Soal dan Pembahasan – Vektor (Tingkat SMA/Sederajat)

Vektor merupakan salah satu materi matematika peminatan (mathematics – extended/further) yang dipelajari oleh siswa kelas X jurusan MIPA Tingkat SMA. Secara singkat, vektor merupakan besaran yang memiliki nilai sekaligus arah. Kadang vektor juga disebut sebagai garis berarah (garis yang memiliki panah), di mana panjang garis mewakili nilai vektor, sedangkan panah mewakili arah vektor. Untuk memperkuat pemahaman konsep tentang vektor, berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan sumber pembelajaran.

Soal Nomor 1
Diketahui ABC.DEF adalah segienam beraturan dengan pusat O

. Jika vektor \vec{AB} = \vec u dan \vec{AF} = \vec v, tentukan vektor-vektor di bawah ini dalam \vec u dan \vec v.

a. \vec{OA}
b. \vec{AE}
c. \vec{AD}

Penyelesaian

Jawaban a)
Diketahui \vec{AB} = \vec u dan \vec{AF} = \vec v. Dengan demikian,
\vec{OF} = \vec{AB} = \vec u
Untuk itu,
\begin{aligned} \vec{OA} & = \vec{AF} + \vec{FO} \\ & = \vec{AF} - \vec{OF} \\ & = \vec v - \vec u \end{aligned}
Jadi, diperoleh \boxed{\vec{OA} = \vec v - \vec u}
Jawaban b)
Diketahui \vec{AF} = \vec v. Dari jawaban a di atas, diketahui juga bahwa \vec{OA} = \vec{EF} = \vec v - \vec u.
Untuk itu,
\begin{aligned} \vec{AE} & = \vec{AF} + \vec{FE} \\ & = \vec{AF} - \vec{EF} \\ & = \vec v - (\vec v - \vec u) = \vec u \end{aligned}
Jadi, diperoleh \boxed{\vec{AE} = \vec u}
Jawaban c)
Dari jawaban a di atas, diketahui bahwa \vec{OA} = \vec v - \vec u, sehingga
\vec{AO} = \vec u - \vec v.
Karena \vec{AO} = \vec{OD} (memiliki arah dan nilai yang sama), maka
\begin{aligned} \vec{AD} & = \vec{AO} + \vec{OD} \\ & = \vec{AO} + \vec{AO} \\ & = 2\vec{AO} = 2(\vec u - \vec v) \end{aligned}
Jadi, diperoleh \boxed{\vec{AD} = 2(\vec u - \vec v)}

[collapse]

Soal Nomor 2
Pada persegi panjang OPQR, diketahui M titik tengah QR dan N titik tengah PR. Jika \vec u = \vec{OP} dan \vec v = \vec{OQ}, maka \vec{MN} = \cdots

Penyelesaian

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Diketahui:
\begin{aligned} \vec{OP} & = \vec u \\ \vec{OQ} & = \vec v \end{aligned}
Perhatikan vektor QP. Jumlah dari vektor QO dan OP sama dengan \vec{QP}, sehingga
\begin{aligned} \vec{QP} & = \vec{QO} + \vec{OP} \\ & = -\vec{OQ} + \vec{OP} \\ & = -\vec v + \vec u \end{aligned}
Karena panjang \vec{MN} setengah dari panjang \vec{QP}, maka
\boxed{\vec{MN} = \dfrac12(-\vec v + \vec u)}

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui vektor \vec a = \widehat{i}+2\widehat{j}-3\widehat{k}, \vec b = 3\widehat{i}+5\widehat{k}, \vec c= -2\widehat{i}-4\widehat{j}+\widehat{k}, dan \vec u= 2 \vec a + \vec b - \vec c. Vektor \vec u adalah \cdots
A. 5\widehat{i}+6\widehat{j}+\widehat{k}
B. 3\widehat{i}-2\widehat{j}-2\widehat{k}
C. 2\widehat{i}-2\widehat{j}
D. 7\widehat{i}+8\widehat{j}-2\widehat{k}
E. 7\widehat{i}-8\widehat{j}-2\widehat{k}

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \vec a & = (1,2,-3) \\ \vec b & = (3,0,5) \\ \vec c & = (-2,-4,1) \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} \vec u & = 2 \vec a + \vec b - \vec c \\ & = 2(1,2,-3)+(3,0,5)-(-2,-4,1) \\ & = (2,4,-6)+(3,0,5)+(2,4,-1) \\ & = (2+3+2,4+0+4,-6+5-1) \\ & = (7,8,-2) \end{aligned}
Jadi, vektor \vec u adalah \boxed{7\widehat{i} + 8\widehat{j} - 2\widehat k}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui A(1,2,3),B(3,3,1), dan C(7,5,-3), Jika A,B, dan C segaris (kolinear), maka \vec{AB} : \vec{AC} adalah …
A. 1 : 2              D. 5 : 7
B. 2 : 1              E. 7 : 5
C. 2 : 5

Penyelesaian

Karena A, B, C segaris, maka vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik itu akan saling berkelipatan (memiliki perbandingan). 
Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui
\begin{aligned} \vec{AB} & = B-A = (3,3,1)-(1,2,3)=(2,1,-2) \\ \vec{BC} & = C-B = (7,5,-3)-(3,3,1) = (4,2,-4) \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \dfrac{\vec {AB}}{\vec {BC}} & = \dfrac{(2,1,-2)}{(4,2,-4)} \\ & = \dfrac{\cancel{(2,1,-2)}}{2\cancel{(2,1,-2)}} \\ & = \dfrac12 \end{aligned}
Jadi, \boxed{\vec{AB} : \vec{BC} = 1 : 2}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui bahwa \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix}, dan \vec{c}= \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix}. Jika \vec{a} \perp \vec{b}, maka hasil dari \vec a + 2 \vec b - \vec c = \cdots
A. \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}        D. \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 12 \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 6 \end{pmatrix}        E. \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 14 \end{pmatrix}
C. \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Karena \vec a \perp \vec b (saling tegak lurus), maka \vec a \bullet \vec b = 0, sehingga ditulis 
\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix} & = 0 \\ (1)(4) + (2)(4) + (-3)(m) & = 0 \\ 4+8-3m&=0 \\ -3m&=-12 \\ m &=4 \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} \vec a + 2 \vec b - \vec c & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1+8-3 \\ 2+8-(-4) \\ -3+8-5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{\vec a + 2 \vec b - \vec c = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui vektor \vec a= \widehat{i}+2\widehat{j}-x\widehat{k}, \vec b = 3\widehat{i}-2\widehat{j}+\widehat{k}, dan \vec c= 2\widehat{i}+\widehat{j}+2\widehat{k}. Jika \vec a \perp \vec c, maka nilai dari (\vec a + \vec b) \bullet (\vec a - \vec c) adalah …
A. -4         B. -2          C. 0           D. 2           E. 4

Penyelesaian

Diketahui: 
\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -x \end{pmatrix}~~~~\vec b = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}~~~~\vec c = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
Karena \vec a \perp \vec c (saling tegak lurus), maka \vec a \bullet \vec c = 0, sehingga ditulis 
\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -x \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} & = 0 \\ (1)(2) + (2)(1) + (-x)(2) & = 0 \\ 2+2-2x&=0 \\ -2x&=-4 \\ x &=2 \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} & (\vec a + \vec b) \bullet (\vec a - \vec c) \\ & = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \bullet \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -x \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right] \\ & = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \bullet \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right] \\ & =\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \\ & = (4)(-1)+(0)(1)+(-1)(-4) = 0 \end{aligned}
Jadi, hasil dari \boxed{(\vec a + \vec b) \bullet (\vec a - \vec c) = 0}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui vektor \vec u = 3\widehat{i}+2\widehat{j}-\widehat{k} dan \vec v = 3\widehat{i}+9\widehat{j}-12\widehat{k}. Jika vektor 2 \vec u -a \vec v tegak lurus terhadap \vec v, maka nilai a = \cdots
A. -1      B. -\frac13        C. 1           D. \frac13            E. 3

Penyelesaian

Diketahui: \vec u = (3,2,-1) dan \vec v = (3,9,-12)
Misalkan \vec x = 2 \vec u - a \vec v, sehingga
\begin{aligned} \vec x & = 2(3,2,-1)-a(3,9,-12) \\ & = (6,4,-2)-(3a, 9a, -12a) \\ & = (6-3a, 4-9a, -2+12a) \end{aligned}
Karena vektor \vec x = 2 \vec u -a \vec v tegak lurus terhadap \vec v, maka haruslah memenuhi \vec x \bullet \vec v = 0, sehingga ditulis
\begin{aligned} (6-3a, 4-9a, -2+12a) \bullet (3,9,-12) & = 0 \\ 3(6-3a) + 9(4-9a) + (-12)(-2+12a) & =0 \\ 18-9a + 36-81a + 24 - 144a & = 0 \\ 78 - 234a & = 0 \\ -234a & = -78 \\ a & = \dfrac13 \end{aligned}
Jadi, nilai \boxed{a = \dfrac13}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui vektor \vec u = (2,-1,3) dan \vec v =(-3,2,6). Panjang proyeksi vektor skalar 3 \vec u + 2 \vec v pada vektor \vec v adalah \cdots 
A. 13\frac34              D. 21\frac57
B. 15\frac57              E. 22\frac34
C. 18\frac27

Penyelesaian

Misalkan \vec x = 3 \vec u + 2 \vec v, sehingga
\begin{aligned} \vec x & = 3(2,-1,3) + 2(-3,2,6) \\ & = (6,-3,9)+(-6,4,12) \\ & = (6+(-6), -3+4, 9+12) \\ & = (0, 1, 21) \end{aligned}
Panjang proyeksi vektor skalar \vec x = 3 \vec u + 2 \vec v pada vektor \vec v dinyatakan oleh
\begin{aligned} |\vec x_{\vec v}| & = \dfrac{\vec x \bullet \vec v} {|\vec v|} \\ & = \dfrac{(0,1,21) \bullet (-3,2,6)} {\sqrt{(-3)^2+(2)^2+(6)^2}} \\ & = \dfrac{(0)(-3)+(1)(2)+(21)(6)} {\sqrt{9+4+36}} \\ & = \dfrac{0+2+126}{\sqrt{49}} \\ & = \dfrac{128}{7} = 18\dfrac27 \end{aligned}
Jadi, panjang proyeksi vektor skalar dari kedua vektor tersebut adalah \boxed{18\dfrac27} 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui vektor \vec u = \widehat{i}+2\widehat{j}-\widehat{k} dan \vec v = \widehat{i}+\widehat{j}+m\widehat{k}. Panjang proyeksi \vec u pada \vec v adalah \dfrac23\sqrt3. Bila m>0, maka nilai m+2=\cdots
A. 2            B. 3            C. 5            D. 9          E. 15

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \vec u & = (1, 2, -1) \\ \vec v & = (1, 1, m) \\ |\vec u _{\vec v}| & = \dfrac23\sqrt3 \end{aligned}
Dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor, diperoleh
\begin{aligned} |\vec u _{\vec v}| & = \dfrac{\vec u \bullet \vec v}{|\vec v|} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{(1,2,-1) \bullet (1,1,m)}{\sqrt{(1)^2+(1)^2+m^2}} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{1(1) + 2(1) + (-1)(m)}{\sqrt{2+m^2}} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{3-m}{\sqrt{2+m^2}} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ \left(\dfrac23\sqrt3\right)^2 & = \left(\dfrac{3-m}{\sqrt{2+m^2}}\right)^2 \\ \dfrac{4}{\cancelto{3}{9}} \cdot \cancel{3} & = \dfrac{9-6m+m^2}{2+m^2} \\ \dfrac43(2+m^2) & = 9-6m+m^2 \\ 8+4m^2 & = 27-18m+3m^2 \\ m^2 + 18m - 19 & = 0 \\ (m+19)(m-1) & = 0 \end{aligned}
Dari sini, diperoleh m = -19 atau m=1. Karena m>0, maka dipilih m=1, sehingga nilai \boxed{m+2=1+2=3}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Misalkan A(t^2+1,t) dan B(1,2) sehingga panjang vektor proyeksi \vec{OA} terhadap \vec{OB} lebih dari \dfrac{4}{\sqrt5}. Nilai t yang mungkin adalah …
A. -3<t<1
B. t<-1 atau t>3
C. t<-3 atau t>1
D. -1<t<3
E. 1<t<3

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \text{Koordinat}~A & = (t^2+1, t) \\ \text{Koordinat}~B & = (1,2) \\ \text{Koordinat}~O & = (0,0) \\ |\vec{OA}_{\vec {OB}}| > \dfrac{4}{\sqrt5} \end{aligned}
Karena panjang proyeksi vektornya lebih dari \dfrac{4}{\sqrt5}, maka kita tuliskan
\begin{aligned} |\vec{OA}_{\vec {OB}}|& > \dfrac{4}{\sqrt5} \\ \dfrac{\vec{OA} \bullet \vec{OB}}{|\vec{OB}|} & = \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ \dfrac{(t^2+1, t) \bullet (1, 2)}{\sqrt{(1)^2+(2)^2}} & > \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ \dfrac{(t^2+1)(1) + t(2)}{\cancel{\sqrt5}}} & > \dfrac{4}{\cancel{\sqrt{5}}} \\ t^2+1+2t & > 4 \\ t^2+2t-3 & > 0 \\ (t+3)(t-1) & > 0 \end{aligned}
Pembuat nol: t = -3 atau t = 1.
Dengan menggunakan bantuan garis bilangan, uji salah satu nilai t untuk menentukan tanda positif-negatif. Nilai t yang mungkin adalah \boxed{t<-3~\text{atau}~t>1}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Vektor \vec z adalah proyeksi vektor \vec x =(-\sqrt3,3,1) pada vektor \vec y =(\sqrt{3},2,3). Panjang vektor \vec z adalah …
A. \dfrac12      B. 1        C. \dfrac32        D. 2         E. \dfrac52

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \vec x & = (-\sqrt3,3,1) \\ \vec y & = (\sqrt3, 2, 3) \end{aligned}
Panjang proyeksi vektor \vec x pada \vec y dinyatakan oleh
\begin{aligned} |\vec z| = |\vec x_{\vec y}| & = \dfrac{\vec x \bullet \vec y} {|\vec y|^2} \\ & = \dfrac{(-\sqrt3, 3, 1) \bullet (\sqrt3, 2, 3)} {\sqrt{(\sqrt3)^2+(2)^2+(3)^2}} \\ & = \dfrac{(-\sqrt3)(\sqrt3)+(3)(2)+(1)(3)} {\sqrt{3+4+9}} \\ & = \dfrac{-3 + 6 + 3}{\sqrt{16}} \\ & = \dfrac{6}{4} = \dfrac32 \end{aligned}
Jadi, panjang vektor \vec z adalah \boxed{\dfrac32}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui \vec p= \widehat{i}-\widehat{j}+2\widehat{k} dan \vec q= 2\widehat{i}-2\widehat{j}+n\widehat{k}. Jika panjang proyeksi vektor \vec p pada \vec q adalah 2, maka n=\cdots
A. 1        B. 3         C. 4          D. 6         E. 8

Penyelesaian

Panjang proyeksi vektor \vec p pada \vec q dinyatakan oleh
|\vec p_{\vec q}| = \dfrac{\vec p \bullet \vec q} {|\vec q|}
Diketahui:
\begin{aligned} \vec p & = (1,-1,2) \\ \vec q & = (2,-2,n) \\ |\vec p_{\vec q}| & = 2 \end{aligned}
Untuk itu, kita peroleh
\begin{aligned} 2 & = \dfrac{(1,-1,2) \bullet (2,-2,n)}{\sqrt{(2)^2+(-2)^2+(n)^2}} \\ 2 & = \dfrac{(1)(2) + (-2)(-1) + (2)(n)} {\sqrt{4+4+n^2}} \\ 2 & = \dfrac {4+2n} {\sqrt{8+n^2}} \\ 2\sqrt{8+n^2} & = 4+2n \\ \sqrt{8+n^2} & = 2+n \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 8+n^2 & = (2+n)^2 \\ 8+\cancel{n^2} & = 4+4n+\cancel{n^2} \\ 8&=4+4n \\ n & = \dfrac{8-4}{4} = 1 \end{aligned}
Jadi, nilai \boxed{n = 1}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui titik A(1,0,-2),B(2,1,-1), dan C(2,0,-3). Sudut antara vektor \vec{AB} dengan \vec{AC} adalah …
A. 30\degree               D. 90\degree
B. 45\degree                E. 120\degree
C. 60\degree

Penyelesaian

Untuk A(1,0,-2),B(2,1,-1), dan C(2,0,-3), diperoleh
\begin{aligned} \vec{AB} & = B - A = (2,1,-1)-(1,0,-2) = (1,1,1) \\ \vec{AC} & = C - A = (2,0,-3)-(1,0,-2) = (1, 0, -1) \end{aligned}
Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah \theta
Cosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh
\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec{AB} \bullet \vec{AC}} {|\vec {AB}| \cdot |\vec {AC}|} \\ & = \dfrac{(1,1,1) \bullet (1,0,-1)} {\sqrt{(1)^2+(1)^2+(1)^2} \cdot \sqrt{(1)^2+(0)^2+(-1)^2}} \\ & = \dfrac{1+0+(-1)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} \\ & = \dfrac{0}{\sqrt6} = 0 \end{aligned}
Dari \cos \theta = 0, diperoleh \boxed{\theta = 90\degree}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui vektor \vec a = (2, -3, 1) dan \vec b = (1,-2,3). Nilai sinus sudut antar vektor \vec a dan \vec b adalah …
A. \frac57                       D. \frac{5}{11}\sqrt3 
B. \frac{11}{14}                     E. \frac{2}{7}\sqrt6
C. \frac{5}{14}\sqrt3 

Penyelesaian

Misalkan \theta merupakan besar sudut yang terbentuk oleh kedua vektor tersebut. Cosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh
\begin{aligned} & \cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {|\vec a| \cdot |\vec b|} \\ & = \dfrac{(2,-3,1) \bullet (1,-2,3)} {\sqrt{(2)^2+(-3)^2+(1)^2} \cdot \sqrt{(1)^2+(-2)^2+(3)^2}} \\ & = \dfrac{2+6+3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \\ & = \dfrac{11}{14} \end{aligned}
Dengan menggunakan Identitas Pythagoras dalam trigonometri:
\boxed{\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}}
diperoleh
\begin{aligned} \sin \theta & = \sqrt{1 - \left(\dfrac{11}{14}\right)^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac{121}{196}} = \sqrt{\dfrac{75}{196}} = \dfrac{5\sqrt3}{14} \end{aligned}
Jadi, nilai sinus sudut antar vektor \vec a dan \vec b adalah \boxed{\dfrac{5\sqrt3}{14}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui vektor \vec a =\widehat{i}+\widehat{j} dan \vec b = -\widehat{i}+\widehat{k}. Nilai sinus sudut antara kedua vektor tersebut adalah …
A. -\frac12               D. \frac12\sqrt2
B. 0                   E. \frac12\sqrt3
C. \frac12

Penyelesaian

Bila vektor dinyatakan dalam bentuk koordinat, maka \vec a = (1, 1, 0) dan \vec b = (-1, 0, 1)
Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah \theta
Cosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh
\begin{aligned} & \cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {|\vec a| \cdot |\vec b|} \\ & = \dfrac{(1,1,0) \bullet (-1,0,1)} {\sqrt{(1)^2+(1)^2+(0)^2} \cdot \sqrt{(-1)^2+(0)^2+(1)^2}} \\ & = \dfrac{-1+0+0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\ & = -\dfrac{1}{2} \end{aligned}
Dengan menggunakan Identitas Pythagoras dalam trigonometri:
\boxed{\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}}
diperoleh
\begin{aligned} \sin \theta & = \sqrt{1 - \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac14} = \sqrt{\dfrac34} = \dfrac12\sqrt3 \end{aligned}
Jadi, nilai sinus sudut antar vektor \vec a dan \vec b adalah \boxed{\dfrac12\sqrt3}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Panjang vektor \vec a, \vec b, dan (\vec a - \vec b) berturut-turut adalah 3, 4, dan \sqrt{37}. Besar sudut antara vektor \vec a dan vektor \vec b adalah …
A. 30\degree             D. 120\degree
B. 45\degree             E. 150\degree
C. 60\degree

Penyelesaian

Diketahui: 
\begin{aligned} |\vec a| & = 3 \\ |\vec b| &= 4 \\ |\vec a - \vec b| & = \sqrt{37} \end{aligned}
Dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, diperoleh
\begin{aligned} |\vec a - \vec b| & = \sqrt{|\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a||\vec b| \cos \theta} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ (\sqrt{37})^2 & = (3)^2 + (4)^2 - 2(3)(4) \cos \theta \\ 37 & = 9+16-24\cos \theta \\ -24 \cos \theta & = 12 \\ \cos \theta & = -\dfrac{12}{24} = -\dfrac12 \end{aligned}
Untuk \cos \theta = -\dfrac12, diperoleh \theta = 120\degree}
Jadi, besar sudut antara vektor \vec a dan vektor \vec b adalah \boxed{120\degree}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17
Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1), dan C(4, 2, -4). Besar sudut ABC = \cdots
A. \pi       B. \frac{\pi}{2}       C. \frac{\pi}{3}       D. \frac{\pi}{6}     E. 0

Penyelesaian

Besar sudut ABC dapat ditentukan dengan menerapkan rumus:
\boxed{\cos \theta = \dfrac{\vec {AB} \bullet \vec{BC}}{|\vec {AB}| \cdot |\vec {BC}|}}}
Perhatikan bahwa, 
\begin{aligned}\vec AB & = B - A \\ & = (2, -1, -1) - (5, 1, 3) \\ & = (-3, -2, -4) \end{aligned}
dan
\begin{aligned}\vec BC & = C - B \\ & = (4, 2, -4) - (2, -1, -1) \\ & = (2, 3, -3) \end{aligned}
Panjang vektor \vec{AB} dinyatakan oleh
\begin{aligned} |\vec{AB}| & = \sqrt{(-3)^2+(-2)^2+(-4)^2} \\ & = \sqrt{9+4+16} \\ & = \sqrt{29} \end{aligned}
Panjang vektor \vec{BC} dinyatakan oleh
\begin{aligned}|BC| & = \sqrt{(2)^2+(3)^2+(-3)^2} \\ & = \sqrt{4+9+9} \\ &= \sqrt{22} \end{aligned}
Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec {AB} \bullet \vec{BC}}{|\vec {AB}|\cdot |\vec {BC}|} \\ & = \dfrac{(-3,-2,-4) \bullet (2, 3, -3)}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} \\ & = \dfrac{-6-6+12}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} \\ & = 0 \end{aligned}
Karena \cos \theta = 0, maka \boxed{\theta = 90\degree=\dfrac{\pi}{2}}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui |\vec a|=2\sqrt3 dan |\vec b|=4. Jika vektor \vec a tegak lurus dengan (\vec a +\vec b), maka sudut antara vektor \vec a dengan vektor \vec b adalah …
A. 150\degree            D. 60\degree
B. 120\degree            E. 30\degree
C. 90\degree

Penyelesaian

Diketahui: |\vec a| = 2\sqrt3; |\vec b| = 4
Karena vektor \vec a tegak lurus dengan (\vec a +\vec b), maka \vec a \bullet (\vec a + \vec b) = 0.
Dari sini, kita peroleh
\begin{aligned} \vec a \bullet \vec a + \vec a \bullet \vec b & = 0 \\ |\vec a| |\vec a| \cos 0\degree + |\vec a||\vec b| \cos \theta & = 0 \\ 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt3 \cdot 1 + 2\sqrt3 \cdot 4 \cdot \cos \theta & = 0 \\ 12+8\sqrt3 \cos \theta & = 0 \\ \cos \theta & = -\dfrac{12}{8\sqrt{3}} \\ & = -\dfrac{3}{2\sqrt3}} \times \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3} \\ & = -\dfrac{\cancel{3}\sqrt3}{2(\cancel{3})} \\ & = -\dfrac12\sqrt3 \end{aligned}
Karena \cos \theta = -\dfrac12\sqrt3, maka nilai \boxed{\theta = 150\degree}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Diketahui limas T.ABC mempunyai koordinat T(1, 0, 3), A(0, 0, 0), B(5, 0, 0), dan C(1, 4, 0). Jika \theta merupakan sudut antara \vec{TB} dan \vec{TC}, maka nilai \cos \theta adalah …
A. -\frac{9}{25}            D. \frac{3}{5}
B. -\frac{3}{5}              E. \frac{9}{25}
C. \frac{3}{25}

Penyelesaian

Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui
\begin{aligned} \vec{TB} & = B - T = (5, 0, 0) - (1, 0, 3) = (4,0,-3) \\ \vec{TC} & = C - T = (1,4,0)-(1,0,3)=(0,4,-3) \end{aligned}
Panjang kedua vektor tersebut dinyatakan oleh
\begin{aligned} |\vec{TB}| & = \sqrt{(4)^2+(0)^2+(-3)^2} = 5 \\|\vec{TC}| & = \sqrt{(0)^2+(4)^2+(-3)^2} = 5 \end{aligned}
Cosinus dari sudut antara \vec{TB} dan \vec{TC} dapat ditentukan dengan menggunakan rumus cosinus vektor.
\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec {TB} \bullet \vec{TC}}{|\vec {TB}| \cdot |\vec {TC}|} \\ & = \dfrac{(4,0,-3) \bullet (0, 4, -3)}{5 \cdot 5} \\ & = \dfrac{4(0) + 0(4) + (-3)(-3)}{25} \\ & = \dfrac{9}{25} \end{aligned}
Jadi, nilai \boxed{\cos \theta = \dfrac{9}{25}}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika sudut antara vektor \vec a = \widehat{i}+\widehat{j}-r\widehat{k} dan \vec b = r\widehat{i}-r\widehat{j}-2\widehat{k} adalah 60\degree. Nilai r positif yang memenuhi adalah …
A. \sqrt2      B. 1         C. 0        D. -1       E. -\sqrt2

Penyelesaian

Diketahui \vec a = (1, 1, -r), \vec b = (r, -r, -2) dan \angle(\vec a, \vec b) = \theta = 60\degree
Dengan menggunakan Rumus Cosinus Vektor, diperoleh
\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec a \bullet \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|} \\ & = \dfrac{(1,1,-r) \bullet (r, -r, -2)}{\sqrt{(1)^2+(1)^2+(-r)^2} \cdot \sqrt{(r)^2+(-r)^2+(-2)^2}} \\ \cos 60\degree & = \dfrac{1(r) + 1(-r) + (-r)(-2)}{\sqrt{2+r^2} \cdot \sqrt{2r^2+4}} \\ \dfrac12 & = \dfrac{2r}{\sqrt{2r^4+8r^2+8}} \\ 4r & = \sqrt{2r^4+8r^2+8} \\ & \text{Kuadratkan}~\text{kedua ruas} \\ 16r^2 & = 2r^4+8r^2+8 \\ 0 & = 2r^4-8r^2+8 \\ 0 & = r^4-4r^2+4 \\ 0 & = (r^2-2)(r^2-2) \end{aligned}
Didapat r^2 = 2 \Leftrightarrow r = \pm \sqrt2
Karena r dikatakan bernilai positif, maka \boxed{r = \sqrt2}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21
Diketahui vektor \vec u =(0,2,2) dan \vec v =(-2,0,2). Proyeksi vektor ortogonal \vec u pada \vec v adalah …
A. -\widehat i+\widehat k
B. -\widehat i+ \frac12 \widehat k
C. -\widehat i- \widehat k
D. -2i+ \widehat k
E. 2\widehat i- \widehat k

Penyelesaian

Proyeksi ortogonal vektor\vec u pada \vec v dinyatakan oleh
\boxed{\vec u_{\vec v} = \dfrac{\vec u \bullet \vec v} {|\vec v|^2} \cdot \vec v}
Untuk \vec u = (0,2,2) dan \vec v =(-2,0,2), diperoleh
\begin{aligned} \vec u_{\vec v} & = \dfrac{(0,2,2) \bullet (-2,0,2)} {(\sqrt{(-2)^2+(0)^2+(2)^2})^2} \cdot (-2,0,2) \\ & = \dfrac{(0)(-2)+(2)(0)+(2)(2)} {4+4} \cdot (-2,0,2) \\ & = \dfrac{4}{8} \cdot (-2,0,2) \\ & = (-1,0,1) \end{aligned}
Jadi, proyeksi ortogonal vektor \vec u = (0,2,2) pada \vec v=(-2,0,2) adalah (-1,0,1) atau bila dinyatakan dalam vektor komponen menjadi \boxed{-\widehat i + \widehat k}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22
Proyeksi ortogonal vektor \vec a = 4\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k} pada \vec b = 2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k} adalah …
A. \frac{13}{14}(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})
B. \frac{15}{14}(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})
C. \frac87(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})
D. \frac97(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})
E. 4\widehat{i}+2\widehat{j}+6\widehat{k}

Penyelesaian

Proyeksi ortogonal vektor \vec a pada \vec b dinyatakan oleh
\boxed{\vec a_{\vec b} = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {|\vec b|^2} \cdot \vec b}
Untuk \vec a = (4,1,3) dan \vec b =(2,1,3), diperoleh
\begin{aligned} \vec a_{\vec b} & = \dfrac{(4,1,3) \bullet (2,1,3)} {(\sqrt{(2)^2+(1)^2+(3)^2})^2} \cdot (2,1,3) \\ & = \dfrac{(4)(2)+(1)(1)+(3)(3)} {4+1+9} \cdot (2,1,3) \\ & = \dfrac{18}{14} \cdot (2,1,3) \\ & = \dfrac97(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}) \end{aligned}
Jadi, proyeksi ortogonal vektor \vec a = (4,1,3) pada \vec b=(2,1,3) adalah \boxed{\dfrac97(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})} 
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 23
Diketahui vektor \vec a = \widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k} dan \vec b = 8\widehat{i}+m\widehat{k}. Panjang proyeksi vektor \vec b pada \vec a adalah \dfrac{1}{5}|\vec a|. Vektor proyeksi ortogonal \vec b pada \vec a adalah …
A. -\frac85 \widehat i-5\widehat j+\frac65 \widehat k
B. \widehati+2 \widehat j+5 \widehat k
C. \widehati+5\widehat j+2\widehat k
D. \frac15 \widehat i- \widehat j+\frac25 \widehat k
E. \frac15 \widehat i+\widehat j+2\widehat k

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \vec a & = (1, -5, 2) \\ \vec b & = (8,0,m) \\ |\vec b_{\vec a}| & = \dfrac15|\vec a| \end{aligned}
Akan dicari nilai m dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor.
\begin{aligned} |\vec b_{\vec a}| & = \dfrac{\vec b \bullet \vec a}{|\vec a|} \\ \dfrac15|\vec a| & = \dfrac{(8,0,m) \bullet (1,-5,2)}{|\vec a|} \\ \dfrac15\sqrt{(1)^2+(-5)^2+(2)^2} & = \dfrac{8(1)+0(-5)+m(2)}{\sqrt{(1)^2+(-5)^2+(2)^2}} \\ \dfrac15\sqrt{30} & = \dfrac{8+2m}{\sqrt{30}} \\ 40+10m & = 30 \\ 10m & = -10 \\ m & = -1 \end{aligned}
Dengan demikian, vektor proyeksi \vec b pada \vec a dinyatakan oleh
\begin{aligned} \vec b_{\vec a} & = \dfrac{\vec b \bullet \vec a}{|\vec a|^2} \cdot \vec a \\ & = \dfrac{8+2m}{(\sqrt{30})^2} \cdot (\widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k}) \\ & = \dfrac{8+2(-1)}{30} \cdot (\widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k}) \\ & = \dfrac15(\widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k}) \\ & = \;\boxed{\dfrac15\widehat{i}-\widehat{j}+\dfrac25\widehat{k}}\end{aligned}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 24
Diketahui bahwa |\vec a|=\sqrt{3},|\vec b|=1, dan |\vec a - \vec b|=1. Panjang vektor (\vec a + \vec b) adalah …
A. \sqrt3                 D. 2\sqrt2
B. \sqrt5                 E. 3
C. \sqrt7

Penyelesaian

Dengan menerapkan Rumus Cosinus Vektor, diperoleh
\begin{aligned} |\vec a - \vec b| & = 1 \\ \sqrt{|\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a||\vec b| \cos \theta} & = 1 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a||\vec b| \cos \theta & = 1 \\ (\sqrt3)^2 + (1)^2 - 2(\sqrt3)(1) \cos \theta & = 1 \\ 4-2\sqrt3 \cos \theta & = 1 \\ \cos \theta & = \dfrac{-3}{-2\sqrt3} = \dfrac{3}{2\sqrt3} \end{aligned}
Dengan demikian, 
\begin{aligned} |\vec a + \vec b| & = \sqrt{|\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2|\vec a||\vec b| \cos \theta} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2 + (1)^2 + \cancel{2(\sqrt3)}(1) \times \dfrac{3}{\cancel{2\sqrt3}}} \\ & = \sqrt{3+1+3} =\sqrt7 \end{aligned}
Jadi, panjang vektor (\vec a + \vec b) adalah \boxed{\sqrt7}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25
Misalkan panjang vektor \vec a adalah 1 dan panjang vektor \vec b adalah 4 serta \vec a \bullet \vec b =3. Panjang vektor 2 \vec a - \vec b adalah …
A. \sqrt2                   D. \sqrt3
B. 2\sqrt2                 E. 2\sqrt3
C. 3

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} |\vec a| & = 1 \\ |\vec b| & = 4 \\ \vec a \bullet \vec b & = 3 \end{aligned}
Cosinus sudut antara \vec a dan \vec b dinyatakan oleh
\cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|} = \dfrac{3}{1 \cdot 4}= \dfrac34
Karena \vec {2a} merupakan perpanjangan dari \vec a, maka sudut yang terbentuk oleh \vec {2a} dan \vec b sama dengan sudut yang terbentuk oleh \vec a dan \vec b, yaitu \theta, sehingga dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, diperoleh
\begin{aligned} |2\vec a - \vec b| & = \sqrt{|2a|^2+|b|^2-2|2a||b| \cos \theta} \\ & = \sqrt{(2(1))^2 + (4)^2 - 2(2)(\cancel{4}) \dfrac{3}{\cancel{4}}} \\ & = \sqrt{4+16-12} = \sqrt8 = 2\sqrt2 \end{aligned}
Jadi, panjang vektor 2 \vec a - \vec b adalah \boxed{2\sqrt2} 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 26
Diketahui vektor \vec a =(2,-2\sqrt2,4), \vec b = (-1,p,q), dan \vec c=(3,\sqrt2,-1). Jika vektor \vec a berlawanan arah dengan vektor \vec b, nilai (\vec a - \vec b) \bullet (\vec b - \vec c) = \cdots
A. -18            D. 6
B. -12            E. 18
C. -6

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \vec a & = (2,-2\sqrt2,4) \\ \vec b & = (-1, p, q) \\ \vec c & = (3,\sqrt2, -1) \end{aligned}
Karena \vec a berlawanan arah dengan \vec b, maka haruslah ada skalar k < 0, sehingga memenuhi
\vec a = k\vec b \Rightarrow (2, -2\sqrt2, 4) = k(-1,p,q)
Dari absis, kita peroleh 2 = -k \Leftrightarrow k = -2
Dengan demikian,
-2\sqrt2 = -2p \Leftrightarrow p = \sqrt2
dan
4 = -2q \Leftrightarrow q = -2
sehingga \vec b = (-1, \sqrt2, -2)
Untuk itu,
\begin{aligned} & (\vec a - \vec b) \bullet (\vec b - \vec c) \\ & = [(2, -2\sqrt2, 4) - (-1, \sqrt2, -2)] \\ & \bullet [(-1, \sqrt2, -2) - (3, \sqrt2, -1)] \\ & = (3, -3\sqrt2, 6) \bullet (-4, 0, -1) \\ & = 3(-4) + (-3\sqrt2)(0) + 6(-1) \\ & = -12 + 0 - 6 = -18 \end{aligned}
Jadi, nilai \boxed{(\vec a - \vec b) \bullet (\vec b - \vec c)= -18}
Catatan: Skalar yang dimaksud di sini adalah bilangan real.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 27
Jika \vec a + \vec b= \widehat{i}-\widehat{j}+4\widehat{k} dan |\vec a -\vec b| = \sqrt{14}, maka \vec a \bullet \vec b = \cdots
A. 0        B. \frac14           C. \frac12          D. 1          E. 2

Penyelesaian

Karena \vec a + \vec b= \widehat{i}-\widehat{j}+4\widehat{k}, maka panjangnya adalah
|\vec a + \vec b| = \sqrt{(1)^2+(-1)^2+(4)^2} = \sqrt{18}
Perhatikan bahwa,
\begin{aligned} |\vec a - \vec b|^2 & = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a||\vec b| \cos \theta = 14 \\ |\vec a + \vec b|^2 & = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2|\vec a||\vec b| \cos \theta = 18 \end{aligned}
Kurangi kedua persamaan di atas, sehingga diperoleh
\begin{aligned} -4|\vec a||\vec b| \cos \theta & = -4 \\ |\vec a||\vec b| \cos \theta & = 1 \\ \vec a \bullet \vec b & = 1 \end{aligned}
Jadi, perkalian titik dari vektor \vec a dan \vec b adalah \boxed{\vec a \bullet \vec b = 1}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 28
Diketahui vektor \vec k=(9,0,-6), \vec l=(2,4,-1), \vec m =(2,1,2), dan \vec n=(1,-3,-2). Jika \vec k = a \vec l + b \vec m + c \vec n, maka 2a+5b-7c=\cdots
A. -12       B. -5        C. 0         D. 1          E. 12

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \vec k & = (9,0,-6) \\ \vec l & =(2,4,-1) \\ \vec m & =(2,1,2) \\ \vec n & =(1,-3,-2) \end{aligned}
Dengan menggunakan operasi penjumlahan pada vektor, diperoleh
\begin{aligned} \vec k & = a \vec l + b \vec m + c \vec n \\ (9, 0,-6) & = a(2,4,-1)+b(2,1,2)+c(1,-3,-2) \\ (9, 0,-6) & = (2a+2b+c, 4a+b-3c, -a+2b-2c) \end{aligned}
Dari sini, diperoleh SPLTV:
\begin{cases} 2a+2b+c = 9 \\ 4a+b-3c = 0 \\ -a+2b-2c=-6 \end{cases}
SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan banyak cara seperti Metode Substitusi/Eliminasi, Aturan Cramer, Aturan Invers, Eliminasi Gauss/Jordan, dan sebagainya.
Penyelesaian SPLTV di atas adalah a=2, b=1,c=3.
Untuk itu,
\begin{aligned} 2a+5b-7c & =2(2)+5(1)-7(3)\\ & =4+5-21=-12 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{2a+5b-7c=-12}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 29
Jika (\vec u + \vec v) tegak lurus dengan (\vec u - \vec v), maka pernyataan berikut ini yang paling tepat adalah …
A. |\vec u + \vec v|=|\vec u - \vec v| 
B. |\vec u|=|\vec v|
C. \vec u = \vec v
D. arah \vec u = arah \vec v
E. \vec u tegak lurus dengan \vec v

Penyelesaian

Karena (\vec u + \vec v) tegak lurus dengan (\vec u - \vec v), maka berlaku
\begin{aligned} (\vec u + \vec v) \bullet (\vec u + \vec v) & = 0 \\ (\vec u \bullet \vec u) - (\vec v \bullet \vec v) & = 0 \\ (|\vec u|^2 \cos 0\degree) - (|\vec v|^2 \cos 0\degree) & = 0 \\ |\vec u|^2 & = |\vec v|^2 \end{aligned}
Karena masing-masing |\vec u| dan |\vec v| menyatakan panjang vektor, maka nilainya tak mungkin negatif, sehingga didapat |\vec a| = |\vec b|
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 30
Diketahui titik A(2,1,-4),B(2,-4,6), dan C(-2,5,4). Titik P membagi AB sehingga AP:PB=3:2. Vektor yang diawali oleh \vec{PC} adalah …
A. (-4,3,-6)              D. (4,-7,-2)
B. (-4,-7,2)              E. (-4,7,2)
C. (-4,3,6)

Penyelesaian

Titik P berada pada AB dengan AP : PB = 3 : 2, sehingga koordinat titik P dapat ditentukan sebagai berikut.
1) Absis
\begin{aligned} x_P & = \dfrac{1}{3+2}(2x_A + 3x_B) \\ & = \dfrac15(2(2)+3(2)) = 2 \end{aligned}
2) Ordinat
\begin{aligned} y_P & = \dfrac{1}{3+2}(2y_A + 3y_B) \\ & = \dfrac15(2(1)+3(-4)) = -2 \end{aligned}
3) Aplikat
\begin{aligned} z_P & = \dfrac{1}{3+2}(2z_A + 3z_B) \\ & = \dfrac15(2(-4)+3(6)) = 2 \end{aligned}
Jadi, koordinat titik P adalah (2, -2, 2).
Dengan demikian,
\boxed{\begin{aligned} \vec PC & = C - P = (-2, 5, 4) - (2, -2, 2) \\ & = (-4, 7, 2) \end{aligned}}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 31
ABCD adalah segiempat sembarang. Titik S dan T masing-masing titik tengah AC dan BD. Jika \vec{ST} \vec = u, maka \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec{CD} = \cdots

A \vec u                   D. 4 \vec u
B. 2 \vec u                E. 8 \vec u
C. 3 \vec u

Penyelesaian

Cara 1:
Perhatikan bahwa
\begin{aligned} \vec{AB} & = \vec {AS} + \vec {ST} + \vec {TB} \\ \vec{AD} & = \vec {AS} + \vec {ST} + \vec {TD} \\ \vec{CB} & = \vec {CS} + \vec {ST} + \vec {TB} \\ \vec{CD} & = \vec {CS} + \vec {ST} + \vec {TD} \end{aligned}
Karena T titik tengah BD, maka \vec {TB} dan \vec{TD} memiliki panjang yang sama dan arahnya berlawanan, sehingga \vec{TB} = -\vec{TD}
Karena S titik tengah AC, maka \vec {AS} dan \vec{CS} juga memiliki panjang yang sama dan arahnya berlawanan, sehingga \vec{AS} = -\vec{CS}
Dengan demikian, apabila keempat persamaan di atas dijumlah, diperoleh
\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} & = 4\vec{ST} = 4\vec u
Cara 2:
Misal vektor posisi titik A,B,C,D berturut-turut adalah \vec a, \vec b, \vec c, \vec d.
Karena S di tengah AC, maka vektor posisi S adalah \vec s = \dfrac{\vec a + \vec c}{2}, dan juga karena T di tengah BD, maka vektor posisi T adalah \vec t = \dfrac{\vec b + \vec d}{2}.
Dengan demikian,
\vec{ST} = \vec u = \vec t - \vec s = \dfrac{\vec b+\vec d}{2} - \dfrac{\vec a+ \vec c}{2}
Ini berarti,
\begin{aligned} & \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} \\ & = (\vec b - \vec a) + (\vec d - \vec a) + (\vec b - \vec c) + (\vec d - \vec c) \\ & = 2(\vec b + \vec d) - 2(\vec a + \vec c) \\ & = 4\left(\dfrac{\vec b+ \vec d}{2} - \dfrac{\vec a+ \vec c}{2}\right) = 4\vec u \end{aligned}
Jadi, \boxed{\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} =4 \vec u}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 32
Given vectors \vec a = 2\widehat i - \widehat j + 2 \widehat k and \vec b = 4\widehat i - x \widehat j - 8 \widehat k. If vectors (\vec a + \vec b) is perpendicular to \vec a, find the unit vector which has the same direction as \vec b.
Diberikan vektor \vec a = 2\widehat i - \widehat j + 2 \widehat k and \vec b = 4\widehat i - x \widehat j - 8 \widehat k. Jika vektor (\vec a + \vec b) tegak lurus dengan \vec a, tentukan vektor satuan yang memiliki arah yang sama dengan \vec b.

Penyelesaian

Diketahui: 
\begin{aligned} \vec a & = (2, -1, 2) \\ \vec b & = (4, -x, -8) \end{aligned}
Karena vektor (\vec a + \vec b) tegak lurus dengan \vec a, maka
\begin{aligned} (\vec a + \vec b) \bullet \vec a & = 0 \\ [(2, -1, 2) + (4, -x, -8) \bullet (2, -1, 2) & = 0 \\ (6, -1-x, -6) \bullet (2, -1, 2) & = 0 \\ 6(2) + (-1-x)(-1) + (-6)(2) & = 0 \\ \cancel{12} + 1 + x - \cancel{12} & = 0 \\ 1+x & = 0 \\ x & = -1 \end{aligned}
Dengan demikian, vektor b dinyatakan oleh 
\vec b = (4, -(-1), -8) = (4, 1, -8)
Untuk mencari vektor satuan yang searah dengan vektor \vec b, kita hanya perlu membagi tiap komponen vektor \vec b dengan panjangnya.
Diketahui panjang (magnitude) \vec b adalah
\begin{aligned} |\vec b| & = \sqrt{(4)^2+(1)^2+(-8)^2} \\ & = \sqrt{16+1+64} = \sqrt{81} = 9 \end{aligned}
Vektor satuan yang dimaksud adalah 
\begin{aligned} \vec b_i & = \dfrac{\vec b}{|\vec b|} \\ & = \dfrac{1}{9}(4, 1, -8) \\ & = \left(\dfrac49, \dfrac19, -\dfrac89\right) \end{aligned}
Catatan: Untuk mengecek apakah jawaban ini benar, kita hanya perlu mencari panjang vektor \vec b_i. Karena vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1, maka haruslah |\vec b_i| = 1.

[collapse]

Soal Nomor 33
Diketahui tiga buah vektor, yakni \vec u = 3\widehat i - \widehat j+2 \widehat k, \vec v = \widehat i + n \widehat j - 2\widehat k, dan \vec w = \widehat i + m\widehat j - p \widehat k saling tegak lurus. Nilai m+n+p=\cdots

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \vec u & = (3, -1, 2) \\ \vec v & = (1, n, -2) \\ \vec w & = (1, m, -p) \end{aligned}
Karena \vec u dan \vec v saling tegak lurus, maka
\begin{aligned} \vec u \bullet \vec v & = 0 \\ (3,-1,2) \bullet (1,n,-2) & = 0 \\ 3(1) + (-1)(n)+2(-2) & = 0 \\ 3-n-4 & = 0 \\ n & = -1 \end{aligned}
Ini berarti, \vec v = (1, -1, -2).
Karena \vec u dan \vec w saling tegak lurus, maka
\begin{aligned} \vec u \bullet \vec w & = 0 \\ (3,-1,2) \bullet (1,m,-p) & = 0 \\ 3(1) + (-1)(m)+2(-p) & = 0 \\ 3-m-2p & = 0 \\ m+2p = 3 \end{aligned}
Karena \vec u dan \vec w saling tegak lurus, maka
\begin{aligned} \vec v \bullet \vec w & = 0 \\ (1, -1, -2) \bullet (1,m,-p) & = 0 \\ 1(1) + (-1)(m)+(-2)(-p) & = 0 \\ 1-m+2p & = 0 \\ -m+2p = -1 \end{aligned}
Diperoleh SPLDV: \begin{cases} m+2p = 3 \\ -m+2p=-1 \end{cases} yang memiliki penyelesaian m = 2 dan p = \dfrac12.
Jadi, nilai \boxed{m+n+p=2+(-1)+\dfrac12 = 1\dfrac12}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 34
Jika |\vec a| = 10, |\vec b| = 6, dan \angle(\vec a, \vec b) = 60\degree, maka tentukan:
a. |\vec a + \vec b|
b. |\vec a - \vec b|
c. |2\vec a - \vec b|

Penyelesaian

Jawaban a)
Dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, didapat
\begin{aligned} |\vec a + \vec b| & = \sqrt{|\vec a|^2+|\vec b|^2+2|\vec a||\vec b| \cos \angle(\vec a, \vec b)} \\ & = \sqrt{10^2+6^2+2(10)(6) \cos 60\degree} \\ & = \sqrt{100+36+\cancel{2}(60) \dfrac{1}{\cancel{2}}} \\ & = \sqrt{196} = 14 \end{aligned}
Jadi, panjang vektor (\vec a + \vec b) adalah \boxed{14}
Jawaban b)
Karena \angle(\vec a, \vec b) = 60\degree, maka \angle(\vec a, -\vec b) = 180\degree-60\degree = 120\degree, sehingga dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, diperoleh
\begin{aligned} |\vec a - \vec b| & = \sqrt{|\vec a|^2+|-\vec b|^2+2|\vec a||-\vec b| \cos \angle(\vec a, -\vec b)} \\ & = \sqrt{10^2+(-6)^2+2(10)(-6) \cos 120\degree} \\ & = \sqrt{100+36-\cancel{2}(60) \left(-\dfrac{1}{\cancel{2}}\right)} \\ & = \sqrt{196} = 14 \end{aligned}
Jadi, panjang vektor (\vec a - \vec b) adalah \boxed{14}
Jawaban c)
Karena \angle(\vec a, \vec b) = 60\degree, maka \angle(2\vec a, -\vec b) = 180\degree-60\degree = 120\degree.
(Kelipatan skalar vektor tidak mengubah arahnya)
Dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, diperoleh
\begin{aligned} |2\vec a - \vec b| & = \sqrt{|2 \vec a|^2+|-\vec b|^2+2|2 \vec a||-\vec b| \cos \angle(2 \vec a, -\vec b)} \\ & = \sqrt{4(10)^2+(-6)^2+2(2)(10)(-6) \cos 120\degree} \\ & = \sqrt{400+36-\cancel{2}(120) \left(-\dfrac{1}{\cancel{2}}\right)} \\ & = \sqrt{556} = 2\sqrt{139} \end{aligned}
Jadi, panjang vektor (2\vec a, -\vec b) adalah \boxed{2\sqrt{139}}

[collapse]

Soal Nomor 35
Jika \vec u dan \vec v adalah dua vektor satuan yang membentuk sudut 45\degree, maka (\vec u + \vec v) \bullet \vec v = \cdots

Penyelesaian

Karena \vec u dan \vec v vektor satuan, maka |\vec u| = |\vec v| =1 dan juga diketahui \angle(\vec u, \vec v) = 45\degree.
Untuk itu,
\begin{aligned} (\vec u + \vec v) \bullet \vec v & = \vec u \bullet \vec v + \vec v \bullet \vec v \\ & = |\vec u| \cdot |\vec v| \cos 45\degree + |\vec v| \cdot |\vec v| \cos 0\degree \\ & = (1)(1)\left(\dfrac12\sqrt2\right) + (1)(1)(1) \\ & = 1 + \dfrac12\sqrt2 = \dfrac{2+\sqrt2}{2} \end{aligned}
Catatan: Besar sudut antara dua vektor yang sama adalah 0\degree.
Jadi, \boxed{(\vec u + \vec v) \bullet \vec v = \dfrac{2+\sqrt2}{2}}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 36
Diketahui \vec a, \vec b, dan \vec c adalah vektor satuan yang membentuk sudut 60\degree satu sama lain. Nilai (\vec a + \vec b) \bullet (\vec b - \vec c) = \cdots

Penyelesaian

Karena \vec a, \vec b, dan \vec c vektor satuan, maka |\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = 1 dan juga diketahui \angle(\vec a, \vec b) = \angle(\vec a, \vec c) = \angle(\vec b, \vec c ) = 60\degree.
Untuk itu,
\begin{aligned} & (\vec a + \vec b) \bullet (\vec b - \vec c) \\ & = \vec a \bullet \vec b - \vec a \bullet \vec c + \vec b \bullet \vec b - \vec b \bullet \vec c \\ & = |\vec a| \cdot |\vec b| \cos 60\degree - |\vec a| \cdot |\vec c| \cos 60\degree \\ & + \vec b| \cdot |\vec b| \cos 0 \degree - |\vec b| \cdot |\vec c| \cos 60\degree \\ & = (1)(1)\left(\dfrac12\right) - (1)(1)\left(\dfrac12\right) + \\ & (1)(1)(1) - (1)(1)\left(\dfrac12\right) \\ & = \dfrac12 - \dfrac12 + 1 - \dfrac12 = \dfrac12 \end{aligned}
Jadi, \boxed{(\vec a + \vec b) \bullet (\vec b - \vec c) = \dfrac12}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 37
Given coordinates of A(0,4,6),B(-2,0,4) and C(2,2,2). Point P on AB such that AP : PB=1 : 3. Find:
a. The coordinate of P;
b. The vector projection of \vec{AP} on \vec{AC};
c. Scalar projection of \vec{AP} on \vec{AC}.
Diketahui koordinat A(0,4,6),B(-2,0,4), dan C(2,2,2). Titik P terletak pada AB sedemikian sehingga AP : PB = 1:3. Tentukan:
a. Koordinat P
b. Proyeksi vektor \vec{AP} pada \vec{AC}
c. Proyeksi skalar \vec{AP} pada \vec{AC}

Penyelesaian

Jawaban a)
Titik P terletak pada AB sedemikian sehingga AP : PB = 1:3.
Untuk itu, koordinat P dapat ditentukan sebagai berikut.
Absis
x_P = \dfrac{1}{1+3}(1x_B + 3x_A) = \dfrac14(1(-2)+3(0)) = -\dfrac12
Ordinat:
y_P = \dfrac{1}{1+3}(1y_B + 3y_A) = \dfrac14(1(0)+3(4)) = 3
Aplikat:
z_P = \dfrac{1}{1+3}(1z_B + 3z_A) = \dfrac14(1(4)+3(6)) = \dfrac{11}{2}
Jadi, koordinat P adalah \boxed{\left(-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right)}
Jawaban b)
Diketahui bahwa
\begin{aligned} \vec{AP} & = P - A = \left(-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right) - (0, 4, 6) \\ & = \left(-\dfrac12, -1, -\dfrac12\right) \\ \vec{AC} & = C - A = (2,2,2)-(0,4,6)=(2,-2,-4) \\ |\vec{AC}|^2 & = (2)^2+(-2)^2+(4)^2 = 24 \end{aligned}
Dengan menggunakan rumus proyeksi vektor, didapat
\begin{aligned} \vec{AP}_{\vec{AC}} & = \dfrac{\vec{AP} \bullet \vec{AC}}{|\vec{AC}|^2} \cdot \vec{AC} \\ & = \dfrac{\left(-\dfrac12, -1, -\dfrac12\right) \bullet (2,-2,-4)}{24} \cdot (2, -2, 4) \\ & = \dfrac{-1 + 2 + 2}{24} \cdot (2, -2, 4) \\ & = \left(\dfrac14, -\dfrac14, \dfrac12\right) \end{aligned}
Jadi, proyeksi vektor \vec{AP} pada \vec{AC} adalah \boxed{\dfrac14 \widehat i - \dfrac14 \widehat j + \dfrac12 \widehat k}
Jawaban c)
Diketahui bahwa
\begin{aligned} \vec{AP} & = P - A = \left(-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right) - (0, 4, 6) \\ & = \left(-\dfrac12, -1, -\dfrac12\right) \\ \vec{AC} & = C - A = (2,2,2)-(0,4,6)=(2,-2,-4) \\ |\vec{AC}| & = \sqrt{(2)^2+(-2)^2+(4)^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt6 \end{aligned}
Dengan menggunakan rumus proyeksi skalar, didapat
\begin{aligned} |\vec{AP}_{\vec{AC}}| & = \dfrac{\vec{AP} \bullet \vec{AC}}{|\vec{AC}|} \\ & = \dfrac{\left(-\dfrac12, -1, -\dfrac12\right) \bullet (2,-2,-4)}{2\sqrt6} \\ & = \dfrac{-1 + 2 + 2}{2\sqrt6} \\ & = \dfrac{3}{2\sqrt6} \color{red}{\times \dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}}} \\ & = \dfrac{\cancel{3}\sqrt6}{2(\cancelto{2}{6})} \\ & = \dfrac{1}{4}\sqrt6 \end{aligned}
Jadi, proyeksi skalar \vec{AP} pada \vec{AC} adalah \boxed{\dfrac14\sqrt{6}}

[collapse]

Soal Nomor 38
Diketahui vektor-vektor \vec u = b\widehat{i}+a\widehat{j}+9\widehat{k} dan \vec v = a\widehat{i}-b\widehat{j}+a\widehat{k}. Sudut antara vektor \vec u dan \vec v adalah \theta dengan \cos \theta = \dfrac{6}{11}. Proyeksi ortogonal \vec u pada \vec v adalah \vec p = 4\widehat{i}-2\widehat{j}+4\widehat{k}. Nilai dari b=\cdots
A. \sqrt2                      D. 4
B. 2                         E. 4\sqrt2
C. 2\sqrt2

Penyelesaian

Diketahui:
\begin{aligned} \vec u & = (b, a, 9) \\ \vec b & = (a, -b, a) \\ \angle(\vec u, \vec v) & = \theta \\ \cos \theta & = \dfrac{6}{11} \\ \vec u_{\vec v} & = \vec p = (4,-2, 4) \end{aligned}
Misalkan n = \dfrac{\vec u \bullet \vec v} {|\vec v|^2}.
Dengan menggunakan rumus proyeksi ortogonal vektor, didapat
\begin{aligned} \vec u _{\vec v} & = n \cdot \vec v \\ (4,-2,4) & = n(a, -b, a) \\ (4,-2,4) & = (na, -nb, an) \end{aligned}
Dari sini, diperoleh 4=na dan -2=-nb.
Kedua persamaan di atas dapat ditulis menjadi
n = \dfrac{a}{4} dan n = \dfrac{2}{b}
Untuk itu, 
\dfrac{a}{4} = \dfrac{2}{b} \Leftrightarrow a = 2b
Selanjutnya, dengan menggunakan rumus cosinus vektor, didapat
\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec u \bullet \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{(b, a, 9) \bullet (a, -b, a)}{\sqrt{b^2+a^2+(9)^2} \cdot \sqrt{a^2 + (-b)^2 + a^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{ab - ab + 9a}{\sqrt{a^2+b^2+81} \cdot \sqrt{2a^2 + b^2}} \\ & \text{Substitusikan}~a = 2b \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{9(2b)}{\sqrt{(2b)^2+b^2+81} \cdot \sqrt{2(2b)^2 +b^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{18b}{\sqrt{5b^2+81} \cdot \sqrt{9b^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{\cancelto{6}{18b}}{\sqrt{5b^2+81} \cdot \cancel{3b}} \\ 11 & = \sqrt{5b^2+81} \\ 121 & = 5b^2+81 \\ b^2 & = \dfrac{121-81}{5} = 8 \\ b & = 2\sqrt2 \end{aligned}
Jadi, nilai b adalah \boxed{2\sqrt{2}}
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 39
Given a cuboid OABC.DEFG, with |\vec{OA}| = 4, |\vec{OC}| = 3, and |\vec{OD}| = 6. Find the scalar projection of \vec{OF} on \vec{OB}
Diketahui balok OABC.DEFG dengan |\vec{OA}| = 4, |\vec{OC}| = 3, dan |\vec{OD}| = 6. Tentukan proyeksi skalar \vec{OF} pada \vec{OB}.

Penyelesaian

Perhatikan sketsa balok OABC.DEFG berikut.

Karena |\vec{OA}| = 4 dan |\vec{OC}| = |\vec{AB}| = 3, maka dengan rumus Pythagoras, diperoleh
|\vec{OB} = \sqrt{|\vec{OA}|^2 + |\vec{AB}|^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5
Misalkan |\vec{c}| adalah proyeksi skalar \vec{OF} pada \vec{OB}, sehingga
|\vec{c}| = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{|\vec{OB}|}
Misalkan juga sudut antara \vec{OB} dan \vec{OF} adalah \theta, sehingga dengan Rumus Cosinus Vektor, diperoleh
\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{|\vec{OF}| \cdot |\vec{OB}|} \\ \dfrac{|\vec{OB}|}{\cancel{|\vec{OF}|}} & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\cancel{|\vec{OF}|} \cdot |\vec{OB}|} \\ |\vec{OB}|^2 & = \vec{OF} \bullet \vec{OB} \end{aligned}
Kembali pada rumus proyeksi skalar, diperoleh
\begin{aligned} |\vec{c}| & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{|\vec{OB}|} \\ & = \dfrac{|\vec{OB}|^2}{|\vec{OB}|} \\ & = |\vec{OB}| = 5 \end{aligned}
Jadi, proyeksi skalar \vec{OF} pada \vec{OB} adalah \boxed{5}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesTrigonometri, VektorTags, , , , , , , , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *