Soal dan Pembahasan – Ulangan Umum Matematika Kelas XI Semester Genap TA 2018/2019 SMKN 3 Pontianak

Dengan menggunakan Aturan Perkalian, banyaknya cara ada $\boxed{5 \times 7 \times 4 = 140}$ 
(Jawaban E)

Pada bilangan $3$-angka, terdapat digit ratusan, puluhan, dan satuan. 
Karena bilangannya ganjil, maka untuk mengisi angka satuan hanya dipilih angka $1, 3$, dan $7$ (ada $\boxed{3}$ cara). 
Untuk mengisi angka puluhan, tersisa $\boxed{4}$ bilangan (termasuk $2$ dan $8$), di mana satu bilangan telah dipilih untuk mengisi angka satuan tadi. 
Untuk mengisi angka ratusan, tersisa $\boxed{3}$ bilangan, di mana dua bilangan masing-masing telah dipilih untuk mengisi angka satuan dan puluhan. 
Jadi, ada $\boxed{3 \times 4 \times 3 = 36~\text{bilangan}}$ yang dapat dibentuk.
(Jawaban D) 

$\begin{aligned} \dfrac{n!}{(n-2)!} & = 30 \\ \dfrac{n \times (n-1) \times \cancel{(n-2)!}} {\cancel{(n-2)!}} & = 30 \\ n(n-1)&=30 \\ n^2-n-30&=0 \\ (n-6)(n+5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $n=6$ atau $n =-5$. Karena $n$ tertulis dalam notasi faktorial, maka $n =-5$ tidak memenuhi. Jadi, nilai $\boxed{n = 6}$
(Jawaban E)

Notasi $P$ menyatakan permutasi. Secara matematis, ditulis
$_nP_k = \dfrac{n!} {(n-k)!}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} _{n-1}P_2 & =6 \\ \dfrac{(n-1)!} {(n-1-2)!} & = 6 \\ \dfrac{(n-1) \times (n-2) \times \cancel{ (n-3)!}} {\cancel{(n-3)!}} & = 6 \\ (n-1)(n-2) & = 6 \\ n^2- 3n- 4 & = 0 \\ (n-4)(n+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $n = 4$ atau $n=-1$ (tidak memenuhi). Jadi, nilai $\boxed{n=4}$
(Jawaban E)

Kasus ini termasuk kasus permutasi, karena susunan pemenang akan dianggap berbeda apabila orangnya dibolak-balik posisi juaranya. 
Permutasi $3$ objek dari $5$ objek, sebanyak
$_3P_5 = \dfrac{5!} {(5-3)!} = \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times \cancel{2!}} {\cancel{2!}} = 60$
Jadi, ada $\boxed{60}$ susunan pemenang yang dapat terjadi.
(Jawaban C) 

Notasi $C$ menyatakan kombinasi. Secara matematis, ditulis
$_nC_k = \dfrac{n!} {(n-k)!k!}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} _{n+1}C_2 & =15 \\ \dfrac{(n+1)!} {(n+1-2)! \times 2!} & = 15 \\ \dfrac{(n+1)\times n \times \cancel{(n-1)!}} {\cancel{(n-1)!} \times 2} & = 15 \\ (n+1)(n) & = 30 \\ n^2+n-30 & = 0 \\ (n+6)(n-5)&=30 \end{aligned}$
Diperoleh $n =-6$ (tidak memenuhi) atau $n=5$. Jadi, nilai $\boxed{n=5}$
(Jawaban E)

Cara 1: Formal
Jabat tangan melibatkan $2$ orang dan akan dianggap suatu kejadian yang sama: $A$ bersalaman dengan $B$ dan $B$ bersalaman dengan $A$, sehingga ini tergolong kasus kombinasi. 
Kombinasi $2$ objek dari $12$ objek, sebanyak
$\begin{aligned} _{12}C_2 & = \dfrac{12!} {(12-2)! \times 2!} \\ & = \dfrac{12 \times 11 \times \cancel{10!}} {\cancel{10!} \times 2} \\ & = \dfrac{\cancelto{6}{12} \times 11}{\cancel{2}} = 66 \end{aligned}$
Cara 2: Dasar
$A$ dapat berjabat tangan dengan $11$ orang lainnya. $B$ dapat berjabat tangan dengan $10$ orang lainnya (tidak berjabat tangan dengan $A$ karena sudah terhitung sebelumnya). $C$ dapat berjabat tangan dengan $9$ orang lainnya dan seterusnya. 
Banyak jabat tangan yang terjadi adalah
$11+10+9+8+\cdots+2+1 = 66$
Jadi, ada $\boxed{66}$ jabat tangan yang dapat terjadi.
(Jawaban B)

Kata “AGUSTUS” terdiri dari $7$ huruf, dengan huruf U muncul $2$ kali dan juga huruf S muncul $2$ kali, sehingga termasuk kasus permutasi berulang. 
Banyak susunan kata yang dapat terbentuk adalah
$\begin{aligned} \dfrac{7!} {2! \times 2!} & = \dfrac{7 \times 6 \times 5 \times \cancelto{2}{4} \times 3 \times \cancel{2!}} {\cancel{2!} \times \cancel{2}} \\ & = 7 \times 6 \times 5 \times 2 \times 3 = 1.260 \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{1.260}$ susunan kata yang dapat dibentuk.
(Jawaban D)

Satu set kartu remi terdiri dari $52$ kartu ($+2$ kartu Joker), tetapi umumnya kartu Joker tak dipakai. 
Kartu Queen ada empat, yaitu Queen Diamond (♦), Queen Spade (♠), Queen Hearts (♥), dan Queen Club (♣). 
Dengan demikian, peluang terambilnya sebuah kartu Queen dari $52$ kartu adalah $\boxed{P(\text{Queen}) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}}$
(Jawaban E)

Berjumlah lebih dari $7$, berarti boleh $8, 9, 10, 11$, atau $12$.
Misalkan $A$ adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu $8$, sehingga
$A = \{(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)\}$
dengan $\text{n}(A) = 5$
Misalkan $B$ adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu $9$, sehingga 
$B = \{(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)\}$
dengan $\text{n}(B) = 4$
Misalkan $C$ adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu $10$, sehingga
$C = \{(4, 6), (6, 4), (5, 5)\}$
dengan $\text{n}(C) = 3$
Misalkan $D$ adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu $11$, sehingga
$D = \{(5, 6), (6, 5)\}$
dengan $\text{n}(D) = 2$
Misalkan $E$ adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu $12$, sehingga
$E = \{(6, 6)\}$
dengan $\text{n}(E) = 1$
Banyaknya anggota ruang sampel untuk $2$ dadu yang masing-masingnya memiliki $6$ sisi adalah $\text{n}(S) = 6 \times 6= 36$
Jadi, peluangnya adalah 
$\begin{aligned} & p(A \cup B \cup C \cup D \cup E) \\ & = \dfrac{\text{n}(A) + \text{n}(B) + \text{n}(C) + \text{n}(D) + \text{n}(E)} {\text{n}(S)} \\ & = \dfrac{5+4+3+2+1}{36} \\ & = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12} \end{aligned}$ 
(Jawaban C)

Banyaknya anggota ruang sampel ada $2$, yaitu laki-laki dan perempuan. 
Peluang kelahiran anak pertama laki-laki adalah $\dfrac12$
Peluang kelahiran anak kedua laki-laki adalah $\dfrac12$
Peluang kelahiran anak ketiga laki-laki adalah $\dfrac12$
Jadi, peluang anak yang lahir ketiganya laki-laki adalah $\boxed{\dfrac12 \times \dfrac12 \times \dfrac12 = \dfrac18}$
(Jawaban E)

Misalkan $M$ adalah kejadian munculnya $2$ angka ($A$) dan $1$ gambar ($G$), sehingga
$M = \{(A, A, G), (A, G, A), (G, A, A)\}$
sehingga $\text{n}(M) = 3$ 
Banyaknya anggota ruang sampel untuk 3 koin yang masing-masingnya memiliki $2$ sisi adalah $\text{n}(S) = 2 \times 2 \times 2 = 8$
Jadi, peluangnya adalah $p(M) = \dfrac{\text{n}(M)} {\text{n}(S)} = \dfrac{3}{8}$ 
Frekuensi harapan munculnya dua angka dan satu gambar adalah
$\boxed{p(M) \times n = \dfrac{3}{8} \times 320 = 120~\text{kali}}$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pada segitiga $BEG$, diketahui $BE, EG$, dan $BG$ semuanya merupakan diagonal bidang kubus, sehingga segitiga $BEG$ merupakan segitiga sama sisi dengan panjang $BE = EG = BG = 6\sqrt{2}~\text{cm}$. Untuk itu, jarak $B$ ke $EG$ adalah jarak $B$ ke $O$ di mana $O$ titik tengah $EG$. 
Sekarang tinjau segitiga siku-siku $BOG$. Diketahui: $OG = \dfrac12 EG = \dfrac12(6\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}~\text{cm}$ dan $BG = 6\sqrt{2}~\text{cm}$
Panjang $BO$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras. 
$\begin{aligned} BO & = \sqrt{BG^2-OG^2} \\ & = \sqrt{(6\sqrt{2})^2- (3\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{72-18} \\ & = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak $B$ ke $EG$ adalah $\boxed{3\sqrt{6}~\text{cm}}$
(Jawaban A)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Panjang diagonal alasnya adalah
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2 + BC^2} \\ & = \sqrt{12^2 + 12^2} = 12\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}$
Segitiga $ATC$ merupakan segitiga sama sisi karena $AC = AT = TC = 12\sqrt{2}~\text{cm}$
Dengan demikian, jarak titik $A$ ke $TC$ adalah jarak titik $A$ ke titik $O$ di mana $O$ titik tengah $TC$ seperti gambar.
Perhatikan segitiga siku-siku $AOC$
Diketahui: $AC = 12\sqrt{2}~\text{cm}$ dan $OC = \dfrac12 TC = \dfrac12(12\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}~\text{cm}$
Panjang $AO$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} AO & = \sqrt{AC^2-OC^2} \\ & = \sqrt{(12\sqrt{2})^2- (6\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{288-72} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $A$ ke $TC$ adalah $\boxed{6\sqrt{6}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Jarak titik $E$ ke bidang diagonal $BDHF$ sama dengan jarak titik $E$ ke titik tengah diagonal $HF$. Misalkan $O$ titik tengah diagonal $HF$. $EG$ merupakan diagonal bidang dengan panjang $a\sqrt{2}~\text{cm}$.
Perhatikan bahwa panjang $EO$ merupakan setengah dari panjang diagonal $EG$, sehingga
$EO = \dfrac12(a\sqrt{2}) = \dfrac12 a\sqrt{2}~\text{cm}$ 
Jadi, jarak titik $E$ ke bidang diagonal $BDHF$ adalah $\boxed{\dfrac12 a\sqrt{2}~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.Jarak $HD$ ke $EG$ sama dengan jarak $H$ ke titik tengah $EG$. Misalkan $O$ titik tengah $EG$, sehingga kita peroleh sebuah segitiga siku-siku $HEO$ (siku-siku di $O$). 
Diketahui panjang $EH = 12~\text{cm}$. Panjang diagonal bidang $EG = s\sqrt{2} = 12\sqrt{2}~\text{cm}$, sehingga $EO = \dfrac12EG = \dfrac12(12\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}~\text{cm}$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, didapat
$\begin{aligned} HO & = \sqrt{EH^2- EO^2} \\ & = \sqrt{12^2-(6\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{144-72} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak ruas garis $HD$ dan $EG$ adalah $\boxed{6\sqrt{2}~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak titik $B$ ke $HC$ sama dengan jarak titik $B$ ke $C$. Perhatikan bahwa $BC$ merupakan rusuk kubus, sehingga panjang $BC = 8~\text{cm}$. 
Jadi, jarak titik $B$ ke garis $HC$ adalah $\boxed{8~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pertama, perhatikan segitiga $ABD$ (siku-siku di $A$). Panjang $BD$ dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} BD & = \sqrt{AB^2 + AD^2} \\ & = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} \\ & = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan segitiga $BDH$ (siku-siku di $D$). Panjang $HB$ juga dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} HB & = \sqrt{BD^2 + DH^2} \\ & = \sqrt{(2a\sqrt{2})^2 + (2a)^2} \\ & = \sqrt{8a^2 + 4a^2} \\ & = \sqrt{12a^2} = 2a\sqrt{3}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang ruas garis $HB$ adalah $\boxed{2a\sqrt{3}~\text{cm}}$
(Jawaban E)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak antara bidang alas $PQRS$ dan bidang atas $TUVW$ sama dengan tinggi balok tersebut. Dengan demikian, jarak kedua bidang itu adalah $\boxed{5~\text{cm}}$
(Jawaban A)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan proyeksi titik $T$ ke bidang alas $ABCD$ adalah titik $O$ yang terletak di tengah-tengah bidang itu. Sekarang, perhatikan segitiga $AOT$ (siku-siku di $O$). Karena $AC$ merupakan diagonal bidang alas (persegi), maka $AC = 6\sqrt{2}~\text{cm}$, sehingga $AO = \dfrac{1}{2}(AC) = \dfrac12(6\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}~\text{cm}$
$AT$ merupakan rusuk tegak limas, sehingga $AT = 5~\text{cm}$. Dalam bentuk ini, $OT$ merupakan tinggi limas yang akan dicari panjangnya dengan menggunakan Teorema Pythagoras. 
$\begin{aligned} OT & = \sqrt{AT^2-AO^2} \\ & = \sqrt{5^2-(3\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{25-18} = \sqrt{7}~\text{cm}\end{aligned}$
Jadi, tinggi limas tersebut adalah $\boxed{\sqrt{7}~\text{cm}}$
(Jawaban A)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Proyeksi $DE$ pada $BDHF$ adalah $OD$, di mana $O$ titik tengah $HF$.
Pada segitiga $HOD$ (siku-siku di $H$), diketahui panjang $DH = 8~\text{cm}$. Karena panjang $HF$ (diagonal bidang) $8\sqrt{2}~\text{cm}$, maka $HO = \dfrac12(HF) = \dfrac12(8\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}~\text{cm}$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} OD & = \sqrt{DH^2 + HO^2} \\ & = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, panjang proyeksinya adalah panjang $OD$, yaitu $\boxed{4\sqrt{6}~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Dalam matematika, suatu kalimat disebut pernyataan apabila nilai kebenarannya dapat ditentukan. 
Pilihan A: “Semua bilangan prima merupakan bilangan ganjil” (bernilai salah) 
Pilihan B: “Ada bilangan prima yang genap” (bernilai benar) 
Pilihan C: “Ada segitiga yang jumlah seluruh sudutnya tidak $180^{\circ}$” (bernilai salah) 
Pilihan D: “Harga beras naik membuat semua orang pusing” (tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya karena bersifat relatif) 
Pilihan E: “Jakarta merupakan ibu kota Indonesia” (bernilai benar) 
(Jawaban D)

Pernyataan majemuk yang diberikan di atas merupakan konjungsi (dihubungkan oleh kata “dan”). 
Agar konjungsi bernilai benar, maka kedua pernyataan harus bernilai benar. 
Pernyataan pertama: $x$ bilangan prima. 
Pernyataan kedua: $3x^2-1=26$
Karena $3x^2-1=26$ masih berbentuk kalimat terbuka, maka kita harus menentukan nilai $x$ agar persamaan tersebut bernilai benar. 
$\begin{aligned} 3x^2-1=26 \\ 3x^2 & = 27 \\ x^2 & = 9 \\ x & = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \end{aligned}$
Kita peroleh 2 nilai $x$ yaitu $x=3$ atau $x=-3$. Karena $x=-3$ bukan bilangan prima, maka satu-satunya nilai $x$ yang memenuhi untuk membuat pernyataan pertama bernilai benar adalah $\boxed{x=3}$
(Jawaban B)

Negasi (ingkaran) adalah operasi logika yang membalikkan kebenaran suatu pernyataan.  Negasi dari kata “ada” adalah “setiap” atau “semua“.
Negasi dari “Ada siswa yang pergi ke sekolah dengan menggunakan bus” adalah “Setiap siswa tidak pergi ke sekolah dengan menggunakan bus“.
(Jawaban E)

Negasi (ingkaran) adalah operasi logika yang membalikkan kebenaran suatu pernyataan.  Negasi dari kata “dan” adalah “atau” (konjungtif menjadi disjungtif). Secara simbolik, kita tulis
$\sim (p \land q) = \sim p~\lor \sim q$
Dalam kasus ini,
$p$: Rizki merupakan anak yang rajin.
$q$: Rizki pandai melukis.
Untuk itu, negasi dari pernyataan “Rizki merupakan anak yang rajin dan pandai melukis” adalah “Rizki merupakan anak yang tidak rajin atau tidak pandai melukis“.
(Jawaban C)

Bentuk yang ekuivalen dengan $p \implies q$ adalah $\sim p \lor q$.
Dengan demikian, negasi (ingkaran) dari $p \implies q$ ekuivalen dengan $p~\land \sim q$. Secara simbolik, kita tulis
$\sim (p \implies q) \equiv p~\land \sim q$
(Simbol $\equiv$ dibaca: ekuivalen)
Misalkan
$p$: Wati pandai mengoperasikan komputer;
$q$: Wati diterima sebagai karyawan.
Dengan demikian, ingkaran dari pernyataan “Jika Wati pandai mengoperasikan komputer, maka ia diterima sebagai karyawan” adalah “Wati pandai mengoperasikan komputer dan ia tidak diterima sebagai karyawan“.
(Jawaban E)

Pernyataan implikasi (jika maka) di atas berbentuk $p \implies q$, sehingga inversnya berbentuk $\sim p \implies \sim q$. Dengan demikian, invers pernyataan “Jika rakyat membayar pajak, maka pembangunan berjalan lancar” adalah “Jika rakyat tidak membayar pajak, maka pembangunan tidak berjalan lancar“.
(Jawaban E)

Pernyataan implikasi (jika maka) di atas berbentuk $p \implies q$, sehingga kontrapositifnya berbentuk $\sim q \implies \sim p$. Dengan demikian, kontrapositif dari pernyataan “Jika Anda jujur, maka Anda dipercaya” adalah “Jika Anda tidak dipercaya, maka Anda tidak jujur“.
(Jawaban A)

Implikasi berbentuk: $p \implies q$
Konversnya berbentuk: $q \implies p$
Inversnya berbentuk: $\sim p \implies \sim q$
Kontrapositifnya berbentuk: $\sim q \implies \sim p$
(Jawaban A)

Penyajian kedua premis di atas berbentuk modus tollens. 
Premis 1: $P \implies Q$
Premis 2: $\sim Q$
Kesimpulan: $\sim P$
Berdasarkan bentuk model tollens, kesimpulan yang sah (valid) adalah “Toni tidak memenangkan olimpiade matematika”.
(Jawaban C)

Pernyataan berbentuk implikasi (jika maka):
Jika Yana seorang pelajar, maka ia memakai seragam sekolah.
Jawaban a) 
Jika Yana memakai seragam sekolah, maka Yana seorang pelajar. 
Jawaban b) 
Jika Yana bukan seorang pelajar, maka ia tidak memakai seragam sekolah. 
Jawaban c) 
Jika Yana tidak memakai seragam sekolah, maka Yana bukan seorang pelajar.

Dengan menggunakan Aturan Perkalian, banyaknya jalur yang dapat ditempuh dari kota A ke kota D melalui kota B dan C adalah $\boxed{4 \times 2 \times 3 = 24}$

Misalkan diberikan kubus $ABCD.EFGH$ seperti gambar di bawah.

Salah satu diagonal ruang kubus tersebut adalah $AG$. 
Perhatikan segitiga $ACG$ (siku-siku di $G$). $AC$ merupakan diagonal bidang, sehingga panjangnya adalah $AC = 10\sqrt{2}~\text{cm}$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AG & = \sqrt{AC^2 + CG^2} \\ & = \sqrt{(10\sqrt2)^2 + 10^2} \\ & = \sqrt{200 + 100} \\ & = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, panjang diagonal ruang kubus itu adalah $\boxed{10\sqrt{3}~\text{cm}}$