Soal dan Pembahasan – Ulangan Umum Matematika Kelas XII Semester Ganjil TA 2017/2018 SMKN 3 Pontianak

Berikut ini merupakan soal (disertai pembahasannya) ulangan umum matematika kelas XII semester ganjil tahun ajaran 2017/2018 SMKN 3 Pontianak yang penulis arsipkan sebagai bahan referensi untuk belajar. Semoga membantu dan bermanfaat!
Silakan download soalnya dalam bentuk PDF di sini

Soal Nomor 1
Nilai x yang memenuhi 8^{3x+1} & = 128^{x-1} adalah \cdots
A. -10    B. -5     C. -2      D. 2     E. 5

Penyelesaian

Samakan basisnya terlebih dahulu dengan mengubah 8 menjadi 2^3 dan 128 menjadi 2^7, kemudian cari nilai x.
\begin{aligned} 8^{3x+1} & = 128^{x-1} \\ (2^3)^{3x+1} & = (2^7)^{x-1} \\ \cancel{2}^{9x+3} & = \cancel{2}^{7x-7} \\ 9x + 3 & = 7x - 7 \\ 9x - 7x & = -7-3 \\ 2x & = -10 \\ x & = -5 \end{aligned}
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah \boxed{x = -5} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui ^5 \log 2 = p dan ^5 \log 3 = q. Nilai dari ^5 \log 144 = \cdots
A. 2(2p+q)        D. p+2q
B. 2(p+2q)        E. 2pq
C. 2p+q 

Penyelesaian

Diketahui ^5 \log 2 = p dan ^5 \log 3 = q. Gunakan sifat logaritma berikut.
\boxed{\begin{aligned} ^a \log bc & = ^a \log b + ^a \log c \\ ^a \log b^n & = n \cdot ^a \log b \end{aligned}}
Dengan demikian, didapat
\begin{aligned} ^5 \log 144 & = ^5 \log (2^4 \times 3^2) \\ & = ^5 \log 2^4 + ^5 \log 3^2 \\ & = 4 \cdot ^5 \log 2 + 2 \cdot ^5 \log 3 \\ & = 4p + 2q \\ & = 2(2p + q) \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{^5 \log 144 = 2(2p+q)} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika x dan y adalah penyelesaian dari sistem persamaan 2x+3y=3 dan 3x-y=10, maka nilai 2x-y = \cdots
A. 3      B. 4       C. 5        D. 6       E. 7

Penyelesaian

Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + 3y & = 3 \\ 3x - y & = 10 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 2x+3y & = 3 \\ 9x-3y & = 30 \end{aligned} \\ & \noindent\rule{2.5 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 11x & = 33 \\ x & = 3 \end{aligned} \end{aligned}
Substitusikan (gantikan) x = 3 pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
\begin{aligned} 2x + 3y & = 3 \\ 2(3) + 3y & = 3 \\ 6 + 3y & = 3 \\ 3y & = -3 \\ y & = -1 \end{aligned}
Diperoleh nilai y & = -1, sehingga \boxed{2x-y = 2(3)-(-1) = 7} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui matriks A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix}, dan C = \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}.
Nilai dari 2A-B+C = \cdots
A. \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}
B. \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ -5 & -1 \end{bmatrix}
C. \begin{bmatrix} 0 & 6 \\ -7 & -1 \end{bmatrix}
D. \begin{bmatrix} 0 & -6 \\ -7 & -1 \end{bmatrix}
E. \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ -7 & 1 \end{bmatrix}

Penyelesaian

\begin{aligned} 2A-B+C & = 2\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 4 - 3 + (-1) & 6 - (-4) + (-4) \\ -4 - 6 + 3 & 2 - 5 + 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 6 \\ -7 & -1 \end{bmatrix} \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{2A-B+C = \begin{bmatrix} 0 & 6 \\ -7 & -1 \end{bmatrix}} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Invers dari matriks A = \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ -7 & 9 \end{bmatrix} adalah \cdots
A. \begin{bmatrix} 9 & 5 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}
B. \begin{bmatrix} 9 & -5 \\ -7 & 4 \end{bmatrix}
C. \begin{bmatrix} 4 & -7 \\ -5 & 9\end{bmatrix}
D. \begin{bmatrix} 9 & -5 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}
E. \begin{bmatrix} -9 & -7 \\ -5 & -4 \end{bmatrix}

Penyelesaian

Diketahui A = \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ -7 & 9 \end{bmatrix}
Determinan matriks ini adalah
\det(A) = 4(9) - (-7)(-5) = 36 - 35 = 1
Perhatikan bahwa jika diberikan matriks A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, maka inversnya adalah
A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
Dengan demikian, dapat dituliskan
A^{-1} = \dfrac{1}{1}\begin{bmatrix} 9 & -(-5) \\ -(-7) & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 5 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}
Jadi, invers dari matriks A adalah \boxed{\begin{bmatrix} 9 & 5 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui A = \begin{bmatrix} -4 & 5 & 2 \\ 0 & -2 & 4 \\ -1 & -6 & 3 \end{bmatrix}
Nilai \det(A) = \cdots
A. -96      B. -72         C. -48          D. 12          E. 24

Penyelesaian

Determinan matriks berordo 3 \times 3 dapat ditentukan secara khusus dengan menggunakan Aturan Sarrus sebagai berikut.

\begin{aligned} \det(A) & = (-4)(-2)(3) + 5(4)(-1) + (2)(0)(-6) \\ & -((-1)(-2)(2) + (-6)(4)(-4) + (3)(0)(5) \\ & = 24 - 20 + 0 - (4 + 96 + 0) \\ & = -96 \end{aligned}
Jadi, determinan matriks A adalah \boxed{\det(A) = -96} (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Persamaan grafik parabola pada gambar di samping \cdots

A. f(x) = x^2+4x            D. f(x) = -x^2-4x+4
B. f(x) = x^2-4x             E. f(x) = -x^2+4x-4
C. f(x) = -x^2+4x  

Penyelesaian

Perhatikan bahwa grafik parabola tersebut memotong sumbu X di dua titik. Jika grafik parabola memotong sumbu X di x = a dan x = b, maka persamaannya adalah f(x) = (x-a) (x-b)
Dalam kasus ini, parabolanya memotong sumbu X di x = 0 dan x = 4, sehingga
f(x) = (x-0)(x-4) = x(x-4) = x^2-4x
Jadi, persamaan grafik parabola tersebut adalah \boxed{f(x) = x^2-4x} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8 
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat 5x - x^2 < 6 adalah \cdots
A. \{x~|~2 < x < 3\}
B. \{x~|~-2 < x < 3\}
C. \{x~|~-1 < x < 6\}
D. \{x~|~x < 2~\text{atau}~x > 3\}
E. \{x~|~x < -1~\text{atau}~x > 6\}

Penyelesaian

\begin{aligned} 5x - x^2 & < 6 \\ -x^2 + 5x - 6 & < 0 \\ x^2 -5x + 6 & > 0 \\ (x-2)(x-3) & > 0 \end{aligned}
Diperoleh pembuat nol x = 2 atau x = 3.
Dengan menggunakan garis bilangan dan misalkan diuji titik x = 0, kita peroleh (0-2)(0-3) = 6 > 0 (benar)
Dengan demikian, masing-masing tanda kepositivan dapat ditentukan (selang-seling) seperti gambar.

Untuk itu, HP pertidaksamaan kuadrat itu adalah \boxed{\{x~|~x < 2~\text{atau}~x>3\}} (Jawaban D) Tips: Jika tanda pertidaksamaannya berupa > ataupun \geq, maka himpunan penyelesaiannya memuat kata “atau”.

[collapse]

Soal Nomor 9
Rumus umum dari barisan bilangan -8, 0,8,16, \cdots adalah \cdots
A. \text{U}_n = 2n                D. \text{U}_n = 8n+16
B. \text{U}_n = 2n+2          E. \text{U}_n = 8n-16
C. \text{U}_n = 4n-6   

Penyelesaian

Barisan bilangan itu merupakan barisan aritmetika karena memiliki suku yang berdekatan sama/tetap.
Diketahui a = -8 dan b = 8.
Dengan menggunakan formula suku ke-n barisan aritmetika, didapat
\begin{aligned} \text{U}_n & = a +(n-1)b \\ & = -8 + (n-1)\times 8 \\ & -8 + 8n - 8 \\ & = 8n -16 \end{aligned}
Jadi, rumus umum barisan tersebut adalah \boxed{\text{U}_n = 8n-16} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui rumus umum barisan \text{U}_n = n^2+1. Lima suku pertamanya adalah \cdots
A. 2,5,7,9,11          D. 3,6,9,15,21
B. 2,5,10,17,26       E. 3,7,9,12,15
C. 3,5,7,9,11 

Penyelesaian

Diketahui \text{U}_n = n^2+1 Ganti n = 1 sampai n=5 sebagai berikut.
\begin{aligned} \text{U}_1 & = 1^2+1=2 \\ \text{U}_2 & = 2^2+1=5 \\ \text{U}_3 & = 3^2+1=10 \\ \text{U}_4 & = 4^2+1=17 \\ \text{U}_5 & = 5^2+1=26 \end{aligned}
Jadi, lima suku pertama barisan tersebut adalah \boxed{2,5,10,17,26} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui barisan aritmetika dengan \text{U} _5 =17 dan \text{U}_{10} = 32. Suku ke-20 adalah \cdots
A. 57        B. 62       C. 67        D. 72         E. 77

Penyelesaian

Perhatikan bahwa \text{U}_5 = 17 dan \text{U}_{10} = 32.
Dari sini, kita mengetahui bahwa untuk setiap lima suku, bedanya adalah 32-17 = 15.
Dengan demikian,
\text{U}_{15} = 32+15 = 47 dan \text{U}_{20} = 47+15 = 62
Jadi, suku ke-20 barisan aritmetika tersebut adalah \boxed{62} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Sebuah perusahaan pada bulan pertama memproduksi 8.000 unit barang dan menaikkan produksinya tiap bulan sebanyak 300 unit. Jumlah barang yang diproduksi selama satu semester adalah \cdots
A. 57.000 unit        D. 29.400 unit
B. 53.400 unit        E. 28.500 unit
C. 52.500 unit  

Penyelesaian

Ini merupakan kasus barisan aritmetika (karena terdapat penambahan produksi yang tetap/konstan setiap bulan).
Diketahui a = 8.000 dan b = 300.
Jumlah barang yang diproduksi selama satu semester (6 bulan) adalah
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{6} & = \dfrac{6}{2}(2 \cdot 8.000 + (6-1) \cdot 300) \\ & =3(16.000 + 1.500) \\ & = 3(17.500) =52.500\end{aligned}
Jadi, jumlah barang yang diproduksi selama satu semester adalah \boxed{52.500~\text{unit}} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Pertambahan penduduk setiap tahun suatu desa mengikuti aturan barisan geometri. Pertambahan penduduk pada tahun 2010 sebesar 24 orang dan pada tahun 2012 sebesar 96 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2015 adalah \cdots orang.
A. 687     B. 768      C. 766       D. 867       E. 876

Penyelesaian

Misalkan pertambahan penduduk pada tahun 2010 disimbolkan sebagai \text{U}_1 =a = 24. Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \text{U}_3 & = ar^2 \\ 24r^2 & = 96 \\ r^2 & = \dfrac{96}{24} = 4 \\ r & = 2 \end{aligned}
Pertambahan penduduk pada tahun 2015 adalah \boxed{\text{U}_6 = ar^5 = 24(2)^5 = 768}~\text{orang}} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui jumlah deret geometri tak hingga adalah 24 dan rasionya \dfrac{1}{4}. Suku pertamanya adalah \cdots
A. 9     B. 16      C. 18       D. 20       E. 36

Penyelesaian

Diketahui S_{\infty} = 24 dan r = \dfrac{1}{4}. Dengan menggunakan formula jumlah deret geometri tak hingga:
\boxed{S_{\infty} =\dfrac{a} {1-r}}
diperoleh
\begin{aligned} 24 & = \dfrac{a} {1-\dfrac{1}{4}} \\ 24 & = \dfrac{a} {\dfrac{3}{4}} \\ a & = 24 \times \dfrac{3}{4} = 18 \end{aligned}
Jadi, suku pertama deret tersebut adalah \boxed{18} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Sistem pertidaksamaan linear untuk daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah \cdots

A. 3x + 4y \geq 12; 3x+y \leq 6; x \geq 0; y \geq 0
B. 3x + 4y \leq 12; 3x+y \geq 6; x \geq 0; y \geq 0
C. 3x + 4y \geq 12; x+y \leq 6; x \leq 0; y \geq 0
D. 3x + 4y \leq 12; 3x+y \geq 6; x \geq 0; y \geq 0
E. 3x + 4y \geq 12; 3x+y \geq 6; x \geq 0; y \geq 0

Penyelesaian

Persamaan garis yang memotong sumbu X di x = 4 dan sumbu Y di y = 3 adalah 3x + 4y = 12. Tanda ketaksamaan yang sesuai dengan daerah arsiran adalah \geq karena arsirannya di atas garis, sehingga diperoleh pertidaksamaan linear 3x+4y \geq 12
Persamaan garis yang memotong sumbu X di x = 2 dan sumbu Y di y = 6 adalah 6x + 2y = 12 atau disederhanakan menjadi 3x+y = 6.
Tanda ketaksamaan yang sesuai dengan daerah arsiran adalah \leq karena arsirannya di bawah garis, sehingga diperoleh pertidaksamaan linear 3x+y \leq 6.
Karena daerah arsiran terletak di kuadran pertama, maka kendala non-negatif (x, y tak boleh bernilai negatif) diberlakukan.
Jadi, sistem pertidaksamaan linearnya adalah
\begin{cases} 3x + 4y \geq 12 \\ 3x + y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 16
Seorang pengusaha roti akan membuat roti. Roti jenis I membutuhkan 20 gram tepung dan 10 gram mentega, sedangkan roti jenis II membutuhkan 15 gram tepung dan 10 gram mentega. Bahan yang tersedia adalah tepung 5 kg dan mentega 4 kg. Jika x menyatakan banyaknya roti jenis I dan y menyatakan banyaknya jenis roti II, model matematika persoalan tersebut adalah \cdots
A. 4x+3y \geq 1000; x+y\geq 400; x \geq 0; y \geq 0
B. 4x+3y \geq 1000; x+y\leq 400; x \geq 0; y \geq 0
C. 4x+3y \leq 1000; x+y\geq 400; x \geq 0; y \leq 0
D. 4x+3y \leq 1000; x+y\leq 400; x \geq 0; y \geq 0
E. 4x+3y \geq 1000; x+y\geq 400; x \leq 0; y \leq 0

Penyelesaian

Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Roti Jenis I} & \text{Roti Jenis II} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Tepung} & 20 & 15  & \leq 5000 \\ \text{Mentega} & 10 & 10 & \leq 4000 \\ \hline \end{array}
Semua satuan produk pada tabel di atas menggunakan satuan gram (5 kg = 5.000 g, 4 kg = 4.000 g). Tanda \leq digunakan karena kebutuhan bahan pembuatan roti tidak boleh melebihi persediaan yang ada. Karena x, y masing-masing mewakili banyaknya roti jenis I dan roti jenis II, maka haruslah x \geq 0, y \geq 0.
Untuk itu, model matematika persoalan tersebut adalah
\begin{cases} & 20x + 15y \leq 5.000 \\ & 10x + 10y \leq 4.000 \\ & x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases}
atau disederhanakan menjadi
\begin{cases} & 4x + 3y \leq 1.000 \\ & x + y \leq 400 \\ & x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari, anak tersebut memerlukan 25 vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per butir dan tablet II Rp8.000,00 per butir, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah \cdots
A. Rp6.000,00             D. Rp20.000,00
B. Rp6.700,00             E. Rp22.000,00
C. Rp7.000,00   

Penyelesaian

Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Tablet Jenis I} & \text{Tablet Jenis II} & \text{Kebutuhan} \\ \hline \text{Vit. A} & 5 & 10  & \geq 25 \\ \text{Vit. B} & 3 & 1 & \geq 5 \\ \hline \end{array}
Dari tabel di atas, dapat disusun sistem pertidaksamaan linear
\begin{cases} & 5x + 10y \geq 25 \Rightarrow x + 2y \geq 5 \\ & 3x + y \geq 5 \\ & x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases}
yang merupakan kendala dari fungsi objektif P = 4.000x + 8.000y.
Gambarkan grafik dari setiap pertidaksamaan linear di atas pada koordinat Kartesius seperti berikut.

Daerah penyelesaiannya tampak pada gambar di atas (diwarna), dengan titik pojok A(0,5), B(1, 2), dan C(5, 0). Perhatikan bahwa koordinat titik B dapat ditentukan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
Selanjutnya, ujilah nilai optimum dari masing-masing titik pojok itu terhadap fungsi objektif P = 4.000x+8.000y dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini.
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 4.000x+8.000y \\ \hline A(0, 5) & 40.000 \\ \rowcolor{green} B(1, 2) & 20.000 \\ \rowcolor{green} C(5, 0) & 20.000 \\ \hline \end{array}
Berdasarkan tabel di atas, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari sesuai dengan persoalan tersebut adalah Rp20.000,00 (Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 18
Bayangan titik \text{P}(5,4) jika didilatasikan terhadap pusat (-2,3) dengan faktor skala -4 adalah \cdots
A. (-30,-1)         D. (-14,-1)
B. (-30,7)            E. (-14,-7)
C. (-26,-1)         

Penyelesaian

Diketahui P(x, y) = P(5,4). Pusat dilatasi di (a, b) = (-2,3) dan k = -4
Misalkan bayangan titik P berada di koordinat (x', y'), maka
\begin{aligned} x' & = k(x-a) + a \\ & = -4(5 -(-2)) + (-2) \\ & = -4(7)-2 = -30 \end{aligned}
\begin{aligned} y' & = k(y-b) + b \\ & = -4(4-3) + 3 \\ & = -4(1)+3= -1 \end{aligned}
Jadi, koordinat bayangan titik P adalah (-30,-1) (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Bayangan \triangle ABC dengan A(-1,4), B(2,5), dan C(-4,0) jika direfleksikan terhadap garis y = -x adalah \cdots
A. A'(4,1), B'(5,-2), dan C'(2,-4)
B. A'(-4,1), B'(-5,-2), dan C'(0,4)
C. A'(4,-1), B'(5,2), dan C'(0,-4)
D. A'(4,1), B'(5,2), dan C'(0,4)
E. A'(-4,-1), B'(5,2), dan C'(0,-4)

Penyelesaian

Apabila titik A(x, y) direfleksikan terhadap garis y = -x, maka bayangan titik A adalah A' = (-y, -x)
Jadi, bayangan titik A(-1,4), B(2,5), dan C(-4,0) adalah A'(-4,1), B'(-5,-2), dan C'(0,4) (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Banyaknya komputer yang terjual pada sebuah pameran di PCC (Pontianak Convention Centre) dinyatakan dengan diagram lingkaran di bawah.

Bila komputer tipe A dan K terjual sebanyak 160 buah, maka banyaknya komputer tipe K yang terjual \cdots buah.
A. 21       B. 24        C. 32        D. 48        E. 80
(Soal ini telah direvisi dari soal aslinya karena tak valid)

Penyelesaian

Komputer A dan K sebanyak 160 buah dan jumlah persentasenya pada diagram lingkaran tersebut adalah 20\% + 5\% = 25 \%.
Untuk itu, banyaknya komputer tipe K adalah
\begin{aligned} & \dfrac{\text{Persentase}~K} {\text{Jumlah persentase}~K~\text{dan}~A} \times \text{Jumlah komputer A dan K} \\ & = \dfrac{5\%} {20\%+5\%} \times 160 \\ & = \dfrac{1}{5} \times 160 \\ & = 32 \end{aligned}
Jadi, banyaknya komputer tipe K yang terjual adalah 32 buah. (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Data hasil penimbangan berat badan (dalam kg) dari 60 orang ibu pada suatu desa disajikan dalam tabel distribusi di bawah ini.
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Berat Badan} & \text{Frekuensi} \\ \hline 56-60 & 8 \\ 61-65 & 3 \\ 66-70 & 18 \\ 71-75 & 21 \\ 76-80 & 6 \\ 81-85 & 4 \\ \hline \end{array}
Rata-rata berat badan 60 orang ibu tersebut adalah \cdots
A. 69,25        D. 70,33
B. 70,16        E. 72,25
C. 70,17        

Penyelesaian

Alternatif I: Rata-rata Hitung
Lengkapi tabel distribusi di atas dengan kolom x_i dan f_ix_i berturut-turut menyatakan nilai tengah tiap kelas dan hasil kali frekuensi dengan nilai tengah masing-masing kelas.
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Berat Badan} & \text{Frekuensi} & x_i & f_ix_i \\ \hline 56-60 & 8 & 58 & 464 \\ 61-65 & 3 & 63 & 189 \\ 66-70 & 18 & 68 & 1224 \\ 71-75 & 21 & 73 & 1533 \\ 76-80 & 6 & 78 & 468 \\ 81-85 & 4 & 83 & 332 \\ \hline \text{Jumlah} & 60 & - & 4210 \\ \hline \end{array}
Diperoleh \sum f = 60 dan \sum f_ix_i = 4210, sehingga rataan datanya dinyatakan oleh

\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{\displaystyle \sum f_ix_i} {\sum f} \\ & = \dfrac{4210}{60} \\ & = 70,1666\cdots \approx 70,17 \end{aligned}
Alternatif II: Rata-rata Sementara
Misal dipilih rata-rata sementara \overline{x}_s = 71. Selanjutnya, buatlah tabel berikut.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Berat Badan} & \text{Frekuensi} & x_i & d_i = x_i - \overline{x}_s & f_id_i \\ \hline 56-60 & 8 & 58 & -13 & -104  \\ 61-65 & 3 & 63 &  -8 & -24 \\ 66-70 & 18 & 68 & -3 & -54 \\ 71-75 & 21 & 73 & 2 & 42 \\ 76-80 & 6 & 78 & 7 & 42\\ 81-85 & 4 & 83 & 12 & 48 \\ \hline \text{Jumlah} & 60 & - & - & -50 \\ \hline \end{array}
Rata-ratanya adalah

\begin{aligned} \overline{x} & = \overline{x}_s + \dfrac{\sum f_id_i}{\sum f} \\ & = 71 + \dfrac{-50}{60} \\ & = 71 - 0,833\cdots \approx 70,17 \end{aligned}
Jadi, rata-rata berat badan 60 orang ibu tersebut adalah \boxed{70,17} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Perhatikan histogram berikut ini.


Median dari data histogram di atas adalah \cdots
A. 44,7      B. 45,2       C. 46,4      D. 46,5       E. 46,6

Penyelesaian

Sajikan histogram di atas dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berikut.
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Rentang} & \text{Frekuensi} & \text{Frekuensi Kumulatif} \\ \hline 30-34 & 2 & 2 \\ 35-39 & 5 & 7 \\ 40-44 & 8 & 15 \\ \rowcolor{yellow} 45-49 & 12 & 27 \\ 50-54 & 6 & 33 \\ 55-59 & 4 & 37 \\ 60-64 & 3 & 40 \\ \hline \text{Jumlah} & 40 & - \\ \hline \end{array}
Kelas median terletak di kelas yang memuat datum ke-\dfrac{n}{2} = \dfrac{40}{2} = 20, yaitu pada kelas dengan rentang 45-49.

Tepi bawah kelas median L_0 = 45-0,5 = 44,5
Lebar kelas c = 5
Frekuensi kumulatif sebelum kelas median \sum F_k = 15
Frekuensi kelas median f_{m} = 12
Untuk itu, diperoleh
\begin{aligned} \text{Me} & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{n}{2} - \sum F_k}{f_{m}}\right) \\ & = 44,5 + 5\left(\dfrac{\frac{40}{2} - 15}{12}\right) \\ & = 44,5 + 5\left(\dfrac{5}{12}\right) \\ & = 44,5 + \dfrac{25}{12} \\ & = 44,5 + 2,0833\cdots \\ & \approx 46,6 \end{aligned}
Jadi, median dari data pada histogram di atas adalah \boxed{46,6} (Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 23
Modus dari data pada tabel di bawah ini adalah \cdots
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{Frekuensi} \\ \hline 1-10 & 10 \\ 11-20 & 12 \\ 21-30 & 18 \\ 31-40 & 30 \\ 41-50 & 16 \\ 51-60 & 14 \\ \hline \text{Jumlah} & 100 \\ \hline \end{array}
A. 30,1          D. 37,2
B. 32,1          E. 41,0
C. 35,1

Penyelesaian

\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{Frekuensi} \\ \hline 1-10 & 10 \\ 11-20 & 12 \\ 21-30 & 18 \\ \rowcolor{yellow} 31-40 & 30 \\ 41-50 & 16 \\ 51-60 & 14 \\ \hline \text{Jumlah} & 100 \\ \hline \end{array}
Dari tabel distribusi di atas, diketahui kelas modusnya pada kelas dengan rentang 31-40 karena frekuensinya tertinggi.
Tepi bawah kelas modus L_0 = 31 - 0,5 = 30,5
Lebar kelas c = 10
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d_1 = 30 - 18 = 12
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya d_2 = 30 - 16 = 14
Untuk itu, didapat
\begin{aligned} \text{Mo} & = L_0 + c\left(\dfrac{d_1}{d_1+d_2}\right) \\ & = 30,5 + 5\left(\dfrac{12}{12+14}\right) \\ & = 30,5 + \dfrac{60}{26} \\ & = 30,5 + 4,61538\cdots \approx 35,1 \end{aligned}
Jadi, modus dari data tersebut adalah \boxed{35,1} (Jawaban C)

[collapse]
             

Soal Nomor 24
Nilai rata-rata ulangan matematika dari 20 siswa adalah 60. Jika ditambah dengan sejumlah siswa yang memiliki rata-rata 70, maka nilai rata-ratanya menjadi 62. Banyak siswa yang ditambahkan adalah \cdots
A. 2 orang           D. 6 orang
B. 4 orang           E. 7 orang
C. 5 orang     

Penyelesaian

Misalkan banyak siswa yang ditambahkan adalah x.
Jumlah nilai 20 siswa itu adalah 20 \times 60 = 1.200, sedangkan jumlah nilai x siswa yang baru adalah x \times 70 = 70x, dan jumlah nilai seluruh siswa (ada 20 +x) adalah (20 + x) \times 62 = 1240 + 62x. Untuk itu, diperoleh persamaan berikut.
\begin{aligned} 1240+62x & = 1200 + 70x \\ 1240-1200 & = 70x-62x \\ 40 & = 8x \\ x & = 5 \end{aligned}
Jadi, banyak siswa yang ditambahkan adalah \boxed{5~\text{orang}} (Jawaban C) 

[collapse]
     

Soal Nomor 25
Upah dari sejumlah karyawan disajikan dalam tabel distribusi frekuensi di bawah ini.
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Upah (Puluh Ribuan)} & \text{Frekuensi} \\ \hline 120-126 & 10 \\ 127-133 & 12 \\ 134-140 & 18 \\ 141-147 & 30 \\ 148-154 & 16 \\ 155-161 & 14 \\ \hline \end{array}
Nilai persentil ke-40 data tersebut adalah \cdots
A. Rp1.250.000,00               D. Rp1.405.000,00
B. Rp1.270.000,00               E. Rp1.625.000,00
C. Rp1.340.000,00 

Penyelesaian

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut.
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Upah (Puluh Ribuan)} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 120-126 & 10 & 10\\ 127-133 & 12 & 22\\ \rowcolor{green} 134-140 & 18 & 40 \\ 141-147 & 30 & 70 \\ 148-154 & 16 & 86 \\ 155-161 & 14 & 100 \\ \hline \text{Jumlah} & 100 & - \\ \hline \end{array}
Kelas persentil ke-40 terletak di kelas yang memuat datum ke-\dfrac{40}{100} \times n = \dfrac{40}{100} \times 100 = 40, yaitu pada kelas dengan rentang 134-140.
Tepi bawah kelas persentil ke-40 L_0 = 134-0,5 = 133,5
Lebar kelas c = 7
Frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-40 \sum F_k = 22
Frekuensi kelas persentil ke-40 f_{p} = 18
Untuk itu, diperoleh
\begin{aligned} \text{P}_{40} & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{40n}{100} - \sum F_k}{f_{p}}\right) \\ & = 133,5 + 7\left(\dfrac{\frac{40\times 100}{100} - 22}{18}\right) \\ & = 133,5 + 7\left(\dfrac{18}{18}\right) \\ & = 133,5 + 7 \\ & =  140,5 \end{aligned}
Jadi, persentil ke-40 dari data pada tabel di atas adalah Rp1.405.000,00 (Jawaban D) 

[collapse]
 

Soal Nomor 26
Simpangan rata-rata dari data  4,5,6,7,8 adalah \cdots
A. 12         B. 6          C. 4           D. 1,2           E. 0,8

Penyelesaian

Rata-rata dari 5 data tersebut adalah
\overline{x} = \dfrac{4+5+6+7+8}{5} = 6
Selanjutnya, carilah simpangan rata-rata dengan menggunakan rumus berikut.
\boxed{S_R = \dfrac{\sum |x_i - \overline{x}|} {n} }
di mana x_i adalah masing-masing datum, \overline{x} adalah rata-rata data, dan n banyaknya data.
\begin{aligned} S_R & = \dfrac{|4-6| + |5-6| + |6-6| + |7-6| + |8-6|} {5} \\ & = \dfrac{2+1+0+1+2}{5} \\ & = \dfrac{6}{5} = 1,2 \end{aligned}
Jadi, simpangan rata-rata dari data yang diberikan itu adalah \boxed{1,2} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 27
Dika menyimpan uang sebesar Rp2.500.000,00 di bank. Pihak bank memberikan bunga tunggal 1,2% per bulan. Jumlah uang Dika setelah tiga tahun adalah \cdots
A. Rp2.980.000,00               D. Rp3.580.000,00
B. Rp3.145.000,00               E. Rp3.720.000,00
C. Rp3.340.000,00 

Penyelesaian

Diketahui
\begin{aligned} M_0 & = 2.500.000 \\ i & = 1,2 \% \\ n & = 3 \times 12 = 36 \end{aligned}
Misalkan bunga tunggal yang diperoleh Dika setelah tiga tahun menyimpan uang di bank itu dinyatakan oleh B, maka
\begin{aligned} B & = M_0 \times i \times n \\ & = 2.500.000 \times 1,2 \% \times 36 \\ & = 2.500.000 \times 43,2\% \\ & = 1.080.000 \end{aligned}
Jadi, bunga yang didapat Dika sebesar Rp1.080.000,00. Dengan demikian, jumlah uangnya adalah Rp2.500.000,00 + Rp1.080.000,00 = Rp3.580.000,00. (Jawaban D)

[collapse]
 

Soal Nomor 28
Pak Radit membeli sebidang tanah seharga Rp50.000.000,00 pada tahun 2013. Harga jual tanah tersebut diprediksi mengalami kenaikan sebesar 10% setiap tahun. Harga jual tanah tersebut pada tahun 2017 adalah \cdots
A. Rp62.222.500,00           D. Rp75.875.000,00
B. Rp63.550.000,00           E. Rp78.445.000,00
C. Rp73.205.000,00

Penyelesaian

Diketahui
\begin{aligned} M_0 & = 50.000.000 \\ i & = 10 \% \\ n & = 2017 - 2013 = 4 \end{aligned}
Misal harga jual tanah Pak Radit pada tahun 2017 dinyatakan oleh M, maka
\begin{aligned} M & = M_0(1+i)^n \\ & = 50.000.000(1 + 10 \%)^4 \\ & = 50.000.000(1,1)^4 \\ & = 50.000.000 \times 1,4641 \\ & = 73.205.000 \end{aligned}
Jadi, harga jual tanahnya adalah Rp73.205.000,00 (Jawaban C)

[collapse]
 

Soal Nomor 29
Diketahui balok berukuran panjang 4 cm, lebar 3 cm, dan tinggi 12 cm. Panjang diagonal ruang balok tersebut adalah \cdots cm.
A. 10       B. 11,5       C. 12,5          D. 13          E. 15

Penyelesaian

Misalkan balok tersebut adalah balok ABCD.EFGH dengan AB = 4~\text{cm}, BC = 3~\text{cm}, dan AE = 12~\text{cm}.
 

Perhatikan segitiga siku-siku ABC (siku-siku di B). Panjang diagonal sisi alas AC dapat dicari dengan rumus Pythagoras sebagai berikut. 
\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{4^2+3^2} \\ & = \sqrt{16+9} \\ & = \sqrt{25} = 5~\text{cm} \end{aligned}
Selanjutnya, perhatikan segitiga siku-siku ACG (siku-siku di C) di mana ruas garis AG adalah diagonal ruang balok tersebut. Panjang AG dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras
\begin{aligned} AG & = \sqrt{AC^2+CG^2} \\ & = \sqrt{5^2+12^2} \\ & = \sqrt{25+144} \\ & = \sqrt{169} = 13~\text{cm} \end{aligned}
Jadi, panjang diagonal ruang balok itu adalah \boxed{13~\text{cm}} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 30
Perhatikan gambar kubus berikut ini.

Jika panjang rusuk kubus tersebut 7 cm, maka luas bidang BDHF adalah \cdots cm2
A. 36     B. 36\sqrt{2}      C. 36\sqrt{3}      D. 49\sqrt{2}       E. 49\sqrt{3}

Penyelesaian

Bidang BDHF berbentuk persegi panjang dengan panjang BD dan lebar BF
Panjang BD yang merupakan diagonal bidang/sisi kubus dapat ditentukan dengan memandang BD sebagai hipotenusa (sisi miring) dari segitiga siku-siku ABD (siku-sikunya di A). 
Untuk itu, berlakulah rumus Pythagoras.
\begin{aligned} BD & = \sqrt{AB^2+AD^2} \\ & = \sqrt{7^2+7^2} \\ & = \sqrt{7^2(1+1)} = 7\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} L.BDHF & = BD \times BF \\ & = 7\sqrt{2} \times 7 = 49\sqrt{2}~\text{cm}^2 \end{aligned}
Jadi, luas bidang BDHF adalah \boxed{49\sqrt{2}~\text{cm}^2} (Jawaban D)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
KategoriAkar, Barisan dan Deret, Eksponen dan Logaritma, Nilai Mutlak, Pangkat, Program Linear, SPLDV, Statistika MatematikaTag, , , , , , , , , , , ,

6 Balasan untuk “Soal dan Pembahasan – Ulangan Umum Matematika Kelas XII Semester Ganjil TA 2017/2018 SMKN 3 Pontianak”

  1. Jujur, ini website pembelajaran terbaik dari semua website yang pernah saya buka. Terima kasih banyak , ini sangat membantu saya dalam proses belajar❤

    Rate
  2. Wah website ini sangat membantu sekali menurut saya
    Penyelesaian mengenai soalnya pun terperinci sehingga memudahkan saya dalam memahami soal tersebut👍
    Bagus banget deh website ini karena sangat membantu sekali dalam proses belajar 🤓👍

    Rate

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *