesaian

Diketahui: $x = y = -2\sqrt2$
Koordinat kutubnya berbentuk $(r, \theta)$ , dengan
$\begin{aligned} r & = \sqrt{x^2+y^2} \\ & = \sqrt{(-2\sqrt2)^2+(-2\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{8+8} = 4 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} & \tan \theta = \dfrac{y} {x} = \dfrac{-2\sqrt2}{-2\sqrt2} = 1 \\ & \Rightarrow \theta = 45\degree \lor 225\degree \end{aligned}$
Karena titik $A$ berada di kuadran 3 (nilai $x$ dan $y$ negatif), maka $\theta = 225\degree$ .
Jadi, koordinat kutub dari $A(-2\sqrt2,-2\sqrt2)$ adalah $\boxed{(4, 225\degree)}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 15
Perhatikan gambar berikut!

Nilai $\cos \alpha$ adalah …
A. 1 B. $\sqrt3$ C. $\dfrac12\sqrt3$ D. $\dfrac12$ E. $\dfrac13\sqrt3$

Penyelesaian

Dengan Teorema Pythagoras, panjang $c = AB$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt3)^2+1^2} = \sqrt4=2$
Cosinus sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap hipotenusa (sisi miring) segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\boxed{\cos \alpha = \dfrac{b}{c} = \dfrac{1}{2}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika $\tan \alpha = \dfrac34$ dengan $180\degree \leq \alpha \leq 270\degree$ , nilai $\sin \alpha = \cdots$
A. $-\frac34$ D. $\frac35$
B. $-\frac45$ E. $\frac34$
C. $-\frac35$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $\alpha$ berada di kuadran 3, sehingga tangen sudutnya bernilai positif, sedangkan sinus sudutnya bernilai negatif.

Karena $\tan \alpha = \dfrac34$ , maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya 3, sedangkan panjang sisi samping sudutnya 4 (tan = de/sa) seperti gambar berikut.

Dengan demikian,
$\text{mi} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25}=5$
Untuk itu,
$\sin \alpha = -\dfrac{\text{de}} {\text{mi}} = -\dfrac{3}{5}$
(Sinus sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran 3)
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin \alpha =-\dfrac35}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 17
Perbandingan trigonometri yang senilai dengan $\cos (180\degree + \alpha)$ adalah …
A. $\cos \alpha$ D. $-\cos \alpha$
B. $\tan \alpha$ E. $-\sin \alpha$
C. $\sin \alpha$

Penyelesaian

Untuk kuadran 3, berlaku hubungan relasi sudut:
$\begin{aligned} \sin (180\degree + \alpha) & =-\sin \alpha \\ \cos (180\degree + \alpha) & = -\cos \alpha \\ \tan (180\degree + \alpha) & = \tan \alpha \end{aligned}$
Jadi, perbandingan trigonometri yang senilai dengan $\cos (180\degree + \alpha)$ adalah $\boxed{-\cos \alpha}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 18
Nilai dari $\dfrac{\sin 60\degree}{1 + \cos 60\degree} = \cdots$
A. $\tan 60\degree$ D. $\csc 60\degree$
B. $\tan 30\degree$ E. $\sin 60\degree$
C. $\sec 60\degree$

Penyelesaian

Dengan memasukkan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewanya, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\sin 60\degree}{1 + \cos 60\degree} & = \dfrac{\frac12\sqrt3}{1 + \frac12} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\cancel{2}} \sqrt3}{\frac{3}{\cancel{2}}} \\ & = \dfrac{1}{3}\sqrt3 \end{aligned}$
Bentuk yang nilainya setara dengan $\dfrac13\sqrt3$ adalah $\boxed{\tan 30\degree}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Sebuah tangga dengan panjang 3,2 m bersandar pada tembok dengan bentuk sudut $60\degree$ terhadap lantai. Jarak antara ujung tangga pada lantai dengan tembok adalah … m.
A. $1,6\sqrt3$ D. $3,2\sqrt3$
B. $1,6$ E. $1,6\sqrt2$
C. $1,5$

Penyelesaian

Perhatikan gambar.

Dengan menggunakan perbandingan cosinus, diperoleh
$\begin{aligned} \cos 60\degree & = \dfrac{AB} {AC} \\ \dfrac12 & = \dfrac{AB} {3,2} \\ AB & = \dfrac12 \times 3,2 = 1,6 \end{aligned}$
Jadi, jarak ujung tangga pada lantai dengan tembok adalah $\boxed{1,6~\text{meter}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Nilai maksimum dan minimum dari grafik $y=2 \cos⁡x+1$ adalah …
A. 3 dan $-3$ D. 2 dan $-1$
B. 3 dan $-2$ E. 2 dan 0
C. 3 dan $-1$

Penyelesaian

Karena nilai maksimum dari $\cos x$ adalah 1, maka nilai maksimum dari $y = 2 \cos x + 1$ tercapai saat $\cos x = 1$ , yaitu $y_{\text{maks}} = 2(1)+1=3$ .
Karena nilai minimum dari $\cos x$ adalah $-1$ , maka nilai minimum dari $y = 2 \cos x + 1$ tercapai saat $\cos x = -1$ , yaitu $y_{\text{min}} = 2(-1)+1=-1$ .
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Jika $\tan A = \dfrac12$ dengan $180\degree \leq A \leq 270\degree$ , nilai $\sin A \cos A = \cdots$
A. $\frac52$ D. $-\frac25$
B. $\frac35$ E. $-\frac52⁡$
C. $\frac25$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $A$ berada di kuadran 3, sehingga sinus sudutnya bernilai negatif, cosinus sudut bernilai negatif, dan tangen sudut bernilai positif.

Karena $\tan A= \dfrac12$ , maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya 1, sedangkan panjang sisi samping sudutnya 2 (tan = de/sa) seperti gambar berikut.

Dengan demikian,
$\text{mi} = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} \sin A \cos A & = -\dfrac{\text{de}} {\text{mi}} \times \left(-\dfrac{\text{sa}} {\text{mi}}\right) \\ & = -\dfrac{1}{\sqrt5} \times \left(-\dfrac{2}{\sqrt5}\right) \\ & = \dfrac25 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin A \cos A =\dfrac25}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Nilai dari $\sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi$ adalah …
A. $-\sqrt{3}$ D. 1
B. $-1$ E. $\sqrt3$
C. 0

Penyelesaian

Konversi radian ke derajat:
$\boxed{a~\text{rad} = a \times \dfrac{180\degree} {\pi}}$
Untuk itu,
$\begin{aligned} & \dfrac23\pi = \dfrac23\pi \times \dfrac{180\degree} {\pi} = 120\degree \\ & \dfrac73\pi = \dfrac73\pi \times \dfrac{180\degree} {\pi} = 420\degree \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} & \sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi \\ & = \sin 120\degree + \sin 420\degree \\ & = \sin (180-60)\degree + \sin (360+60)\degree \\ & = \sin 60\degree + \sin 60\degree \\ & = \dfrac12\sqrt3 +\dfrac12\sqrt3 = \sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi = \sqrt3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 23
Jika diketahui segitiga $PQR$ dengan $p=4,q=6$ , dan $r=7$ , maka besar $\cos ⁡Q$ adalah …
A. $\frac{28}{56}$ B. $\frac{29}{56}$ C. $\frac{30}{56}$ D. $\frac{31}{56}$ E. $\frac{32}{56}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh
$\begin{aligned} \cos Q & = \dfrac{p^2 + r^2 - q^2}{2pr} \\ & = \dfrac{4^2+7^2-6^2}{2(4)(7)} \\ & = \dfrac{16+49-36}{56} = \dfrac{29}{56} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\cos Q = \dfrac{29}{56}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 24
Diketahui segitiga $ABC$ dengan $AC=5$ cm, $AB=7$ cm, dan $\angle BCA=120\degree$ . Keliling segitiga $ABC$ adalah …
A. 14 cm D. 17 cm
B. 15 cm E. 18 cm
C. 16 cm

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Keliling segitiga didapat dengan menjumlahkan seluruh panjang sisi segitiga. Karena $BC$ tidak diketahui panjangnya, maka harus ditentukan lebih dulu dengan menggunakan Aturan Cosinus.
$\begin{aligned} AB^2 & = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos 120\degree \\ 7^2 & = 5^2 + BC^2 - 2 \cdot 5 \cdot BC \cdot \left(-\dfrac12\right) \\ 49 & = 25 + BC^2 + 5BC \\ 0 & = BC^2 + 5BC - 24 \\ 0 & = (BC + 8)(BC - 3) \end{aligned}$
Diperoleh $BC = -8$ (tidak memenuhi) atau $BC = 3$ .
Dengan demikian, keliling segitiga $ABC$ adalah
$\boxed{AB+AC+BC = 7 + 5 + 3 = 15~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 25
Dari segitiga $ABC$ dengan $BC=36$ cm, $\angle A=120\degree$ , dan $\angle B=30\degree$ , luas segitiga $ABC = \cdots~\text{cm}^2$
A. $432$ D. $216$
B. $324$ E. $108\sqrt{3}$
C. $216\sqrt{3}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

$\begin{aligned} \angle C & = 180\degree - (\angle A + \angle B) \\ &= 180\degree - (120\degree + 30\degree) = 30\degree \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus luas segitiga menurut aturan trigonometri (3 sudut dan 1 sisi), diperoleh
$\begin{aligned} L & = \dfrac{BC^2 \sin B \sin C}{2 \sin A} \\ & = \dfrac{36^2 \sin 30\degree \sin 30\degree}{2 \sin 120\degree} \\ & = \dfrac{\cancelto{18}{36} \times \cancelto{18}{36} \times \frac{1}{\cancel2} \times \frac{1}{\cancel2}}{2 \times \frac12\sqrt3} \\ & = \dfrac{18 \times 18}{\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{324}{\sqrt3} \times \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3} \\ & = \dfrac{324}{3}\sqrt3 = 108\sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga $ABC = 108\sqrt3~\text{cm}^2$
(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Esai

Soal Nomor 1
Modal Rp250.000,00 ditabung dengan bunga majemuk 30% per tahun. Hitunglah modal tersebut setelah tahun ke-3!

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} M_0 & = 250.000 \\ i & = 30\% = 0,3 \\ n & = 3 \end{aligned}$
Ditanya: $M = \cdots$
$\begin{aligned} M & = M_0(1+i)^n \\ & = 250.000(1+0,3)^3 \\ & = 250.000(2,197) \\ & = 549.250 \end{aligned}$
Jadi, besar modal tersebut pada akhir tahun ke-3 adalah Rp549.250,00

[collapse]

Soal Nomor 2
Suatu utang akan dilunasi dengan cara anuitas bulan dengan suku bunga majemuk 3% per bulan. Jika bunga dan angsuran pada bulan pertama masing-masing Rp22.500,00 dan Rp127.500,00, hitung bunga pada bulan kedua!

Penyelesaian

Diketahui:
$\begin{aligned} i & = 3\% = 0,03 \\ b_1 & = 22.500 \\ a_1 & = 127.500 \\ n & = 2 \end{aligned}$
Ditanya: $b_2 = \cdots$
Besarnya angsuran pada bulan ke-2 dinyatakan oleh
$\begin{aligned} a_n & = a_1(1+i)^{n-1} \\ a_2 & = 127.500(1+0,03)^{2-1} \\ & = 127.500(1,03) = 131.325 \end{aligned}$
Dengan menerapkan kesamaan nilai anuitas untuk setiap periode, diperoleh
$\begin{aligned} a_1+b_1 & = a_2+b_2 \\ 127.500 + 22.500 & = 131.325 + b_2 \\ 150.000 & = 131.325 + b_2 \\ 18.675 & = b_2 \end{aligned}$
Jadi, bunga pada bulan ke-2 sebesar Rp18.675,00.

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}$ , tentukan $A+B^T$ !

Penyelesaian

$\begin{aligned} A+B^T & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1+1 & 2+3 & 3+5 \\ 4+2 & 5+4 & 6+5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 8 \\ 6 & 9 & 11 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{A+B^T = \begin{pmatrix} 2 &5&8 \\ 6&9&11 \end{pmatrix}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika diketahui matriks $P=\begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ dan $Q = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , tentukan $PQ$ !

Penyelesaian

Dengan menggunakan Aturan Perkalian Matriks, diperoleh
$\begin{aligned} PQ & = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0(2) + (-3)(1) & 0(3) + (-3)(0) \\ 2(2) + 4(1) & 2(3) + 4(0) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $PQ$ adalah $\boxed{\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} }$

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika diketahui $\sin \alpha = 0,6$ dengan $90\degree<\alpha<180\degree$ , tentukan nilai $\tan \alpha$ !

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $\alpha$ berada di kuadran 2, sehingga sinus sudutnya bernilai positif, sedangkan tangen sudutnya bernilai negatif.

Karena $\sin \alpha = 0,6 = \dfrac35$ , maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya 3, sedangkan panjang hipotenusa (sisi miring) adalah 5 (sin = de/mi) seperti gambar berikut.

Dengan demikian,
$\text{sa} = \sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{16}=4$
Untuk itu,
$\tan \alpha = -\dfrac{\text{de}} {\text{sa}} = -\dfrac{3}{4}$
(Tangen sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran 2)
Jadi, nilai dari $\boxed{\tan \alpha =-\dfrac34}$