Soal dan Pembahasan -Ujian Tengah Semester (UTS) Struktur Aljabar (Teori Grup)

        Berikut ini adalah 6 soal UTS Struktur Aljabar (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 6 November 2017 oleh Dr. Yulis Jamiah, M.Pd. Peserta (mahasiswa) hanya perlu menjawab 3 soal dari 6 soal yang diberikan, dengan syarat 2 soal bernomor ganjil dan 1 soal bernomor genap.

Soal Nomor 1
Tunjukkan bahwa $G = \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix} | a, b, d \in \mathbb{R}, ad \neq 0\right\}$ merupakan grup terhadap operasi perkalian matriks. Apakah $G$ juga grup abelian?

Pembahasan

Harus ditunjukkan bahwa $(G, \times)$ memenuhi sifat tertutup, memenuhi sifat asosiatif, memiliki identitas, dan setiap elemennya memiliki invers.
(Bersifat tertutup) Ambil sembarang $A, B \in G$ dengan $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix}$ (semua entrinya real dan determinannya tak nol). Akan ditunjukkan bahwa $AB \in G$. Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} AB & = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} ae & ap + bh \\ 0 & dh \end{pmatrix} \in G \end{aligned}$
karena memenuhi sifat keanggotaan $G$. Jadi, operasi perkalian matriks di $G$ merupakan operasi biner karena bersifat tertutup.
(Bersifat asosiatif) Ambil sembarang $A, B, C \in G$ dengan $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix} i & j \\ 0 & l \end{pmatrix}$ (entrinya bilangan real dan determinannya tak nol). Akan ditunjukkan bahwa berlaku $(AB)C = A(BC)$
$\begin{aligned} (AB)C & = \left[\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix}\right] \begin{pmatrix} i & j \\ 0 & l \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} ae & af + bh \\ 0 & dh \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & j \\ 0 & l \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} (ae)i & (ae)j + (af + bh)l \\ 0 & (db)l \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a(ei) & a(ej + fl) + b(hl) \\ 0 & d(hl) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ei & ej + fl \\ 0 & hl \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}\left[\begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & j \\ 0 & l \end{pmatrix}\right] \\ & = A(BC) \end{aligned}$
Karena berlaku demikian, maka dapat disimpulkan bahwa $G$ memenuhi sifat asosiatif.
(Memiliki identitas) $G$ memiliki identitas, yaitu $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G$ sedemikian sehingga berlaku
$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$ dengan $ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \in G$
(Setiap elemen memiliki invers) Ambil sembarang elemen $A \in G$ dengan $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$. Klaim bahwa invers dari $A$ adalah $A^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{a} & -\dfrac{b}{ad} \\ 0 & \dfrac{1}{d} \end{pmatrix}$ sedemikian sehingga berlakulah
$AA^{-1} = I$
di mana $I$ elemen identitas $G$.
Keempat syarat ini terpenuhi sehingga terbukti bahwa $G$ dengan operasi perkalian matriks merupakan grup. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $G$ dengan operasi tersebut bukanlah grup abelian. Berarti, harus ditunjukkan bahwa $AB \neq BA$ untuk $A,B \in G$
Ambil $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$ dengan $A, B \in G$
berarti
$\begin{aligned} AB & = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} ae & af + bh \\ 0 & dh \end{pmatrix} \end{aligned}$
sedangkan
$\begin{aligned} BA & = \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} ea & eb + fd \\ 0 & hd \end{pmatrix} \end{aligned}$
Diperoleh $AB \neq BA$ sehingga tidak berlaku sifat komutatif dalam $G$. Jadi, $G$ bukan grup abelian.

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $(G, \circ)$ grup dan $a, b \in G$, tunjukkan bahwa $a \circ x = b$ dan $y \circ a = b$ hanya memiliki penyelesaian tunggal.

Pembahasan

Pertama-tama, akan ditunjukkan bahwa $a \circ x = b$ memiliki penyelesaian. Diketahui $(G, \circ)$ grup, ambil $a \in G$, berarti $a^{-1} \in G$. Jadi,
$\begin{aligned} a \circ x & = b \\ a^{-1} \circ (a \circ x) & = a^{-1} \circ b\\ (a^{-1} \circ a) \circ x &  = a ^{-1} \circ b\\ e \circ x & = a^{-1} \circ b \\ x & =a^{-1} \circ b \end{aligned}$
Berdasarkan sifat tertutup pada grup, $a^{-1} \circ b$ merupakan elemen $G$ sehingga merupakan penyelesaian dari persamaan $a \circ x = b$
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa penyelesaian dari persamaan itu tunggal.
Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut, berarti berlaku
$a \circ x_1 = b = a \circ x_2$
Dengan hukum kanselasi kiri, diperoleh
$x_1 = x_2$
Jadi, penyelesaiannya selalu tunggal.
Kedua, akan ditunjukkan bahwa $y \circ a = b$ memiliki penyelesaian. Diketahui $(G, \circ)$ grup, ambil $a \in G$, berarti $a^{-1} \in G$. Jadi,
$\begin{aligned} y \circ a & = b \\ (y \circ a) \circ a^{-1} & = b \circ a^{-1} \\ y \circ (a \circ a^{-1}) & = b \circ a ^{-1} \\ y \circ e & = b \circ a^{-1} \\ y & =b \circ a^{-1} \end{aligned}$
Berdasarkan sifat tertutup pada grup, $b \circ a^{-1}$ merupakan elemen $G$ sehingga merupakan penyelesaian dari persamaan $y \circ a = b$
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa penyelesaian dari persamaan itu tunggal.
Misalkan $y_1$ dan $y_2$ merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut, berarti berlaku
$y_1 \circ a = b = y_2 \circ a$
Dengan hukum kanselasi kanan, diperoleh
$y_1 = y_2$
Jadi, penyelesaiannya selalu tunggal. $\blacksquare$

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui $(G, \times)$ grup dengan $G = \{I, A, B, C\}$ dan $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$, dan $C = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
a) Tunjukkan bahwa $G$ grup siklik dengan generator $B$.
b) Tunjukkan bahwa $G$ grup siklik dengan generator $C$.

Pembahasan

Ingat definisi grup siklik berikut.
Misalkan $G$ grup dan $\mathbb{Z}$ himpunan bilangan bulat. $G$ disebut grup siklik jika ada $a \in G$ sedemikian sehingga $G = \{a^n | n \in \mathbb{Z}\}$. Elemen $a$ pada $G$ selanjutnya disebut generator dari $G$.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa,

$\begin{aligned} B & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ B^2 & = B \times B \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ &  = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = A \\ B^3 & = B^2 \times B \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = C \\ B^4 & = B^3 \times B \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = I \end{aligned}$
Ternyata kita peroleh bahwa perpangkatan $B$ menghasilkan/membangkitkan seluruh elemen $G$. Berarti, $G$ adalah grup siklik dengan generator $B$ atau ditulis $G = [B]$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa,

$\begin{aligned} C & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\C^2 & = C \times C \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = A \\C^3 & = C^2 \times C \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &  = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = B \\ C^4 & = C^3 \times C \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Ternyata kita peroleh bahwa perpangkatan $C$ menghasilkan/membangkitkan seluruh elemen $G$. Berarti, $G$ adalah grup siklik dengan generator $C$ atau ditulis $G = [C]$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Soal Nomor 4
Jika $(G, \star)$ grup dan $a, b, c \in G$, tunjukkan bahwa
a) $a \star c = b \star c \Rightarrow a = b$
b) $c \star a = c \star b \Rightarrow a = b$

Pembahasan

Karena $G$ grup, maka berlaku sifat tertutup, sifat asosiatif, memiliki identitas yaitu $e$, dan setiap elemen memiliki invers. Perhatikan bahwa,
$a \star c = b \star c$
(Operasi elemen $c^{-1}$ pada kedua ruas)
$(a \star c) \star c^{-1} = (b \star c) \star c^{-1}$
(Terapkan sifat asosiatif)
$a \star (c \star c^{-1}) = b \star (c \star c^{-1})$
(Gunakan eksistensi invers)
$a \star e = b \star e$
(Gunakan sifat identitas)
$a = b$ (Terbukti)
Teorema ini selanjutnya dikenal sebagai Hukum Kanselasi Kanan.
Selanjutnya dengan prinsip yang sama,
$\begin{aligned} c \star a & = c \star b \\ c^{-1} \star (c \star a) & = c^{-1} \star (c \star b)  \\ (c^{-1} \star c) \star a & = (c^{-1} \star c) \star b \\e \star a & = e \star b \\ a &= b \end{aligned}$ (Terbukti)
Teorema ini selanjutnya dikenal sebagai Hukum Kanselasi Kiri.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diberikan $G$ grup dengan $$G = \left\{I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\right\}$$Tunjukkan bahwa $H = \{I, B\}$ merupakan subgrup dari $G$.

Pembahasan

$H$ adalah grup finit (grup yang elemen himpunannya berhingga), sehingga kita diperbolehkan menggunakan teorema berikut.
$G$ grup, $H \subseteq G, H = \emptyset$, $H$ finit, $H$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika $\forall a, b \in H \Rightarrow ab \in H$
Dari redaksi yang diberikan, jelas bahwa $H$ himpunan bagian dari $G$ dan $H$ tidak kosong.
Ambil $I, B \in H$.
$IB = BI = B \in H$
(Gunakan sifat identitas perkalian matriks)
Jadi, sifat tertutup berlaku dalam $H$. Berarti, $H$ subgrup dari $G$ (terbukti). 

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $A$ dan $B$ subgrup dari grup $G$, tunjukkan bahwa $A \cap B$ juga subgrup $G$.

Pembahasan

Akan ditunjukkan bahwa irisan dua subgrup adalah subgrup juga, yaitu menunjukkan bahwa $A \cap B$ tidak membentuk himpunan kosong, $A \cap B$ merupakan subset dari $G$, berlakunya sifat tertutup, dan setiap elemen di $A \cap B$ memiliki invers.
($A \cap B$ tidak kosong)
Secara matematis, ditulis $A \cap B \neq \emptyset$. Karena $A$ subgrup dari $G$, maka $A$ memiliki identitas, yaitu $e$. Begitu juga $B$ dengan identitas yang sama, yaitu $e$. Dari kedua ini, diperoleh $e \in A \cap B$. Jadi, $A \cap B = \emptyset$ tidak kosong (salah satu anggotanya adalah $e$)

($A \cap B$ subset $G$)
$A$ subgrup dari $G$, berarti $A \subseteq G$
$B$ subgrup dari $G$, berarti $B \subseteq G$
Dari kedua ini, diperoleh $A \cap B \subseteq G$
(Berlaku sifat tertutup)
Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap $a, b \in A \cap B$ berlaku $ab \in A \cap B$
Ambil sembarang $a, b \in A \cap B$. Selanjutnya,
$a \in A \cap B \Rightarrow a \in A \land a \in B$
$b \in A \cap B \Rightarrow b \in A \land b \in B$
Karena $a, b \in A$ dan $A$ subgrup dari $G$, maka dengan sifat tertutupnya, berlaku $ab \in A$
Juga karena $a, b \in B$ dengan $B$ subgrup dari $G$, maka dengan sifat tertutupnya, berlaku $ab \in B$
Dari kedua ini, akhirnya diperpleh $ab \in A \cap B$ (terbukti)
(Setiap elemen di $A \cap B$ memiliki invers)
Ambil sembarang $a \in A \cap B$
$a \in A \cap B$ berarti $a \in A$ dan $a \in B$. Karena $A$ dan $B$ keduanya subgrup dari $G$, maka dengan sifat ketertutupan inversnya, berlaku $a^{-1} \in A$ dan $a^{-1} \in B$, yang berarti $a^{-1}\in A \cap B$. Jadi, setiap sembarang elemen $A \cap B$ memiliki invers padanya.
Keempat syarat telah terpenuhi, sehingga terbukti bahwa $A \cap B$ adalah subgrup dari $G$. 

[collapse]

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *