Soal dan Pembahasan – Ulangan Umum Matematika Kelas XI Semester Genap TA 2018/2019 SMKN 3 Pontianak

       Berikut ini merupakan soal (disertai pembahasannya) ulangan umum matematika kelas XI semester genap tahun ajaran 2018/2019 SMKN 3 Pontianak yang diujikan tanggal 16 April 2019. Materi yang diujikan adalah: Peluang, Bangun Ruang (Dimensi Tiga), dan Logika Matematika.
Penulis mengarsipkannya sebagai bahan referensi untuk belajar. Semoga membantu dan bermanfaat! 
Silakan unduh soalnya dalam format PDF di sini.

Today Quote

Kebanyakan ngomong “TAPI” (banyak alasan) dan “NANTI” (suka menunda-nunda) adalah komposisi untuk membentuk mental pecundang.

Bagian Pilihan Ganda
Berilah tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang dianggap benar!

Soal Nomor 1
Rafardhan mempunyai $5$ celana, $7$ kaus, dan $4$ topi. Banyaknya cara Rafardhan dapat memakai celana, kaus, dan topi yang berbeda adalah $\cdots \cdot$
A. $24$                            D. $120$
B. $48$                            E. $140$
C. $55$

Penyelesaian

Dengan menggunakan Aturan Perkalian, banyaknya cara ada $\boxed{5 \times 7 \times 4 = 140}$ 
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Dari angka $1, 2, 3, 7$, dan $8$ akan disusun bilangan ganjil yang terdiri atas $3$ angka. Jika tidak ada angka yang boleh diulang, maka banyaknya bilangan yang diperoleh adalah $\cdots \cdot$
A. $28$                    C. $32$                    E. $40$
B. $30$                    D. $36$         

Penyelesaian

Pada bilangan $3$-angka, terdapat digit ratusan, puluhan, dan satuan. 
Karena bilangannya ganjil, maka untuk mengisi angka satuan hanya dipilih angka $1, 3$, dan $7$ (ada $\boxed{3}$ cara). 
Untuk mengisi angka puluhan, tersisa $\boxed{4}$ bilangan (termasuk $2$ dan $8$), di mana satu bilangan telah dipilih untuk mengisi angka satuan tadi. 
Untuk mengisi angka ratusan, tersisa $\boxed{3}$ bilangan, di mana dua bilangan masing-masing telah dipilih untuk mengisi angka satuan dan puluhan. 
Jadi, ada $\boxed{3 \times 4 \times 3 = 36~\text{bilangan}}$ yang dapat dibentuk.
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 3
Nilai $n$ yang memenuhi persamaan $\dfrac{n!}{(n-2)!} =30$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10$         B. $9$          C. $8$           D. $7$           E. $6$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \dfrac{n!}{(n-2)!} & = 30 \\ \dfrac{n \times (n-1) \times \cancel{(n-2)!}} {\cancel{(n-2)!}} & = 30 \\ n(n-1)&=30 \\ n^2-n-30&=0 \\ (n-6)(n+5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $n=6$ atau $n = -5$. Karena $n$ tertulis dalam notasi faktorial, maka $n = -5$ tidak memenuhi. Jadi, nilai $\boxed{n = 6}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai $n$ yang memenuhi $_{n-1}P_2=6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$         B. $7$            C. $6$             D. $5$            E. $4$

Penyelesaian

Notasi $P$ menyatakan permutasi. Secara matematis, ditulis
$_nP_k = \dfrac{n!} {(n-k)!}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} _{n-1}P_2 & =6 \\ \dfrac{(n-1)!} {(n-1-2)!} & = 6 \\ \dfrac{(n-1) \times (n-2) \times \cancel{ (n-3)!}} {\cancel{(n-3)!}} & = 6 \\ (n-1)(n-2) & = 6 \\ n^2 – 3n – 4 & = 0 \\ (n-4)(n+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $n = 4$ atau $n=-1$ (tidak memenuhi). Jadi, nilai $\boxed{n=4}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Dari $5$ orang akan dipilih $3$ orang sebagai juara I, II, dan III. Banyaknya susunan pemenang yang dapat terjadi adalah $\cdots \cdot$
A. $120$                      C. $60$                    E. $15$
B. $90$                        D. $30$        

Penyelesaian

Kasus ini termasuk kasus permutasi, karena susunan pemenang akan dianggap berbeda apabila orangnya dibolak-balik posisi juaranya. 
Permutasi $3$ objek dari $5$ objek, sebanyak
$_3P_5 = \dfrac{5!} {(5-3)!} = \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times \cancel{2!}} {\cancel{2!}} = 60$
Jadi, ada $\boxed{60}$ susunan pemenang yang dapat terjadi.
(Jawaban C)
 

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai $n$ yang memenuhi $_{n+1}C_2 =15$ adalah $\cdots \cdot$
A. $9$         B. $8$          C. $7$            D. $6$             E. $5$

Penyelesaian

Notasi $C$ menyatakan kombinasi. Secara matematis, ditulis
$_nC_k = \dfrac{n!} {(n-k)!k!}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} _{n+1}C_2 & =15 \\ \dfrac{(n+1)!} {(n+1-2)! \times 2!} & = 15 \\ \dfrac{(n+1)\times n \times \cancel{(n-1)!}} {\cancel{(n-1)!} \times 2} & = 15 \\ (n+1)(n) & = 30 \\ n^2+n-30 & = 0 \\ (n+6)(n-5)&=30 \end{aligned}$
Diperoleh $n = -6$ (tidak memenuhi) atau $n=5$. Jadi, nilai $\boxed{n=5}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Dalam suatu pertemuan terdapat $12$ orang yang akan berjabat tangan satu sama lain. Banyak jabat tangan yang terjadi adalah $\cdots \cdot$
A. $96$                     C. $56$                      E. $24$
B. $66$                     D. $36$         

Penyelesaian

Cara 1: Formal
Jabat tangan melibatkan $2$ orang dan akan dianggap suatu kejadian yang sama: $A$ bersalaman dengan $B$ dan $B$ bersalaman dengan $A$, sehingga ini tergolong kasus kombinasi. 
Kombinasi $2$ objek dari $12$ objek, sebanyak
$\begin{aligned} _{12}C_2 & = \dfrac{12!} {(12-2)! \times 2!} \\ & = \dfrac{12 \times 11 \times \cancel{10!}} {\cancel{10!} \times 2} \\ & = \dfrac{\cancelto{6}{12} \times 11}{\cancel{2}} = 66 \end{aligned}$
Cara 2: Dasar
$A$ dapat berjabat tangan dengan $11$ orang lainnya. $B$ dapat berjabat tangan dengan $10$ orang lainnya (tidak berjabat tangan dengan $A$ karena sudah terhitung sebelumnya). $C$ dapat berjabat tangan dengan $9$ orang lainnya dan seterusnya. 
Banyak jabat tangan yang terjadi adalah
$11+10+9+8+\cdots+2+1 = 66$
Jadi, ada $\boxed{66}$ jabat tangan yang dapat terjadi.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8
Banyaknya susunan huruf yang dapat disusun dari kata “AGUSTUS” adalah $\cdots \cdot$ 
A. $2.920$                        D. $1.260$
B. $2.520$                        E. $1.050$
C. $1.620$

Penyelesaian

Kata “AGUSTUS” terdiri dari $7$ huruf, dengan huruf U muncul $2$ kali dan juga huruf S muncul $2$ kali, sehingga termasuk kasus permutasi berulang. 
Banyak susunan kata yang dapat terbentuk adalah
$\begin{aligned} \dfrac{7!} {2! \times 2!} & = \dfrac{7 \times 6 \times 5 \times \cancelto{2}{4} \times 3 \times \cancel{2!}} {\cancel{2!} \times \cancel{2}} \\ & = 7 \times 6 \times 5 \times 2 \times 3 = 1.260 \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{1.260}$ susunan kata yang dapat dibentuk.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Sebuah kartu diambil dari seperangkat kartu remi. Peluang terambilnya kartu Queen adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{9}{13}$                    C. $\dfrac{5}{13}$                E. $\dfrac{1}{13}$
B. $\dfrac{7}{13}$                    D. $\dfrac{3}{13}$       

Penyelesaian

Satu set kartu remi terdiri dari $52$ kartu ($+2$ kartu Joker), tetapi umumnya kartu Joker tak dipakai. 
Kartu Queen ada empat, yaitu Queen Diamond (wajik), Queen Spade (sekop), Queen Hearts (hati), dan Queen Club (Keriting). 
Dengan demikian, peluang terambilnya sebuah kartu Queen dari 52 kartu adalah $\boxed{P(\text{Queen}) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Dua buah dadu dilempar sekali. Peluang muncul jumlah mata dadu lebih dari $7$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{2}$                    C. $\dfrac{5}{12}$                 E. $\dfrac{13}{36}$
B. $\dfrac{4}{9}$                    D. $\dfrac{7}{18}$        

Penyelesaian

Berjumlah lebih dari $7$, berarti boleh $8, 9, 10, 11$, atau $12$.
Misalkan $A$ adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu $8$, sehingga
$A = \{(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)\}$
dengan $\text{n}(A) = 5$
Misalkan $B$ adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu $9$, sehingga 
$B = \{(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)\}$
dengan $\text{n}(B) = 4$
Misalkan $C$ adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu $10$, sehingga
$C = \{(4, 6), (6, 4), (5, 5)\}$
dengan $\text{n}(C) = 3$
Misalkan $D$ adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu $11$, sehingga
$D = \{(5, 6), (6, 5)\}$
dengan $\text{n}(D) = 2$
Misalkan $E$ adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu $12$, sehingga
$E = \{(6, 6)\}$
dengan $\text{n}(E) = 1$
Banyaknya anggota ruang sampel untuk $2$ dadu yang masing-masingnya memiliki $6$ sisi adalah $\text{n}(S) = 6 \times 6= 36$
Jadi, peluangnya adalah 
$\begin{aligned} & p(A \cup B \cup C \cup D \cup E) \\ & = \dfrac{\text{n}(A) + \text{n}(B) + \text{n}(C) + \text{n}(D) + \text{n}(E)} {\text{n}(S)} \\ & = \dfrac{5+4+3+2+1}{36} \\ & = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12} \end{aligned}$ 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Sepasang suami istri berencana memiliki $3$ anak. Peluang anak yang lahir ketiganya laki-laki adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{2}$       B. $\dfrac{1}{3}$          C. $\dfrac{1}{4}$          D. $\dfrac{1}{5}$           E. $\dfrac{1}{8}$

Penyelesaian

Banyaknya anggota ruang sampel ada $2$, yaitu laki-laki dan perempuan. 
Peluang kelahiran anak pertama laki-laki adalah $\dfrac12$
Peluang kelahiran anak kedua laki-laki adalah $\dfrac12$
Peluang kelahiran anak ketiga laki-laki adalah $\dfrac12$
Jadi, peluang anak yang lahir ketiganya laki-laki adalah $\boxed{\dfrac12 \times \dfrac12 \times \dfrac12 = \dfrac18}$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang (Tingkat SMP/Sederajat)

Soal Nomor 12
Tiga mata uang logam dilempar bersama-sama sebanyak $320$ kali. Frekuensi harapan muncul dua angka dan satu gambar adalah $\cdots \cdot$ kali.
A. $60$                           D. $240$
B. $80$                           E. $280$
C. $120$

Penyelesaian

Misalkan $M$ adalah kejadian munculnya $2$ angka ($A$) dan $1$ gambar ($G$), sehingga
$M = \{(A, A, G), (A, G, A), (G, A, A)\}$
sehingga $\text{n}(M) = 3$ 
Banyaknya anggota ruang sampel untuk 3 koin yang masing-masingnya memiliki $2$ sisi adalah $\text{n}(S) = 2 \times 2 \times 2 = 8$
Jadi, peluangnya adalah $p(M) = \dfrac{\text{n}(M)} {\text{n}(S)} = \dfrac{3}{8}$ 
Frekuensi harapan munculnya dua angka dan satu gambar adalah
$\boxed{p(M) \times n = \dfrac{3}{8} \times 320 = 120~\text{kali}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6$ cm. Jarak antara titik $B$ dan $EG$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\sqrt{6}~\text{cm}$            D. $6\sqrt{6}~\text{cm}$
B. $4\sqrt{6}~\text{cm}$            E. $7\sqrt{6}~\text{cm}$
C. $5\sqrt{6}~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pada segitiga $BEG$, diketahui $BE, EG$, dan $BG$ semuanya merupakan diagonal bidang kubus, sehingga segitiga $BEG$ merupakan segitiga sama sisi dengan panjang $BE = EG = BG = 6\sqrt{2}~\text{cm}$. Untuk itu, jarak $B$ ke $EG$ adalah jarak $B$ ke $O$ di mana $O$ titik tengah $EG$. 
Sekarang tinjau segitiga siku-siku $BOG$. Diketahui: $OG = \dfrac12 EG = \dfrac12(6\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}~\text{cm}$ dan $BG = 6\sqrt{2}~\text{cm}$
Panjang $BO$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras
$\begin{aligned} BO & = \sqrt{BG^2 -OG^2} \\ & = \sqrt{(6\sqrt{2})^2- (3\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{72-18} \\ & = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak $B$ ke $EG$ adalah $\boxed{3\sqrt{6}~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras

Soal Nomor 14
Diketahui $T.ABCD$ limas segiempat beraturan yang memiliki panjang rusuk alas $12$ cm dan panjang rusuk tegak $12\sqrt{2}~\text{cm}$. Jarak titik $A$ ke $TC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\sqrt{6}~\text{cm}$             D. $6\sqrt{6}~\text{cm}$
B. $4\sqrt{6}~\text{cm}$             E. $7\sqrt{6}~\text{cm}$
C. $5\sqrt{6}~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.



Panjang diagonal alasnya adalah
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2 + BC^2} \\ & = \sqrt{12^2 + 12^2} = 12\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}$
Segitiga $ATC$ merupakan segitiga sama sisi karena $AC = AT = TC = 12\sqrt{2}~\text{cm}$
Dengan demikian, jarak titik $A$ ke $TC$ adalah jarak titik $A$ ke titik $O$ di mana $O$ titik tengah $TC$ seperti gambar.
Perhatikan segitiga siku-siku $AOC$
Diketahui: $AC = 12\sqrt{2}~\text{cm}$ dan $OC = \dfrac12 TC = \dfrac12(12\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}~\text{cm}$
Panjang $AO$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} AO & = \sqrt{AC^2-OC^2} \\ & = \sqrt{(12\sqrt{2})^2 – (6\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{288-72} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $A$ ke $TC$ adalah $\boxed{6\sqrt{6}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Dimensi Tiga (Konsep Jarak)

Soal Nomor 15
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a$ cm. Jarak titik $E$ ke bidang diagonal $BDHF$ adalah $\cdots \cdot$ 
A. $\dfrac12 a\sqrt{3}~\text{cm}$                  D. $\dfrac12a~\text{cm}$
B. $\dfrac12 a\sqrt{2}~\text{cm}$                  E. $\dfrac14a~\text{cm}$
C. $\dfrac14 a\sqrt{2}~\text{cm}$   

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak titik $E$ ke bidang diagonal $BDHF$ sama dengan jarak titik $E$ ke titik tengah diagonal $HF$. 
Misalkan $O$ titik tengah diagonal $HF$. $EG$ merupakan diagonal bidang dengan panjang $a\sqrt{2}~\text{cm}$.
Perhatikan bahwa panjang $EO$ merupakan setengah dari panjang diagonal $EG$, sehingga
$EO = \dfrac12(a\sqrt{2}) = \dfrac12 a\sqrt{2}~\text{cm}$ 
Jadi, jarak titik $E$ ke bidang diagonal $BDHF$ adalah $\boxed{\dfrac12 a\sqrt{2}~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $12$ cm. Jarak ruas garis $HD$ dan $EG$ adalah $\cdots \cdot$
A. $6~\text{cm}$                     D. $8~\text{cm}$
B. $6\sqrt{2}~\text{cm}$               E. $8\sqrt{2}~\text{cm}$
C. $6\sqrt{3}~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.Jarak $HD$ ke $EG$ sama dengan jarak $H$ ke titik tengah $EG$. Misalkan $O$ titik tengah $EG$, sehingga kita peroleh sebuah segitiga siku-siku $HEO$ (siku-siku di $O$). 
Diketahui panjang $EH = 12~\text{cm}$. Panjang diagonal bidang $EG = s\sqrt{2} = 12\sqrt{2}~\text{cm}$, sehingga $EO = \dfrac12EG = \dfrac12(12\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}~\text{cm}$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, didapat
$\begin{aligned} HO & = \sqrt{EH^2 – EO^2} \\ & = \sqrt{12^2-(6\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{144-72} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak ruas garis $HD$ dan $EG$ adalah $\boxed{6\sqrt{2}~\text{cm}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $8$ cm. Jarak titik $B$ ke garis $HC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $12\sqrt{2}~\text{cm}$                  D. $8~\text{cm}$
B. $8\sqrt{5}~\text{cm}$                    E. $4\sqrt{6}~\text{cm}$
C. $8\sqrt{3}~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak titik $B$ ke $HC$ sama dengan jarak titik $B$ ke $C$. Perhatikan bahwa $BC$ merupakan rusuk kubus, sehingga panjang $BC = 8~\text{cm}$. 
Jadi, jarak titik $B$ ke garis $HC$ adalah $\boxed{8~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Dimensi Tiga (Konsep Sudut)

Soal Nomor 18
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2a$ cm. Panjang ruas garis $HB$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(2a\sqrt{3} – a\sqrt{2})~\text{cm}$            D. $2a\sqrt{2}~\text{cm}$
B. $a\sqrt{2}~\text{cm}$                              E. $2a\sqrt{3}~\text{cm}$
C. $a\sqrt{3}~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pertama, perhatikan segitiga $ABD$ (siku-siku di $A$). Panjang $BD$ dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} BD & = \sqrt{AB^2 + AD^2} \\ & = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} \\ & = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan segitiga $BDH$ (siku-siku di $D$). Panjang $HB$ juga dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} HB & = \sqrt{BD^2 + DH^2} \\ & = \sqrt{(2a\sqrt{2})^2 + (2a)^2} \\ & = \sqrt{8a^2 + 4a^2} \\ & = \sqrt{12a^2} = 2a\sqrt{3}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang ruas garis $HB$ adalah $\boxed{2a\sqrt{3}~\text{cm}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 19
Diketahui sebuah balok $PQRS.TUVW$ dengan panjang $15$ cm, lebar $7$ cm, dan tinggi $5$ cm. Jarak antara bidang alas $PQRS$ dan bidang atas $TUVW$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5~\text{cm}$                           D. $7~\text{cm}$
B. $5\sqrt{2}~\text{cm}$                      E. $7\sqrt{2}~\text{cm}$
C. $5\sqrt{3}~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak antara bidang alas $PQRS$ dan bidang atas $TUVW$ sama dengan tinggi balok tersebut. Dengan demikian, jarak kedua bidang itu adalah $\boxed{5~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20
Diketahui sebuah limas $T.ABCD$ dengan sisi alas berbentuk persegi dan panjang rusuk alas $6$ cm serta panjang rusuk tegaknya $5$ cm. Tinggi limas tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{7}~\text{cm}$                     D. $4~\text{cm}$
B. $3~\text{cm}$                         E. $3\sqrt{2}~\text{cm}$
C. $\sqrt{13}~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan proyeksi titik $T$ ke bidang alas $ABCD$ adalah titik $O$ yang terletak di tengah-tengah bidang itu. Sekarang, perhatikan segitiga $AOT$ (siku-siku di $O$). Karena $AC$ merupakan diagonal bidang alas (persegi), maka $AC = 6\sqrt{2}~\text{cm}$, sehingga $AO = \dfrac{1}{2}(AC) = \dfrac12(6\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}~\text{cm}$
$AT$ merupakan rusuk tegak limas, sehingga $AT = 5~\text{cm}$. Dalam bentuk ini, $OT$ merupakan tinggi limas yang akan dicari panjangnya dengan menggunakan Teorema Pythagoras
$\begin{aligned} OT & = \sqrt{AT^2 -AO^2} \\ & = \sqrt{5^2 -(3\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{25-18} = \sqrt{7}~\text{cm}\end{aligned}$
Jadi, tinggi limas tersebut adalah $\boxed{\sqrt{7}~\text{cm}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $8$ cm. Panjang proyeksi $DE$ pada $BDHF$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2\sqrt{2}~\text{cm}$                      D. $4\sqrt{6}~\text{cm}$
B. $2\sqrt{6}~\text{cm}$                      E. $8\sqrt{2}~\text{cm}$
C. $4\sqrt{2}~\text{cm}$

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Proyeksi $DE$ pada $BDHF$ adalah $OD$, di mana $O$ titik tengah $HF$.
Pada segitiga $HOD$ (siku-siku di $H$), diketahui panjang $DH = 8~\text{cm}$. Karena panjang $HF$ (diagonal bidang) $8\sqrt{2}~\text{cm}$, maka $HO = \dfrac12(HF) = \dfrac12(8\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}~\text{cm}$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} OD & = \sqrt{DH^2 + HO^2} \\ & = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, panjang proyeksinya adalah panjang $OD$, yaitu $\boxed{4\sqrt{6}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Berikut ini yang bukan termasuk pernyataan adalah $\cdots \cdot$
$$\begin{aligned} & \text{A. Semua bilangan}~\text{prima merupakan bilangan}~\text{ganjil} \\ & \text{B. Ada bilangan}~\text{prima yang genap} \\ & \text{C. Ada segi}\text{tiga yang jumlah seluruh sudutnya tidak}~180^{\circ} \\ & \text{D. Harga beras naik membuat semua orang pusing} \\ & \text{E. Jakarta merupakan ibu kota Indo}\text{nesia} \end{aligned}$$

Penyelesaian

Dalam matematika, suatu kalimat disebut pernyataan apabila nilai kebenarannya dapat ditentukan. 
Pilihan A: “Semua bilangan prima merupakan bilangan ganjil” (bernilai salah) 
Pilihan B: “Ada bilangan prima yang genap” (bernilai benar) 
Pilihan C: “Ada segitiga yang jumlah seluruh sudutnya tidak $180^{\circ}$” (bernilai salah) 
Pilihan D: “Harga beras naik membuat semua orang pusing” (tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya karena bersifat relatif) 
Pilihan E: “Jakarta merupakan ibu kota Indonesia” (bernilai benar) 
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 23
Nilai $x$ agar pernyataan “$x$ bilangan prima dan $3x^2-1=26$” bernilai benar adalah $\cdots \cdot$
A. $2$          B. $3$            C. $5$            D. $7$           E. $9$

Penyelesaian

Pernyataan majemuk yang diberikan di atas merupakan konjungsi (dihubungkan oleh kata “dan”). 
Agar konjungsi bernilai benar, maka kedua pernyataan harus bernilai benar. 
Pernyataan pertama: $x$ bilangan prima
Pernyataan kedua: $3x^2-1=26$
Karena $3x^2-1=26$ masih berbentuk kalimat terbuka, maka kita harus menentukan nilai $x$ agar persamaan tersebut bernilai benar. 
$\begin{aligned} 3x^2-1=26 \\ 3x^2 & = 27 \\ x^2 & = 9 \\ x & = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \end{aligned}$
Kita peroleh 2 nilai $x$ yaitu $x=3$ atau $x=-3$. Karena $x=-3$ bukan bilangan prima, maka satu-satunya nilai $x$ yang memenuhi untuk membuat pernyataan pertama bernilai benar adalah $\boxed{x=3}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 24
Negasi dari “Ada siswa yang pergi ke sekolah dengan menggunakan bus” adalah $\cdots \cdot$
$$\begin{aligned} & \text{A. Setiap siswa pergi ke sekolah dengan menggunakan bus} \\ & \text{B. Beberapa siswa pergi ke sekolah dengan menggunakan bus} \\ & \text{C. Semua siswa pergi ke sekolah dengan menggunakan bus} \\ & \text{D. Beberapa siswa tidak pergi ke sekolah dengan menggunakan bus} \\  & \text{E. Setiap siswa tidak pergi ke sekolah dengan menggunakan bus} \end{aligned}$$

Penyelesaian

Negasi (ingkaran) adalah operasi logika yang membalikkan kebenaran suatu pernyataan.  Negasi dari kata “ada” adalah “setiap” atau “semua“.
Negasi dari “Ada siswa yang pergi ke sekolah dengan menggunakan bus” adalah “Setiap siswa tidak pergi ke sekolah dengan menggunakan bus“.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 25
Negasi dari pernyataan “Rizki merupakan anak yang rajin dan pandai melukis” adalah $\cdots \cdot$
$$\begin{aligned} & \text{A. Rizki merupakan anak yang tidak rajin dan tidak pandai melukis} \\ & \text{B. Rizki merupakan anak yang rajin atau pandai melukis} \\ & \text{C. Rizki merupakan anak yang tidak rajin atau tidak pandai melukis} \\ & \text{D. Rizki merupakan anak yang rajin atau tidak pandai melukis} \\ & \text{E. Rizki merupakan anak yang tidak rajin atau pandai melukis} \end{aligned}$$

Penyelesaian

Negasi (ingkaran) adalah operasi logika yang membalikkan kebenaran suatu pernyataan.  Negasi dari kata “dan” adalah “atau” (konjungtif menjadi disjungtif). Secara simbolik, kita tulis
$\sim (p \land q) = \sim p~\lor \sim q$
Dalam kasus ini,
$p$: Rizki merupakan anak yang rajin.
$q$: Rizki pandai melukis.
Untuk itu, negasi dari pernyataan “Rizki merupakan anak yang rajin dan pandai melukis” adalah “Rizki merupakan anak yang tidak rajin atau tidak pandai melukis“.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 26
Ingkaran dari pernyataan “Jika Wati pandai mengoperasikan komputer, maka ia diterima sebagai karyawan” adalah $\cdots \cdot$
$$\begin{aligned} & \text{A. Wati pandai mengoperasikan komputer dan diterima sebagai karyawan} \\ & \text{B. Wati pandai mengoperasikan komputer atau diterima sebagai karyawan} \\ & \text{C. Wati tidak pandai mengoperasikan komputer dan diterima sebagai karyawan} \\ & \text{D. Wati tidak pandai mengoperasikan komputer atau tidak diterima sebagai karyawan} \\ & \text{E. Wati pandai mengoperasikan komputer dan tidak diterima sebagai karyawan} \end{aligned}$$

Penyelesaian

Bentuk yang ekuivalen dengan $p \implies q$ adalah $\sim p \lor q$.
Dengan demikian, negasi (ingkaran) dari $p \implies q$ ekuivalen dengan $p~\land \sim q$. Secara simbolik, kita tulis
$\sim (p \implies q) \equiv p~\land \sim q$
(Simbol $\equiv$ dibaca: ekuivalen)
Misalkan
$p$: Wati pandai mengoperasikan komputer;
$q$: Wati diterima sebagai karyawan.
Dengan demikian, ingkaran dari pernyataan “Jika Wati pandai mengoperasikan komputer, maka ia diterima sebagai karyawan” adalah “Wati pandai mengoperasikan komputer dan ia tidak diterima sebagai karyawan“.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 27
Invers pernyataan “Jika rakyat membayar pajak, maka pembangunan berjalan lancar” adalah $\cdots \cdot$
$$\begin{aligned} & \text{A. Jika rakyat membayar pajak, maka pembangunan tidak berjalan lancar} \\ & \text{B. Jika rakyat tidak membayar pajak, maka pembangunan berjalan lancar} \\ & \text{C. Jika pembangunan berjalan lancar, maka rakyat membayar pajak} \\ & \text{D. Jika pembangunan berjalan lancar, maka rakyat tidak membayar pajak} \\ & \text{E. Jika rakyat tidak membayar pajak, maka pembangunan tidak berjalan lancar} \end{aligned}$$

Penyelesaian

Pernyataan implikasi (jika maka) di atas berbentuk $p \implies q$, sehingga inversnya berbentuk $\sim p \implies \sim q$. Dengan demikian, invers pernyataan “Jika rakyat membayar pajak, maka pembangunan berjalan lancar” adalah “Jika rakyat tidak membayar pajak, maka pembangunan tidak berjalan lancar“.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 28
Kontraposisi dari pernyataan “Jika Anda jujur, maka Anda dipercaya” adalah $\cdots \cdot$
$$\begin{aligned} & \text{A. Jika Anda tidak dipercaya, maka Anda tidak jujur} \\ & \text{B. Jika Anda tidak jujur, maka Anda tidak dipercaya} \\ & \text{C. Jika Anda tidak jujur, maka Anda dipercaya} \\ & \text{D. Jika Anda tidak dipercaya, maka Anda jujur} \\ & \text{E. Jika Anda dipercaya, maka Anda jujur} \end{aligned}$$

Penyelesaian

Pernyataan implikasi (jika maka) di atas berbentuk $p \implies q$, sehingga kontraposisinya berbentuk $\sim q \implies \sim p$. Dengan demikian, kontraposisi dari pernyataan “Jika Anda jujur, maka Anda dipercaya” adalah “Jika Anda tidak dipercaya, maka Anda tidak jujur“.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 29
Dari pernyataan majemuk $p \implies q$, konversnya adalah $\cdots \cdot$
A. $q \implies p$
B. $\sim p \implies \sim q$
C. $\sim q \implies \sim p$
D. $p \implies \sim q$
E. $\sim p \implies q$

Penyelesaian

Implikasi berbentuk: $p \implies q$
Konversnya berbentuk: $q \implies p$
Inversnya berbentuk: $\sim p \implies \sim q$
Kontraposisinya berbentuk: $\sim q \implies \sim p$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 30
Diketahui premis
$P$: Jika Toni memenangkan olimpiade matematika, maka Toni memperoleh medali emas.
$Q$: Toni tidak memperoleh medali emas.
Kesimpulan yang sah dari kedua premis di atas adalah $\cdots \cdot$
$$\begin{aligned} & \text{A. Toni memenangkan olimpiade matematika} \\ & \text{B. Toni tidak memperoleh medali emas} \\ & \text{C. Toni tidak memenangkan olimpiade matematika} \\ & \text{D. Toni memperoleh medali emas} \\ & \text{E. Toni tidak memenangkan olimpiade matematika dan Toni tidak mendapat medali emas} \end{aligned}$$

Penyelesaian

Penyajian kedua premis di atas berbentuk modus tollens
Premis 1: $P \implies Q$
Premis 2: $\sim Q$
Kesimpulan: $\sim P$
Berdasarkan bentuk model tollens, kesimpulan yang sah (valid) adalah “Toni tidak memenangkan olimpiade matematika”.
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Esai

Soal Nomor 31
Diberikan pernyataan: “Jika Yana seorang pelajar, maka ia memakai seragam sekolah.”
Tentukan:
A. Konvers dari pernyataan tersebut!
B. Invers dari pernyataan tersebut!
C. Kontraposisi dari pernyataan tersebut!

Penyelesaian

Pernyataan berbentuk implikasi (jika maka):
Jika Yana seorang pelajar, maka ia memakai seragam sekolah.
Jawaban a) 
Jika Yana memakai seragam sekolah, maka Yana seorang pelajar. 
Jawaban b) 
Jika Yana bukan seorang pelajar, maka ia tidak memakai seragam sekolah. 
Jawaban c) 
Jika Yana tidak memakai seragam sekolah, maka Yana bukan seorang pelajar.

[collapse]

Soal Nomor 32
Dari kota A ke kota B terdapat $4$ jalur berbeda. Dari kota B ke kota C terdapat $2$ jalur. Dari kota C ke kota D terdapat $3$ jalur. Tentukan banyaknya jalur yang dapat ditempuh dari kota A ke kota D melalui kota B dan C!

Penyelesaian

Dengan menggunakan Aturan Perkalian, banyaknya jalur yang dapat ditempuh dari kota A ke kota D melalui kota B dan C adalah $\boxed{4 \times 2 \times 3 = 24}$

[collapse]

Soal Nomor 33
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $10$ cm. Tentukan panjang diagonal ruang kubus tersebut!

Penyelesaian

Misalkan diberikan kubus $ABCD.EFGH$ seperti gambar di bawah.

Salah satu diagonal ruang kubus tersebut adalah $AG$. 
Perhatikan segitiga $ACG$ (siku-siku di $G$). $AC$ merupakan diagonal bidang, sehingga panjangnya adalah $AC = 10\sqrt{2}~\text{cm}$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AG & = \sqrt{AC^2 + CG^2} \\ & = \sqrt{10^2 + 10^2} \\ & = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, panjang diagonal ruang kubus itu adalah $\boxed{10\sqrt{2}~\text{cm}}$

[collapse]

CategoriesUlangan Umum, Geometri Analitik Ruang, Teori PeluangTags, , , , , , , , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *