Soal dan Penyelesaian UTS Kalkulus Lanjut

Berikut ini adalah 5 soal UTS Kalkulus Lanjut (TA 2017/2018) yang diujikan tanggal 2 November 2017 oleh Drs. Ade Mirza, M.Pd.

1. Tuliskan definisi fungsi bernilai vektor di bidang dengan peubah real. Berikan sebuah contoh sebagai ilustrasinya.

2. Ubahlah persamaan 2r^2 - 16r \cos \alpha = 8r \sin \alpha - 22 dalam koordinat Kartesius dan berikan penjelasan mengenai persamaan tersebut.

3. Tentukan persamaan kurva dari himpunan titik-titik H, apabila jumlah jarak dari H ke titik (5, 0) dan (-5, 0) adalah 15 satuan. Gambarkan sketsa kurvanya.

4. Tentukan nilai limit berikut. Bila ada, buktikan.
a) \displaystyle \lim_{t \to 3} [(t-3)^2i + 6tj]


b) \displaystyle \lim_{t \to 1} (8ti - t^2j)

5. Jika r: A \subseteq R \rightarrow R^2, dengan r(t) = (e^t + e^{-t})i - e^{t^2}j, tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari r(t).

Jawaban:

Jawaban Nomor 1
Misalkan f suatu fungsi dari himpunan tak kosong A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2, maka setiap t \in A menentukan secara tunggal sepasang dua bilangan atau titik pada \mathbb{R}^2. Karena setiap titik pada bidang datar itu menentukan satu vektor posisi, maka f(t) dapat dipandang sebagai vektor posisi: f(t) = x(t)i + y(t)j = r(t)
dengan i, j vektor basis di \mathbb{R}^2 dan t adalah parameter. Fungsi f disebut fungsi vektor di bidang. Misalkan diberikan x(t) = t dan y(t) = t + 2, untuk t \in \mathbb{R}. Sekarang, jika kita ambil t = 0, kita peroleh titik (0, 2). Jika diambil t = 1, kita peroleh titik (1, 3). Pada kenyataannya, kita dapat menuliskannya dalam suatu persamaan tanpa parameter, yaitu dengan cara mensubstitusikan x(t) = t ke y(t) = t + 2, menjadi
y(t) = x(t) + 2 atau
y = x + 2
Persamaan terakhir merupakan persamaan garis lurus bergradien 1.

Jawaban Nomor 2
Diketahui bahwa x = r \cos \alpha dan y = r \sin \alpha. Jika kedua persamaan ini dikuadratkan dan kemudian dijumlahkan, diperoleh
x^2 + y^2 = r^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = r^2
Dengan mensubstitusikan semua ini ke persamaan polar 2r^2 - 16r \cos \alpha = 8r \sin \alpha - 22, diperoleh
2(x^2 + y^2) - 16x = 8y - 22
2x^2 + 2y^2 - 16x - 8y + 22 = 0
x^2 + y^2 - 8x - 4y + 11 = 0
(x - 4)^2 + (y - 2)^2 - 16 - 4 + 11 = 0
(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 9
Persamaan yang didapat adalah persamaan lingkaran berpusat di (4, 2) dan berjari-jari 3.

Jawaban Nomor 3
Menurut definisi elips, jumlah jarak dari titik fokus ke himpunan titik-titik tertentu adalah tetap. Jadi, ini merupakan kasus elips. Jumlah jarak itu adalah
2a = 15 \Leftrightarrow a^2 = \dfrac{225}{4}
Karena titik fokusnya (5, 0) dan (-5, 0), maka didapat c = 5 dan elips ini horizontal. Juga karena b^2 = a^2 - c^2, berarti
b^2 = \dfrac{225}{4} - 5 = \dfrac{125}{4}
Jadi, persamaan elips itu adalah
\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1
\dfrac{x^2}{\dfrac{225}{4}} + \dfrac{y^2}{\dfrac{125}{4}} = 1
Sketsa kurvanya adalah sebagai berikut.

Jawaban Nomor 4b
Ambil sembarang bilangan \varepsilon > 0. Berdasarkan definisi limit, harus ditemukan bilangan \delta > 0 sehingga untuk t \in \mathbb{R}, t \neq 1, dan |t - 1| < \delta, berakibat ||(8t, -t^2) - (8, -1)|| < \varepsilon
Analisis:
||(8t, -t^2) - (8, -1)|| = ||(8t - 8, -t^2 + 1)|| = \sqrt{(8t - 8)^2 + (-t^2 + 1)^2}
=\sqrt{64(t-1)^2 + (t - 1)^2(t + 1)^2}
Untuk kasus ini, harus dibatasi faktor |t + 1| sebagai suatu konstanta real.
Misalkan
0 < |t - 1| < \delta \leq 1, sehingga
|t + 1| = |t - 1 + 2| \leq |t - 1| + 2 \leq 1 + 2 = 3
Akibatnya,
\sqrt{64(t-1)^2 + (t - 1)^2(t + 1)^2}
\leq \sqrt{64(t-1)^2 + 3(t - 1)^2}
= \sqrt{67(t-1)^2} < \varepsilon
\Leftrightarrow 67(t - 1)^2 < \varepsilon^2
\Leftrightarrow (t-1)^2 < \dfrac{1}{67}\varepsilon^2
  \Leftrightarrow |t - 1| < \dfrac{1}{67}\sqrt{67}\varepsilon
Jadi, bilangan \delta yang dimaksud adalah \min\left\{1, \dfrac{1}{67}\sqrt{67}\varepsilon\right\}, Terbukti.

Jawaban Nomor 5
Misalkan x(t) = e^t + e^{-t} sehingga x'(t) = e^t + e^{-t}.
Misalkan juga y(t) = -e^{t^2} sehingga
y'(t) = -2te^{t^2}.
Jadi, turunan pertama r(t) adalah
r'(t) = (e^t + e^{-t}, -2te^{t^2})

Selanjutnya, karena x'(t) = e^t + e^{-t}, maka x''(t) = e^t - e^{-t} dan karena y'(t) = -2te^{t^2}, maka y''(t) = -2(e^{t^2} + 2t^2e^{t^2}) (menggunakan aturan hasil kali)
Jadi, turunan kedua r(t) adalah
r''(t) = (e^t - e^{-t}, -2(e^{t^2} + 2t^2e^{t^2}))
Catatan:
\boxed{\dfrac{d}{dx}e^u = u'e^u}
dengan u adalah fungsi terhadap variabel x.

Ayo Beri Rating Postingan Ini

One Reply to “Soal dan Penyelesaian UTS Kalkulus Lanjut”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *