Soal dan Pembahasan -Ujian Tengah Semester (UTS) Struktur Aljabar (Grup)

Berikut ini adalah 6 soal UTS Struktur Aljabar (TA 2017/2018) yang diujikan pada tanggal 6 November 2017 oleh Dr. Yulis Jamiah, M.Pd. Peserta (mahasiswa) hanya perlu menjawab 3 soal dari 6 soal yang diberikan, dengan syarat 2 soal bernomor ganjil dan 1 soal bernomor genap.

Soal Nomor 1
Tunjukkan bahwa G = \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix} | a, b, d \in \mathbb{R}, ad \neq 0\right\} merupakan grup terhadap operasi perkalian matriks. Apakah G juga grup abelian?

Penyelesaian

Harus ditunjukkan bahwa (G, \times) memenuhi sifat tertutup, memenuhi sifat asosiatif, memiliki identitas, dan setiap elemennya memiliki invers.
(Bersifat tertutup) Ambil sembarang A, B \in G dengan A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix} (semua entrinya real dan determinannya tak nol). Akan ditunjukkan bahwa AB \in G. Perhatikan bahwa,
AB = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae & ap + bh \\ 0 & dh \end{pmatrix} \in G
karena memenuhi sifat keanggotaan G. Jadi, operasi perkalian matriks di G merupakan operasi biner karena bersifat tertutup.
(Bersifat asosiatif) Ambil sembarang A, B, C \in G dengan A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix}, dan C = \begin{pmatrix} i & j \\ 0 & l \end{pmatrix} (entrinya bilangan real dan determinannya tak nol). Akan ditunjukkan bahwa berlaku (AB)C = A(BC)
\begin{aligned} (AB)C & = \left[\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix}\right] \begin{pmatrix} i & j \\ 0 & l \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} ae & af + bh \\ 0 & dh \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & j \\ 0 & l \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} (ae)i & (ae)j + (af + bh)l \\ 0 & (db)l \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a(ei) & a(ej + fl) + b(hl) \\ 0 & d(hl) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ei & ej + fl \\ 0 & hl \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}\left[\begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & j \\ 0 & l \end{pmatrix}\right\] \\ & = A(BC)\end{aligned}
Karena berlaku demikian, maka dapat disimpulkan bahwa G memenuhi sifat asosiatif.
(Memiliki identitas) G memiliki identitas, yaitu I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G sedemikian sehingga berlaku
\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} dengan \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \in G
(Setiap elemen memiliki invers) Ambil sembarang elemen A \in G dengan A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}. Klaim bahwa invers dari A adalah A^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{a} & -\dfrac{b}{ad} \\ 0 & \dfrac{1}{d} \end{pmatrix} sedemikian sehingga berlakulah
AA^{-1} = I
di mana I elemen identitas G
Keempat syarat ini terpenuhi sehingga terbukti bahwa G dengan operasi perkalian matriks merupakan grup. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa G dengan operasi tersebut bukanlah grup abelian. Berarti, harus ditunjukkan bahwa AB \neq BA untuk A,B \in G
Ambil A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} dengan A, B \in G
berarti
AB = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae & af + bh \\ 0 & dh \end{pmatrix}
sedangkan
BA = \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ea & eb + fd \\ 0 & hd \end{pmatrix}
Diperoleh AB \neq BA sehingga tidak berlaku sifat komutatif dalam G. Jadi, G bukan grup abelian.

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika (G, \circ) grup dan a, b \in G, tunjukkan bahwa a \circ x = b dan y \circ a = b hanya memiliki penyelesaian tunggal.

Penyelesaian

Pertama-tama, akan ditunjukkan bahwa a \circ x = b memiliki penyelesaian. Diketahui (G, \circ) grup, ambil a \in G, berarti a^{-1} \in G. Jadi,
\begin{aligned} a \circ x & = b \\ a^{-1} \circ (a \circ x) & = a^{-1} \circ b\\ (a^{-1} \circ a) \circ x &  = a ^{-1} \circ b\\ e \circ x & = a^{-1} \circ b \\ x & =a^{-1} \circ b \end{aligned}
Berdasarkan sifat tertutup pada grup, a^{-1} \circ b merupakan elemen G sehingga merupakan penyelesaian dari persamaan a \circ x = b
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa penyelesaian dari persamaan itu tunggal.
Misalkan x_1 dan x_2 merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut, berarti berlaku
a \circ x_1 = b = a \circ x_2
Dengan hukum kanselasi kiri, diperoleh
x_1 = x_2
Jadi, penyelesaiannya selalu tunggal.
Kedua, akan ditunjukkan bahwa y \circ a = b memiliki penyelesaian. Diketahui (G, \circ) grup, ambil a \in G, berarti a^{-1} \in G. Jadi,
\begin{aligned} y \circ a & = b \\ (y \circ a) \circ a^{-1} & = b \circ a^{-1} \\ y \circ (a \circ a^{-1} \) & = b \circ a ^{-1} \\ y \circ e & = b \circ a^{-1} \\ y & =b \circ a^{-1} \end{aligned}
Berdasarkan sifat tertutup pada grup, b \circ a^{-1} merupakan elemen G sehingga merupakan penyelesaian dari persamaan y \circ a = b
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa penyelesaian dari persamaan itu tunggal.
Misalkan y_1 dan y_2 merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut, berarti berlaku
y_1 \circ a = b = y_2 \circ a
Dengan hukum kanselasi kanan, diperoleh
y_1 = y_2
Jadi, penyelesaiannya selalu tunggal. (Terbukti)

[collapse]



Soal Nomor 3
Diketahui (G, \times) grup dengan G = \{I, A, B, C\} dan
\left{I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\right}
a) Tunjukkan bahwa G grup siklik dengan generator B.
b) Tunjukkan bahwa G grup siklik dengan generator C.

Penyelesaian

Ingat definisi grup siklik berikut.
Misalkan G grup dan \mathbb{Z} himpunan bilangan bulat. G disebut grup siklik jika ada a \in G sedemikian sehingga G = \{a^n | n \in \mathbb{Z}\}. Elemen a pada G selanjutnya disebut generator dari G.
(Jawaban a) Perhatikan bahwa,
B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
B^2 = B \times B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = A
B^3 = B^2 \times B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = C
B^4 = B^3 \times B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = I
Ternyata kita peroleh bahwa perpangkatan B menghasilkan/membangkitkan seluruh elemen G. Berarti, G adalah grup siklik dengan generator B atau ditulis G = [B]
(Jawaban b) Perhatikan bahwa,
C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
C^2 = C \times C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = A
C^3 = C^2 \times C = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = B
C^4 = C^3 \times C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
Ternyata kita peroleh bahwa perpangkatan C menghasilkan/membangkitkan seluruh elemen G. Berarti, G adalah grup siklik dengan generator C atau ditulis G = [C]

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika (G, \star) grup dan a, b, c \in G, tunjukkan bahwa
a) a \star c = b \star c \Rightarrow a = b
b) c \star a = c \star b \Rightarrow a = b

Penyelesaian

Karena G grup, maka berlaku sifat tertutup, sifat asosiatif, memiliki identitas yaitu e, dan setiap elemen memiliki invers. Perhatikan bahwa,
a \star c = b \star c
(Operasi elemen c^{-1} pada kedua ruas)
(a \star c) \star c^{-1} = (b \star c) \star c^{-1}
(Terapkan sifat asosiatif)
a \star (c \star c^{-1}) = b \star (c \star c^{-1})
(Gunakan eksistensi invers)
a \star e = b \star e
(Gunakan sifat identitas)
a = b (Terbukti)
Teorema ini selanjutnya dikenal sebagai Hukum Kanselasi Kanan.
Selanjutnya dengan prinsip yang sama,
\begin{aligned} c \star a & = c \star b \\ c^{-1} \star (c \star a) & = c^{-1} \star (c \star b)  \\ (c^{-1} \star c) \star a & = (c^{-1} \star c) \star b \\e \star a & = e \star b \\ a &= b \end{aligned} (Terbukti)
Teorema ini selanjutnya dikenal sebagai Hukum Kanselasi Kiri.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diberikan G grup dengan G = \left\{I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\right\}
Tunjukkan bahwa H = \{I, B\} merupakan subgrup dari G.

Penyelesaian

H adalah grup finit (grup yang elemen himpunannya berhingga), sehingga kita diperbolehkan menggunakan teorema berikut.
G grup, H \subseteq G, H = \emptyset, H finit, H subgrup dari G jika dan hanya jika \forall a, b \in H \Rightarrow ab \in H
Dari redaksi yang diberikan, jelas bahwa H himpunan bagian dari G dan H tidak kosong.
Ambil I, B \in H.
IB = BI = B \in H
(Gunakan sifat identitas perkalian matriks)
Jadi, sifat tertutup berlaku dalam H. Berarti, H subgrup dari G (terbukti)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika A dan B subgrup dari grup G, tunjukkan bahwa A \cap B juga subgrup G.

Penyelesaian

Akan ditunjukkan bahwa irisan dua subgrup adalah subgrup juga, yaitu menunjukkan bahwa A \cap B tidak membentuk himpunan kosong, A \cap B merupakan subset dari G, berlakunya sifat tertutup, dan setiap elemen di A \cap B memiliki invers.
(A \cap B tidak kosong)
Secara matematis, ditulis A \cap B \neq \emptyset. Karena A subgrup dari G, maka A memiliki identitas, yaitu e. Begitu juga B dengan identitas yang sama, yaitu e. Dari kedua ini, diperoleh e \in A \cap B. Jadi, A \cap B = \emptyset tidak kosong (salah satu anggotanya adalah e)

(A \cap B subset G)
A subgrup dari G, berarti A \subseteq G
B subgrup dari G, berarti B \subseteq G
Dari kedua ini, diperoleh A \cap B \subseteq G
(Berlaku sifat tertutup)
Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap a, b \in A \cap B berlaku ab \in A \cap B
Ambil sembarang a, b \in A \cap B. Selanjutnya,
a \in A \cap B \Rightarrow a \in A \land a \in B
b \in A \cap B \Rightarrow b \in A \land b \in B
Karena a, b \in A dan A subgrup dari G, maka dengan sifat tertutupnya, berlaku ab \in A
Juga karena a, b \in B dengan B subgrup dari G, maka dengan sifat tertutupnya, berlaku ab \in B
Dari kedua ini, akhirnya diperpleh ab \in A \cap B (terbukti)
(Setiap elemen di A \cap B memiliki invers)
Ambil sembarang a \in A \cap B
a \in A \cap B berarti a \in A dan a \in B. Karena A dan B keduanya subgrup dari G, maka dengan sifat ketertutupan inversnya, berlaku a^{-1} \in A dan a^{-1} \in B, yang berarti a^{-1}\in A \cap B. Jadi, setiap sembarang elemen A \cap B memiliki invers padanya.
Keempat syarat telah terpenuhi, sehingga terbukti bahwa A \cap B adalah subgrup dari G

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
KategoriStruktur Aljabar, UTS Mata KuliahTag, , , ,

3 Balasan untuk “Soal dan Pembahasan -Ujian Tengah Semester (UTS) Struktur Aljabar (Grup)”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *