Soal dan Pembahasan – Ujian Tengah Semester (UTS) Kalkulus Lanjut

Berikut ini adalah 5 soal UTS Kalkulus Lanjut (TA 2017/2018) yang diujikan tanggal 2 November 2017 oleh Drs. Ade Mirza, M.Pd.

1. Tuliskan definisi fungsi bernilai vektor di bidang dengan peubah real. Berikan sebuah contoh sebagai ilustrasinya.

2. Ubahlah persamaan $2r^2 – 16r \cos \alpha = 8r \sin \alpha – 22$ dalam koordinat Kartesius dan berikan penjelasan mengenai persamaan tersebut.

3. Tentukan persamaan kurva dari himpunan titik-titik H, apabila jumlah jarak dari H ke titik (5, 0) dan (-5, 0) adalah 15 satuan. Gambarkan sketsa kurvanya.

4. Tentukan nilai limit berikut. Bila ada, buktikan.
a) $ \displaystyle \lim_{t \to 3} [(t-3)^2i + 6tj]$
b) $ \displaystyle \lim_{t \to 1} (8ti – t^2j)$

5. Jika $r: A \subseteq R \rightarrow R^2$, dengan $r(t) = (e^t + e^{-t})i – e^{t^2}j$, tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari $r(t)$.

Jawaban:

Jawaban Nomor 1
Misalkan $f$ suatu fungsi dari himpunan tak kosong $A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$, maka setiap $t \in A$ menentukan secara tunggal sepasang dua bilangan atau titik pada $\mathbb{R}^2$. Karena setiap titik pada bidang datar itu menentukan satu vektor posisi, maka $f(t)$ dapat dipandang sebagai vektor posisi: $f(t) = x(t)i + y(t)j = r(t)$
dengan i, j vektor basis di $\mathbb{R}^2$ dan t adalah parameter. Fungsi $f$ disebut fungsi vektor di bidang. Misalkan diberikan $x(t) = t$ dan $y(t) = t + 2$, untuk $t \in \mathbb{R}$. Sekarang, jika kita ambil $t = 0$, kita peroleh titik $(0, 2)$. Jika diambil $t = 1$, kita peroleh titik $(1, 3)$. Pada kenyataannya, kita dapat menuliskannya dalam suatu persamaan tanpa parameter, yaitu dengan cara mensubstitusikan $x(t) = t$ ke $y(t) = t + 2$, menjadi
$y(t) = x(t) + 2$ atau
$y = x + 2$
Persamaan terakhir merupakan persamaan garis lurus bergradien 1.

Jawaban Nomor 2
Diketahui bahwa $x = r \cos \alpha$ dan $y = r \sin \alpha$. Jika kedua persamaan ini dikuadratkan dan kemudian dijumlahkan, diperoleh
$x^2 + y^2 = r^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = r^2$
Dengan mensubstitusikan semua ini ke persamaan polar $2r^2 – 16r \cos \alpha = 8r \sin \alpha – 22$, diperoleh
$2(x^2 + y^2) – 16x = 8y – 22$
$2x^2 + 2y^2 – 16x – 8y + 22 = 0$
$x^2 + y^2 – 8x – 4y + 11 = 0$
$(x – 4)^2 + (y – 2)^2 – 16 – 4 + 11 = 0$
$(x – 4)^2 + (y – 2)^2 = 9$
Persamaan yang didapat adalah persamaan lingkaran berpusat di (4, 2) dan berjari-jari 3.

Jawaban Nomor 3
Menurut definisi elips, jumlah jarak dari titik fokus ke himpunan titik-titik tertentu adalah tetap. Jadi, ini merupakan kasus elips. Jumlah jarak itu adalah
$2a = 15 \Leftrightarrow a^2 = \dfrac{225}{4}$
Karena titik fokusnya (5, 0) dan (-5, 0), maka didapat $c = 5$ dan elips ini horizontal. Juga karena $b^2 = a^2 – c^2$, berarti
$b^2 = \dfrac{225}{4} – 5 = \dfrac{125}{4}$
Jadi, persamaan elips itu adalah
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
$\dfrac{x^2}{\dfrac{225}{4}} + \dfrac{y^2}{\dfrac{125}{4}} = 1$
Sketsa kurvanya adalah sebagai berikut.

Jawaban Nomor 4b
Ambil sembarang bilangan $\varepsilon > 0$. Berdasarkan definisi limit, harus ditemukan bilangan $\delta > 0$ sehingga untuk $t \in \mathbb{R}, t \neq 1$, dan $|t – 1| < \delta$, berakibat $||(8t, -t^2) – (8, -1)|| < \varepsilon$
Analisis:
$||(8t, -t^2) – (8, -1)|| = ||(8t – 8, -t^2 + 1)||$ $= \sqrt{(8t – 8)^2 + (-t^2 + 1)^2}$
$=\sqrt{64(t-1)^2 + (t – 1)^2(t + 1)^2}$
Untuk kasus ini, harus dibatasi faktor $|t + 1|$ sebagai suatu konstanta real.
Misalkan
$0 < |t – 1| < \delta \leq 1$, sehingga
$|t + 1| = |t – 1 + 2| \leq |t – 1| + 2 \leq 1 + 2 = 3$
Akibatnya,
$ \sqrt{64(t-1)^2 + (t – 1)^2(t + 1)^2}$
$ \leq \sqrt{64(t-1)^2 + 3(t – 1)^2}$
$ = \sqrt{67(t-1)^2} < \varepsilon$
$ \Leftrightarrow 67(t – 1)^2 < \varepsilon^2$
$ \Leftrightarrow (t-1)^2 < \dfrac{1}{67}\varepsilon^2$
$  \Leftrightarrow |t – 1| < \dfrac{1}{67}\sqrt{67}\varepsilon$
Jadi, bilangan $\delta$ yang dimaksud adalah $\min\left\{1, \dfrac{1}{67}\sqrt{67}\varepsilon\right\}$, Terbukti.

Jawaban Nomor 5
Misalkan $x(t) = e^t + e^{-t}$ sehingga $x'(t) = e^t + e^{-t}$.
Misalkan juga $y(t) = -e^{t^2}$ sehingga
$y'(t) = -2te^{t^2}$.
Jadi, turunan pertama $r(t)$ adalah
$r'(t) = (e^t + e^{-t}, -2te^{t^2})$

Selanjutnya, karena $x'(t) = e^t + e^{-t}$, maka $x^{\prime \prime}(t) = e^t – e^{-t}$ dan karena $y'(t) = -2te^{t^2}$, maka $y^{\prime \prime}(t) = -2(e^{t^2} + 2t^2e^{t^2})$ (menggunakan aturan hasil kali)
Jadi, turunan kedua $r(t)$ adalah
$r^{\prime \prime}(t) = (e^t – e^{-t}, -2(e^{t^2} + 2t^2e^{t^2}))$
Catatan:
$\boxed{\dfrac{d}{dx}e^u = u’e^u}$
dengan $u$ adalah fungsi terhadap variabel $x$.

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *